Ecuaciones de primer grado, con paréntesis y denominadores.

LOS NUMERALES MULTIPLICATIVOS (1-13 y 100): «Los numerales multiplicativos expresan multiplicación».

• (x2): doble, duplo/pla,
• (x3): triple, triplo/pla,
• (x4): cuádruple, cuádruplo/pla,
• (x5): quíntuple, quíntuplo/pla,
• (x6): séxtuple, séxtuplo/pla,
• (x7): séptuple, séptuplo/pla,
• (x8): óctuple, óctuplo/pla,
• (x9): nónuplo/pla,
• (x10): décuplo/pla,
• (x11): undécuplo/pla,
• (x12): duodécuplo/pla,
• (x13): terciodécuplo/pla,
• (x14): cuartodécuplo/pla,
• (x15): quintodécuplo/pla,
• (x16): sextodécuplo/pla,
• (x100): céntuplo/pla.

(*) Del 14 al 99 los multiplicativos en español son inusitados, por lo que, en su lugar, se suelen emplear las expresiones « $X$ veces mayor» o "$X$ veces más".



¿Qué es una ecuación? Es una igualdad en las que aparecen números y letras (llamadas incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas. En las ecuaciones distinguimos varios elementos:

• Incógnita: La letra o variable que aparece en la ecuación, normalmente es la letra $x$ pero puede ser cualquiera.


• Miembro: Es cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo «=».


• Término: Cada uno de los sumandos que componen los miembros de la ecuación.


• Grado: Es el mayor de los exponentes de las incógnitas, en esta entrada es 1, ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado.

Vamos a resolver diferentes tipos de ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado, con paréntesis y con denominadores. Para ellos vamos a repasar algunas cosas:

Ecuación equivalente: «Aquellas ecuaciones que tienen las mismas soluciones.»

Regla de la suma: «Si a los dos miembros de una ecuación, les sumamos o restamos el mismo número o la misma expresión algebraica, obtenemos una ecuación equivalente.»

Regla del producto: «Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de la ecuación por el mismo número distinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente.»



Para resolver ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado sin paréntesis y sin denominadores lo que haremos será seguir los siguientes pasos:

1. Agruparemos términos en cada uno de los miembros de la ecuación


2. Transpondremos términos, los que tienen $x$ a un lado y los números a otro (usaremos la Regla de la suma)


3. Agrupamos de nuevo términos


4. Despejamos la $x$ (usaremos la Regla del producto)


5. Comprobamos la solución

Ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado, sin paréntesis y sin denominadores.

En este ejercicio no podemos agrupar en cada miembro de la ecuación, luego directamente trasponemos los términos, es decir, pasamos las $x$ a un lado y los números al otro:
$$ 5x - 7 = 2 - 4x $$
$$ 5x + 4x = 2 + 7 $$
$$ 9x = 9 $$
$$ x = \dfrac{\ 9\ }{9} = 1 $$
Una vez solucionada la ecuación,siempre debemos comprobar la misma, siempre en la ecuación original:

$ 5 \cdot 1 - 7 = 2 - 4 \cdot 1 \Rightarrow 5 -7 = 2 - 4 \Rightarrow -2 = -2 \checkmark$

En esta ecuación podemos agrupar términos en cada miembro de la ecuación, antes de transponer dichos términos:
$$ 3x + x + 4 = 2x + 10 $$
$$ 4x + 4 = 2x + 10 $$
$$ 4x - 2x = 10 - 4 $$
$$ 2x = 6$$
$$ x = \dfrac{\ 6\ }{2} = 3 $$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 3 y vemos que la ecuación se cumple:

$ 3 \cdot 3 + 3 + 4 = 2 \cdot 3 + 10 \Rightarrow 9 + 7 = 6 + 10 \Rightarrow = 16 = 16 \checkmark $

Agrupamos términos en cada uno de los miembros de la ecuación: $$ 6x - 9 + 3x - 2 - 5x = x - 6 - 3x + 1 $$
Trasponemos los términos, las $x$ a la izquierda de la ecuación ya que el coeficiente quedará positivo: $$ 4x - 11 = - 2x - 5 $$
Agrupamos de nuevo: $$ 4x + 2x = 11 - 5 $$
$$ 6x = 6 $$
Despejamos: $$ x = \dfrac{\ 6\ }{6} = 1 $$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 1 y vemos que la ecuación se cumple:

$ 6 \cdot 1 - 9 + 3 \cdot 1 - 2 - 5 \cdot 1 = 1 - 6 - 3 \cdot 1 + 1 $
$ 6 - 9 + 3 - 2 - 5 = 1 - 6 - 3 + 1 $
$ -3 + 3 - 7 = -5 - 2 $
$ - 7 = - 7 \checkmark $

En esta ecuación podemos agrupar términos en cada miembro de la ecuación, antes de transponer dichos términos:
$$ 3x - x + 7x + 12 = 3x + 9 - x + 4x + 18 $$
$$ 9x + 12 = 6x + 27 $$
Transponemos términos: $$ 9x - 6x = 27 - 12 $$
Agrupamos de nuevo: $$ 3x = 15 $$
Despejamos: $$ x = \dfrac{\ 15\ }{3} = 5 $$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 5 y vemos que la ecuación se cumple:

$ 3 \cdot 5 - 5 + 7 \cdot 5 + 12 = 3 \cdot 5 + 9 - 5 + 4 \cdot 5 + 18 $
$ 15 - 5 + 35 + 12 = 15 + 9 - 5 + 20 + 18 $
$ 57 = 57 \checkmark $

Ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado con paréntesis y sin denominadores.

Para ello recordaremos como se trabaja los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva: $$ a \times (b + c) = a \times b + a \times c \qquad \text{ y } \qquad a \times (b - c) = a \times b - a \times c $$ y la regla de los signos: $$ \oplus = \oplus \times \oplus \qquad \oplus = \ominus \times \ominus $$ $$ \ominus = \oplus \times \ominus \qquad \ominus = \ominus \times \oplus $$
Veamos unos ejemplos:

$ 3 \cdot ( 2x + 3) = 3 \cdot 2x + 3 \cdot 3 = 6x + 9 $	$ 2 \cdot (-4 - x ) = 2 \cdot (-4) - 2 \cdot x = -8 - 2x $
$ 9 \cdot ( -x + 7) = 9 \cdot (-x) + 9 \cdot 7 = -9x + 63 $	$ 5 \cdot (1 - 2x ) = 5 \cdot 1 - 5 \cdot 2x = 5 - 10x $
$ -4 \cdot ( 3x + 5) = -4 \cdot 3x + (-4) \cdot 5 = -12x -20 $	$ -7 \cdot (-1 - 2x ) = (-7) \cdot (-1) - (-7) \cdot 2x = 7 + 14x $
$ -8 \cdot ( -2x + 3) = -8 \cdot (-2x) + (-8) \cdot 3 = 16x -24 $	$ - 11 \cdot ( 2 - 3x ) = (-11) \cdot 2 - (-11) \cdot 3x = -22 + 33x $

Podemos usar estas tablas para entender la aplicación de la propiedad distributiva:

Recordemos además que:

$$ - (3 + x) = (-1) \cdot (3 + x) = (-1) \cdot 3 + (-1) \cdot x = - 3 - x $$

$$ - (2x - 7) = (-1) \cdot (2x - 7) = (-1) \cdot 2x - (-1) \cdot 7 = - 2x + 7 $$

$$ - (- 5x - 12) = (-1) \cdot (-5x - 12) = (-1) \cdot (-5x) - (-1) \cdot 12 = 5x + 12 $$

Para resolver ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado con paréntesis y sin denominadores lo que haremos será seguir los siguientes pasos:

1. Quitar los paréntesis. ¡¡Cuidado con los signos negativos delante del paréntesis y con los signos negativos que están dentro del paréntesis!!


2. Agruparemos términos en cada uno de los miembros de la ecuación


3. Transpondremos términos, los que tienen $x$ a un lado y los números a otro (Regla de la suma)


4. Agrupamos de nuevo términos


5. Despejamos la $x$ (Regla del producto)


6. Comprobamos la solución

Quitamos los paréntesis $$ 2x + 3 \cdot (2x - 1) = x + 67 $$
$$ 2x + 3 \cdot 2x - 3 \cdot 1 = x + 67 $$
$$ 2x + 6x - 3 = x + 67 $$
Ahora ya tenemos una ecuación de $\odn{1}{er}$ grado sin paréntesis y sabemos resolverla: $$ 2x + 6x - 3 = x + 67 $$
Agrupamos términos: $$ 8x - 3 = x + 67 $$
Transponemos términos: $$ 7x = 70 $$
$$ x = \dfrac{\ 70\ }{7} = 10 $$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 10 y vemos que la ecuación se cumple:

$ 2 \cdot 10 + 3 \cdot (2 \cdot 10 - 1) = 10 + 67 $
$ 20 + 3 \cdot 19 = 77 $
$ 20 + 57 = 77 \checkmark $

Quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiv y teniendo cuidado con los signos:
$$ 3 \cdot (12 - x) - 4x = 2 \cdot (11 - x) + 9x $$
$$ 3 \cdot 12 - 3 \cdot x - 4x = 2 \cdot 11 - 2 \cdot x + 9x $$
$$ 36 - 3x - 4x = 22 - 2x + 9x $$
Ya tenemos una ecuación sin paréntesis que ya sabemos resolver, vamos a agrupar en cada uno de los miembros: $$ 36 - 7x = 22 + 7x $$
Ahora transponemos términos, en este caso pasamos las $x$ a la derecha para qué quede positiva: $$ 36 - 22 = 7x + 7x $$
Volvemos a agrupar y despejamos: $$ 14 = 14x $$
$$ x = \dfrac{\ 14\ }{14} = 1 $$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 1 y vemos que la ecuación se cumple:

$ 3 \cdot (12 - 1) - 4 \cdot 1 = 2 \cdot (11 - 1) + 9 \cdot 1 $
$ 3 \cdot 11 - 4 = 2 \cdot 10 + 9 $
$ 33 - 4 = 20 + 9 $
$ 29 = 29 \checkmark $

Vamos a quitar los paréntesis y teniendo cuidado con los signos negativos: $$ 3 \cdot (x + 7) = - (5 - x) + 6 $$
$$ 3 \cdot x + 3 \cdot 7 = - 5 + x + 6 $$
$$ 3x + 21 = - 5 + x + 6 $$
Tenemos una ecuación de $\odn{1}{er}$ grado sin paréntesis que ya sabemos resolver, agrupamos términos en cada miembro de la ecuación:
$$ 3x + 21 = x + 1 $$
Transponemos términos y despejamos: $$ 3x - x = 1 - 21 $$
$$ 2x = - 20 $$
$$ x = \dfrac{\ - 20\ }{2} = -10 $$ Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por -10 y vemos que la ecuación se cumple:

$ 3 \cdot (-10 + 7) = - (5 - (-10)) + 6 $
$ 3 \cdot (-3) = - (5 + 10) + 6 $
$ - 9 = - 15 + 6 $
$ - 9 = - 9 \checkmark $

Quitamos los paréntesis teniendo cuidado con los signos negativos: $$ 2x + 3 \cdot (x + 1) = 11 - 2 \cdot (2x - 5) $$ $$ 2x + 3 \cdot x + 3 \cdot 1 = 11 - 2 \cdot 2x - (-2) \cdot 5 $$ $$ 2x + 3x + 3 = 11 - 4x + 10 $$ Ahora tenemos una ecuación si paréntesis que sabemos resolver,, agrupamos términos y tenemos:
$$ 5x + 3 = 21 - 4x $$ Transponemos términos y despejamos: $$ 5x + 4x = 21 - 3 $$ $$ 9x = 18 $$ $$ x = \dfrac{\ 18\ }{9} = 2 $$ Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 2 y vemos que la ecuación se cumple:

$ 2 \cdot 2 + 3 \cdot (2 + 1) = 11 - 2 \cdot (2 \cdot 2 - 5) $
$ 4 + 3 \cdot 3 = 11 - 2 \cdot (4 - 5) $
$ 4 + 9 = 11 - 2 \cdot (-1) $
$ 13 = 11 + 2 \checkmark $

Quitamos los paréntesis teniendo mucho cuidado con los signos negtivos:
$$ 5x - 3 \cdot (2x - 1) - (x + 5) = -4 - 2 \cdot (3x + 5) $$ $$ 5x - 3 \cdot 2x - (-3) \cdot 1 - x - 5 = -4 - 2 \dot 3x + (-2) \cdot 5 $$ $$ 5x - 6x + 3 - x - 5 = -4 - 6x - 10 $$ Tenemos una ecuación sin paréntesis que ya sabemos resolver, agrupamos en cada uno de los miembros:
$$ -2x - 2 = - 6x - 14 $$ Transponemos términos y despejamos: $$ 6x - 2x = 2 - 14 $$ $$ 4x = - 12 $$ $$ x = \dfrac{\ -12\ }{4} = - 3 $$ Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por -3 y vemos que la ecuación se cumple:

$ 5 \cdot (-3) - 3 \cdot (2 \cdot (-3) - 1) - (-3 + 5) = -4 - 2 \cdot (3 \cdot (-3) + 5) $
$ -15 - 3 \cdot (-6 - 1) - (2) = -4 - 2 \cdot (-9 + 5) $
$ -15 - 3 \cdot (-7) - 2 = -4 - 2 \cdot (-4) $
$ -15 + 21 - 2 = -4 + 8 $
$ 4 = 4 \checkmark $

Quitamos los paréntesis con mucho cuidado con los signos negativos:
$$ 3 \cdot [ x + (14 - x) ] = 2 \cdot [x - (2x - 21)] $$ $$ 3 \cdot x + 3 \cdot (14 - x) ] = 2 \cdot x - 2 \cdot (2x - 21) $$ $$ 3 \cdot x + 3 \cdot 14 - 3 \cdot x = 2 \cdot x - 2 \cdot 2x - (-2) \cdot 21 $$ $$ 3x + 42 - 3x = 2x - 4x + 42 $$ Ahora tenemos una ecuación sin paréntesis, agrupamos los términos en los dos miembros de la ecuación:
$$ 42 = -2x + 42 $$ Transponemos términos y despejamos: $$ 2x = 42 - 42 $$ $$ 2x = 0 \Rightarrow x = 0 $$ Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 0 y vemos que la ecuación se cumple:

$ 3 \cdot [ 0 + (14 - 0) ] = 2 \cdot [0 - (2 \cdot 0 - 21)] $
$ 3 \cdot 14 = 2 \cdot 21 $
$ 42 = 42 \checkmark $

Ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado con paréntesis y con denominadores.

Para resolver ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado con paréntesis y con denominadores lo que haremos será seguir los siguientes pasos:

1. Calcular el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de las fracciones que hay en la ecuación.


2. Multiplicar los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo calculado anteriormente, aplicamos la distributiva y quitamos los denominadores. Ahora tenemos una ecuación con paréntesis que ya sabemos resolver.


3. Quitar los paréntesis. ¡¡Cuidado con los signos negativos delante del paréntesis y con los signos negativos que están dentro del paréntesis!!


4. Agruparemos términos en cada uno de los miembros de la ecuación


5. Transpondremos términos, los que tienen $x$ a un lado y los números a otro (Regla de la suma)


6. Agrupamos de nuevo términos


7. Despejamos la $x$ (Regla del producto)


8. Comprobamos la solución

Lo primero recordar que $ \dfrac{\ 1\ }{2} x = \dfrac{\ x\ }{2} $. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, como sólo está el 2, en este caso es muy fácil, multiplicaremos los dos miembros de la ecuación por 2: $$ 3x + \dfrac{\ 1\ }{2} x + 6 = 2x $$ $$ 2 \cdot \left ( 3x + \dfrac{\ 1\ }{2} x + 6 \right ) = 2 \cdot 2x $$ Aplicamos la propiedad distributiva y quitamos los denominadores: $$ 2 \cdot 3x + 2 \cdot \dfrac{\ 1\ }{2} x + 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2x $$ $$ 6x + x + 12 = 4x $$ Ahora tenemos una ecuación sin paréntesis y sin denominadores que ya sabemos resolver, agrupamos, transponemos, agrupamos y despejamos: $$ 7x + 12 = 4x $$ $$ 3x = - 12 $$ $$ x = \dfrac{\ - 12\ }{3} = - 4 $$ Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por -4 y vemos que la ecuación se cumple:

$ 2 \cdot 3 \cdot (-4) + 2 \cdot \dfrac{\ 1\ }{2} \cdot (-4) + 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot (-4) $
$ -24 - 4 + 12 = -16 $
$ - 16 = 16 \checkmark $$

El mínimo común múltiplo de los denominadores es 6, luego multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 6 y aplicamos la propiedad distributiva: $$ \dfrac{\ x\ }{3} - \dfrac{\ 7\ }{2} = \dfrac{\ 5\ }{2} $$
$$ 6 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{3} - \dfrac{\ 7\ }{2} \right ) = 6 \cdot \left ( \dfrac{\ 5\ }{2} \right ) $$
$$ 6 \cdot \dfrac{\ x\ }{3} - 6 \cdot \dfrac{\ 7\ }{2} = 6 \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} $$
$$ 2x - 21 = 15 $$ Ya tenemos una ecuación de $\odn{1}{er}$ sin paréntesis y sin denominadores que ya sabemos resolver: $$ 2x = 36 $$ $$ x = \dfrac{\ 36\ }{2} = 18 $$ En este caso podíamos haberlo hecho de otra forma, transponemos términos y nos queda: $$ \dfrac{\ x\ }{3} - \dfrac{\ 7\ }{2} = \dfrac{\ 5\ }{2} $$
$$ \dfrac{\ x\ }{3} = \dfrac{\ 7\ }{2} + \dfrac{\ 5\ }{2} $$
$$ \dfrac{\ x\ }{3} = \dfrac{\ 12\ }{2} $$
$$ \dfrac{\ x\ }{3} = 6 $$
Despejamos la $x$ nos queda que $x = 6 \cdot 3 = 18$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 18 y vemos que la ecuación se cumple:

$ \dfrac{\ 18\ }{3} - \dfrac{\ 7\ }{2} = \dfrac{\ 5\ }{2} $
$ 6 = \dfrac{\ 7\ }{2} + \dfrac{\ 5\ }{2} $
$ 6 = \dfrac{\ 12\ }{2} \checkmark $

El mínimo común múltiplo de los denominadores es 12, luego multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 6 y aplicamos la propiedad distributiva: $$ \dfrac{\ 5x + 7\ }{2} - \dfrac{\ 3x + 9\ }{4} = \dfrac{\ 2x + 5\ }{3} + 5 $$ $$ 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 5x + 7\ }{2} - \dfrac{\ 3x + 9\ }{4} \right ) = 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2x + 5\ }{3} + 5 \right ) $$ $$ 12 \cdot \dfrac{\ 5x + 7\ }{2} - 12 \cdot \dfrac{\ 3x + 9\ }{4} = 12 \cdot \dfrac{\ 2x + 5\ }{3} + 12 \cdot 5 $$ Para entenderlo ponemos que el mínimo común múltiplo multiplica al numerador de cada fracción $$ \dfrac{\ 12 \cdot ( 5x + 7)\ }{2} - \dfrac{\ 12 \cdot (3x + 9)\ }{4} = \dfrac{\ 12 \cdot ( 2x + 5) \ }{3} + 12 \cdot 5 $$ Simplificando nos queda: $$ \dfrac{\ \cancelto{6}{12} \cdot ( 5x + 7)\ }{ \cancel{2} } - \dfrac{\ \cancelto{3}{12} \cdot (3x + 9)\ }{ \cancel{4} } = \dfrac{\ \cancelto{4}{12} \cdot ( 2x + 5) \ }{ \cancel{3} } + 12 \cdot 5 $$ $$ 6 \cdot (5x + 7) - 3 \cdot ( 3x + 9) = 4 \cdot ( 2x + 5 ) + 12 \cdot 5 $$ Ahora tenemos una ecuación con paréntesis que ya sabemos hacer. Quitamos los paréntesis teniendo cuidado con los signos negativos: $$ 6 \cdot 5x + 6 \cdot 7 - 3 \cdot 3x + (-3) \cdot 9 = 4 \cdot 2x + 4 \cdot 5 + 60 $$ $$ 30x + 42 - 9x - 27 = 8x + 20 + 60 $$ Agrupamos, transponemos y volvemos a agrupar términos y despejamos: $$ 21x + 15 = 8x + 80 $$ $$ 13x = 65 $$ $$ x = \dfrac{\ 65\ }{13} = 5 $$ Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 18 y vemos que la ecuación se cumple:

$ \dfrac{\ 5 \cdot 5 + 7\ }{2} - \dfrac{\ 3 \cdot 5 + 9\ }{4} = \dfrac{\ 2 \cdot 5 + 5\ }{3} + 5 $

$ \dfrac{\ 32\ }{2} - \dfrac{\ 24\ }{4} = \dfrac{\ 15\ }{3} + 5 $

$ 16 - 6 = 5 + 5 $

$ 10 = 10 \checkmark $

El mñinimo común múltiplo de los denominadores es 15, luego multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 15 y aplicamos la propiedad distributiva: $$ \dfrac{\ 2 \cdot (x - 2)\ }{3} - x + 2 = \dfrac{\ 3 \cdot (- x - 2)\ }{5} $$ $$ 15 \cdot \left ( \dfrac{\ 2 \cdot (x - 2)\ }{3} - x + 2 \right ) = 15 \cdot \left ( \dfrac{\ 3 \cdot (- x - 2)\ }{5} \right ) $$ $$ \dfrac{\ 15 \cdot 2 \cdot (x - 2) \ }{3} - 15 \cdot x + 15 \cdot 2 = \dfrac{\ 15 \cdot 3 \cdot (- x - 2)\ }{5} $$ Simplificamosy nos quedará una ecuación con paréntesis que ya sabemos resolver: $$ \dfrac{\ \cancelto{5}{15} \cdot 2 \cdot (x - 2) \ }{ \cancel{3} } - 15 \cdot x + 15 \cdot 2 = \dfrac{\ \cancelto{3}{15} \cdot 3 \cdot (- x - 2)\ }{ \cancel{5} } $$ $$ 5 \cdot 2 \cdot (x - 2) - 15x + 30 = 3 \cdot 3 \cdot (- x - 2) $$ $$ 10 \cdot (x - 2) - 15x + 30 = 9 \cdot (- x - 2) $$ $$ 10 \cdot x - 10 \cdot 2 - 15x + 30 = 9 \cdot (- x) - 9 \cdot 2 $$ $$ 10x - 20 - 15x + 30 = -9x - 18 $$ Ya tenemos una euación sin paréntesis y sin denominadores que ya sabemos hacer, agrupamos, transponemos términos y despejamos: $$ - 5x + 10 = -9x - 18 $$ $$ - 5x + 9x = -10 - 18 $$ $$ 4x = - 28 $$ $$ x = \dfrac{\ - 28\ }{4} = - 7 $$ Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por -7 y vemos que la ecuación se cumple:

$ \dfrac{\ 2 \cdot (-7 - 2)\ }{3} - (-7) + 2 = \dfrac{\ 3 \cdot (- (-7) - 2)\ }{5} $

$ \dfrac{\ 2 \cdot (-9)\ }{3} + 7 + 2 = \dfrac{\ 3 \cdot (7 - 2)\ }{5} $

$ 2 \cdot (-3) + 7 + 2 = \dfrac{\ 3 \cdot 5 \ }{5} $

$ -6 + 9 = 3 \checkmark $

El mínimo común mútiplo de los denominadores es 60, luego multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 60 y apicamos la propiedad distributiva: $$ 60 \cdot \left ( \dfrac{\ 5x\ }{3} - 3 \left ( \dfrac{\ x\ }{4} + \dfrac{\ 4\ }{5} \right ) \right ) = 60 \cdot \left ( 3 \left ( \dfrac{\ 1\ }{5} - \dfrac{\ 2x\ }{3} \right ) - 38 \right ) $$ $$ 60 \cdot \dfrac{\ 5x\ }{3} - 60 \cdot 3 \left ( \dfrac{\ x\ }{4} + \dfrac{\ 4\ }{5} \right ) = 60 \cdot 3 \left ( \dfrac{\ 1\ }{5} - \dfrac{\ 2x\ }{3} \right ) - 60 \cdot 38 $$ $$ 60 \cdot \dfrac{\ 5x\ }{3} - 180 \cdot \dfrac{\ x\ }{4} - 180 \cdot \dfrac{\ 4\ }{5} = 180 \cdot \dfrac{\ 1\ }{5} - 180 \cdot \dfrac{\ 2x\ }{3} - 60 \cdot 38 $$ $$ \dfrac{\ 60 \cdot 5x\ }{3} - \dfrac{\ 180 \cdot x\ }{4} - \dfrac{\ 180 \cdot 4\ }{5} = \dfrac{\ 180 \ }{5} - \dfrac{\ 180 \cdot 2x\ }{3} - 60 \cdot 38 $$ $$ \dfrac{\ \cancelto{20}{60} \cdot 5x\ }{ \cancel{3} } - \dfrac{\ \cancelto{45}{180} \cdot x\ }{ \cancel{4} } - \dfrac{\ \cancelto{36}{180} \cdot 4\ }{ \cancel{5} } = \dfrac{\ \cancelto{36}{180} \ }{ \cancel{5} } - \dfrac{\ \cancelto{60}{180} \cdot 2x\ }{ \cancel{3} } - 60 \cdot 38 $$ $$ 100x - 45 x - 144 = 36 - 120x - 1680 $$ Tenemos una ecuación sin paréntesis y sin denominadores que sabemos hacer, agrupamos, transponemos, agrupamos y despejamos: $$ 100x - 45 x - 144 = 36 - 120x - 2280 $$ $$ 55x - 144 = - 120x - 2244 $$ $$ 55x + 120x = + 144 - 2244 $$ $$ 175x = -2100 $$ $$ x = \dfrac{\ -2100\ }{175} = -12 $$ Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por -12 y vemos que la ecuación se cumple:

$ \dfrac{\ 5 \cdot (-12)\ }{3} - 3 \left ( \dfrac{\ -12\ }{4} + \dfrac{\ 4\ }{5} \right ) = 3 \left ( \dfrac{\ 1\ }{5} - \dfrac{\ 2 \cdot (-12)\ }{3} \right ) - 38 $

$ - 20 - 3 \left ( -3 + \dfrac{\ 4\ }{5} \right ) = 3 \left ( \dfrac{\ 1\ }{5} - (-8) \right ) - 38 $

$ - 20 - 3 \left ( \dfrac{\ -11\ }{5} \right ) = 3 \left ( \dfrac{\ 41\ }{5} \right ) - 38 $

$ \dfrac{\ 33\ }{5} - \left ( \dfrac{\ 123\ }{5} \right ) = 20 - 38 $

$ - \left ( \dfrac{\ 90\ }{5} \right ) = - 18 $

$ - 18 = - 18 \checkmark $

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Ecuaciones irracionales (con la incógnita en el radicando) y ejemplos.

  Una ecuación irracional es una ecuación donde la incógnita se encuentra en el radicando. Veamos algunos ejemplos: 

1. $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $
2. $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $ 
3. $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Vamos a verlo, pero antes tenemos que tener en cuenta una serie de cosas. 

En Matemáticas las raíces cuadradas las intentamos eliminar de dos formas:

• Racionalizando; 
• Elevando al cuadrado.

Para resolver este tipo de ecuaciones elegiremos la $2^{\underline{a}}$ opción, es decir, elevaremos al cuadrado. Pero al usar esta opción, tenemos un pequeño inconveniente, estamos añadiendo soluciones. Veamos esto con un ejemplo muy sencillo: 

Tenemos la ecuación $x = 3$, si elevamos al cuadrado, es decir, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad tenemos que  $x^2 = 9$ y las soluciones de esta ecuación son $x = 3$ que ya la sabíamos y $x = -3$ que no es solución, que ha aparecido por elevar al cuadrado. ¿Cuándo nos daremos cuenta de esto? Cuando comprobemos las soluciones de la ecuación original que estamos resolviendo. Así que siempre tenemos que comprobar las ecuaciones y siempre en la ecuación original, la que tenemos que resolver. 

Otra cosa a tener en cuenta, es que al elevar al cuadrado puede que tengamos una suma o una resta, es decir, tenemos que desarrollar el cuadrado de una suma o de una resta, cuidado, no dejarnos el doble producto, suele ser uno de los errores más comunes en este tipo de ejercicios: 

• $(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 
• $(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 

También tenemos que tener en cuenta las propiedades de las potencias en general y sobre todo una en particular: 

$$ (c \cdot d)^n = c^n \cdot d^n $$ 

Es decir, la potencia de un producto de varios factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores.

También conviene recordar como poner una raíz en forma de exponente fraccionario y recordar la siguiente propiedad: $$(a \cdot b)^{ \frac{\ 1\ }{2} } = \sqrt{\ a \cdot b \ } = \sqrt{\ a \ } \cdot \sqrt{\ b \ } = a^{ \frac{\ 1\ }{2} } \cdot b^{ \frac{\ 1\ }{2} } $$
$$(a \cdot b)^{ \frac{\ 1\ }{3} } = \sqrt[3]{\ a \cdot b \ } = \sqrt[3]{\ a \ } \cdot \sqrt[3]{\ b \ } = a^{ \frac{\ 1\ }{3} } \cdot b^{ \frac{\ 1\ }{3} } $$

Repasadas algunas cosas vamos a resolver este tipo de ecuaciones. 

$\bullet$ Veamos el $1^{\underline{er}}$ ejemplo: $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $ 

Podemos reordenarla de forma que dejamos la raíz  «aislada»  (solamente la raíz) en lado de la igualdad: 

$$2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x \Rightarrow 2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} $$

Y ahora con la raíz aislada en una lado de la ecuación elevamos al cuadrado: 

$$2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} \Rightarrow (2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 $$

Desarrollamos los cuadrados en ambos lados de la igualdad: 

$$(2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 \Rightarrow 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 9x$$ 

Agrupando y pasándolo todo a un lado de la igualdad tenemos:

$$4 + 4x + x^2 - 9x = 0 \Rightarrow x^2 -5x + 4 = 0 $$

Como la suma de los coeficientes es cero 1 es raíz; la otra raíz la sacamos ya que el producto de las dos raíces es 4 y una de ellas es 1, la otra es 4. Vamos a comprobar las raíces en la ecuación inicial: 

• $x = 1 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 2 - 3 = -1 \checkmark $ 
• $x = 4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{4} = -4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot 2 = -4 \Rightarrow 2 -6 = -4 \checkmark $ 

En este caso las dos soluciones son raíces de la ecuación inicial. 

$\bullet$ Veamos con el $2^{\underline{o}}$ ejemplo, la ecuación $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $. En este caso no se puede aislar una raíz en cada uno de los lados de la ecuación. El consejo en este caso es tener una raíz en cada uno de los lados de la ecuación: 

$$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 1 + \sqrt{x - 1} $$

y con una raíz en cada lado elevamos al cuadrado: 

$$ \left ( \sqrt{x + 1} \right )^2 = \left (1 + \sqrt{x - 1} \right)^2 $$

Desarrollamos cada uno de los cuadrados y tenemos: 

$$ x + 1 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1  $$ 

Agrupamos, simplificamos y dejamos la raíz asilada en lado de la ecuación como en el primer ejemplo: 

$$ x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow  1 =  2 \cdot \sqrt{x - 1} $$ 

Ahora estamos igual que en el primer ejercicio, volvemos a elevar al cuadrado y: 

$$ 1 = 2 \cdot \sqrt{x - 1} \Rightarrow 1 = 4 \cdot (x - 1) \Rightarrow 1 + 4 = 4x \Rightarrow x = \dfrac{5}{4} $$

Comprobemos la solución: 

$$ x = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{5}{4} + 1} - \sqrt{\dfrac{5}{4} - 1} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} - \sqrt{\dfrac{1}{4} } = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \checkmark $$ 

$\bullet$ Vamos con el $3^{\underline{er}}$ ejemplo: $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

Estamos en el mismo caso que en el anterior ejemplo, no podemos aislar una raíz en cada uno de los dos lados de la ecuación. Así que elevaremos al cuadrado y reordenaremos: 

$$\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)} \Rightarrow x + 3 + x - 1 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2 \cdot (x + 1) $$

Agrupando tenemos: 

$$ 2x + 2 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2x + 2  \Rightarrow - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 \Rightarrow \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 $$ 

$$ \sqrt{ (x - 1) \cdot (x + 3)} = 0  \Rightarrow (x - 1) \cdot (x + 3) = 0 $$

Claramente los candidatos a soluciones son $x = 1$ y $x = -3$. Vamos a comprobarlos: 

$x = -3 \Rightarrow \sqrt{- 3 + 3} - \sqrt{-3 - 1} = \sqrt{2 \cdot (-3 + 1)} \Rightarrow \sqrt{0} - \sqrt{-4} = \sqrt{-4} $ ✗ no tiene sentido hablar de raíces negativas $x= -3$ no es solución.

$x = 1 \Rightarrow \sqrt{1 + 3} - \sqrt{1 - 1} = \sqrt{2 \cdot (1 + 1)} \Rightarrow \sqrt{4} - \sqrt{0} = \sqrt{4} \Rightarrow 2 = 2 \checkmark  x = 1$ es solución.

Veamos unos ejercicios resueltos:

Este ejercicio tiene solamente una raíz cuadrada, así que la podemos aislar fácilmente:

$ \sqrt{3x - 3} = 4x - 13 $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ 3x - 3 = (4x - 13)^2 \Rightarrow 3x - 3 = 16x^2 - 104x + 169 \Rightarrow 16x^2 - 107x + 172 = 0 $


Resolvemos la ecuación de $2^{\underline{o}}$ grado y tenemos que:

$$ x = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{107^{2} - 4 \cdot 172 \cdot 16} }{2 \cdot 16} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{11.449 - 11.008} }{32} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{441} }{32} = \dfrac{ 107 \pm 21 }{32} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 128 }{ 32 } = 4 \Rightarrow x_1 = 4 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 86 }{ 32 } = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 4 \Rightarrow \sqrt{3 \cdot 4 - 3} = 4 \cdot 4 - 13 \Rightarrow \sqrt{9} = 16 - 13 \Rightarrow 3 = 16 - 14 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow \sqrt{3 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 3} = 4 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 13 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 129 - 48 }{ 16 } } = \dfrac{ 43 - 52 }{ 4 } \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 81 }{ 16 } } = \dfrac{ -9 }{ 4 } \Rightarrow \dfrac{ 9 }{ 4} = \dfrac{ -9 }{ 4 } $ ✗ que no es solución.

Este ejercicio tiene dos raíces, aislar una de ellas es fácil, la otra la pasamos al otro lado de la ecuación

$ \sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{2x + 3} = 2 + \sqrt{x - 2} $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ \left ( \sqrt{2x + 3} \right ) = \left ( 2 + \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow 2x + 3 = 4 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} + x - 2 \Rightarrow 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} $


Agrupamos y dejamos la raíz aislada en un lado de la ecuación

$ 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} \Rightarrow x + 1 = 4 \cdot \sqrt{x - 2} $

Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$ (x + 1)^2 = \left (4 \cdot \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16 \cdot (x - 2) \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16x - 32 \Rightarrow x^2 - 14x + 33 = 0 $

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 33} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{196 - 132} }{2} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{64} }{2} = \dfrac{ 14 \pm 8 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 22 }{ 2 } = 11 \Rightarrow x_1 = 11 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 6 }{ 2 } = 3 \Rightarrow x_2 = 3 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 11 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 11 + 3} - \sqrt{11 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{25} -\sqrt{9} = 2 \Rightarrow 5 - 3 = 2 \checkmark $

$x_2 = 3 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 3 + 3} - \sqrt{3 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{ 9 } - \sqrt{1} = 2 \Rightarrow 3 - 1 = 2 \checkmark $

En este caso las dos soluciones cumplen la ecuación.

Pasamos una raíz al otro lado de la igualdad, da igual la que pasemos pero es mejor pasar la que está restando:

$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7} = 2\sqrt{x - 3} $$ Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad y desarrollamos:

$$(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7})^2 = (2\sqrt{x - 3})^2 \Rightarrow x - 1 + x - 7 + 2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 4(x - 3) $$

Reordenando y simplificando tenemos:

$$2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 2(x - 2) \Rightarrow \sqrt{(x - 1)(x - 7)} = (x - 2) $$

Volvemos a elevar al cuadrado por segunda vez, desarrollamos y agrupamos

$$\left ( \sqrt{(x - 1)(x - 7)} \right )^2 = (x - 2)^2 \Rightarrow x^2 - 8x + 7 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow - 4x = - 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{4}$$

Comprobamos la solución en la ecuación inicial:

$x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{4} - 1} + \sqrt{\dfrac{3}{4} - 7} - 2\sqrt{\dfrac{3}{4} - 3} = 0 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{-1}{4} } + \sqrt{ \dfrac{-25}{4} } - 2\sqrt{ \dfrac{-9}{4} } = 0 $ ✗

Todas las raíces son negativas por lo tanto, no tiene soluciones reales.

Aislamos la raíz en un lado de la ecuación, elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \sqrt{x} = 30 - x \Rightarrow x = (30 - x)^2 \rightarrow x = 900 - 60x + x^2 \Rightarrow x^2 - 61x + 900 = 0 $$ Ahora resolvemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado

$$ x = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 900} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{3721 - 3600} }{2} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{121} }{2} = \dfrac{ 61 \pm 11 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 72 }{ 2 } = 36 \Rightarrow x_1 = 36 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 50 }{ 2 } = 25 \Rightarrow x_2 = 25 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x = 36 \Rightarrow \sqrt{36} = 30 - 36 \Rightarrow 6 = 30 - 36 \Rightarrow 6 = -6 $ ✗ luego no es solución

$x = 25 \Rightarrow \sqrt{25} = 30 - 25 \Rightarrow 5 = 30 - 25 \checkmark $ luego sí es solución

Tenemos dos raíces, dejamos una en cada lado, vamos como están, elevamos al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ \sqrt{x} + 1 = \sqrt{x + 9} \Rightarrow \left ( \sqrt{x} + 1 \right )^2 = \left (\sqrt{x + 9} \right)^2 \Rightarrow x + 2 \cdot \sqrt{x} + 1 = x + 9 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{x} = 8 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 $$ Volvemos a elevar al cuadrado y ya lo tenemos

$ x = 16 $, vamos a comprobarlo $ \sqrt{16} + 1 = \sqrt{16 + 9} \Rightarrow 4 + 1 = \sqrt{25} \Rightarrow 4 + 1 = 5 \checkmark $ es solución.

Tal y como está elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \left( 2 \cdot \sqrt{2x - 1} \right )^2 = \left ( \sqrt{6x - 5} + \sqrt{2x - 9} \right )^2 \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 6x - 5 + 2x - 9 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 8x - 14 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 2 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4x - 2 = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 5 = \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} $$ Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ 25 = (6x - 5) \cdot (2x - 9) \Rightarrow 25 = 12x^2 - 54x - 10x + 45 \Rightarrow 12x^2 - 64x + 20 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 16x + 5 = 0 $$ Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5} }{2 \cdot 3} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{256 - 60} }{6} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{196} }{6} = \dfrac{ 16 \pm 14 }{6} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 30 }{ 6 } = 5 \Rightarrow x_1 = 5 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 6 } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 5 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{6 \cdot 5 - 5} + \sqrt{2 \cdot 5 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{10 - 1} = \sqrt{30 - 5} + \sqrt{10 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{9} = \sqrt{25} + \sqrt{1} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 2 \cdot 3 = 5 + 1 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot \dfrac{ 1 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ 2 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ -1 }{ 3 } } $ ✗ que no tiene sentido. Luego no es solución.

Tal y como está hacemos el producto en cruz:

$$ 2 \cdot \sqrt{\ x\ } \cdot 2 \cdot \sqrt{\ x\ } = \left ( 5 + \sqrt{\ x\ }\right ) \cdot \left ( 5 - \sqrt{\ x\ } \right ) \Leftrightarrow 4 x = 25 - x \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5 $$
Vamos a comprobar la solución $x = 5$, siempre en la ecuación inicial:

$$ \dfrac{\ 2 \cdot \sqrt{\ 5\ } }{\ 5 - \sqrt{\ 5\ }\ } = \dfrac{\ 5 + \sqrt{\ 5\ }\ }{ 2\sqrt{\ 5\ } } \Leftrightarrow 4 \cdot 5 = 25 - 5 \Leftrightarrow 20 = 20 \checkmark $$

Veamos otro tipo de ejercicios pero también con radicales:

Elevemos al cuadrado los dos lados de la ecuación, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (1 - x \right )^2 = \left ( \sqrt{1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} } \right )^2 \Rightarrow 1 - 2x + x^2 = 1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \Rightarrow - 2x + x^2 = - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} $$

Nos queda una raíz y por tanto volvemos a elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (- 2x + x^2 \right )^2 = \left (- x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \right )^2 \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = x^2 \cdot (4 - 7x^2) \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = 4x^2 - 7x^4 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 8x^4 - 4x^3 = 0 \Rightarrow 4x^4 \cdot (2x - 1) = 0 $$

Las soluciones de la ecuación son $x = 0$ y $x = \dfrac{1}{2}$. Vamos a comprobarlo

$x = 0 \Rightarrow 1 - 0 = \sqrt{1 - 0 \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot 0^2} } \Rightarrow 1 = 1 \checkmark $

$x = \dfrac{1}{2} $

Por un lado tenemos que $ 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} $;

Por otro lado $ \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right ) ^2} } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - \dfrac{7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{16 - 7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{9}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} } = $

$ = \sqrt{1 - \dfrac{3}{4} } = \sqrt{ \dfrac{1}{4} } = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \checkmark $

Las dos soluciones de la ecuación transformada son solución de la ecuación original.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com