Ecuaciones irracionales (con la incógnita en el radicando) y ejemplos.

  Una ecuación irracional es una ecuación donde la incógnita se encuentra en el radicando. Veamos algunos ejemplos: 

1. $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $
2. $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $ 
3. $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Vamos a verlo, pero antes tenemos que tener en cuenta una serie de cosas. 

En Matemáticas las raíces cuadradas las intentamos eliminar de dos formas:

• Racionalizando; 
• Elevando al cuadrado.

Para resolver este tipo de ecuaciones elegiremos la $2^{\underline{a}}$ opción, es decir, elevaremos al cuadrado. Pero al usar esta opción, tenemos un pequeño inconveniente, estamos añadiendo soluciones. Veamos esto con un ejemplo muy sencillo: 

Tenemos la ecuación $x = 3$, si elevamos al cuadrado, es decir, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad tenemos que  $x^2 = 9$ y las soluciones de esta ecuación son $x = 3$ que ya la sabíamos y $x = -3$ que no es solución, que ha aparecido por elevar al cuadrado. ¿Cuándo nos daremos cuenta de esto? Cuando comprobemos las soluciones de la ecuación original que estamos resolviendo. Así que siempre tenemos que comprobar las ecuaciones y siempre en la ecuación original, la que tenemos que resolver. 

Otra cosa a tener en cuenta, es que al elevar al cuadrado puede que tengamos una suma o una resta, es decir, tenemos que desarrollar el cuadrado de una suma o de una resta, cuidado, no dejarnos el doble producto, suele ser uno de los errores más comunes en este tipo de ejercicios: 

• $(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 
• $(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 

También tenemos que tener en cuenta las propiedades de las potencias en general y sobre todo una en particular: 

$$ (c \cdot d)^n = c^n \cdot d^n $$ 

Es decir, la potencia de un producto de varios factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores.

También conviene recordar como poner una raíz en forma de exponente fraccionario y recordar la siguiente propiedad: $$(a \cdot b)^{ \frac{\ 1\ }{2} } = \sqrt{\ a \cdot b \ } = \sqrt{\ a \ } \cdot \sqrt{\ b \ } = a^{ \frac{\ 1\ }{2} } \cdot b^{ \frac{\ 1\ }{2} } $$
$$(a \cdot b)^{ \frac{\ 1\ }{3} } = \sqrt[3]{\ a \cdot b \ } = \sqrt[3]{\ a \ } \cdot \sqrt[3]{\ b \ } = a^{ \frac{\ 1\ }{3} } \cdot b^{ \frac{\ 1\ }{3} } $$

Repasadas algunas cosas vamos a resolver este tipo de ecuaciones. 

$\bullet$ Veamos el $1^{\underline{er}}$ ejemplo: $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $ 

Podemos reordenarla de forma que dejamos la raíz  «aislada»  (solamente la raíz) en lado de la igualdad: 

$$2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x \Rightarrow 2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} $$

Y ahora con la raíz aislada en una lado de la ecuación elevamos al cuadrado: 

$$2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} \Rightarrow (2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 $$

Desarrollamos los cuadrados en ambos lados de la igualdad: 

$$(2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 \Rightarrow 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 9x$$ 

Agrupando y pasándolo todo a un lado de la igualdad tenemos:

$$4 + 4x + x^2 - 9x = 0 \Rightarrow x^2 -5x + 4 = 0 $$

Como la suma de los coeficientes es cero 1 es raíz; la otra raíz la sacamos ya que el producto de las dos raíces es 4 y una de ellas es 1, la otra es 4. Vamos a comprobar las raíces en la ecuación inicial: 

• $x = 1 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 2 - 3 = -1 \checkmark $ 
• $x = 4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{4} = -4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot 2 = -4 \Rightarrow 2 -6 = -4 \checkmark $ 

En este caso las dos soluciones son raíces de la ecuación inicial. 

$\bullet$ Veamos con el $2^{\underline{o}}$ ejemplo, la ecuación $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $. En este caso no se puede aislar una raíz en cada uno de los lados de la ecuación. El consejo en este caso es tener una raíz en cada uno de los lados de la ecuación: 

$$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 1 + \sqrt{x - 1} $$

y con una raíz en cada lado elevamos al cuadrado: 

$$ \left ( \sqrt{x + 1} \right )^2 = \left (1 + \sqrt{x - 1} \right)^2 $$

Desarrollamos cada uno de los cuadrados y tenemos: 

$$ x + 1 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1  $$ 

Agrupamos, simplificamos y dejamos la raíz asilada en lado de la ecuación como en el primer ejemplo: 

$$ x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow  1 =  2 \cdot \sqrt{x - 1} $$ 

Ahora estamos igual que en el primer ejercicio, volvemos a elevar al cuadrado y: 

$$ 1 = 2 \cdot \sqrt{x - 1} \Rightarrow 1 = 4 \cdot (x - 1) \Rightarrow 1 + 4 = 4x \Rightarrow x = \dfrac{5}{4} $$

Comprobemos la solución: 

$$ x = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{5}{4} + 1} - \sqrt{\dfrac{5}{4} - 1} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} - \sqrt{\dfrac{1}{4} } = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \checkmark $$ 

$\bullet$ Vamos con el $3^{\underline{er}}$ ejemplo: $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

Estamos en el mismo caso que en el anterior ejemplo, no podemos aislar una raíz en cada uno de los dos lados de la ecuación. Así que elevaremos al cuadrado y reordenaremos: 

$$\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)} \Rightarrow x + 3 + x - 1 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2 \cdot (x + 1) $$

Agrupando tenemos: 

$$ 2x + 2 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2x + 2  \Rightarrow - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 \Rightarrow \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 $$ 

$$ \sqrt{ (x - 1) \cdot (x + 3)} = 0  \Rightarrow (x - 1) \cdot (x + 3) = 0 $$

Claramente los candidatos a soluciones son $x = 1$ y $x = -3$. Vamos a comprobarlos: 

$x = -3 \Rightarrow \sqrt{- 3 + 3} - \sqrt{-3 - 1} = \sqrt{2 \cdot (-3 + 1)} \Rightarrow \sqrt{0} - \sqrt{-4} = \sqrt{-4} $ ✗ no tiene sentido hablar de raíces negativas $x= -3$ no es solución.

$x = 1 \Rightarrow \sqrt{1 + 3} - \sqrt{1 - 1} = \sqrt{2 \cdot (1 + 1)} \Rightarrow \sqrt{4} - \sqrt{0} = \sqrt{4} \Rightarrow 2 = 2 \checkmark  x = 1$ es solución.

Veamos unos ejercicios resueltos:

Este ejercicio tiene solamente una raíz cuadrada, así que la podemos aislar fácilmente:

$ \sqrt{3x - 3} = 4x - 13 $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ 3x - 3 = (4x - 13)^2 \Rightarrow 3x - 3 = 16x^2 - 104x + 169 \Rightarrow 16x^2 - 107x + 172 = 0 $


Resolvemos la ecuación de $2^{\underline{o}}$ grado y tenemos que:

$$ x = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{107^{2} - 4 \cdot 172 \cdot 16} }{2 \cdot 16} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{11.449 - 11.008} }{32} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{441} }{32} = \dfrac{ 107 \pm 21 }{32} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 128 }{ 32 } = 4 \Rightarrow x_1 = 4 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 86 }{ 32 } = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 4 \Rightarrow \sqrt{3 \cdot 4 - 3} = 4 \cdot 4 - 13 \Rightarrow \sqrt{9} = 16 - 13 \Rightarrow 3 = 16 - 14 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow \sqrt{3 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 3} = 4 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 13 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 129 - 48 }{ 16 } } = \dfrac{ 43 - 52 }{ 4 } \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 81 }{ 16 } } = \dfrac{ -9 }{ 4 } \Rightarrow \dfrac{ 9 }{ 4} = \dfrac{ -9 }{ 4 } $ ✗ que no es solución.

Este ejercicio tiene dos raíces, aislar una de ellas es fácil, la otra la pasamos al otro lado de la ecuación

$ \sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{2x + 3} = 2 + \sqrt{x - 2} $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ \left ( \sqrt{2x + 3} \right ) = \left ( 2 + \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow 2x + 3 = 4 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} + x - 2 \Rightarrow 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} $


Agrupamos y dejamos la raíz aislada en un lado de la ecuación

$ 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} \Rightarrow x + 1 = 4 \cdot \sqrt{x - 2} $

Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$ (x + 1)^2 = \left (4 \cdot \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16 \cdot (x - 2) \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16x - 32 \Rightarrow x^2 - 14x + 33 = 0 $

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 33} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{196 - 132} }{2} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{64} }{2} = \dfrac{ 14 \pm 8 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 22 }{ 2 } = 11 \Rightarrow x_1 = 11 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 6 }{ 2 } = 3 \Rightarrow x_2 = 3 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 11 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 11 + 3} - \sqrt{11 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{25} -\sqrt{9} = 2 \Rightarrow 5 - 3 = 2 \checkmark $

$x_2 = 3 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 3 + 3} - \sqrt{3 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{ 9 } - \sqrt{1} = 2 \Rightarrow 3 - 1 = 2 \checkmark $

En este caso las dos soluciones cumplen la ecuación.

Pasamos una raíz al otro lado de la igualdad, da igual la que pasemos pero es mejor pasar la que está restando:

$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7} = 2\sqrt{x - 3} $$ Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad y desarrollamos:

$$(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7})^2 = (2\sqrt{x - 3})^2 \Rightarrow x - 1 + x - 7 + 2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 4(x - 3) $$

Reordenando y simplificando tenemos:

$$2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 2(x - 2) \Rightarrow \sqrt{(x - 1)(x - 7)} = (x - 2) $$

Volvemos a elevar al cuadrado por segunda vez, desarrollamos y agrupamos

$$\left ( \sqrt{(x - 1)(x - 7)} \right )^2 = (x - 2)^2 \Rightarrow x^2 - 8x + 7 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow - 4x = - 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{4}$$

Comprobamos la solución en la ecuación inicial:

$x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{4} - 1} + \sqrt{\dfrac{3}{4} - 7} - 2\sqrt{\dfrac{3}{4} - 3} = 0 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{-1}{4} } + \sqrt{ \dfrac{-25}{4} } - 2\sqrt{ \dfrac{-9}{4} } = 0 $ ✗

Todas las raíces son negativas por lo tanto, no tiene soluciones reales.

Aislamos la raíz en un lado de la ecuación, elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \sqrt{x} = 30 - x \Rightarrow x = (30 - x)^2 \rightarrow x = 900 - 60x + x^2 \Rightarrow x^2 - 61x + 900 = 0 $$ Ahora resolvemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado

$$ x = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 900} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{3721 - 3600} }{2} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{121} }{2} = \dfrac{ 61 \pm 11 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 72 }{ 2 } = 36 \Rightarrow x_1 = 36 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 50 }{ 2 } = 25 \Rightarrow x_2 = 25 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x = 36 \Rightarrow \sqrt{36} = 30 - 36 \Rightarrow 6 = 30 - 36 \Rightarrow 6 = -6 $ ✗ luego no es solución

$x = 25 \Rightarrow \sqrt{25} = 30 - 25 \Rightarrow 5 = 30 - 25 \checkmark $ luego sí es solución

Tenemos dos raíces, dejamos una en cada lado, vamos como están, elevamos al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ \sqrt{x} + 1 = \sqrt{x + 9} \Rightarrow \left ( \sqrt{x} + 1 \right )^2 = \left (\sqrt{x + 9} \right)^2 \Rightarrow x + 2 \cdot \sqrt{x} + 1 = x + 9 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{x} = 8 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 $$ Volvemos a elevar al cuadrado y ya lo tenemos

$ x = 16 $, vamos a comprobarlo $ \sqrt{16} + 1 = \sqrt{16 + 9} \Rightarrow 4 + 1 = \sqrt{25} \Rightarrow 4 + 1 = 5 \checkmark $ es solución.

Tal y como está elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \left( 2 \cdot \sqrt{2x - 1} \right )^2 = \left ( \sqrt{6x - 5} + \sqrt{2x - 9} \right )^2 \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 6x - 5 + 2x - 9 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 8x - 14 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 2 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4x - 2 = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 5 = \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} $$ Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ 25 = (6x - 5) \cdot (2x - 9) \Rightarrow 25 = 12x^2 - 54x - 10x + 45 \Rightarrow 12x^2 - 64x + 20 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 16x + 5 = 0 $$ Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5} }{2 \cdot 3} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{256 - 60} }{6} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{196} }{6} = \dfrac{ 16 \pm 14 }{6} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 30 }{ 6 } = 5 \Rightarrow x_1 = 5 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 6 } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 5 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{6 \cdot 5 - 5} + \sqrt{2 \cdot 5 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{10 - 1} = \sqrt{30 - 5} + \sqrt{10 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{9} = \sqrt{25} + \sqrt{1} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 2 \cdot 3 = 5 + 1 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot \dfrac{ 1 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ 2 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ -1 }{ 3 } } $ ✗ que no tiene sentido. Luego no es solución.

Tal y como está hacemos el producto en cruz:

$$ 2 \cdot \sqrt{\ x\ } \cdot 2 \cdot \sqrt{\ x\ } = \left ( 5 + \sqrt{\ x\ }\right ) \cdot \left ( 5 - \sqrt{\ x\ } \right ) \Leftrightarrow 4 x = 25 - x \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5 $$
Vamos a comprobar la solución $x = 5$, siempre en la ecuación inicial:

$$ \dfrac{\ 2 \cdot \sqrt{\ 5\ } }{\ 5 - \sqrt{\ 5\ }\ } = \dfrac{\ 5 + \sqrt{\ 5\ }\ }{ 2\sqrt{\ 5\ } } \Leftrightarrow 4 \cdot 5 = 25 - 5 \Leftrightarrow 20 = 20 \checkmark $$

Veamos otro tipo de ejercicios pero también con radicales:

Elevemos al cuadrado los dos lados de la ecuación, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (1 - x \right )^2 = \left ( \sqrt{1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} } \right )^2 \Rightarrow 1 - 2x + x^2 = 1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \Rightarrow - 2x + x^2 = - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} $$

Nos queda una raíz y por tanto volvemos a elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (- 2x + x^2 \right )^2 = \left (- x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \right )^2 \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = x^2 \cdot (4 - 7x^2) \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = 4x^2 - 7x^4 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 8x^4 - 4x^3 = 0 \Rightarrow 4x^4 \cdot (2x - 1) = 0 $$

Las soluciones de la ecuación son $x = 0$ y $x = \dfrac{1}{2}$. Vamos a comprobarlo

$x = 0 \Rightarrow 1 - 0 = \sqrt{1 - 0 \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot 0^2} } \Rightarrow 1 = 1 \checkmark $

$x = \dfrac{1}{2} $

Por un lado tenemos que $ 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} $;

Por otro lado $ \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right ) ^2} } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - \dfrac{7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{16 - 7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{9}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} } = $

$ = \sqrt{1 - \dfrac{3}{4} } = \sqrt{ \dfrac{1}{4} } = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \checkmark $

Las dos soluciones de la ecuación transformada son solución de la ecuación original.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Intervalos: finitos e infinitos. Entorno de centro c y radio r. Distancias.

Intervalos

Definición: Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: $a$ y $b$ que se llaman extremos del intervalo, $a$ es el extremo inferior y $b$ es el extremo superior ($a \leq b$). La representación de un intervalo finito en la recta numérica es un segmento (trozo de recta limitado por dos puntos).

La idea principal que debemos asociar al concepto de intervalo es la de un conjunto de números.

Definición: Se llama amplitud o longitud del intervalo a la diferencia del extremo superior y el extremo inferior:

 $$ \text{ amplitud del intervalo, longitud del intervalo} = d(a, b) = b - a $$.

Si los extremos del intervalo abierto coinciden, el intervalo representa al conjunto vacío: $(a, a) = \emptyset $


Si los extremos del intervalo cerrado coinciden, el intervalo representa al punto $a$: $[a, a] = \{ a \} $


Siempre $ a \leq b$. No tiene sentido hablar del intervalo $[5, -3]$ ya que no existen números que sean mayores que 5 y a la vez menores que -3.

Intervalos finitos: son los intervalos de amplitud finita.

Intervalo abierto ($a$, $b$), es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$ y menores que $b$.

$$(a, b) = ]a, b[ = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x < b \}$$

Intervalo cerrado [$a$, $b$], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$ y menores o iguales que $b$.

$$[a, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \le x \le b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{ a, b \} $$

Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha, ($a$, $b$], es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$ y menores o iguales que $b$.

$$(a, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x \leq b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{ b \} $$

Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda, [$a$, $b$), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$ y menores que $b$.

$$[a, b) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \leq x < b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{a\} $$

En este applet de GeoGebra podemos manejar los intervalos y los entornos:


Ejemplos:  

$ [1,7] \Rightarrow \text{ Amplitud de } [1,7] = 7 - 1 = 6 $


$ (-2, 5) \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-2, 5) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 $


$ [3, 10) \Rightarrow \text{ Amplitud de } [3, 10) = 10 - 3 = 7 $


$ (-12, 10] \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-12, 10] = 10 - (-12) = 10 + 12 = 22 $


$ (-22, -13) \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-22, -13) = -13 - (-22) = -13 + 22 = 9 $

Intervalos infinitos: son los intervalos de amplitud infinita.

Los extremos del intervalo también pueden ser infinito, en este caso, la representación de estos conjuntos en la recta numérica serían semirrectas.

Intervalo $(a, + \infty)$, es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$.

$$(a, + \infty) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x \}$$

Intervalo [$a$, $+ \infty$), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$.

$$[a, + \infty) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \le x \}$$

Intervalo ($- \infty$, $b$), es el conjunto de todos los números reales menores que $b$.

$$(- \infty, b) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | x < b  \}$$

Intervalo ($- \infty$, $b$], es el conjunto de todos los números reales menores o iguales que $b$.

$$(- \infty, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | x \leq b \}$$

Ejemplos: ($- \infty$, 12]; ($- \infty$, -15); [3, $+ \infty$) y (-12, $+ \infty$). 

Los dos extremos del intervalo también pueden ser infinito, en este caso serían todos los reales, es decir, el intervalo, ($- \infty$, $+ \infty$), es el conjunto de todos los números reales, la recta numérica.

$$(- \infty, + \infty) = \mathbb{R}$$

En este applet de GeoGebra podemos manejar los intervalos infinitos:

Entornos

Se define el entorno abierto de centro $c$ y radio $r \geq 0$, se denota $E(c, r) = E_{r}(c)$ al intervalo abierto

$$ E_{r}(c) = (c - r, c + r) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | c - r < x < c + r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -r < x - c < r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - c \mid < r \}$$

Se define el entorno cerrado centro de centro $c$ y radio $r$, se denota $E[c, r] = E_{r}[c]$ al intervalo cerrado

$$ E_{r}[c] = [c - r, c + r] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | c - r \leq x \leq c + r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | - r \leq x - c \leq r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - c \mid \leq r \}$$

¿Cómo pasamos de intervalo $(a, b)$ a entorno $E(c, r) = E_{r}(c)$?   Si igualamos los extremos del intervalo con los extremos del entorno formamos el siguiente sistema:

$$ \Large \cases{ a = c - r \cr \cr b = c + r } $$

Cuya solución es la siguiente: 

$$ a + b = 2c \Leftrightarrow c = \dfrac{a + b}{2} \ \text{el centro es el punto medio del intervalo;}$$ 

$$ b - a = 2r \Leftrightarrow r = \dfrac{b - a}{2} \ \text{el radio es la mitad de la amplitud del intervalo.} $$ 

Veamos un ejemplo, el intervalo abierto $(3,7)$ lo vamos a pasar a entorno: 

$$ c = \dfrac{a + b}{2} \Leftrightarrow c = \dfrac{3 + 7}{2} = 5$$ 

$$ r = \dfrac{b - a}{2} \Leftrightarrow c = \dfrac{7 - 3}{2} = 2$$  

Es decir el intervalo abierto $(3,7)$ es el entorno de centro 5 y radio 2 $E(5, 2) = E_{2}(5)$

$$(3,7) = E(5, 2)$$

Exactamente igual si fuera un intervalo cerrado $[3,7] = E[5, 2] = E_{2}[5]$

¿Cómo pasamos de entorno $E(c, r) = E_{r}(c)$ a intervalo $(a, b)$? Vamos a pasar de entorno abierto de centro -3 y radio 4 $E(-3, 4) = E_{4}(-3)$ a intervalo: 

El extremo inferior del intervalo es centro $-$ radio: $ a = c - r  \Leftrightarrow a = -3 - 4 = -7 $ 

El extremo superior del intervalo es centro $+$ radio: $ b = c + r  \Leftrightarrow a = -3 + 4 = 1 $ 

Luego entorno abierto de centro -3 y radio 4, $E(-3, 4) = E_{4}(-3)$, es el intervalo abierto $(-7, 1)$.

$$E(-3, 4) = (-7, 1)$$

Exactamente igual si fuera el entorno cerrado $E[-3, 4] = [-7, 1]$

Ejemplo: $E(0, 3) = (-3, 3) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -3 < x < 3 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x \mid < 3 \}$ 

$E[0,3] = [-3, 3] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -3 \leq x \leq 3 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x \mid \leq 3 \}$ 

Ejemplo: $E(1,5) = E_{5}(1) = (1 - 5, 1 + 5) = (-4, 6) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -5 < x - 1 < 5 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - 1 \mid < 5 \}$ 

$E[1, 5] = E_{5}[1] = [1 - 5, 1 + 5] = [-4, 6] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -5 \leq x - 1 \leq 5 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - 1 \mid \leq 5 \}$ 

Ejercicios:

1. Pasar de intervalo $(-11, 15)$ a entorno.



2. Pasar de intervalo $[-14, -4]$ a entorno.



3. Pasar de $E_7(-5)$ a intervalo.



4. Pasar de $E_{5}[10]$ a intervalo.

Para ponerlo como entorno necesitamos el punto medio y el radio. El punto medio:

Se calcula aplicando la fórmula $ c = \dfrac{\ a + b\ }{2}$, donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo: $$ c = \dfrac{\ -11 + 15\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{2} = 2 $$ Y el radio es la mitad de la amplitud del intervalo, es decir, $ r = \dfrac{\ b - c \ }{2} $ $$ r = \dfrac{\ 15 - (-11)\ }{2} = \dfrac{\ 15 + 11\ }{2} = \dfrac{\ 26\ }{2} = 13 $$ Luego el intervalo $(-11, 15) = E_{13}(2) $

Para ponerlo como entorno necesitamos el punto medio y el radio. El punto medio:

Se calcula aplicando la fórmula $ c = \dfrac{\ a + b\ }{2}$, donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo: $$ c = \dfrac{\ -14 + 4\ }{2} = \dfrac{\ -10\ }{2} = -5 $$ Y el radio es la mitad de la amplitud del intervalo, es decir, $ r = \dfrac{\ b - c \ }{2} $ $$ r = \dfrac{\ 4 - (-14)\ }{2} = \dfrac{\ 4 + 14\ }{2} = \dfrac{\ 18\ }{2} = 9 $$ Luego el intervalo $[-14, -4] = E_{9}(-5) $

Para ponerlo como intervlo necesitamos calcular el extremo inferior y superior del intervalo.

El extremo inferior: $ a = c - r$, el extremo superior $b = c + r$. Aplicando las fórmulas tenemos:

$ a = c - r = - 5 - 7 = -12 $ y $ b = c + r = - 5 + 7 = -2 $

Luego el entorno abierto de centro -5 y radio 7 es el intervalo abierto $(-12, -2) = E_{7}(-5)$

Para ponerlo como intervlo necesitamos calcular el extremo inferior y superior del intervalo.

El extremo inferior: $ a = c - r$, el extremo superior $b = c + r$. Aplicando las fórmulas tenemos:

$ a = c - r = 10 - 5 = 5 $ y $ b = c + r = 5 + 10 = 15 $

Luego el entorno cerrado de centro 10 y radio 5 es el intervalo cerrado $[5, 15] = E_{7}(-5)$

De distancias a intervalos.

El módulo o valor absoluto de un número es la distancia en la recta numérica de dicho valor al origen $O$. Es siempre mayor o igual que cero.

$$ \Big | x \Big | = d(x, O) = \cases{ \cr \ x \text{ si } x \geq 0 \cr \cr -x \text{ si } x \lt 0 \cr \cr } = máx \left \{ x, -x \right \} $$ Ejemplos:

$$ \Big | 0 \Big | = 0, \Big | -11 \Big | = 11 \text{ y } \Big | 34 \Big | = 34 $$ El valor absoluto de un número y su opuesto es el mismo, ya que los dos están a la misma distancia del origen: $$ \Big | -13 \Big | = \Big | 13 \Big | = 13 $$

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \lt 3 $, ¿qué sera? Podemos probar con algunos números, por ejemplo:
- ¿el 2 cumple esa condición? Sí; ¿y el -2? Sí; ¿y el 225? También; ¿y el 3? El 3 No, ya que la distancia debe ser menor que 3.

Así pues, $ \Big | x \Big | \lt 3 $ lo podemos poner como $(-3, 3)$ es decir, el conjunto de puntos que están a una distancia menor que 3 de 0.

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \leq 3 $, ¿qué sera? Podemos probar con algunos números, igual que antes, pero vemos que el 3 sí que está en dicho conjunto. Luego $ \Big | x \Big | \leq 3 \Longleftrightarrow x \in [-3, 3] $

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \gt 3 $, ¿Qué será? Los números que son mayores que 3 eso está claro, pero también los que son menores que -3. Probemos con el número -3,1; $ \Big | -3,1 \Big | = 3,1 \gt 3 $. Luego $ \Big | x \Big | \gt 3 = (-\infty, -3) \ \bigcup \ (3, +\infty)$

$\bullet$ Si cogemos el igual $ \Big | x \Big | \geq 3 $, ¿Qué será? Los números que son mayores o iguales que 3, eso vuelve a estar claro, pero también los que son menores o iguales que -3. Probemos con el número -3,1; $ \Big | -3,1 \Big | = 3,1 \geq 3 $. Luego $ \Big | x \Big | \geq 3 = (-\infty, -3] \ \bigcup \ [3, +\infty)$

Así, si cambiamos 0 por un número real cualquiera $a$ y $b$ es una, tenemos lo siguiente:
$$ d(x, a) = \Big | x - a \Big | = b $$ «Los puntos $x$ de la recta numérica que están a una distancia $b$ del punto $a$»
Los puntos que están a una distancia 5 de 3 $ \Rightarrow d(x, 3) = \Big | x - 3 \Big | = 5 \Rightarrow \cases{ \cr \ x - 3 = 5 \cr \cr x - 3 = -5 \cr \cr } \Rightarrow \cases{ \cr \ x = 5 + 3 = 8 \cr \cr x = -5 + 3 = - 2 \cr \cr } $

Los puntos que están a una distancia 10 de -4 $ \Rightarrow d(x, -4) = \Big | x - (-4) \Big | = \Big | x + 4 \Big | 10 \Rightarrow \cases{ \cr \ x + 4 = 10 \cr \cr x + 4 = -10 \cr \cr } \Rightarrow \cases{ \cr \ x = 10 - 4 = 6 \cr \cr x = - 10 - 4 = - 14 \cr \cr } $

• $ | x - a | = b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ igual a $b$. Son los puntos $ b + a$ y $-b +a$
  
  
• $ | x - a | \lt b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ menor que $b$. Son los puntos cuya distancia a $a$ es igual a $b$ y sería el intervalo abierto $(-b + a, a + b)$.
  
  
• $ | x - a | \leq b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ menor o igual que $b$. Son los puntos cuya distancia a $a$ es igual a $b$ y sería el intervalo cerrado $[-b + a, a + b ]$.
  
  
• $ | x - a | \gt b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ mayor que $b$. Sería la unión de los intervalos $(-\infty, -b + a)\ \bigcup \ ( a + b, \infty) $
  
  
• $ | x - a | \geq b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ mayor o igual que $b$. Sería la unión de los intervalos $(-\infty, -b + a ] \ \bigcup \ [ a + b , \infty) $
  
  

Veamos con este applet de GeoGebra como manejar las distancias:



Selecciona paréntesis o corchetes y verás el cambio:

(a [a (−∞ , b) b] +∞)

Teoremas del seno, coseno y de la tangente. Resolución de triángulos no rectángulos.

 Teorema del seno:

Para entender mejor el teorema del seno necesitamos 3 resultados geométricos: 

1.- Dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales. 

2.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 

Teorema del seno: 

El teorema del seno es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}} = \dfrac{c}{\sen \hat{C} } = 2R} \quad \cr \quad } $ } } $$

donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo $\triangle{ABC}$.

Teorema del coseno: 

Teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos. El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} } \quad \cr \quad \mathbf{ b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \hat{B} } \quad \cr \quad \mathbf{ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \hat{C} } \quad \cr \quad } $ } } $$

Veamos como podemos saber el tipo de triángulo según sus ángulos usando el Teorema del coseno:

• Si tiene una ángulo recto $\hat{A} = \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} = 0 $, triángulo rectángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 \qquad \text{ (Teorema de Pitágoras)} } $$
  
• Si tiene una ángulo obtuso $\hat{A} > \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} < 0 $, triángulo obtusángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 > b^2 + c^2 } $$
  
• Si tiene una ángulo agudo $\hat{A} < \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} > 0 $, triángulo acutángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 < b^2 + c^2 } $$
  

Ocurre lo mismo si cogemos el ángulo $\hat{B}$ o el ángulo $\hat{C}$.

Teorema del coseno (Usando el Producto Escalar) 

El teorma del coseno se puede demostrar también usando el producto escalar. Del dibujo tenemos:

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow  \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} $$ 

$$ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} = \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} - 2 \cdot \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} $$

Recapitulando:

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2 - 2 |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos \hat{A}$$

Es decir

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} $$

Ventajas e incovenientes de usar el teorema del seno o del coseno

	Teorema del seno	Teorema del coseno
Ventajas	Fácil de calcular	El coseno de un ángulo tiene un único valor entre 0 y $\pi$ radianes.
Incovenientes	El seno de un ángulo y su suplementario tienen el mismo valor. Dos posibles soluciones.	No es tan fácil de calcular como el Teorema del seno.

Teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos.

Para demostrar el teorema de la tangente tenemos que hacer uno de una propiedad de las proporciones:

$$ \dfrac{x}{y} = \dfrac{z}{t} \ \ \Longleftrightarrow \ \ x \cdot t = y \cdot z \ \ \ \  \text{entonces}  \ \ \Longrightarrow  \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{z + t}{z - t}  $$

$$ \text{Tenemos } \ \  \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}}  \ \ \Longleftrightarrow \ \ \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sen \hat{A}}{\sen \hat{B}} $$ 

Aplicando esta propiedad al teorema del seno: 

$$ \dfrac{ a + b}{a - b} = \dfrac{\sen \hat{A} + \sen \hat{B}}{\sen \hat{A} - \sen \hat{B}} = \dfrac{2 \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) }{2 \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ \dfrac{ a + b}{a - b} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } = 2R} \quad \cr \quad \cr \mathbf{ \dfrac{ a + c}{a - c} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{C}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{C}}{2} \right ) } = 2R} \quad \cr \quad \cr \mathbf{ \dfrac{ b + c}{b - c} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{B} - \hat{C}}{2} \right ) } = 2R} \cr \quad } $ } } $$

Entrada del blog donde se explican la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, y el seno, coseno de la suma de ángulos.

Entrada del blog donde se indican las razones trigonométricas de los ángulos notables entre $[0, 2\pi]$ y las conversiones de grados a radianes, de radianes a grados, de grados decimales a sexagesimales y de grados sexagesimales a decimales.

Resolución de triángulos no rectángulos

Cosas a tener en cuenta:

1. La suma de los ángulos internos de un triángulo suma $\gss{180} = \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}$.
   
   
2. Las longitudes de los Lados del Triángulo deben cumplir la condición de existencia del triángulo que establece, que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera siempre debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Este es un pilar fundamental en la definición de un triángulo.
   
   $$ \cases{ a + b > c \cr \cr a + c > b \cr \cr b + c > a \cr } $$
3. El lado más largo se encuentra frente al ángulo más grande y el lado más pequeño frente al ángulo más pequeño.
   
   

Casos

Tenemos 5 casos:

• $\odn{1}{er}$ CASO: Conocidos los 3 lados (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del coseno una vez para calcular un ángulo; después teorema del coseno para calcular el segundo ángulo. El tercer ángulo a partir de los dos anteriores.
  
  
• $\odn{2}{o}$ CASO: Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. (Si existe la solución es única) $\rightarrow$ Teorema del coseno para calcular el lado que falta. Después el teorema del coseno para calcular otro ángulo y después el tercer ángulo a partir de los dos anteriores.
  
  
• $\odn{3}{er}$ CASO: Conocidos dos lados y el $\underline{\underline{\textbf{ángulo agudo}}}$ no comprendido entre ellos. $\rightarrow$ Teorema del seno para calcular uno de los ángulos que falta. Geométricamente puede ocurrir lo siguiente:
  
  1. El triángulo no existe. Al aplicar el teorema del seno, se obtiene mayor que la unidad o menor que -1.
     
     
  2. Triángulo existe y es único: Uno de los ángulos del teorema del seno no cumplirá que la suma de los ángulos interiores es $\pi$ radianes. El tercer ángulo con la resta y el tercer lado con el teorema del seno.
     
     
  3. Dos posibles triángulos solución, con el teorema del seno, ambas soluciones son válidas. El tercer ángulo con la resta y el tercer lado con el teorema del seno.
     
     
• $\odn{4}{o}$ CASO: Conocidos dos lados y el «ángulo obtuso» no comprendido entre ellos (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del seno para calcular uno de los ángulos que faltan, el tercero restando. Teorema del seno para el lado que falta.
  
  
• $\odn{5}{o}$ CASO: Conocidos un lado y dos ángulos, es decir, los tres ángulos. (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del seno dos veces para calcular los dos lados que faltan.
  

Ejemplos

• $\odn{1}{er}$ CASO: $a = 15$km, $b = 22$km y $c = 17$km.
  Aplicamos el Teorem del coseno dos veces: $$ \cos \hat{A} = \mfrac{22^2 + 17^2 - 15^2 }{ 2 \cdot 17 \cdot 22 } = 0,73 \implies \hat{A} = \arccos(0,73) = cos^{-1} (0,73) = \gss{43} $$ $$ \cos \hat{B} = \mfrac{15^2 + 17^2 - 22^2 }{ 2 \cdot 17 \cdot 15 } = 0,06 \implies \hat{B} = \arccos(0,06) = cos^{-1} (0,06) = \gss{43} $$ $ \hat{C} = \gss{180} - \gss{43} - \gss{43} = \gss{50} $
  
  
• $\odn{2}{o}$ CASO:$a= 10$ dam, $b = 7$ dam y $\hat{C} = \gss{30}$.
  Aplicamos el teorema del coseno para calcular el lado $c$: $$ c = \msqrt{10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos (\gss{30} ) } = 5.27 \text{dam} $$ Aplicamos el teorema del coseno para calcular el ángulo $\hat{A}$: $$ \cos ( \hat{A}) = \mfrac{7^2 + (5,27)^2 - 10^2}{ 2 \cdot 7 \cdot 5,27} = -0,31 \implies \hat{A} = \arccos(-0,31) = \cos^{-1}(-0,31) = \gss{108} $$ $ \hat{C} = \gss{180} - \gss{108} - \gss{30} = \gss{42} $
  
  
• $\odn{3}{er}$ CASO:
  1. $a = 5$ m, $b = 8$ m y $\hat{A} = \gss{72}$ $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{8 \cdot \sen(\gss{72})}{5} = 1,52 \text{ No es posible} $$
     
     
  2. $a = 7,5$ cm, $b = 6,4$ cm y $\hat{A} = \gss{53}$. $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{6,4 \cdot \sen(\gss{53})}{7,5} = 0,81 \implies \hat{B} = \arcsen(0,81) = \sen^{-1} (0,81) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{B_1} = \gss{43} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{53} - \gss{43} = \gss{84} \implies c = \dfrac{7,5 \cdot \sen(\gss{84})}{ \sen( \gss{53} ) } = 9,34 \text{ cm} \\ \\ \hat{B_2} = \gss{137} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{53} - \gss{137} = - \gss{10} \quad \nexists \text{ solución } \end{cases} $$
     
     
  3. $b = 6,5$ cm, $c = 7$ cm y $\hat{B} = \gss{67}$ $$ \sen(\hat{C}) = \mfrac{6,4 \cdot \sen(\gss{53})}{7,5} = 0,99 \implies \hat{B} = \arcsen(0,82) = \sen^{-1} (0,82) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{C_1} = \gss{82} \implies \hat{A_1} = \gss{180} - \gss{67} - \gss{82} = \gss{31} \implies a_1 = \mfrac{6,5 \cdot \sen(\gss{31})}{ \sen(\gss{67}) } = 3,64 \\ \\ \hat{C_2} = \gss{98} \implies \hat{A_2} = \gss{180} - \gss{67} - \gss{98} = \gss{15} \implies a_2 = \mfrac{6,5 \cdot \sen(\gss{15})}{ \sen(\gss{67}) } = 1,83 \end{cases} $$
     
     
• $\odn{4}{o}$ CASO: $a= 12$ cm, $b = 8$ cm y $\hat{A} = \gss{150}$. $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{8 \cdot \sen(\gss{150})}{ 12 } = 0,33 \implies \hat{B} = \arcsen(0,33) = \sen^{-1} (0,33) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{B_1} = \gss{19} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{150} - \gss{19} = \gss{11} \implies c = \mfrac{12 \cdot \sen(\gss{22})}{ \sen(\gss{150}) } = 4,58 \text{ cm} \\ \\ \hat{B_2} = \gss{161} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{150} - \gss{161} = - \gss{131} \quad \nexists \text{ solución } \end{cases} $$
  
  
• $\odn{5}{o}$ CASO: $b= \msqrt{2}$ m, $\hat{A} = \gss{30}$ y $\hat{B} = \gss{45}$. $$ \hat{C} = \gss{180} - \gss{30} - \gss{45} = \gss{105} $$ $$ a = \mfrac{b \cdot \sen(\gss{30})}{ \sen(\gss{45}) } = 1,04 \qquad \text{ y } \qquad c = \mfrac{b \cdot \sen(\gss{105})}{ \sen(\gss{45}) } = 3,65 $$
  
  

Otros ejercicios

Queremos calcular el lado $c$, para ello usaremos el Teorema del Coseno: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2bc \cos \widehat{C} $$ Sustituyendo las variables por su valor, que $\cos \gss{120} = \dfrac{\ -1\ }{ 2 } $ tenemos que:
$$ c^2 = 5^2 + 3^2 - 2\cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos \gss{120} \Rightarrow c^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left ( \dfrac{\ -1\ }{ 2 } \right) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow c^2 = 25 + 9 + 15 \Rightarrow c^2 = 49 \Rightarrow c= 7 $$ Ahora calculamos cualquiera de los ángulos que nos quedan $\widehat{A} $ o $\widehat{B}$, vamos con $\widehat{B}$: $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \widehat{B} \Rightarrow 2ac \cos \widehat{B} = a^2 + c^2 - b^2 \Rightarrow \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } $$ Sustituyendo los datos en las variables: $$ \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } = \dfrac{\ 5^2 + 7^2 - 3^2\ }{ 2 \cdot 5 \cdot 7 } = \dfrac{\ 65\ }{ 70 } = \dfrac{\ 13\ }{ 14 } $$ Es decir: $$ \widehat{B} = \arccos \left ( \dfrac{\ 13\ }{ 14 } \right) = \gss{21,79} = \gss{21} 47' 24''$$ Y por tanto $$ \widehat{A} = \gss{38,21} = \gss{38} 12' 36'' $$

Al darnos dos de los tres ángulos, podemos calcular el tercer ángulo restando: \[ \hat{B} = \gss{180} - \gss{32} - \gss{93} = \gss{55} \] Aplicando el teorema del seno dos veces calculamos los lados que nos faltan:

\[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{b}{\sen \hat{B} } \implies a = \mfrac{b \cdot \sen \hat{A} }{ \sen \hat{B} } = \mfrac{9,5 \cdot \sen(\gss{32}) }{ \sen(\gss{55}) } = 6,15 \] \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{6,15 \cdot \sen(\gss{93}) }{ \sen(\gss{32}) } = 11,59 m \] Ahora calculamos el área: $ \text{Área } = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C} = \mfrac{1}{2} \cdot 6,15 \cdot 9,5 \cdot \sen (\gss{93}) = 29,17m^2 $

Aplicamos el teorema del seno: \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies \sen \hat{A} = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ a } = \mfrac{7 \cdot \sen(\gss{65}) }{ \sen(\gss{5}) } = 1,27 m \quad \nexists { solución.} \]

Este es un triángulo imposible ya que $5 + 10 < 20$.

Aplicamos el teorema del cateto para calcular $a$: \[ a = \msqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\gss{75})} = \msqrt{(9,2)^2 + (6,7)^2 - 2 \cdot 9,2 \cdot 6,7 \cdot \cos(\gss{75})} = 9,88m \] Aplicamos el teorema del cateto para calcular $\hat{B}$: \[ \cos \hat{B} = \mfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \mfrac{(9,88)^2 + (6,7)^2 - (9,2)^2}{2 \cdot 9,88 \cdot 6,7} = 0,44 \implies \hat{B} =\arccos (0,44) = \cos^{-1} (0,44) = \gss{64} \] \( \hat{C} = \gss{180} - \gss{75} - \gss{64} = \gss{41} \)

Área = \( \mfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sen \hat{A} = \mfrac{1}{2} \cdot 9,2 \cdot 6,7 \cdot \sen (\gss{75}) = 29,77m^2\)

Aplicamos el teorema del coseno para calcular $\hat{A}$: \[ \cos \hat{A} = \mfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c} = \mfrac{(10,5)^2 + (8,2)^2 - (12,5)^2}{2 \cdot 10,5 \cdot 8,2} = 0,12 \implies \hat{A} =\arccos (0,12) = \cos^{-1} (0,12) = \gss{83} \] Aplicamos el teorema del coseno para calcular $\hat{A}$: \[ \cos \hat{B} = \mfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \mfrac{(12,5)^2 + (8,2)^2 - (10,5)^2}{2 \cdot 12,5 \cdot 8,2} = 0,55 \implies \hat{A} =\arccos (0,55) = \cos^{-1} (0,12) = \gss{57} \] \( \hat{C} = \gss{180} - \gss{83} - \gss{57} = \gss{40} \)

  Área = \( \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C} = \mfrac{1}{2} \cdot 12,5 \cdot 10,5 \cdot \sen (\gss{40}) = 42,72m^2\)

Aplicamos el teorema del seno: \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{b}{\sen \hat{B} } \implies \sen \hat{B} = \mfrac{b \cdot \sen \hat{A} }{ b } = \mfrac{13,2 \cdot \sen(\gss{58}) }{ 11,5 } = 0,97 \implies \hat{B} = \arcsen(0,97) = \sen(0,97) = \gss{76} \] Pero su complementario tiene el mismo seno, es decir, $\hat{B_1} = \gss{76}$ y $\hat{B_1} = \gss{104}$. Ambos valores son compatibles con $\gss{58}$, luego tenemos dos posibles soluciones:

\( \bullet \ \text{Si } \hat{B_1} = \gss{76} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{58} - \gss{76} = \gss{46} \) \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c_1 = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{11,5 \cdot \sen(\gss{46}) }{ \sen(\gss{58}) } = 9,75 m \] Área \( \triangle{AB_1C_1} = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C_1} = \mfrac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot 13,2 \cdot \sen (\gss{46}) = 54,6m^2 \)


\( \bullet \ \text{Si } \hat{B_2} = \gss{104} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{58} - \gss{104} = \gss{18} \) \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c_2 = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{11,5 \cdot \sen(\gss{18}) }{ \sen(\gss{58}) } = 4,19 m \] Área \( \triangle{AB_2C_2} = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C_2} = \mfrac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot 13,2 \cdot \sen (\gss{18}) = 23,45 m^2 \)

Trigonometría. Interpretación geométrica de las razones trigonométricas. Seno, coseno de la suma de ángulos.

Veamos una imagen que explica la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante:

El COSENO y la COTANGENTE de un ángulo $\alpha$ se llaman precisamente COseno y COtangente porque son, respectivamente, el seno y la tangente del ángulo COmplementario a $\alpha$ (que es $90^{\circ} - \alpha$ o en radianes $ \dfrac{\ \pi\ }{2} - \alpha$).

Un esquema con el signo de las razones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes: 

Veamos ahora en una simulación de GeoGebra: 

Si quieres, aquí tienes el enlace de Geogebra

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos: 

Si quieres, aquí tienes el enlace de Geogebra.

Entrada del blog donde se indican las razones trigonométricas de los ángulos notables entre $[0, 2\pi]$ y las conversiones de grados a radianes, de radianes a grados, de grados decimales a sexagesimales y de grados sexagesimales a decimales.

Entrada del blog donde se indican los teoremas del seno, coseno y de la tangente.

Fracciones parciales. Descomposición de fracciones algebraicas en fracciones más sencillas.

 Fracciones Parciales

Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes son iguales.

Si dos polinomios son iguales, coincide su valor para cualquier valor de $x$.

Fracciones Propias e Impropias

Definición: Se dice que una fracción racional $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ es una fracción propia, si el grado del polinomio $P(x)$ es menor que el grado del polinomio $Q(x)$. En caso contrario, es decir, si el grado de $P(x)$ es mayor o igual al de $Q(x)$, la fracción se llama impropia. 

Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio mas una fracción propia. Es decir, 

$$ \dfrac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \dfrac{d(x)}{Q(x)} $$

Vamos a descomponer un fracción propia en suma de fracciones más sencillas. Tenemos 4 casos:

Caso I: El denominador $Q(x)$ es un producto de factores lineales distintos. Esto significa que podemos escribir

$$ Q(x) = \left(a_{1} x + b_{1} \right) \left( a_{2} x + b_{2} \right ) \cdots \left( a_{k} x + b_{k} \right ) $$

en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k}$ tales que

$$ \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{A_{1}}{a_{1}x + b_{1}} + \dfrac{A_{2}}{a_{2} x + b_{2}} + \cdots + \dfrac{A_{k}}{a_{k} x + b_{k}} $$

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales la fracción: $$ \dfrac{7x + 3}{ x^2 + 3x - 4} $$

Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como sigue:

$$ x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1) $$

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{7x + 3}{x^2 + 3x - 4} = \dfrac{7x + 3}{(x + 4)(x - 1)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{B}{x - 1 } $$

Para encontrar los valores de $A$ y $B$, ponemos común denominador, obteniendo

$$ 7x + 3 = A(x - 1) + B(x + 4) $$

En este punto tenemos dos opciones:

     a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

        $$7x + 3 = Ax - A + Bx + 4B $$ 

    De $x$ tenemos que $7x  = Ax + Bx$;

    del término independiente $ 3 = - A + 4B $

    b) Calculando valores de los polinomios. ¿Qué valores de $x$ vamos a coger? Está claro, ¿no? Cogeremos las raíces, $x = 1$ y $x = -4$

Por lo que la fracción original queda:

$$ \dfrac{7x + 3}{x^2 + 3x - 4} = \dfrac{5}{x + 4} + \dfrac{2}{x - 1} $$

Ejemplo 2 $$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{2x^3 + 3x^2 - 2x } $$

Solución Se tiene que el denominador se puede factorizar como sigue:

$$ 2 x^3 + 3x^2 - 2x = x \left( 2x^2 + 3x - 2 \right ) = x(2x - 1)(x + 2) $$

Luego, la descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x(2x - 1)(x + 2)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{2x - 1} + \dfrac{C}{x + 2} $$

Ponemos denominador común y tenemos: 

$$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x(2x - 1)(x + 2)} = \dfrac{A(2x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1) }{x(2x - 1)(x + 2)} $$

igualando numeradores se obtiene

$$ x^2 + 2x - 1 = A(2x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1) \qquad (1) $$

En este punto tenemos dos opciones:

a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: \\

$$ x^2 + 2x - 1 = A(2x^2 + 4x - x - 2) + B(x^2 + 2x) + C(2x^2 - x) $$

$$ x^2 + 2x - 1 = 2Ax^2 + 3Ax - 2A + Bx^2 + 2Bx + 2Cx^2 - Cx $$

$$ x^2 + 2x - 1 = x^2(2A + B + 2C) + x(3A + 2B - C) - 2A $$

es decir

$$A = \dfrac{1}{2}, \quad B = \dfrac{1}{5}, \quad \text{y} \quad C = -\dfrac{1}{10}$$

así

$$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{2x^3 + 3x^2 - 2x} = \dfrac{ \dfrac{1}{2} }{x} + \dfrac{ \dfrac{1}{5} }{2x - 1} + \dfrac{ - \dfrac{1}{10}}{x + 2}  =  \dfrac{ 1 }{2x} + \dfrac{ 1 }{5(2x - 1)} - \dfrac{ 1 }{10(x + 2)}  $$

    b) Calculando valores de los polinomios. Si en (1) damos valores tenemos:

$$ x^2 + 2x - 1 = A(2x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1) $$

$$x = 0  \Longrightarrow -1 = -2A \Rightarrow A = \dfrac{1}{2} $$

$$x = -2 \Longrightarrow -1 = C(-2)(2\cdot(-2) - 1) \Rightarrow -1 = 10C \Rightarrow C = -\dfrac{1}{10} $$

$$x = \dfrac{1}{2} \Longrightarrow \dfrac{1}{4} = B\dfrac{1}{2} \cdot \left ( \dfrac{1}{2} + 2 \right ) \Rightarrow \dfrac{1}{4} = B\dfrac{5}{4} \Rightarrow B = \dfrac{1}{5} $$

  Caso II: El denominador $Q(x)$ es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Si $Q(x)$ tiene un factor lineal repetido $k$ veces de la forma $\left(a_{1} x + b_{1}\right)^{k},$ entonces la descomposición en fracciones parciales contiene $k$ términos de la forma:

$$ \dfrac{A_{1}}{a_{1}x + b_{1}} + \dfrac{A_{2}}{\left(a_{1}x + b_{1} \right)^{2}} + \cdots + \dfrac{A_{k}}{\left(a_{1} x+b_{1}\right)^{k}} \text{ donde } A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} \text{ son constantes. } $$ \\

Ejemplo 3 Descomponer en fracciones parciales:

$$ \dfrac{5x^2 - 36x + 48}{x(x - 4)^2} $$

La descomposicion en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{5x^{2} -36x + 48}{x(x - 4)^{2}} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{(x - 4)} + \dfrac{C}{(x - 4)^{2}} $$

Poniendo denominador común

$$ \dfrac{5x^{2} -36x + 48}{x(x - 4)^{2}} = \dfrac{A(x - 4)^2 + Bx(x - 4) + Cx}{x(x - 4)^{2}} $$

Igualando numeradores tenemos 

$$ 5x^2 - 36x + 48 = A(x - 4)^2 + Bx(x - 4) + Cx \qquad (2) $$

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ 5x^2 - 36x + 48 = A(x^2 - 8x + 16) + B(x^2 - 4x) + Cx $$

$$ 5x^2 - 36x + 48 = x^2(A + B) + x(- 8A - 4B + C) + 16A $$

obteniendo el sistema:

Luego:

$$ \dfrac{5x^2 - 36x + 48}{x(x - 4)^2} = \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x - 4} - \dfrac{4}{(x - 4)^2} $$

   b) Calculando valores de los polinomios. Si damos valores en (2) tenemos: \\ \\ 

$x = 0 \Longrightarrow 48 = 16 A \Rightarrow A = \dfrac{48}{16} = 3 $ \\ \\

$x = 4 \Longrightarrow -16 = 4 C \Rightarrow C = \dfrac{-16}{4} = -4 $ \\ \\

$x = 1 \Longrightarrow 17 = 9A - 3B + C \Rightarrow 17 = 27 -3B -4 \Rightarrow -6 = -3B \Rightarrow B = 2 $

Ejemplo 4 Descomponer en fracciones parciales:

$$  \dfrac{4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} $$

Factorizamos el denominador

$$ x^3 - 4x^2 + 4x = x ( x - 2 )^2 $$ 

Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{4x - 4}{x ( x - 2 )^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 2} + \dfrac{C}{(x - 2)^2} $$

poniendo común denominador:

$$ \dfrac{4x - 4}{x ( x - 2 )^2} = \dfrac{A( x - 2 )^2 + B x ( x - 2 ) + Cx}{x(x - 2)^2} $$

igualando numeradores tenemos: 

$$ 4x - 4 = A( x - 2 )^2 + B x ( x - 2 ) + Cx \qquad \text{(4)}$$ 

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ 4x - 4 = A( x - 2 )^2 + B x ( x - 2 ) + Cx $$

$$ 4x - 4 = Ax^2 -4Ax + 4A + Bx^2 - 2Bx + Cx $$

obteniendo el sistema:

Luego:

$$ \dfrac{4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} = \dfrac{-1}{x} + \dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{2}{(x - 2)^2} $$ 

   b) Calculando valores de los polinomios. Si damos valores en (4) tenemos:

$x = 2 \Longrightarrow 4 = 2C \Rightarrow C = \dfrac{4}{2} = 2 $

$x = 0 \Longrightarrow -4 = 4 A \Rightarrow A = \dfrac{-4}{4} = -1 $

$x = 1 \Longrightarrow 0 = A - B + C \Rightarrow B = A + C = 2 - 1 = 1 $

Ejemplo 5 Descomponer en fracciones parciales una fracción impropia:

$$ \dfrac{x^4 - 2x^2 + 4x + 1}{x^3 - x^2 - x + 1 } $$

Comenzaremos por dividir los polinomios

$$ \dfrac{x^4 - 2x^2 + 4x + 1}{x^3 - x^2 - x + 1} = x + 1 + \dfrac{4x}{x^3 - x^2 - x + 1} $$

luego, factorizando el denominador $ x^3 - x^2 - x + 1 $ resulta

$$ x^3 - x^2 - x + 1 = (x + 1)(x - 1)^{2} $$

Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{4x}{(x+1)(x - 1)^2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{(x - 1)^2} + \dfrac{C}{x + 1} $$

poniendo denominador común:

$$ 4x = A(x + 1)(x - 1) + B(x + 1) + C(x - 1)^2 \qquad (5) $$

$$ 4x = A(x^2 - 1) + B(x + 1) + C(x^2 - 2x + 1) $$

$$ 4x = x^2(A + C) + x(B - 2C) - A + B + C $$

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

del cual de obtiene: $A = 1, \quad B = 2$ y $C = -1$ de modo que

$$ \dfrac{x^4 - 2x^2 + 4x + 1}{x^3 - x^2 - x + 1} = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{ (x - 1)^2 } - \dfrac{1}{x + 1} $$

   b) Si damos valores en (5) tenemos:

$$x = 1 \Longrightarrow 4 = 2 B \Rightarrow B = 2 $$

$$x = -1 \Longrightarrow -4 = 4 C \Rightarrow C = -1 $$

$$x = 0 \Longrightarrow 0 = -A + B + C \Rightarrow 0 = -A + 2 - 1 \Rightarrow A = 1 $$

Al principio habéis visto que habría 4 casos, los dos que quedan los añadiré más adelante. 

A continuación proponemos unos cuantos ejercicios:

Lo primero que tenmos que haces es factorizar el denominador: $ x^2 - 5x + 6 $. Podemos usar la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado o Ruffini. Sea el método que sea, vemos que podemos factorizar el denominador $ x^2 - 5x + 6 = (x- 2) \cdot (x - 3)$

Así sabemos que $ \dfrac{5x + 13}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 3} $ con $A$ y $B$ constantes.

$$ \dfrac{5x + 13}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 3} = \dfrac{A \cdot (x -3) + B \cdot (x - 2) }{ (x - 2) \cdot (x - 3) } $$ Ahora tenemos que ver que $5x + 13 = A \cdot (x - 3) + B \cdot (x - 2) $ y para resolver esto, es decir, que dos polinomios son iguales lo podemos hacer de dos formas:

1. Igualando coeficientes
2. Evaluando valores

Vamos hacerlo evaluando valores:

Si $x = 2 \Rightarrow 5 \cdot 2 + 13 = - B \Rightarrow 23 = - B \Rightarrow B = -23 $

Si $x = 3 \Rightarrow 5 \cdot 3 + 13 = A \Rightarrow A = 28 $

Luego $$ \dfrac{5x + 13}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{28}{x - 3 } - \dfrac{23}{x - 2} $$

Lo primero que tenmos que haces es factorizar el denominador: $ x^3 + 6x^2 + 11x + 6 $. Usaremos Ruffini para calcuar las posibles raíces, vemos que las raíces no pueden ser positivas ya que nunca sería cero. Probamos con -1 y vemos que es raíz. Así tenemos que $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1) \cdot (x^2 + 5x + 6)$ Si seguimos aplicando Ruffini tenemos que $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) $.

Así sabemos que $ \dfrac{6x^2 + 22x + 18}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x + 2} + \dfrac{C}{x +3} $ con $A$, $B$ y $C$ constantes.

$$ \dfrac{6x^2 + 22x + 18}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x + 2} + \dfrac{C}{x +3} = \dfrac{A \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) + B \cdot (x + 1) \cdot (x + 3) + C \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) } { (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) } $$ Ahora tenemos que ver que $6x^2 + 22x + 18 = A \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) + B \cdot (x + 1) \cdot (x + 3) + C \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) $ y para resolver esto, es decir, que dos polinomios son iguales lo podemos hacer de dos formas:

1. Igualando coeficientes
2. Evaluando valores

Vamos hacerlo evaluando valores:

Si $x = -1 \Rightarrow 6 \cdot (-1)^2 + 22 \cdot (-1) + 18 = A \cdot (-1 + 2) \cdot (-1 + 3) \Rightarrow 2 = 2 \cdot A \Rightarrow A = 1 $

Si $x = -2 \Rightarrow 6 \cdot (-2)^2 + 22 \cdot (-2) + 18 = B \cdot (-2 + 1) \cdot (-2 + 3) \Rightarrow -2 = - B \Rightarrow B = 2 $

Si $x = -3 \Rightarrow 6 \cdot (-3)^2 + 22 \cdot (-3) + 18 = C \cdot (-3 + 1) \cdot (-3 + 2) \Rightarrow 6 = 2C \Rightarrow C = 3 $

Luego $$ \dfrac{6x^2 + 22x + 18}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6} = \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{2}{x + 2} + \dfrac{3}{x + 3} $$

En este caso el grado de los polinomios del numerador y denominador son iguales, tenemos que hacer la división «en caja» y nos quedará:

$$ - (x^2 + 4x + 6) = (x^2 - 3x + 2) \cdot (-1) - ( 7x + 4 ) \Rightarrow - \dfrac{x^2 + 4x + 6 }{x^2 - 3x + 2} = - 1 - \dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2} $$ Luego tenemos que descomponer $\dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2}$ es fracciones simples:

El denominador $ x^2 - 3x + 2 $, como 1 es raíz se factoriza rápidamente $ x^2 - 3x + 2 = (x - 1) \cdot (x - 2) $ luego

$\dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x - 2} = \dfrac{ A \cdot (x - 2) + B \cdot (x - 1) }{ x^2 -3x + 2 }$

Evaluando tenemos:

Si $x = 1 \Rightarrow 7\cdot 1 + 4 = -A \Rightarrow A = -11 $

Si $x = 2 \Rightarrow 7\cdot 2 + 4 = B \Rightarrow B = 18 $

Luego $$ \dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2} = \dfrac{-11}{x - 1} + \dfrac{18}{x - 2} $$ y por tanto $$ - \dfrac{x^2 + 4x + 6 }{x^2 - 3x + 2} = -1 - \dfrac{7x + 4}{x^2 - 3x + 2} = - 1 - \dfrac{18}{x - 2} + \dfrac{11}{x - 1} $$

$$ \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{(x - 1)^2} $$

$$ \dfrac{2}{(x - 2)^2} - \dfrac{2}{x + 3} - \dfrac{2}{x - 1} $$

$$ 1 + \dfrac{-3x^{2} + 14x + 32}{x^{3} + 2x^{2} - 4x - 8} = 1 + \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{6}{x + 2} + \dfrac{2}{(x + 2)^2} $$

Caso III: El denominador $Q(x)$ contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite.
Si $Q(x)$ tiene un factor cuadrático no repetido de la forma $ax^2 + bx + c$, en donde, $b^2 - 4ac < 0$, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma:
$$ \dfrac{ Ax + B }{ ax^2 + bx + c } \qquad \text{ donde } A \text{ y } B \text{ son constantes } $$
Ejemplo 6 Descomponer en fracciones parciales: $$ \dfrac{4x^2 - 8x + 1}{x^3 - x + 6} $$ Tenemos que $$ \dfrac{ 4x^2 - 8x + 1 }{ x^3 - x + 6 } = \dfrac{4x^2 - 8x + 1}{(x + 2) \left( x^2 - 2x + 3 \right ) } = \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B x + C}{x^2 - 2x + 3} $$ multiplicando por el común denominador: $$ 4x^2 - 8x + 1 = A \left( x^2 - 2x + 3 \right) + (Bx + C)(x + 2) \qquad (4) $$ $$ 4x^2 - 8x + 1 = Ax^2 - 2Ax + 3A + Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C $$ $$ 4x^2 - 8x + 1 = x^2(A + B) + x(-2A + 2B + 2C) + 3A + 2C $$ obteniendo el sistema $$\left \{ \begin{array}{ll} A + B & = 4 \Rightarrow B = 4 - A \cr -2A + 2B + C & = -8 \\ %\quad \text { de donde } \quad A=3, B=1, C=-4 \cr 3A + 2C & = 1 \Rightarrow C = \dfrac{1 - 3A}{2} \end{array} \right. $$ Por lo tanto, $$ -2A + 2(4 - A) + \dfrac{1 - 3A}{2} = -8 \Rightarrow -4A + 16 - 4A + 1 - 3A = -16 \Rightarrow -11A = -33 \Rightarrow A = 3 $$ Luego $B = 4 - 3 = 1$ y $C = \dfrac{1 - 9}{2} = \dfrac{-8}{2} = -4 $ Así:
$$ \dfrac{4x^2 - 8x + 1}{x^3 - x + 6} = \dfrac{3}{x + 2} + \dfrac{x - 4}{x^2 - 2x + 3} $$ Si tomamos valores en (4) tenemos:

$ x = - 2 \Longrightarrow 33 = A 11 \Rightarrow A = 3 $

$ x = 0 \Longrightarrow 1 = 3A + 2C \Rightarrow 1 - 9 = 2C \Rightarrow -8 = 2C \Rightarrow C = -4 $

$ x = 1 \Longrightarrow -3 = 2A + (B + C)3 \Rightarrow -3 = 6 + 3B - 12 \Rightarrow 9 = 6 + 3B \Rightarrow 3 = 3B \Rightarrow B = 1 $


Ejemplo 7: $$ \dfrac{ 2x^2 - x + 4 }{ x^3 + 4x } $$
Solución Se tiene que la fracción se puede descomponer de la siguiente forma:
$$ \dfrac{2x^2 - x + 4}{ x^3 + 4x } = \dfrac{2x^2 - x + 4}{x \left( x^2 + 4 \right) } = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 4} $$ De donde se obtiene multiplicando por el común denominador:
$$ 2x^2 - x + 4 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x \qquad (5) $$ $$ 2x^2 - x + 4 = Ax^2 + 4A + Bx^2 + Cx $$ $$ 2x^2 - x + 4 = x^2(A + B) + Cx + 4A$$ $$\left \{ \begin{array}{ll} A + B & = 2 \cr C & = -1 \cr 4A & = 4 \Rightarrow A = 1 \end{array} \right. $$ $$ A + B = 2 \Rightarrow \quad A = 1. $$ Por lo cual $$ \dfrac{2x^2 - x + 4}{x^3 + 4x} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{x - 1}{x^2 + 4} $$
Si tomamos valores en (5)

$ x = 0 \Longrightarrow 4 = A 4 \Rightarrow A = 1 $

$ x = 1 \Longrightarrow 5 = A5 + (B + C) \Rightarrow B = -C $

$ x = -1 \Longrightarrow 7 = 5 - (-B + C) \Rightarrow 2 = -2C \Rightarrow C = -1 \Rightarrow B = 1$

Caso IV: El denominador $Q(x)$ contiene un factor irreductible repetido.

Si $Q(x)$ tiene un factor cuadrático repetido $k$ veces de la forma $\left ( ax^2 + bx + c \right )^{k}$, donde $b^2 - 4ac < 0$, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene $k$ términos de la forma: $$ \dfrac{ A_{1} x + B_{1}}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{A_{2}x + B_2}{\left( ax^2 + bx + c \right)^2} + \cdots + \dfrac{A_{k} x + B_k}{ \left ( ax^2 + bx + c \right)^k} $$ donde $A_1, A_2, \cdots, A_k,$ y $B_1, B_2, \cdots B_k$ son constantes.

Ejemplo 8: Descomponer en fracciones parciales $$ \dfrac{1 - x + 2x^2 - x^3}{x \left( x^2 + 1 \right)^2 } $$ Solución: La forma de descomponer esta division de polinimios en fracciones parciales es: $$ \dfrac{1 - x + 2x^2 - x^3}{ x \left( x^2 + 1 \right )^2 } = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 1} + \dfrac{D x + E}{ \left( x^2 + 1 \right )^2 } $$ Multiplicando por $x \left( x^2 + 1 \right)^2$ y luego igualando coeficientes
$$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = A( x^2 + 1)^2 + (Bx + C)x(x^2 + 1) + x(Dx + E) \qquad (6) $$ $$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = A(x^4 + 2x^2 + 1) + (Bx + C)(x^3 + x) + Dx^2 + Ex $$ $$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = A(x^4 + 2x^2 + 1) + Bx^4 + Bx^2 + Cx^3 + Cx + Dx^2 + Ex $$ $$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = x^4(A + B) + x^3C + x^2(2A + B + D) + x(C + E) + A $$ se obtiene el siguiente sistema: $$\left \{ \begin{array}{ll} A + B & = 0 \cr C & = -1 \cr 2A + B + D & = 2 \cr C + E & = -1 \cr A & = 1 \cr \end{array} \right. $$ Cuya solución es: $ A = 1$, como $ B = -A \Rightarrow B = -1$, como $ C = -1 \Rightarrow E = 0$ y así $ D = 1 $.
Entonces $$ \dfrac{1 - x + 2x^2 - x^3 }{x \left ( x^2 + 1 \right )^2 } = \dfrac{1}{x} - \dfrac{x + 1}{x^2 + 1} + \dfrac{x}{\left( x^2 + 1 \right )^2 } $$
Tomando valores en (6) tenemos:
$ x = 0 \Longrightarrow 1 = A $

$ x = 1 \Longrightarrow 1 = 4A + 2(B + C) + (D + E) \Rightarrow - 3 = 2B + 2C + D + E $

$ x = -1 \Longrightarrow 5 = 4A - 2(B + C) - (-D + E) \Rightarrow 1 = 2B - 2C + D - E $

$ x = 2 \Longrightarrow -1 = 25A + 10(2B + C) + 2(2D + E) \Rightarrow -26 = 20B + 10C + 4D + 2E $

$ x = -2 \Longrightarrow 19 = 25A - 10(2B + C) - 2(-2D + E) \Rightarrow -6 = 20B - 10C + 4D - 2E $

se obtiene el siguiente sistema: $$\left \{ \begin{array}{ll} 2B + 2C + D + E & = -3 \cr 2B - 2C + D - E & = 1 \cr 20B + 10C + 4D + 2E & = -26 \cr 20B - 10C + 4D - 2E & = -6 \cr \end{array} \right. $$ Sumamos la $1^{\underline{a}}$ y $2^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (a) $-1 = 2B + D$

Sumamos la $3^{\underline{a}}$ y $4^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (b) $-4 = 5B + D$

Restamos $(a)$ y $(b): 3 = -3B \Rightarrow B = -1 \Rightarrow D = 1$

Restamos la $1^{\underline{o}}$ y $2^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (c) $-2 = 2C + E$

Restamos la $3^{\underline{a}}$ y $4^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (d) $-5 = 5C + E$

Restamos $(c)$ y $(d): 3 = -3C \Rightarrow C = -1 \Rightarrow E = 0$

Ejemplo 9: $$ \dfrac{x^3}{x^4 + 4x^2 + 4}$$ Solución La forma de descomponer esta division de polinimios en fracciones parciales es: $$ \dfrac{x^3}{x^4 + 4x^2 + 4} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2} + \dfrac{Cx + D}{ (x^2 + 2)^2 } $$
Multiplicando por el mínimo común múltiplo y luego igualando coeficientes
$$ x^3 = (Ax + B)(x^2 + 2) + (Cx + D) \qquad (7) $$
$$ x^3 = Ax^3 + 2Ax + Bx^2 + 2B + Cx + D $$
$$ x^3 = Ax^3 + Bx^2 + x(2A + C) + 2B + D $$
se obtiene el siguiente sistema: $$\left \{ \begin{array}{ll} A & = 1 \cr B & = 0 \cr 2A + C & = 0 \Rightarrow C = -2\cr 2B + D & = 0 \Rightarrow D = 0 \cr \end{array} \right. $$ En este caso no merece la pena tomar valores en $x$, pero ser puede hacer sin problemas.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com