$$ e = \displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{x} }$$
Pero también se cumple, si en lugar de $x$ es cualquier $f(x)$:
$$ \text{(1)} \ \ \ \ e = \displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{\ 1 \ }{f(x)} \right )^{f(x)} }$$
Las indeterminaciones del tipo $1^{\infty}$ nos pueden aparecer cuando:
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{ 1^{\infty} \right \} $$
$$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{ 1^{ \infty} \right \} $$
$$\displaystyle \lim_{ x \to a } f(x)^{g(x)} = \left \{ 1^{ \infty} \right \} a \in \mathbb{R}$$
Para resolver límites de este estilo, siempre tenemos que ponerlos de la forma (1), veamos un ejemplo:
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} \right )^{x + 5} = \left \{ 1^{+\infty} \right \} = $$
Sumamos y restamos 1 en la base y hacemos la resta:
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3}{x + 1} - 1 \right )^{x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 1}{x + 1} \right )^{x + 5} = $$
$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3 - x - 1}{x + 1} \right )^{x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{2}{x + 1} \right )^{x + 5} = $$
Ahora tenemos que dejar 1 en el numerador de la base, ¿cómo lo conseguimos? Dividiendo numerador y denominador por el numerador, en este caso 2:
$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ \dfrac{2}{2} }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{x + 5} = $$
Necesitamos que el exponente coincida con el denominador de la fracción de la base, como no coincide, multiplicamos y dividimos el exponente por el denominador de la fracción de la base:
$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{\dfrac{x + 1}{2} \cdot \dfrac{2}{x + 1} \cdot (x + 5)} = \left [ \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{\dfrac{x + 1}{2}} \right ]^{ \dfrac{2}{x + 1} \cdot (x + 5)} =$$
Lo de los corchetes es el número $e$ que ahora está elevado a una expresión cuyo límite queremos calcular:
$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x + 1} \cdot (x + 5) } = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 10}{x + 1} } = e^{ \left \{ \dfrac{+\infty}{+\infty} \right \} } = e^{2} $$
Lo mismo que hemos hecho con este límite lo podríamos hacer en general, veámoslo:
Tenemos una función $f(x)$ tal que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$ y
otra función $g(x)$ tal que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. Así
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{ 1^{+\infty} \right \} = $$
Sumamos y restamos 1 en la base y hacemos la resta:
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (1 + f(x) - 1 \right )^{g(x)} =$$
Ahora tenemos que dejar 1 en el numerador de la base, ¿cómo lo conseguimos? Dividiendo numerador y denominador por el numerador, en este caso $f(x) - 1 $:
$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{g(x)} $$
Necesitamos que el exponente coincida con el denominador de la fracción de la base, como no coincide, multiplicamos y dividimos el exponente por el denominador de la fracción de la base:
$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{\dfrac{1}{f(x) - 1} \cdot (f(x) - 1) \cdot g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \left [ \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{\dfrac{1}{f(x) - 1} } \right ]^{ (f(x) - 1) \cdot g(x)} = $$
Lo de los corchetes es el número $e$ que ahora está elevado a una expresión cuyo límite queremos calcular:
$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 1) \cdot g(x) } $$
Resumiendo
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{ 1^{+\infty} \right \} = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 1) \cdot g(x) } $$
Si lo aplicamos al ejemplo anterior tenemos:
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} \right )^{x + 5} = \left \{ 1^{+\infty} \right \} = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} - 1 \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 1}{x + 1} \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } = $$
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} \right )^{x + 5} = \left \{ 1^{+\infty} \right \} = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} - 1 \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 1}{x + 1} \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } = $$
$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3 - x - 1}{x +
1} \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } = e^{ \displaystyle \lim_{x
\to +\infty} \dfrac{2 \cdot \left ( x + 5 \right )}{x + 1} } = e^{
\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} } = e^{ \displaystyle 2} $$
Para terminar, los errores más típicos en este tipo de indeterminaciones es creer que la base tiende a 1 cuando no lo hace o que el exponente tiende a infinito cuando no es así. Veamos algunos ejemplos:
$\bullet$ La base no tiende a 1:
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( \dfrac{3x + 2}{6x + 3} \right )^{x} = \left ( \dfrac{1}{2} \right)^{+\infty} = 0 $$
$\bullet$ El exponente no tiende a $\infty$:
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{1}{x^2} \right )^{\dfrac{3x}{2x + 1}} = {\Large 1}^{ \displaystyle \normalsize 3/2 } = {\Large 1} $$
\[ \milmt{x}{\infty}{ \left( 1 - \mfrac{ 1 }{ x } \right )^x } = 1^{\infty} = e^{ \milmt{x}{0}{\ x \cdot \left( 1 - \mfrac{ 1 }{ x } - 1 \right ) } } = e^{ \milmt{x}{0}{\ x \cdot \left( - \mfrac{ 1 }{ x } \right ) } } = e^{-1} = \mfrac{1}{e} \]
\[ \milmt{x}{1}{ \left( \mfrac{ 1 }{ x } \right )^{\mfrac{1}{x^2 - 1}} } = 1^{\infty} = e^{ \milmt{x}{1}{\mfrac{1}{x^2 - 1} \cdot \left( \mfrac{ 1 }{ x } - 1 \right ) } } = e^{ \milmt{x}{1}{\ \mfrac{-1}{1 - x^2} \cdot \left( \mfrac{ 1 - x }{ x } \right ) } } = \] \[ = e^{ \milmt{x}{1}{\ \mfrac{-1}{(1 - x)(1 + x)} \cdot \left( \mfrac{ 1 - x }{ x } \right ) } } = e^{ \milmt{x}{1}{\ \left( \mfrac{ -1 }{ x(1 + x) } \right ) } } = e^{-1/2} = \mfrac{1}{ \msqrt{e} } = \mfrac{ \msqrt{e} }{e} \]
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com