Intervalos: finitos e infinitos. Entorno de centro c y radio r. Distancias.

Intervalos

Definición: Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: $a$ y $b$ que se llaman extremos del intervalo, $a$ es el extremo inferior y $b$ es el extremo superior ($a \leq b$). La representación de un intervalo finito en la recta numérica es un segmento (trozo de recta limitado por dos puntos).

La idea principal que debemos asociar al concepto de intervalo es la de un conjunto de números.

Definición: Se llama amplitud o longitud del intervalo a la diferencia del extremo superior y el extremo inferior:

 $$ \text{ amplitud del intervalo, longitud del intervalo} = d(a, b) = b - a $$.

Si los extremos del intervalo abierto coinciden, el intervalo representa al conjunto vacío: $(a, a) = \emptyset $


Si los extremos del intervalo cerrado coinciden, el intervalo representa al punto $a$: $[a, a] = \{ a \} $


Siempre $ a \leq b$. No tiene sentido hablar del intervalo $[5, -3]$ ya que no existen números que sean mayores que 5 y a la vez menores que -3.

Intervalos finitos: son los intervalos de amplitud finita.

Intervalo abierto ($a$, $b$), es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$ y menores que $b$.

$$(a, b) = ]a, b[ = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x < b \}$$

Intervalo cerrado [$a$, $b$], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$ y menores o iguales que $b$.

$$[a, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \le x \le b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{ a, b \} $$

Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha, ($a$, $b$], es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$ y menores o iguales que $b$.

$$(a, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x \leq b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{ b \} $$

Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda, [$a$, $b$), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$ y menores que $b$.

$$[a, b) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \leq x < b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{a\} $$

En este applet de GeoGebra podemos manejar los intervalos y los entornos:


Ejemplos:  

$ [1,7] \Rightarrow \text{ Amplitud de } [1,7] = 7 - 1 = 6 $


$ (-2, 5) \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-2, 5) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 $


$ [3, 10) \Rightarrow \text{ Amplitud de } [3, 10) = 10 - 3 = 7 $


$ (-12, 10] \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-12, 10] = 10 - (-12) = 10 + 12 = 22 $


$ (-22, -13) \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-22, -13) = -13 - (-22) = -13 + 22 = 9 $

Intervalos infinitos: son los intervalos de amplitud infinita.

Los extremos del intervalo también pueden ser infinito, en este caso, la representación de estos conjuntos en la recta numérica serían semirrectas.

Intervalo $(a, + \infty)$, es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$.

$$(a, + \infty) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x \}$$

Intervalo [$a$, $+ \infty$), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$.

$$[a, + \infty) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \le x \}$$

Intervalo ($- \infty$, $b$), es el conjunto de todos los números reales menores que $b$.

$$(- \infty, b) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | x < b  \}$$

Intervalo ($- \infty$, $b$], es el conjunto de todos los números reales menores o iguales que $b$.

$$(- \infty, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | x \leq b \}$$

Ejemplos: ($- \infty$, 12]; ($- \infty$, -15); [3, $+ \infty$) y (-12, $+ \infty$). 

Los dos extremos del intervalo también pueden ser infinito, en este caso serían todos los reales, es decir, el intervalo, ($- \infty$, $+ \infty$), es el conjunto de todos los números reales, la recta numérica.

$$(- \infty, + \infty) = \mathbb{R}$$

En este applet de GeoGebra podemos manejar los intervalos infinitos:

Entornos

Se define el entorno abierto de centro $c$ y radio $r \geq 0$, se denota $E(c, r) = E_{r}(c)$ al intervalo abierto

$$ E_{r}(c) = (c - r, c + r) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | c - r < x < c + r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -r < x - c < r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - c \mid < r \}$$

Se define el entorno cerrado centro de centro $c$ y radio $r$, se denota $E[c, r] = E_{r}[c]$ al intervalo cerrado

$$ E_{r}[c] = [c - r, c + r] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | c - r \leq x \leq c + r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | - r \leq x - c \leq r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - c \mid \leq r \}$$

¿Cómo pasamos de intervalo $(a, b)$ a entorno $E(c, r) = E_{r}(c)$?   Si igualamos los extremos del intervalo con los extremos del entorno formamos el siguiente sistema:

$$ \Large \cases{ a = c - r \cr \cr b = c + r } $$

Cuya solución es la siguiente: 

$$ a + b = 2c \Leftrightarrow c = \dfrac{a + b}{2} \ \text{el centro es el punto medio del intervalo;}$$ 

$$ b - a = 2r \Leftrightarrow r = \dfrac{b - a}{2} \ \text{el radio es la mitad de la amplitud del intervalo.} $$ 

Veamos un ejemplo, el intervalo abierto $(3,7)$ lo vamos a pasar a entorno: 

$$ c = \dfrac{a + b}{2} \Leftrightarrow c = \dfrac{3 + 7}{2} = 5$$ 

$$ r = \dfrac{b - a}{2} \Leftrightarrow c = \dfrac{7 - 3}{2} = 2$$  

Es decir el intervalo abierto $(3,7)$ es el entorno de centro 5 y radio 2 $E(5, 2) = E_{2}(5)$

$$(3,7) = E(5, 2)$$

Exactamente igual si fuera un intervalo cerrado $[3,7] = E[5, 2] = E_{2}[5]$

¿Cómo pasamos de entorno $E(c, r) = E_{r}(c)$ a intervalo $(a, b)$? Vamos a pasar de entorno abierto de centro -3 y radio 4 $E(-3, 4) = E_{4}(-3)$ a intervalo: 

El extremo inferior del intervalo es centro $-$ radio: $ a = c - r  \Leftrightarrow a = -3 - 4 = -7 $ 

El extremo superior del intervalo es centro $+$ radio: $ b = c + r  \Leftrightarrow a = -3 + 4 = 1 $ 

Luego entorno abierto de centro -3 y radio 4, $E(-3, 4) = E_{4}(-3)$, es el intervalo abierto $(-7, 1)$.

$$E(-3, 4) = (-7, 1)$$

Exactamente igual si fuera el entorno cerrado $E[-3, 4] = [-7, 1]$

Ejemplo: $E(0, 3) = (-3, 3) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -3 < x < 3 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x \mid < 3 \}$ 

$E[0,3] = [-3, 3] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -3 \leq x \leq 3 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x \mid \leq 3 \}$ 

Ejemplo: $E(1,5) = E_{5}(1) = (1 - 5, 1 + 5) = (-4, 6) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -5 < x - 1 < 5 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - 1 \mid < 5 \}$ 

$E[1, 5] = E_{5}[1] = [1 - 5, 1 + 5] = [-4, 6] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -5 \leq x - 1 \leq 5 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - 1 \mid \leq 5 \}$ 

Ejercicios:

1. Pasar de intervalo $(-11, 15)$ a entorno.



2. Pasar de intervalo $[-14, -4]$ a entorno.



3. Pasar de $E_7(-5)$ a intervalo.



4. Pasar de $E_{5}[10]$ a intervalo.

Para ponerlo como entorno necesitamos el punto medio y el radio. El punto medio:

Se calcula aplicando la fórmula $ c = \dfrac{\ a + b\ }{2}$, donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo: $$ c = \dfrac{\ -11 + 15\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{2} = 2 $$ Y el radio es la mitad de la amplitud del intervalo, es decir, $ r = \dfrac{\ b - c \ }{2} $ $$ r = \dfrac{\ 15 - (-11)\ }{2} = \dfrac{\ 15 + 11\ }{2} = \dfrac{\ 26\ }{2} = 13 $$ Luego el intervalo $(-11, 15) = E_{13}(2) $

Para ponerlo como entorno necesitamos el punto medio y el radio. El punto medio:

Se calcula aplicando la fórmula $ c = \dfrac{\ a + b\ }{2}$, donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo: $$ c = \dfrac{\ -14 + 4\ }{2} = \dfrac{\ -10\ }{2} = -5 $$ Y el radio es la mitad de la amplitud del intervalo, es decir, $ r = \dfrac{\ b - c \ }{2} $ $$ r = \dfrac{\ 4 - (-14)\ }{2} = \dfrac{\ 4 + 14\ }{2} = \dfrac{\ 18\ }{2} = 9 $$ Luego el intervalo $[-14, -4] = E_{9}(-5) $

Para ponerlo como intervlo necesitamos calcular el extremo inferior y superior del intervalo.

El extremo inferior: $ a = c - r$, el extremo superior $b = c + r$. Aplicando las fórmulas tenemos:

$ a = c - r = - 5 - 7 = -12 $ y $ b = c + r = - 5 + 7 = -2 $

Luego el entorno abierto de centro -5 y radio 7 es el intervalo abierto $(-12, -2) = E_{7}(-5)$

Para ponerlo como intervlo necesitamos calcular el extremo inferior y superior del intervalo.

El extremo inferior: $ a = c - r$, el extremo superior $b = c + r$. Aplicando las fórmulas tenemos:

$ a = c - r = 10 - 5 = 5 $ y $ b = c + r = 5 + 10 = 15 $

Luego el entorno cerrado de centro 10 y radio 5 es el intervalo cerrado $[5, 15] = E_{7}(-5)$

De distancias a intervalos.

El módulo o valor absoluto de un número es la distancia en la recta numérica de dicho valor al origen $O$. Es siempre mayor o igual que cero.

$$ \Big | x \Big | = d(x, O) = \cases{ \cr \ x \text{ si } x \geq 0 \cr \cr -x \text{ si } x \lt 0 \cr \cr } = máx \left \{ x, -x \right \} $$ Ejemplos:

$$ \Big | 0 \Big | = 0, \Big | -11 \Big | = 11 \text{ y } \Big | 34 \Big | = 34 $$ El valor absoluto de un número y su opuesto es el mismo, ya que los dos están a la misma distancia del origen: $$ \Big | -13 \Big | = \Big | 13 \Big | = 13 $$

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \lt 3 $, ¿qué sera? Podemos probar con algunos números, por ejemplo:
- ¿el 2 cumple esa condición? Sí; ¿y el -2? Sí; ¿y el 225? También; ¿y el 3? El 3 No, ya que la distancia debe ser menor que 3.

Así pues, $ \Big | x \Big | \lt 3 $ lo podemos poner como $(-3, 3)$ es decir, el conjunto de puntos que están a una distancia menor que 3 de 0.

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \leq 3 $, ¿qué sera? Podemos probar con algunos números, igual que antes, pero vemos que el 3 sí que está en dicho conjunto. Luego $ \Big | x \Big | \leq 3 \Longleftrightarrow x \in [-3, 3] $

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \gt 3 $, ¿Qué será? Los números que son mayores que 3 eso está claro, pero también los que son menores que -3. Probemos con el número -3,1; $ \Big | -3,1 \Big | = 3,1 \gt 3 $. Luego $ \Big | x \Big | \gt 3 = (-\infty, -3) \ \bigcup \ (3, +\infty)$

$\bullet$ Si cogemos el igual $ \Big | x \Big | \geq 3 $, ¿Qué será? Los números que son mayores o iguales que 3, eso vuelve a estar claro, pero también los que son menores o iguales que -3. Probemos con el número -3,1; $ \Big | -3,1 \Big | = 3,1 \geq 3 $. Luego $ \Big | x \Big | \geq 3 = (-\infty, -3] \ \bigcup \ [3, +\infty)$

Así, si cambiamos 0 por un número real cualquiera $a$ y $b$ es una, tenemos lo siguiente:
$$ d(x, a) = \Big | x - a \Big | = b $$ «Los puntos $x$ de la recta numérica que están a una distancia $b$ del punto $a$»
Los puntos que están a una distancia 5 de 3 $ \Rightarrow d(x, 3) = \Big | x - 3 \Big | = 5 \Rightarrow \cases{ \cr \ x - 3 = 5 \cr \cr x - 3 = -5 \cr \cr } \Rightarrow \cases{ \cr \ x = 5 + 3 = 8 \cr \cr x = -5 + 3 = - 2 \cr \cr } $

Los puntos que están a una distancia 10 de -4 $ \Rightarrow d(x, -4) = \Big | x - (-4) \Big | = \Big | x + 4 \Big | 10 \Rightarrow \cases{ \cr \ x + 4 = 10 \cr \cr x + 4 = -10 \cr \cr } \Rightarrow \cases{ \cr \ x = 10 - 4 = 6 \cr \cr x = - 10 - 4 = - 14 \cr \cr } $

• $ | x - a | = b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ igual a $b$. Son los puntos $ b + a$ y $-b +a$
  
  
• $ | x - a | \lt b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ menor que $b$. Son los puntos cuya distancia a $a$ es igual a $b$ y sería el intervalo abierto $(-b + a, a + b)$.
  
  
• $ | x - a | \leq b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ menor o igual que $b$. Son los puntos cuya distancia a $a$ es igual a $b$ y sería el intervalo cerrado $[-b + a, a + b ]$.
  
  
• $ | x - a | \gt b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ mayor que $b$. Sería la unión de los intervalos $(-\infty, -b + a)\ \bigcup \ ( a + b, \infty) $
  
  
• $ | x - a | \geq b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ mayor o igual que $b$. Sería la unión de los intervalos $(-\infty, -b + a ] \ \bigcup \ [ a + b , \infty) $
  
  

Veamos con este applet de GeoGebra como manejar las distancias: