Una de cónicas (Circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)

Cónicas

Las cónicas se pueden ver como la intersección de un plano que interseca con un cono doble, según el plano de inclinación la intersección produce circunferencias, elipse, parábolas e hiérbolas. Este es el enlace en GeoGebra.

Una cónica viene determinada por cinco puntos, siempre que tres de ellos no estén alineados.

Excentricidad

La excentricidad no es solo un número; mide la forma «estirada» o «achatada» de la curva.
La distancia entre los focos se llama distancia focal. El punto medio del segmento que une los focos es el centro de la cónica y la recta que pasa por los focos se llama eje focal. Si $c$ es la semidistancia focal y $a$ es el semiejemayor, entonces:

$$ \text{ Se define excentricidad } \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } $$ La excentricidad mide cuánto se «desvía» una sección cónica de ser un círculo perfecto. En una elipse, la excentricidad está entre 0 y 1 ($0 < e < 1$). Cuanto más cerca está de 0, más redondeada es; cuanto más cerca de 1, más «achatada». La circunferencia es el caso límite de la elipse donde los dos focos coinciden en un mismo punto (el centro). Al no haber distancia entre los focos, no hay «forma atachada» y la excentricidad es nula.

Forma Estándar de las Secciones Cónicas con Centro en el punto $(h, k)$

$$ \large { \begin{array}{lll} & \ \ \text { Eje Horizontal } \ \ & \qquad \ \ \text { Eje Vertical } \ \ \cr \cr \hline \cr \text { Circunferencia } & (x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2} & \cr \cr \text { Parábola } &(y - k)^{2} = 4p(x - h) & \qquad (x - h)^{2} = 4p(y - k) \cr \cr \text { Elipse } & \dfrac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \dfrac{(y - k)^{2}}{b^{2}}=1 &   \qquad \dfrac{(x - h)^{2}}{b^{2}} + \dfrac{(y - k)^{2}}{a^{2}}=1 \cr \cr \text { Hipérbola } & \dfrac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1 & \qquad \dfrac{(y - k)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(x - h)^{2}}{b^{2}} = 1 \cr \cr \hline \end{array} } $$

$$ \text{ La ecuación general de un cónica es: } \Large Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$ A partir de esta ecuación podemos saber el tipo de cónica.

¿Qué representa cada término?

• $Ax^2 + Bxy + Cy^2$ son los términos cuadráticos. El término $xy$ indica si la cónica está rotada respecto a los ejes.
• $Dx + Ey$ son los términos lineales que indican si la cónica está desplazada del origen.
• $F$ es el término independiente.

Cómo saber qué figura es.

Para identificar la cónica cuando no hay rotación ($B = 0$), nos fijamos en los coeficientes $A$ y $C$:

• Si $A = C \implies $ Circunferencia.
• Si $A = 0 \lor C = 0 \implies $ Parábola (solo una variable está al cuadrado).
• Si $A \neq C$, pero con el mismo signo $\implies $ Elipse.
• Si $A \neq C$, pero con signo opuesto $\implies $ Hipérbola.

Si la cónica está rotada $B \neq 0$, identificamos la figura usamos la fórmula $\Delta = B^2 - 4 \cdot A \cdot C$. Según el resultado, sabemos la cónica sin dibujarla:

• Si es $\Delta < 0$ es elipse o circunferencia.
• Si es $\Delta = 0$ es parábola.
• Si es $\Delta > 0$ es hipérbola.

Nota: Una circunferencia nunca está rotada, por eso siempre $B = 0$.

Si $A = B = C = 0$ tenemos una recta, es el caso de cónica degenerada. Las cónicas degeneradas pueden ser: un punto, una recta o un par de rectas secantes.

La circuferencia: 

Es el lugar geométrico de los puntos de plano que equidistan de otro punto llamado centro. 

Ecuación de la circunferencia: 

Punto de plano $P = (x, y)$, centro $C =(h, k)$ y la distancia constante $r$: 

$$ d(P, C) = r \Leftrightarrow \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} = r \iff (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$ 

La excentricidad en la circunferencia es cero. Los focos coinciden con el centro de la circunferencia. El semieje mayor (es el mismo que el semieje menor) y coinciden con el radio.

$$ \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } = \dfrac{\ 0 \ }{ r } = 0 $$

Ejemplos:

Ecuación de la circunferencia centrada en el origen de radio 5:

$$ x^2 + y^2 = 5^2 $$

Ecuación de la circunferencia centrada en el punto $C =(2, -4)$ y de radio 1:

$$ (x-2)^2 + (y + 4)^2 = 1^2 $$

Si desarrollamos la ecuación de un circunferencia de centro $(h, k)$ tenemos que:

$$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \Rightarrow x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yk + k^2 - r^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2hx - 2ky +h^2 + k^2 - r^2 = 0$$ Hacemos $m = -2h$, $ n = -2k$ y $ o = h^2 + k^2 - r^2$ tenemos: $$ x^2 + y^2 + mx + ny + o = 0, \text{ que es la ecuación general de una cónica con } A = C = 1, B = 0, D = m, E = n \text{ y } F = o $$

La elipse: 

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La distancia entre los focos se llama distancia focal. El punto medio del segmento que une los focos es el centro de la elipse y la recta que pasa por los focos se llama eje focal.

Si $c$ es la semidistancia focal y $a$ es el semiejemayor, entonces:

$$ \text{ Se define excentricidad } \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } $$ Observación: En una elipse la excentricidad está entre 0 y 1, $ \epsilon \ \in \ (0, 1)$

Nota: La circunferencia es una elipse de excentricidad cero. Como $ a = b \Rightarrow c = 0 \Rightarrow \epsilon = 0 $

$$ d(P, F) + d(P, F') = 2a$$ La distancia es dos veces el semieje mayor de longitud $a$ (en este caso situado en el eje $OX$ o eje de abscisas). El semieje menor de longitud $b$ situado en el eje $OY$ o eje de ordenadas.

En una elipse tenemos que $a^2 = b^2 + c^2$ y así la ecuación de una elipse nos queda:

Si suponemos que la elipse está centrada en el origen de coordenadas, el semieje mayor está en el eje $X$, las coordenadas de los focos son $F = (c, 0)$ y $F' = (-c, 0)$ respectivamente y las coordenadas del punto es $P(x, y)$ tenemos:

$$ d(P, F) + d(P, F') = 2a \Rightarrow \sqrt{(x - c)^2 + y^2 }+ \sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = 2a $$ Desarrollamos tenemos que: $$ \sqrt{(x - c)^2 + y^2 } = 2a - \sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } \Rightarrow $$ $$ (x - c)^2 + y^2 = 4a^2 + (x + c)^2 + y^2 - 4a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } \Rightarrow $$ $$ x^2 - 2xc + c^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 + 2xc + c^2 + y^2 - 4a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } \Rightarrow $$ $$ 4a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = 4a^2 + 4xc \Rightarrow $$ $$ \xcancel{4}a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = \xcancel{4}a^2 + \xcancel{4}xc \Rightarrow $$ $$ a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = a^2 + xc \Rightarrow $$ $$ a^2[ (x + c)^2 + y^2 ] = a^4 + 2a^2xc + x^2 c^2 \Rightarrow $$ $$ a^2(x^2 + 2xc + c^2 + y^2) = a^4 + 2a^2 xc + x^2 \Rightarrow $$ $$ a^2x^2 + 2a^2xc + a^2c^2 + a^2y^2 = a^4 + 2a^2 xc + x^2c^2 \Rightarrow $$ Simplificando tenemos que: $$ a^2x^2 + \xcancel{2a^2xc} + a^2c^2 + a^2y^2 = a^4 + \xcancel{2a^2xc} + x^2c^2 \Rightarrow x^2(a^2 - c^2) + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2) $$ $$b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 \Rightarrow \dfrac{\ \ x^2 \ \ }{a^2} + \dfrac{\ \ y^2 \ \ }{b^2} = 1 $$ Si la elipse no está situada en el origen de coordenadas, está en el punto $(h, k)$ entonces la ecuación de la elipse sería:

Sabiendo que los focos están en los puntos $F_1 = (h - c, k)$ y $F_2 = (h + c, k)$
$$ \dfrac{\ \ (x - h)^2 \ \ }{a^2} + \dfrac{\ \ (y - k)^2 \ \ }{b^2} = 1 \qquad (*) $$
Y si el eje mayor está en la vertical, es decir, en el eje de ordenadas, la ecuación sería: $$ \dfrac{\ \ (x - h)^2 \ \ }{b^2} + \dfrac{\ \ (y - k)^2 \ \ }{a^2} = 1 $$
Desarrollando la ecuación (*) tenemos que: $$ a^2(x^2 - 2xh + h^2) + b^2(y^2 - 2yk + k^2) = a^2b^2 \Rightarrow $$ $$a^2x^2 + b^2y^2 + x(-2a^2h) + y(-2b^2k) + a^2h^2 - a^2b^2 + b^2k^2 = 0 $$ Hacemos $p = a^2, q = b^2, B = 0, r = -2a^2h, s = -2b^2k$ y $ t = a^2h^2 - a^2b^2 + b^2k^2$ tenemos: $$px^2 + qy^2 + rx + sy + t = 0$$

La hipérbola:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. Siendo esta constante menor a la distancia entre los focos, distancia focal.

\[ |d(P,F_1) - d(P,F_2)| = 2a \] $$\msqrt{(x+c)^2 + y^2} - \msqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a $$ Paso 1: Aislar una raíz y elevar al cuadrado $$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado: $$(x+c)^2 + y^2 = (2a)^2 + 2(2a)\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \left(\sqrt{(x-c)^2 + y^2}\right)^2$$ $$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + (x-c)^2 + y^2$$ Paso 2: Simplificar términos. Expandimos los binomios $(x+c)^2$ y $(x-c)^2$, y cancelamos $y^2$: $$x^2 + 2xc + c^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + x^2 - 2xc + c^2$$ Cancelamos $x^2$ y $c^2$ de ambos lados y agrupamos los términos con $xc$: $$4xc - 4a^2 = 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$ Dividimos todo entre 4 para simplificar: $$xc - a^2 = a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$ Paso 3: Elevar al cuadrado por segunda vezElevamos nuevamente para eliminar la raíz restante: $$(xc - a^2)^2 = a^2 \left[ (x-c)^2 + y^2 \right]$$ $$x^2c^2 - 2xca^2 + a^4 = a^2 (x^2 - 2xc + c^2 + y^2)$$ $$x^2c^2 - 2xca^2 + a^4 = a^2x^2 - 2xca^2 + a^2c^2 + a^2y^2$$ Cancelamos el término $-2xca^2$ en ambos lados: $$x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$$ Paso 4: Agrupar variables y usar la sustitución $c^2 = a^2 + b^2$ Pasamos los términos con $x$ e $y$ a un lado y las constantes al otro: $$x^2c^2 - a^2x^2 - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4$$$$x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)$$ Aquí aplicamos el hecho que mencionas: si $c^2 = a^2 + b^2$, entonces $b^2 = c^2 - a^2$. Sustituimos: $$x^2(b^2) - a^2y^2 = a^2b^2$$ Paso 5: Resultado final Dividimos toda la ecuación por $a^2b^2$: $$\mfrac{x^2b^2}{a^2b^2} - \mfrac{a^2y^2}{a^2b^2} = \mfrac{a^2b^2}{a^2b^2}$$ Es la ecuación estándar de la hipérbola. $$\mfrac{x^2}{a^2} - \mfrac{y^2}{b^2} = 1$$
La excentricidad de una hipérbola. La distancia entre los vértices ($2a$) debe ser menor que la distancia focal ($2c$). En lenguaje matemático, esto se expresa como:$$a < c \implies \epsilon = \mfrac{c}{a} > 1 $$ La ecuación normal (o canónica) de la hipérbola centrada en el punto $(h, k)$;

• Horizontal (que abre hacia la izquierda y hacia la derecha) es: \[ \dfrac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1 \]
  Centro $ = (h, k)$
  Vértices: $(\pm a, 0)$
  Focos: $(\pm c, 0)$
  $c^2 = a^2 + b^2$, donde $c$ es la distancia del origen al foco.
  Asíntotas $y = \pm \mfrac{b}{a}x$
  
• Vertical (abre hacia arriba y hacia abajo) es: \[ \dfrac{(y - k)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(x - h)^{2}}{b^{2}} = 1 \] Centro $ = (h, k)$
  Vértices: $(0, \pm a)$
  Focos: $(0, \pm 0)$
  $c^2 = a^2 + b^2$, donde $c$ es la distancia del origen al foco.
  Asíntotas $y = \pm \mfrac{a}{b}x$
  

La parábola:

En esta entrada del blog ya se ha trabajado la parábola como la representación gráfica de una función polinómica de grado 2º en 3º y 4º de la ESO.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un recta fija llamada directriz ($d$) y de un punto interior $F$ a la parábola llamado foco. El foco $F$ no pertenece a la directriz. La directriz no interseca a la parábola.

\[ d(P, F) = d(P, d) \] La parábola centrada en el origen, los datos del foco y de la directriz son: \(F = (0, p) y d \equiv y = - p \) \[ \msqrt{x^2 + (y - p)^2} = | y + p | \] Elevamos al cuadrado: \[ x^2 + (y - p)^2 = ( y + p )^2 \] \[ x^2 + y^2 - 2yp + p^2 = y^2 + 2yp + p^2 \] Se cancelan los $y^2$ y los $p^2$: \[ x^2 - 2yp = 2yp \implies 4yp = x^2 \] A $4p$ se le denomina lado recto de la parábola. Si $p$ es muy grande, la parábola se estrecha y si p es muy pequeño la parábola es más amplia.

Distancia focal ($p$): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales). Entonces: \[ \epsilon = \mfrac{c}{a} = \mfrac{p}{p} = 1 \]

Si la parábola está centrada en el origen, el eje focal es paralelo al eje Y o eje de ordenadas y la directriz es paralela al eje X o eje de abscisas, entonces la ecuación es de la forma:
La ecuación ordinario, normal o canónica de una parábola:

• Vertical (que abre hacia arriba o hacia abajo) es: \[ 4p(y - k) = (x - h)^{2} \]
  $p$ es la distancia focal. Si $p > 0$ se abre hacia arriba, si $p < 0$ se abre hacia abajo.
  Vértice $(h, k)$
  Foco: $(h, k + p)$
  La directriz es $y = k - p$
  
• Horizontal (abre hacia la izquierda o hacia la derecha) es: \[ (y - k)^{2} = 4p(x - h) \] $p$ es la distancia focal. Si $p > 0$ se abre hacia la derecha, si $p < 0$ se abre hacia la izquierda.
  Vértice $(h, k)$
  Foco: $(h + p, k)$
  La directriz es $x = h - p$
  

Ejemplos: $$ x^2 = 4py $$ Si $p = \dfrac{1}{4} $ tenemos la parábola $y = x^2$

Ejercicios resueltos

Este ejercicio lo hacemos completando cuadrados a $x$ e $y$: \[ x^2 + y^2 - 4x - 6y = 12 \implies x^2 -4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 12 + 4 + 9 \implies (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 \] Es decir, la circunferencia centrada en el punto $(2, 3)$ y de radio 5.

La ecuación de la parábola viene dada por el vértice $(0, 0)$ y $x^2 = 4py$:

El lado recto es $4p$ y vale 8, luego la acuación de la parábola es: $8y = x^2 \implies y = \mfrac{x^2}{8}$

Vértice: $(0, 4)$ y los puntos en el suelo: $(2.5, 0)$ y $(-2.5, 0)$

La ecuación de la parábola viene dada por el vértice $(h, k)$ y $(x - h)^2 = 4p(y - k)$:

$$x^2 = 4p(y - 4)$$ Con el punto $(2.5, 0)$ vamos a calular el lado recto:

\[ (2,5)^2 = 4p(0 - 4) \implies 6,25 = -16p \implies 4p = \mfrac{6,25}{-4} = -1,5625 \] Ya tenemos la ecuación de la parábola: $$x^2 = -1,5625(y - 4)$$ Para calcular la altura, centramos el coche de 3 metros, dejando 1,5 metros a cada lado del centro del tunel y despejamos $y$: $$(1,5)^2 = -1,5625(y - 4) \implies 2,25 = -1,5625y + 6,25 \implies -4 = - 1,5625p \implies p = \mfrac{4}{1,5625} = 2,56 \text{m} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Resolver triangulos

Datos del triángulo

Ángulo $\hat{A}$

Lado $a$

Ángulo $\hat{B}$

Lado $b$

Ángulo $\hat{C}$

Lado $c$

Distancias desde un punto exterior a una circunferencia hasta los dos puntos de tangencia.

«Las distancias desde un punto exterior a una circunferencia hasta los dos puntos de tangencia son siempre iguales.»

Explicación geométrica:

1. Punto Exterior (P): Considera un punto P fuera de una circunferencia.


2. Puntos de Tangencia (A y B): Desde P, traza dos rectas tangentes a la circunferencia, tocándola en los puntos A y B.


3. Radios (OA y OB): Traza los radios desde el centro (O) hacia los puntos de tangencia A y B.


4. Perpendicularidad: Un radio es siempre perpendicular a su recta tangente en el punto de tangencia (OA \(\bot\) PA, OB \(\bot\) PB).


5. Triángulos Congruentes: Los triángulos \(\triangle\)OAP y \(\triangle\)OBP son triángulos rectángulos que comparten la hipotenusa OP, tienen un cateto (OA y OB) igual al radio, y ambos son rectos en A y B. Por lo tanto, son triángulos congruentes (por el criterio Hipotenusa-Cateto).


6. Igualdad de Segmentos: Como los triángulos son congruentes, sus lados correspondientes también son iguales, lo que significa que la longitud del segmento PA es igual a la longitud del segmento PB (PA = PB).

Teorema de Tales. Teorema de la altura. Teorema del cateto.

Teorema de Tales:

«Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales, los segmentos determinados en una de las transversales son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en la otra»



Aplicaciones del Teorema de Tales:

Este teorema es la base para entender la semejanza de figuras y tiene aplicaciones muy prácticas, como:

• Calcular alturas: a partir de establecer proporciones.
• Dividir segmentos: Permite dividir una línea en partes exactamente iguales o proporcionales.
• Escalas: Es fundamental en cartografía y arquitectura para reducir o ampliar dibujos manteniendo las proporciones reales.

¿Qué son Figuras Semejantes?

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño. Es como hacer "zoom" en una foto: todo se agranda o se achica, pero no se deforma.Para que dos figuras sean semejantes, deben cumplir dos condiciones obligatorias:

• Sus ángulos correspondientes son iguales (la forma no cambia).
• Sus lados correspondientes son proporcionales.

Esto último significa que si divides un lado de la figura grande entre el lado correspondiente de la pequeña, siempre te da el mismo número. Ese número se llama Razón de Semejanza ($k$). \[ \mfrac{\text{Lado Grande}}{\text{Lado Pequeño}} = k \] Criterios de Semejanza de Triángulos:

Para saber si dos triángulos son semejantes, no hace falta medir todos sus lados y todos sus ángulos. Basta con que cumplan uno de los siguientes tres criterios:

• Criterio 1: AA (Ángulo - Ángulo) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.¿Por qué? Porque como los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180°, si tienen dos iguales, el tercero obligatoriamente también será igual. Es el criterio más usado en problemas de sombras y alturas.
• Criterio 2: LLL (Lado - Lado - Lado) Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales.Ojo: No significa que midan lo mismo, sino que la división entre sus lados correspondientes da siempre el mismo resultado. \[ \mfrac{a}{a'} = \mfrac{b}{b'} = \mfrac{c}{c'} = k \]
• Criterio 3: LAL (Lado - Ángulo - Lado)Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.Es importante que el ángulo sea el que está en medio de los dos lados que conocemos.

El Caso Especial: Posición de Tales

En los exámenes, la forma más común de ver triángulos semejantes es uno metido dentro de otro. Esto se llama Triángulos en posición de Tales. Si cortas un triángulo con una línea paralela a uno de sus lados, el triángulo pequeño que se forma arriba es automáticamente semejante al triángulo grande total. Fórmula clave para ejercicios: \[ \mfrac{\text{Altura Grande}}{\text{Altura Pequeña}} = \mfrac{\text{Base Grande}}{\text{Base Pequeña}} = \mfrac{\text{Sombra Grande}}{\text{Sombra Pequeña}} \] Criterios para triángulos rectángulos:

• Tienen un ángulo agudo igual (por ser ambos rectos y compartir uno agudo, aplican el criterio AA).
• Sus catetos son proporcionales.
• La hipotenusa y un cateto son proporcionales.

$\bullet \ $ Observa la siguiente figura y calcula GF y CD:

$\bullet \ $ Calcula el área del cuadrado:

$\bullet \ $ Comprueba, si las siguientes parejas de triángulos son o no semejantes.

1. Uno de lados 12, 9 y 4 y el otro, 12, 27 y 36.
2. Uno con ángulos 43° y 67°, y el otro, 70° y 67°.

$\bullet \ $ Las siguientes figuras son semejantes:

1. Halla la medida del lado AD.
2. Calcula la medida de los lados A'D', B'C' y C'D'.

$\bullet \ $ ¿Calcula el valor de $r$?

$\bullet \ $ Veamos un ejercicio para aplicar el Teorema de Tales:

El hombre está de pie. Las paredes son verticales y paralelas.

Teorema de la altura:

En todo triángulo «rectángulo», la altura ($h$) relativa a la hipotenusa es el producto (la media geométrica) de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa ($n$ y $m$).

• $m$ es la proyección del cateto $c$ sobre la hipotenusaa $b$.
  
• $n$ es la proyección del cateto $a$ sobre la hipotenusa $b$.
  
• La hipotenusa $b$ es igual a la suma de las proyecciones de los catetos $b = n + m$.
  
• La altura $h$ separa el triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos, el azul y el naranja.
  
• Después del giro, los triángulos están en posición de Tales y son semejantes, luego: \[ \mfrac{h}{n} = \mfrac{m}{h} \Rightarrow h^2 = m \cdot n \Rightarrow h = \msqrt{m \cdot n} \]

Teorema del cateto:

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m). En todo triángulo «rectángulo», un cateto ($a$ o $c$) es el producto (media geométrica) entre la hipotenusa (b) y la proyección de ese cateto ($n$ o $m$) sobre la hipotenusa.

• $m$ es la proyección del cateto $c$ sobre la hipotenusaa $b$.
  
• $n$ es la proyección del cateto $a$ sobre la hipotenusa $b$.
  
• La hipotenusa $b$ es igual a la suma de las proyecciones de los catetos $b = n + m$.
  
• Los tres triángulos son semejantes: Si aplicamos el Teorema de Tales a la pareja de triángulos grande (azul claro) y el más pequeño (azul oscuro): \[ \text{Trabajando con el cateto } c \text{ con la proyección } m \quad \mfrac{c}{m} = \mfrac{b}{c} \Rightarrow c^2 = m \cdot b \Rightarrow c = \msqrt{m \cdot b} \]
  Si aplicamos el Teorema de Tales a la pareja de triángulos grande (azul claro) y el mediano (naranja): \[ \text{Trabajando con el cateto } a \text{ con la proyección } n \quad \mfrac{a}{n} = \mfrac{b}{a} \Rightarrow a^2 = n \cdot b \Rightarrow a = \msqrt{n \cdot b} \]

Altura del triángulo rectángulo a partir de los lados

Si aplicamos el Teorema del Cateto tenemos: \[ c^2 = m \cdot b \Rightarrow m = \mfrac{c^2}{b} \qquad \qquad a^2 = n \cdot b \Rightarrow n = \mfrac{a^2}{b} \] Si sustituimos en la fórmula que nos da el Teorema de la Altura: \[ h = \msqrt{m \cdot n} = \msqrt{ \mfrac{c^2}{b} \cdot \mfrac{a^2}{b} } = \msqrt{ \mfrac{c^2 \cdot a^2}{ b^2 } } = \mfrac{a \cdot c}{b} \]
Es decir, la altura de una triángulo rectángulo es el producto de los catetos dividido por la hipotenusa.

Teoría y problemas de Geometría.

Un cuadrilátero convexo es un polígono de cuatro lados donde todos sus ángulos internos miden menos de 180° y sus dos diagonales se intersectan en el interior de la figura, a diferencia de los cóncavos, que tienen un ángulo mayor a 180° y al menos una diagonal exterior. Los tipos comunes de cuadriláteros convexos incluyen paralelogramos, rectángulos, rombos, cuadrados, trapecios y trapezoides, y la suma de sus ángulos siempre es 360°.

Características principales:

• Ángulos: Todos sus ángulos interiores son menores a 180°.
• Diagonales: Ambas diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) se encuentran dentro del cuadrilátero.
• Posición: Si trazas una línea por cualquiera de sus lados, el cuadrilátero queda completamente en un solo «lado» (semiplano) de esa línea.

El teorema de «Pitot» establece que en un cuadrilátero convexo que inscribe una circunferencia, el resultado de la suma de los lados opuestos es el mismo: \[ \overline{AD} + \overline{BC} = \overline{AB} + \overline{DC} \]
Otro posible enunciado: Teorema de «Pitot» afirma que en cualquier cuadrilátero circunscriptible (que tiene una circunferencia inscrita), la suma de sus lados opuestos es igual.


Este teorema se demuestra a partir de la siguiente fundamental:
«La propiedad fundamental es que dos tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia miden lo mismo.»



Los puntos $P, Q, R \text{ y } S$ son los puntos de tangencia del cuadrilátero con la circunferencia.
A partir del principio fundamental de las dos tangentes trazadas a partir de un punto tenemos: \[ \overline{AP} = \overline{AS} = a \] \[ \overline{BP} = \overline{BQ} = b \] \[ \overline{CQ} = \overline{CR} = c \] \[ \overline{DR} = \overline{DP} = d \] Del teorema tenemos: \[ \overline{AS} + \overline{SD} + \overline{BQ} + \overline{QC} = \overline{AP} + \overline{PB} + \overline{CR} + \overline{RD} \] \[ a + d + b + c = a + b + c + d \]

El japonés Kubo es el jugador con nombre de forma geométrica más joven en participar en una Copa del Mundo, superando al jugador argentino Redondo y al colombiano Cuadrado.

1. ¿Cuál es el área de la zona azul?
   
2. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?
   
3. ¿Cuál es el área de la franja?
   
4. ¿Cuál es el área de la zona rayada?
   
5. Usando el Teorema de Tales demuestra que la fórmula de la pirámide cuadrada truncada de altura $h$ con de bases $a$ y $b$ respectivamente es $V = \mfrac{h}{3} \cdot (a^2 + ab + b^2)$.
   
6. 
   Jorge y Samuel quieren pintar una cruz como la de la figura en el suelo del patio del colegio, antes de comenzar querían saber cual es el área a pintar para calcular mejor la pintura que necesitan, ¿podrías ayudarles? ¿Cuál es el área de la figura sombreada? El Lado del cuadrado mide 10 m.
   
   
7. Calcula el área de la zona sombreada:
   
   
8. Calcula $x$.
   
   
9. Calcula el área de la zona sombreada.
   
   
10. Calcula el área de la zona sombreada.
    
    
11. Calcula el área de la zona sombreada.
    
    

Problemas.

Un estanque de agua se llena en 10 horas usando un grifo grande y necesita 15 horas para llenarse con un grifo más pequeño. ¿En cuánto tiempo se llena usando ambos grifos a la vez?

¿Qué curva tiene mayor longitud la verde o la azul?

Límites: Regla de L'Hôpital.

Historia:

A finales del siglo XVII y principios del XVIII, las matemáticas estaban explotando con nuevas ideas. El cálculo acababa de ser inventado. Guillaume de l’Hôpital era un noble francés adinerado apasionado por las matemáticas, pero no precisamente un genio. Contrató a uno de los matemáticos jóvenes más brillantes de la época, Johann Bernoulli, como tutor personal. Bernoulli era tan talentoso que L’Hôpital le hizo una oferta increíble: un salario anual de 300 francos a cambio de todas las nuevas descubrimientos que hiciera. Sí, L’Hôpital compraba teoremas. Cada vez que Bernoulli encontraba algo nuevo, se lo enviaba a su empleador. En 1696, L’Hôpital publicó el primer libro de texto de cálculo, «Analyse des Infiniment Petits». Allí se presentó la famosa Regla de L’Hôpital, cómo manejar límites indeterminados como «0/0». Pero aquí viene el giro: la regla, y gran parte del libro, fueron escritos en realidad por Bernoulli. Tras la muerte de L’Hôpital, Bernoulli reveló la verdad y mostró las cartas que probaban el acuerdo. Aun así, el nombre de L’Hôpital quedó asociado a la regla, un recordatorio de que a veces en la ciencia el dinero compra fama. Hoy en día, todo estudiante de cálculo aprende la Regla de L’Hôpital, aunque el verdadero autor fue Johann Bernoulli. De @Math_Files

La Regla de L'Hôpital se aplica a las indeterminaciones del tipo $\zdivz$ y $\idivi$.

Regla de L’Hôpital Sean $f,g: \R \longrightarrow \R$ funciones derivables en algún intervalo abierto que contenga a $a \in \R$, excepto posiblemente en $a$.

Supongamos que $g'(x)$ nunca es cero y que se cumple una de las siguientes condiciones:

1. $ \milmt{x}{a}{\ f(x)\ } = 0 \text{ y } \milmt{x}{a}{\ g(x)\ } = 0 $
2. $ \milmt{x}{a}{\ | f(x) |\ } = \infty \text{ y } \milmt{x}{a}{\ | g(x) |\ } = \infty $

entonces si existe $$ \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f'(x) }{ g'(x) } } $$ Se cumple: $$ \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f'(x) }{ g'(x) } } = \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f(x) }{ g(x) } } $$ $$ \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f(x) }{ g(x) } } = \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f(x) - f(a) }{ g(x) - g(a) } } = \milmt{x}{a}{ \mfrac{ \mfrac{ f(x) - f(a) }{x - a} } { \mfrac{ g(x) - g(a) }{x - a} } } = \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f'(x) }{ g'(x) } } $$ (i) \( \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \sen x\ }{ x } } \)

\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \sen x\ }{ x } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \cos x\ }{ 1 } } = \milmt{x}{0}{ \cos x\ } = 1 \] (ii) $\milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \tg x - x\ }{x - \sen x} }$

\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \tg x - x\ }{x - \sen x} } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ 1 + \tg^2 x - 1\ }{1 - \cos x} } = \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \tg^2 x \ }{1 - \cos x} } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} = \] \[ = \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ 2 \tg x (1 + \tg^2 x) \ }{ \sen x} } = \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ 2 (1 + \tg^2 x) \ }{ \cos x} } = 2 \] (iii) \( \milmt{x}{0}{ \mfrac{(1 + x)^4 - 1 }{ x } } \)

Este límite se puede hacer de varias formas, pero lo haremos usando L'Hôpital:
\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{(1 + x)^4 - 1 }{ x } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{ 4(1 + x)^3 }{ 1 } } = \milmt{x}{0}{ \ 4(1 + x)^3 } = 4 \] Ejercicio: ¿De cuántas formas se puede hacer este límite?

Si las funciones $f(x)$ y $g(x)$ son derivables $n$-veces, la regla de l'Hôpital se puede aplicar $n$-veces.

\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{ 1 - \cos x}{ 5x^2 } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{ \sen x}{ 10x } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{}{ \mfrac{ \cos x}{ 10 } } = \mfrac{ 1 }{ 10 } \] Se pueden resolver las indeterminaciones del tipo $\idivi$ haciendo la doble inversión: \[ \idivi = \mfrac{ \mfrac{ 1 }{ \infty} }{ \mfrac{ 1 }{ \infty} } = \zdivz \] Se pueden resolver también indeterminaciones de los tipos: \[ 0 \cdot \infty = 0 \cdot \mfrac{ 1 }{ 0 } = \mfrac{ 0 }{ 0 } \qquad \qquad 0 \cdot \infty = \mfrac{ 1 }{ \infty } \cdot \infty = \mfrac{ \infty }{ \infty } \]

\[ \milmt{x}{e}{ \mfrac{ \ln(x) - 1}{ x - e } } = \zdivz \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{e}{ \mfrac{ \mfrac{1}{x} }{ 1 } } = \milmt{x}{e}{ \mfrac{1}{x} } = \mfrac{1}{e} = e^{-1} \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com