Sucesiones numéricas. Recurrentes. Progresiones Aritméticas y Geométricas. Fracciones generatrices.

Sucesión numérica: es un conjunto ordenado de números. Cada un de ellos es denominado término, elemento o miembro de la sucesión.
Una de las sucesiones numéricas más famosas es la de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Sucesión recurrente: es una sucesión de números cuyos términos se calculan a partir de los anteriores, puede ser del anterior, de los anteriores , etc.
Volviendo al ejemplo de la sucesión de Fibonacci es además una sucesión recurrente que se calcula a partir de los dos anteriores. Por esa razón, tenemos que saber los dos primeros elementos:
$$ a_1 = 1 \text{ y } a_2 = 1$$ y la fórmula para obtener el resto de términos de la sucesión es $$ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} $$ Como ya tenemos $a_1$ y $a_2$ vamos a calcular $a_3$, sustituimos en la fórmula de recurrencia la $n$ por 3: $$ a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2 $$ $$ \text{Ahora } n = 4 \ \ a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3 $$ $$ \text{Ahora } n = 5 \ \ a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5 $$ y así sucesivamente.

El incoveniente de este tipo de sucesiones es que para calcular el término 10, tienes que haber calculado previamente los términos $\odn{8}{o}$ y $\odn{9}{o}$.

Las sucesiones recurrentes se pueden calcular a partir de dos términos anteriores, de 3, de 4, de 1 o los que queramos.

Un ejercicio interesante es generar nuestra propia sucesión recurrente. Ahí va una: $$ a_1 = -1, a_2 = 2 \text{ y } a_n = 2 \cdot a_{n_1} - a_{n-2}$$ $$ \text{Ahora } n = 3 \ \ a_3 = 2 \cdot a_2 - a_1 = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5 $$ $$ \text{Ahora } n = 4 \ \ a_4 = 2 \cdot a_3 - a_2 = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8 $$ y así sucesivamente.

Dentro de las preogresiones recurrentes nos vamos a centrar en las Progresiones Aritméticas y Geométricas.

Progresiones Aritméticas, aquellas sucesiones donde cada término se obtiene sumando un número al término que le precede. Este número se denomina diferencia y se denota por $d$. O lo que es lo mismo, la diferencia entre dos términos consecutivos es constante, esa constante es la diferencia $d$.

Ejemplos:

La sucesión de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... La diferencia es 1


La sucesión de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... La diferencia es 2


La sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12,... La diferencia es 2


La sucesión de los múltiplos de 7 ($\dot{\ 7\ }$): 7, 14, 21, 28, 35, 42,... La diferencia es 7

A partir de la definición que hemos dado de progresión aritmética tenemos que:

$a_2 = a_1 + d$ Si lo aplicamos a la sucesión de los múltiplos de 7 tenemos: $a_2 = a_1 + d = 7 + 7 = 14 $

$a_3 = a_2 + d = a_1 + d = a_1 + 2 \cdot d$ En los múltiplos de 7: $a_3 = 14 + 7 = 7 + 2 \cdot 7 = 21$

$a_4 = a_3 + d = a_1 + 2 \cdot d = a_1 + 3 \cdot d$ En los múltiplos de 7: $ a_4 = 21 + 7 = 7 + 2 \cdot 7 = 7 + 3 \cdot 7 = 28$

$a_5 = a_4 + d = a_1 + 3 \cdot d = a_1 + 4 \cdot d$

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots $

$a_{10} = a_9 + d = a_1 + 8 \cdot d + d = a_1 + 9 \cdot d$

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots $

y en general vemos que:

$a_{n} = a_1 + (n - 1) \cdot d $

Término general de la progresión aritmética
$$\Large \fbox{ $a_{n} = a_1 + (n - 1) \cdot d$ } $$

Sabiendo $a_1$ y $d$ podemos calcular $a_n$, es decir, el término general de la progresión aritmética y por tanto cualquier término de la misma, por ejemplo, el $a_5$, el $a_{10}$, el $a_{100}$, etc. Veamos un par de ejemplos:

$\bullet$ Halla la diferencia y el término general de la progresión aritmética: -8, -4, 0, 4, ...

Aquí tenemos que $a_1 = -8$ y la diferencia entre dos términos consecutivos es: $d = -4 - (-8) = -4 + 8 = 4 $ Vemos que esa diferencia es la misma entre todos los términos consecutivos de la misma. Una vez tenemos $a_1$ y $d$ vamos a calcular a $a_n$:

$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = -8 + 4 \cdot (n -1) = -8 + 4n - 4 = 4 \cdot n - 12$

Comprobamos que el término general de la suceción nos da la misma: $$ n = 1 \Rightarrow a_1 = 4 \cdot 1 - 12 = \ 4 - 12 = - 8 $$ $$ n = 2 \Rightarrow a_2 = 4 \cdot 2 - 12 = \ 8 - 12 = - 4 $$ $$ n = 3 \Rightarrow a_3 = 4 \cdot 3 - 12 = 12 - 12 = \ 0 $$ $$ n = 4 \Rightarrow a_4 = 4 \cdot 4 - 12 = 16 - 12 = \ 4 $$ $$ \qquad \qquad \vdots $$ $\bullet$ En una progresión aritmética conocemos el tercer término que vale 20 y el término trigésimo que vale 101. Halla la diferencia y el término 60.

Por un lado $a_3 = a_1 + 2 \cdot d$ y por otro $a_3 = 20 \Rightarrow a_1 + 2 \cdot d = 20 $

Lo mismo con $a_{30}$, es decir, $a_{30} = a_1 + 29 \cdot d $ y $a_{30} = 101 \Rightarrow a_1 + 19 \cdot d = 101 $

Juntamos estas dos ecuaciones formando un sistema de ecuaciones lineales:

$$ \large \color{blue} \cases{ a_1 + \ 2 d = \ 20 \cr \cr a_1 + 29 d = 101 } $$

A la $\odn{1}{a}$ ecuación le restamos la $\odn{2}{a}$ y nos queda:

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ a_1 + \ 2 d = \ 20 \cr \cr a_1 + 29 d = 101 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - 27d = -91 \Rightarrow d = \dfrac{\ -91\ }{ -27 } = 3\end{array} $$ Ahora sustituimos el valor de $d$ en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo, en la $\odn{1}{a}$:

$$ a_1 + 2 \cdot 3 = 20 \Rightarrow a_1 + 6 = 20 \Rightarrow a_1 = 20 - 6 = 14 $$ Ahora puedo calcular el término general $a_n$ y puedo calcular el término que quiera de dicha sucesión.

$$ a_n = a_1 + (n -1) \cdot d = 14 + (n -1) \cdot 3 = 14 + 3n - 3 = 3n + 11 \Rightarrow a_n = 3n + 11 $$ Ahora puedo calcular cualquier término de la progresión, así $a_{60} = 3 \cdot 60 + 11 = 180 + 11 = 191 $

$$\large \fbox{ Suma de los «$n$» primeros términos de una Progresión Aritmética } $$

Para calcular la suma de los «$n$» primeros términos de una Progresión Aritmética, seguiremos la idea de Carl Friedrich Gau$\beta$: $$ \begin{array}{rccccccc} S_n = & a_1 & + a_2 & + a_3 & + \ldots & + a_{n - 2} & + a_{n - 1} & + a_{n} \cr \cr + \ \ \ \ \ \ \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ \cr S_n = & a_{n} & + a_{n - 1} & + a_{n - 2} & + \ldots & + a_3 & + a_2 & + a_1 \cr \hline \cr 2 \cdot S_n = & (a_1 + a_n) & + (a_2 + a_{n - 1}) & + (a_3 + a_{n - 2}) & + \ldots & + (a_{n - 2} + a_3) & + (a_{n - 1} + a_2) & + (a_n + a_1 ) \end{array} $$

Sabemos que $a_2 = a_1 + d$ y también que $a_{n - 1} = a_n - d \Rightarrow a_2 + a_{n - 1} = a_1 + d + a_n - d = a_1 \cancel{+ d} + a_n \cancel{- d} = a_1 + a_n$

Sabemos que $a_3 = a_1 + 2d$ y también que $a_{n - 2} = a_n - 2d \Rightarrow a_3 + a_{n - 2} = a_1 + 2d + a_n - 2d = a_1 \cancel{+ 2d} + a_n \cancel{- 2d} = a_1 + a_n$

y así sucesivamente.

Sustituimos en la expresión: $$ 2 \cdot S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n - 1}) + (a_3 + a_{n - 2}) + \ldots + (a_{n - 2} + a_3) + (a_{n - 1} + a_2) + (a_n + a_1 ) $$ Tenemos «$n$» sumandos iguales: $$ 2 \cdot S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \ldots + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) $$ Agrupamos y despejamos $S_n$ $$ 2 \cdot S_n = (a_1 + a_n) \cdot n \Rightarrow S_n = \dfrac{\ (a_1 + a_n) \cdot n\ }{ 2 } $$ Obteniendo la fórmula que nos da:

La suma de los «$n$» primeros términos de la progresión aritmética
$$\Large \fbox{ $ S_n = \dfrac{\ (a_1 + a_n) \cdot n\ }{ 2 }$ } $$

Veamos unos ejemplos:

$\bullet$ Dado el término general de la progresión aritmética $a_n = 4n + 5$. Halla la suma de los cincuenta primeros términos.

$$S_{50} = \dfrac{\ (a_1 + a_{50}) \cdot 50\ }{ 2 } $$ Necesitamos saber $a_1$ y $a_{50}$, Vamos a calcularlos:

$a_1 = 4 \cdot 1 + 5 = 4 + 5 = 9$ y $a_{50} = 4 \cdot 50 + 5 = 200 + 5 = 205$.

Sustituimos en la fórmula $S_{50}$ y nos queda:

$S_{50} = \dfrac{\ (a_1 + a_{50}) \cdot 50\ }{ 2 } = \dfrac{\ (9 + 205) \cdot 50\ }{ 2 } = \dfrac{\ 214 \cdot 50\ }{ 2 } = 107 \cdot 50 = 5350 $$

Se trata de una progresión aritmética de diferencia 3:

$$ a_n = a_1 + (n − 1) \cdot d = 7 + (n - 1) \cdot 3 = 7 + 3n - 3 = 3n + 4 $$ Para saber cuántos términos hemos de sumar aplicaremos la fórmula $S_n = \dfrac{\ (a_1 + a_n) \cdot n\ }{ 2 }$ para calcular «$n$».

Por un lado sabemos que $S_n = 282$, $a_1 = 7$ y $a_n = 3n + 4$ juantando todo esto tenemos: $$ 282 = \dfrac{\ (7 + 3n + 4) \cdot n\ }{ 2 } \Leftrightarrow 564 = (11 + 3n) \cdot n \Leftrightarrow 564 = 11n + 3n^2 \Leftrightarrow 3n^2 + 11n - 564 = 0$$ Hemos obtenido una ecuación de $\odn{2}{o}$ que tenemos que resolver: $$ n = \dfrac{\ -11 \pm \sqrt{\ (11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-564)\ }\ }{ 2 \cdot 6 } = \dfrac{\ -11 \pm \sqrt{\ 121 + 6768\ }\ }{ 6 } = \dfrac{\ -11 \pm \sqrt{\ 6889\ } }{ 2 } = $$ $$\dfrac{\ -11 \pm 83\ }{ 2 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow = \dfrac{\ -11 + 83\ }{ 6 } = \dfrac{ 72 }{ 6 } = 12 \Rightarrow n = 12 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{\ -11 - 83\ }{ 6 } = \dfrac{\ -94\ }{ 6 } \Rightarrow n = \dfrac{\ -47\ }{ 3 } \end{array} $$ La solución $ n = \dfrac{\ -47\ }{ 3 } $ es negativa y el número de términos que sumo no puede ser negativo. Luego la solución es $n = 12$ los términos que tengo que sumar.

Se trata de una progresión aritmética de diferencia 6:

$$a_n = a_1 + (n − 1) \cdot d = 3 + (n - 1) \cdot 6 = 3 + n - 6 = 6n - 3 $$ Para saber cuántos términos hemos de sumar aplicaremos la fórmula $S_n = \dfrac{\ (a_1 + a_n) \cdot n\ }{ 2 }$ para calcular «$n$».

Por un lado sabemos que $S_n = 192$, $a_1 = 3$ y $a_n = 6n - 3$ juantando todo esto tenemos: $$ 192 = \dfrac{\ (3 + 6n - 3) \cdot n\ }{ 2 } \Leftrightarrow 192 = \dfrac{\ 6n \cdot n\ }{ 2 } \Leftrightarrow 192 = \dfrac{\ 6n^2\ }{ 2 } \Leftrightarrow 192 = 3n^2 \Leftrightarrow \dfrac{\ 192\ }{3} = n^2 \Leftrightarrow 164 = n^2 \Leftrightarrow n = \pm \sqrt{\ 8\ } $$ La solución $ n = -8 $ es negativa y el número de términos que sumo no puede ser negativo. Luego la solución es $n = 8$ los términos que tengo que sumar.

Sabemos que:

$a_{11} = a_1 + 10d $, pero también sabemos que:

$a_{11} = a_{10} + d = a_{9} + 2d = a_{8} + 3d = a_{7} + 4d$ y así sucesivamente hasta $a_{11} = a_1 + 10d $. Si nos quedamos en: $$ a_{11} = a_3 + 8d$$ Ya tenemos los dos elementos relacionados que nos dan y podemos encontrar la diferencia $d$: $$ 97 = 33 + 8 \cdot d \Leftrightarrow 64 = 8d \Leftrightarrow 64 = 8d \Leftrightarrow d = \dfrac{\ 64\ }{ 8 } = 8 $$ Ahora calculamos $a_1$: $$a_3 = a_1 + 2d \Leftrightarrow 33 = a_1 + 2 \cdot 8 \Leftrightarrow 33 = a_1 + 16 \Leftrightarrow a_1 = 33- 16 = 17 $$

Sabemos que $a_2 = a_1 + d$ y que $a_7 = a_1 + 6d$ con esto planteamos un sistema de ecuaciones:

$$ \cases{ a_1 + \ d = 1 \cr \cr a_1 + 4d = 7 } $$

A la $\odn{1}{a}$ ecuación le restamos la $\odn{2}{a}$ y nos queda:

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ a_1 + \ d = 1 \cr \cr a_1 + 4d = 7 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - 3d = -6 \Rightarrow d = \dfrac{\ -6\ }{ -3 } = 2\end{array} $$ Susituimos en al $\odn{1}{a}$ ecuación y tenemos que: $$ 1 = a_1 + 2 \Rightarrow a_1 = -1$$ Ya podemos calcular el término general: $$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = -1 + 2 \cdot (n - 1) = -1 + 2n - 2 = 2n - 3 $$ Ya tenemos todo para calcular la suma de los 15 primeros términos: $$ S_{15} = \dfrac{\ (a_1 + a_{15}) \cdot 15\ }{2} $$ Tenemos que calcular $a_{15} = 2 \cdot 15 - 3= 30 - 3 = 27$ y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: $$ S_{15} = \dfrac{\ (-1 + 27) \cdot 15\ }{2} = \dfrac{\ 26 \cdot 15\ }{2} = 13 \cdot 15 = 195 $$

Sabemos que:

$a_{6} = a_1 + 10 \cdot d $, $d = 1,5$ entonces podemos calcular $a_1$

$$ 10,5 = a_{1} + 5 \cdot 1,5 \Rightarrow 10,5 = a_{1} + 7,5 \Rightarrow a_1 = 10,5 - 7,5 = 3 $$ Ya podemos calcular el término general: $$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = 3 + 1,5 \cdot (n - 1) = 3 + 1,5n - 1,5 = 1,5n + 1,5 $$ Ya tenemos todo para calcular la suma de los 9 primeros términos: $$ S_{9} = \dfrac{\ (a_1 + a_{9}) \cdot 9\ }{2} $$ Tenemos que calcular $a_{9} = 1,5 \cdot 9 + 1,5 = 13,5 + 1,5 = 15$ y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: $$ S_{9} = \dfrac{\ (3 + 15) \cdot 9\ }{2} = \dfrac{\ 18 \cdot 9\ }{2} = 9 \cdot 9 = 81 $$

Sabemos que:

$a_{5} = a_1 + 4d $, y $d = -3$ entonces podemos calcular $a_1$

$$ -7 = a_{1} + 4 \cdot (-3) \Leftrightarrow -7 = a_{1} - 12 \Leftrightarrow a_{1} = -7 + 12 = 5 $$ Ya podemos calcular el término general: $$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = 5 + (-3) \cdot (n - 1) = 5 - 3n + 3 = 8 - 3n $$ Ya tenemos todo para calcular la suma de los 12 primeros términos: $$ S_{12} = \dfrac{\ (a_1 + a_{12}) \cdot 12\ }{2} $$ Tenemos que calcular $a_{12} = 8 - 3 \cdot 12 = 8 - 36 = - 28$ y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: $$ S_{12} = \dfrac{\ (5 - 28) \cdot 12\ }{2} = \dfrac{\ -23 \cdot 12\ }{2} = -23 \cdot 6 = -138 $$

Sabemos que $a_3 = a_1 + 2d$ y que $a_7 = a_1 + 6d$ con esto planteamos un sistema de ecuaciones:

$$ \cases{ a_1 + 2d = 1 \cr \cr a_1 + 6d = -7 } $$

A la $\odn{1}{a}$ ecuación le restamos la $\odn{2}{a}$ y nos queda:

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ a_1 + 2d = 1 \cr \cr a_1 + 6d = -7 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - 4d = 8 \Rightarrow d = \dfrac{\ 8\ }{ -4 } = -2\end{array} $$ Sustituimos $d$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y calculamos $a_1$: $$ a_1 + 2d = 1 \Leftrightarrow a_1 + 2 \cdot (-2) = 1 \Leftrightarrow a_1 - 4 = 1 \Leftrightarrow a_1 = 1 + 4 = 5 $$ Ya podemos calcular el término general: $$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = 5 + (-2) \cdot (n - 1) = 5 - 2n + 2 = 7 - 2n $$ Ya tenemos todo para calcular la suma de los 15 primeros términos: $$ S_{15} = \dfrac{\ (a_1 + a_{15}) \cdot 15\ }{2} $$ Tenemos que calcular $a_{15} = 7 - 2 \cdot 15 = 7 - 30 = -23$ y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: $$ S_{15} = \dfrac{\ (5 - 23) \cdot 15\ }{2} = \dfrac{\ -18 \cdot 15\ }{2} = -9 \cdot 15 = - 135 $$

Sabemos que $ a_7 = a_4 + 3d $, de donde podemos despejar $d$: $$ a_7 = a_4 + 3d \Leftrightarrow 16 = 7 + 3d \Leftrightarrow 16 - 7 = 3d \Leftrightarrow 3d = 9 \Leftrightarrow d = 3 $$ Ahora podemos calcular $a_{16}$ y $a_1$ sin necesidad de calcular el término general: $a_{16} = a_7 + 9d$ o $a_{16} = a_4 + 12_d$

$$a_{16} = a_{7} + 9d = 16 + 9 \cdot 3 = 16 + 27 = 43 $$ $$a_{4} = a_{1} + 3d \Leftrightarrow 7 = a_1 + 3 \cdot 3 \Leftrightarrow 7 = a_1 + 9 \Leftrightarrow a_1 = 7 - 9 = -2 $$ Ya tenemos todo para calcular la suma de los 16 primeros términos: $$ S_{16} = \dfrac{\ (a_1 + a_{16}) \cdot 16\ }{2} $$ $$ S_{16} = \dfrac{\ (-2 + 43) \cdot 16\ }{2} = \dfrac{\ 41 \cdot 16\ }{2} = 41 \cdot 8 = 328 $$

Tenemos que es una progresión aritmética y $e_1 = 1$, la diferencia es 2. Para saber los ejercicios que habrá hecho el día 15 de septiembre calculamos el término general $e_n$: $$ e_n = e_1 + (n - 1) \cdot d = 1 + 2(n - 1) = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$$ Por tanto el día 15 ha hecho: $$ e_{15} = 1 + (15 - 1) \cdot 2 = 1 + 14 \cdot 2 = 1 + 28 = 29 \text{ ejercicios.} $$ Para saber cuántos ha hecho en total, calculamos la suma de los primeros 15 términos que son los 15 primeros días de septiembre: $$ S_{15} = \dfrac{\ (a_1 + a_{15}) \cdot n \ }{ 2 } $$ $$ S_{15} = \dfrac{\ (1 + 29) \cdot 15 \ }{ 2 } = \dfrac{\ 30 \cdot 15 \ }{ 2 } = 15 \cdot 15 = 225 \text{ ejercicios ha hecho hasta el 15 de septiembre} $$

Es una progresión aritmética, donde el primer término $p_1 = 7,4$ y la diferencia es $d = 3,8$
El noveno piso está a la siguiente altura: $$ p_9 = p_1 + 8 \cdot d = 7,4 + 8 \cdot 3,4 = 7,4 + 27,2 = 34,6 \text{m. de altura}$$ Para el piso «$n$», es calcular el término general de la progresión aritmética: $$ p_n = p_1 + (n -1) \cdot d = 7,4 + (n - 1) \cdot 3,4 = 7,4 + 3,4n - 3,4 = 4 + 3,4n $$

Tenemos que el primer término de la sucesión es $c_1 = 1999 $ y la diferencia es $ d = 3$ años.

La décima revisión será $c_{10} = 1999 + 9 \cdot 3 = 1999 + 27 = 2026$.

En el año 2035, $2035 = 1999 + n \cdot 3 \Rightarrow 2035 - 1999 = 3n \Rightarrow 36 = 3n \Rightarrow n = 12$, la duodécima o decimosegunda revisión será.

El ángulo más pequeño vale $a$, si están en progresión aritmética, entonces sabemos que los ángulos son $a$, $a + d$ y $a + 2d$. Y tambíen sabemos que la suma de los 3 ángulos es $\gss{180}$ y el mayor es $a + 2d = \gss{105}$ con lo que tenemos un sistema de ecuaciones: $$ \cases{ a + 2d = \gss{105} \cr \cr 3a + 3d = \gss{180} } \Leftrightarrow \cases{ a + 2d = \gss{105} \cr \cr a + d = \gss{60} } $$ A la $\odn{1}{a}$ ecuación le restamos la $\odn{2}{a}$ y nos queda:

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ a + 2d = \gss{105} \cr \cr a + d = \gss{60} \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d = \gss{45} \end{array} $$ Sustituimos en la $\odn{2}{a}$ ecuación tenemos: $$ a + d = \gss{60} \Rightarrow a = \gss{60} - d = \gss{60} - \gss{45} = \gss{15} $$ Los ángulos son $\gss{15}, \gss{60} y \gss{105}$ respectivamente.

Tenemos que $b_1 = 5$ y la diferencia $d = 2$. Podemos calcular el término general fácilmente: $$ a_n = a_1 + (n -1) \cdot d = 5 + 2(n - 1) = 5 + 2n - 2 = 2n + 3 $$ Si estamos 7 hora entonces: $$ a_7 = 2 \cdot 7 + 3 = 17 \text{€ será el precio final} $$

Progresiones Geométricas (P. G.)

Progresiones Geométricas: Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión en la que cada término $a_n$ se obtiene multiplicando al término anterior $a_{n - 1}$ por un número $r$ llamado razón. La razón de una sucesión geométrica se denota por $r$ y debe ser constante en toda la sucesión.

En una progresión geométrica tenemos que:

El primer término es $a_1$.

El segundo término es $a_2 = a_1 \cdot r$.

El tercer término es $a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r^2 $.

El cuarto término es $a_4 = a_3 \cdot r = a_2 \cdot r^2 = a_1 \cdot r^3 $.

El quinto término es $a_5 = a_4 \cdot r = a_3 \cdot r^2 = a_2 \cdot r^3 = a_1 \cdot r^4 $.

...

Así el n-ésimo término es $a_n = a_{n - 1} \cdot r = a_{n - 2} \cdot r^2 = a_{n - 3} \cdot r^3 = \ldots = a_1 \cdot r^{n - 1} $.

Término general de la progresión geomética
$$\Large \fbox{ $a_{n} = a_1 \cdot r^{n - 1}$ } $$

$$\large \fbox{ Suma de los «$n$» primeros términos de una Progresión Geométrica (P. G.) } $$

Para calcular la suma de los «$n$» primeros términos de una Progresión Geométrica, veamos lo siguiente: La suma viene dada por esta expresión: $ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n}$, si multiplico por la razón $r$ (tenemos que tener en cuenta que $r \neq 1$) ambos lados tenemos: $$ r \cdot S_n = \ \ \ \ \ \ r \cdot a_{1} + r \cdot a_{2} + r \cdot a_{3} + \ldots + r \cdot a_{n-2} + r \cdot a_{n - 1} + r \cdot a_{n} $$ y si nos damos cuenta de que: $ r \cdot a_{1} = a_2$; $r \cdot a_{2} = a_3$ y así sucesivamente $r \cdot a_{n - 1} = a_n$ y $ r \cdot a_{n} = a_{n + 1} $

Juntando ambas expresiones y restándolas tenemos:

$$ \begin{array}{rcccc} S_n & = & a_1 + & a_2 + a_3 + \ldots + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n} & \ \cr \cr -\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \ & \ & \ & \ \cr r \cdot S_n & = & \ & a_{2} + a_3 + \ldots + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n} & + a_{n + 1} \cr \hline \cr S_{n} - r \cdot S_n & = & a_1 & \ & - a_{n + 1} \end{array} $$

Sacamos factor común a $S_n$ y despejamos: $$ (1 - r) \cdot S_n = a_1 - a_{n + 1} \Rightarrow S_n = \dfrac{\ a_1 - a_{n + 1}\ }{ 1 - r } $$ Si sustituimos $a_{n + 1}$ por sus posibles expresiones $a_{n + 1} = r \cdot a_n = a_1 \cdot r^n$ podemos obtener las siguientes expresiones para calcular la suma de «$n$» primeros términos de la progresión geométrica:

La suma de los «$n$» primeros términos de la progresión geométrica con $r \neq 1$
$$\Large \fbox{ $ S_n = \dfrac{\ a_1 - a_{n + 1}\ }{ 1 - r } = \dfrac{\ a_1 \cdot (1 - r^n) \ }{ 1 - r } = \dfrac{\ a_1 \cdot (r^n - 1) \ }{ r - 1 } = \dfrac{\ a_1 - a_n \cdot r\ }{ 1 - r } = \dfrac{\ a_n \cdot r - a_1 \ }{ r - 1 } $ } $$

Si $r = 1$, la suma de los $n$ primeros términos es: $\Large{ \fbox{ $S_n = n \cdot a_1$ } }$

Fracciones generatrices usando Progresiones Geométricas (P. G.)

Si $| r | < 1 $ podemos sumar todos los términos de la sucesión, los infinitos término: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} \text{ ya que } r^n \longrightarrow 0 \text{ cuando } n \longrightarrow \infty $$

La suma de los infinitos términos de la progresión geométrica (P. G.)
$$\Large \fbox{ $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{ 1 - r }$ } $$

Ejercicio: Cogemos la calculadora, elegimos un número $r$ de forma que $|r| < 1$, por ejemplo, $r = 0,9$ o $r = \dfrac{\ -1\ }{ 3}$ o $r = 0.01$ y lo empezamos a multiplicar por si mismo sin parar. ¿A qué valor vamos a llegar? Efectivamente a cero. Por este motivo la fórmula de la suma infinita se simplifica tanto.

Una aplicación de la suma infinita de los términos de una progresión geométrica es el cálculo de fracciones generatrices. Veamos un número periódico sencillo: $$ 0,7777777 \ldots $$ Podemos escribir este número como una P. G.: $$0,7;\ \ 0,07;\ \ 0,007;\ \ 0,0007; \ldots $$ Es decir, una progresión geométrica con $a_1 = 0,7 = \dfrac{ 7 }{\ 10\ }$ y razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$. Aplicamos la fórmula de la suma infinita y tenemos que: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 7 }{\ 10\ } \ \ }{ 1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 7 }{\ 10\ } \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = \dfrac{ 7 }{\ 9\ } $$
Si el número es periódico puro y el periodo tiene longitud 2, por ejemplo, 1,272727 ... se pone como una sucesión de números así: $$ 1;\ \ 0,27;\ \ 0,0027;\ \ 0,000027;\ \ 0,00000027; \ldots $$ Se deja el 1 aparte, se suma el resto de términos y depués le sumamos el 1 y ya estaría. Tenemos una progresión geométrica, con $a_1 = 0,27 = \dfrac{ 27 }{\ 100\ }$ y la razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$, aplicando la fórmula tenemos: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{ 1 - r } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 27 }{\ 100\ } \ \ }{ 1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 27 }{\ 100\ } \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{ 27 }{\ 99\ } $$
Sumamos el 1, y nos queda: $ 1 + \dfrac{ 27 }{\ 99\ } = \dfrac{ 126 }{\ 99\ } $

¿y qué pasa si es un número periódico mixto? Vamos con un ejemplo: 3,41111111111...

La sucesión asociada es $3;\ \ 0,4;\ \ 0,01;\ \ 0,001;\ \ 0,0001;\ \ ... \ldots $

En este caso separamos los dos primeros términos y el resto forman una progresión geométrica con $a_1 = 0,01 = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$ y razón $r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$. Aplicando la fórmula de nuevo tenemos: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{ 1 - r } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 1 }{\ 100\ } \ \ }{ 1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 1 }{\ 100\ } \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ 1\ }{ 90 } $$ A este resultado le tenemos que sumar $3,4 = \dfrac{ 34 }{\ 10\ }$. Así nos queda:
$$ \dfrac{ 34 }{\ 10\ } + \dfrac{\ 1\ }{ 90 } = \dfrac{ 306 }{\ 90\ } + \dfrac{\ 1\ }{ 90 } = \dfrac{ 307 }{\ 90\ } $$
Acabamos de comprobar que podemos calcular la fracción generatriz de cualquier número periódico, tanto puro como mixto.

Aquí tienes un applet de GeoGebra donde poder comprobar tus ejercicios de cálculo de fracción generatriz.

Es un número periódico puro, en este caso no separamos nada del número, ya que se puede poner como elementos de un progresión geométrica de razón $r = 10^{-1} = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$: $$ 8,\widehat{8} = 8,888... = 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + ... $

Primer término, $a_1 = 8 $, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ 8 \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ 8 \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ 8 \cdot 10 }{\ 9\ } = \dfrac{\ \ 80\ \ }{\ 9\ } $$

Es un número periódico puro, en este caso no separamos nada del número, ya que se puede poner como elementos de un progresión geométrica de razón $r = 10^{-2} = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$: $$ 21,\widehat{21} = 21,212121... = 21 + 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 21 + 0,21 + 0,0021 + ... $

Primer término, $a_1 = 21 $, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ 21 \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 21 \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 21 \cdot 100 }{\ 99\ } = \dfrac{\ \ 2100\ \ }{\ 99\ } = \dfrac{\ \ 700\ \ }{\ 33\ } $$

Es un número periódico mixto, separamos la parte entera y el anteperiodo. Así la parte periódica la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-2} = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$: $$ 3,8\widehat{95} = 3,8959595 ... = 3 + 0,8 + 0,095 + 0,00095 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,095 + 0,00095 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,095 = \dfrac{ 95 }{\ 1000\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 95 }{\ 1000\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 95 }{\ 1000\ } \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 95 \cdot 100 }{\ 99 \cdot 1000\ } = \dfrac{\ \ 95\ \ }{\ 990\ } = \dfrac{\ \ 19\ \ }{\ 198\ } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 19\ \ }{\ 198\ }$, la parte entera 3 y el anteperiodo 0,8 y el resultado es: $$ 3,8\widehat{95} = \dfrac{\ \ 95\ \ }{\ 990\ } + \dfrac{\ \ 2970\ \ }{\ 990\ } + \dfrac{ 792 }{\ 990\ } = \dfrac{ 95 + 2970 + 792 }{\ 990\ } = \dfrac{ 3857 }{\ 990\ } $$

Es un número periódico puro, en este caso tenemos que separar la parte entera y la parte periódica. Así la parte periódica la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-2} = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 1: $$ 5,\widehat{21} = 5,212121 ... = 5 + 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,21 = \dfrac{ 21 }{\ 100\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 21 }{\ 100\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 21 }{\ 100\ } \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 21\ \ }{\ 99\ } = \dfrac{\ \ 7\ \ }{\ 33\ } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 7\ \ }{\ 33\ }$, la parte entera 5 y el resultado es: $$ 3,8\widehat{95} = 5 + \dfrac{\ \ 7\ \ }{\ 33\ } = \dfrac{ 165 + 7 }{\ 33\ } = \dfrac{ 172 }{\ 33\ } $$

Es un número periódico puro, en este caso tenemos que separar la parte entera y la parte periódica. Así la parte periódica la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-1} = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 1: $$ 2,\widehat{\,9\,} = 2,999999 .... = 2 + 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,9 = \dfrac{ 9 }{\ 10\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = 1 $$ Ahora sumo a 1, la parte entera 2 y el resultado es: 1 + 2 = 3

Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-1} = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 1: $$ 1,\widehat{\,3222\,} = 1,32222 .... = 1 + 0,3 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,02 + 0,002 + 0,0002 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,02 = \dfrac{ 2 }{\ 100\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 2 }{\ 100\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 2 }{\ 100\ } \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ 2 \cdot 10 \ \ }{ 9 \cdot 100 } = \dfrac{\ \ 2 \ \ }{ 90 } = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 45 } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 45 }$ , la parte entera 1 y el anteperiodo $0,3 = \dfrac{\ 3\ }{ 10 }$ y el resultado es:

$$ 1,\widehat{\,3222\,} = 1,32222 .... = 1 + \dfrac{\ 3\ }{ 10 } + \dfrac{\ \ 2 \ \ }{ 90 } = \dfrac{\ \ 90 + 27 + 2 \ \ }{ 90 } = \dfrac{\ \ 119 \ \ }{ 90 } $$

Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-2} = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 2: $$ 3,5\,\widehat{63} = 3,5636363 ... = 3 + 0,5 + 0,063 + 0,00063 + 0,0000063 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,063 + 0,00063 + 0,0000063 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,063 = \dfrac{ 63 }{\ 1000\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 63 }{\ 1000\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 63 }{\ 1000\ } \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 63 \cdot 100 \ \ }{ 99 \cdot 1000 } = \dfrac{\ \ 63 \ \ }{ 990 } = \dfrac{\ \ 7 \ \ }{ 110 } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 7 \ \ }{ 110 }$ , la parte entera 3 y el anteperiodo $0,5 = \dfrac{\ 5\ }{ 10 }$ y el resultado es:

$$ 3,5\,\widehat{63} = 3,5636363 ... = 3 + \dfrac{\ 5\ }{ 10 } + \dfrac{\ \ 7 \ \ }{ 110 } = \dfrac{\ \ 330 + 55 + 7 \ \ }{ 110 } = \dfrac{\ \ 392 \ \ }{ 110 } = \dfrac{\ \ 196 \ \ }{ 55 } $$

Es un número periódico puro, en este caso tenemos que separar la parte entera y la parte periódica pura. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-3} = \dfrac{ 1 }{\ 1000\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 3: $$ 4,\widehat{123} = 4,123123123 ... = 4 + 0,123 + 0,000123 + 0,000000123 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,123 + 0,000123 + 0,000000123 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,123 = \dfrac{ 123 }{\ 1000\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 1000\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 123 }{\ 1000\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 1000\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 123 }{\ 1000\ } \ \ }{ \dfrac{ 999 }{\ 1000\ } } = \dfrac{\ \ 123 \ \ }{ 999 } = \dfrac{\ \ 41 \ \ }{ 333 } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 41 \ \ }{ 333 }$ , la parte entera 4 y el resultado es:

$$ 4,\widehat{123} = 4,123123123 ... = 4 + \dfrac{\ 41\ }{ 333 } = \dfrac{\ \ 1332 + 41 \ \ }{ 333 } = \dfrac{\ \ 1373 \ \ }{ 333 } $$

Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica pura. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-1} = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 1: $$ 9,3\,\widehat{\,5\,} = 9,3555555 ... = 9 + 0,3 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,05 + 0,005 + 0,0005 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,05 = \dfrac{ 5 }{\ 100\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 5 }{\ 100\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 5 }{\ 100\ } \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ 5 \cdot 10 \ \ }{ 9 \cdot 100 } = \dfrac{\ \ 5 \ \ }{ 90 } = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 18 } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 18 }$ , la parte entera 9, el anteperiodo $0,3 = \dfrac{3}{\ 10\ }$ y el resultado es:

$$ 9,3\,\widehat{\,5\,} = 9,3555555 ... = 9 + \dfrac{\ 3\ }{ 10 } + \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 18 } = \dfrac{\ \ 1620 + 54 + 10 \ \ }{ 180 } = \dfrac{\ \ 1684 \ \ }{ 180 } = \dfrac{\ \ 421 \ \ }{ 45 } $$

Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica pura. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-2} = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 2: $$ 7,23\,\widehat{\,15\,}$ = 7,231515 ... = 7 + 0,23 + 0,0015 + 0,000015 + 0,00000015 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,0015 + 0,000015 + 0,00000015 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,0015 = \dfrac{ 15 }{\ 10000\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 15 }{\ 10000\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 15 }{\ 10000\ } \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 15 \cdot 100 \ \ }{ 99 \cdot 10000 } = \dfrac{\ \ 15 \ \ }{ 9900 } = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 660 } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 660 }$ , la parte entera 7, el anteperiodo $0,23 = \dfrac{23}{\ 100\ }$ y el resultado es:

$$ 7,23\,\widehat{\,15\,}$ = 7,231515 ... = 7 + \dfrac{\ 23\ }{ 100 } + \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 660 } = \dfrac{\ \ 46200 + 1518 + 10 \ \ }{ 660 } = \dfrac{\ \ 47728 \ \ }{ 6600 } = \dfrac{\ \ 5966 \ \ }{ 825 } $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Números primos y compuestos.

El uno es la unidad (NO ES PRIMO).

De número primo hay varias definiciones:

• Un número es primo si sólo es divisible por el mismo y por la unidad.
  
  
• Un número es primo es aquel que sólo tiene dos divisores, el propio número y la unidad.
  
  

El número que no es primo ni es la unidad es compuesto.

Ejemplos:

• 2 es primo, sólo es divisible por 1 y por 2. (Tiene sólo dos divisores)
  Además 2 es el único número primo que es par.
  
  
• 4 NO es primo, es divisible por 1, por 2 y por 4. (Tiene tres divisores)
  Luego 4 es compuesto.
  
  
• 5 es primo, sólo es divisible por 1 y por 5. (Tiene sólo dos divisores)
  
  
• 6 NO es primo, es divisible por 1, por 2, por 3 y por 6. (Tiene cuatro divisores)
  
  
• Podemos seguir de 1 en 1 ... estaríamos haciendo la «criba de Erastóstenes».
  
  

Potencias de base un número real y exponente fraccionario.

$$ \huge{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } }$$ Para empezar veamos que $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } = a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } }$$ Por definición de raíz n-ésima $( n \neq 1)$ tenemos que: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } = b \Leftrightarrow b^n = a } \qquad \normalsize{ (1) } $$ Si multiplicamos los exponentes en esta igualdad por $\dfrac{\ 1\ }{n}$ tenemos: $$ \huge{ (b^n)^{\frac{\ 1\ }{n}} = a^{\frac{\ 1\ }{n}} \Rightarrow b = a^{\frac{\ 1\ }{n}} } \qquad \normalsize{ (2) }$$ De $(1)$ y de $(2)$ nos queda: $$ \huge{ b = \sqrt[n]{\ a\ } \text{ y además } b = a^{\frac{\ 1\ }{n}} \Rightarrow \sqrt[n]{\ a\ } = a^{\frac{\ 1\ }{n}} } $$ Una vez que tenemos este resultado, vamos a ver que $ \Large{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } }$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } \qquad \normalsize{ (3) } $$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = \sqrt[n]{\ a^m\ } } \qquad \normalsize{ (4) } $$ De $(3)$ y de $(4)$ nos queda: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } $$ Esto siempre cuando los valores a $a$, $n$ y $m$ tengan sentido, por ejemplo: $$ \sqrt{\ -4\ } \qquad n = 2; m = 1; a = -4 \ \ \text{ No tiene sentido, no puedo calcular con números reales la raíz cuadrada de } -4 $$

Recordemos que:
$$ \Large{ \sqrt[\color{red}{n}]{a} = a^{ \dfrac{1}{\color{red}{n}} } \qquad \text{ y } \qquad \sqrt[\color{red}{n}]{a^m} = a^{ \dfrac{m}{ \color{red}{n} } } } $$ Ejemplos:
$$ \sqrt{5} = 5^{\dfrac{1}{2} } \qquad \sqrt[3]{7} = 7^{\dfrac{1}{3} } \qquad \sqrt[5]{16} = 16^{\dfrac{1}{5} } = 2^{\dfrac{4}{5} } $$

Vamos ahora a demostrar el resto de las propiedades de los radicales:

$\bullet \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $

$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = a^{\frac{\ 1 \ }{n} } \cdot b^{\frac{\ 1 \ }{n} } = \left (a \cdot b\right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $$

$\bullet \huge{ \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a \ }{ b } } } $

$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } : \sqrt[n]{\ b\ } = \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \dfrac{\ a^{\frac{\ 1 \ }{n} }\ }{ b^{\frac{\ 1 \ }{n} } } = \left (\dfrac{\ a\ }{ b} \right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a\ }{ b } } } $$

$\bullet \huge{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $

$$ \Large{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \left ( a^{ \frac{\ 1 \ }{n} } \right )^{\frac{\ 1 \ }{m}} = a^{ \frac{\ 1 \ }{\ m \cdot n\ } } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $$

$\bullet \huge{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = \sqrt[n \cdot s]{\ a^{m \cdot s}\ } } $

$$ \Large{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } = a^{ \frac{\ m \cdot s\ }{\ n \cdot s\ } } = \sqrt[m \cdot s]{\ a^{n \cdot s}\ } } $$

Veamos una consecuencia de estas propiedades: $$ \Large{ \begin{array}{ccc} a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } & \qquad & \begin{array}{c} \xrightarrow{Introducir factores} \cr a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } \cr \xleftarrow{sacar factores} \cr \end{array} \end{array} } $$ Si $n$ es par $ \Large{ |a| \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } } $ Si $n$ es impar $ \Large{ a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } } $


Aquí tenemos las propiedades de los radicales en una table con ejemplos:

Propiedad	Ejemplo
$ \sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}$	$ \sqrt[3]{-8 \cdot 27}=\sqrt[3]{-8} \sqrt[3]{27}=(-2)(3)=-6 $
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$	$ \sqrt[4]{\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}=\frac{2}{3} $
$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m m]{a}$	$ \sqrt{\sqrt[3]{729}}=\sqrt[6]{729}=3 $
$ \sqrt[n]{a^n}=a \quad$ si $n$ es impar	$ \sqrt[3]{(-5)^3}=-5; \quad \sqrt[5]{2^5}=2 $
$ \sqrt[n]{a^n}=|a|$ si $n$ es par	$ \sqrt[4]{(-3)^4}=|-3| = 3; \quad \sqrt[6]{(5)^6} = | 5 | = 5$
$ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = \sqrt[n \cdot s]{\ a^{m \cdot s}\ } $	$ \sqrt[6]{\ 125\ } = \sqrt[6]{\ 5^3\ } = 5^{ \frac{3}{6} } = 5^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{5} $
$ a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } $	$ \begin{array}{l} \sqrt[3]{\ 7^3 \cdot 11^2\ } = 7 \cdot \sqrt[3]{\ 11^2} \cr \cr \sqrt{\ 5^8 \cdot 7 \cdot 13\ } = \sqrt{\ (5^4)^2 \cdot 7 \cdot 13\ } = 5^4 \cdot \sqrt{\ 7 \cdot 13\ } \end{array}$

Teorema de Pitágoras.

Vocabulario:

Triángulo: Polígono de tres lados.

Ángulo recto: Ángulo de $90^{\circ}$ grados o $\dfrac{\ \pi\ }{2}$ radianes.

Triángulo rectángulo: Triángulo que tiene un ángulo recto.

Cateto: Cada uno de los lados de un triángulo rectángulo que forma el angulo recto.

Hipotenusa: El lado opuesto al ángulo recto.

El Teorema de Pitágoras dice:

«En todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos.»

Pythagorean Theorem: Six Proofs from Beau Janzen on Vimeo.

Con el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de un lado sabiendo los otros dos:

• Conocidos los catetos podemos calcular la hipotenusa: $ h = \sqrt{\ c_1^2 + c_2^2\ } $
• Conocidos un cateto y la hipotenusa, calcular el otro cateto:
  • Si sabemos los valores de $c_1$ y $h \Rightarrow c_2 = \sqrt{\ h^2 - c_1^2 \ }$
  • Si sabemos los valores de $c_2$ y $h \Rightarrow c_1 = \sqrt{\ h^2 - c_2^2 \ }$

Ejemplos:

1. Si sabemos lo que valen los dos catetos podemos calcular fácilmente el valor de la hipotenusa:
   
   Si $c_1 = 7$ y $c_2 = 24 \Rightarrow h = \sqrt{\ c_1^2 + c_1^2 \ } = \sqrt{\ 72 + 242 \ } = \sqrt{\ 49 + 576 \ } = \sqrt{\ 625 \ } = 25$
2. Si sabemos lo que vale la hipotenusa y uno de los catetos podemos calcular fácilmente lo que vale el otro cateto:
   
   Si $h = 10$ y $c_1 = 6 \Rightarrow c_2 = \sqrt{\ h^2 - c_1^2 \ } = \sqrt{\ 10^2 - 6^2 \ } = \sqrt{\ 100 - 36 \ } = \sqrt{\ 64 \ } = 8 $

Veamos un applet de GeoGebra:

¿Se cumple sólo el Teorema de Pitágoras para áreas de cuadrados?

Juegos.

Girando cuadrados:

Tangram:

Ejercicios de planteamiento - Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer grado.

Fases para resolver problemas en Matemáticas:

1. Entender el problema
Leer las veces que haga falta el enunciado, hacer cualquier dibujo o esquema que ayude a su comprensión. Obtener todos los datos, directos e indirectos, que nos da el problema.
2. Plantear las ecuaciones
Escribir las ecuaciones que se adecúen al problema en cuestión.
3. Resolver el sistema de ecuaciones
Resolver el sistema.
4. Comprobar la solución obtenida
Coherencia del resultado y la comprobación de la misma.

Si el número es dos cifras, lo representamos así $xy = 10x + y$. Es decir, $x=$ son las decenas e $y$ = a las unidades.
La suma de las cifras es 10 $ \Rightarrow x + y = 10$

El número, invirtiendo las cifras es $yx = 10y + x$, hemos cambiado las decenas por las unidades y viceversa:

Luego la $\odn{2}{a}$ ecuación será: $10x + y = 10y + x - 36 \Rightarrow 9x - 9y = - 36 \Rightarrow x - y = - 4$

Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 10 \cr \cr x - y = -4 } $$

Si el número es dos cifras, lo representamos así $xy = 10x + y$. Es decir, $x=$ son las decenas e $y$ = a las unidades.
La $\odn{1}{a}$ ecuación se obtiene de al saber que la $\odn{1}{a}$ cifra es la tercera parte de la segunda: $x = \dfrac{\ y\ }{3}$
Si invertimos las cifras del número, es decir $ yx = 10y + x$ entonces $ 10y + x = 10x + y + 54 \Rightarrow 9y - 9x = 54 \Rightarrow y - x = 6 $
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x = \dfrac{y}{3} \cr \cr y - x = 6 } $$

$x = $ la edad de la $\odn{1}{a}$ persona

$y = $ la edad de la $\odn{2}{a}$ persona

De la razón tenemos que $ \dfrac{\ x\ }{y} = \dfrac{\ 2\ }{3} $

De la diferencia de edades tenemos: $ y = x + 15 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ \dfrac{\ x\ }{y} = \dfrac{\ 2\ }{3} \cr \cr y = x + 15 } $$

El número de tres cifras y capicúa es de la forma $xyx = 100x + 10y + x$

$x = $ número de las centenas y de las unidades.

$y = $ número de las decenas.

La suma de las cifras es 12 luego $2x + y = 12$

La suma de las decenas excede en 4 al doble de las centenas luego $y = 2x + 4$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ 2x + y = 12 \cr \cr y = 2x + 4 } $$

$x = $ litros de 0,94 €/l

$y = $ litros de 0,86 €/l

Sabemos que la mezcla es de 40 litros luego $x + y = 40$ litros

Como la mezcla debe salir a 0,89 €/litro entonces hemos de calcular el importe en € que echamos a la mezcla y lo dividimos por el número de litros de la misma, así sabemos a qué precio sale el litro: $ \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 40 \cr \cr \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 \cr } $$

Este ejercicio se puede plantear con una sola incógnita, $x =$ litros de aceite de 0,94 €/l y $40 - x$ serán los litros de aceite de 0,86€/l: $$ \dfrac{\ 0,94x + 0,86 \cdot (40 - x)\ }{ 40 } = 0,89 $$

$x = $ el $\odn{1}{er}$ número.

$y = $ el $\odn{2}{o}$ número.

De la $\odn{1}{a}$ frase tenemos $ 2x + \dfrac{\ y\ }{2} = 7 $

De la $\odn{2}{a}$ frase tenemos $ 7 + x = 5y$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 40 \cr \cr \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 \cr } $$

$x = $ el nº de olivos.

$y = $ el nº de almendros.

Entre olivos y almendros 250 $ \Rightarrow x + y = 250 $

Si el doble de almendros son 10 menos que el total de olivos $ \Rightarrow 2x = y - 10 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 250 \cr \cr 2x = y - 10 } $$

$x = \odn{n}{o}$ de habitaciones simples.

$y = \odn{n}{o}$ de habitaciones dobles.

El número de habitaciones es 50: $ \Rightarrow x + y = 50 $

Ahora contamos camas, las dobles tienen 2 y las simples una: $ \Rightarrow x + 2y = 87 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 50 \cr \cr x + 2y = 87 } $$

$x = $ nº de bombillas que funcionan.

$y = $ nº de bombillas defectuosas, que fallan.

El total de bombillas fabricadas son 2100 $ \Rightarrow x + y = 2100 $

La $\odn{2}{a}$ ecuación es sobre el dinero que gana, por cada bombilla suma 0,6€ y por cada bombilla defectuosa -0,8€; haciendo la cuenta: $ 0,6x - 0,8y = 966$ Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 2100 \cr \cr 0,6x - 0,8y = 966 } $$

$x = $ nº de alumnos de $\odn{3}{o}\ A$.

$y = $ nº de alumnos de $\odn{3}{o}\ C$.

El número de alumnos de $\odn{3}{o}\ A$ es el doble de $\odn{3}{o}\ C$, luego: $ x = 2y$

Al pasar alumnos de una clasea otra tenemos: $x - 8 = y + 8$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x = 2y \cr \cr x - 8 = y + 8 } $$

$x = $ nº de coches.

$y = $ nº de motos.

El total de vehículos es 39 $ \Rightarrow x + y = 39$

Ahora contamos ruedas, las motos tienen 2 y los coches 4 (visibles), luego: $4x + 2y = 126$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 39 \cr \cr 4x + 2y = 126 } $$

$ x =$ nº de discos de 18 €

$ y = \odn{n}{o}$ de discos de 14,4 €

En total 84 discos, luego $x + y = 84$

Ahora contamos dinero, $x$ discos a 18€ más $y$ discos a 14,4 € son 1242€ $ 18x + 14,4y = 1242 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 84 \cr \cr 18x + 14,4y = 1242 } $$

$ x =$ € que cuesta un tarro de berberechos.

$ y =$ € que cuesta un tarro de mejillones.

Todas las latas cuestan 35,7 €, es decir, 17 latas de berberechos por su precio más a 12 latas de mejillones por su precio son $17x + 12y = 35,7$ €

Sabiendo la relación que hay entre 5 botes de berberechos y los 3 de mejillones tenemos: $ 5x = 3y + 4,95 $ Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ 17x + 12y = 35,7 \cr \cr 5x = 3y + 4,95 } $$

$x =$ los $kg$ que pesa el agua que hay en el cubo.

$y =$ los $kg$ que pesa el cubo.

De la $\odn{1}{a}$ frase tenemos: $ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 $

De la $\odn{2}{a}$ frase tenemos: $ \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 \cr \cr \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 } $$

$ x = $ € del $\odn{1}{er}$ manuscrito.

$ y = $ € del $\odn{2}{o}$ manuscrito.

Por los dos manuscritos paga 2250 € $ \Rightarrow x + y = 2250$ Sacando un 40% de beneficio por la venta de ambos: $1,4 \cdot 2250 = 3150 $ €; Del $\odn{1}{o}$ saca un 25% más y del $\odn{2}{o}$ un 50 % más: $ \Rightarrow 1,25x + 1,5y = 3150 \Rightarrow 125x + 150y = 315.000 \Rightarrow 5x + 6y = 12600 $ Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 2250 \cr \cr 5x + 6y = 12600 } $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Evolución «histórica» de la tabla periódica.