Fórmula para resolver ecuaciones de $2^{\underline{\circ}}$ grado \(ax^2 + bx
+ c = 0 \)
Veamos «otra fórmula» para resolver ecuaciones de $2^{\underline{\circ}}$ grado, pero $C$ tiene que ser distinto de cero:
$$\Large{ \begin{aligned}
a x^2+b x+c & =0 \\
4 a c x^2+4 b c x+4 c^2 & =0 \\
4 b c x+4 c^2 & =-4 a c x^2 \\
b^2 x^2+4 b c x+4 c^2 & =b^2 x^2-4 a c x^2 \\
(b x+2 c)^2 & =x^2\left(b^2-4 a c\right) \\
b x+2 c & = \pm x \sqrt{b^2-4 a c} \\
2 c & =-b x \pm x \sqrt{b^2-4 a c} \\
2 c & = x\left(-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}\right) \\
x\left(-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}\right) & =2 c \\
x & =\dfrac{2 c}{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}
\end{aligned} } $$
Completas
Una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado es completa si $a \neq 0$, $b \neq
0$ y $c \neq 0$. Para ello tenemos que ver cuanto vale \(a, \ b \ y \ c\) y
aplicar dicha fórmula: $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$ Lo primero que
tenemos que hacer es estudiar el discriminante \( \Delta = \sqrt{b^2 - 4ac} \)
$$ \large \cases{ \text{ Si } \Delta > 0 \ \text{ tendremos 2
soluciones diferentes;} \cr \cr \text{ Si }\ \Delta = 0 \ \text{tendremos 1
solución «doble» (es la misma), es una identidad notable, y} \cr \cr \text{ Si } \ \Delta < 0 \
\text{ no tendremos ninguna solución «real».} } $$
Veamos algunos ejemplos:
1.- Para la ecuación: \(x^2 + 6x + 5 = 0 \), entonces \(a = 1\), \(b = 6\) y
\(c = 5\).
Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el \( \Delta = \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5} = \sqrt{36 - 20}
= \sqrt{16} = 4 \) como el determinante es positivo, tiene dos raíces reales
diferentes:
$$ x = \dfrac{ -6 \pm 4 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ -2 }{
2 } = -1 \Rightarrow x_1 = -1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -10 }{ 2
} = -5 \Rightarrow x_2 = -5 \end{array}. $$
La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que
comprobar las soluciones obtenidas:
La primera solución \(x_1 = -1\), donde pone \(x\) tenemos que poner -1: \[
(-1)^2 + 6(-1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0\]
La primera solución \(x_2 = -5\), donde pone \(x\) tenemos que poner -5: \[
(-5)^2 + 6(-5) + 5 = 25 - 30 + 5 = 0\]
Si factorizamos, tenemos que $$0 = x^2 + 6x + 5 = (x + 5) \cdot (x + 1)
$$
2.- Para la ecuación: \(x^2 - 5x + 6 = 0 \), entonces \(a = 1\), \(b = -5\) y
\(c = 6\). Si no lo veis claro, podéis poner \(x^2 + (-5)x + 6 = 0 \) y así es
más sencillo sacar los valores de \(a, \ b \ y \ c\).
Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el \( \Delta = \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6} = \sqrt{25 -
24} = \sqrt{1 } = 1 \) como el determinante es positivo, tiene dos raíces
reales diferentes:
$$ x = \dfrac{ 5 \pm 1 }{2} = \begin{array}{l} \oplus
\nearrow \dfrac{ 6 }{ 2 } = 3 \Rightarrow x_1 = 3 \cr \cr \ominus
\searrow \dfrac{ 4 }{ 2 } = 2 \Rightarrow x_2 = 2 \end{array}. $$
La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que comprobar
las soluciones obtenidas:
La primera solución \(x_1 = 3\), donde pone \(x\) tenemos que poner 3: \[ 3^2
- 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\]
La primera solución \(x_2 = 2\), donde pone \(x\) tenemos que poner 2: \[ 2^2
- 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\]
Si factorizamos, tenemos que $$0 = x^2 - 5x + 6 = (x - 2) \cdot (x - 3)
$$
3.- Para la ecuación: \(2x^2 - 5x - 3 = 0 \), entonces \(a = 2\), \(b = -5\) y
\(c = -3\). Si no lo veis claro, podéis poner \(2x^2 + (-5)x + (-3) = 0 \) y
así es más sencillo sacar los valores de \(a, \ b \ y \ c\).
Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el \( \Delta = \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)} = \sqrt{25
+ 24} = \sqrt{49} = 7 \) como el determinante es positivo, tiene dos raíces
reales diferentes:
$$ x = {5 \pm 7 \over 4} $$ Una raíz sería \(x_1 = 3\)
y la otra \(x_2 = {-1 \over 2} \).
$$ x = \dfrac{ 5 \pm 7 }{4} =
\begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 12 }{ 4 } = 3 \Rightarrow x_1 =
3 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -2 }{ 4 } = \dfrac{-1}{2} \Rightarrow x_2 =
\dfrac{-1}{2} \end{array}. $$
La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que comprobar
las soluciones obtenidas:
La primera solución \(x_1 = 3 \), donde pone \(x\) tenemos que poner 3: \[ 2
\cdot 3^2 - 5 \cdot 3 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0\]
La primera solución \(x_2 = {-1 \over 2} \), donde pone \(x\) tenemos que
poner \( {-1 \over 2} \) : \[ 2 \cdot \Bigg ( {-1 \over 2} \Bigg )^2 - 5 \cdot
\Bigg ( {-1 \over 2} \Bigg ) - 3 = {1 \over 2} + {5 \over 2} - 3 = {6 \over 2}
- 3 = 3 -3 = 0 \]
Si factorizamos, tenemos que $$0 = x^2 - 5x + 6 = (x - 3) \cdot (2x
+ 1) $$
4.- Ejemplo de una ecuación con una única solución, es
decir, solución doble. Sea la ecuación $x^2 - 18x + 81 = 0$
Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el determinante \( \Delta =
\sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (81)} = \sqrt{324 - 324} = \sqrt{0} = 0 \)
como el determinante es cero, tiene una raíz «doble»:
$$ x = \dfrac{ 18 \pm 0 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 18
}{ 2 } = 9 \Rightarrow x_1 = 9 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 18 }{
2 } = 9 \Rightarrow x_2 = 9 \end{array}. $$
Si factorizamos el polinomio, nos queda
$$ x^2 - 18x + 81 = 0 \Leftrightarrow (x -9)^2 = 0 $$
5.- Ejemplo de una ecuación que no tiene solución. Sea la ecuación $x^2 + x + 12 = 0$
Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el determinante \( \Delta =
\sqrt{\ (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12)\ } = \sqrt{\ 1 - 48\ } = \sqrt{\ -47\ } \) como el
determinante es negativo, eso quiere decir que no tienen «solución»,
solución real.
Como no tiene soluciones reales, no se puede factorizar.
Fórmulas de Cardano-Vieta
Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de la ecuación de $\odn{2}{o}$ grado entonces se cumple que:
$$ \alpha + \beta = - \dfrac{\ b\ }{a} \quad \text{ y } \quad \alpha \cdot \beta = \dfrac{\ c\ }{a} $$
Si $a = 1$ entonces tenemos que:
$$ \alpha + \beta = - b \quad \text{ y } \quad \alpha \cdot \beta = c $$
¿De dónde salen estas fórmulas?
Una ecuación polinómica de $\odn{2}{o}$ grado $ax^2 + bx + c = 0$ tiene como mucho 2 raíces, si suponemos que son $\alpha$ y $\beta$ entonces el polinomio lo podemos poner de esta forma:
$$ ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow a \cdot \left (x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} \right ) = 0 \Leftrightarrow x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} = 0 $$
Así:
$$ x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} = (x - \alpha) \cdot (x - \beta) $$
Y si desarrollamos el producto de la derecha tenemos que:
$$ (x - \alpha) \cdot (x - \beta) = x^2 - \alpha x - \beta x + \alpha \beta $$
Luego tenemos:
$$ x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} = x^2 - \left ( \alpha + \beta \right) x + \alpha \beta $$
Y dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes correspondientes de las potencias de x son iguales:
Es decir:
$$ \cases{ \alpha + \beta = - \dfrac{\ b\ }{a} \cr \cr \alpha \beta = \dfrac{\ c\ }{a} \cr } $$
Veamos los ejemplos resueltos anteriormente:
1.- Para la ecuación: \(x^2 + 6x + 5 = 0 \) las soluciones han sido $x_1 = -1$ y $x_2 = -5$.
$\quad$ Si sumamos las raíces y hacemos el opuesto tenemos: $ - (-1 + (-5) ) = - (-6) = 6$ el coeficiente de la $x \checkmark $
$\quad$ Si multiplicamos las raíces tenemos: $ (-1) \cdot (-5) = 5$ el término independiente $\checkmark$
2.- Para la ecuación: \(x^2 - 5x + 6 = 0 \) las soluciones han sido $x_1 = 2$ y $x_2 = 3$.
$\quad$ Si sumamos las raíces y hacemos el opuesto tenemos: $ - (2 + 3 ) = - (5) = -5$ el coeficiente de la $x \checkmark $
$\quad$ Si multiplicamos las raíces tenemos: $ 2 \cdot 3 = 6$ el término independiente $\checkmark$
Os dejo el
enlace de este applet de resolver ecuaciones de $\odn{2}{o}$ grado sin aplicar la fórmula:
Resolver ecuaciones $\odn{2}{\circ}$ grado «completando cuadrados»
Completar cuadrados es un recurso de álgebra que me permite poner una expresión como una identidad notable. Veamos unos ejemplos:
- $ x^2 + 10x $ no es un cuadrado perfecto, pero si le sumo y le resto 25, es el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$, tengo:
$$ x^2 + 10x + 25 - 25 = (x + 5)^2 - 25 $$
- Pero no siempre es tan fácil: $x^2 + 3x$
$$ x^2 + 3x + \dfrac{\ 3^2\ }{2^2} - \dfrac{\ 3^2\ }{2^2} = \left (x + \dfrac{\ 3\ }{2} \right )^2 - \dfrac{\ 9\ }{4} $$
Esta es la técnica que vamos a usar para resolver ecuaciones de $\odn{2}{\circ}$ grado:
$$ x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x = - 6 \Rightarrow x^2 - 5x + \dfrac{\ 25\ }{4} = -6 + \dfrac{\ 25\ }{4} \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow \left ( x - \dfrac{\ 5\ }{2} \right )^2 = \dfrac{\ -24\ }{4} + \dfrac{\ 25\ }{4} \Rightarrow \left ( x - \dfrac{\ 5\ }{2} \right )^2 = \dfrac{\ 1 }{4} \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow x - \dfrac{\ 5\ }{2} = \pm \sqrt{\ \dfrac{\ 1 }{4} } \Rightarrow x - \dfrac{\ 5\ }{2} = \pm \dfrac{\ 1 }{2} \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow x = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{\ -1}{ 2 } + \dfrac{\ 5\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{2} = 2 \Rightarrow x_1 = 2 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{\ 1\ }{ 2 } + \dfrac{\ 5\ }{2} = \dfrac{\ 6\ }{2} = 3 \Rightarrow x_2 = 3 \end{array}. $$
Resolver ecuaciones $\odn{2}{\circ}$ grado «sacando factor común»
También se pueden resolver las ecuaciones de $\odn{2}{\circ}$ grado, sacando factor común. El término de la $x$ hay que ponerlo como suma o resta de algún factor del término independiente y/o del coeficiente director. Veamos algunos ejemplos:
- $ x^2 -5x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 \Rightarrow x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 \Rightarrow (x - 2) \cdot (x -3) = 0 $
Las soluciones son $x = 2$ y $x = 3$
- $ x^2 + 6x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 + 5x + x + 5 = 0 \Rightarrow x(x + 5) + (x + 5) = 0 \Rightarrow (x + 5) \cdot (x + 1) = 0 $
Las soluciones son $x = -5$ y $x = -1$
- $ 2x^2 + 5x - 7 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 2x + 7x - 7 = 0 \Rightarrow 2x(x - 1) + 7(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1) \cdot (2x + 7) = 0 $
Las soluciones son $x = 1$ y $x = \dfrac{\ -7\ }{2}$
-
$ 2x^2 + 5x + 3 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 0 \Rightarrow 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0 \Rightarrow (x + 1) \cdot (2x + 3) = 0 $
Las soluciones son $x = -1$ y $x = \dfrac{\ -3\ }{2}$
Incompletas
En una ecuación de segundo grado \(ax^2 + bx + c = 0 \) está claro que $a$,
el coeficiente de $x^2$ no puede ser cero, ya que entonces sería una
ecuación de primer grado. Luego cuando estamos con ecuaciones de segundo
grado incompletas es que los coeficientes que pueden ser cero son $b$ y/o
$c$.
-
Si $b = c = 0$ tenemos $ax^2 = 0$ y la única solución es $x = 0$. Se
dice que 0 es raíz doble o con multiplicidad 2, porque se repite dos
veces.
-
Si $b = 0$ , entonces tenemos $ax^2 + c = 0 \Leftrightarrow x^2 =
\dfrac{-c}{a} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{ \dfrac{-c}{a} } $
Luego tendrá solución si $\dfrac{-a}{c} \leq 0 $.
-
Si $c = 0$, entonces tenemos $ax^2 + bx = 0 \Leftrightarrow x \cdot
\left ( ax + b \right ) = 0 $. Entonces sacamos factor común a $x$,
puede que podamos sacar factor común a algo más que a $x$, eso quiere
decir que cero es siempre solución. Y la otra solución la sacamos de
resolver el otro paréntesis $ax + b = 0 \Leftrightarrow x =
\dfrac{-b}{a} $.
Veamos algunos ejemplos:
$\bullet$ Tenemos la ecuación $3x^2 = 0$ donde $ b = c = 0 \Rightarrow x = 0$.
$\bullet$ Tenemos la ecuación $x^2 - 9 = 0$ donde $ b = 0$. Así $ x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 $
Otra forma: Si factorizamos tenemos $$ x^2 - 9 = (x -3 ) \cdot (x + 3) = 0 $$
$\bullet$ Tenemos la ecuación $x^2 + 1 = 0$ si despejamos $x$ tenemos
que $x^2 = - 1$ lo que es imposible, no tiene solución.
$\bullet$ Tenemos la ecuación $3x^2 - 75x = 0$ donde c = 0.
Sacamos factor común a $x$ y en este caso además a 3, nos quedará $3x^2
- 75x = 3x \cdot (x - 25) = 0$.
Tenemos que resolver lo siguiente $3 \cdot x \cdot (x - 25) = 0 $, es
decir, ¿cuándo el producto de tres factores es cero? En este caso, sólo
de dos, ya que 3 nunca será cero. El producto será cero si $x = 0 $ 0 si
$x - 25 = 0 \Leftrightarrow x = 25$.
Si factorizamos tenemos $$3x^2 - 75x = 3 \cdot x \cdot (x - 25 ) =
0 $$
Son ecuaciones de cuarto grado donde sólo aparecen las potencias pares
$$ ax^4 + bx^2 + c = 0 $$
Hacemos un cambio de variable $x^2 = t$, así la ecuación se transforma en otra
que ya sabemos resolver
$$ at^2 + bt + c = 0 $$
en una ecuación de segundo grado completa. La que nos puede dar 2 soluciones
de $t$, 1 solución de $t$ o ninguna.
Si nos da alguna solución, después tenemos que deshacer el cambio y calcular
los valores de $x$.
Así si tenemos dos soluciones $t_1$ y $t_2$ tendremos que $x^2 = t_1$ y $x^2 =
t_2$ dos ecuaciones de segundo grado incompletas que sabemos resolver.
Si sólo tenemos una raíz $t$, entonces tenemos $x^2 = t$ ecuación de
segundo grado incompleta que sabemos resolver.
Veamos un ejemplo, tenemos la ecuación $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$
Hacemos el cambio de variable $x^2 = t$ y tenemos:
$$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$
Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación
$$ t = \dfrac{ 5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 } }{2} = \dfrac{5 \pm
\sqrt{25 - 16} }{2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{ 9 } }{2} = \dfrac{5 \pm 3 }{2} =
\begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 8 }{ 2 } = 4 \Rightarrow t = 4
\cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 2 } = 1 \Rightarrow t = 1 \end{array}.
$$
Ahora deshacemos el campo:
$x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{1} = \pm 1 $ y
$x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 $
Si factorizamos tenemos que
$$ 0 = x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) $$
Otro ejemplo, tenemos la ecuación $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$
Hacemos el cambio de variable $x^2 = t$ y tenemos:
$$ t^2 - 8t - 9 = 0 $$
Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación
$$ t = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) } }{2} = \dfrac{ 8
\pm \sqrt{64 + 36} }{2} = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{ 100 } }{2} = \dfrac{8 \pm 10
}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 18 }{ 2 } = 9
\Rightarrow t = 3 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -2 }{ 2 } = -1
\Rightarrow t = -1 \end{array}. $$
Ahora deshacemos el campo:
$x^2 = -1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{-1} \Rightarrow $ no tiene solución;
y
$x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 $
Si factorizamos tenemos que
$$ 0 = x^4 - 8x^2 - 9 = (x^2 + 1) \cdot (x - 3) \cdot (x + 3) $$
Vamos con otro ejemplo, tenemos la ecuación $x^4 + 26x^2 + 25 = 0$
Hacemos el cambio de variable $x^2 = t$ y tenemos:
$$ t^2 + 26t + 25 = 0 $$
Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación
$$ t = \dfrac{ -26 \pm \sqrt{26^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 } }{2} = \dfrac{ -26
\pm \sqrt{676 - 100} }{2} = \dfrac{ -26 \pm \sqrt{ 576 } }{2} = \dfrac{-26
\pm 24}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ -2 }{ 2 } = -1
\Rightarrow t = -1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -50 }{ 2 } = -25
\Rightarrow t = -25 \end{array}. $$
Ahora deshacemos el campo:
$x^2 = -1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{-1} \Rightarrow $ no tiene solución;
y
$x^2 = -25 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{-25} \Rightarrow $ no tiene
solución.
Si factorizamos tenemos que
$$ 0 = x^4 + 26x^2 + 25 = (x^2 + 1) \cdot (x^2 + 25) $$
Comentario
Si tenemos una ecuación de este estilo
$$ a \left ( x^n \right )^2 + b x^n + c = 0 $$
Tendríamos que hacer el cambio $x^n = t $ y nos quedaría
$$ a t^2 + b t + c = 0 $$
Veamos algunos ejemplos:
1.- Tenemos la ecuación $ x^6 + 7x^3 - 8 = 0 $. Hacemos el cambio $x^3 = t$
nos queda
$$ t^2 + 7t - 8 = 0 $$
$$ t = \dfrac{ -7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) } }{2} = \dfrac{ -7
\pm \sqrt{49 + 32} }{2} = \dfrac{ -7 \pm \sqrt{ 81 } }{2} = \dfrac{-7 \pm
9}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 2 }{ 2 } = 1
\Rightarrow t = 1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -16 }{ 2 } = -8 \Rightarrow
t = -8 \end{array}. $$
Ahora deshacemos el cambio:
$x^3 = 1 \Rightarrow x = \sqrt[3]{1} = 1 $
$x^3 = -8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-8} = -2 $
2.- Tenemos la ecuación $x^8 - 17x^4 + 16 = $. Hacemos el cambio $x^4 = t$ nos
queda
$$t^2 - 17t + 16 = 0 $$
$$ t = \dfrac{ 17 \pm \sqrt{(17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 } }{2} = \dfrac{ 17
\pm \sqrt{289 - 64} }{2} = \dfrac{ 17 \pm \sqrt{ 225 } }{2} = \dfrac{17 \pm
15}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 32 }{ 2 } = 16
\Rightarrow t = 16 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 2 } = 1 \Rightarrow
t = 1 \end{array}. $$
Ahora deshacemos el cambio:
$x^4 = 16 \Rightarrow x = \pm \sqrt[4]{16} = \pm 2 $
$x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm \sqrt[4]{1} = \pm 1 $
3.- Tenemos la ecuación $x^{10} + 31 x^5 - 32 = 0$. Hacemos el cambio $x^5 =
t$ nos queda
$$t^2 + 31t - 32 = 0$$
$$ t = \dfrac{ -31 \pm \sqrt{(31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) } }{2} = \dfrac{
-31 \pm \sqrt{961 - 128} }{2} = \dfrac{ -31 \pm \sqrt{ 1.089 } }{2} =
\dfrac{-31 \pm 33}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 2 }{ 2 } =
1 \Rightarrow t = -1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -64 }{ 2 } = -32
\Rightarrow t = -32 \end{array}. $$
Ahora deshacemos el cambio:
$x^5 = 1 \Rightarrow x = \sqrt[5]{1} = 1 $
$x^5 = -32 \Rightarrow x = \sqrt[5]{-32} = -2 $
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a
profesor.maties@gmail.com
