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lunes, 13 de julio de 2026
domingo, 12 de julio de 2026
Matrices. Ejercicios.
Una matriz es un conjunto de números o expresiones algebraicas dispuestos en una tabla formada por filas y columnas. Cada número o expresión algebraica de la matriz se llama elemento y se denota $a_{ij}$, donde $i$ hace referencia a la fila i-ésima y $j$ hacer referencia a la colmuna j-ésima. El elemento $a_{23}$ es el que está en la $\odn{2}{a}$ fila, $\odn{3}{a}$ columna.
Las matrices se representan del siguiente modo: $$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \\ \end{pmatrix} $$ $A$ es una matriz de $n$ filas y $m$ columnas, se dice que es de orden $n \times m$.
Dos matrices $A$ y $B$ son iguales si tienen el mismo orden y los elementos correspondientes de las matrices son iguales si $$a_{ij} = b_{ij} \ \forall \ 1 \leq i \leq n; \ 1 \leq j \leq m$$
$$\huge \fbox{ Clases de Matrices } $$
- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matrices rectangulares: } } $ el número de filas y de columnas es distinto. $$ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 9 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & -3 \\ \end{pmatrix} \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ - $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz fila} }:$ Tiene una fila y una o varias columnas. \[ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \]
- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz columna} }:$ Tiene una columna y una o varias filas. \[ \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \]
- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz traspuesta} }:$ Es la que se obtiene al cambiar las filas por las columnas, se denota $A^t$ o $A'$. \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow A^t = A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}; \] \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow B' = B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}; \] Nota $(A')' = A$. La traspuesta de la traspuesta es la matriz original.
- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz nula} }:$ Todos los elementos de la matriz son nulos. $(a_{ij} = 0) \forall 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n $
\[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matrices cuadradas} }:$ el número de filas y de columnas es el mismo.
$$ \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & -3 & 8 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$ - Matriz identidad: Es una matriz cuadrada con unos en la diagonal y el resto ceros. Se denoya $I_n$ a la matriz cuadrada de orden $n$.
$$ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \cdots I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}; $$ La diagonal de una matriz cuadrada son los elementos de la matriz donde el número de fila y columna coinciden: $(a_{ii}) \forall 1 \leq i \leq \ n $.
- Matriz diagonal: Cuando todos los elementos que no están en la diagonal son cero, y los de la diagonal, distintos de cero: \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}; \]
- Matriz escalar: Es un caso particular de matriz diagonal, donde los elementos de la diagonal son todos iguales: \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}; \] La Matriz identidad es una matriz diagonal. Las Matrices escalares se pueden poner como un número por una matriz identidad. \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -1 \cdot I_2; \qquad \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} = (-3) \cdot I_3; \]
- Matriz triangular superior: Los elementos por debajo de la diagonal son ceros. \[ \begin{pmatrix} 11 & -7 & 3 \\ 0 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 8 \\ 0 & -9 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -11 \end{pmatrix}; \]
- Matriz triangular inferior: Los elementos por encima de la diagonal son ceros. \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 10 & -4 & 7 \end{pmatrix}; \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 9 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 6 & 0 \\ -1 & 2 & 5 & -3 \end{pmatrix}; \]
- Matriz simétrica: Si cumple que $A = A'$ \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 1 & 5 & -1 \end{pmatrix}; \] Para que una matriz sea simétrica los elementos simétricos respecto de la diagonal han de ser iguales $a_{ij} = a_{ji} \forall \ 1 \leq i,j \leq n, i \neq j $.
La suma de una matriz cualquiera y su traspuesta es una matriz simétrica: $$ S = A + A' \Rightarrow S' = (A + A')' = A' + A = S $$ Nota: La traspuesta de la suma (o resta) de matrices es la suma (o resta) de las traspuestas.
- Matriz antisimétrica: SI cumple que $A = - A'$ \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ -3 & 0 & 7 \\ 1 & -7 & 0 \end{pmatrix}; \] Para que una matriz sea antisimétrica los elementos simétricos respecto de la diagonal han de ser opuestos $a_{ij} = -a_{ji} \forall \ 1 \leq i,j \leq n$ y los de la diagonal nulos $ (a_{ii} = 0 \forall 1 \leq i \leq n )$.
La resta de una matriz cualquiera y su traspuesta es antisimétrica: $$ T = A - A' \Rightarrow T' = (A - A')' = - A' + A = T $$ Nota: La traspuesta de la suma (o resta) de matrices es la suma (o resta) de las traspuestas.
-
$$\Large \fbox{ Operaciones con matrices } $$
- Suma y resta de matrices: Las matrices deben tener la misma dimensión (mismo número de filas y de columnas). La operación se realiza sumando o restando los elementos que están en la misma posición en ambas matrices, obteniendo como resultado una nueva matriz del mismo tamaño. La suma de matrices es CONMUTATIVA $A + B = B + A$. \[ A \pm B = (a_{ij}) \pm (b_{ij}) = (a_{ij} \pm b_{ij} ) \] Ejemplos:
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 3 & 1 + 4 \\ 5 + 2 & -7 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 7 & 0 \end{pmatrix} \)
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 3 & 1 - 4 \\ 5 - 2 & -7 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -14 \end{pmatrix} \)
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 -2 & 1 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \end{pmatrix} \)
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & - 1 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 1 & 0 + 1 & 1 + 2 \\ 2 + 2 & - 1 + 0 & -7 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & - 1 & -7 \end{pmatrix} \)
- Producto de matrices: La multiplicación sólo es posible si el número de columnas de la $\odn{1}{a}$ matriz coincide con el número de filas de la $\odn{2}{a}$. El producto de dos matrices se obtiene al multiplicar las filas de la $\odn{1}{a}$ matriz por las columnas de la $\odn{2}{a}$. Si \(A\) es una matriz de orden \(m\times p\) y \(B\) es de orden \(p\times n\), entonces la matriz producto \(AB\) será de orden \(m\times n\). Para calcular cada elemento de la matriz resultante $c_{ij}$, se multiplica elemento a elemento la fila $i$ por la columna $j$ correspondiente y se suman los resultados. El producto de matrices NO es CONMUTATIVO, es decir $A \cdot B \neq B \cdot A.$
\[ A \times B = (c_{ij} ), \text{ donde } c_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^n {a_{ik} \times b_{kj}} \] Ejemplos:
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 6 - 5 = 1 \)
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 3 & -1 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ -3 & -5 \end{pmatrix} \)
El producto de matrices es asociativo, es decir, \[ A \times (B \times C ) = ( A \times B )\times C \] El producto de matrices es distributivo respecto de la suma, es decir, \[ A \times (B + C) = A \times B + A \times C \] El producto tiene elemento neutro $I_s$, que es la identidad de dimensión que corresponda y es el elemento neutro por derecha e izquierda (si la matriz es cuadrada, si no, el neutro por derecha e izquierda tiene distinta dimensión). Es decir, $A$ es de orden n \times m entonces: \[ I_n \times A = A \times I_m = A \] Si la matriz B es cuadrada $n \times n$, entonces: \[ I_n \times B = B \times I_n = B \] - Producto por un número o escalar: Para multiplicar una matriz \(A\) por un escalar \(k\) (un número real cualquiera), se debe multiplicar cada uno de los elementos de la matriz \(A\) por dicho escalar \(k\). \[ k \cdot A = k \cdot (a_{ij} ) = (k \cdot a_{ij}) \]
$\bullet$ Ejercicio 1: \( \text{ Si } \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{37} A^{n} = \text{?} \)
\( A^1 = A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
\( A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)
\( A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)
\( A^4 = A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)
\( \text{Así tenemos que } A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ n & 1 \end{pmatrix} \)
Luego $$ \displaystyle \sum_{n=1}^{37} A^{n} = \displaystyle \sum_{n=1}^{37} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ n & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & 0\\ \dfrac{37 \cdot 38}{2} & 37 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & 0\\ 37 \cdot 19 & 37 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ 37 & 0\\ 703 & 37 \end{pmatrix} $$
$\bullet$ Ejercicio 2: Sea \( A = \begin{pmatrix} \ \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } & \mfrac{ - \msqrt{2} }{ 2 } \\ \\ \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } & \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } \end{pmatrix} \) Calcula el valor de \( A^{12} \).
$\bullet \ $ Halla todas la matrices que conmutan con $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$.
$\bullet \ $ Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Determina los valores de $p$ y $q$, para los que se cumple la ecuación $A^2 + p \cdot A^t + q \cdot I_2 = -2 \cdot A^{-1}$.
$\bullet \ $ Sea $P = \begin{pmatrix} a & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$. Calcula el valor de $a$ sabiendo que $P \cdot P^t$ es una matriz diagonal.
La matriz traspuesta es $P^t = \begin{pmatrix} a & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$ entonces: \[ P \cdot P^t = \begin{pmatrix} a & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 9 & 2a - 12 \\ 2a - 12 & 2^2 + 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 9 & 2a - 12 \\ 2a - 12 & 20 \end{pmatrix} \] Como $P$ es una matriz diagonal, eso quiere decir que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son cero. Entonces $2a - 12 = 0 \Rightarrow a = 6$ y la matriz $P$ queda así: \[ P = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \text{ y } P^t = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \]
$$\Large \fbox{ Matrices curiosidades: } $$
Podemos poner el producto vectorial de dos vectores $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ y $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ en $\R^3$ como el producto de una matriz por un vector columna (análogamente por un vector fila):
$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} $$
$\bullet\ $ un producto de matrices curioso: \[ \bbox[black, 20px]{ \color{white} \begin{pmatrix} \color{cyan} \begin{matrix} 6 & 5 & 3 & 7 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 5 \\ 7 & 5 & 3 & 6 \end{matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{yellow} \begin{matrix} 7 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 7 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 7 \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{cyan}6\color{yellow}7 & \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}7\color{yellow}2 \\ \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}2\color{yellow}1 & \color{cyan}1\color{yellow}3 & \color{cyan}3\color{yellow}1 \\ \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}7 & \color{cyan}2\color{yellow}1 & \color{cyan}5\color{yellow}2 \\ \color{cyan}7\color{yellow}2 & \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}6\color{yellow}7 \end{pmatrix} } \]
En una pastelería se elaboran dos tipos de tartas: de limón y de chocolate. De cada tipo hacen tres tamaños. Cada semana elaboran las tartas que aparecen en la tabla:
| Limón | Chocolate | |
|---|---|---|
| Grande | 10 | 5 |
| Mediana | 16 | 20 |
| Pequeña | 12 | 10 |
- Escribe la matriz que expresa el número de tartas según el tamaño y el sabor.
- Escribe las matrices que expresan el número de tartas y el porcentaje según el sabor y el tipo de venta.
- Calcula la matriz que expresa el número de tartas según el tamaño y el tipo de venta.
Contesta justificadamente los siguientes apartados:
En una tienda de comida para llevar, el producto más vendido se elabora con tres variantes: A, B y C. Cada variante se vende en dos tamaños: pequeño y grande. Cada día se elaboran las cantidades de cada variante que aparecen en la siguiente tabla:
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| Pequeño | 100 | 50 | 100 |
| Grande | 160 | 150 | 100 |
- Escribe la matriz que expresa el número de productos según el tamaño y la variante.
- Escribe la matriz que expresa el número de productos y el porcentaje según la variante y el tipo de venta.
- Calcula la matriz que expresa el número de productos según tamaño y tipo de venta.
- $2A + B$
- $B - C$
- $2A + 3C$
$\bullet\ $ Dadas las matrices \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 5 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Calcular: $(A + B) \cdot C$
Vamos a calcular primeo $M \cdot N$
\[ M \cdot N = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 14 \\ 18 & 8 & 16 \\ 11 & 8 & 23 \end{pmatrix} \] Ahora $N \cdot M$ \[ N \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 15 & 20 \\ 16 & 12 & 23 \\ 6 & 4 & 10 \end{pmatrix} \] Luego restamos: \[ M \cdot N - N \cdot M = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 8 \\ 18 & 8 & 14 \\ 11 & 8 & 23 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15 & 15 & 20 \\ 16 & 12 & 23 \\ 6 & 4 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -10 & -6 \\ 2 & -4 & -7 \\ 5 & 4 & 13 \end{pmatrix} \]
$\bullet\ $ Encontrar una base del espacio vectorial $(M_2, +, \mathbb{R})$, es decir del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2.
$\bullet\ $ Dadas las matrices \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 3 \\ 2 & -3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \] Hallar el producto $A \cdot B$
$\bullet\ $ Dada la matriz \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Hallar las matrices $M$, triangular inferior, y $N$, triangular superior, con $n_{ii} = 1, \; \forall \, i \in \{1,2,3\}$, tales que $A = M \cdot N$.
$\bullet\ $ Una cuadrilla de obreros trabaja simultáneamente en la realización de tres obras. Para la primera de ellas necesitan diariamente 100kg de cemento, 235 ladrillos y 44 baldosas; para la segunda necesitan cada día 80kg de cemento, 190 ladrillos y 38 baldosas, y para la tercera obra, las necesidades diarias son de 250kg de cemento, 300 ladrillos y 62 baldosas. Suponiendo que la duración estimada para cada obra sea de 8, 6 y 12 días, respectivamente, se pide expresar matricialmente y calcular las cantidades totales necesarias de cada uno de los materiales empleados en las obras.
$\bullet\ $ Se consideran las matrices \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & -4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} x \\ 1 \\ y \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \] Calcular $x, y, z$ sabiendo que $A \cdot B = C$
$\bullet\ $ Resolver la ecuación matricial $A \cdot X = B$ siendo \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \]
$\bullet\ $ Resolver la ecuación $X \cdot A = B + C$ siendo: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
$\bullet\ $ Dada la matriz cuadrada de orden 2, \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \] ver si es regular o singular, intentando calcular su inversa a partir de la definición.
Vamos a calcular el $|A| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -1 $ La matriz es inversible porque el determinante es distinto de cero.
\[ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cccc} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 3 & -12 & 6 & -3 \\ 2 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array} \right) \xrightarrow{E_{4} \leftrightarrow E_{2}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 7 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{c} {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 7 \cdot E_{2}} \left( \begin{array}{cccc} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -25 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \end{array}} \\ \end{array} \] El rango de la matriz es 3.
Primero calculamos $A^2$: \[ A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \end{pmatrix} \] Ahora vamos a resolver la igualdad que nos piden: \[ A^2 + aA + bI_2 = 0 \implies \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \end{pmatrix} + a \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} + b \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \implies \] \[ \begin{cases} 14 + 2a + b = 0 \\ 5 + 5a = 0 \\ 2 + 2a = 0 \\ 11 - a + b = 0 \end{cases} \text{ De la segunda y tercera ecuación} \implies a = - 1\] Sustituimos $a$ en la primera ecuación: \[ 14 + 2a + b = 0 \implies 14 - 2 + b = 0 \implies b = -12 \]
Calculamos las primeras potencias de la matriz $A$ para observar su comportamiento: \[ A^1 = A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] \[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \] Como además se cumple que $A \cdot A^2 = A^3 = I_2$, se deduce inmediatamente por la definición de matriz inversa que: \[ A^2 = A^{-1} \] Calculamos la siguiente potencia: \[ A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 \] A partir de aquí, las potencias vuelven a repetirse en ciclos de 3 en 3 (por ejemplo, $A^4 = A^3 \cdot A = I_2 \cdot A = A$). Por lo tanto, para cualquier exponente $k \ge 3$, realizamos la división entera $k \div 3$, donde $n$ es el cociente, y el resultado dependerá del resto de la división:
- Si $k = 3n$ (el resto es 0): \[ A^k = A^{3n} = (A^3)^n = (I_2)^n = I_2 \]
- Si $k = 3n + 1$ (el resto es 1): \[ A^k = A^{3n+1} = A^{3n} \cdot A = I_2 \cdot A = A \]
- Si $k = 3n + 2$ (el resto es 2): \[ A^k = A^{3n+2} = A^{3n} \cdot A^2 = I_2 \cdot A^2 = A^2 = A^{-1} \]
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
lunes, 6 de julio de 2026
Estadística. Teoría y problemas.
Sea una muestra $x_1, x_2, \dots x_n$ de $N$ valores con frecuencias $f_1, f_2, ..., f_n$ respectivamente de una variable «$x$»:
$$ \bar{x} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot x_i}{N} = \mfrac{2 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 9}{5} = \mfrac{35}{5} = 7 $$
$$ S^2x = \mfrac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{N} = \mfrac{2 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot 0 + (-2)^2}{5} = \mfrac{6}{5} = 1,2 $$
Una variable aleatoria continua $X$ sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, y se designa por $N(\mu, \sigma)$ si cumplen las siguientes condiciones:
El área que queda por debajo de la curva es 1.
$P(-\infty < x < +\infty) = 1$
Cuando $\mu=0$ y $\sigma=1$ tenemos la normal tipificada o estándar $N(0,1)$
La importancia que la distribución normal tipificada radica en que cualquier distribución normal se puede reducir a una tipificada y que esta se encuentra tabulada.
Cálculo de probabilidades en una Normal Tipificada
La distribución $N(0,1)$ que se representa por $Z$, se encuentra tabulada, lo cual permite un cálculo rápido de las probabilidades asociadas a la misma.
Aunque existe muchos fenómenos que se comporten como una distribución normal, se puede afirmar que ninguno de ellos se comporta exactamente como una $N(0,1)$
Lo más aconsejable sería transformar la variable $X$ que sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$ en otra variable $Z$ que siga una distribución $N(0,1)$. Esta transformación se conoce con el nombre de tipificación de la variable y consiste en:
La regla de simetría real es: >$$P(Z > a) = P(Z < -a)$$ Esta propiedad es fundamental en la distribución normal estándar y se basa en una única palabra: «simetría». La campana de Gauss de una $N(0,1)$ está perfectamente centrada en el $0$. Esto significa que la mitad izquierda de la campana es un reflejo exacto (como en un espejo) de la mitad derecha. Si elegimos un número positivo cualquiera, por ejemplo $a$: $P(Z >a)$ representa el área de la «cola» que queda a la derecha de $a$. $P(Z < -a)$ representa el área de la «cola» que queda a la izquierda de $-a$. Como la campana es simétrica y los puntos $a$ y $-a$ están exactamente a la misma distancia del centro ($0$), esas dos colas exteriores son idénticas en tamaño. Por lo tanto, el área que encierran (la probabilidad) vale exactamente lo mismo. En la PAU esto es utilísimo porque las tablas oficiales solo suelen dar las probabilidades para valores positivos y menores que ($P(Z < a)$). Si el examen te pide calcular la probabilidad de que $Z$ sea menor que un número negativo, gracias a esta propiedad le das la vuelta a todo y lo transformas en un problema de cola derecha: \[ P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a) \]
Hallar la probabilidad
$ P(Z \leq 0,56)$ Basta con buscar el valor en la tabla o en la calculadora.
$ P(Z \leq 0,56) = 0,7123 $
Hallar la $a$ sabiendo la probabilidad:
$P(Z \leq a) = 0,6854 \implies a = 0,48285$
Hallar la Probabilidad
$ P(Z \geq 1,215) = 1 - P(Z \leq 1,125) = 1 - 0,8697 = 0,1303 $
$ P(Z \geq 1,41) = 1 - P(Z \leq 1,41)= 1 - 0,9207 = 0,0793 $
Hallar la $a$ sabiendo la probabilidad:
$P(Z \geq a) = 0,1384 \implies P(Z \leq a) = 0,8616 \implies$
$a = 1,08754$
Hallar la Probabilidad
$P(Z < - 0,25) = P(Z > 0,25) = $
$= 1 - P(Z \leq 0,25) = 1 – 0,5987 = 0,4013$
$P(Z < - 1,75) = P(Z > 1,75) = $
$= 1- P(Z \leq 1,75) = 1 – 0,9599 = 0,0401 $
Hallar la Probabilidad
$ P(-0,75 < Z < 1,23) = P(Z < 1,23) - P(Z < -0,75) = $
$ = P(Z < 1,23) – P(Z > 0,75) = $
$ = P(Z < 1,23) - [1 - P(Z < 0,75) ] = $
$ = 0,8907 – (1 - 0,7734) = 0,664 $
El valor crítico se designa mediante $z_{\alpha/2}$.
$P(Z > z_{\alpha/2}) = \mfrac{\alpha}{2} $
$P(-z_{\alpha/2} < Z < z_{\alpha/2}] = 1 − \alpha$
$\alpha$ es el nivel de significación.
$1 − \alpha$ es el nivel de confianza, que es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.
Los niveles de confianza más usuales son: 90%; 95% y 99%.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1 - \alpha & \alpha & \alpha/2 & z_{\alpha/2} \\[2.5ex] \hline
0,90 & 0,10 & 0,05 & 1,645 \\[2.5ex] \hline
0,95 & 0,05 & 0,025 & 1,96 \\[2.5ex] \hline
0,99 & 0,01 & 0,005 & 2,575 \\[2.5ex] \hline
\end{array}
\]
- Se llama media muestral a $\bar{x} = \mfrac{f_1 \cdot x_1 + f_2 \cdot x_2 + + f_3 \cdot x_3 + \dots + f_n \cdot x_n}{N} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot x_i}{N} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i}{N} $ media aritmética de los datos.
- Se llama varianza muestral a $\displaystyle S^2_x = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot (x_i-\bar{x})^2}{N}$ que es una medida de dispersión para estudiar la representatividad de la media:
- Se llama desviación típica muestral a la raíz cuadrada de la varianza muestral $S_x = \msqrt{S^2_x}$
| $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ |
|---|---|---|
| 7 | 0 | 0 |
| 9 | 2 | 4 |
| 6 | -1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 6 | -1 | 1 |
- La media muestral: $\bar{x}$, sirve para estimar la media poblacional, se denota con $\mu$.
- La desviación típica muestral: $\mathbf{s}$, es una estimación de la desviación típica, se denota con $\sigma$.
- La varianza: se denota $\sigma^2$.
Una variable aleatoria continua $X$ sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, y se designa por $N(\mu, \sigma)$ si cumplen las siguientes condiciones:
- La variable pueden tomar cualquier valor real, es decir, $x \in (-\infty, \infty)$
- La función de densidad, $f(x)$ de la distribución $$f(x) = \mfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$
El área que queda por debajo de la curva es 1.
$P(-\infty < x < +\infty) = 1$
Cuando $\mu=0$ y $\sigma=1$ tenemos la normal tipificada o estándar $N(0,1)$
La importancia que la distribución normal tipificada radica en que cualquier distribución normal se puede reducir a una tipificada y que esta se encuentra tabulada.
Cálculo de probabilidades en una Normal Tipificada
La distribución $N(0,1)$ que se representa por $Z$, se encuentra tabulada, lo cual permite un cálculo rápido de las probabilidades asociadas a la misma.
Aunque existe muchos fenómenos que se comporten como una distribución normal, se puede afirmar que ninguno de ellos se comporta exactamente como una $N(0,1)$
Lo más aconsejable sería transformar la variable $X$ que sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$ en otra variable $Z$ que siga una distribución $N(0,1)$. Esta transformación se conoce con el nombre de tipificación de la variable y consiste en:
- Centrar: consiste en trasladar la media de la distribución al origen de coordenadas. Esto equivale a hacer $\mu = 0$
- Reducir: la desviación estándar a 1 ($\sigma = 1$). Esto equivale a dilatar o contraer la gráfica de la distribución para que coincida con la ley estándar: $$Z = \mfrac{X - \mu}{\sigma}$$
La regla de simetría real es: >$$P(Z > a) = P(Z < -a)$$ Esta propiedad es fundamental en la distribución normal estándar y se basa en una única palabra: «simetría». La campana de Gauss de una $N(0,1)$ está perfectamente centrada en el $0$. Esto significa que la mitad izquierda de la campana es un reflejo exacto (como en un espejo) de la mitad derecha. Si elegimos un número positivo cualquiera, por ejemplo $a$: $P(Z >a)$ representa el área de la «cola» que queda a la derecha de $a$. $P(Z < -a)$ representa el área de la «cola» que queda a la izquierda de $-a$. Como la campana es simétrica y los puntos $a$ y $-a$ están exactamente a la misma distancia del centro ($0$), esas dos colas exteriores son idénticas en tamaño. Por lo tanto, el área que encierran (la probabilidad) vale exactamente lo mismo. En la PAU esto es utilísimo porque las tablas oficiales solo suelen dar las probabilidades para valores positivos y menores que ($P(Z < a)$). Si el examen te pide calcular la probabilidad de que $Z$ sea menor que un número negativo, gracias a esta propiedad le das la vuelta a todo y lo transformas en un problema de cola derecha: \[ P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a) \]
Cálculo de $\mathbf{ P(Z \leq a) } $
$ P(Z \leq 0,56)$ Basta con buscar el valor en la tabla o en la calculadora.
$ P(Z \leq 0,56) = 0,7123 $
Hallar la $a$ sabiendo la probabilidad:
$P(Z \leq a) = 0,6854 \implies a = 0,48285$
Cálculo de $\mathbf{ P(Z > a) } $
$ P(Z \geq 1,215) = 1 - P(Z \leq 1,125) = 1 - 0,8697 = 0,1303 $
$ P(Z \geq 1,41) = 1 - P(Z \leq 1,41)= 1 - 0,9207 = 0,0793 $
Hallar la $a$ sabiendo la probabilidad:
$P(Z \geq a) = 0,1384 \implies P(Z \leq a) = 0,8616 \implies$
$a = 1,08754$
Cálculo de $\mathbf{ P(Z < -a) } $
$P(Z < - 0,25) = P(Z > 0,25) = $
$= 1 - P(Z \leq 0,25) = 1 – 0,5987 = 0,4013$
$P(Z < - 1,75) = P(Z > 1,75) = $
$= 1- P(Z \leq 1,75) = 1 – 0,9599 = 0,0401 $
Cálculo de $\mathbf{ P(a \leq Z \leq b) } $
$ P(-0,75 < Z < 1,23) = P(Z < 1,23) - P(Z < -0,75) = $
$ = P(Z < 1,23) – P(Z > 0,75) = $
$ = P(Z < 1,23) - [1 - P(Z < 0,75) ] = $
$ = 0,8907 – (1 - 0,7734) = 0,664 $
El valor crítico se designa mediante $z_{\alpha/2}$.
$P(Z > z_{\alpha/2}) = \mfrac{\alpha}{2} $
$P(-z_{\alpha/2} < Z < z_{\alpha/2}] = 1 − \alpha$
$\alpha$ es el nivel de significación.
$1 − \alpha$ es el nivel de confianza, que es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.
Los niveles de confianza más usuales son: 90%; 95% y 99%.
viernes, 3 de julio de 2026
Geometría. PAU.
PAU La Rioja 2026 (julio) Contesta justificadamente los siguientes apartados:
Sean la recta $r : \mfrac{x}{3} = y = \mfrac{z - 11}{-1}$ y el punto $P \equiv (0, 1, 1)$.
b) Nos piden la distancia de la recta $r$ al punto $P$: Lo podemos hacer de varias formas, calculando el punto de corte $R$ de la recta $r$ y el plano $\pi$ y calculando la distancia de $P$ a $R$. Aplicando la fórmula de la distancia de un punto a una recta $d(p, r) = \mfrac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}|}{ |\overrightarrow{d}| }$ siendo $\overrightarrow{d}$ el vector director de la recta $r$ y $A$ un punto cualquiera de la recta $r$. Vamos a calcular la distancia con la fórmula:
Sea $A = (0, 0, 11)$ el vector $\overrightarrow{AP} = (0, 1, -10)$. Ahora hacemos el producto vectorial de $\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}$: \[ \overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d} = \begin{vmatrix} i & i & k \\ 0 & 1 & -10 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 9i - 30j - 3k = (9, -30, -3) \] \[ d(p, r) = \mfrac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}|}{ |\overrightarrow{d}| } = \mfrac{ \msqrt{81 + 900 + 9} }{ \msqrt{9 + 1 + 1} } = \mfrac{ \msqrt{990} }{ \msqrt{11} } = \msqrt{ \mfrac{990}{11} } = \msqrt{90} \approx 9,49 u \]
PAU La Rioja 2026 (julio) Contesta justificadamente los siguientes apartados:
Determina los valores de $a$ para que los planos de ecuaciones: $$\begin{cases} \pi_1 : x + y + z = 1, \\ \pi_2 : (a - 1)x + y + z = a, \\ \pi_3 : x + (a - 1)y - z = 0, \end{cases}$$
Siendo $M$ la matriz de coeficientes y $M'$ la matriz ampliada. Para que se corten en un punto, el rango (M) = rango (M') = 3, luego el $|M| \neq 0$: \[ \begin{eqnarray} |M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & 1 & 1 \\ 1 & a - 1 & - 1 \end{vmatrix} = -1 + 1 + (a -1)^2 - (1 - a + 1 + a - 1) = a^2 - 2a + 1 - 1 = a^2 - a = a(a -2) \end{eqnarray} \] El $|M| \neq 0 \implies a \neq 0 \text{ y } a \neq 2$.
Vamos a resolver este sistema por el método de Cramer: \[ x = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & - 1 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ -1 + 0 + a(a - 1) - (0 - a + a - 1) }{a(a - 2)} = \mfrac{a(a - 1)}{ a(a - 2) } = \mfrac{ a - 1 }{ a - 2 } \] \[ y = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & a & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ -a + 1 + 0 - (a - a + 1 + 0) }{a(a - 2)} = \mfrac{ -a }{ a(a - 2) } = \mfrac{ - 1 }{ a - 2 } = \mfrac{ 1 }{ 2 - a } \] \[ z = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & 1 & a \\ 1 & a - 1 & 0 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ 0 + a + (a - 1)^2 - (1 + 0 + a(a - 1)) }{a(a - 2)} = \mfrac{a + a^2 - 2a + 1 - 1 - a^2 + a}{ a(a - 2) } = \mfrac{ 0 }{ a - 2 } = 0 \] El punto donde se cortan es \[ \left ( \mfrac{ a - 1 }{ a - 2 }, \mfrac{ 1 }{ 2 - a }, 0 \right )\]
Apartado b)
El rango(M) = 2, si $a = 0$ o $a = 2$.
Veamos el caso $a = 0$ $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x + y + z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y - z = 0 \end{cases} $$ En este caso, rango(M) = rango (M') = 2 y los planos $\pi_2$ y $\pi_3$ son coincidentes. Luego los tres planos comparten una recta. Vamos a calcular la recta de corte: Sumando las dos ecuaciones: $2x = 1 \implies x = \mfrac{1}{2}$ y luego tenemos $y + z = \mfrac{1}{2}$. Si hacemos $y = \lambda$ entonces: \[ z = \mfrac{1}{2} - y = \mfrac{1}{2} - \lambda \] \[ \text{ Al final la ecuación de la recta en paramétricas es la siguiente: }r : \begin{cases} x = \mfrac{1}{2} \\ \\ y = \lambda \\ \\ z = \mfrac{1}{2} - \lambda \end{cases} \]
Veamos el caso $a = 2$ $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x - y - z = 0 \end{cases} $$ En este caso, rango(M) = 2 y rango (M') = 3. Hay planos secantes, por ser rango(M) = 2, pero dos de esos planos son paralelos ($\pi_1$ y $\pi_2$). El tercer plano es secante con los otros dos que son paralelos, pero los tres planos no comparten la recta.
Sean la recta $r : \mfrac{x}{3} = y = \mfrac{z - 11}{-1}$ y el punto $P \equiv (0, 1, 1)$.
- Determina la ecuación del plano que pasa por el punto $P$ y es perpendicular a la recta $r$.
- Halla la distancia de $P$ a la recta $r$.
b) Nos piden la distancia de la recta $r$ al punto $P$: Lo podemos hacer de varias formas, calculando el punto de corte $R$ de la recta $r$ y el plano $\pi$ y calculando la distancia de $P$ a $R$. Aplicando la fórmula de la distancia de un punto a una recta $d(p, r) = \mfrac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}|}{ |\overrightarrow{d}| }$ siendo $\overrightarrow{d}$ el vector director de la recta $r$ y $A$ un punto cualquiera de la recta $r$. Vamos a calcular la distancia con la fórmula:
Sea $A = (0, 0, 11)$ el vector $\overrightarrow{AP} = (0, 1, -10)$. Ahora hacemos el producto vectorial de $\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}$: \[ \overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d} = \begin{vmatrix} i & i & k \\ 0 & 1 & -10 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 9i - 30j - 3k = (9, -30, -3) \] \[ d(p, r) = \mfrac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}|}{ |\overrightarrow{d}| } = \mfrac{ \msqrt{81 + 900 + 9} }{ \msqrt{9 + 1 + 1} } = \mfrac{ \msqrt{990} }{ \msqrt{11} } = \msqrt{ \mfrac{990}{11} } = \msqrt{90} \approx 9,49 u \]
PAU La Rioja 2026 (julio) Contesta justificadamente los siguientes apartados:
Determina los valores de $a$ para que los planos de ecuaciones: $$\begin{cases} \pi_1 : x + y + z = 1, \\ \pi_2 : (a - 1)x + y + z = a, \\ \pi_3 : x + (a - 1)y - z = 0, \end{cases}$$
- se corten en un punto. En este caso, determina el punto de corte.
- se corten en una recta. En este caso, determina la recta en su forma paramétrica.
Siendo $M$ la matriz de coeficientes y $M'$ la matriz ampliada. Para que se corten en un punto, el rango (M) = rango (M') = 3, luego el $|M| \neq 0$: \[ \begin{eqnarray} |M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & 1 & 1 \\ 1 & a - 1 & - 1 \end{vmatrix} = -1 + 1 + (a -1)^2 - (1 - a + 1 + a - 1) = a^2 - 2a + 1 - 1 = a^2 - a = a(a -2) \end{eqnarray} \] El $|M| \neq 0 \implies a \neq 0 \text{ y } a \neq 2$.
Vamos a resolver este sistema por el método de Cramer: \[ x = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & - 1 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ -1 + 0 + a(a - 1) - (0 - a + a - 1) }{a(a - 2)} = \mfrac{a(a - 1)}{ a(a - 2) } = \mfrac{ a - 1 }{ a - 2 } \] \[ y = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & a & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ -a + 1 + 0 - (a - a + 1 + 0) }{a(a - 2)} = \mfrac{ -a }{ a(a - 2) } = \mfrac{ - 1 }{ a - 2 } = \mfrac{ 1 }{ 2 - a } \] \[ z = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & 1 & a \\ 1 & a - 1 & 0 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ 0 + a + (a - 1)^2 - (1 + 0 + a(a - 1)) }{a(a - 2)} = \mfrac{a + a^2 - 2a + 1 - 1 - a^2 + a}{ a(a - 2) } = \mfrac{ 0 }{ a - 2 } = 0 \] El punto donde se cortan es \[ \left ( \mfrac{ a - 1 }{ a - 2 }, \mfrac{ 1 }{ 2 - a }, 0 \right )\]
Apartado b)
El rango(M) = 2, si $a = 0$ o $a = 2$.
Veamos el caso $a = 0$ $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x + y + z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y - z = 0 \end{cases} $$ En este caso, rango(M) = rango (M') = 2 y los planos $\pi_2$ y $\pi_3$ son coincidentes. Luego los tres planos comparten una recta. Vamos a calcular la recta de corte: Sumando las dos ecuaciones: $2x = 1 \implies x = \mfrac{1}{2}$ y luego tenemos $y + z = \mfrac{1}{2}$. Si hacemos $y = \lambda$ entonces: \[ z = \mfrac{1}{2} - y = \mfrac{1}{2} - \lambda \] \[ \text{ Al final la ecuación de la recta en paramétricas es la siguiente: }r : \begin{cases} x = \mfrac{1}{2} \\ \\ y = \lambda \\ \\ z = \mfrac{1}{2} - \lambda \end{cases} \]
Veamos el caso $a = 2$ $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x - y - z = 0 \end{cases} $$ En este caso, rango(M) = 2 y rango (M') = 3. Hay planos secantes, por ser rango(M) = 2, pero dos de esos planos son paralelos ($\pi_1$ y $\pi_2$). El tercer plano es secante con los otros dos que son paralelos, pero los tres planos no comparten la recta.
Análisis. PAU.
La Rioja PAU (2026) junio Dada la función $f(x) = xe^{-2x^2}$
a) $Dom f(x) = \R$ ya que es el producto de un monomio por una exponencial y no hay puntos problemáticos.
Asíntotas verticales no tiene.
ASíntotas horizontales: \[ \milmt{x}{+\infty}{ xe^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{Por encima del eje } X \] \[ \milmt{x}{+\infty}{ xe^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{Por encima del eje } X\] Asíntotas oblicuas no tiene: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{xe^{-2x^2}}{x} } = \milmt{x}{+\infty}{ e^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{La asíntota será horizontal, no oblicua.}\] \[ \milmt{x}{-\infty}{ \mfrac{xe^{-2x^2}}{x} } = \milmt{x}{+\infty}{ e^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{La asíntota será horizonatl, no oblicua.}\]
b) Para calcular los extremos y el crecimiento/decrecimiento tenemos que derivar: \[ f'(x) = e^{-2x^2} - 4x^2e^{-2x^2} = (1 - 4x^2)e^{-2x^2} = (1 - 2x)(1 + 2x)e^{-2x^2} \]
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty) \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & - & 0 & + & 0 & - \\[2.5ex] \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & \text{Maximo} & \searrow \\[2.5ex] \end{array} $$ Para los puntos de inflexión debemos calcular la segunda derivada:
\[ f''(x) = -8xe^{-2x^2} + (1 - 4x^2)e^{-2x^2}4x = -8xe^{-2x^2} - 4xe^{2x^2} + 16x^3e^{2x^2} = - 12xe^{2x^2} + 16x^3e^{2x^2} = 4x(4x^2 - 3)e^{-2x^2} \] El punto de inflexión cuando $f''(x) = 0$
\[ f''(x) = 0 \implies 4x(4x^2 - 3)e^{-2x^2} = 0 \implies 4e^{-2x^2}x(2x - \msqrt{3})(2x + \msqrt{3}) = 0 \] Luego $f(x)$ tiene puntos de inflexión en $x = 0$ y en $x = \mfrac{\pm \msqrt{3}}{2}$.
c) Para este apartado vamos a usar que la función $f(x)$ es impar: \[ f(-x) = -xe^{-2(-x)^2} = - xe^{2x^2} = -f(x) \] Una función impar es simétrica respecto del origen o que si giramos $\odn{180}{o}$ la gráfica será la misma.
Veamos el dibujo de la función:
La Rioja PAU (2026) junio Contesta justificadamente los siguientes apartados:
a) \[ \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( \mfrac{x}{\sen x} - 1 \right)}{a^2x^2} } = \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( \mfrac{x}{\sen x} - \mfrac{\sen x}{\sen x} \right)}{a^2x^2} } = \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( x - \sen x \right)}{a^2 (\sen x )x^2} } = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ x - \sen x }{ (\sen x )x^2} } = \zdivz = \] \[ = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ 1 - \cos x }{ 2x \cdot \sen x + x^2(\cos x)} } = \zdivz = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \sen x }{ 2\sen x + 2x\cos x + 2x(\cos x ) - x^2 \sen x } } = \] \[ =\mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \sen x }{ 2\sen x + 4x(\cos x ) - x^2 \sen x } } = \zdivz = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \cos x }{ 2\cos x + 4\cos x - 4x\sen x - 2x\sen x - x^2 \cos x } } = \] \[ \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \cos x }{ 6\cos x - 6x\sen x - x^2 \cos x } } = \mfrac{2}{a^2} \cdot \mfrac{1}{6} = \mfrac{1}{3a^2} \]
b) $f(x) = x^3(x^2 - 2x + 1) + 1 = x^5 - 2x^4 + x^3 + 1 $. Vamos a calcular $f'(x)$: \[ f'(x) = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 \] $f'(x)$ en continua en $[0, 1]$ por ser una función polinómica.
$f'(0) = 0$ y $f'(3/4) = \mfrac{-27}{256}$
Aplicamos el Teorema de Bolzano en el intervalo $\left (0, \mfrac{3}{4} \right) \subset (0, 1)$ exite al menos un punto $c$ en dicho intervalo donde $f'(c) = 0$.
La Rioja PAU (2026) junio CCSS Una empresa tecnológica de nueva creación estima que su beneficio (en cientos de euros) durante los 10 primeros meses, desde su apertura, vendrá dado por la función: $$f(x) = x^3 - 15x^2 + 48x + 120 \quad x \in [0, 10]$$ donde $x$ representa el número de meses transcurridos. Se pide:
b) Vamos a derivar $f(x)$, $f'(x) = 3x^2 - 30x + 48$ y tenemos que resolver la ecuación $f'(x) = 0$: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 30x + 48 = 0 \implies x^2 - 10x + 16 = 0 \implies (x - 2)(x - 8) = 0 \] $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & [0, 2) & 2 & (2, 8) & 8 & (8,10] \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & + & 0 & - & 0 & + \\[2.5ex] \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \\[2.5ex] \end{array} $$ Beneficio máximo $f(2) = 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 + 120 = 8 - 60 + 96 + 120 = 164 \implies 16.400 \text{€}$
Beneficio mínimo $f(8) = 8^3 - 15 \cdot 8^2 + 48 \cdot 8 + 120 = 8 \cdot 8^2 - 15 \cdot 8^2 + 6 \cdot 8^2 + 120 = -64 + 120 = 56 \implies 5.600 \text{€}$
c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{0}{2}{ (3x^2 - 30x + 48) }{dx} = \left [ x^3 - 15x^2 + 48x \right]^2_0 = 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 = 8 - 60 + 96 = 44 u^2 \]
La Rioja PAU (2026) junio CCSS Dada la función $f(x) = \mfrac{x + a}{(x - 1)^2}, \quad \text{(a: número real)}$, se pide:
$Dom f(x) = \R \setminus \{1\}$
Puntos de corte: con el eje $Y$ ya lo tenemos. Con el eje $X$: \[ 0 = \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} \implies 0 = x + 2 \implies x = -2 \] Asíntotas horizontales $y = 0$: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = 0 \qquad \milmt{x}{- \infty}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = 0 \] Asíntotas verticales en $x = 1$: \[ \milmt{x}{1^+}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = +\infty \qquad \milmt{x}{1^-}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = +\infty \] Asíntotas oblicuas no tiene: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{ f(x) }{ x } } = 0 \qquad \milmt{x}{- \infty}{ \mfrac{ f(x) }{ x } } = 0 \]
b) Sea $f(x) = \mfrac{x + 1}{(x - 1)^2}$, vamos a derivar la función para estudiar sus extremos y creciemiento/decrecimiento: \[ f'(x) = \mfrac{(x - 1)^2 - (x + 1)2(x -1)}{(x - 1)^4} = \mfrac{(x - 1) - 2(x + 1)}{(x - 1)^3} = \mfrac{x - 1 - 2x -2 }{(x - 1)^3} = \mfrac{-(x + 3) }{(x - 1)^3} \] $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, 1) & 1 & (1, +\infty) \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & - & 0 & + & \text{No definida} & - \\[2.5ex] \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & - & \searrow \\[2.5ex] \end{array} $$
c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{2}{3}{ f(x) \cdot (x - 1)^3 }{dx} = \mintd{2}{3}{ \mfrac{x + 1}{(x - 1)^2} \cdot (x - 1)^3 }{dx} = \mintd{2}{3}{ (x + 1) \cdot (x - 1) }{dx} = \] \[ = \mintd{2}{3}{ (x^2 - 1) }{dx} = \left [ \mfrac{x^3}{3} - x \right ]^3_2 = 9 - 3 - \left ( \mfrac{8}{3} - 2 \right ) = 6 - \mfrac{2}{3} = \mfrac{16}{3}u^2 \] La función del integrando $h(x) = f(x) \cdot (x-1)^3 = (x + 1)(x - 1)$ es continua y positiva en el intervalo de integración $[2, 3]$, el valor obtenido $\mfrac{16}{3}$ representa el área de la región plana acotada por la gráfica de dicha función, el eje $X$ y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 3$.
La Rioja PAU (2026) junio Halla el área total de la figura limitada por y = x^3, y = 2x e y = x.
Las tres funciones son impares (ya veremos para que sirve esto más adelante). Si hacemos un dibujo de las funciones, se ve que la recta $y = x$ es l bisectriz del $\odn{1}{er}-\odn{3}{er}$ cuadrante, la recta $y = 2x$ va por encima de la recta anterior y luego la curva $y = x^3$ va por debajo de la la bisectriz en el intervalo $[0, 1]$ y entre $[1, \msqrt{2}]$ va entre las dos rectas. Veamos de donde salen estos puntos:
Intersección $y = x$ e $ y =x^3 \implies x = x^3 \implies x = 0, \pm 1$
Intersección $y = 2x$ e $ y =x^3 \implies 2x = x^3 \implies x = 0, \pm \msqrt{2}$
El área la dividimos entre 0 y 1, el área entre $y = 2x$ e $ y =x$; y entre 1 y $\msqrt{2}$, el área enre las funciones $y=2x$ e $y = x^3$: \[A = \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = (*) \] \[ = \mintd{0}{1}{(x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = \] Vamos con la primera integral: \[ \Bigg [ \mfrac{x^2}{2} \Bigg]^1_0 = \mfrac{1}{2} \] Ahora a por la segunda: \[ \Bigg [ x^2 - \mfrac{x^4}{4} \Bigg ]^{\msqrt{2}}_1 = \left (2 - \mfrac{4}{4} \right ) - \left (1 - \mfrac{1}{4} \right ) = 1 - \mfrac{3}{4} = \mfrac{1}{4} \] Juntando las dos integrales nos queda: \[ (*) = \mfrac{1}{2} + \mfrac{1}{4} = \mfrac{3}{4} \] Hemos dicho que las funciones son impares, luego a la izquierda hay un área igual pero en la parte negativa, así el área total es el doble del área calculada: \[ Área Total = 2 \cdot \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = 2 \cdot \mfrac{3}{4} = \mfrac{3}{2} u^2 \]
La Rioja PAU (2026) Sea $f(x) = \mfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$. Determinar todas las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función $f$. Las rectas tangentes horizontales son las paralelas al eje $X$, es decir, las que tienen pendiente cero, que coinciden con los extremos de la función. Si derivamos la función: \[ f'(x) = x^2 - 4x + 3 \] y resolvemos la ecuación $f'(x) = 0$, cuyas soluciones son $x = 1$ y $x = 4$ por las fórmulas de Cardano-Vieta.
Calculamos las ecuaciones de las rectas tangentes en esos valores de $x$:
$\bullet\ $ Para $x = 1$ la ecuación de la recta será $x = f(1) \implies x = \mfrac{7}{3}$
$\bullet\ $ Para $x = 3$ la ecuación de la recta será $x = f(3) \implies x = 1$
La Rioja PAU (2026) Dados $a, b \in \mathbb{R}$, estudia la continuidad de $f$, en función de $a, b$, para todos los puntos de $\mathbb{R}$ de la siguiente función:
\[ f(x) = \begin{cases}
e^{ax+b}, & \text{si } x < 1, \\
e, & \text{si } x = 1, \\
e - ax + 1, & \text{si } x > 1.
\end{cases} \]
Para que sea continua la función $f(x)$ tiene que cumplir que
\[ \milmt{x}{1^-}{ f(x) } = f(1) = \milmt{x}{1^+}{ f(x) } \]
Veamos el límite por la izquierda:
\[ \milmt{x}{1^-}{ f(x) } = \milmt{x}{1^-}{ e^{a + b} } = e \implies a + b = 1\]
Veamos el límite por la derecha:
\[ \milmt{x}{1^+}{ f(x) } = \milmt{x}{1^-}{ e - ax + 1 } = e \implies -a + 1 = 0 \implies a = 1 \]
Como $a = 1$ y tenemos que $a + b = 1 \implies b = 0$. Luego la función $f$ queda de la siguiente forma:
\[ f(x) = \begin{cases}
e^{x}, & \text{si } x < 1, \\
e, & \text{si } x = 1, \\
e - x + 1, & \text{si } x > 1.
\end{cases} \]
La Rioja PAU (2026) julio CCSS II Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en mg/l) viene modelada por la función: $$C(x) = \mfrac{a \cdot x}{x^2 + 4}, \quad x > 0, \quad \text{(a: número real)}$$ siendo «$x$» el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración. Se pide:
- Determina su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas.
- Halla los extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento y, los puntos de inflexión.
- Con la información obtenida en los apartados anteriores representa la curva.
a) $Dom f(x) = \R$ ya que es el producto de un monomio por una exponencial y no hay puntos problemáticos.
Asíntotas verticales no tiene.
ASíntotas horizontales: \[ \milmt{x}{+\infty}{ xe^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{Por encima del eje } X \] \[ \milmt{x}{+\infty}{ xe^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{Por encima del eje } X\] Asíntotas oblicuas no tiene: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{xe^{-2x^2}}{x} } = \milmt{x}{+\infty}{ e^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{La asíntota será horizontal, no oblicua.}\] \[ \milmt{x}{-\infty}{ \mfrac{xe^{-2x^2}}{x} } = \milmt{x}{+\infty}{ e^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{La asíntota será horizonatl, no oblicua.}\]
b) Para calcular los extremos y el crecimiento/decrecimiento tenemos que derivar: \[ f'(x) = e^{-2x^2} - 4x^2e^{-2x^2} = (1 - 4x^2)e^{-2x^2} = (1 - 2x)(1 + 2x)e^{-2x^2} \]
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty) \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & - & 0 & + & 0 & - \\[2.5ex] \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & \text{Maximo} & \searrow \\[2.5ex] \end{array} $$ Para los puntos de inflexión debemos calcular la segunda derivada:
\[ f''(x) = -8xe^{-2x^2} + (1 - 4x^2)e^{-2x^2}4x = -8xe^{-2x^2} - 4xe^{2x^2} + 16x^3e^{2x^2} = - 12xe^{2x^2} + 16x^3e^{2x^2} = 4x(4x^2 - 3)e^{-2x^2} \] El punto de inflexión cuando $f''(x) = 0$
\[ f''(x) = 0 \implies 4x(4x^2 - 3)e^{-2x^2} = 0 \implies 4e^{-2x^2}x(2x - \msqrt{3})(2x + \msqrt{3}) = 0 \] Luego $f(x)$ tiene puntos de inflexión en $x = 0$ y en $x = \mfrac{\pm \msqrt{3}}{2}$.
c) Para este apartado vamos a usar que la función $f(x)$ es impar: \[ f(-x) = -xe^{-2(-x)^2} = - xe^{2x^2} = -f(x) \] Una función impar es simétrica respecto del origen o que si giramos $\odn{180}{o}$ la gráfica será la misma.
Veamos el dibujo de la función:
La Rioja PAU (2026) junio Contesta justificadamente los siguientes apartados:
- Calcula el siguiente límite: $$\lim_{x \to 0} \mfrac{2 \left( \mfrac{x}{\sen x} - 1 \right)}{a^2x^2}, \quad a \neq 0.$$
- Sea la función $f(x) = x^3(x-1)^2 + 1$. Demuestra que la ecuación $f'(x) = 0$ tiene alguna solución en $(0, 1)$.
a) \[ \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( \mfrac{x}{\sen x} - 1 \right)}{a^2x^2} } = \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( \mfrac{x}{\sen x} - \mfrac{\sen x}{\sen x} \right)}{a^2x^2} } = \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( x - \sen x \right)}{a^2 (\sen x )x^2} } = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ x - \sen x }{ (\sen x )x^2} } = \zdivz = \] \[ = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ 1 - \cos x }{ 2x \cdot \sen x + x^2(\cos x)} } = \zdivz = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \sen x }{ 2\sen x + 2x\cos x + 2x(\cos x ) - x^2 \sen x } } = \] \[ =\mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \sen x }{ 2\sen x + 4x(\cos x ) - x^2 \sen x } } = \zdivz = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \cos x }{ 2\cos x + 4\cos x - 4x\sen x - 2x\sen x - x^2 \cos x } } = \] \[ \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \cos x }{ 6\cos x - 6x\sen x - x^2 \cos x } } = \mfrac{2}{a^2} \cdot \mfrac{1}{6} = \mfrac{1}{3a^2} \]
b) $f(x) = x^3(x^2 - 2x + 1) + 1 = x^5 - 2x^4 + x^3 + 1 $. Vamos a calcular $f'(x)$: \[ f'(x) = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 \] $f'(x)$ en continua en $[0, 1]$ por ser una función polinómica.
$f'(0) = 0$ y $f'(3/4) = \mfrac{-27}{256}$
Aplicamos el Teorema de Bolzano en el intervalo $\left (0, \mfrac{3}{4} \right) \subset (0, 1)$ exite al menos un punto $c$ en dicho intervalo donde $f'(c) = 0$.
La Rioja PAU (2026) junio CCSS Una empresa tecnológica de nueva creación estima que su beneficio (en cientos de euros) durante los 10 primeros meses, desde su apertura, vendrá dado por la función: $$f(x) = x^3 - 15x^2 + 48x + 120 \quad x \in [0, 10]$$ donde $x$ representa el número de meses transcurridos. Se pide:
- Calcula el beneficio de la empresa a los 3 meses de su apertura.
- Calcula los extremos relativos de $f$. En este período de 10 meses, es decir en el intervalo [0, 10], calcula cuál será el beneficio máximo y cuál será el mínimo; determina cuándo se alcanzarán.
- Considera la función $g(x) = f'(x)$; calcula el área limitada por la gráfica de $g$, el eje $X$, la recta $x = 0$ y la recta $x = 2$.
b) Vamos a derivar $f(x)$, $f'(x) = 3x^2 - 30x + 48$ y tenemos que resolver la ecuación $f'(x) = 0$: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 30x + 48 = 0 \implies x^2 - 10x + 16 = 0 \implies (x - 2)(x - 8) = 0 \] $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & [0, 2) & 2 & (2, 8) & 8 & (8,10] \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & + & 0 & - & 0 & + \\[2.5ex] \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \\[2.5ex] \end{array} $$ Beneficio máximo $f(2) = 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 + 120 = 8 - 60 + 96 + 120 = 164 \implies 16.400 \text{€}$
Beneficio mínimo $f(8) = 8^3 - 15 \cdot 8^2 + 48 \cdot 8 + 120 = 8 \cdot 8^2 - 15 \cdot 8^2 + 6 \cdot 8^2 + 120 = -64 + 120 = 56 \implies 5.600 \text{€}$
c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{0}{2}{ (3x^2 - 30x + 48) }{dx} = \left [ x^3 - 15x^2 + 48x \right]^2_0 = 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 = 8 - 60 + 96 = 44 u^2 \]
La Rioja PAU (2026) junio CCSS Dada la función $f(x) = \mfrac{x + a}{(x - 1)^2}, \quad \text{(a: número real)}$, se pide:
- Halla el valor de «$a$» para que la gráfica de $f$ pase por el punto (0, 2). Para dicho valor de «$a$», calcula el dominio de $f$, las asíntotas y los puntos de corte de dicha gráfica con los ejes coordenados.
- Para $a = 1$: Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como los extremos relativos.
- Para $a = 1$: Calcula la integral definida $\mintd{2}{3}{ f(x)(x - 1)^3}{dx}$ e interpreta geométricamente el resultado obtenido.
$Dom f(x) = \R \setminus \{1\}$
Puntos de corte: con el eje $Y$ ya lo tenemos. Con el eje $X$: \[ 0 = \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} \implies 0 = x + 2 \implies x = -2 \] Asíntotas horizontales $y = 0$: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = 0 \qquad \milmt{x}{- \infty}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = 0 \] Asíntotas verticales en $x = 1$: \[ \milmt{x}{1^+}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = +\infty \qquad \milmt{x}{1^-}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = +\infty \] Asíntotas oblicuas no tiene: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{ f(x) }{ x } } = 0 \qquad \milmt{x}{- \infty}{ \mfrac{ f(x) }{ x } } = 0 \]
b) Sea $f(x) = \mfrac{x + 1}{(x - 1)^2}$, vamos a derivar la función para estudiar sus extremos y creciemiento/decrecimiento: \[ f'(x) = \mfrac{(x - 1)^2 - (x + 1)2(x -1)}{(x - 1)^4} = \mfrac{(x - 1) - 2(x + 1)}{(x - 1)^3} = \mfrac{x - 1 - 2x -2 }{(x - 1)^3} = \mfrac{-(x + 3) }{(x - 1)^3} \] $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, 1) & 1 & (1, +\infty) \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & - & 0 & + & \text{No definida} & - \\[2.5ex] \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & - & \searrow \\[2.5ex] \end{array} $$
c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{2}{3}{ f(x) \cdot (x - 1)^3 }{dx} = \mintd{2}{3}{ \mfrac{x + 1}{(x - 1)^2} \cdot (x - 1)^3 }{dx} = \mintd{2}{3}{ (x + 1) \cdot (x - 1) }{dx} = \] \[ = \mintd{2}{3}{ (x^2 - 1) }{dx} = \left [ \mfrac{x^3}{3} - x \right ]^3_2 = 9 - 3 - \left ( \mfrac{8}{3} - 2 \right ) = 6 - \mfrac{2}{3} = \mfrac{16}{3}u^2 \] La función del integrando $h(x) = f(x) \cdot (x-1)^3 = (x + 1)(x - 1)$ es continua y positiva en el intervalo de integración $[2, 3]$, el valor obtenido $\mfrac{16}{3}$ representa el área de la región plana acotada por la gráfica de dicha función, el eje $X$ y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 3$.
La Rioja PAU (2026) junio Halla el área total de la figura limitada por y = x^3, y = 2x e y = x.
Las tres funciones son impares (ya veremos para que sirve esto más adelante). Si hacemos un dibujo de las funciones, se ve que la recta $y = x$ es l bisectriz del $\odn{1}{er}-\odn{3}{er}$ cuadrante, la recta $y = 2x$ va por encima de la recta anterior y luego la curva $y = x^3$ va por debajo de la la bisectriz en el intervalo $[0, 1]$ y entre $[1, \msqrt{2}]$ va entre las dos rectas. Veamos de donde salen estos puntos:
Intersección $y = x$ e $ y =x^3 \implies x = x^3 \implies x = 0, \pm 1$
Intersección $y = 2x$ e $ y =x^3 \implies 2x = x^3 \implies x = 0, \pm \msqrt{2}$
El área la dividimos entre 0 y 1, el área entre $y = 2x$ e $ y =x$; y entre 1 y $\msqrt{2}$, el área enre las funciones $y=2x$ e $y = x^3$: \[A = \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = (*) \] \[ = \mintd{0}{1}{(x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = \] Vamos con la primera integral: \[ \Bigg [ \mfrac{x^2}{2} \Bigg]^1_0 = \mfrac{1}{2} \] Ahora a por la segunda: \[ \Bigg [ x^2 - \mfrac{x^4}{4} \Bigg ]^{\msqrt{2}}_1 = \left (2 - \mfrac{4}{4} \right ) - \left (1 - \mfrac{1}{4} \right ) = 1 - \mfrac{3}{4} = \mfrac{1}{4} \] Juntando las dos integrales nos queda: \[ (*) = \mfrac{1}{2} + \mfrac{1}{4} = \mfrac{3}{4} \] Hemos dicho que las funciones son impares, luego a la izquierda hay un área igual pero en la parte negativa, así el área total es el doble del área calculada: \[ Área Total = 2 \cdot \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = 2 \cdot \mfrac{3}{4} = \mfrac{3}{2} u^2 \]
La Rioja PAU (2026) Sea $f(x) = \mfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$. Determinar todas las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función $f$. Las rectas tangentes horizontales son las paralelas al eje $X$, es decir, las que tienen pendiente cero, que coinciden con los extremos de la función. Si derivamos la función: \[ f'(x) = x^2 - 4x + 3 \] y resolvemos la ecuación $f'(x) = 0$, cuyas soluciones son $x = 1$ y $x = 4$ por las fórmulas de Cardano-Vieta.
Calculamos las ecuaciones de las rectas tangentes en esos valores de $x$:
$\bullet\ $ Para $x = 1$ la ecuación de la recta será $x = f(1) \implies x = \mfrac{7}{3}$
$\bullet\ $ Para $x = 3$ la ecuación de la recta será $x = f(3) \implies x = 1$
La Rioja PAU (2026) julio CCSS II Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en mg/l) viene modelada por la función: $$C(x) = \mfrac{a \cdot x}{x^2 + 4}, \quad x > 0, \quad \text{(a: número real)}$$ siendo «$x$» el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración. Se pide:
- Calcula el valor de «$a$» sabiendo que la concentración de la sustancia en sangre transcurridas 4 horas es de $0,20 mg/l$. Calcula $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} C(x)$ e interpreta el resultado sabiendo lo que representan $x$ y $C(x)$.
- Para $a = 1$: Calcula los intervalos de tiempo en los que la concentración aumenta y aquellos en los que disminuye. Estudia si la función posee o no algún extremo relativo, y en caso afirmativo, razona si se trata de un máximo o de un mínimo.
- Calcula el valor de «$a$» para que se verifique la igualdad: $$\displaystyle \int_{1}^{2} (x^2 + 4) C(x) \, dx = 6.$$
- Calcula los valores de «$a$» y «$b$» sabiendo que la gráfica de $f$ pasa por el punto $P = (1, 3)$ y que la recta tangente a esta curva en $P$ es paralela a la recta de ecuación $y = -5x + 2$.
- Para b = 4, calcula el valor de «$a$» para que la función posea un extremo relativo en $x = 2$. Para este valor de «$a$», indica si en $x = 2$ la función alcanza un máximo o un mínimo relativo.
- Para a = 2, calcula el valor de «$b$» para que se verifique la igualdad: $$ \mintd{1}{3}{ x^4 f(x) }{dx} = 12 $$
-
a) $ C(4) = 0,2 \implies \mfrac{a \cdot 4}{4^2 + 4} = 0,2 \implies 4a = 0,2 \cdot 20 \implies 4a = 4 \implies a = 1 $
\[ \milmt{x}{+\infty}{C(x)} = 0 \] Quiere decir que con el tiempo el la concentración en sangre de la sustancia desaparece.
b) Tenemos que derivar $C(x)$. \[ C'(x) = \mfrac{x^2 + 4 - x(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{x^2 + 4 - 2x^2}{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{4 - x^2 }{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{(2 - x)(2 + x)}{(x^2 + 4)^2} \] $x$ significa el tiempo, es decir $x > 0$. Estudiando el signo de la derivada, vemos que en $(0, 2)$ la función $C(x)$ crece y en $(2, +\infty)$ decrece, así en $x = 2$ la función tiene un máximo, ya que pasa de creciente a decreciente y su valor es $C(2) = \mfrac{2}{2^2 + 4} = \mfrac{2}{8} = \mfrac{1}{4} $
c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{1}{2}{ (x^2 + 4) \cdot C(x) }{dx} = 6 \implies \mintd{1}{2}{ (x^2 + 4) \cdot \mfrac{ax}{x^2 + 4} }{dx} = 6 \implies \] \[ \implies \mintd{1}{2}{ \cancel{(x^2 + 4)} \cdot \mfrac{ax}{ \cancel{(x^2 + 4)} } }{dx} = 6 \implies \mintd{1}{2}{ ax }{dx} = 6 \implies \] \[ \implies a \cdot \left [ \mfrac{x^2}{2} \right]^2_1 = 6 \implies a \cdot \left (2 - \mfrac{1}{2} \right ) = 6 \implies a \cdot \mfrac{3}{2} = 6 \implies 3 \cdot a = 12 \implies a = 4 \]
La Rioja PAU (2026) julio CCSS II Dada la función $f(x) = \mfrac{ax^2 + b}{x^3}$ ($a, b$: números reales), se pide:
-
a) $f(1) = 3 \implies a + b = 3$ y $f'(1) = 5 \implies $. Vamos a calcular la derivada de $f(x)$:
\[ f'(x) = \mfrac{ 2ax \cdot x^3 - 3x^2(ax^2 + b) }{ (x^3)^2 } = \mfrac{ 2ax^4 - 3ax^4 - 3bx^2 }{ (x^3)^2 } = \]
\[ = \mfrac{ -ax^4 - 3bx^2 }{ (x^3)^2 } = \mfrac{ -x^2(ax^2 + 3b) }{ x^6 } = \mfrac{ -(ax^2 + 3b) }{ x^4 } \]
Ahora imponemos $f'(1) = -5 \implies -a - 3b = - 5 \implies a + 3b = 5 $
Junytamos las dos condiciones y tenemos un sistemas: \[ \begin{cases} a + b = 3 \\ a + 3b = 5 \end{cases} \] A la primera ecuación le restamos la segunda: $-2b = -2 \implies b = 1 \implies a = 3 -b = 3 - 1 = 2$
b) $f(x) = \mfrac{ax^2 + 4}{x^3}$ Se tiene que anular la derivada en $x = 2$: \[ f'(x) = \mfrac{ -(ax^2 + 12) }{ x^4 } \] \[ f'(2) = 0 \implies \mfrac{ - 12 - 4a }{ 16 } = 0 \implies - 12 - 4a = 0 \implies a = -3 \] Entonces $f(x) = \mfrac{-3x^2 + 4}{x^3}$ y $f'(x) = \mfrac{ 3(x^2 - 4) }{x^4} = \mfrac{ 3(x - 2)(x + 2) }{x^4} $
A la izquierda de 2 la derivada es negativa, decrece, y a la derecha del 2 la función es positiva, crece, luego la función tiene en $x = 2$ es un mínimo. $f(2) = \mfrac{-3 \cdot 2^2 + 4}{2^3} = \mfrac{-8}{8} = -1$
c) Ahora $f(x) = \mfrac{2x^2 + b}{x^3}$ y nos piden que calculemos $b$ de forma que: \[ \mintd{1}{3}{ x^4 \cdot \mfrac{2x^2 + b}{x^3} }{dx} = 12 \implies\mintd{1}{3}{ 2x^3 + bx }{dx} = 12 \implies \] \[ \implies \left [ \mfrac{x^4}{2} + b \cdot \mfrac{x^2}{2}\right ]^3_1 = 12 \implies \mfrac{81}{2} + \mfrac{9b}{2} - \mfrac{1}{2} - \mfrac{b}{2} = 12 \implies \] \[ \implies \mfrac{80}{2} + \mfrac{8b}{2} = 12 \implies 40 + 4b = 12 \implies 4b = -28 \implies b = -7 \]
Álgebra. PAU.
PAU Larioja 2026 (junio) En una tienda de comida para llevar, el producto más vendido se elabora con tres variantes: $A, B$ y $C$. Cada variante se vende en dos tamaños: pequeño y grande. Cada día se elaboran las cantidades de cada variante que aparecen en la siguiente tabla:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& A & B & C \\[2.5ex] \hline
\text{pequeño} & 100 & 50 & 100 \\[2.5ex] \hline
\text{grande} & 160 & 150 & 100 \\[2.5ex] \hline
\end{array}
$$
De la variante $A$ venden en tienda el 50%, de la variante $B$ el 60% y de la variante $C$ el 40%. El resto se reparte a domicilio.
Se pide la matriz que expresa el número de productos según el tamaño (filas) y la variante (columnas). Esta matriz es la mismaque la tabla proporcionada en el enunciado. Llamaremos a esta matriz $P$ (de dimensión $2 \times 3$): \[ \begin{pmatrix} 100 & 50 & 100 \\ 160 & 150 & 100 \end{pmatrix} \]
b) Ahora nos piden una matriz que exprese los porcentajes de venta según la variante (filas) y el tipo de venta (columnas: tienda o domicilio). Vamos a expresar los porcentajes en formato decimal.
Variante A: 50% tienda (0.5), el resto a domicilio es 100% - 50% = 50% (0.5).
Variante B: 60% tienda (0.6), el resto a domicilio es 100% - 60% = 40% (0.4).
Variante C: 40% tienda (0.4), el resto a domicilio es 100% - 40% = 60% (0.6).
Llamaremos a esta matriz $P$ (de dimensión $3 \times 2$): $$P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}$$
c) Para calcular el número de productos según tamaño y tipo de venta, debemos multiplicar la matriz de producción ($M$) por la matriz de distribución porcentual ($P$). Al multiplicar una matriz de $2 \times 3$ por una de $3 \times 2$, el resultado será una matriz de $2 \times 2$ (Tamaño $\times$ Tipo de venta). $$ C = M \cdot P = \begin{pmatrix} 100 & 50 & 100 \\ 160 & 150 & 100 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix} $$ Realizamos los cálculos multiplicando filas por columnas:
Por lo tanto, la matriz final resultante es: $$C = \begin{pmatrix} 120 & 130 \\ 210 & 200 \end{pmatrix}$$ Interpretación del resultado: 120 productos pequeños se venden en tienda, 130 productos pequeños se reparten a domicilio, 210 productos grandes se venden en tienda y 200 productos grandes se reparten a domicilio.
PAU Larioja 2026 (junio) CCSS Una pareja compra en una tienda especializada tres electrodomésticos: A, B у C, pagando por ellos un total de 1000 euros. Lo que les ha costado A representa el 40% de lo gastado en C; y, además, la suma total del dinero gastado en la compra de B y de C cuadruplica el pagado por A. Calcula cuánto le ha costado a esta pareja cada uno de los tres electrodomésticos.
$x = $ Importe electrodoméstico A; $y = $ Importe electrodoméstico B; $z = $ Importe electrodoméstico C; Vamos a plantear las ecuaciones: $x + y + z = 1000 $
$x = 0,4z$
$y + z = 4x $
Que forman el sistema que vamos a resolver: \[ \begin{cases} x + y + z = 1000 \\ x = 0,4z \\ y + z = 4x \end{cases}\] Se puede resolver matricialmente, pero en este caso no merece la pena. De la tercera ecuación, usando la segunda, sacamos una relación entre $x$ e $y$: \[ y = 4x - z = 1,6z - z = 0,6z \] Sustituimos en la primera ecuación: \[ x + y + z = 1000 \implies 0,4z + 0,6z + z = 1000 \implies 2z = 1000 \implies z = 500 \text{€}\] Ahora despejamos $x$ e $y$:
$x = 0,4z = 0,4 \cdot 500 = 200 \text{€}$
$y = 0,6z = 0,6 \cdot 500 = 300 \text{€}$
PAU Larioja 2026 (junio) CCSS Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix}$, $a, b$: números reales, se pide:
$4 + 2a = 4 \implies 2a = 0 \implies a = 0$ y por otro lado $5 + 2b = 13 \implies 2b = 8 \implies b = 4$.
b) Vamos a calcular $X$, $A$ es inversible ya que $|A| = 1$ luego $X = A^{-4}$, vamos a calcular $A^{-1}$, después $A^{-2}$ y por último $A^{-4}$: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad A^{-2} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ A^{-4} = A^{-2} \cdot A^{-2} = \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ X = \begin{pmatrix} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
PAU Larioja 2026 (julio) Dos productos A y B compiten en el mercado. Sus demandas $x_a$ y $x_b$ están relacionadas con sus precios, $p_a$ y $p_b$, por las siguientes ecuaciones de demanda: $$x_a = 17 - 2p_a + \mfrac{1}{2}p_b, \qquad x_b = 20 - 3p_b + \mfrac{1}{2}p_a.$$ Las ecuaciones de oferta son: $$p_a = 2 + x_a + \mfrac{1}{3}x_b, \qquad p_b = 2 + \frac{1}{2}x_b + \mfrac{1}{4}x_a,$$ que dan los precios a los cuales las cantidades $x_a$ e $x_b$ estarán disponibles en el mercado. Calcula los valores de equilibrio de $x_a, x_b, p_a$ y $p_b$ que resuelven el sistema planteado: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_a \\ x_b \\ p_a \\ p_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ Vamos a resolver el problema: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr -1 & -1/3 & 1 & 0 & 2 \cr -1/4 & -1/2 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \] Vamos a hacer ceros por debajo de la diagonal: Primer paso, a la $\odn{3}{a}$ fila le suma la $\odn{1}{a}$ y a la $\odn{4}{a}$ fila le sumo la $\odn{1}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{4}$: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & -1/3 & 3 & -1/2 & 19 \cr 0 & -1/2 & 1/2 & 7/8 & 25/4 \end{array} \right) \] Segundo paso, a la $\odn{3}{a}$ fila le suma la $\odn{2}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{3}$ (el resultado final lo multiplicamos por 6) y a la $\odn{4}{a}$ fila le sumo la $\odn{2}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{2}$ (el resultaod final lo multiplicamos por 4): \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 17 & 3 & 154 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \end{array} \right) \] Tercer paso. permutamos la $\odn{3}{a}$ y la $\odn{4}{a}$: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \cr 0 & 0 & 17 & 3 & 154 \end{array} \right) \] Cuarto paso, a la $\odn{4}{a}$ fila le suma la $\odn{4}{a}$ multiplicada por $-17$ (el resultado final lo multiplicamos por 3): \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \cr 0 & 0 & 0 & 317/2 & 951 \end{array} \right) \] Ahora despejamos el sistema de abajo hacia arriba, empezmos por $p_b$: \[ \mfrac{317}{2} p_b = 951 \implies 317 p_b = 1902 \implies p_b = 6 \] Ahora $p_a$: \[ p_a + \mfrac{19}{2} \cdot p_b = 65 \implies p_a = 65 - \mfrac{19}{2} \cdot 6 = 65 - 57 = 8 \] Ahora $x_b$: \[ x_b - \mfrac{1}{2} \cdot p_a + 3 \cdot p_b = 20 \implies x_b = 20 + \mfrac{1}{2} \cdot 8 - 3 \cdot 6 = 20 + 4 - 18 = 6 \] Ahora $x_a$: \[ x_a + 2 \cdot p_a - \mfrac{1}{2} \cdot p_b = 17 \implies x_a = 17 - 2 \cdot 8 + \mfrac{1}{2} \cdot 6 = 17 - 16 + 3 = 4 \] Vamos a comprobar la solución: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 16 - 3 \\ 6 - 4 + 18 \\ -4 - 2 + 8 \\ -1 - 3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ PAU La Rioja 2026 (julio) Dada la matriz $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},$$ calcula $A = I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t$ y comprueba que es idempotente, es decir, que $A^2 = A$. Primero vamos a calcular la traspuesta de $X$: \[ X^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] Ahora hacemos el producto de matrices $X^t \cdot X$, ordenes de las matrices $(2 \times 4) \cdot (4 \times 2) = (2 \times 2)$: \[ X^t \cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 7 & 15 \end{pmatrix} \] El resultado es una matriz inversible (|X^t \cdot X| = 11 \neq 0) y se calcula muy fácilmente: \[ (X^t \cdot X)^{-1} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \] Vamos a ir calculando $A$ poco a poco, ahora multiplicamos $X \cdot (X^t \cdot X)^{-1}$: \[ X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 1 & 1 \\ 8 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} \] Ahora hacemos $X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} \cdot X^t$: \[ X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} \cdot X^t = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 1 & 1 \\ 8 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} \] Ahora el paso final: \[ A = I_4 - \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -2 & -5 & 1 \\ -2 & 8 & -2 & -4 \\ -5 & -2 & 6 & 1 \\ 1 & -4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Ahora veamos que $A^2 = A$ de una forma sencilla: \[ A^2 = (I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t)^2 = I_4^2 - 2 \cdot I_4 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + (X(X^t X)^{-1} X^t)^2 = \] \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} X^t \cdot X(X^t X)^{-1} X^t = \] \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} \textcolor{blue}{ X^t \cdot X (X^t X)^{-1} } X^t = \] el texto en azul es la identidad de orden 2: \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} \textcolor{blue}{ I_2 } X^t = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} X^t = \] \[ = I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t = A \]
PAU Larioja 2026 (julio) CCSS Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}, a$ número real. Se pide:
Vamos a calcular $M^{21}$ con $a = 0$: \[ M^{21} = M^{20} \cdot M = (M^2)^{10} \cdot M = I_2 \cdot M = \cdot M \]
b) Ahora $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ y queremos resolver esta acuación $M \cdot X + M^T = 2I$: \[ M \cdot X + M^T = 2I_2 \implies M \cdot X = 2I - M^T \implies X = M^{-1} \cdot (2I_2 - M^T) \] La traspuesta de $M$ es $M^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = M $
Y la inversa de $M$ es $M^{-1} = \mfrac{-1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $
Juntándolo todo tenemos: \[ X = M^{-1} \cdot (2I_2 - M^T) = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left [ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right ] = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \] \[ = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \]
PAU Larioja 2026 (julio) CCSS Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$, se pide:
b) Vamos a calcular $X, X \cdot A = B^T + I_3 \implies X = (B^T + I_3) \cdot A^{-1}$ para ello necesitamos la inversa de $A$ y la $B^T$. Para calcular $A^{-1}$ usaremos el apartado anterior, ya que $A^{-1} = A$.
$B^T = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ Hacemos las cuentas: \[ X = (B^T + I_3) \cdot A^{-1} = \left [ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right ] \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 3 \\ 5 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
- Escribe la matriz que expresa el número de productos según el tamaño y la variante. \[ \begin{pmatrix} 100 & 50 & 100 \\ 160 & 150 & 100 \end{pmatrix} \]
- Escribe la matriz que expresa el número de productos y los porcentajes según la variante y el tipo de venta.
- Calcula la matriz que expresa el número de productos según tamaño y tipo de venta.
Se pide la matriz que expresa el número de productos según el tamaño (filas) y la variante (columnas). Esta matriz es la mismaque la tabla proporcionada en el enunciado. Llamaremos a esta matriz $P$ (de dimensión $2 \times 3$): \[ \begin{pmatrix} 100 & 50 & 100 \\ 160 & 150 & 100 \end{pmatrix} \]
b) Ahora nos piden una matriz que exprese los porcentajes de venta según la variante (filas) y el tipo de venta (columnas: tienda o domicilio). Vamos a expresar los porcentajes en formato decimal.
Variante A: 50% tienda (0.5), el resto a domicilio es 100% - 50% = 50% (0.5).
Variante B: 60% tienda (0.6), el resto a domicilio es 100% - 60% = 40% (0.4).
Variante C: 40% tienda (0.4), el resto a domicilio es 100% - 40% = 60% (0.6).
Llamaremos a esta matriz $P$ (de dimensión $3 \times 2$): $$P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}$$
c) Para calcular el número de productos según tamaño y tipo de venta, debemos multiplicar la matriz de producción ($M$) por la matriz de distribución porcentual ($P$). Al multiplicar una matriz de $2 \times 3$ por una de $3 \times 2$, el resultado será una matriz de $2 \times 2$ (Tamaño $\times$ Tipo de venta). $$ C = M \cdot P = \begin{pmatrix} 100 & 50 & 100 \\ 160 & 150 & 100 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix} $$ Realizamos los cálculos multiplicando filas por columnas:
Por lo tanto, la matriz final resultante es: $$C = \begin{pmatrix} 120 & 130 \\ 210 & 200 \end{pmatrix}$$ Interpretación del resultado: 120 productos pequeños se venden en tienda, 130 productos pequeños se reparten a domicilio, 210 productos grandes se venden en tienda y 200 productos grandes se reparten a domicilio.
PAU Larioja 2026 (junio) CCSS Una pareja compra en una tienda especializada tres electrodomésticos: A, B у C, pagando por ellos un total de 1000 euros. Lo que les ha costado A representa el 40% de lo gastado en C; y, además, la suma total del dinero gastado en la compra de B y de C cuadruplica el pagado por A. Calcula cuánto le ha costado a esta pareja cada uno de los tres electrodomésticos.
$x = $ Importe electrodoméstico A; $y = $ Importe electrodoméstico B; $z = $ Importe electrodoméstico C; Vamos a plantear las ecuaciones: $x + y + z = 1000 $
$x = 0,4z$
$y + z = 4x $
Que forman el sistema que vamos a resolver: \[ \begin{cases} x + y + z = 1000 \\ x = 0,4z \\ y + z = 4x \end{cases}\] Se puede resolver matricialmente, pero en este caso no merece la pena. De la tercera ecuación, usando la segunda, sacamos una relación entre $x$ e $y$: \[ y = 4x - z = 1,6z - z = 0,6z \] Sustituimos en la primera ecuación: \[ x + y + z = 1000 \implies 0,4z + 0,6z + z = 1000 \implies 2z = 1000 \implies z = 500 \text{€}\] Ahora despejamos $x$ e $y$:
$x = 0,4z = 0,4 \cdot 500 = 200 \text{€}$
$y = 0,6z = 0,6 \cdot 500 = 300 \text{€}$
PAU Larioja 2026 (junio) CCSS Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix}$, $a, b$: números reales, se pide:
- Calcula los valores de «$a$» y «$b$» para que se verifique la igualdad: $A \cdot B = B \cdot A$.
- Calcula una matriz $X$ que cumpla la igualdad: $X \cdot A^4 = I_2$. (I_2 representa la matriz identidad de orden 2)
$4 + 2a = 4 \implies 2a = 0 \implies a = 0$ y por otro lado $5 + 2b = 13 \implies 2b = 8 \implies b = 4$.
b) Vamos a calcular $X$, $A$ es inversible ya que $|A| = 1$ luego $X = A^{-4}$, vamos a calcular $A^{-1}$, después $A^{-2}$ y por último $A^{-4}$: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad A^{-2} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ A^{-4} = A^{-2} \cdot A^{-2} = \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ X = \begin{pmatrix} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
PAU Larioja 2026 (julio) Dos productos A y B compiten en el mercado. Sus demandas $x_a$ y $x_b$ están relacionadas con sus precios, $p_a$ y $p_b$, por las siguientes ecuaciones de demanda: $$x_a = 17 - 2p_a + \mfrac{1}{2}p_b, \qquad x_b = 20 - 3p_b + \mfrac{1}{2}p_a.$$ Las ecuaciones de oferta son: $$p_a = 2 + x_a + \mfrac{1}{3}x_b, \qquad p_b = 2 + \frac{1}{2}x_b + \mfrac{1}{4}x_a,$$ que dan los precios a los cuales las cantidades $x_a$ e $x_b$ estarán disponibles en el mercado. Calcula los valores de equilibrio de $x_a, x_b, p_a$ y $p_b$ que resuelven el sistema planteado: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_a \\ x_b \\ p_a \\ p_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ Vamos a resolver el problema: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr -1 & -1/3 & 1 & 0 & 2 \cr -1/4 & -1/2 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \] Vamos a hacer ceros por debajo de la diagonal: Primer paso, a la $\odn{3}{a}$ fila le suma la $\odn{1}{a}$ y a la $\odn{4}{a}$ fila le sumo la $\odn{1}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{4}$: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & -1/3 & 3 & -1/2 & 19 \cr 0 & -1/2 & 1/2 & 7/8 & 25/4 \end{array} \right) \] Segundo paso, a la $\odn{3}{a}$ fila le suma la $\odn{2}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{3}$ (el resultado final lo multiplicamos por 6) y a la $\odn{4}{a}$ fila le sumo la $\odn{2}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{2}$ (el resultaod final lo multiplicamos por 4): \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 17 & 3 & 154 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \end{array} \right) \] Tercer paso. permutamos la $\odn{3}{a}$ y la $\odn{4}{a}$: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \cr 0 & 0 & 17 & 3 & 154 \end{array} \right) \] Cuarto paso, a la $\odn{4}{a}$ fila le suma la $\odn{4}{a}$ multiplicada por $-17$ (el resultado final lo multiplicamos por 3): \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \cr 0 & 0 & 0 & 317/2 & 951 \end{array} \right) \] Ahora despejamos el sistema de abajo hacia arriba, empezmos por $p_b$: \[ \mfrac{317}{2} p_b = 951 \implies 317 p_b = 1902 \implies p_b = 6 \] Ahora $p_a$: \[ p_a + \mfrac{19}{2} \cdot p_b = 65 \implies p_a = 65 - \mfrac{19}{2} \cdot 6 = 65 - 57 = 8 \] Ahora $x_b$: \[ x_b - \mfrac{1}{2} \cdot p_a + 3 \cdot p_b = 20 \implies x_b = 20 + \mfrac{1}{2} \cdot 8 - 3 \cdot 6 = 20 + 4 - 18 = 6 \] Ahora $x_a$: \[ x_a + 2 \cdot p_a - \mfrac{1}{2} \cdot p_b = 17 \implies x_a = 17 - 2 \cdot 8 + \mfrac{1}{2} \cdot 6 = 17 - 16 + 3 = 4 \] Vamos a comprobar la solución: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 16 - 3 \\ 6 - 4 + 18 \\ -4 - 2 + 8 \\ -1 - 3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ PAU La Rioja 2026 (julio) Dada la matriz $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},$$ calcula $A = I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t$ y comprueba que es idempotente, es decir, que $A^2 = A$. Primero vamos a calcular la traspuesta de $X$: \[ X^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] Ahora hacemos el producto de matrices $X^t \cdot X$, ordenes de las matrices $(2 \times 4) \cdot (4 \times 2) = (2 \times 2)$: \[ X^t \cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 7 & 15 \end{pmatrix} \] El resultado es una matriz inversible (|X^t \cdot X| = 11 \neq 0) y se calcula muy fácilmente: \[ (X^t \cdot X)^{-1} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \] Vamos a ir calculando $A$ poco a poco, ahora multiplicamos $X \cdot (X^t \cdot X)^{-1}$: \[ X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 1 & 1 \\ 8 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} \] Ahora hacemos $X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} \cdot X^t$: \[ X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} \cdot X^t = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 1 & 1 \\ 8 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} \] Ahora el paso final: \[ A = I_4 - \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -2 & -5 & 1 \\ -2 & 8 & -2 & -4 \\ -5 & -2 & 6 & 1 \\ 1 & -4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Ahora veamos que $A^2 = A$ de una forma sencilla: \[ A^2 = (I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t)^2 = I_4^2 - 2 \cdot I_4 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + (X(X^t X)^{-1} X^t)^2 = \] \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} X^t \cdot X(X^t X)^{-1} X^t = \] \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} \textcolor{blue}{ X^t \cdot X (X^t X)^{-1} } X^t = \] el texto en azul es la identidad de orden 2: \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} \textcolor{blue}{ I_2 } X^t = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} X^t = \] \[ = I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t = A \]
PAU Larioja 2026 (julio) CCSS Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}, a$ número real. Se pide:
- Calcula el valor de «$a$» para que se cumpla: $M^2 = I$. Para ese valor de «$a$», calcula la matriz inversa de $M$ y halla $M^{21}$.
- Para $a = 1$: calcula una matriz $X$ que verifique la igualdad: $M \cdot X + M^T = 2I$. ($I$ representa la matriz identidad orden 2 y $M^T$ la matriz traspuesta de $M$).
Vamos a calcular $M^{21}$ con $a = 0$: \[ M^{21} = M^{20} \cdot M = (M^2)^{10} \cdot M = I_2 \cdot M = \cdot M \]
b) Ahora $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ y queremos resolver esta acuación $M \cdot X + M^T = 2I$: \[ M \cdot X + M^T = 2I_2 \implies M \cdot X = 2I - M^T \implies X = M^{-1} \cdot (2I_2 - M^T) \] La traspuesta de $M$ es $M^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = M $
Y la inversa de $M$ es $M^{-1} = \mfrac{-1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $
Juntándolo todo tenemos: \[ X = M^{-1} \cdot (2I_2 - M^T) = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left [ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right ] = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \] \[ = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \]
PAU Larioja 2026 (julio) CCSS Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$, se pide:
- Calcula $A^2$ y calcula el determinante de la matriz inversa de $A$.
- Calcula una matriz $X$ que verifique la igualdad: $X \cdot A = B^T + I_3$ ($B^T$: matriz traspuesta de $B$, $I_3$: matriz identidad orden 3)
b) Vamos a calcular $X, X \cdot A = B^T + I_3 \implies X = (B^T + I_3) \cdot A^{-1}$ para ello necesitamos la inversa de $A$ y la $B^T$. Para calcular $A^{-1}$ usaremos el apartado anterior, ya que $A^{-1} = A$.
$B^T = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ Hacemos las cuentas: \[ X = (B^T + I_3) \cdot A^{-1} = \left [ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right ] \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 3 \\ 5 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
domingo, 28 de junio de 2026
Problemas de optimización. PAU.
PAU La Rioja (2026 junio) Una empresa fabrica dos tipos de herramientas, A y B. Para su elaboración utiliza madera y acero. Para fabricar una herramienta A se necesitan 300 gramos de madera y 100 gramos de acero; en el caso de B, las cantidades requeridas son 100 y 200 gramos respectivamente. Dispone diariamente de un máximo de 3 kilogramos de madera y 2 kilogramos de acero. Estas herramientas le proporcionan un beneficio de 20 euros por unidad de A y de 15 euros por cada una de B. Además, se deben fabricar diariamente al menos 2 herramientas de tipo A y al menos 3 de tipo B. Se pide:
Madera: $300x + 100y \le 3000 \implies 3x + y \le 30$
Acero: $100x + 200y \le 2000 \implies x + 2y \le 20$
Mínimo de tipo A: $x \ge 2$
Mínimo de tipo B: $y \ge 3$
b) Región factible $S$ y c) Coordenadas de los vértices
Dibujamos las rectas y nos sale la siguiente región factible:
Al cruzar estas rectas correctas en el plano, la región factible sigue siendo un cuadrilátero, pero con vértices completamente enteros. Los obtenemos resolviendo los sistemas de ecuaciones de las líneas que se cruzan:
Cruce de los mínimos ($x=2$ e $y=3$): Vértice $A = (2, 3)$
Cruce de $y=3$ con la recta de la madera ($3x + y = 30$):$3x + 3 = 30 \implies 3x = 27 \implies x = 9$
Vértice $B = (9, 3)$ (Cumple la restricción de acero porque $9 + 2(3) = 15 \le 20$)
Cruce de las dos restricciones de materiales ($3x + y = 30$ y $x + 2y = 20$): Multiplicamos la segunda por 3: $3x + 6y = 60$
Restamos la primera: $5y = 30 \implies y = 6$ Sustituimos para hallar $x$: $x + 2(6) = 20 \implies x = 8$ Vértice $C = (8, 6)$Cruce de $x=2$ con la recta del acero ($x + 2y = 20$):$2 + 2y = 20 \implies 2y = 18 \implies y = 9$
Vértice $D = (2, 9)$ (Cumple la restricción de madera porque $3(2) + 9 = 15 \le 30$)
d) Optimización (Beneficio máximo) Evaluamos la función objetivo $f(x,y) = 20x + 15y$ en cada uno de los 4 vértices obtenidos:
$f(2,3) = 20(2) + 15(3) = 40 + 45 = 85\text{ €}$
$f(9,3) = 20(9) + 15(3) = 180 + 45 = 225\text{ €}$
$f(2,9) = 20(2) + 15(9) = 40 + 135 = 175\text{ €}$
$f(8,6) = 20(8) + 15(6) = 160 + 90 = 250\text{ €}$
PAU La Rioja (2026 junlio) En Semana Santa, dos pasos salen en procesión por dos calles perpendiculares. El primer paso sale de la iglesia $A$ a $3 km/h$ y el segundo sale a la misma hora de la iglesia $B$ a $2,8 km/h$, ambos en sentido al mismo cruce de las calles. La distancia de la iglesia $A$ hasta el cruce es de $2,2 km$ y desde la iglesia $B$ hasta el cruce, de $2 km$.
La trayectoria del paso de la iglesia $A$ es $(2, 0) + 3t(0,1) = (2, 3t)$
La trayectoria del paso de la iglesia $B$ es $(0, 2.2) + 2,8t(1,0) = (2.8t, 2.2)$
La distancia entre las trayectorias de $A$ y $B$ viene dada por la fórmula: \[ d(A, B) = \msqrt{ (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 } \] Luego la función a optimizar es $f(t) = (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 $ \[ f'(t) = 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) \] Vamos a ver para que valor de $t$ se anula la derivada: \[ 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) = -13,2 + 18t -11,2 + 15,68t = 0 \implies \] \[ \implies 33,68t - 24,2= 0 \implies t = \mfrac{24,2}{33,68} \approx 0,72 \text{horas } \approx 43,2 \text{minutos} \] La distancia mínima es cuando llegan: \[ d_{mín}(A, B) = f(0,72) = \msqrt{ (2,2 - 3 \cdot 0,72)^2 + (2 - 2,8 \cdot 0,72)^2 } = \msqrt{ 0,0016 + 0,000256 } = \msqrt{ 0,001856 } \approx 0,043km = 43m \]
PAU La Rioja (2026 junio) CCSS II En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas A y B. Para tabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda A requiere de 3 horas de corte y 2 de costura; cada prenda B, de 1 y 4 horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de 15 horas para el corte y de 20 horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de A son de 100 € y por cada una de B, 120 €. Se pide:
Vamos con el apartado a):
REstricción del número de prendas: $x \leq 0$, $y \leq 0$
Restricción de horas de corte: $3x + y \leq 15$
Restricción del número de horas de costura: $2x + 4y \leq 20$ c y la función a optimizar es $f(x, y) = 100x + 120y $
b) y c) Veamos la región factible y las coordenadas de los vértices:
d) Los valores en los vértces:
$f(5, 0) = 100 \cdot 5 = 500 $
$f(0, 5) = 120 \cdot 5 = 600 $
$f(4, 3) = 100 \cdot 4 + 120 \cdot 3 = 400 + 360 = 760$€
- (0,5 PUNTOS) Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa.
- (0,5 PUNTOS) Representa la región factible S.
- (0,5 PUNTOS) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
- (0,5 PUNTOS) Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo.
Madera: $300x + 100y \le 3000 \implies 3x + y \le 30$
Acero: $100x + 200y \le 2000 \implies x + 2y \le 20$
Mínimo de tipo A: $x \ge 2$
Mínimo de tipo B: $y \ge 3$
b) Región factible $S$ y c) Coordenadas de los vértices
Dibujamos las rectas y nos sale la siguiente región factible:
Cruce de los mínimos ($x=2$ e $y=3$): Vértice $A = (2, 3)$
Cruce de $y=3$ con la recta de la madera ($3x + y = 30$):$3x + 3 = 30 \implies 3x = 27 \implies x = 9$
Vértice $B = (9, 3)$ (Cumple la restricción de acero porque $9 + 2(3) = 15 \le 20$)
Cruce de las dos restricciones de materiales ($3x + y = 30$ y $x + 2y = 20$): Multiplicamos la segunda por 3: $3x + 6y = 60$
Restamos la primera: $5y = 30 \implies y = 6$ Sustituimos para hallar $x$: $x + 2(6) = 20 \implies x = 8$ Vértice $C = (8, 6)$Cruce de $x=2$ con la recta del acero ($x + 2y = 20$):$2 + 2y = 20 \implies 2y = 18 \implies y = 9$
Vértice $D = (2, 9)$ (Cumple la restricción de madera porque $3(2) + 9 = 15 \le 30$)
d) Optimización (Beneficio máximo) Evaluamos la función objetivo $f(x,y) = 20x + 15y$ en cada uno de los 4 vértices obtenidos:
$f(2,3) = 20(2) + 15(3) = 40 + 45 = 85\text{ €}$
$f(9,3) = 20(9) + 15(3) = 180 + 45 = 225\text{ €}$
$f(2,9) = 20(2) + 15(9) = 40 + 135 = 175\text{ €}$
$f(8,6) = 20(8) + 15(6) = 160 + 90 = 250\text{ €}$
PAU La Rioja (2026 junlio) En Semana Santa, dos pasos salen en procesión por dos calles perpendiculares. El primer paso sale de la iglesia $A$ a $3 km/h$ y el segundo sale a la misma hora de la iglesia $B$ a $2,8 km/h$, ambos en sentido al mismo cruce de las calles. La distancia de la iglesia $A$ hasta el cruce es de $2,2 km$ y desde la iglesia $B$ hasta el cruce, de $2 km$.
- Determina en qué momento la distancia entre los dos pasos es mínima.
- Determina la distancia mínima.
La trayectoria del paso de la iglesia $B$ es $(0, 2.2) + 2,8t(1,0) = (2.8t, 2.2)$
La distancia entre las trayectorias de $A$ y $B$ viene dada por la fórmula: \[ d(A, B) = \msqrt{ (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 } \] Luego la función a optimizar es $f(t) = (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 $ \[ f'(t) = 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) \] Vamos a ver para que valor de $t$ se anula la derivada: \[ 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) = -13,2 + 18t -11,2 + 15,68t = 0 \implies \] \[ \implies 33,68t - 24,2= 0 \implies t = \mfrac{24,2}{33,68} \approx 0,72 \text{horas } \approx 43,2 \text{minutos} \] La distancia mínima es cuando llegan: \[ d_{mín}(A, B) = f(0,72) = \msqrt{ (2,2 - 3 \cdot 0,72)^2 + (2 - 2,8 \cdot 0,72)^2 } = \msqrt{ 0,0016 + 0,000256 } = \msqrt{ 0,001856 } \approx 0,043km = 43m \]
PAU La Rioja (2026 junio) CCSS II En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas A y B. Para tabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda A requiere de 3 horas de corte y 2 de costura; cada prenda B, de 1 y 4 horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de 15 horas para el corte y de 20 horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de A son de 100 € y por cada una de B, 120 €. Se pide:
- Plantea el problema de programación lineal para maximizar los ingresos de la sastrería.
- Representa la región factible S.
- Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
- Calcula el número de prendas de cada tipo a confeccionar para que los ingresos sean máximos. Indica el valor de estos ingresos.
Vamos con el apartado a):
REstricción del número de prendas: $x \leq 0$, $y \leq 0$
Restricción de horas de corte: $3x + y \leq 15$
Restricción del número de horas de costura: $2x + 4y \leq 20$ c y la función a optimizar es $f(x, y) = 100x + 120y $
b) y c) Veamos la región factible y las coordenadas de los vértices:
$f(5, 0) = 100 \cdot 5 = 500 $
$f(0, 5) = 120 \cdot 5 = 600 $
$f(4, 3) = 100 \cdot 4 + 120 \cdot 3 = 400 + 360 = 760$€
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