Transformación de funciones.

Veamos las transformaciones de las funciones: Si tenemos la gráfica de la función $f(x)$, entonces:

• Desplazamiento horizontal $c > 0$ unidades a la derecha $f(x - c)$
  Desplazamiento horizontal $c > 0$ unidades a la izquierda $f(x + c)$
  
• Desplazamiento vertical $c$ unidades hacia abajo $f(x) - c$
  Desplazamiento vertical $c$ unidades hacia arriba $f(x) + c$
  
• Reflexión (respecto al eje $X$) $-f(x)$
  
• Reflexión (respecto al eje $Y$) $ f(-x)$
  
• Dilatación vertical: $A \cdot f(x)$: «tiramos» de la gráfica hacia arriba o hacia abajo (afecta a la altura, las $y$).
• Dilatación horizontal: $f(B \cdot x)$: Es como apretar un acordeón o estirarlo hacia los lados (afecta al ancho, las $x$).

Lo que hace cada parámetro en $ g(x) = \pm A \cdot f(\pm B · (x − h)) + k$:

Parámetro	Efecto
$h$	traslación horizontal ($h > 0$ a la derecha)
$k$	traslación vertical ($k > 0$ hacia arriba)
$A$	dilatación vertical ($A > 1$) o contracción vertical ($A < 1$)
$B$	contracción horizontal ($B > 1$) o dilatación horizontal ($B < 1$)
refX	reflexión en el eje $X$, que cambia el signo de la función
refY	reflexión en el eje $Y$, que cambia el signo de la variable

f(x) =

Potencias con ^ · funciones: sqrt, abs, sen, cos, tan, ln, log, exp · constantes: pi, e · ejemplo: 2x^2-3x+1

Traslaciones

Horizontal h

Vertical k

Dilataciones y contracciones

Vertical A

Horizontal B

Reflexiones

En el eje Xcambia el signo de la función: −f En el eje Ycambia el signo de la variable: f(−x)

Mostrar f(x) Mostrar punto x₀

Representación gráfica de funciones

 Pasos para representar una función gráficamente: 

1. Dominio y signo de la función. 
2. Periodicidad y simetrías. (Periodo; Par e impar;) 
3. Puntos de corte con los ejes. ( Eje $OX$ cuando $y = 0$; eje $OY$ cuando $ x = 0 $ ) 
4. Asíntotas. (Vertical, horizontal y oblicua) 
   Importante:
   
   «Una función no puede tener una asíntota horizontal y otra oblicua por el mismo lado, por el mismo lado quiere decir, si  $ x \rightarrow +\infty$ o si $ x \rightarrow - \infty$ »
   
   
   Podemos tener una asíntota horizontal cuando $x \rightarrow + \infty$ y una asíntota oblicua cuando $x \rightarrow - \infty$ o viceversa. 
5. Primera derivada $f'(x)$:
   • Resolver $f'(x) = 0$ para hallar candidatos a puntos críticos. Nota 1
     
   • Estudiar el signo de $f'(x)$ en los intervalos $\rightarrow$ Determina crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.
     
6. Segunda derivada ($f''$):
   • Resolver $f''(x) = 0$ para hallar candidatos a puntos de inflexión. Nota 2.
     
   • Estudiar el signo de $f''(x)$ $\rightarrow$ Determina concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
     Si $f^{\prime \prime}\left(x \right) > 0 \Rightarrow f(x)$ es cóncava hacia arriba. Si $f^{\prime \prime}\left(x \right) < 0 \Rightarrow f(x)$ es cóncava hacia abajo.
7. Dibujar la función y el recorrido de la misma.

Nota 1: Que la derivada de una función en un punto sea cero significa que se trata de un punto crítico, pero eso por sí solo no garantiza que sea un máximo ni un mínimo relativo (podría ser un punto de inflexión con tangente horizontal). Un ejemplo clásico y muy claro es la función cúbica: $$f(x) = x^3$$

Analicemos qué ocurre en el punto $x = 0$:
Calculamos la derivada, la derivada de la función es $f'(x) = 3x^2$. Evaluamos la derivada en $x = 0$, obtenemos $f'(0) = 3(0)^2 = 0$. Esto cumple la condición de que la derivada es cero. Comprobamos si es un extremo relativo, para que sea un extremo relativo, la función debería cambiar de crecimiento (pasar de crecer a decrecer, o viceversa) alrededor de $x = 0$. Sin embargo, si $x < 0$ (por ejemplo, $x = -1$), $f(-1) = (-1)^3 = -1$; y si $x > 0$ (por ejemplo, $x = 1$), $f(1) = (1)^3 = 1$. Dado que los valores de la función pasan de negativos a positivos de manera estrictamente creciente alrededor del cero, $x = 0$ no es ni un máximo ni un mínimo.

Nota 2: De la misma manera que la anulación de la primera derivada no garantiza un extremo, que la segunda derivada sea cero en un punto no es condición suficiente para asegurar que sea un punto de inflexión. Un ejemplo clásico de esto es la función: $$f(x) = x^4$$

Si analizamos qué ocurre en el origen $x = 0$:
Primera derivada: $f'(x) = 4x^3$, por lo que $f'(0) = 0$. Segunda derivada: $f''(x) = 12x^2$, por lo que $f''(0) = 0$. A pesar de que $f''(0) = 0$, $x = 0$ no es un punto de inflexión.

¿Por qué no es un punto de inflexión? Para que un punto sea de inflexión, la función debe cambiar de concavidad (pasar de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o viceversa). Sin embargo, si analizamos $f''(x) = 12x^2$ para cualquier $x \neq 0$, $x^2$ siempre es positivo, lo que significa que $f''(x) > 0$ a la izquierda y a la derecha de cero. La función es cóncava hacia arriba en todo su dominio. Por lo tanto, en $x = 0$ la gráfica no cruza su recta tangente de concavidad, sino que toca fondo y forma un mínimo relativo (y absoluto).

Estudio completo de una función

f(x) =

Analizar en [−L, L], L =

Use ^, sqrt(), abs(), sin(), cos(), tan(), exp(), ln(), pi, e. Multiplicación implícita admitida (2x).

Análisis numérico en el intervalo indicado (muestreo, bisección y límites en ±10⁷). Contrastar siempre con el estudio analítico.

Programación lineal PAU

PAU La Rioja (2026 junio) Una empresa fabrica dos tipos de herramientas, A y B. Para su elaboración utiliza madera y acero. Para fabricar una herramienta A se necesitan 300 gramos de madera y 100 gramos de acero; en el caso de B, las cantidades requeridas son 100 y 200 gramos respectivamente. Dispone diariamente de un máximo de 3 kilogramos de madera y 2 kilogramos de acero. Estas herramientas le proporcionan un beneficio de 20 euros por unidad de A y de 15 euros por cada una de B. Además, se deben fabricar diariamente al menos 2 herramientas de tipo A y al menos 3 de tipo B. Se pide:

1. Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa.
2. Representa la región factible S.
3. Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
4. Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo.

a) Lo primero que hacemos es definir las variables que vamos a usar en este ejercicio: $x$: Número de herramientas de tipo A.$y$: Número de herramientas de tipo B. Función objetivo (Maximizar el beneficio): $$f(x,y) = 20x + 15y$$ Restricciones:

Madera: $300x + 100y \le 3000 \implies 3x + y \le 30$

Acero: $100x + 200y \le 2000 \implies x + 2y \le 20$

Mínimo de tipo A: $x \ge 2$

Mínimo de tipo B: $y \ge 3$

b) Región factible $S$ y c) Coordenadas de los vértices

Dibujamos las rectas y nos sale la siguiente región factible:

Al cruzar estas rectas correctas en el plano, la región factible sigue siendo un cuadrilátero, pero con vértices completamente enteros. Los obtenemos resolviendo los sistemas de ecuaciones de las líneas que se cruzan:

Cruce de los mínimos ($x=2$ e $y=3$): Vértice $A = (2, 3)$

Cruce de $y=3$ con la recta de la madera ($3x + y = 30$):$3x + 3 = 30 \implies 3x = 27 \implies x = 9$

Vértice $B = (9, 3)$ (Cumple la restricción de acero porque $9 + 2(3) = 15 \le 20$)

Cruce de las dos restricciones de materiales ($3x + y = 30$ y $x + 2y = 20$): Multiplicamos la segunda por 3: $3x + 6y = 60$

Restamos la primera: $5y = 30 \implies y = 6$ Sustituimos para hallar $x$: $x + 2(6) = 20 \implies x = 8$ Vértice $C = (8, 6)$Cruce de $x=2$ con la recta del acero ($x + 2y = 20$):$2 + 2y = 20 \implies 2y = 18 \implies y = 9$

Vértice $D = (2, 9)$ (Cumple la restricción de madera porque $3(2) + 9 = 15 \le 30$)

d) Optimización (Beneficio máximo) Evaluamos la función objetivo $f(x,y) = 20x + 15y$ en cada uno de los 4 vértices obtenidos:

$f(2,3) = 20(2) + 15(3) = 40 + 45 = 85\text{ €}$
$f(9,3) = 20(9) + 15(3) = 180 + 45 = 225\text{ €}$
$f(2,9) = 20(2) + 15(9) = 40 + 135 = 175\text{ €}$
$f(8,6) = 20(8) + 15(6) = 160 + 90 = 250\text{ €}$





PAU La Rioja (2026 junio) CCSS II En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas A y B. Para tabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda A requiere de 3 horas de corte y 2 de costura; cada prenda B, de 1 y 4 horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de 15 horas para el corte y de 20 horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de A son de 100 € y por cada una de B, 120 €. Se pide:

1. Plantea el problema de programación lineal para maximizar los ingresos de la sastrería.
2. Representa la región factible S.
3. Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
4. Calcula el número de prendas de cada tipo a confeccionar para que los ingresos sean máximos. Indica el valor de estos ingresos.

$x$ = número de prendas tipo A e $y$ = número de prendas tipo B.

Vamos con el apartado a):

Restricción del número de prendas: $x \geq 0$, $y \geq 0$

Restricción de horas de corte: $3x + y \leq 15$

Restricción del número de horas de costura: $2x + 4y \leq 20$ c y la función a optimizar es $f(x, y) = 100x + 120y $

b) y c) Veamos la región factible y las coordenadas de los vértices:

d) Los valores en los vértces:

$f(5, 0) = 100 \cdot 5 = 500 $

$f(0, 5) = 120 \cdot 5 = 600 $

$f(4, 3) = 100 \cdot 4 + 120 \cdot 3 = 400 + 360 = 760$€

Problema típico de PAU El problema de la «ventana normanda»: En una ventana rectangular se ha sustituido el lado superior por un semicírculo. Su perímetro total es de 4 m. Si la cantidad de luz que penetra ha de ser máxima, se pide hallar: - Las dimensiones de la ventana.

Programación lineal: región factible y solución óptima

Restricciones (una por línea; editables)

x ≥ 0 y ≥ 0

Función objetivo

MaximizarMinimizar f(x,y) =

Ejemplos de restricción: x+2y<=10, 3x+y<=15, x>=y, 2(x+y)>=8. Se admite ≤ y ≥.

Recta de nivel f =

Fotos matemáticas

Esta es de internet, pero me ha gustado mucho:

Algunas derivadas usando la definición.

• Derivada de la función constante $f(x) = c$ \[ f(x)' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ c - c }{ h } } = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ 0 }{ h } } = 0 \]
• Derivada de la función identidad $f(x) = x$ \[ f(x)' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ x + h - x }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ h }{ h } } = 1 \]
• Derivada de la función $f(x) = x^2$ \[ f(x)' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ (x + h)^2 - x^2 }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ x^2 + 2xh + h^2 - x^2 }{ h } } = \] \[ = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ 2xh + h^2 }{ h } } = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ h(2x + h) }{ h } } = \milmt{h}{0}{ (2x + h) } = 2x \] De la misma forma se puede hacer cualquier potencia de $x^n$. Se propone como ejercicio: $x^3, x^4, x^5, ... $
• Derivada de la función $f(x) = x^n$ \[ f(x)' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ (x + h)^n - x^n }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ x^n + nx^{n-1}h + (n-1)x^{n-2}h^2 + ... + h^n - x^n }{ h } } = \] \[ = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ nx^{n-1}h + h^2*P(x,h) }{ h } } = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ h(nx^{n - 1} + h*P(x,h)) }{ h } } = \milmt{h}{0}{ (nx^{n-1} + h*P(x,h) ) } = nx^{n-1} \]
• Derivada de la raíz de $x$: \[ \left ( \msqrt{ x } \right) ' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \msqrt{ x + h } - \msqrt{ x } }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ ( \msqrt{ x + h } - \msqrt{ x })( \msqrt{ x + h } + \msqrt{ x } ) }{ (\msqrt{ x + h } + \msqrt{ x } ) h } } = \] \[ = \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{ \msqrt{ x + h } + \msqrt{ x } } \cdot \mfrac{ x + h - x }{h} } = \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{ \msqrt{ x + h } + \msqrt{ x } } \cdot \mfrac{ h }{h} } = \mfrac{ 1 }{2 \msqrt{ x } } \]
• Derivada de la suma de funciones: \[ \left ( f(x) + g(x) \right) ' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ f(x + h) + g(x + h) - f(x) - g(x) }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ f(x + h) - f(x) }{ h } } + \milmt{h}{0}{ \mfrac{ g(x + h) - g(x) }{ h } } = \] \[ = f'(x) + g'(x) \] Cosecuencias:
    1.- \( \left ( f(x) - g(x) \right) ' = f'(x) - g'(x) \)
    2.- \(\left ( f_1(x) \pm f_2(x) \pm \cdots \pm f_n(x) \right)' = f_1'(x) \pm f_2'(x) \pm \cdots \pm f_n'(x) \)
  
• Derivada del producto de dos funciones: \[ \left ( f(x) \cdot g(x) \right) ' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ f(x + h) \cdot g(x + h) - f(x) \cdot g(x) }{ h } } = \zdivz = \] Sumo y resto en el numerador \( g(x + h) \cdot f(x) \) \[ = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ f(x + h) \cdot g(x + h) - g(x + h) \cdot f(x) + g(x + h) \cdot f(x) - f(x) \cdot g(x) }{ h } } = \] \[ = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ g(x + h) [ f(x + h) - f(x) ] }{h} } + \milmt{h}{0}{ \mfrac{ f(x) [ g(x + h) - g(x) ] }{ h } } = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \] Cosecuencias:
    1.- Se puede aplicar a 3, 4 y el número que sea de funciones
  
  \( \left ( f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x) \right) ' = f_1'(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x) + f_1'(x) \cdot f_2'(x) \cdot f_3(x) + f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3'(x) \)
  \[ \left ( f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x) \right) ' = [ f_1(x) \cdot \left ( f_2(x) \cdot f_3(x) \right) ]' = f_1'(x) \cdot \left ( f_2(x) \cdot f_3(x) \right) + f_1(x) \cdot \left ( f_2(x) \cdot f_3(x) \right)' = \] \[ = f_1'(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x) + f_1(x) \cdot \left ( f_2'(x) \cdot f_3(x) + f_2(x) \cdot f_3'(x) \right) = \] \[ = f_1'(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x) + f_1(x) \cdot f_2'(x) \cdot f_3(x) + f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3'(x) \]
• Derivada de un cociente de funciones: \[ \left ( \mfrac{ f(x) }{ g(x) } \right) ' = \left ( f(x) \cdot g(x)^{-1} \right) ' = f'(x) \cdot g(x)^{-1} + f(x) \cdot (-1) \cdot g(x)^{-2} g'(x)= \] \[ = f'(x) \cdot g(x)^{-1} - f(x) \cdot g'(x) \cdot g(x)^{-2} = \mfrac{ f'(x) }{ g(x) } - \mfrac{ f(x)g'(x) }{ g^2(x) } = \mfrac{ f'(x)g(x) - f(x)g'(x) }{ g^2(x) } \]
• Derivada del cuadrado de una función: \[ \left ( f(x)^2 \right) ' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ f^2(x + h) - f^2(x) }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ ( f(x + h) - f(x) )( f(x + h) + f(x) ) }{ ( f(x + h) + f(x) ) h } } = \] \[ = \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{ f(x + h) + f(x) } \cdot \mfrac{ f(x + h) - f(x) }{h} } = 2f'(x) f(x) \]
Cosecuencias:
  1.- \( \left ( f(x)^n \right) ' = n f(x)^{n-1} \cdot f'(x) \)
• Derivada de la raíz de una función: \[ \left ( \msqrt{ f(x) } \right) ' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \msqrt{ f(x + h) } - \msqrt{ f(x) } }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ ( \msqrt{ f(x + h) } - \msqrt{ f(x) })( \msqrt{ f(x + h) } + \msqrt{ f(x) } ) }{ (\msqrt{ f(x + h) } + \msqrt{ f(x) } ) h } } = \] \[ = \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{ \msqrt{ f(x + h) } + \msqrt{ f(x) } } \cdot \mfrac{ f(x + h) - f(x) }{h} } = \mfrac{ f'(x) }{2 \msqrt{f(x)} } \]
• Derivada de la exponencial de $x, f(x) = e^x$ \[ \left ( f(x) \right )' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ e^{x + h} - e^x }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{e^x(e^h - 1)}{ h } } = \] A partir de la definición del número $e$ mediante su límite, demostraremos este límite usando un cambio de variable:
  Hacemos $t = e^h - 1$. Si $h \to 0$, entonces $t \to 0$.
  Despejamos $h$: $e^h = 1 + t \implies h = \ln(1 + t)$.
  Sustituimos en el límite: $$\milmt{t}{0}{ \mfrac{e^h - 1}{h} } = \milmt{t}{0}{ \mfrac{t}{\ln(1 + t)} } = \milmt{t}{0}{ \mfrac{1}{\mfrac{1}{t}\ln(1 + t)} } = \milmt{t}{0}{ \mfrac{1}{\ln\left((1 + t)^{1/t} \right) } } $$ Como $\milmt{t}{0}{ (1 + t)^{1/t} } = e$, la expresión queda: $$\mfrac{1}{\ln(e)} = \mfrac{1}{1} = 1$$
• Derivada de la exponencial de $f(x), e^{f(x)}$
  Queremos hallar la derivada de $y = e^{f(x)}$ usando la definición formal del límite: $$\mfrac{d}{dx} \left[ e^{f(x)} \right] = \milmt{h}{0}{ \mfrac{e^{f(x + h)} - e^{f(x)} }{h} } = (1) $$ 1. Factorizamos $e^{f(x)}$ en el numerador: Observa que por propiedades de exponentes: $$e^{f(x+h)} = e^{f(x) + (f(x+h) - f(x))} = e^{f(x)} \cdot e^{f(x+h) - f(x)}$$ Sacamos factor común $e^{f(x)}$: $$ (1) = \milmt{h}{ 0}{ \mfrac{e^{f(x)} \left( e^{f(x+h) - f(x)} - 1 \right)}{h} } $$ Como $e^{f(x)}$ no depende de $h$, lo podemos sacar fuera del límite: $$ = e^{f(x)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^{f(x+h) - f(x)} - 1}{h}$$ 2. Multiplicamos y dividimos por $\left (f(x+h) - f(x) \right ) $ $\Delta f = f(x+h) - f(x)$: $$ = e^{f(x)} \cdot \milmt{h}{0}{ \left[ \mfrac{e^{f(x+h) - f(x)} - 1}{f(x+h) - f(x)} \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right] } $$ 3. Separar en dos límites. Aplicamos la propiedad de que el límite de un producto es el producto de los límites: $$ = e^{f(x)} \cdot \left( \milmt{h}{0}{ \mfrac{e^{f(x+h) - f(x)} - 1}{f(x+h) - f(x)} \right) \cdot \left( \lim_{h \to 0} \mfrac{f(x+h) - f(x)}{h} } \right ) $$ 4. Analizar cada una de las dos partes. El segundo límite: Es la definición idéntica de la derivada de $f(x)$: $$\milmt{h}{0}{ \mfrac{f(x+h) - f(x)}{h} } = f'(x)$$ El primer límite: Si llamamos $u = f(x+h) - f(x)$, como la función $f(x)$ es derivable (y por tanto continua), cuando $h \to 0 \implies u \to 0$. El límite se convierte en: $$\milmt{u}{0}{ \mfrac{e^u - 1}{u} } $$ ¡Y este es exactamente el límite fundamental que acabamos de demostrar en el apartado anterior y que vale 1.
  5. Resultado final: Sustituyendo todo de vuelta: $$\mfrac{d}{dx} \left[e^{f(x)}\right] = e^{f(x)} \cdot 1 \cdot f'(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x)$$
• Derivada de la función compuesta $f(g(x))$: \[ \left ( f(g(x)) \right)' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ f(g(x + h)) - f(g(x)) }{ h } } = \zdivz = \] Multiplicamos y dividimos por $g(x + h) - g(x) $: \[ \milmt{h}{0}{ \mfrac{ f(g(x + h)) - f(g(x)) }{g(x + h) - g(x) }\mfrac{ g(x + h) - g(x) }{ h } } = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ f(g(x + h)) - f(g(x)) }{g(x + h) - g(x) } } \cdot \milmt{h}{0}{ \mfrac{ g(x + h) - g(x) }{ h } } = (1) \] Este límite se puede resolver haciendo un cambio de variable $z = g(x)$ y $k = g(x + h) - g(x)$: \[ \milmt{h}{0}{ \mfrac{ f(g(x + h)) - f(g(x)) }{g(x + h) - g(x) } } = \milmt{k}{0}{ \mfrac{ f(z + k) - f(z) }{ k } } = f'(z) = f'(g(x)) \] Luego \[ (1) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
• Derivada de la función $\ln x$: \[ \left ( \ln (f(x)) \right)' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \ln(x + h) - \ln(x) }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \ln \left (\mfrac{x + h}{x} \right ) }{ h } } = \] \[ = \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{h} \cdot \ln \left (\mfrac{x + h}{x} \right ) } = \milmt{h}{0}{ \ln \left (\mfrac{x + h}{x} \right )^{\dfrac{1}{h}} } = \] Intercambiamos el límite y el logaritmo neperiano por ser la función continua: \[ = \ln \left ( \milmt{h}{0}{ \left (\mfrac{x + h}{x} \right )^{\dfrac{1}{h}} } \right ) = (1) \] Y ahora calculamos el límite que está dentro del límite: \[ \milmt{h}{0}{ \left (\mfrac{ x + h }{x} \right )^{\dfrac{1}{h} } }= \uelei = e^{ \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{h} \cdot \left ( \mfrac{x + h}{x} - 1 \right ) } } = e^{ \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{h} \cdot \left ( \mfrac{x + h - x }{x} \right ) } } = e^{ \dfrac{1}{x}} \] \[ (1) = \ln \left ( e^{ \dfrac{1}{x}} \right ) = \mfrac{1}{x} \]
• Derivada de la función $\ln (f(x))$: \[ \left ( \ln (f(x)) \right)' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \ln (f(x + h)) - \ln (f(x)) }{ h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \ln \left (\mfrac{f(x + h)}{f(x)} \right ) }{ h } } = \] \[ = \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{h} \cdot \ln \left (\mfrac{f(x + h)}{f(x)} \right ) } = \milmt{h}{0}{ \ln \left (\mfrac{f(x + h)}{f(x)} \right )^{\dfrac{1}{h}} } = \] Intercambiamos el límite y el logaritmo neperiano por ser la función continua: \[ = \ln \left ( \milmt{h}{0}{ \left (\mfrac{f(x + h)}{f(x)} \right )^{\dfrac{1}{h}} } \right ) = (1) \] Y ahora calculamos el límite que está dentro del límite: \[ \milmt{h}{0}{ \left (\mfrac{f(x + h)}{f(x)} \right )^{\dfrac{1}{h} } }= \uelei = e^{ \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{h} \cdot \left ( \mfrac{f(x + h)}{f(x)} - 1 \right ) } } = e^{ \milmt{h}{0}{ \mfrac{1}{h} \cdot \left ( \mfrac{f(x + h) - f(x) }{f(x)} \right ) } } = e^{ \dfrac{f'(x)}{f(x)}} \] \[ (1) = \ln \left ( e^{ \dfrac{f'(x)}{f(x)}} \right ) = \mfrac{f'(x)}{f(x)} \]
• Derivada de la función $\sen(x)$: \[ \left ( \sen(x) \right)' = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \sen(x + h) - \sen(x) }{ h } } = \zdivz = (1) \] Usamos la fórmula \[ \sen(a) - \sen(b) = 2 \cdot \cos \left( \mfrac{a - b}{2} \right ) \cdot \sen \left( \mfrac{a - b}{2} \right ) \] Nos queda: \[ (1) = \milmt{h}{0}{ \mfrac{2\cos \left ( \mfrac{2x + h}{2} \right ) \cdot \sen \left ( \mfrac{h}{2} \right ) }{ h } } = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \cos \left ( \mfrac{2x + h}{2} \right ) \cdot \sen \left ( \mfrac{h}{2} \right ) }{ \mfrac{h}{2} } } = (2) \] Tenemos que estudiar este límite: \( \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \sen \left ( \mfrac{h}{2} \right ) }{ \mfrac{h}{2} } } \) ya que el otro factor tiene por límite \( \cos x\). \[ \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \sen \left ( \mfrac{h}{2} \right ) }{ \mfrac{h}{2} } } = \left (\text{hacemos el cambio } k = \mfrac{h}{2} \right ) = \milmt{k}{0}{ \mfrac{\sen k}{k} } \] $$ \milmt{k}{0} \dfrac{\ \sen k \ }{ k }$$
  
  Para probar dicho límite, consideraremos $|k| < \dfrac{\pi}{2}$, pues nos va a interesar lo que ocurre para $k$ pequeño. Si es $0 < k < \dfrac{\ \pi\ }{2}$, podemos recurrir a la figura y poner: \[ \text{Área } (\triangle \mathrm{OAP}) \quad \leq \quad \text{ Área } ( \text{Sector} OAP) \quad \leq \quad \text{ Área } (\triangle \mathrm{OAT}) \] $$ \dfrac{\ 1\ }{2} \sen k \leq \dfrac{\ 1\ }{2} k \leq \dfrac{\ 1\ }{2} \tg k $$ Dividiendo entre $\sen k$ tenemos: $$ 1 \leq \dfrac{ k }{\ \sen k \ } \leq \dfrac{ 1 }{\ \cos k\ } $$ Tomando inversos: $$\cos k \leq \dfrac{\ \sen k \ }{ k } \leq 1 (*) $$ Nota: Si fuese $ - \dfrac{\ \pi\ }{2} < k < 0 $ tomando $ - k > 0 $ tendríamos $\cos (- k) \leq \dfrac{\ \sen (-k) \ }{ - k } \leq 1$ , y como $\cos(-k) = \cos k$, $\sen(- k) = - \sen kx$, queda de nuevo $(*)$.
  
  Ahora basta tomar límites en $(*)$ y aplicar la regla del sandwich. $$ \milmt{k}{0} \cos k \leq \milmt{k}{0} \dfrac{\ \sen k \ }{ k } \leq \milmt{k}{0} 1 \implies 1 \leq \milmt{k}{0} \dfrac{\ \sen k \ }{ k } \leq 1 \implies \milmt{k}{0} \dfrac{\ \sen k \ }{ k } = 1 $$ \[ (2) = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \cos \left ( \mfrac{2x + h}{2} \right ) \cdot \sen \left ( \mfrac{h}{2} \right ) }{ \mfrac{h}{2} } } = \milmt{h}{0}{ \cos \left ( \mfrac{2x + h}{2} \right ) } \cdot \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \sen \left ( \mfrac{h}{2} \right ) }{ \mfrac{h}{2} } } = \cos(x) \cdot 1 = \cos(x) \]