PAU La Rioja (2026 junio) Una empresa fabrica dos tipos de herramientas, A y B. Para su elaboración utiliza madera y acero. Para fabricar una herramienta A se necesitan 300 gramos de madera y 100 gramos de acero; en el caso de B, las cantidades requeridas son 100 y 200 gramos respectivamente. Dispone diariamente de un máximo de 3 kilogramos de madera y 2 kilogramos de acero. Estas herramientas le proporcionan un beneficio de 20 euros por unidad de A y de 15 euros por cada una de B. Además, se deben fabricar diariamente al menos 2 herramientas de tipo A y al menos 3 de tipo B. Se pide:
Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa.
Representa la región factible S.
Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo.
a)
Lo primero que hacemos es definir las variables que vamos a usar en este ejercicio:
$x$: Número de herramientas de tipo A.$y$: Número de herramientas de tipo B.
Función objetivo (Maximizar el beneficio):
$$f(x,y) = 20x + 15y$$
Restricciones:
b) Región factible $S$ y c) Coordenadas de los vértices
Dibujamos las rectas y nos sale la siguiente región factible:
Al cruzar estas rectas correctas en el plano, la región factible sigue siendo un cuadrilátero, pero con vértices completamente enteros. Los obtenemos resolviendo los sistemas de ecuaciones de las líneas que se cruzan:
Cruce de los mínimos ($x=2$ e $y=3$): Vértice $A = (2, 3)$
Cruce de $y=3$ con la recta de la madera ($3x + y = 30$):$3x + 3 = 30 \implies 3x = 27 \implies x = 9$
Vértice $B = (9, 3)$ (Cumple la restricción de acero porque $9 + 2(3) = 15 \le 20$)
Cruce de las dos restricciones de materiales ($3x + y = 30$ y $x + 2y = 20$): Multiplicamos la segunda por 3: $3x + 6y = 60$
Restamos la primera: $5y = 30 \implies y = 6$
Sustituimos para hallar $x$: $x + 2(6) = 20 \implies x = 8$
Vértice $C = (8, 6)$Cruce de $x=2$ con la recta del acero ($x + 2y = 20$):$2 + 2y = 20 \implies 2y = 18 \implies y = 9$
Vértice $D = (2, 9)$ (Cumple la restricción de madera porque $3(2) + 9 = 15 \le 30$)
d) Optimización (Beneficio máximo) Evaluamos la función objetivo $f(x,y) = 20x + 15y$ en cada uno de los 4 vértices obtenidos:
PAU La Rioja (2026 junio) CCSS II En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas A y B. Para tabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda A requiere de 3 horas de corte y 2 de costura; cada prenda B, de 1 y 4 horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de 15 horas para el corte y de 20 horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de A son de 100 € y por cada una de B, 120 €. Se pide:
Plantea el problema de programación lineal para maximizar los ingresos de la sastrería.
Representa la región factible S.
Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
Calcula el número de prendas de cada tipo a confeccionar para que los ingresos sean máximos. Indica el valor de estos ingresos.
$x$ = número de prendas tipo A e $y$ = número de prendas tipo B.
Vamos con el apartado a):
REstricción del número de prendas: $x \leq 0$, $y \leq 0$
Restricción de horas de corte: $3x + y \leq 15$
Restricción del número de horas de costura: $2x + 4y \leq 20$ c
y la función a optimizar es $f(x, y) = 100x + 120y $
b) y c) Veamos la región factible y las coordenadas de los vértices:
Problema típico de PAU El problema de la «ventana normanda»: En una ventana rectangular se ha sustituido el lado superior por un semicírculo. Su perímetro total es de 4 m. Si la cantidad de luz que penetra ha de ser máxima, se pide hallar:
- Las dimensiones de la ventana.
Derivada de la raíz de $x$:
\[
\left ( \msqrt{ x } \right) ' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \msqrt{ x + h } - \msqrt{ x } }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ ( \msqrt{ x + h } - \msqrt{ x })( \msqrt{ x + h } + \msqrt{ x } ) }{ (\msqrt{ x + h } + \msqrt{ x } ) h } } =
\]
\[
= \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{ \msqrt{ x + h } + \msqrt{ x } } \cdot \mfrac{ x + h - x }{h} } = \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{ \msqrt{ x + h } + \msqrt{ x } } \cdot \mfrac{ h }{h} } = \mfrac{ 1 }{2 \msqrt{ x } }
\]
Derivada de la exponencial de $x, f(x) = e^x$
\[
\left ( f(x) \right )' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ e^{x + h} - e^x }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{e^x(e^h - 1)}{ h } } =
\]
A partir de la definición del número $e$ mediante su límite, demostraremos este límite usando un cambio de variable:
Hacemos $t = e^h - 1$. Si $h \to 0$, entonces $t \to 0$.
Despejamos $h$: $e^h = 1 + t \implies h = \ln(1 + t)$.
Sustituimos en el límite:
$$\milmt{t}{0}{ \mfrac{e^h - 1}{h} } = \milmt{t}{0}{ \mfrac{t}{\ln(1 + t)} } = \milmt{t}{0}{ \mfrac{1}{\mfrac{1}{t}\ln(1 + t)} } = \milmt{t}{0}{ \mfrac{1}{\ln\left((1 + t)^{1/t} \right) } } $$
Como $\milmt{t}{0}{ (1 + t)^{1/t} } = e$, la expresión queda:
$$\mfrac{1}{\ln(e)} = \mfrac{1}{1} = 1$$
Derivada de la exponencial de $f(x), e^{f(x)}$
Queremos hallar la derivada de $y = e^{f(x)}$ usando la definición formal del límite:
$$\mfrac{d}{dx} \left[ e^{f(x)} \right] = \milmt{h}{0}{ \mfrac{e^{f(x + h)} - e^{f(x)} }{h} } = (1) $$
1. Factorizamos $e^{f(x)}$ en el numerador: Observa que por propiedades de exponentes:
$$e^{f(x+h)} = e^{f(x) + (f(x+h) - f(x))} = e^{f(x)} \cdot e^{f(x+h) - f(x)}$$
Sacamos factor común $e^{f(x)}$:
$$ (1) = \milmt{h}{ 0}{ \mfrac{e^{f(x)} \left( e^{f(x+h) - f(x)} - 1 \right)}{h} } $$
Como $e^{f(x)}$ no depende de $h$, lo podemos sacar fuera del límite:
$$ = e^{f(x)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^{f(x+h) - f(x)} - 1}{h}$$
2. Multiplicamos y dividimos por $\left (f(x+h) - f(x) \right ) $
$\Delta f = f(x+h) - f(x)$:
$$ = e^{f(x)} \cdot \milmt{h}{0}{ \left[ \mfrac{e^{f(x+h) - f(x)} - 1}{f(x+h) - f(x)} \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right] } $$
3. Separar en dos límites. Aplicamos la propiedad de que el límite de un producto es el producto de los límites:
$$ = e^{f(x)} \cdot \left( \milmt{h}{0}{ \mfrac{e^{f(x+h) - f(x)} - 1}{f(x+h) - f(x)} \right) \cdot \left( \lim_{h \to 0} \mfrac{f(x+h) - f(x)}{h} } \right ) $$
4. Analizar cada una de las dos partes. El segundo límite: Es la definición idéntica de la derivada de $f(x)$:
$$\milmt{h}{0}{ \mfrac{f(x+h) - f(x)}{h} } = f'(x)$$
El primer límite: Si llamamos $u = f(x+h) - f(x)$, como la función $f(x)$ es derivable (y por tanto continua), cuando $h \to 0 \implies u \to 0$. El límite se convierte en:
$$\milmt{u}{0}{ \mfrac{e^u - 1}{u} } $$
¡Y este es exactamente el límite fundamental que acabamos de demostrar en el apartado anterior y que vale 1.
5. Resultado final: Sustituyendo todo de vuelta:
$$\mfrac{d}{dx} \left[e^{f(x)}\right] = e^{f(x)} \cdot 1 \cdot f'(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x)$$
\[
\milmt{x}{\infty}{\left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } - \msqrt{x}\right)} = \imini =
\]
Es una indeterminación ya que los dos términos son del mismo orden. Multiplicamos y dividimos por el conjugado $\left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } + \msqrt{x}\right)$
\[
= \milmt{x}{\infty}{ \mfrac{\left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } - \msqrt{x}\right)\left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } + \msqrt{x}\right) }{ \left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } + \msqrt{x}\right) } } =
\]
\[
= \milmt{x}{\infty}{ \mfrac{ x + \msqrt{x + \msqrt{x} } - x }{ \left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } + \msqrt{x}\right) } } = \milmt{x}{\infty}{ \mfrac{ \msqrt{x + \msqrt{x} } }{ \left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } + \msqrt{x}\right) } } = \idivi =
\]
Comparando los grados del numerador y del denominador quedándonos con las potencias de $x$ más altas o también dividimos el numerador y el denominador por $\sqrt{x}$:
\[
= \milmt{x}{\infty}{ \mfrac{ x^{1/2} }{ x^{1/2} + x^{1/2} } } = \mfrac{1}{2}
\]
\[
\milmt{x}{\infty}{\msqrt{x^3+1}\left(\msqrt{2x^5-2x}-\msqrt{2x^5+3x}\right)} = \infty \cdot (\imini) =
\]
Es una indeterminación ya que los dos términos son del mismo orden. Multiplicamos y dividimos por el conjugado $\msqrt{2x^5-2x}+\msqrt{2x^5+3x}$
\[
\milmt{x}{\infty}{\msqrt{x^3+1} \mfrac{\left(\msqrt{2x^5-2x}-\msqrt{2x^5+3x}\right)\left(\msqrt{2x^5-2x}+\msqrt{2x^5+3x}\right)}{ \msqrt{2x^5-2x} + \msqrt{2x^5+3x} } } =
\]
\[
\milmt{x}{\infty}{\msqrt{x^3+1} \mfrac{ 2x^5 - 2x - 2x^5 - 3x}{\left(\msqrt{2x^5-2x} + \msqrt{2x^5+3x}\right)} } = \milmt{x}{\infty}{\mfrac{ -5x \cdot \msqrt{x^3+1} }{ \msqrt{2x^5-2x} + \msqrt{2x^5+3x}} } = \idivi =
\]
Ahora comparamos los grados de los polinomios numerador y denominador. Numerador $-5x \cdot \msqrt{x^3+1} \equiv -5x^{5/2}$ y denominador $\msqrt{2x^5-2x} + \msqrt{2x^5+3x} \equiv \msqrt{2}x^{5/2} + \msqrt{2}x^{5/2} = 2 \cdot \msqrt{2}x^{5/2}$
\[
= milmt{x}{\infty}{\mfrac{ -5x^{5/2} }{ 2 \cdot \msqrt{2}x^{5/2} } } = \mfrac{-5}{2 \cdot \msqrt{2}} = \mfrac{-5 \msqrt{2}}{ 4}
\]
\[
\milmt{x}{\infty}{\mfrac{\msqrt{x^2 + 1} - x}{ \msqrt{x^2 + 1} - x\msqrt{x} } } = \mfrac{\imini}{-\infty} =
\]
Hay una indeterminación en el numerador, ya que los dos términos del mismo orden. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado $\msqrt{x^2 + 1} + x$
\[
= \milmt{x}{\infty}{\mfrac{\left (\msqrt{x^2 + 1} - x\right) \cdot \left ( \msqrt{x^2 + 1} + x \right ) }{ \left ( \msqrt{x^2 + 1} + x \right ) \cdot \left ( \msqrt{x^2 + 1} - x\msqrt{x} \right) } } = \milmt{x}{\infty}{\mfrac{ x^2 + 1 - x^2 }{ \left ( \msqrt{x^2 + 1} + x \right ) \cdot \left ( \msqrt{x^2 + 1} - x\msqrt{x} \right) } } =
\]
\[
= \milmt{x}{\infty}{\mfrac{ 1 }{ \left ( \msqrt{x^2 + 1} + x \right ) \cdot \left ( \msqrt{x^2 + 1} - x\msqrt{x} \right) } } = \mfrac{1}{ - \infty } = 0
\]
\[ \milmt{x}{0}{ \, \left ( \sen x + \cos x \right)^{ \dfrac{1}{x} } } = \uelei = e^{ \milmt{x}{0}{ \, \mfrac{1}{x} \left ( \sen x + \cos x - 1 \right) } } = (*)
\]
Ahora resolvemos el límite del exponente:
\[ \milmt{x}{0}{ \, \mfrac{1}{x} \left ( \sen x + \cos x - 1 \right) } = \milmt{x}{0}{ \, \mfrac{ \sen x + \cos x - 1}{x} } = \zdivz = \milmt{x}{0}{ \, \mfrac{ \cos x - \sen x }{1} } = 1 \]
Luego seguimos con el límite (*)
\[ (*) = e^1 = e \]
¿Qué es una función?
Una función es una regla que asigna a cada elemento $x$ (del conjunto inicial) un valor y sólo uno llamado imagen de $x$, se denota $f(x)$, (del conjunto final).
Una función relaciona dos magnitudes:
La variable independiente $x$, forma parte del conjunto inicial.
La variable dependiente $y$ o $f(x)$, que forma parte del conjunto final.
Con frecuencia se utiliza la expresión $y = f(x)$, que se lee «$y$ es igual a $f$ de $x$». Diremos que $f(x)$ es la imagen de $x$.
\[ \begin{array}{ll}
f: & A \longrightarrow B \\
& x \ \longrightarrow y = f(x)
\end{array}\]
Una función puede definirse de varias formas:
Definidas por un enunciado: Si un kilo de naranjas cuesta 0,70 €, la función que relaciona el peso en kilos (\(x\)) con el precio total en euros (\(y\)) se enuncia como: "el precio es igual a multiplicar 0,70 por la cantidad de kilos comprados". Su fórmula es \(f(x) = 0,70x\).
Definidas por una tabla:
Hora ($x$)
Temperatura en °C ($y$)
8:00
12
11:00
18
14:00
25
17:00
22
20:00
16
Definidas por una gráfica:
Variable independiente (\(x\)): Distancia recorrida (en kilómetros).
Variable dependiente (\(y\)): Altitud (en metros).
Definidas por una expresión analítica: $f(x) = \log_{2}(x)$
Ejemplos de funciones:
$f(x) = x$ La función identidad, a cada número le toca el mismo.
$f(x) = - x$ La función que calcula el opuesto de un número.
$f(x) = \msqrt{x}$ La función que a cada número le asocia su raíz cuadrada positiva.
$f(x) = |x|$ La función que a cada número le asocia su valor absoluto.
$f(x) = 1$ La función constante, la función que a cada número le corresponde el 1. (o un número cualquiera). Si f(x) = 0, se llama la función nula.
A partir de la gráfica podemos saber si se corresponde o no con una función o no. Basta con trazar una línea paralela al eje $Y$, el eje de ordenadas, y si corta en dos o más puntos a la gráfica no se corresponde con una función.
$\bullet\ $ Dada un función $f(x)$, se llama dominio de la función al conjunto de valores para los que está definida la función. Veamos unos ejemplos:
\[ f(x) = \msqrt{x} \]
¿Puedo calcular la raíz cuadrada de cualquier $x$ (númeor real)? La respuesta es que NO. Sólo podemos calcular la raíz cuadrada positiva de números reales positivos, luego el dominio de la función es el intervalo infinito $[0, +\infty)$ y se denota:
\[ \domin{f}{x} = [0, +\infty) \]
$\bullet\ $ Sea la función $g(x) = x^{-1} = \mfrac{1}{x}$, la que a cada número le corresponde su inverso. ¿Dominio? ¿Puedo calcular el invesro de cualquier número? La respuesta es que NO, todos los números tienen inverso salvo el cero.
\[ \domin{g}{x} = \R \setminus \{ 0 \} \]
$\bullet\ $ Sea la función $h(x) = |x| $, la función que a cada número le asocia su valor absoluto. ¿Dominio? No hay ninguna restriccón, podemos calcular el valor absoluto de cualquier número, luego el dominio es todos los reales.
\[ \domin{h}{x} = \R \]
$\bullet\ $ Sea la función $j(x) = \log_{2}(x) $, la función que a cada número le asocia su logaritmo en base 2. ¿Dominio? Sólo puedo calcular el logaritmo de números positivos.
\[ \domin{j}{x} = (0, +\infty) \]
Comentarios sobre los dominios:
Si una función tiene una expresión polnómica, el dominio es todos los reales.
Si una función es un cociente de dos polinomios, el dominio será todos los reales excepto las raíces del denominador.
Si una función es una raíz de índice par, la expresión del radicando sólo puede ser positiva.
Si una función es una raíz de índice impar, la expresión del radicando es independiente del signo del radicando.
Si la función es un logaritmo, recordemos que sólo podemos calcular el logaritmo de expresiones positivas.
Ejercicios de dominios:
Al ser una función con una expresión polinómica, el dominio de $f(x)$ es todo $\R$.
Al ser una función que tiene un logaritmo, podemos calcular el logaritmo de algo positivo, luego debemos estudiar cuando $x^2 - 5x + 4 > 0$.
\[ x^2 - 5x + 4 > 0 \implies (x - 1)(x - 4) > 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty ) \]
Luego $\domin{f}{x} = (-\infty, 1) \cup (4, +\infty ) $
Al ser una función de una raíz cuadrada, la podremos calcular cuando la expresión del radicando sea mayor o igual cero, es decir, debemos resolver $x^2 - 2x \geq 0 $
\[x^2 - 2x \geq 0 \implies x(x - 2) \geq 0 \]
Luego el dominid de $f(x)$ es $\domin{f}{x} = (-\infty, 0] \cup [2, +\infty ) $
Al ser una función de una raíz cuadrada, la podremos calcular cuando la expresión del radicando del denominador sea positiva, es decir, debemos resolver $x^2 - 2x > 0 $
\[x^2 - 2x \geq 0 \implies x(x - 2) > 0 \]
Luego el dominio de $f(x)$ es $\domin{f}{x} = (-\infty, 0) \cup (2, +\infty ) $
Recorrido de un función:
Es el conjunto dónde la función nos devuelve los valores que puede tomar. No siempre es fácil de calcular. Veamos unos ejemplos.
$\bullet\ $ Dada un función $f(x) = \msqrt{x}$, esta función siempre nos devuelve valores mayores o iguales que cero, luego su recorrido o imagen es el intervalo $ \recor{f}{x} = \imagn{f}{x} = [0, +\infty]$. Podemos poner la función así:
\[ \begin{array}{lccl}
g: & [0, +\infty] & \longrightarrow & [0, +\infty] \\
& x & \longrightarrow & \msqrt{x}
\end{array} \]
$\bullet\ $ Sea la función $g(x) = x^{-1} = \mfrac{1}{x}$, ¿cuál es su recorrido? Todos los números tienen inverso salvo el cero. Luego el $ \recor{f}{x} = \imagn{f}{x} = \R \setminus \{ 0 \} $
\[ \begin{array}{lccl}
f: & \R \setminus \{ 0 \} & \longrightarrow & \R \setminus \{ 0 \} \\
& x & \longrightarrow & \mfrac{1}{x}
\end{array} \]
$\bullet\ $ Sea la función $h(x) = |x| $. ¿cuál es su recorrido? Esta función nos devuelve valores mayores o iguales que cero. Luego su recorrido o imagen es el intervalo $ \recor{f}{x} = \imagn{f}{x} = [0, +\infty]$. Podemos poner la función así:
\[ \begin{array}{lccl}
h: & \R & \longrightarrow & [0, +\infty] \\
& x & \longrightarrow & |x|
\end{array} \]
$\bullet\ $ Sea la función $i(x) = 3 $ (o la constante que queramos. ¿Cuál es el recorrido o imagen de esta función? El número 3, es decir, $ \recor{i}{x} = \imagn{i}{x} = \{ 3 \}$.
\[ \begin{array}{lccl}
i: & \R & \longrightarrow & \{ 3 \} \\
& x & \longrightarrow & 3
\end{array} \]
$\bullet\ $ Sea la función $j(x) = \log_{2}(x)$. ¿Cuál es el recorrido o imagen de esta función? El exponente que hay que poner a 2 para que nos de otro número es cualquier número real. $ \recor{j}{x} = \imagn{j}{x} = \R$.
\[ \begin{array}{llcl}
j: & (0, +\infty) & \longrightarrow & R \\
& x & \longrightarrow & \log_{2}(x)
\end{array} \]
Una función $f$:
Una función $f(x)$ se dice periódica si existe un número real $T \neq 0$ tal que
\[ f(x + T) = f(x) \]
Comentario:
Si $T \neq 0$ es el periodo, cualquier múltiplo de $T$ es también periodo de la función:
\[ f(x + 2T) = f(x + T + T) = F(x + T) = f(x)\]
\[ f(x + 3T) = f(x + 2T + T) = f(x + 2T) = f(x + T + T) = f(x + T) = f(x) \]
\[ \cdots \]
\[ f(x + nT) = f(x + (n-1)T) = f(x + (n - 2)T) = \cdots = f(x + T) = f(x) \]
Simetrías:
$\bullet \ f(x) $ es par si cumple $f(x) = f(-x)$. La función toma los mismos valores en $x$ que en sus opuestos $-x$. La gráfica es simétrica respecto del eje $Y$.
Ejemplos: $f(x) = x^2$
\[ g(-x) = \sen(-x) = \sen(x) = g(x) \]
$\bullet \ f(x) $ es impar si cumple $f(x) = -f(-x)$. La función toma valores opuestos en $x$ que en $-x$. La gráfica es simétrica respecto del origen. Si la giramos $\gss{180}$ o $\pi$ radianes la gráfica es la misma.
Ejemplos: $f(x) = x^3$
$f(x) + g(x) = x^3 + x^2 + 5x + 7$
\[ \text{Dom}\, (f + g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) = \R \cap \R = \R \]
$f(x) + g(x) = x^3 - x^2 - 5x - 5$
\[ \text{Dom}\, (f - g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) = \R \cap \R = \R \]
$f(x) \cdot g(x) = (x^3 + 1)(x^2 + 5x + 6) = x^5 + 5x^4 + 6x^3 + x^2 + 5x + 6$
\[ \text{Dom}\, (f \cdot g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) = \R \cap \R = \R \]
$f(x) \div g(x) = \mfrac{x^3 + 1}{x^2 + 5x + 6} $, veamos cuando se anula el denominador:
\[ x^2 + 5x + 6 = 0 \text{ Aplicando Cardano-Vieta, las raíces son } -2 \text{ y } - 3\]
\[ \text{Dom}\, (f \div g) (x) = \text{Dom}\, \left (\mfrac{f}{g} \right ) (x) = \R \cap \R \setminus \{x_0 | g(x_0) = 0 \} = \R \setminus \{ -2, -3 \} \]
Además con las funciones aparece una nueva operación, la composición de funciones, se denota con el símbolo $\circ$, se expresa $\left (g \circ f \right )(x)$ y se lee «$f$ compuesto con $g$», primero actua $f$ y después $g$:
\[ \left (g \circ f \right ) (x) = g \left ( f(x) \right ) \]
También se puede hacer «$g$ compuesto con $f$», se expresa $\left (f \circ g \right )(x)$:
\[ \left (f \circ g \right ) (x) = f \left ( g(x) \right ) \]
Ejemplo: Sean $f(x) = x + 2$ y $g(x) = \msqrt{x}$:
Si hacemos «$f$ compuesto con $g$», primero aplicamos $f$ y después aplicamos $g$:
\[ \left (g \circ f \right ) (x) = g \left ( f(x) \right ) = g \left ( x + 2 \right ) = \msqrt{ x + 2 } \]
Y si hacemos «$g$ compuesto con $f$», primero aplicamos $g$ y después aplicamos $f$:
\[ \left (f \circ g \right ) (x) = f \left ( g(x) \right ) = f \left ( \msqrt{x} \right ) = \msqrt{ x } + 2 \]
Lo primero que vemos es que $ \left (g \circ f \right ) (x) \neq \left (f \circ g \right ) (x) $, es decir, la composición de funciones NO es una operación conmutativa. Puede ocurrir que alguna vez puntual se cumpla la igualdad, pero son excepciones.
La composición de funciones de puede hacer con 2 funciones, con 3, con 4 ... sin límite:
\[ \left (h \circ g \circ f \right ) (x) = h \left [ g \left ( f(x) \right ) \right ] \]
Supongamos que tenemos las siguientes tres funciones: \(h(x) = x + 1, g(x) = 2x \text{ y } f(x) = x^2 \). Queremos calcular la siguiente composición \((f \circ g \circ h)(x)\):
\[ (f \circ g \circ h)(x) = f [ g( h(x) ) ] = f [ g( x + 1 ) ] = f ( 2(x + 1) ) = [ 2(x + 1) ]^2 = (2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4 \]
$$\large \fbox{ Función inversa} $$
Una función inversa es aquella que «deshace» o «revierte» la acción de la función original, devolviendo el valor inicial de donde se partió.
Si una función \(f\) convierte una entrada \(x\) en un resultado \(y \text{ o } f(x)\), su función inversa (escrita como \(f^{-1}\)) toma ese resultado \(y \text{ o } f(x)\) y lo regresa al valor original \(x\).
Veamos un ejemplo sencillo:
\[ f(x) = 2x \implies f(3) = 6 ; f(1) = 2 \]
\[ f^{-1}(x) = \mfrac{x}{2} \implies f^{-1}(6) = 3; f^{-1}(2) = 1 \]
¿Qué ocurre si hacemos la composición de $f$ y de $f^{-1}$ o viceversa? Primero hacemos la composición de $f$ y de $f^{-1}$
\[ \left ( f^{-1} \circ f \right) (x) = f^{-1} (f(x) ) = f^{-1}(2x) = \mfrac{2x}{2} = x \]
Ahora vamos a hacer la composición de $\invrs{f}$ y de $f$: $\domin{f}{x}$
\[ \left ( f \circ \invrs{f} \right) (x) = f(\invrs{f}(x) ) = f\left( \mfrac{x}{2} \right) = 2 \cdot \mfrac{x}{2} = x \]
Conclusión, cuando componemos una función $f$ con su inversa $\invrs{f}$ siempre nos da la función identidad. Y además da igual el orden a la hora de componer una función con su inversa o la inversa con la función original y el resultado siempre es la identidad.
Una función y su inversa son simétricas respecto de la recta $y = x$, la bisectriz del primer-tercer cuadrante.
Aquí dejo un applet de GeoGebra para que compruebes algunas parejas de funciones inversas:
La Tasa de Variación Media (T. V. M.)¿Qué es la Tasa de Variación Media?
La tasa de variación media (T. V. M.) de una función $f(x)$ en un intervalo cerrado $[a, b]$ mide el cambio promedio que experimenta la función por cada unidad que aumenta la variable independiente $x$.
Conceptualmente representa la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos del gráfico $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$.
Ejercicio 3: Aplicación práctica (Física)
La posición en metros de un móvil en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por $s(t) = 5t^2 + 2t$. ¿Cuál es la velocidad media entre $t = 1\,\text{s}$ y $t = 3\,\text{s}$? (La velocidad media no es más que la T. V. M. de la posición respecto al tiempo).
