Análisis. PAU.

$Dom f(x) = \R \setminus \{0, 2\}$ ya que son las raíces del denominador.

Vamos a estudiar el signo de la función para saber por donde NO va, vemos el signo de $f(x)$

Si lo vemos en el plano:

Ya podemos descartar simetrías. Periodo no tiene.
Cortes con los ejes no tiene. En $x = 0$ no está definida, luego no corta al eje $Y$. Y el numerador nunca se anula, luego nunca corta al eje $X$.
Asíntotas verticales:
\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{2}{x(x - 2)} } = \mfrac{2}{0} \implies \begin{cases} \milmt{x}{0^-}{ \mfrac{2}{x(x - 2)} } = +\infty \\ \milmt{x}{0^+}{ \mfrac{2}{x(x - 2)} } = -\infty \end{cases} \] \[ \milmt{x}{2}{ \mfrac{2}{x(x - 2)} } = \mfrac{2}{0} \implies \begin{cases} \milmt{x}{2^-}{ \mfrac{2}{x(x - 2)} } = -\infty \\ \milmt{x}{2^+}{ \mfrac{2}{x(x - 2)} } = +\infty \end{cases} \] Asíntotas horizontales:
\[ \milmt{x}{\infty}{ \mfrac{2}{x(x - 2)} } = 0 \qquad \text{ y } \qquad \milmt{x}{-\infty}{ \mfrac{2}{x(x - 2)} } = 0 \] Para los extremos calculamos la derivada de $f(x) = \mfrac{2}{x^2 - 2x}$: \[ f'(x) = \mfrac{-2(2x - 2)}{x^2(x - 2)^2} = \mfrac{-4(x - 1)}{x^2(x - 2)^2} \] Estudiamos el signo de la derivada: $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\[2.5ex] \hline f'(x) & + & 0 & - \\[2.5ex] \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ Máximo en $x = 1 \implies f(1) = \mfrac{2}{1(1 - 2)} = - 2$
No lo piden y no es necesario. Se podría estudiar la derivada segunda: \[ f'(x) = \mfrac{-4(x - 1)}{(x^2 - 2x)^2} \implies f''(x) = -4 \cdot \mfrac{ (x^2 - 2x)^2 - (x - 1) \cdot 2 \cdot (2x - 2)(x^2 - 2x) }{(x^2 - 2x)^2} = \] \[ = \mfrac{ -4 }{(x^2 - 2x)^4} \cdot (x^2 - 2x)[(x^2 - 2x) - 4(x - 1)^2] = \mfrac{ -4 }{(x^2 - 2x)^3}[(x^2 - 2x) - 4(x - 1)^2] = \] \[ = \mfrac{ -4 }{(x^2 - 2x)^3}[x^2 - 2x - 4x^2 + 8x - 4] = \mfrac{ -4 }{(x^2 - 2x)^3}[-3x^2 + 6x - 4] = \] \[ = \mfrac{ 4(3x^2 - 6x + 4) }{(x^2 - 2x)^3} = \mfrac{ 4(3x^2 - 6x + 4) }{x^3(x - 2)^3} \] Vemos que el polinomio $3x^2 - 6x + 4$ no tiene raíces reales, al ser un polinomio de grado 2 sin raíces, tiene signo constante, siempre positivo o negatico, en este caso es siempre positivo. Luego el signo de la segunda derivada depende del denominador. $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & \left (-\infty, 0 \right ) & 0 & \left(0, 2 \right ) & 2 & \left (2, \infty \right ) \\[2.5ex] \hline signo f''(x) & + & N. D. & - & N. D. & + \\[2.5ex] \hline f(x) & \cup & & \cap & & \cup \\[2.5ex] \hline Pto. Inflexión & & & & & \\[2.5ex] \end{array} $$ Veamos el dibujo de la función:

Podemos calcular la imagen o el recorrido de $f(x)$: $Im f(x) = (-\infty, -2] \cup (0, \infty)$

Factorizamos el denominador, se ve claramente que una raíz es 1 luego la otra raíz es -2. Así la función $g(x)$ la podemos poner: $g(x) = \mfrac{ x(x + 1) }{(x - 1)(x + 2)} $
Vamos a estudiar el signo de la función:

Si lo llevamos al plano:

Con el estudio del signo podemos confirmar las simetrías y las asíntotas verticales. En este caso la función no tiene simetrías.
Vamos con los puntos de corte:
Con el eje $X$: $g(0) = 0$, pasa por el $(0, 0)$.
Con el eje $Y$: $ \mfrac{ x^2 + x }{ x^2 + x - 2 } = 0 \implies x^2 + x = 0 \implies x = 0 \text{ y } x = -1 $ Paso por los puntos $(0, 0$ y $(-1, 0)$. Vamos con las asíntotas:
Verticales: \[ \milmt{x}{1}{ \mfrac{ x^2 + x }{ (x - 1)(x + 2) } } = \mfrac{2}{0} \implies \begin{cases} \milmt{x}{1^-}{ \mfrac{ x^2 + x }{ (x - 1)(x + 2) } } = -\infty \\ \milmt{x}{1^+}{ \mfrac{ x^2 + x }{ (x - 1)(x + 2) } } = +\infty \end{cases} \] \[ \milmt{x}{-2}{ \mfrac{ x^2 + x }{ (x - 1)(x + 2) } } = \mfrac{2}{0} \implies \begin{cases} \milmt{x}{-2^-}{ \mfrac{ x^2 + x }{ (x - 1)(x + 2) } } = +\infty \\ \milmt{x}{-2^+}{ \mfrac{ x^2 + x }{ (x - 1)(x + 2) } } = -\infty \end{cases} \] Asíntotas horizontales:
\[ \milmt{x}{\infty}{ \mfrac{ x^2 + x }{ x^2 + x - 2 } } = 1 \qquad \text{ y } \qquad \milmt{x}{-\infty}{ \mfrac{ x^2 + x }{ x^2 + x - 2 } } = 1 \] Asíntotas oblicuas no tiene, ya que tiene asíntotas horizontales.
Vamos la derivada de $g(x)$: \[ g'(x) = \mfrac{ (2x + 1)(x^2 + x - 2) - (x^2 + x)(2x + 1)}{ (x^2 + x - 2)^2} = \mfrac{ (2x + 1)[(x^2 + x - 2) - (x^2 + x)]}{ (x^2 + x - 2)^2} = \] \[ = \mfrac{ (2x + 1)[x^2 + x - 2 - x^2 - x]}{ (x^2 + x - 2)^2} = \mfrac{ -2(2x + 1) }{ (x^2 + x - 2)^2} \] Estudiamos el signo de la derivada: $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & \left (-\infty, \dfrac{-1}{2} \right ) & \dfrac{-1}{2} & \left (\dfrac{-1}{2}, +\infty \right ) \\[2.5ex] \hline g'(x) & + & 0 & - \\[2.5ex] \hline g(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ \[ g \left ( \dfrac{-1}{2} \right ) = \mfrac{ \left ( \dfrac{-1}{2} \right )^2 + \left ( \dfrac{-1}{2} \right ) }{ \left ( \dfrac{-1}{2} \right )^2 + \left ( \dfrac{-1}{2} \right ) - 2 } = \mfrac{ \dfrac{-1}{4} }{ \dfrac{-9}{4} } = \dfrac{1}{9} \] Con estos datos podemos calcular la $Im g(x) = \left (-\infty, \dfrac{1}{9} \right ] \cup \left ( 1, +\infty \right ) $
No lo piden y no es necesario. Se podría estudiar la derivada segunda:
\[ g''(x) = -2 \cdot \mfrac{2(x^2 + x - 2)^2 - (2x + 1) \cdot 2 \cdot (x^2 + x - 2)(2x + 1) }{ (x^2 + x - 2)^4 } = \] \[ = -2 \cdot \mfrac{2(x^2 + x - 2)[ (x^2 + x - 2) - (2x + 1)^2 }{ (x^2 + x - 2)^4 } = -4 \cdot \mfrac{(x^2 + x - 2) - (2x + 1)^2 }{ (x^2 + x - 2)^3 } = \] \[ = -4 \cdot \mfrac{x^2 + x - 2 - 4x^2 - 4x + 1 }{ (x^2 + x - 2)^3 } = -4 \cdot \mfrac{-3x^2 - 3x - 3 }{ (x^2 + x - 2)^3 } = \mfrac{12(x^2 + x + 1) }{ (x^2 + x - 2)^3 } \] Vamos a factorizar el numerador para estudiar el signo de la derivada segunda: \[ x^2 + x + 1 = 0 \implies x = \mfrac{-1 \pm \msqrt{1 - 4} }{ 2} \text{ no tiene raíces reales. } \] El signo de $x^2 + x + 1$ es constante, en este caso es positivo. Luego el signo depende del denominador. $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & \left (-\infty, -2 \right ) & -2 & \left(-2, 1 \right ) & 1 & \left (1, \infty \right ) \\[2.5ex] \hline signo\ g''(x) & + & N. D. & - & N. D. & + \\[2.5ex] \hline g(x) & \cup & & \cap & & \cup \\[2.5ex] \hline Pto. Inflexión & & & & & \\[2.5ex] \end{array} $$ Veamos el dibujo de la función:

a) $Dom f(x) = \R$ ya que es el producto de un monomio por una exponencial y no hay puntos problemáticos.

Otro punto importante es estudiar el signo de la función, nos da mucha información de «por donde» va la función. En este caso, $ e^{-2x^2}$ es siempre positivo, por ser una potencia de base positiva, luego el signo viene determinado por $x$. Así: \[ \text{signo de } f(x) \begin{cases} f(x) > 0 \fsi x > 0 \\[0.25cm] f(x) < 0 \fsi x < 0 \end{cases} \] En la imagen en azul las zonas por donde NO hay función:

Asíntotas verticales no tiene.

ASíntotas horizontales: \[ \milmt{x}{+\infty}{ xe^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{Por encima del eje } X \] \[ \milmt{x}{+\infty}{ xe^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{Por encima del eje } X\] Asíntotas oblicuas no tiene: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{xe^{-2x^2}}{x} } = \milmt{x}{+\infty}{ e^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{La asíntota será horizontal, no oblicua.}\] \[ \milmt{x}{-\infty}{ \mfrac{xe^{-2x^2}}{x} } = \milmt{x}{+\infty}{ e^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{La asíntota será horizonatl, no oblicua.}\]

b) Para calcular los extremos y el crecimiento/decrecimiento tenemos que derivar: \[ f'(x) = e^{-2x^2} - 4x^2e^{-2x^2} = (1 - 4x^2)e^{-2x^2} = (1 - 2x)(1 + 2x)e^{-2x^2} \]

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty) \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & - & 0 & + & 0 & - \\[2.5ex] \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & \text{Maximo} & \searrow \\[2.5ex] \end{array} $$
El mínimo se alcanza en $\mfrac{-1}{2} \implies f\left( \mfrac{-1}{2} \right) = \mfrac{-1}{2}e^{-1/2}$

El máximo se alcanza en $\mfrac{1}{2} \implies f\left( \mfrac{1}{2} \right) = \mfrac{1}{2}e^{-1/2}$

De donde deducimos que el recorrido de la función es $\left[ \mfrac{-1}{2}e^{-1/2}, \mfrac{1}{2}e^{-1/2}\right ]$


Para los puntos de inflexión debemos calcular la segunda derivada:

\[ f''(x) = -8xe^{-2x^2} + (1 - 4x^2)e^{-2x^2}4x = -8xe^{-2x^2} - 4xe^{2x^2} + 16x^3e^{2x^2} = - 12xe^{2x^2} + 16x^3e^{2x^2} = 4x(4x^2 - 3)e^{-2x^2} \] El punto de inflexión, es un punto en la gráfica de una función donde esta cambia de concavidad. Par ello resolvemos $f''(x) = 0$

\[ f''(x) = 0 \implies 4x(4x^2 - 3)e^{-2x^2} = 0 \implies 4e^{-2x^2}x(2x - \msqrt{3})(2x + \msqrt{3}) = 0 \] $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & \left (-\infty, \dfrac{- \sqrt{3}}{2} \right ) & \dfrac{ - \sqrt{3}}{2} & \left(\dfrac{- \sqrt{3}}{2}, 0 \right ) & 0 & \left (0, \dfrac{ \sqrt{3}}{2} \right ) & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \infty \right ) \\[2.5ex] \hline signo f''(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\[2.5ex] \hline Pto. & & Sí & & Sí & & Sí & \\[2.5ex] Inflexión & & & & & & & \\[2.5ex] \end{array} $$ Luego $f(x)$ tiene puntos de inflexión en $x = 0$ y en $x = \mfrac{\pm \msqrt{3}}{2}$.

c) Para este apartado vamos a usar que la función $f(x)$ es impar: \[ f(-x) = -xe^{-2(-x)^2} = - xe^{2x^2} = -f(x) \] Una función impar es simétrica respecto del origen o que si giramos $\odn{180}{o}$ la gráfica será la misma.

Veamos el dibujo de la función:

a) \[ \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( \mfrac{x}{\sen x} - 1 \right)}{a^2x^2} } = \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( \mfrac{x}{\sen x} - \mfrac{\sen x}{\sen x} \right)}{a^2x^2} } = \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( x - \sen x \right)}{a^2 (\sen x )x^2} } = \] \[ = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ x - \sen x }{ (\sen x )x^2} } = \zdivz = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ 1 - \cos x }{ 2x \cdot \sen x + x^2(\cos x)} } = \zdivz = \] \[ = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \sen x }{ 2\sen x + 2x\cos x + 2x(\cos x ) - x^2 \sen x } } = \] \[ =\mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \sen x }{ 2\sen x + 4x(\cos x ) - x^2 \sen x } } = \zdivz = \] \[ = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \cos x }{ 2\cos x + 4\cos x - 4x\sen x - 2x\sen x - x^2 \cos x } } = \] \[ \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \cos x }{ 6\cos x - 6x\sen x - x^2 \cos x } } = \mfrac{2}{a^2} \cdot \mfrac{1}{6} = \mfrac{1}{3a^2} \]

b) $f(x) = x^3(x^2 - 2x + 1) + 1 = x^5 - 2x^4 + x^3 + 1 $. Vamos a calcular $f'(x)$: \[ f'(x) = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 \] $f'(x)$ en continua en $[0, 1]$ por ser una función polinómica.

$f'(0) = 0$ y $f'(3/4) = \mfrac{-27}{256}$

Aplicamos el Teorema de Bolzano en el intervalo $\left (0, \mfrac{3}{4} \right) \subset (0, 1)$ exite al menos un punto $c$ en dicho intervalo donde $f'(c) = 0$.

a) $f(3) = 3^3 - 15 \cdot 3^2 + 48 \cdot 3 + 120 = 27 - 135 + 144 + 120 = 136 \implies 13.600 \text{€}$

b) Vamos a derivar $f(x)$, $f'(x) = 3x^2 - 30x + 48$ y tenemos que resolver la ecuación $f'(x) = 0$: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 30x + 48 = 0 \implies x^2 - 10x + 16 = 0 \implies (x - 2)(x - 8) = 0 \] $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & [0, 2) & 2 & (2, 8) & 8 & (8,10] \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & + & 0 & - & 0 & + \\[2.5ex] \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \\[2.5ex] \end{array} $$ Beneficio máximo $f(2) = 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 + 120 = 8 - 60 + 96 + 120 = 164 \implies 16.400 \text{€}$

Beneficio mínimo $f(8) = 8^3 - 15 \cdot 8^2 + 48 \cdot 8 + 120 = 8 \cdot 8^2 - 15 \cdot 8^2 + 6 \cdot 8^2 + 120 = -64 + 120 = 56 \implies 5.600 \text{€}$

c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{0}{2}{ (3x^2 - 30x + 48) }{dx} = \left [ x^3 - 15x^2 + 48x \right]^2_0 = 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 = 8 - 60 + 96 = 44 u^2 \]

a) $f(0) = 2 \implies \mfrac{a}{ 1 } = 2 \implies a = 2 \implies f(x) = \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} $

$Dom f(x) = \R \setminus \{1\}$

Puntos de corte: con el eje $Y$ ya lo tenemos. Con el eje $X$: \[ 0 = \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} \implies 0 = x + 2 \implies x = -2 \] Asíntotas horizontales $y = 0$: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = 0 \qquad \milmt{x}{- \infty}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = 0 \] Asíntotas verticales en $x = 1$: \[ \milmt{x}{1^+}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = +\infty \qquad \milmt{x}{1^-}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = +\infty \] Asíntotas oblicuas no tiene: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{ f(x) }{ x } } = 0 \qquad \milmt{x}{- \infty}{ \mfrac{ f(x) }{ x } } = 0 \]

b) Sea $f(x) = \mfrac{x + 1}{(x - 1)^2}$, vamos a derivar la función para estudiar sus extremos y creciemiento/decrecimiento: \[ f'(x) = \mfrac{(x - 1)^2 - (x + 1)2(x -1)}{(x - 1)^4} = \mfrac{(x - 1) - 2(x + 1)}{(x - 1)^3} = \mfrac{x - 1 - 2x -2 }{(x - 1)^3} = \mfrac{-(x + 3) }{(x - 1)^3} \] $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, 1) & 1 & (1, +\infty) \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & - & 0 & + & \text{No definida} & - \\[2.5ex] \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & - & \searrow \\[2.5ex] \end{array} $$

c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{2}{3}{ f(x) \cdot (x - 1)^3 }{dx} = \mintd{2}{3}{ \mfrac{x + 1}{(x - 1)^2} \cdot (x - 1)^3 }{dx} = \mintd{2}{3}{ (x + 1) \cdot (x - 1) }{dx} = \] \[ = \mintd{2}{3}{ (x^2 - 1) }{dx} = \left [ \mfrac{x^3}{3} - x \right ]^3_2 = 9 - 3 - \left ( \mfrac{8}{3} - 2 \right ) = 6 - \mfrac{2}{3} = \mfrac{16}{3}u^2 \] La función del integrando $h(x) = f(x) \cdot (x-1)^3 = (x + 1)(x - 1)$ es continua y positiva en el intervalo de integración $[2, 3]$, el valor obtenido $\mfrac{16}{3}$ representa el área de la región plana acotada por la gráfica de dicha función, el eje $X$ y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 3$.

Las tres funciones son impares (ya veremos para que sirve esto más adelante). Si hacemos un dibujo de las funciones, se ve que la recta $y = x$ es l bisectriz del $\odn{1}{er}-\odn{3}{er}$ cuadrante, la recta $y = 2x$ va por encima de la recta anterior y luego la curva $y = x^3$ va por debajo de la la bisectriz en el intervalo $[0, 1]$ y entre $[1, \msqrt{2}]$ va entre las dos rectas. Veamos de donde salen estos puntos:

Intersección $y = x$ e $ y =x^3 \implies x = x^3 \implies x = 0, \pm 1$

Intersección $y = 2x$ e $ y =x^3 \implies 2x = x^3 \implies x = 0, \pm \msqrt{2}$

El área la dividimos entre 0 y 1, el área entre $y = 2x$ e $ y =x$; y entre 1 y $\msqrt{2}$, el área enre las funciones $y=2x$ e $y = x^3$: \[A = \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = (*) \] \[ = \mintd{0}{1}{(x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = \] Vamos con la primera integral: \[ \Bigg [ \mfrac{x^2}{2} \Bigg]^1_0 = \mfrac{1}{2} \] Ahora a por la segunda: \[ \Bigg [ x^2 - \mfrac{x^4}{4} \Bigg ]^{\msqrt{2}}_1 = \left (2 - \mfrac{4}{4} \right ) - \left (1 - \mfrac{1}{4} \right ) = 1 - \mfrac{3}{4} = \mfrac{1}{4} \] Juntando las dos integrales nos queda: \[ (*) = \mfrac{1}{2} + \mfrac{1}{4} = \mfrac{3}{4} \] Hemos dicho que las funciones son impares, luego a la izquierda hay un área igual pero en la parte negativa, así el área total es el doble del área calculada: \[ Área Total = 2 \cdot \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = 2 \cdot \mfrac{3}{4} = \mfrac{3}{2} u^2 \]

Las rectas tangentes horizontales son las paralelas al eje $X$, es decir, las que tienen pendiente cero, que coinciden con los extremos de la función. Si derivamos la función: \[ f'(x) = x^2 - 4x + 3 \] y resolvemos la ecuación $f'(x) = 0$, cuyas soluciones son $x = 1$ y $x = 4$ por las fórmulas de Cardano-Vieta.

Calculamos las ecuaciones de las rectas tangentes en esos valores de $x$:

$\bullet\ $ Para $x = 1$ la ecuación de la recta será $x = f(1) \implies x = \mfrac{7}{3}$

$\bullet\ $ Para $x = 3$ la ecuación de la recta será $x = f(3) \implies x = 1$

Para que sea continua la función $f(x)$ tiene que cumplir que \[ \milmt{x}{1^-}{ f(x) } = f(1) = \milmt{x}{1^+}{ f(x) } \] Veamos el límite por la izquierda: \[ \milmt{x}{1^-}{ f(x) } = \milmt{x}{1^-}{ e^{a + b} } = e \implies a + b = 1\] Veamos el límite por la derecha: \[ \milmt{x}{1^+}{ f(x) } = \milmt{x}{1^-}{ e - ax + 1 } = e \implies -a + 1 = 0 \implies a = 1 \] Como $a = 1$ y tenemos que $a + b = 1 \implies b = 0$. Luego la función $f$ queda de la siguiente forma: \[ f(x) = \begin{cases} e^{x}, & \text{si } x < 1, \\ e, & \text{si } x = 1, \\ e - x + 1, & \text{si } x > 1. \end{cases} \]

a) $ C(4) = 0,2 \implies \mfrac{a \cdot 4}{4^2 + 4} = 0,2 \implies 4a = 0,2 \cdot 20 \implies 4a = 4 \implies a = 1 $

\[ \milmt{x}{+\infty}{C(x)} = 0 \] Quiere decir que con el tiempo el la concentración en sangre de la sustancia desaparece.

b) Tenemos que derivar $C(x)$. \[ C'(x) = \mfrac{x^2 + 4 - x(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{x^2 + 4 - 2x^2}{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{4 - x^2 }{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{(2 - x)(2 + x)}{(x^2 + 4)^2} \] $x$ significa el tiempo, es decir $x > 0$. Estudiando el signo de la derivada, vemos que en $(0, 2)$ la función $C(x)$ crece y en $(2, +\infty)$ decrece, así en $x = 2$ la función tiene un máximo, ya que pasa de creciente a decreciente y su valor es $C(2) = \mfrac{2}{2^2 + 4} = \mfrac{2}{8} = \mfrac{1}{4} $

c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{1}{2}{ (x^2 + 4) \cdot C(x) }{dx} = 6 \implies \mintd{1}{2}{ (x^2 + 4) \cdot \mfrac{ax}{x^2 + 4} }{dx} = 6 \implies \] \[ \implies \mintd{1}{2}{ \cancel{(x^2 + 4)} \cdot \mfrac{ax}{ \cancel{(x^2 + 4)} } }{dx} = 6 \implies \mintd{1}{2}{ ax }{dx} = 6 \implies \] \[ \implies a \cdot \left [ \mfrac{x^2}{2} \right]^2_1 = 6 \implies a \cdot \left (2 - \mfrac{1}{2} \right ) = 6 \implies a \cdot \mfrac{3}{2} = 6 \implies 3 \cdot a = 12 \implies a = 4 \]

a) $f(1) = 3 \implies a + b = 3$ y $f'(1) = 5 \implies $. Vamos a calcular la derivada de $f(x)$: \[ f'(x) = \mfrac{ 2ax \cdot x^3 - 3x^2(ax^2 + b) }{ (x^3)^2 } = \mfrac{ 2ax^4 - 3ax^4 - 3bx^2 }{ (x^3)^2 } = \] \[ = \mfrac{ -ax^4 - 3bx^2 }{ (x^3)^2 } = \mfrac{ -x^2(ax^2 + 3b) }{ x^6 } = \mfrac{ -(ax^2 + 3b) }{ x^4 } \] Ahora imponemos $f'(1) = -5 \implies -a - 3b = - 5 \implies a + 3b = 5 $

Junytamos las dos condiciones y tenemos un sistemas: \[ \begin{cases} a + b = 3 \\ a + 3b = 5 \end{cases} \] A la primera ecuación le restamos la segunda: $-2b = -2 \implies b = 1 \implies a = 3 -b = 3 - 1 = 2$

b) $f(x) = \mfrac{ax^2 + 4}{x^3}$ Se tiene que anular la derivada en $x = 2$: \[ f'(x) = \mfrac{ -(ax^2 + 12) }{ x^4 } \] \[ f'(2) = 0 \implies \mfrac{ - 12 - 4a }{ 16 } = 0 \implies - 12 - 4a = 0 \implies a = -3 \] Entonces $f(x) = \mfrac{-3x^2 + 4}{x^3}$ y $f'(x) = \mfrac{ 3(x^2 - 4) }{x^4} = \mfrac{ 3(x - 2)(x + 2) }{x^4} $

A la izquierda de 2 la derivada es negativa, decrece, y a la derecha del 2 la función es positiva, crece, luego la función tiene en $x = 2$ es un mínimo. $f(2) = \mfrac{-3 \cdot 2^2 + 4}{2^3} = \mfrac{-8}{8} = -1$

c) Ahora $f(x) = \mfrac{2x^2 + b}{x^3}$ y nos piden que calculemos $b$ de forma que: \[ \mintd{1}{3}{ x^4 \cdot \mfrac{2x^2 + b}{x^3} }{dx} = 12 \implies\mintd{1}{3}{ 2x^3 + bx }{dx} = 12 \implies \] \[ \implies \left [ \mfrac{x^4}{2} + b \cdot \mfrac{x^2}{2}\right ]^3_1 = 12 \implies \mfrac{81}{2} + \mfrac{9b}{2} - \mfrac{1}{2} - \mfrac{b}{2} = 12 \implies \] \[ \implies \mfrac{80}{2} + \mfrac{8b}{2} = 12 \implies 40 + 4b = 12 \implies 4b = -28 \implies b = -7 \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Álgebra. PAU.

PAU Larioja 2026 (junio) En una tienda de comida para llevar, el producto más vendido se elabora con tres variantes: $A, B$ y $C$. Cada variante se vende en dos tamaños: pequeño y grande. Cada día se elaboran las cantidades de cada variante que aparecen en la siguiente tabla: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & A & B & C \\[2.5ex] \hline \text{pequeño} & 100 & 50 & 100 \\[2.5ex] \hline \text{grande} & 160 & 150 & 100 \\[2.5ex] \hline \end{array} $$ De la variante $A$ venden en tienda el 50%, de la variante $B$ el 60% y de la variante $C$ el 40%. El resto se reparte a domicilio.

1. Escribe la matriz que expresa el número de productos según el tamaño y la variante.
\[ \begin{pmatrix} 100 & 50 & 100 \\ 160 & 150 & 100 \end{pmatrix} \]
2. Escribe la matriz que expresa el número de productos y los porcentajes según la variante y el tipo de venta.
3. Calcula la matriz que expresa el número de productos según tamaño y tipo de venta.

Se pide la matriz que expresa el número de productos según el tamaño (filas) y la variante (columnas). Esta matriz es la mismaque la tabla proporcionada en el enunciado. Llamaremos a esta matriz $P$ (de dimensión $2 \times 3$): \[ \begin{pmatrix} 100 & 50 & 100 \\ 160 & 150 & 100 \end{pmatrix} \]

b) Ahora nos piden una matriz que exprese los porcentajes de venta según la variante (filas) y el tipo de venta (columnas: tienda o domicilio). Vamos a expresar los porcentajes en formato decimal.

Variante A: 50% tienda (0.5), el resto a domicilio es 100% - 50% = 50% (0.5).

Variante B: 60% tienda (0.6), el resto a domicilio es 100% - 60% = 40% (0.4).

Variante C: 40% tienda (0.4), el resto a domicilio es 100% - 40% = 60% (0.6).

Llamaremos a esta matriz $P$ (de dimensión $3 \times 2$): $$P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}$$

c) Para calcular el número de productos según tamaño y tipo de venta, debemos multiplicar la matriz de producción ($M$) por la matriz de distribución porcentual ($P$). Al multiplicar una matriz de $2 \times 3$ por una de $3 \times 2$, el resultado será una matriz de $2 \times 2$ (Tamaño $\times$ Tipo de venta). $$ C = M \cdot P = \begin{pmatrix} 100 & 50 & 100 \\ 160 & 150 & 100 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix} $$ Realizamos los cálculos multiplicando filas por columnas:

Por lo tanto, la matriz final resultante es: $$C = \begin{pmatrix} 120 & 130 \\ 210 & 200 \end{pmatrix}$$ Interpretación del resultado: 120 productos pequeños se venden en tienda, 130 productos pequeños se reparten a domicilio, 210 productos grandes se venden en tienda y 200 productos grandes se reparten a domicilio.



PAU Larioja 2026 (junio) CCSS Una pareja compra en una tienda especializada tres electrodomésticos: A, B у C, pagando por ellos un total de 1000 euros. Lo que les ha costado A representa el 40% de lo gastado en C; y, además, la suma total del dinero gastado en la compra de B y de C cuadruplica el pagado por A. Calcula cuánto le ha costado a esta pareja cada uno de los tres electrodomésticos.

$x = $ Importe electrodoméstico A; $y = $ Importe electrodoméstico B; $z = $ Importe electrodoméstico C; Vamos a plantear las ecuaciones: $x + y + z = 1000 $

$x = 0,4z$

$y + z = 4x $

Que forman el sistema que vamos a resolver: \[ \begin{cases} x + y + z = 1000 \\ x = 0,4z \\ y + z = 4x \end{cases}\] Se puede resolver matricialmente, pero en este caso no merece la pena. De la tercera ecuación, usando la segunda, sacamos una relación entre $x$ e $y$: \[ y = 4x - z = 1,6z - z = 0,6z \] Sustituimos en la primera ecuación: \[ x + y + z = 1000 \implies 0,4z + 0,6z + z = 1000 \implies 2z = 1000 \implies z = 500 \text{€}\] Ahora despejamos $x$ e $y$:

$x = 0,4z = 0,4 \cdot 500 = 200 \text{€}$

$y = 0,6z = 0,6 \cdot 500 = 300 \text{€}$



PAU Larioja 2026 (junio) CCSS Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix}$, $a, b$: números reales, se pide:

1. Calcula los valores de «$a$» y «$b$» para que se verifique la igualdad: $A \cdot B = B \cdot A$.
2. Calcula una matriz $X$ que cumpla la igualdad: $X \cdot A^4 = I_2$. (I_2 representa la matriz identidad de orden 2)

a) Vamos a hacer las cuentas para que $A \cdot B = B \cdot A$: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 4 + 2a & 5 + 2b \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 13 \\ a & b \end{pmatrix} \] La segunda fila ya coincide, veamos la primera fila, tenemos:

$4 + 2a = 4 \implies 2a = 0 \implies a = 0$ y por otro lado $5 + 2b = 13 \implies 2b = 8 \implies b = 4$.

b) Vamos a calcular $X$, $A$ es inversible ya que $|A| = 1$ luego $X = A^{-4}$, vamos a calcular $A^{-1}$, después $A^{-2}$ y por último $A^{-4}$: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad A^{-2} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ A^{-4} = A^{-2} \cdot A^{-2} = \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ X = \begin{pmatrix} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]



PAU Larioja 2026 (julio) Dos productos A y B compiten en el mercado. Sus demandas $x_a$ y $x_b$ están relacionadas con sus precios, $p_a$ y $p_b$, por las siguientes ecuaciones de demanda: $$x_a = 17 - 2p_a + \mfrac{1}{2}p_b, \qquad x_b = 20 - 3p_b + \mfrac{1}{2}p_a.$$ Las ecuaciones de oferta son: $$p_a = 2 + x_a + \mfrac{1}{3}x_b, \qquad p_b = 2 + \frac{1}{2}x_b + \mfrac{1}{4}x_a,$$ que dan los precios a los cuales las cantidades $x_a$ e $x_b$ estarán disponibles en el mercado. Calcula los valores de equilibrio de $x_a, x_b, p_a$ y $p_b$ que resuelven el sistema planteado: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_a \\ x_b \\ p_a \\ p_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ Vamos a resolver el problema: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr -1 & -1/3 & 1 & 0 & 2 \cr -1/4 & -1/2 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \] Vamos a hacer ceros por debajo de la diagonal: Primer paso, a la $\odn{3}{a}$ fila le suma la $\odn{1}{a}$ y a la $\odn{4}{a}$ fila le sumo la $\odn{1}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{4}$: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & -1/3 & 3 & -1/2 & 19 \cr 0 & -1/2 & 1/2 & 7/8 & 25/4 \end{array} \right) \] Segundo paso, a la $\odn{3}{a}$ fila le suma la $\odn{2}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{3}$ (el resultado final lo multiplicamos por 6) y a la $\odn{4}{a}$ fila le sumo la $\odn{2}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{2}$ (el resultaod final lo multiplicamos por 4): \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 17 & 3 & 154 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \end{array} \right) \] Tercer paso. permutamos la $\odn{3}{a}$ y la $\odn{4}{a}$: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \cr 0 & 0 & 17 & 3 & 154 \end{array} \right) \] Cuarto paso, a la $\odn{4}{a}$ fila le suma la $\odn{4}{a}$ multiplicada por $-17$ (el resultado final lo multiplicamos por 3): \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \cr 0 & 0 & 0 & 317/2 & 951 \end{array} \right) \] Ahora despejamos el sistema de abajo hacia arriba, empezmos por $p_b$: \[ \mfrac{317}{2} p_b = 951 \implies 317 p_b = 1902 \implies p_b = 6 \] Ahora $p_a$: \[ p_a + \mfrac{19}{2} \cdot p_b = 65 \implies p_a = 65 - \mfrac{19}{2} \cdot 6 = 65 - 57 = 8 \] Ahora $x_b$: \[ x_b - \mfrac{1}{2} \cdot p_a + 3 \cdot p_b = 20 \implies x_b = 20 + \mfrac{1}{2} \cdot 8 - 3 \cdot 6 = 20 + 4 - 18 = 6 \] Ahora $x_a$: \[ x_a + 2 \cdot p_a - \mfrac{1}{2} \cdot p_b = 17 \implies x_a = 17 - 2 \cdot 8 + \mfrac{1}{2} \cdot 6 = 17 - 16 + 3 = 4 \] Vamos a comprobar la solución: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 16 - 3 \\ 6 - 4 + 18 \\ -4 - 2 + 8 \\ -1 - 3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ PAU La Rioja 2026 (julio) Dada la matriz $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},$$ calcula $A = I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t$ y comprueba que es idempotente, es decir, que $A^2 = A$. Primero vamos a calcular la traspuesta de $X$: \[ X^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] Ahora hacemos el producto de matrices $X^t \cdot X$, ordenes de las matrices $(2 \times 4) \cdot (4 \times 2) = (2 \times 2)$: \[ X^t \cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 7 & 15 \end{pmatrix} \] El resultado es una matriz inversible (|X^t \cdot X| = 11 \neq 0) y se calcula muy fácilmente: \[ (X^t \cdot X)^{-1} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \] Vamos a ir calculando $A$ poco a poco, ahora multiplicamos $X \cdot (X^t \cdot X)^{-1}$: \[ X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 1 & 1 \\ 8 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} \] Ahora hacemos $X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} \cdot X^t$: \[ X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} \cdot X^t = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 1 & 1 \\ 8 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} \] Ahora el paso final: \[ A = I_4 - \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -2 & -5 & 1 \\ -2 & 8 & -2 & -4 \\ -5 & -2 & 6 & 1 \\ 1 & -4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]  Ahora veamos que $A^2 = A$ de una forma sencilla: \[ A^2 = (I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t)^2 = I_4^2 - 2 \cdot I_4 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + (X(X^t X)^{-1} X^t)^2 = \] \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} X^t \cdot X(X^t X)^{-1} X^t = \] \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} \textcolor{blue}{ X^t \cdot X (X^t X)^{-1} } X^t = \] el texto en azul es la identidad de orden 2: \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} \textcolor{blue}{ I_2 } X^t = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} X^t = \] \[ = I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t = A \]



PAU Larioja 2026 (julio) CCSS Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}, a$ número real. Se pide:

1. Calcula el valor de «$a$» para que se cumpla: $M^2 = I$. Para ese valor de «$a$», calcula la matriz inversa de $M$ y halla $M^{21}$.
2. Para $a = 1$: calcula una matriz $X$ que verifique la igualdad: $M \cdot X + M^T = 2I$. ($I$ representa la matriz identidad orden 2 y $M^T$ la matriz traspuesta de $M$).

a) Vamos a calcular $M^2$: \[ M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 1 & 0 \\ 0 & a^2 + 1 \end{pmatrix} \] Para que $M^2 = I_2 \implies a = 0$ Así $M$ queda: $ M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $

Vamos a calcular $M^{21}$ con $a = 0$: \[ M^{21} = M^{20} \cdot M = (M^2)^{10} \cdot M = I_2 \cdot M = \cdot M \]

b) Ahora $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ y queremos resolver esta acuación $M \cdot X + M^T = 2I$: \[ M \cdot X + M^T = 2I_2 \implies M \cdot X = 2I - M^T \implies X = M^{-1} \cdot (2I_2 - M^T) \] La traspuesta de $M$ es $M^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = M $

Y la inversa de $M$ es $M^{-1} = \mfrac{-1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $

Juntándolo todo tenemos: \[ X = M^{-1} \cdot (2I_2 - M^T) = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left [ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right ] = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \] \[ = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \]



PAU Larioja 2026 (julio) CCSS Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$, se pide:

1. Calcula $A^2$ y calcula el determinante de la matriz inversa de $A$.
2. Calcula una matriz $X$ que verifique la igualdad: $X \cdot A = B^T + I_3$ ($B^T$: matriz traspuesta de $B$, $I_3$: matriz identidad orden 3)

a) Vamos a calcular $A^2$: \[A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3 \] Vamos a calcular el determinante de $A^{-1}$ sabemos que $A^{-1} = \mfrac{1}{|A|} = \mfrac{1}{-1} = -1 $

b) Vamos a calcular $X, X \cdot A = B^T + I_3 \implies X = (B^T + I_3) \cdot A^{-1}$ para ello necesitamos la inversa de $A$ y la $B^T$. Para calcular $A^{-1}$ usaremos el apartado anterior, ya que $A^{-1} = A$.

$B^T = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ Hacemos las cuentas: \[ X = (B^T + I_3) \cdot A^{-1} = \left [ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right ] \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 3 \\ 5 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Problemas de optimización. PAU.

PAU La Rioja (2026 junio) Una empresa fabrica dos tipos de herramientas, A y B. Para su elaboración utiliza madera y acero. Para fabricar una herramienta A se necesitan 300 gramos de madera y 100 gramos de acero; en el caso de B, las cantidades requeridas son 100 y 200 gramos respectivamente. Dispone diariamente de un máximo de 3 kilogramos de madera y 2 kilogramos de acero. Estas herramientas le proporcionan un beneficio de 20 euros por unidad de A y de 15 euros por cada una de B. Además, se deben fabricar diariamente al menos 2 herramientas de tipo A y al menos 3 de tipo B. Se pide:

1. (0,5 PUNTOS) Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa.
2. (0,5 PUNTOS) Representa la región factible S.
3. (0,5 PUNTOS) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
4. (0,5 PUNTOS) Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo.

a) Lo primero que hacemos es definir las variables que vamos a usar en este ejercicio: $x$: Número de herramientas de tipo A.$y$: Número de herramientas de tipo B. Función objetivo (Maximizar el beneficio): $$f(x,y) = 20x + 15y$$ Restricciones:

Madera: $300x + 100y \le 3000 \implies 3x + y \le 30$

Acero: $100x + 200y \le 2000 \implies x + 2y \le 20$

Mínimo de tipo A: $x \ge 2$

Mínimo de tipo B: $y \ge 3$

b) Región factible $S$ y c) Coordenadas de los vértices

Dibujamos las rectas y nos sale la siguiente región factible:

Al cruzar estas rectas correctas en el plano, la región factible sigue siendo un cuadrilátero, pero con vértices completamente enteros. Los obtenemos resolviendo los sistemas de ecuaciones de las líneas que se cruzan:

Cruce de los mínimos ($x=2$ e $y=3$): Vértice $A = (2, 3)$

Cruce de $y=3$ con la recta de la madera ($3x + y = 30$):$3x + 3 = 30 \implies 3x = 27 \implies x = 9$

Vértice $B = (9, 3)$ (Cumple la restricción de acero porque $9 + 2(3) = 15 \le 20$)

Cruce de las dos restricciones de materiales ($3x + y = 30$ y $x + 2y = 20$): Multiplicamos la segunda por 3: $3x + 6y = 60$

Restamos la primera: $5y = 30 \implies y = 6$ Sustituimos para hallar $x$: $x + 2(6) = 20 \implies x = 8$ Vértice $C = (8, 6)$Cruce de $x=2$ con la recta del acero ($x + 2y = 20$):$2 + 2y = 20 \implies 2y = 18 \implies y = 9$

Vértice $D = (2, 9)$ (Cumple la restricción de madera porque $3(2) + 9 = 15 \le 30$)

d) Optimización (Beneficio máximo) Evaluamos la función objetivo $f(x,y) = 20x + 15y$ en cada uno de los 4 vértices obtenidos:

$f(2,3) = 20(2) + 15(3) = 40 + 45 = 85\text{ €}$
$f(9,3) = 20(9) + 15(3) = 180 + 45 = 225\text{ €}$
$f(2,9) = 20(2) + 15(9) = 40 + 135 = 175\text{ €}$
$f(8,6) = 20(8) + 15(6) = 160 + 90 = 250\text{ €}$

PAU La Rioja (2026 junlio) En Semana Santa, dos pasos salen en procesión por dos calles perpendiculares. El primer paso sale de la iglesia $A$ a $3 km/h$ y el segundo sale a la misma hora de la iglesia $B$ a $2,8 km/h$, ambos en sentido al mismo cruce de las calles. La distancia de la iglesia $A$ hasta el cruce es de $2,2 km$ y desde la iglesia $B$ hasta el cruce, de $2 km$.

1. Determina en qué momento la distancia entre los dos pasos es mínima.
2. Determina la distancia mínima.

Lo mejor es hacerse un esquema:

La trayectoria del paso de la iglesia $A$ es $(2, 0) + 3t(0,1) = (2, 3t)$

La trayectoria del paso de la iglesia $B$ es $(0, 2.2) + 2,8t(1,0) = (2.8t, 2.2)$

La distancia entre las trayectorias de $A$ y $B$ viene dada por la fórmula: \[ d(A, B) = \msqrt{ (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 } \] Luego la función a optimizar es $f(t) = (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 $ \[ f'(t) = 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) \] Vamos a ver para que valor de $t$ se anula la derivada: \[ 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) = -13,2 + 18t -11,2 + 15,68t = 0 \implies \] \[ \implies 33,68t - 24,2= 0 \implies t = \mfrac{24,2}{33,68} \approx 0,72 \text{horas } \approx 43,2 \text{minutos} \] La distancia mínima es cuando llegan: \[ d_{mín}(A, B) = f(0,72) = \msqrt{ (2,2 - 3 \cdot 0,72)^2 + (2 - 2,8 \cdot 0,72)^2 } = \msqrt{ 0,0016 + 0,000256 } = \msqrt{ 0,001856 } \approx 0,043km = 43m \]



PAU La Rioja (2026 junio) CCSS II En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas A y B. Para tabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda A requiere de 3 horas de corte y 2 de costura; cada prenda B, de 1 y 4 horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de 15 horas para el corte y de 20 horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de A son de 100 € y por cada una de B, 120 €. Se pide:

1. Plantea el problema de programación lineal para maximizar los ingresos de la sastrería.
2. Representa la región factible S.
3. Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
4. Calcula el número de prendas de cada tipo a confeccionar para que los ingresos sean máximos. Indica el valor de estos ingresos.

$x$ = número de prendas tipo A e $y$ = número de prendas tipo B.

Vamos con el apartado a):

REstricción del número de prendas: $x \leq 0$, $y \leq 0$

Restricción de horas de corte: $3x + y \leq 15$

Restricción del número de horas de costura: $2x + 4y \leq 20$ c y la función a optimizar es $f(x, y) = 100x + 120y $

b) y c) Veamos la región factible y las coordenadas de los vértices:

d) Los valores en los vértces:

$f(5, 0) = 100 \cdot 5 = 500 $

$f(0, 5) = 120 \cdot 5 = 600 $

$f(4, 3) = 100 \cdot 4 + 120 \cdot 3 = 400 + 360 = 760$€

Probabilidad y Estadística. PAU.

Enlace a la tabla de la Normal $N(0, 1)$ y la Calculadora de la Normal en GeoGebra:





Vamos con los ejercicios de la PAU:



PAU 2026 La Rioja junio Una fábrica de café envasa su producto en paquetes cuyo peso sigue una distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma$. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 paquetes, cuyo peso medio ha sido 500 gramos, y se ha calculado el siguiente intervalo de confianza al 91% para estimar $\mu: (496.6, 503.4)$. Se pide:

1. Calcula el valor de la desviación típica ( $\sigma$).
2. Con la misma muestra y la misma $\sigma$: si ahora se pretende que el error cometido en la estimación sea a lo sumo de 2,94 gramos, razona si el nivel de confianza ahora sería mayor o menor que 91%.

Para resolver el apartado a).

Tenemos que buscar el valor de $\alpha$ que tenga el intervalo de confianza del 93%. Así \[ 1 - \alpha = 0,91 \implies \alpha = 1 - 0,91 = 0,09 \] Ahora calculamos $z_{\frac{\alpha}{2}}$: \[ P(Z \leq z_{\frac{\alpha}{2}} ) = 1 - \mfrac{\alpha}{2} = 1 - \mfrac{0,09}{2} = 1 - 0,045 = 0,955 \] Luego \( z_{\alpha/2} = 1,69 \) y el error es $E = 3,4$ (la mitad de la amplitud del intervalo de confianza: \[ 3,4 = 1,69 \cdot \mfrac{\sigma}{\msqrt{100}} \implies \sigma = \mfrac{34}{1,69} \approx 20,12 g \]

Para el apartado b): Manteniendo la media, la desviación típica y el tamaño de la muestra y querer reducir el error, es lógico que el intervalo de confianza se reduzaca. Vamos a calcular el nuevo $\alpha$: \[ 2,94 = \mfrac{z_{\alpha/2} \cdot 20,12}{ 10 } \implies z_{\alpha/2} = \mfrac{29,4}{20,12} = 1,46 \] Si buscas el valor 1.46 en la tabla de la distribución normal tipificada (fila 1.4 y columna 0.06) o en la calculadora de GeoGebra, encontrarás la probabilidad acumulada de 0.9279. Como esa es la probabilidad de que \[ P(Z \leq z_{\frac{\alpha}{2}} ) = 1 - \mfrac{\alpha}{2} = 0,9279 \implies 2 - \alpha = 1,8558 \implies \alpha = 0,1442 \] Así el Nivel de confianza es \[ 1 − α = 1 − 0,1442 =0,8558 \implies 85.58 \% \] Luego el nivel de confianza ha bajado, al querer reducir el error manteniendo los mismos datos.



PAU 2026 La Rioja junio En un importante evento deportivo, se sabe que el 1% de los participantes consume algún tipo de sustancia prohibida. Para detectar si este consumo ha tenido lugar o no, se puede hacer una determinada prueba. Dicha prueba detecta falsos positivos en un 2%, y falsos negativos, en un 6%. El día del evento, se elige un deportista al azar y se le hace la prueba, se pide:

1. Calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida y la prueba haya dado positiva.
2. Si el deportista ha dado positivo en la prueba, calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida.

Sea $A = $ El suceso tomar una sustancia prohibida. \( A^c = A'= \overline{A} = \) No tomar la sustancia prohibida.
Sea $B = $ El suceso dar positivo. \( B^c = B' = \overline{B} = \) dar negativo.

$a)$ Hay que recorrer el árbol según $A$ y después la rama del $B$.

Se multiplican las probabilidades: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \mfrac{1}{100} \cdot \mfrac{94}{100} = \mfrac{94}{10.000} = \mfrac{47}{5.000} \] \[ \mfrac{47}{ 5.000 } \approx 0,0094 (\text{ es decir, aproximadamente un } 0,94\% \text{ de probabilidad). } \] $b)$ Tenemos que aplicar el Teorema de la Probabilidad Total. \[ P(A | B) = \mfrac{ P(A \cap B) }{P(B)} = \mfrac{ P(A \cap B) }{ P(A \cap B) + P( \overline{A} \cap B) } = \mfrac{ \mfrac{94}{10.000} }{ \mfrac{94}{10.000} + \mfrac{198}{10.000} } = \mfrac{94}{ 94 + 198 } = \mfrac{94}{ 292 } = \mfrac{47}{ 146 } \] \[ \mfrac{47}{ 146 } \approx 0,3219 (\text{ es decir, aproximadamente un } 32,19\% \text{ de probabilidad). } \]



PAU 2026 La Rioja julio En una prueba de diagnóstigo médico se hace la medición de cierto índice que sigue una distribución normal. Los índices tipificados de dos individuos fueron 0.6 y -0.8 y sus índices reales son 109 y 88, respectivamente. Calcula:

1. la media y desviación típica del índice analizado.
2. entre que valores simétricos respecto a la media está el índice del 80% de los individuos de dicho estudio.

Vamos con el apartado a). Como la variable esta tipificada tenemos: \[ \begin{cases} 109 - \mu = 0,6 \cdot \sigma \cr \cr 88 - \mu = -0,8 \cdot \sigma \end{cases} \] Restamos la ecuaciones y nos queda: \[ 109 - 88 = 1,4 \cdot \sigma \implies \sigma = \mfrac{21}{1,4} = \mfrac{3}{0,2} = 15 \] Despejamos ahora $\mu$: \[ 109 - \mu = 0,6 \cdot 15 \implies \mu = 109 - 9 = 100 \]



Ahora el apartado b):

Para poder usar la tabla estándar, necesitamos saber qué valor de $z$ (positivo) deja acumulado a su izquierda todo el centro más la cola de atrás. Es decir: $$\text{Área a la izquierda de } z = \text{Centro} + \text{Cola izquierda} = 0.80 + 0.10 = 0.90$$ Buscamos en el interior de la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor más cercano a $0.9000$, el más exacto es $z_{\alpha} = 1,28$

Ahora que sabemos que nuestros límites están a $1,28$ desviaciones típicas de la media, usamos tus datos del apartado a ($\mu = 100$ y $\sigma = 15$) para calcular los índices reales ($x$). Despejamos la $x$ de la fórmula: \[ x = \mu + z \cdot \sigma \] Límite inferior ($x_1$): Usamos el $z_{\alpha} = 1,28$: $$x_1 = 100 + (-1,28) \cdot 15 = 100 - 19,2 = \mathbf{80,8}$$ Límite superior ($x_2$): Usamos el $z$ positivo. $$x_2 = 100 + (1,28) \cdot 15 = 100 + 19,2 = \mathbf{119,2}$$ El índice del 80% de los individuos de dicho estudio está comprendido entre 80,8 y 119,2.



PAU 2026 La Rioja julio CCSSII Según los resultados obtenidos en una investigación relativa al ocio digital juvenil, se observa que el 80% de los alumnos de cierta universidad esta suscrito a una plataforma musical, el 60% lo está a una de video y, además, el 90% tiene al menos una de las dos suscripciones. Se elige un alumno al azar, se pide:

1. Calcula la probabilidad de que esté suscrito a ambos tipos de plataformas.
2. Si está suscrito a una plataforma de video, calcula la probabilidad de que no lo esté a una de música.

a) Lo primero es definir los sucesos:

$M = $ suscrito a una plataform musical y $V = $ suscrito a una plataforma de vídeo

$P(M) = \mfrac{4}{5}; P(V) = \mfrac{3}{5}; P(M \cup V) = \mfrac{9}{10}$ Nos piden $P( M \cap V)$: \[ P( M \cap V) = P(M) + P(V) - P(M \cup V) = \mfrac{8}{10} + \mfrac{6}{10} - \mfrac{9}{10} = \mfrac{5}{10} = \mfrac{1}{2} = 0,5 = 50\% \]

b) La probabilidad de que pase un suceso y la probabilidad de que no pase (su complementario), condicionada al mismo suceso, suman 1: $$P(M|V) + P(\overline{M}|V) = 1$$ En el apartado anterior ya calculamos, podemos calcular primero la condicionada normal $P(M/V)$: $$P(M/V) = \mfrac{P(M \cap V)}{P(V)} = \mfrac{0,50}{0,60} = \mfrac{5}{6}$$ Ahora, despejamos la del complemmentario: $$P(\overline{M}|V) = 1 - P(M|V) = 1 - \mfrac{5}{6} = \mathbf{\mfrac{1}{6}} \approx 0,1667 \ (16,67\%)$$



PAU 2026 La Rioja julio CCSSII El peso de cierto tipo de quesos producidos en una quesería sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 60 gramos.

1. Se toma una muestra aleatoria de 36 quesos obteniéndose una media muestral de 980 gramos. Calcula un intervalo de confianza al 97% para estimar $\mu$.
2. Determina cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que al estimar $\mu$, con el mismo nivel de confianza, el error cometido sea, a lo sumo, de 10 gramos.

a) Para un nivel de confianza del 97%: $$1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03 \implies \mfrac{\alpha}{2} = 0,015$$ Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor cuya probabilidad acumulada sea: $$1 - \mfrac{\alpha}{2} = 1 - 0,015 = 0,9850$$ Buscando en la tabla $N(0,1)$ el valor exacto para $0,9850$, encontramos que corresponde a: $\mathbf{z_{\alpha/2} = 2,17}$

La fórmula del error es :$E = z_{\alpha/2} \cdot \mfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Sustituyendo: $$E = 2,17 \cdot \mfrac{60}{\sqrt{36}} = 2,17 \cdot \mfrac{60}{6} = 2,17 \cdot 10 = \mathbf{21,7\text{ g}}$$ Luego el intervalo de confianza al 97% será: \[ IC = (\bar{x} - E, \ \bar{x} + E) = (980 - 21,7, 980 + 21,7) = (\mathbf{958,3}, \mathbf{1001,7} ) \]

b) Ahora queremos que con los mismos datos el error sea $E \leq 10 $: \[ E \leq 10 \implies Z_{\alpha/2} \cdot \mfrac{\sigma}{\msqrt{n}} \leq 10 \implies 2,17 \cdot \mfrac{ 60 }{ \msqrt{n}} \leq 10 \implies \] \[ implies 2,10 \cdot 6 \leq \msqrt{n} \implies n \geq (2,17 \cdot 6)^2 \implies n \geq 169,52 \implies \mathbf{n \geq 170} \text{ quesos} \]

Integral definida. Propiedades. Ejercicios.

Si $\alpha$ están en el dominio de la función $f(x)$ entonces: \[ \mintd{\alpha}{\alpha}{ f(x) }{dx} = 0 \] Si $f(x)$ es integrable en $[a, b]$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = - \mintd{ b }{ a }{ f(x) }{dx} \] Si $f(x)$ es integrable en $[a, b]$ y $\beta \in \R$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ \beta \cdot f(x) }{dx} = \beta \cdot \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} \] Si $f(x)$ es constante, $f(x) = c$, es integrable en $[a, b]$ y $ c \in \R$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ c }{dx} = c \cdot \mintd{ a }{ b }{ }{dx} = c \cdot \Bigg [ x \Bigg ]^b_a = c \cdot (b - a) \] Si $f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x)$ son integrables en $[a, b]$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ (f_1(x) \pm f_2(x) \pm \ldots \pm f_n(x)) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ f_1(x) }{dx} \pm \mintd{ a }{ b }{ f_2(x) }{dx} \pm \ldots \mintd{ a }{ b }{ f_n(x) }{dx} \] Si $f(x)$ es integrable en un intervalo cerrado $[a, b]$ que contiene a tres valores $c,\ d\ \text{ y } \ e$ de forma que $c \leq d \leq e$ entonces: \[ \mintd{ c }{ e }{ f(x) }{dx} = \mintd{ c }{ d }{ f(x) }{dx} + \mintd{ d }{ e }{ f(x) }{dx} \] La variable de integración en una integral definida no afecta en el resultado final, por eso se le llama variable muda. Esto significa que puedes cambiar el nombre de la variable de integración sin alterar el valor de la integral, siempre que seas coherente dentro de la expresión. \[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ f(t) }{dt} \] Integral de funciones simétricas:

\( \bullet \) Si $f(x)$ es par, es decir, $f(-x) = f(x)$, entonces \( \mintd{-a}{a}{f(x)}{dx} = 2 \cdot \mintd{0}{a}{f(x)}{dx} \)

\( \bullet \) Si $f(x)$ es impar, es decir, $f(-x) = -f(x)$, entonces \( \mintd{-a}{a}{f(x)}{dx} = 0 \)

Propiedades de comparación:

1. Si $f(x) \geq 0$ en $a \leq x \leq b$, entonces \( \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \geq 0 \)



2. Si $f(x) \geq g(x) $ en $a \leq x \leq b$, entonces \( \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \geq \mintd{a}{b}{g(x)}{dx} \)



3. Si $m \leq f(x) \leq M$ en $a \leq x \leq b$, entonces \( m \cdot (b - a) \leq \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \leq M \cdot (b - a) \)

La fórmula de cuadratura de Cavalieri: \[ \mintd{0}{a}{x^n}{dx} = \mfrac{1}{n + 1} \cdot a^{n+1} \qquad , n \geq 0 \] Integral indefinida es: \[ \mint{x^n}{dx} = \mfrac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1} + C, \qquad n \neq 1 \] \( \bullet \) Ejercicio 1:

\( \bullet \) Ejercicio 2:

\( \bullet \) Ejercicio 3:

Lo primero hay que dibujar la gráfica de $f(x) = |x - 4|$ en el intervalo $[0, 6]$, lo que es una traslación de 4 unidades a la derecha de la función $|x|$:

\[ \mintd{0}{6}{|x - 4|}{dx} = \mintd{0}{4}{|x - 4|}{dx} + \mintd{4}{6}{|x - 4|}{dx} = \mintd{0}{4}{4 - x}{dx} + \mintd{4}{6}{x - 4}{dx} = \] \[ = \left [ 4x - \mfrac{x^2}{2} \right ]_0^4 - \left [\mfrac{x^2}{2} - 4x \right ]_4^6 = 16 - 8 - (0 - 0) - (18 - 24) - (8 - 16) = 8 - 6 + 8 = \] \[ = 16 - 6 = 10 u^2 \]

Lo primero es ver los puntos de corte de cada función con el eje $X$, el eje de abscisas:

Para $y = \msqrt{4 - x}$ Si $y = 0 \implies 4 - x = 0 \implies x = 4$

Para $y = \msqrt{4 - 4x}$ Si $y = 0 \implies 4 - 4x = 0 \implies x = 1$

Luego el área total se calcula de la siguiente forma: \[ A_t = \mintd{ 0 }{ 4 }{ \msqrt{4 - x} }{dx} - \mintd{ 0 }{ 1 }{ \msqrt{4 - 4x} }{dx} (1) \]  Para calcular las integrales las ponemos como potencias, es decir, $y = (4 - x)^{1/2}$ e $y = (4 - 4x)^{1/2}$, es más fácil y directa:

Vamos con la $\odn{1}{a}$ integral: \[ \mintd{ 0 }{ 4 }{ \msqrt{4 - x} }{dx} = \mintd{ 0 }{ 4 }{ (4 - x)^{1/2} }{dx} = \mfrac{-2}{3} \cdot \mintd{ 0 }{ 4 }{ \mfrac{-3}{2} (4 - x)^{1/2} }{dx} = \] \[ = \mfrac{-2}{3} \cdot \Bigg [ (4 - x)^{3/2} \Bigg ]^{4}_{0} = \mfrac{-2}{3} \cdot \Bigg [ (4 - 4)^{3/2} - (4)^{3/2} \Bigg ] = \mfrac{2}{3} \cdot (4)^{3/2} = \mfrac{16}{3} u^2 \] Vamos con la $\odn{2}{a}$ integral: \[ \mintd{ 0 }{ 1 }{ \msqrt{4 - 4x} }{dx} = \mintd{ 0 }{ 1 }{ 2(1 - x)^{1/2} }{dx} = \mfrac{-4}{3} \cdot \mintd{ 0 }{ 1 }{ \mfrac{-3}{2} (1 - x)^{1/2} }{dx} = \] \[ = \mfrac{-4}{3} \cdot \Bigg [ (1 - x)^{3/2} \Bigg ]^{1}_{0} = \mfrac{-4}{3} \cdot \Bigg [ (1 - 1)^{3/2} - (1)^{3/2} \Bigg ] = \mfrac{4}{3} \cdot (1)^{3/2} = \mfrac{4}{3} u^2\] Juntamos ambas integrales en $(1)$: \[ A_t = \mfrac{16}{3} - \mfrac{4}{3} = \mfrac{12}{3} = 4u^2 \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Una de cónicas (Circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)

Cónicas

Las cónicas se pueden ver como la intersección de un plano que interseca con un cono doble, según el plano de inclinación la intersección produce circunferencias, elipse, parábolas e hiérbolas. Este es el enlace en GeoGebra.

Una cónica viene determinada por cinco puntos, siempre que tres de ellos no estén alineados.

Excentricidad

La excentricidad no es solo un número; mide la forma «estirada» o «achatada» de la curva.
La distancia entre los focos se llama distancia focal. El punto medio del segmento que une los focos es el centro de la cónica y la recta que pasa por los focos se llama eje focal. Si $c$ es la semidistancia focal y $a$ es el semiejemayor, entonces:

$$ \text{ Se define excentricidad } \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } $$ La excentricidad mide cuánto se «desvía» una sección cónica de ser un círculo perfecto. En una elipse, la excentricidad está entre 0 y 1 ($0 < e < 1$). Cuanto más cerca está de 0, más redondeada es; cuanto más cerca de 1, más «achatada». La circunferencia es el caso límite de la elipse donde los dos focos coinciden en un mismo punto (el centro). Al no haber distancia entre los focos, no hay «forma atachada» y la excentricidad es nula.

Forma Estándar de las Secciones Cónicas con Centro en el punto $(h, k)$

$$ \large { \begin{array}{lll} & \ \ \text { Eje Horizontal } \ \ & \qquad \ \ \text { Eje Vertical } \ \ \cr \cr \hline \cr \text { Circunferencia } & (x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2} & \cr \cr \text { Parábola } &(y - k)^{2} = 4p(x - h) & \qquad (x - h)^{2} = 4p(y - k) \cr \cr \text { Elipse } & \dfrac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \dfrac{(y - k)^{2}}{b^{2}}=1 &   \qquad \dfrac{(x - h)^{2}}{b^{2}} + \dfrac{(y - k)^{2}}{a^{2}}=1 \cr \cr \text { Hipérbola } & \dfrac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1 & \qquad \dfrac{(y - k)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(x - h)^{2}}{b^{2}} = 1 \cr \cr \hline \end{array} } $$

$$ \text{ La ecuación general de un cónica es: } \Large Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$ A partir de esta ecuación podemos saber el tipo de cónica.

¿Qué representa cada término?

• $Ax^2 + Bxy + Cy^2$ son los términos cuadráticos. El término $xy$ indica si la cónica está rotada respecto a los ejes.
• $Dx + Ey$ son los términos lineales que indican si la cónica está desplazada del origen.
• $F$ es el término independiente.

Cómo saber qué figura es.

Para identificar la cónica cuando no hay rotación ($B = 0$), nos fijamos en los coeficientes $A$ y $C$:

• Si $A = C \implies $ Circunferencia.
• Si $A = 0 \lor C = 0 \implies $ Parábola (solo una variable está al cuadrado).
• Si $A \neq C$, pero con el mismo signo $\implies $ Elipse.
• Si $A \neq C$, pero con signo opuesto $\implies $ Hipérbola.

Si la cónica está rotada $B \neq 0$, identificamos la figura usamos la fórmula $\Delta = B^2 - 4 \cdot A \cdot C$. Según el resultado, sabemos la cónica sin dibujarla:

• Si es $\Delta < 0$ es elipse o circunferencia.
• Si es $\Delta = 0$ es parábola.
• Si es $\Delta > 0$ es hipérbola.

Nota: Una circunferencia nunca está rotada, por eso siempre $B = 0$.

Si $A = B = C = 0$ tenemos una recta, es el caso de cónica degenerada. Las cónicas degeneradas pueden ser: un punto, una recta o un par de rectas secantes.

La circuferencia: 

Es el lugar geométrico de los puntos de plano que equidistan de otro punto llamado centro. 

Ecuación de la circunferencia: 

Punto de plano $P = (x, y)$, centro $C =(h, k)$ y la distancia constante $r$: 

$$ d(P, C) = r \Leftrightarrow \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} = r \iff (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$ 

La excentricidad en la circunferencia es cero. Los focos coinciden con el centro de la circunferencia. El semieje mayor (es el mismo que el semieje menor) y coinciden con el radio.

$$ \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } = \dfrac{\ 0 \ }{ r } = 0 $$

Ejemplos:

Ecuación de la circunferencia centrada en el origen de radio 5:

$$ x^2 + y^2 = 5^2 $$

Ecuación de la circunferencia centrada en el punto $C =(2, -4)$ y de radio 1:

$$ (x-2)^2 + (y + 4)^2 = 1^2 $$

Si desarrollamos la ecuación de un circunferencia de centro $(h, k)$ tenemos que:

$$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \Rightarrow x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yk + k^2 - r^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2hx - 2ky +h^2 + k^2 - r^2 = 0$$ Hacemos $m = -2h$, $ n = -2k$ y $ o = h^2 + k^2 - r^2$ tenemos: $$ x^2 + y^2 + mx + ny + o = 0, \text{ que es la ecuación general de una cónica con } A = C = 1, B = 0, D = m, E = n \text{ y } F = o $$

La elipse: 

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La distancia entre los focos se llama distancia focal. El punto medio del segmento que une los focos es el centro de la elipse y la recta que pasa por los focos se llama eje focal.

Si $c$ es la semidistancia focal y $a$ es el semiejemayor, entonces:

$$ \text{ Se define excentricidad } \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } $$ Observación: En una elipse la excentricidad está entre 0 y 1, $ \epsilon \ \in \ (0, 1)$

Nota: La circunferencia es una elipse de excentricidad cero. Como $ a = b \Rightarrow c = 0 \Rightarrow \epsilon = 0 $

$$ d(P, F) + d(P, F') = 2a$$ La distancia es dos veces el semieje mayor de longitud $a$ (en este caso situado en el eje $OX$ o eje de abscisas). El semieje menor de longitud $b$ situado en el eje $OY$ o eje de ordenadas.

En una elipse tenemos que $a^2 = b^2 + c^2$ y así la ecuación de una elipse nos queda:

Si suponemos que la elipse está centrada en el origen de coordenadas, el semieje mayor está en el eje $X$, las coordenadas de los focos son $F = (c, 0)$ y $F' = (-c, 0)$ respectivamente y las coordenadas del punto es $P(x, y)$ tenemos:

$$ d(P, F) + d(P, F') = 2a \Rightarrow \sqrt{(x - c)^2 + y^2 }+ \sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = 2a $$ Desarrollamos tenemos que: $$ \sqrt{(x - c)^2 + y^2 } = 2a - \sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } \Rightarrow $$ $$ (x - c)^2 + y^2 = 4a^2 + (x + c)^2 + y^2 - 4a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } \Rightarrow $$ $$ x^2 - 2xc + c^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 + 2xc + c^2 + y^2 - 4a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } \Rightarrow $$ $$ 4a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = 4a^2 + 4xc \Rightarrow $$ $$ \xcancel{4}a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = \xcancel{4}a^2 + \xcancel{4}xc \Rightarrow $$ $$ a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = a^2 + xc \Rightarrow $$ $$ a^2[ (x + c)^2 + y^2 ] = a^4 + 2a^2xc + x^2 c^2 \Rightarrow $$ $$ a^2(x^2 + 2xc + c^2 + y^2) = a^4 + 2a^2 xc + x^2 \Rightarrow $$ $$ a^2x^2 + 2a^2xc + a^2c^2 + a^2y^2 = a^4 + 2a^2 xc + x^2c^2 \Rightarrow $$ Simplificando tenemos que: $$ a^2x^2 + \xcancel{2a^2xc} + a^2c^2 + a^2y^2 = a^4 + \xcancel{2a^2xc} + x^2c^2 \Rightarrow x^2(a^2 - c^2) + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2) $$ $$b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 \Rightarrow \dfrac{\ \ x^2 \ \ }{a^2} + \dfrac{\ \ y^2 \ \ }{b^2} = 1 $$ Si la elipse no está situada en el origen de coordenadas, está en el punto $(h, k)$ entonces la ecuación de la elipse sería:

Sabiendo que los focos están en los puntos $F_1 = (h - c, k)$ y $F_2 = (h + c, k)$
$$ \dfrac{\ \ (x - h)^2 \ \ }{a^2} + \dfrac{\ \ (y - k)^2 \ \ }{b^2} = 1 \qquad (*) $$
Y si el eje mayor está en la vertical, es decir, en el eje de ordenadas, la ecuación sería: $$ \dfrac{\ \ (x - h)^2 \ \ }{b^2} + \dfrac{\ \ (y - k)^2 \ \ }{a^2} = 1 $$
Desarrollando la ecuación (*) tenemos que: $$ a^2(x^2 - 2xh + h^2) + b^2(y^2 - 2yk + k^2) = a^2b^2 \Rightarrow $$ $$a^2x^2 + b^2y^2 + x(-2a^2h) + y(-2b^2k) + a^2h^2 - a^2b^2 + b^2k^2 = 0 $$ Hacemos $p = a^2, q = b^2, B = 0, r = -2a^2h, s = -2b^2k$ y $ t = a^2h^2 - a^2b^2 + b^2k^2$ tenemos: $$px^2 + qy^2 + rx + sy + t = 0$$

La hipérbola:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. Siendo esta constante menor a la distancia entre los focos, distancia focal.

\[ |d(P,F_1) - d(P,F_2)| = 2a \] $$\msqrt{(x+c)^2 + y^2} - \msqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a $$ Paso 1: Aislar una raíz y elevar al cuadrado $$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado: $$(x+c)^2 + y^2 = (2a)^2 + 2(2a)\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \left(\sqrt{(x-c)^2 + y^2}\right)^2$$ $$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + (x-c)^2 + y^2$$ Paso 2: Simplificar términos. Expandimos los binomios $(x+c)^2$ y $(x-c)^2$, y cancelamos $y^2$: $$x^2 + 2xc + c^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + x^2 - 2xc + c^2$$ Cancelamos $x^2$ y $c^2$ de ambos lados y agrupamos los términos con $xc$: $$4xc - 4a^2 = 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$ Dividimos todo entre 4 para simplificar: $$xc - a^2 = a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$ Paso 3: Elevar al cuadrado por segunda vezElevamos nuevamente para eliminar la raíz restante: $$(xc - a^2)^2 = a^2 \left[ (x-c)^2 + y^2 \right]$$ $$x^2c^2 - 2xca^2 + a^4 = a^2 (x^2 - 2xc + c^2 + y^2)$$ $$x^2c^2 - 2xca^2 + a^4 = a^2x^2 - 2xca^2 + a^2c^2 + a^2y^2$$ Cancelamos el término $-2xca^2$ en ambos lados: $$x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$$ Paso 4: Agrupar variables y usar la sustitución $c^2 = a^2 + b^2$ Pasamos los términos con $x$ e $y$ a un lado y las constantes al otro: $$x^2c^2 - a^2x^2 - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4$$$$x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)$$ Aquí aplicamos el hecho que mencionas: si $c^2 = a^2 + b^2$, entonces $b^2 = c^2 - a^2$. Sustituimos: $$x^2(b^2) - a^2y^2 = a^2b^2$$ Paso 5: Resultado final Dividimos toda la ecuación por $a^2b^2$: $$\mfrac{x^2b^2}{a^2b^2} - \mfrac{a^2y^2}{a^2b^2} = \mfrac{a^2b^2}{a^2b^2}$$ Es la ecuación estándar de la hipérbola. $$\mfrac{x^2}{a^2} - \mfrac{y^2}{b^2} = 1$$
La excentricidad de una hipérbola. La distancia entre los vértices ($2a$) debe ser menor que la distancia focal ($2c$). En lenguaje matemático, esto se expresa como:$$a < c \implies \epsilon = \mfrac{c}{a} > 1 $$ La ecuación normal (o canónica) de la hipérbola centrada en el punto $(h, k)$;

• Horizontal (que abre hacia la izquierda y hacia la derecha) es: \[ \dfrac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1 \]
  Centro $ = (h, k)$
  Vértices: $(\pm a, 0)$
  Focos: $(\pm c, 0)$
  $c^2 = a^2 + b^2$, donde $c$ es la distancia del origen al foco.
  Asíntotas $y = \pm \mfrac{b}{a}x$
  
• Vertical (abre hacia arriba y hacia abajo) es: \[ \dfrac{(y - k)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(x - h)^{2}}{b^{2}} = 1 \] Centro $ = (h, k)$
  Vértices: $(0, \pm a)$
  Focos: $(0, \pm 0)$
  $c^2 = a^2 + b^2$, donde $c$ es la distancia del origen al foco.
  Asíntotas $y = \pm \mfrac{a}{b}x$
  

La parábola:

En esta entrada del blog ya se ha trabajado la parábola como la representación gráfica de una función polinómica de grado 2º en 3º y 4º de la ESO.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un recta fija llamada directriz ($d$) y de un punto interior $F$ a la parábola llamado foco. El foco $F$ no pertenece a la directriz. La directriz no interseca a la parábola.

\[ d(P, F) = d(P, d) \] La parábola centrada en el origen, los datos del foco y de la directriz son: \(F = (0, p) y d \equiv y = - p \) \[ \msqrt{x^2 + (y - p)^2} = | y + p | \] Elevamos al cuadrado: \[ x^2 + (y - p)^2 = ( y + p )^2 \] \[ x^2 + y^2 - 2yp + p^2 = y^2 + 2yp + p^2 \] Se cancelan los $y^2$ y los $p^2$: \[ x^2 - 2yp = 2yp \implies 4yp = x^2 \] A $4p$ se le denomina lado recto de la parábola. Si $p$ es muy grande, la parábola se estrecha y si p es muy pequeño la parábola es más amplia.

Distancia focal ($p$): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales). Entonces: \[ \epsilon = \mfrac{c}{a} = \mfrac{p}{p} = 1 \]

Si la parábola está centrada en el origen, el eje focal es paralelo al eje Y o eje de ordenadas y la directriz es paralela al eje X o eje de abscisas, entonces la ecuación es de la forma:
La ecuación ordinario, normal o canónica de una parábola:

• Vertical (que abre hacia arriba o hacia abajo) es: \[ 4p(y - k) = (x - h)^{2} \]
  $p$ es la distancia focal. Si $p > 0$ se abre hacia arriba, si $p < 0$ se abre hacia abajo.
  Vértice $(h, k)$
  Foco: $(h, k + p)$
  La directriz es $y = k - p$
  
• Horizontal (abre hacia la izquierda o hacia la derecha) es: \[ (y - k)^{2} = 4p(x - h) \] $p$ es la distancia focal. Si $p > 0$ se abre hacia la derecha, si $p < 0$ se abre hacia la izquierda.
  Vértice $(h, k)$
  Foco: $(h + p, k)$
  La directriz es $x = h - p$
  

Ejemplos: $$ x^2 = 4py $$ Si $p = \dfrac{1}{4} $ tenemos la parábola $y = x^2$

Ejercicios resueltos

Este ejercicio lo hacemos completando cuadrados a $x$ e $y$: \[ x^2 + y^2 - 4x - 6y = 12 \implies x^2 -4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 12 + 4 + 9 \implies (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 \] Es decir, la circunferencia centrada en el punto $(2, 3)$ y de radio 5.

La ecuación de la parábola viene dada por el vértice $(0, 0)$ y $x^2 = 4py$:

El lado recto es $4p$ y vale 8, luego la acuación de la parábola es: $8y = x^2 \implies y = \mfrac{x^2}{8}$

Vértice: $(0, 4)$ y los puntos en el suelo: $(2.5, 0)$ y $(-2.5, 0)$

La ecuación de la parábola viene dada por el vértice $(h, k)$ y $(x - h)^2 = 4p(y - k)$:

$$x^2 = 4p(y - 4)$$ Con el punto $(2.5, 0)$ vamos a calular el lado recto:

\[ (2,5)^2 = 4p(0 - 4) \implies 6,25 = -16p \implies 4p = \mfrac{6,25}{-4} = -1,5625 \] Ya tenemos la ecuación de la parábola: $$x^2 = -1,5625(y - 4)$$ Para calcular la altura, centramos el coche de 3 metros, dejando 1,5 metros a cada lado del centro del tunel y despejamos $y$: $$(1,5)^2 = -1,5625(y - 4) \implies 2,25 = -1,5625y + 6,25 \implies -4 = - 1,5625p \implies p = \mfrac{4}{1,5625} = 2,56 \text{m} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Resolver triángulos

Datos del triángulo

Ángulo $\hat{A}$

Lado $a$

Ángulo $\hat{B}$

Lado $b$

Ángulo $\hat{C}$

Lado $c$