Identidades trigonométricas I - Ejercicios con soluciones

Para resolver identidades trigonométricas utilizaremos bastantes cosas. Identidades notables, amplificar y simplificar fracciones, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. La Relación Fundamental de la Trigonometría (RFT) $ \fcolorbox{blue}{white}{ $ \color{blue}{ \cos^2 a + \sen^2 a = 1} $ } $ y las siguientes fórmulas: $$ \tg a = \dfrac{\ \ \sen a \ \ }{ \cos a } \qquad \cotg a = \dfrac{ \cos a }{\ \ \sen a \ \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \ \tg a \ \ } $$ $$ \sec a = \dfrac{ 1 }{ \ \ \cos a \ \ } \qquad \cosec a = \dfrac{ 1 }{ \ \ \sen a \ \ } $$ $$ \tg a \cdot \cotg a = 1 \qquad \sec a \cdot \cos a = 1 \qquad \cosec a \cdot \sen a = 1 $$ De la Relación Fundamental de la Trigonometría se deducen dos fórmulas más:

Si dividimos la RFT por $\cos^2 a$ tendremos: $$ \cos^2 a + \sen^2 a = 1 \Rightarrow \dfrac{\ \ \cos^2 a \ \ }{ \cos^2 a } + \dfrac{\ \ \sen^2 a \ \ }{ \cos^2 a } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 a \ \ } \Rightarrow 1 + \tg^2 a = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 a \ \ } \Rightarrow 1 + \tg^2 a = sec^2 a $$ Si dividimos la RFT por $\sen^2 a$ tendremos: $$ \cos^2 a + \sen^2 a = 1 \Rightarrow \dfrac{\ \ \cos^2 a \ \ }{ \sen^2 a } + \dfrac{\ \ \sen^2 a \ \ }{ \sen^2 a } = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 a \ \ } \Rightarrow \cotg^2 a + 1 = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 a \ \ } \Rightarrow \cotg^2 a + 1 = cosec^2 a $$ Un ejercicio que podemos hacer es poner cada razón trigonométrica en función de las demás, como vemos en el ejemplo, En la primera fila vemos que podemos poner el seno de $\theta$, en función del coseno, de la tangente, de la cosecante, de la secante y de la cotangente. ¿Te animas a llenar la tabla? (Si haces click sobre la imagen la veras en tamaño original).

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda sustituyendo $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \tg \alpha + \dfrac{ 1 }{\ \ \tg \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } + \dfrac{\ \cos \alpha }{\ \ \sen \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo en el numerador 1 por la Relación Fundamental de la Trigonometría:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = $$
$$ = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \cos^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \tg \alpha \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cancel{\cos \alpha} \ \ } \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cancel{\cos \alpha} \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la derecha sacando factor común a $\cos^2 \alpha $:

$$ \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) = \cos^2 \alpha \text{ ✓} $$

Otra forma, esta ve empezando por la izquierda: $$ \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot 1 = \cos^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) = \cos^4 + \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda:

$$ \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{\ \ (\sen \alpha \cdot \cos \alpha)^2 \ \ } = \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \ (\sen \alpha \cdot \cos \alpha)^2 \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \sen^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \cancel{\sen^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \sec^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \dfrac{ \ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ }{\ \ \tg \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } \ \ } = \dfrac{\ \ \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \sen \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \cancel{\sen \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cancel{\sen \alpha} \ \ } = \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezamos por el paréntesis:

$$ 1 + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } $$ Seguimos con la identidad, con la parte izquierda y nos queda: $$ (1 + \tg^2 \alpha) \cdot \cos^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \cdot \cos^2 \alpha = 1 \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$ y aplicando la Relación Fundamental de la Trigonometría:

$$ \tg^2 \alpha \cdot (1 - \sen^2 \alpha) = \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \cdot \cos^2 \alpha = \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cancel{\cos^2 \alpha} \ \ } \cdot \cancel{\cos^2 \alpha} = \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, aplicando la RFT, es decir que $-\cos^2 \alpha + 1 = \sen^2 \alpha$:

$$ \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha + 1 \ \ }{ 2 } = \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ \ }{ 2 } = \dfrac{ \ \ 2 \cdot \sen^2 \alpha \ \ }{ 2 } = \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio haciendo el producto en cruz, ya que podremos usar la identidad notable «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados»:

$$ \dfrac{ \cotg \alpha - \cosec \alpha }{\ \tg \alpha - \sec \alpha \ } = \dfrac{\ \tg \alpha + \sec \alpha \ }{ \cotg \alpha + \cosec \alpha } \Rightarrow (\cotg \alpha - \cosec \alpha) \cdot (\cotg \alpha + \cosec \alpha) = (\tg \alpha - \sec \alpha) \cdot (\tg \alpha + \sec \alpha) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \cotg^2 \alpha - \cosec^2 \alpha = \tg^2 \alpha - \sec^2 \alpha \Rightarrow $$ Ahora sustituimos las expresiones en función de $\cos \alpha$ y $\sen \alpha$: $$ \Rightarrow \cotg^2 \alpha - \cosec^2 \alpha = \tg^2 \alpha - \sec^2 \alpha \Rightarrow \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } - \dfrac{\ 1\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha\ } - \dfrac{\ 1\ }{ \cos^2 \alpha } \Rightarrow \dfrac{\ \cos^2 \alpha - 1\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha - 1 }{\ \cos^2 \alpha\ } \Rightarrow $$ De la Relación Fundamental de la Trigonometría tenemos que $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha - 1 = -\sen^2 \alpha$ y simétricamente tenemos que $\sen^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$, sustituimos en la expresión y nos queda: $$ \Rightarrow \dfrac{\ - \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ -\cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha\ } \Rightarrow -1 = -1 \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda sustituyendo $\sec \alpha$ y $\cosec \alpha$ por $\cos \alpha$ y $\sen \alpha$ respectivamente:

$$ 1 + \dfrac{ \sec \alpha }{\ \cosec^2 \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{\ \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ }\ }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = $$ $$ = 1 + \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot \cancel{(1 + \cos \alpha)} }{\ \cos \alpha \cdot \cancel{(1 + \cos \alpha)} \ } = 1 + \dfrac{\ \ 1 - \cos \alpha \ \ }{\ \cos \alpha \ } = $$ $$ = 1 + \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ } - 1 = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ } = \sec \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador y las identidades notables:

$$ \cos^4 \alpha - \sen^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sen^2 \alpha)^2 = (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) \cdot (\cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha) = $$ $$ = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha = (\cos \alpha + \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) $$ Vamos a ver que nos queda: $$ \dfrac{ \cos^4 \alpha - \sen^4 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ (\cos \alpha + \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) }{\ \cos \alpha \sen \alpha \ } = \dfrac{ \cos \alpha - \sen \alpha }{ \cos \alpha } \cdot \dfrac{\ \cos \alpha + \sen \alpha \ }{\ \sen \alpha } = (1 - \tg \alpha) \cdot (1 + \cotg \alpha) \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador:

$$(1 + \cos \alpha)^2 + (1 - \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha + 1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 2 + 2\cos^2 \alpha = 2(1 + \cos^2 \alpha) $$ Ahora a por el denominador: $$ \sec^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - \dfrac{ \cos^4 \alpha}{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 - \cos^4 \alpha}{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot (1 + \cos^2 \alpha) }{\ \cos^2 \alpha \ } $$ Vamos a ver que nos queda juntándolo todo: $$ \dfrac{ (1 + \cos \alpha)^2 + (1 - \cos \alpha)^2 }{\ \sec^2 \alpha - \cos^2 \alpha\ } = \dfrac{ 2(1 + \cos^2 \alpha) }{ \dfrac{ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot (1 + \cos^2 \alpha) }{\ \cos^2 \alpha \ } } = \dfrac{ 2 \cancel{(1 + \cos^2 \alpha)} }{ \dfrac{ \ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot \cancel{(1 + \cos^2 \alpha)} \ }{\ \cos^2 \alpha \ } } = \dfrac{ 2 }{ \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } } = $$ $$ = \dfrac{ 2 \cos^2 \alpha }{\ 1 - \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 2 \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = 2 \cotg^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ en función del $\sen \alpha$ y del $\cos \alpha$. Vamos a por el denominador:

$$1 + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } + \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \cos^2 \alpha \ } $$ Vamos a ver que nos queda: $$ \dfrac{ \cotg \alpha }{\ 1 + \tg^2 \alpha\ } = \dfrac{ \dfrac{\ \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } }{\ \ \dfrac{ 1 }{ \ \cos^2 \alpha } \ \ } = \dfrac{\ \cos \alpha \ }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos^2 \alpha } \ \ } = \dfrac{ \cos \alpha }{\ \ \dfrac{ \tg \alpha }{ \cos \alpha } \ \ } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha \ }{\ \tg \alpha \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ en función del $\sen \alpha$ y del $\cos \alpha$:

$$\tg \alpha + \cotg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{\ \sen \alpha \ } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \sen \alpha \cos \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \sen \alpha \cos \alpha \ } $$ Ahora elevamos al cuadrado: $$ (\tg \alpha + \cotg \alpha)^2 = \left ( \dfrac{ 1 }{ \ \sen \alpha \cos \alpha \ } \right)^2 = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \cos^2 \alpha \cdot \cancel{\sen^2 \alpha} } + \dfrac{ \cancel{\cos^2 \alpha} }{\ \cancel{\cos^2 \alpha} \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{\ \cos^2 \alpha } + \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } = \sec^2 \alpha + \cosec^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el numerador:

$$\sen \alpha + \tg \alpha = \sen \alpha + \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ }{ \cos \alpha } + \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \alpha + \sen \alpha }{\ \cos \alpha \ } = \dfrac{\ \sen \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{\ \cos \alpha \ } $$ Ahora el denominador: $$\cotg \alpha + \cosec \alpha = \dfrac{ \cos \alpha }{\ \sen \alpha \ } + \dfrac{1}{\ \sen \alpha \ } = \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } $$ Juntamos todo y nos queda: $$ \dfrac{ \sen \alpha + \tg \alpha }{\ \cotg \alpha + \cosec \alpha \ } = \dfrac{ \dfrac{\ \sen \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{\ \cos \alpha \ } }{ \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \tg \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{ \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \tg \alpha \cancel{(\cos \alpha + 1)}\ }{ \dfrac{\ \cancel{1 + \cos \alpha} \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{\ \tg \alpha }{ \dfrac{1}{\ \sen \alpha\ } } = \sen \alpha \cdot \tg \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

$$1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } $$ Así nos queda: $$ \dfrac{ \sec^2 \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \dfrac{ 1 }{\ \cos^2 \alpha\ } \ \ \ }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } = \tg^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

$$1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } $$ Así nos queda: $$ \dfrac{ \sen \alpha }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen \alpha }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \sen^3 \alpha \text{ ✓} $$

Sacamos factor común en el denominador a $\sen \alpha$

$\dfrac{ 1 }{\ \sen^3 \alpha + \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \cdot (\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha ) \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \ } = \cosec \alpha $ ✓

Sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que $1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha$

$\dfrac{\ 1 - \sen^2 \alpha\ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{\cos \alpha } = \cos \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte derecha de la igualdad, sustituimos $1$ por $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha$ y en el denominador $1 - \cos^2 \alpha$ por $ \sen^2 \alpha$ y tenemos que

$ \tg \alpha \cdot \dfrac{1}{\ 1 - \cos^2 \alpha\ } = \tg \alpha \cdot \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha\ }{\sen^2 \alpha} = \tg \alpha \cdot \left ( \dfrac{1}{\ \tg^2 \alpha \ } + 1 \right ) = \dfrac{1}{\ \tg \alpha \ } + \tg \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

$ 1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } $

Sustituimos en el denominador y nos queda

$ \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \ \ \ \ \ \sen \alpha \ \ \ \ \ \ \ \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \sen^3 \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

$ 1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } $

Sustituimos en el denominador y nos queda

$ \dfrac{\ \sec^2 \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{\ 1\ }{\ \cos^2 \alpha \ } \ \ \ \ \ \ \ \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{\ \cos^2 \alpha \ } = \tg^2 \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $ y la $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} $

$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} $ ✓

Hacemos el producto en cruz y tenemos

$ ( 1 - \sen \alpha ) \cdot (1 + \sen \alpha) = \cos \alpha \Rightarrow 1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha \Rightarrow 1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $ ✓

Empezamos por la derecha, sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} $ y multiplicamos numerador y denominador por $\cos^2 \alpha$

$ \dfrac{ \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} }{ \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 } = \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} }{ \cos^2 \alpha \cdot \left ( \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 \right ) } $

en el numerador simplificamos un $\cos \alpha$ y en el denominador aplicamos la propiedad distributiva

$ = \dfrac{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } $ ✓

Empezamos por la izquierda desarrollando ambas identidades notables

$ \sen^2 \alpha - 2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + 2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha = $

Se cancela el doble producto y aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ = 1 + 1 = 2 $ ✓

Desarrollamos por la izquierda y nos damos cuenta que el numerador es diferencia de cuadrados y si aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$ tenemos

$( \sen^2 \alpha)^2 - ( \cos^2 \alpha )^2 = ( \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha ) \cdot ( \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) = 1 \cdot ( \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) $

$\dfrac{ \sen^4 \alpha - \cos^4 \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } = 1 $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 1 + \tg \alpha \ \ }{\sec \alpha} $

Sustituimos $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} $ y $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ 1 + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \cos \alpha + \sen \alpha $ ✓

Desarrollamos por la izquierda, sabemos que $\sec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha}$, $\cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha}$ y $\cotg \alpha = \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } $

Sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ \dfrac{\sec^{2} \alpha}{\cosec^2 \alpha -\sec^2 \alpha} + \dfrac{\cotg^2 \alpha}{\cotg^2 \alpha - 1} = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} }{ \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha} - \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} } + \dfrac{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } - 1} = $

operamos en los dos denominadores y tenemos

$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} } + \dfrac{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha} } = $

En la $1^{\underline{a}}$ fracción se simplifica el $\cos^2 \alpha$ y en la $2^{\underline{a}}$ se simplifica el $\sen^2 \alpha$ ambos dividen al numerador y denominador de cada fracción

$ = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

sumamos ambas fracciones y aplicando la relación fundamental de la trigonometría nos queda

$ = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } $ ✓

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

Vamos a sustituir $\sen^2 \alpha$ por $1 - \cos^2 \alpha$ en el numerador

$ \dfrac{ \sen^{2} \alpha \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = \dfrac{(1 - \cos^2 \alpha) \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = $

Vemos que $1 - \cos^2 \alpha$ es una identidad notable $ 1 - \cos^2 \alpha = (1 + \cos \alpha ) \cdot (1 - \cos \alpha ) $ y simplificamos con el factor del denominador

$ \dfrac{(1 + \cos \alpha ) \cdot (1 - \cos \alpha ) \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = (1 + \cos \alpha )^2 $

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

Sabemos que $ \tg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha} $ sustituimos y tenemos

$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \tg \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha )} = \dfrac{ \cos \alpha }{ \left ( \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha} \right ) \cdot ( 1 - \sen \alpha )} = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha ) } = $

Sabemos que $ \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha$ y esto es una identidad notable $ 1 - \sen^2 \alpha = (1 - \sen \alpha) \cdot ( 1 + \sen \alpha ) $ $ = \dfrac{ (1 - \sen \alpha) \cdot ( 1 + \sen \alpha ) }{ \sen \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha ) } = $

simplificamos $ 1 - \sen \alpha $ en el numerador y en el denominador

$ = \dfrac{ 1 + \sen \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \sen \alpha } = \cosec \alpha + 1 $

Empezamos desarrollando la parte izquierda de la igualdad sabemos que $ \cotg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{ \sen \alpha } $

$ \tg \alpha \cdot \cotg \alpha - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ 1 + \cotg^2 \alpha } } = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ 1 + \dfrac{\cos^2 \alpha}{ \sen^2 \alpha } } } = $

operamos dentro de la raíz, aplicamos la relación fundamental de la trigonometría

$ = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ \dfrac{\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{ \sen^2 \alpha } } } = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } } } = 1 - 2 \cdot \sen^2 \alpha = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría de nuevo $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $

$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha - 2 \cdot \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha = $

esto es una identidad notable $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot ( \cos \alpha -\sen \alpha) $ y además $\cos \alpha = \dfrac{1}{\sec \alpha} $ y $\sen \alpha = \dfrac{1}{\cosec \alpha} $

$ = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot ( \cos \alpha -\sen \alpha) = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot \left ( \dfrac{1}{\sec \alpha} - \dfrac{1}{\cosec \alpha} \right ) $ ✓

Empezamos por la parte izquierda de la identidad, sabemos que $ \tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{ \cos \alpha} $ y que $ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha} $ sustituimos

$ \dfrac{2 \cdot \sen \alpha + 3}{2 \cdot \tg \alpha + 3 \sec \alpha } = \dfrac{2 \cdot \sen \alpha + 3}{2 \cdot \left ( \dfrac{\sen \alpha}{ \cos \alpha} \right ) + 3 \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha} } = $

sumamos las dos fracciones del denominador que tienen el mismo denominador y el denominador de las mismas pasa al numerador multiplicando

$ = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha + 3 \ \ }{ \dfrac{ 2 \cdot \sen \alpha + 3 }{ \cos \alpha} } = \dfrac{ \cos \alpha \cdot \left ( 2 \cdot \sen \alpha + 3 \right )}{ 2 \cdot \sen \alpha + 3 } = $

simplificamos en el numerador y el denominador el factor $ 2 \cdot \sen \alpha + 3 $ y tenemos

$ = \cos \alpha $ ✓

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \dfrac{\sen \alpha - \cos \alpha}{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\cos \alpha \left ( \tg \alpha - 1 \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\cos \alpha \cancel{ \left ( \tg \alpha - 1 \right )} }{ \cancel{ \tg \alpha - 1} }= \cos \alpha ✓ $$

Otra forma, sacando factor común $\sen \alpha$: $$ \dfrac{\sen \alpha - \cos \alpha}{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\sen \alpha \left ( 1 - \cotg \alpha \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\ \sen \alpha \left (1 - \dfrac{\ 1 \ }{ \tg \alpha} \right ) }{\tg \alpha - 1} = $$ $$ = \dfrac{\ \sen \alpha \left ( \dfrac{\ \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha} \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\ \sen \alpha \left ( \tg \alpha - 1 \right ) }{\ \tg \alpha (\tg \alpha - 1) \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \cancel{ \left ( \tg \alpha - 1 \right ) } \ }{\ \tg \alpha \cancel{ (\tg \alpha - 1) }\ } = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \tg \alpha \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \cos \alpha \ } \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ }{\ \sen \alpha \ } = $$ $$ = \dfrac{\ \cancel{\sen \alpha } \cdot \cos \alpha \ }{\ \cancel{\sen \alpha } \ } = \cos \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \tg^{2} \alpha - \sen^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - 1 \right ) = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } \right ) = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{\sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } \right ) = \sen^2 \alpha \cdot \tg^2 \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \dfrac{1 + \cotg \alpha}{\sen \alpha + \cos \alpha} = \dfrac{1 + \cotg \alpha}{\sen \alpha \cdot ( 1 + \cotg \alpha) } = \dfrac{1}{\ \sen \alpha \ } = \cosec \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve fácilmente:

$$ \sec^{2} \alpha - 1 = \tg^{2} \alpha \Rightarrow \sec^{2} \alpha = 1 + \tg^{2} \alpha = 1 + \dfrac{\ \sen^{2} \alpha \ }{ \cos^{2} \alpha } = \dfrac{\ \cos^{2} \alpha + \sen^{2} \alpha \ }{ \cos^{2} \alpha } = \dfrac{1}{ \cos^{2} \ \alpha \ } ✓ $$

En este ejercicio haremos uso de la herramienta «sacar factor común», en este caso lo haremos con $\sen^{2} \alpha $:

$$ \sen^{4} \alpha + \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha \cdot \sen^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha \cdot (\cos^{2} \alpha + \sen^{2} \alpha ) + \cos^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha sustituyendo $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $

$$ \dfrac{1 + 2 \cdot \sen \alpha \cos \alpha}{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + 2 \cdot \sen \alpha \cos \alpha}{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $$ Aplicamos identidades notables en el numerador, cuadrado de una suma; y en el denominador, suma por diferencia es diferencia de cuadrados: $$ \dfrac{ (\cos \alpha + \sen \alpha)^2 }{ (\cos \alpha - \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) } = $$ Simplificando $(\cos \alpha + \sen \alpha)$ nos queda $$ = \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha }{ \cos \alpha - \sen \alpha } = $$ Sacamos factor común $\cos \alpha $ en el numerador y en el denominador y simplificando $\cos \alpha$ nos queda: $$ = \dfrac{ \cos \alpha ( 1 + \tg \alpha) }{ \cos \alpha ( 1 - \tg \alpha) } = \dfrac{ 1 + \tg \alpha }{ 1 - \tg \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \cotg \alpha - \dfrac{ \cotg^2 \alpha - 1 }{ \cotg \alpha } = \dfrac{ \cotg^2 \alpha - \cotg^2 \alpha + 1 }{ \cotg \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cotg \alpha } = $$ $$ = \tg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } }{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \sec \alpha }{ \cosec \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \sec^2 \alpha + \cosec^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha } + \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha } \cdot \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } = \sec^2 \alpha \cdot \cosec^2 \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \tg \alpha + \cotg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \sen \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } \cdot \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } = \sec \alpha \cdot \cosec \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sacando factor común a $\cos^2 \alpha$

$$ \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha} }{\ \ \cos^2 \alpha \left ( 1 - \dfrac{ \sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \right ) \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha \tg \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha ( 1 - \tg^2 \alpha) \ \ } = \dfrac{ \cancel{\cos^2 \alpha} \tg \alpha }{\ \ \cancel{\cos^2 \alpha} ( 1 - \tg^2 \alpha) \ \ } = \dfrac{ \tg \alpha }{\ \ 1 - \tg^2 \alpha \ \ } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } \ \ }{ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } - \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } } (1) $$ Trabajamos con el numerador y nos queda: $$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha \cos \alpha } $$ Ahora con el denominador: $$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } - \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } - \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } $$ Sustityuyendo en $(1)$ nos queda: $$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha \cos \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cancel{ \sen \alpha \cos \alpha} } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \cancel{ \sen \alpha \cos \alpha} } } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \ \ } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$, $\cosec \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \dfrac{ \ \ \sen \alpha + \cotg \alpha \ \ }{ \tg \alpha + \cosec \alpha } = \dfrac{ \ \ \sen \alpha + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } \ \ }{ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{1}{ \sen \alpha } } (2) $$ Trabajamos con el numerador y nos queda: $$ \sen \alpha + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \sen \alpha } $$ Ahora con el denominador: $$ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{1}{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } $$ Sustityuyendo en $(2)$ nos queda: $$ = \dfrac{ \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ \cancel{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha} }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha + \cos \alpha} }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = $$ $$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cancel{\sen \alpha} } }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \cancel{\sen \alpha} } } = \dfrac{ 1 }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } } = \cos \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha, sustituyendo $\cosec \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \cosec \alpha - \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen \alpha \ \ } - \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ 1 - \cos \alpha }{ \sen \alpha } = $$ Ahora amplificamos la fracción por $1 + \cos \alpha$ $$ = \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ \sen^{ \cancel{2} } \alpha }{ \cancel{\sen \alpha} \cdot (1 + \cos \alpha) } = $$ $$ = \dfrac{ \sen \alpha }{ 1 + \cos \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, poniendo común denominador:

$$ \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha \ \ }{ \tg \alpha - 1 } - \cosec^2 \alpha + 1 = \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha - \cosec^2 \alpha (\tg \alpha - 1) + \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha - 1 } = \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \cosec^2 \alpha + \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha - 1 } = \dfrac{ \ \ 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha }{ \tg \alpha - 1 } $$ Volvemos a igualar $\cotg \alpha$ y hacemos el producto en cruz: $$ \dfrac{ \ \ 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha }{ \tg \alpha - 1 } = \cotg \alpha \Rightarrow 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = (\tg \alpha - 1) \cdot \cotg \alpha \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = 1 - \cotg \alpha \Rightarrow - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = - \cotg \alpha $$ Desarrollando la expresión de la izquierda tenemos: $$ - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = \tg \alpha (1 - \cosec^2 \alpha) = \tg \alpha \left ( 1 - \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } - \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \sen^2 \alpha - 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = $$ $$ = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \cdot \cotg^2 \alpha = \left (\tg \alpha \cdot \cotg \alpha \right ) \cdot \cotg \alpha = (1) \cdot \cotg \alpha = \cotg \alpha ✓ $$

Vamos a calcular la identidad:

\( \mfrac{\cos x}{1 - \sen x} - \mfrac{\cos x}{1 + \sen x} = \mfrac{\cos x(1 + \sen x)}{(1 - \sen x)(1 + \sen x)} - \mfrac{\cos x(1 - \sen x)}{(1 + \sen x)(1 - \sen x)} = \)

\( = \mfrac{\cos x + \cos x \cdot \sen x - \cos x + \cos x \cdot \sen x}{(1 + \sen x)(1 - \sen x)} = \mfrac{2\cos x \cdot \sen x }{1 - \sen^2 x} = \mfrac{2\cos x \cdot \sen x }{\cos^2 x} = \mfrac{2 \sen x }{\cos x} = (*) \)

Aprovechando la relación que nos dan y tomando logaritmos nos queda:

\( 2^{\cos x} = 3^{\sen x} \Rightarrow \log 2^{\cos x} = \log 3^{\sen x} \Rightarrow (\cos x) \cdot \log 2 = (\sen x) \cdot \log 3 \Rightarrow \mfrac{\sen x}{\cos x} = \mfrac{\log 2}{ \log 3} \)

Si sustituimos en (*) tenemos:

\( (*) = \mfrac{2 \sen x }{\cos x} = \mfrac{2 \log 2}{\log 3} = \mfrac{\log 4}{\log 3} \)

Aguí tienes otra entrada de ejercicios de identidades trigonométricas para profundizar en este tipo de ejercicios.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Funciones cuadráticas - Parábolas - En la ESO

Parábolas - Funciones cuadráticas

Vamos a estudiar las parábolas como la representación geométrica de una función polinómica de grado 2, es decir, $f(x) = ax^2 + bx + c$. 

Siguiendo esta serie de pasos podemos dibujar cualquier parábola: 

$1^{\underline{\circ}}$ Saber la dirección de las ramas de la parábola viendo el signo del coeficiente del monomio $a \cdot x^2$, es decir, por $a$: 

Si $a > 0$ las ramas de la parábola van hacia arriba; si $a < 0$ las ramas de la parábola van hacia abajo.

Cuánto mayor sea el valor absoluto de $|a|$ menos amplitud tendrá la parábola y 

cuánto menor sea el valor absoluto de $|a|$ más amplitud tendrá la parábola.

$2^{\underline{\circ}}$ Calcular el vértice de la parábola $V = \left ( \dfrac{-b}{2a}, f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) \right )$.  Tenemos que calcular $f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right )$ 

$$f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) = a  \cdot \left ( \dfrac{-b}{2a} \right )^2 + b \cdot \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) + c = \dfrac{ab^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{2a} + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{2b^2}{4a} + \dfrac{4ac}{4a} = \dfrac{4ac - b^2}{4a} $$

NOTAS: 

• Si la parábola va hacia arriba el vértice es un mínimo.
• Si la parábola va hacia abajo el vértice es un máximo. 

$3^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OY$, «siempre» va a cortar a este eje $Y$, el eje de ordenadas, lo hará cuando $x = 0$ y así el punto de corte será el punto de coordenadas $(0, c)$.

$4^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OX$, cortará a este eje $X$ , el eje de abscisas, cuando la $y = 0$, para saber en que puntos corta la parábola a dicho tenemos que resolver la siguiente ecuación: 

$$ 0 = ax^2 + bx + c$$ 

Al eje $X$ «NO siempre» le corta. Ya sabemos que resolviendo este ecuación tenemos tres casos: 

1. No hay solución $\rightarrow$ la parábola no corta al eje $X$; 
2. Hay una solución (doble) $x_1 \rightarrow$ la parábola corta al eje $X$ en un único punto de coordenadas $(x_1, 0)$, es decir, el eje $X$ es tangente a la parábola;
3. Hay dos soluciones distintas $x_1$ y $x_2$, la parábola corta al eje $X$ en dos puntos distintos de coordenadas respectivamente $(x_1, 0)$ y $(x_2, 0)$.  

NOTA: 

Si la parábola va hacia arriba y el vértice está por encima del eje $X$, es claro que la parábola no cortará al eje $X$ (Caso 1).

Lo mismo si la parábola va hacia abajo y el vértice está por debajo del eje X. 

Parábolas hacia abajo: 

$5^{\underline{\circ}}$ Eje de simetría: La recta $x = \mfrac{-b}{2a}$ es el eje de simetría, es una recta paralela al eje $Y$ que pasa por el vértice de la parábola. Si doblaramos el plano por dicha recta las dos ramas de la prábola coincidirían.

$6^{\underline{\circ}}$ Dibujar la gráfica con los puntos calculados. Si hicieran falta más puntos se pueden calcular haciendo una tabla numérica.

Vamos a ver dos ejemplos: 

El $1^{\underline{er}}$ ejemplo, la parábola $y = x^2 - 12x + 11 $. Vamos a calcular los pasos anteriores:

1. $a = 1 > 0$ luego las ramas de la parábola van hacia arriba.
2. Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $  \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{12}{2} = 6$ y la componente $y$ es $f(6) = 36 - 72 + 11 = -25$ luego el vértice tiene de coordenadas $V = (6, -25)$. Como el vértice está por debajo del eje $X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes. 
3. Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$ así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, 11)$ 
4. Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la ecuación $x^2 - 12x + 11 = 0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto de las raíces es 11 entonces la otra raíz es 11. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $(11, 0)$. 
5. Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados: 

El $2^{\underline{\circ}}$ ejemplo, la parábola $y = -3x^2 + 5x -2 $. Vamos a calcular los pasos anteriores:

1. $a = -3 < 0$ luego las ramas de la parábola van hacia abajo.
2. Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $  \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-5}{-6} = \dfrac{5}{6}$ y la componente $y$ es $f \left (\dfrac{5}{6} \right) = \dfrac{24 - 25}{-12} = \dfrac{1}{12}$ luego el vértice tiene de coordenadas $V = \left (\dfrac{5}{6}, \dfrac{1}{12} \right )$. Como el vértice está por encima del eje $X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes. 
3. Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$ así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, -2)$ 
4. Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la ecuación $-3x^2 + 5x - 2 = 0$ que es lo mismo que resolver $3x^2 - 5x + 2 = 0$, sacamos 3 factor común $x^2 - \dfrac{5x}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto de las raíces es $\dfrac{2}{3}$ entonces la otra raíz es $\dfrac{2}{3}$. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $\left (\dfrac{2}{3}, 0 \right )$. 
5. Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados:

Y eso es todo ... por ahora.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Según la existencia y la unicidad de las soluciones, los sistemas de ecuaciones se clasifican:

$$ \large \matrix{ \text{ Sistemas } \cr \text{de} \cr \text{ecuaciones} } = \cases{ \textbf{Compatible} \text{, el sistema tiene solución } \large \cases{ \textbf{Determinado} \text{: solución única. } \cr \cr \textbf{Indeterminado} \text{, infinitas soluciones } } \cr \cr \textbf{Incompatible} \text{, el sistema no tiene solución. } \cr } $$

Vamos a resolver varios sistemas de ecuaciones usando los cuatro métodos.

$$\huge \fbox{ Método de Sustitución} $$

«Consiste en despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en la otra.»

Lo que nos da cuatro opciones: 

• Despejar la $x$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $x$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera;
• Despejar la $y$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $y$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 5x + 2y = 11 \cr \cr 2x - 3y = 12 } $$

Vamos a despejar la $x$ en la primera ecuación, así $x = \dfrac{11 - 2y}{5}$; Y ahora sustituimos en la segunda ecuación:

$$2\left ( \dfrac{11 - 2y}{5} \right ) - 3y = 12 \text{ Multiplicando por 5 ambos lados de la ecuación tenemos } $$

$$2\left ( 11 - 2y \right ) - 15y = 60 \Leftrightarrow 22 - 4y - 15y = 60 \Leftrightarrow -19y = 38 \Leftrightarrow y = - 2$$

Sabiendo el valor de $y$, calculemos el de $x, x  = \dfrac{11 - 2(-2)}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$. 

Vamos a comprobar el sistema: 

$$ \large \cases{ 5 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 15 - 4 = 11 \checkmark \cr \cr 2\cdot 3 - 3 \cdot (-2) = 6 + 6 = 12 \checkmark \cr } $$

Siempre hay que comprobar las soluciones.

En todas y cada una de las ecuaciones que forman el sistema.

$$\huge \fbox{ Método de Igualación} $$

«Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualarlas.»

Lo que nos da dos opciones: 

• Despejar la $x$ en las dos ecuaciones e igualarlas;
• Despejar la $y$ en las dos ecuaciones e igualarlas.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 3x + 2y = 7 \cr 2x - 3y = 9 } $$

De la $\odn{1}{a}$ ecuación despejamos $y$, $ 3x + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 7 - 3x \Rightarrow y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2}$ (1)

De la $\odn{2}{a}$ ecuación despejamos también $y$, $2x - 3y = 9 \Rightarrow - 3y = 9 - 2x \Rightarrow 3y = -9 + 2x \Rightarrow y = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} $ (2)

Igualamos ambas expresiones de $y$ en (1) y (2):

$$ \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} \Leftrightarrow 3 \cdot \left ( 7 - 3x \right ) = 2 \cdot \left ( -9 + 2x \right )$$

$$ 21 - 9x = - 18 + 4x \Leftrightarrow 39 = 13 x \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 39\ }{13} = 3 $$

Sustituyendo en cualquiera de las dos expresiones (1) o (2) donde tenemos despejada la $y$ tenemos:

$$ y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ 7 - 3 \cdot 3 \ }{2} = \dfrac{\ 7 - 9\ }{2} = \dfrac{\ - 2\ }{2} = -1 $$

Ya hemos solucionado el sistema. Vamos con la comprobación:

$$ \left \{ \begin{array}{l} 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 9 - 2 = 7 \checkmark \cr \cr 2 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) = 6 + 3 = 9 \checkmark \cr \end{array} \right . $$

$$\huge \fbox{ Método de Reducción} $$

«Consiste en conseguir un sistema equivalente donde alguna de las incógnitas tengan el mismo coeficiente (o su opuesto), que será el mínimo común múltiplo de los coeficientes de la incógnita elegida. Para ello vamos a multiplicar una de las ecuaciones o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) para que los coeficientes de la $x$ o los de la $y$ sean iguales (u opuestos). A continuación se suman (o restan) las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita.»

1. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
2. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
3. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta

Para este paso hay dos opciones:

• Se repite el proceso con la otra incógnita.
• Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

Vamos a despejar la $y$, para ellos queremos conseguir el mismo coeficiente (o el opuesto) en las $x$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por -5:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow {\ \ \ -5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10x + \ 4y \ = \ 22 \cr \cr -10x + 15y = -60 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 19y = -38 \Rightarrow y = -2 \end{array} $$

Ahora tenemos dos opciones:

1.- Aplicando el método de reducción para despejar la $x$, para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ 3\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow{\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{15x + \ 6y \ = \ 33 \cr \cr \ \ 4x \ - 6y \ = \ 24 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 19x \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 57 \Rightarrow x = 3 \end{array} $$

2.- Sustituir en alguna de las ecuaciones la $y$ por -2 y calcular el valor de $x$. 

$$ 5x + 2 \cdot (-2) = 11 \Leftrightarrow 5x = 15 \Leftrightarrow x = 3 $$

Ya hemos solucionado el sistema. La comprobación la tenemos hecha en el método de sustitución. 

$$\huge \fbox{ Método Gráfico } $$

Consiste en representar las gráficas de las rectas asociadas a cada una de las ecuaciones del sistema para deducir su solución.
Recordemos que dos rectas en el plano tienen tres posibilidades:

1. Rectas secantes, se cortan en un único punto, la solución es única. Sistema compatible determinado.
2. Rectas coincidentes, infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado.
3. Rectas paralelas, no se cortan,  no existe solución. Sistema incompatible.

Para dibujar cada una de las rectas del sistema, seguimos los siguientes pasos:

• Despejamos una incógnita, normalmente la $y$;
• Damos valores y calculamos dos puntos de la recta (de los infinitos que tiene);
• Dibujamos en un sistema de referencia cartesiana los dos puntos obtenidos y trazamos la recta que pasa por ambos puntos.

De la $\odn{1}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{11 - 5x}{2} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 1 & 3 \cr 3 & -2 \end{array} \qquad \qquad$ De la $\odn{2}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{2x - 12}{3} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 6 & 0 \cr 3 & -2 \end{array} $

Veamos la gráfica:

     Truco - Coordenadas enteras     

     A la hora de buscar puntos para dibujarlos, siempre que podamos escogeremos puntos con las coordenadas $x$ e $y$ enteras. Para ello lo primero que haremos será despejar una variable (dependiente) en función de la otra (independiente). Si no hay denominador ya trabajamos con coordeadas enteras; si lo hubiera, a la variable independiente le sumamos un múltiplo cualquiera del denominador y ya tendríamos un punto cualquiera de la recta con coordenadas enteras.

Veamos un ejemplo:

    En la primera ecuación, despejamos la coordenada $y$, tenemos $y = \dfrac{\ \ 11 - 5x \ \ }{2}$; hemos obtenido el punto $(x, y) = (1, 3)$. Si ahora a la coordenada $x = 1$ de este punto, le sumamos un múltiplo del denominador de la $y$ en este caso 2, obtendremos otro punto con coordenadas enteras. Así un múltiplo del denominador puede ser $..., -8, -6 , -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ... $, tomamos por ejemplo 4, si $x = 1 + 4 = 5$, tenemos que $y = -7$, es decir, hemos obtnido otro punto con coordenadas enteras $(x, y) = (5, -7)$. Lo mismo ocurrirá, si $ x = 1 - 4 = -3$, tenemos que $ y = 13$, etc.


    En la 1ª ecuación, si en lugar de despejar $y$, despejamos $x = \dfrac{\ \ 11 - 2y\ \ }{5}$, tenemos que buscar un punto con coordenadas enteras, es lo que más cuesta. En este caso, si $y = -2$ tenemos que $x = 3$, el punto sería el $(x, y) = (3, -2)$. Si ahora sumamos a la coordenada $y$ un múltiplo del denominador 5, tenemos que $y = -2 + 10 = 8$ y así $x = -1$.

    Si cogemos la segunda ecuación tenemos $ y = \dfrac{\ \ 2x - 12\ \ }{3} $ y hemos obtenido el punto $(, y) = (0, -4)$. Si ahora a la coordenada $x$ le sumamos un múltiplo del denominador, que en este caso 3, tenemos $x = 0 + 9 = 9$ así $y = 2$. Otros puntos los obtendríamos para valores de $x = -3, y = -6$.

    Si cogemos la 2ª ecuación y despejamos $ x = \dfrac{\ \ 12 + 3y\ \ }{2} $ y obtenemos el punto $(x, y) = (6, 0)$, ahora a la coordenada $y$ le sumamos cualquier múltiplo de 2 y obtenemos puntos de la recta con coordenadas enteras, por ejemplo, $y = 4$, nos da el valor de $x = 12$.

     Comprueba el sistema     

Aquí os dejo un enlace donde podéis comprobar por el método gráfico la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:





Aquí tienes unos sistemas de ecuaciones resueltos por los métodos sustitución, igualación y reducción. Vamos a ello:

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{1}{a}$ ecuación la variable $x$ y tenemos que: $$ 9x = 2y - 3 \Rightarrow x = \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} (1) $$ sustituimos este valor de $x$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 7y - 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 12\ }{9} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow $$ Multiplicando por 3: $$ 3 \cdot 7y - 3 \cdot \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 3 \cdot 17 \Rightarrow 21y - 4 \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 51 \Rightarrow $$ $$ 21y - 8y + 12 = 51 \Rightarrow 13y = 39 \Rightarrow y = \dfrac{\ 39\ }{ 13 } = 3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ x = \dfrac{\ 2 \cdot 3 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 6 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 3\ }{9} = \dfrac{\ 1\ }{3} $$

Veamos el método de igualación. Vamos a despejar $y$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $9x + 3 = 2y \Rightarrow y = \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $y$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7y = 12x + 17 \Rightarrow y = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (9x + 3) = 2 \cdot (12x + 17) \Rightarrow 63x + 21 = 24x + 34 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 39x = 13 \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{ 39 } = \dfrac{\ 1\ }{3} $$ Sustituyendo la $x$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $y$ obtenemos su valor: $$ y = \dfrac{\ 12 \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} + 17\ }{7} = \dfrac{\ 4 + 17\ }{7} = \dfrac{\ 21\ }{7} = 3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $x$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 63x - 14y \ = \ -21 \cr \cr -24x + 14y = 34 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 39x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 13 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{39} = \dfrac{\ 1\ }{3} \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $y$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 4 y la $\odn{2}{a}$ por 3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 4\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 3\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 36x - 8y \ = \ -12 \cr \cr -36x + 21y = 51 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 13y\ \ \ = 39 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow y = \dfrac{39}{\ 13\ } = 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $n$ y tenemos que: $$ 2n = -23 - 5m \Rightarrow n = \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} (1) $$ sustituimos este valor de $n$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2m - 5 \cdot \left ( \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} \right ) = 14 \Rightarrow 2m - \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 14 \Rightarrow $$ Multiplicando por 2: $$ 2 \cdot 2m - 2 \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 2 \cdot 14 \Rightarrow 4m - 5 \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 28 \Rightarrow 4m + 5 \cdot (23 + 5m) = 28 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4m + 115 + 25m = 28 \Rightarrow 29m = -87 \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{29} = -3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ n = \dfrac{\ -23 - 5 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ -23 + 15\ }{2} = \dfrac{\ -8\ }{2} = -4 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $m$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2m - 5n = 14 \Rightarrow 2m = 14 + 5n \Rightarrow m = \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $m$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $5m = -23 - 2n \Rightarrow m = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $$ Multiplicamos por 10 y nos quedará: $$ 10 \cdot \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = 10 \cdot \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} \Rightarrow 5 \cdot (14 + 5n) = 2 \cdot (-23 - 2n) \Rightarrow 70 + 25n = -46 - 4n \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 29n = -116 \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{ 29 } = -4 $$ Sustituyendo la $n$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $m$ obtenemos su valor: $$ m = \dfrac{\ 14 + 5 \cdot (-4)\ }{2} = \dfrac{\ 14 - 20\ }{2} = \dfrac{\ -6\ }{2} = -3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $n$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ -2\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10m - 25n \ = \ 70 \cr \cr -10m - 4n = 46 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -29n \ \ \ \ \ \ \ = 116 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{29} = -4 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $m$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 2 y la $\odn{2}{a}$ por 5:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ 5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 4m - 10n \ = \ 28 \cr \cr 25m + 10n = -115 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 29m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -87 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{ 29 } = - 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $q$ y tenemos que: $$ 5q = 27 - 7p \Rightarrow q = \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} (1) $$ sustituimos este valor de $q$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2p - 3 \cdot \left ( \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} \right ) = 21 \Rightarrow 2p - \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 21 \Rightarrow $$ Multiplicando por 5: $$ 5 \cdot 2p - 5 \cdot \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 5 \cdot 21 \Rightarrow 10p - 3 \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 105 \Rightarrow 10p - 81 + 21p = 105 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 31p = 186 \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ q = \dfrac{\ 27 - 7 \cdot 6\ }{5} = \dfrac{\ 27 - 42\ }{5} = \dfrac{\ -15\ }{ 5 } = -3 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $p$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2p - 3q = 21 \Rightarrow 2p = 21 + 3q \Rightarrow p = \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $p$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7p = 27 - 5q \Rightarrow p = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (21 + 3q) = 2 \cdot (27 - 5q) \Rightarrow 147 + 21q = 54 - 10q \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 93 = -31q \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = -3 $$ Sustituyendo la $q$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $p$ obtenemos su valor: $$ p = \dfrac{\ 21 + 3 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ 21 - 9\ }{2} = \dfrac{\ 12\ }{2} = 6 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $p$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por -3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -3\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10p - 15q \ = 100 \cr \cr 21p + 15q = 81 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 31p\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 186 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $q$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por -2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -7\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 14p - 21q \ = 147 \cr \cr -14p - 10q = -54 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -31q\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 93 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = - 3 \end{array} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Divisores naturales y enteros de un número entero.

 Vamos a ver como calcular los divisores naturales de un número entero. Vamos con un ejemplo.

Ejemplo 1: Calcular los divisores de 72:

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:

2. Tenemos el número como producto de potencias de números primos. Para calcular el número de divisores de un número, se multiplican los exponentes de los factores primos aumentados en una unidad. En este caso, los exponentes son 3 y 2, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:

$(3 + 1) \cdot (2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12 $ divisores naturales

3. Para calcular los mismos, construimos una tabla, en la parte superior, ponemos los divisores de una de las dos potencias de primos, por ejemplo, los divisores de $2^3$, que son: 1, $2^1$, $2^2$ y $2^3$ y en el parte lateral, los divisores de la otra potencia, la de $3^2$, es decir, 1, $3^1$ y $3^2$.

Ahora rellenamos la tabla, multiplicando el 1 por 1, 2, 4 y 8. El 3 por 1, 2, 4 y 8 y así sucesivamente. Es decir,

En esta tabla tenemos los 12 divisores naturales del número 72. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 24 divisores enteros del número 72. 

En este ejemplo, el número 72 es producto de dos potencias de números primos. Pero, ¿qué pasa si el número es potencia de tres o más números primos? Veamos otro ejemplo.

Ejercicios:

$ \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ \ 9 & 3 \Rightarrow 36 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{2} \\ \ 3 & 3 \\ \ 3 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{c}|{2}{c}{2}{c}{2}{c}} \ & 1 & 2 & \ 4 \ \ \ \\ \hline 1 & 1 & \ 2 & \ 4 \\ 3 & 3 & \ 6 & 12 \\ 9 & 9 & 18 & 36 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 75 & 3 \\ 25 & 5 \Rightarrow 75 = 3^\textcolor{red}{1} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ \ 5 & 5 \\ \ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{1} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 2 \cdot 3 = 6 \qquad \begin{array}{{2}{c}|{2}{c}{2}{c}{2}{c}} \ & 1 & \ 5 & \ 25 \ \ \ \\ \hline 1 & 1 & \ 5 & 25 \\ 3 & 3 & 15 & 75 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \Rightarrow 108 = 3^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{3} \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{3} + 1) = 3 \cdot 4 = 12 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 6 & 12 \\ 9 & 9 & 18 & 36 \\ 27 & 27 & 54 & 108 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 196 & 2 \\ 98 & 2 \\ 49 & 7 \Rightarrow 196 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 7^\textcolor{blue}{2} \\ 7 & 7 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 7 & 7 & 14 & 28 \\ 49 & 39 & 98 & 196 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 200 & 2 \\ 100 & 2 \\ 50 & 2 \Rightarrow 200 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 4 \cdot 3 = 12 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 5 & 5 & 10 & 20 & 40 \\ 25 & 25 & 50 & 100 & 200 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 225 & 3 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \Rightarrow 225 = 3^\textcolor{red}{2} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 5 & \ 25 \\ \hline 1 & 1 & 5 & 25 \\ 3 & 3 & 15 & 75 \\ 9 & 9 & 45 & 225 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 500 & 2 \\ 250 & 2 \\ 125 & 5 \Rightarrow 500 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 5^\textcolor{blue}{3} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{3} + 1) = 4 \cdot 4 = 16 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 5 & 10 & 20 \\ 25 & 25 & 50 & 100 \\ 125 & 125 & 250 & 200 \\ \end{array} $

Ejemplo 2: Vamos a calcular los divisores naturales de 1.400.

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:

2. Ahora calculamos el número de divisores. Cogemos los exponentes, les sumamos 1 y los multiplicamos. En este caso, los exponentes son 3, 2 y 1, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:

$(3 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ divisores naturales

3. Como tenemos 3 potencias de números primos, cogemos dos de ellos y hacemos la tabla anterior. Después haremos otra tabla más, en la parte superior pondremos los divisores ordenados obtenidos en la primera tabla y en el lateral, los divisores de la potencia del primo que nos queda. Vamos paso a paso.

4. Construimos la tabla con los divisores del $2^3$ en la parte superior y los de $5^2$ en el lateral:

5. Cogemos ahora los divisores calculados en la tabla anterior y los ponemos ordenados de forma creciente en la parte superior y en el lateral los divisores de 7:

6. Así hemos calculado los 24 divisores naturales de 1.400. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 48 divisores enteros del número 1.400. 

NOTA: Para calcular los divisores de un número, construiremos las tablas necesarias para ello, siempre será una tabla menos que el número de factores primos que aparecen en la descomposición del número que nos piden.

NOTA: Para calcular los divisores enteros de un número natural o entero, al calcular los divisores lo único que haremos será añadir el $\pm$ a cada uno de los divisores.

Ejercicios:

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \Rightarrow 300 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{1} \cdot 5^\textcolor{green}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 6 & 12 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 300:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 12 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 60 \\ 25 & 25 & 50 & 75 & 100 & 150 & 300 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \Rightarrow 360 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 3^\textcolor{blue}{2} \cdot 5^\textcolor{green}{1} \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) \cdot (\textcolor{green}{1} + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 6 & 12 & 24 \\ 9 & 9 & 18 & 36 & 72 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 360:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 8 & \ 9 & \ 12 & \ 18 & \ 24 & \ 36 & \ 72 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 9 & 12 & 18 & 24 & 36 & 72 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 40 & 45 & 60 & 90 & 120 & 180 & 360 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 600 & 2 \\ 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \Rightarrow 600 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 3^\textcolor{blue}{1} \cdot 5^\textcolor{green}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 6 & 12 & 24 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 600:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 8 & \ 12 & \ 24 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 12 & 24 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 40 & 60 & 120 \\ 25 & 25 & 50 & 75 & 100 & 150 & 200 & 300 & 600 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 980 & 2 \\ 490 & 2 \\ 245 & 5 \Rightarrow 980 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 5^\textcolor{blue}{1} \cdot 7^\textcolor{green}{2} \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 5 & 10 & 20 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 980:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & \ 1 & \ 2 & \ 4 & \ 5 & \ 10 & \ 20 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 5 & 10 & 20 \\ 7 & 7 & 14 & 28 & 35 & 70 & 140 \\ 49 & 49 & 98 & 196 & 245 & 490 & 980 \\ \end{array} $$

Ejercicio: calcula los divisores de 6300.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Calculadora de divisores
Calcula los divisores de un número.
Número