Estadística. Teoría y problemas.

Sea una muestra $x_1, x_2, \dots x_n$ de $N$ valores con frecuencias $f_1, f_2, ..., f_n$ respectivamente de una variable «$x$»:

• Se llama media muestral a $\bar{x} = \mfrac{f_1 \cdot x_1 + f_2 \cdot x_2 + + f_3 \cdot x_3 + \dots + f_n \cdot x_n}{N} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot x_i}{N} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i}{N} $ media aritmética de los datos.
• Se llama varianza muestral a $\displaystyle S^2_x = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot (x_i-\bar{x})^2}{N}$ que es una medida de dispersión para estudiar la representatividad de la media:
• Se llama desviación típica muestral a la raíz cuadrada de la varianza muestral $S_x = \msqrt{S^2_x}$

Veamos un ejemplo: Dadas las notas de un alumno

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
7	0	0
9	2	4
6	-1	1
7	0	0
6	-1	1

$$ \bar{x} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot x_i}{N} = \mfrac{2 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 9}{5} = \mfrac{35}{5} = 7 $$ $$ S^2x = \mfrac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{N} = \mfrac{2 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot 0 + (-2)^2}{5} = \mfrac{6}{5} = 1,2 $$

• La media muestral: $\bar{x}$, sirve para estimar la media poblacional, se denota con $\mu$.
• La desviación típica muestral: $\mathbf{s}$, es una estimación de la desviación típica, se denota con $\sigma$.
• La varianza: se denota $\sigma^2$.

Distribución Normal

Una variable aleatoria continua $X$ sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, y se designa por $N(\mu, \sigma)$ si cumplen las siguientes condiciones:

• La variable pueden tomar cualquier valor real, es decir, $x \in (-\infty, \infty)$
• La función de densidad, $f(x)$ de la distribución $$f(x) = \mfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

La gráfica de una distribución normal es simétrica con respecto de la media «$\mu$» y su forma es acampanada, lo que le da el nombre de la campana de Gauss.

El área que queda por debajo de la curva es 1.


$P(-\infty < x < +\infty) = 1$



Cuando $\mu=0$ y $\sigma=1$ tenemos la normal tipificada o estándar $N(0,1)$



La importancia que la distribución normal tipificada radica en que cualquier distribución normal se puede reducir a una tipificada y que esta se encuentra tabulada.



Cálculo de probabilidades en una Normal Tipificada

La distribución $N(0,1)$ que se representa por $Z$, se encuentra tabulada, lo cual permite un cálculo rápido de las probabilidades asociadas a la misma.

Aunque existe muchos fenómenos que se comporten como una distribución normal, se puede afirmar que ninguno de ellos se comporta exactamente como una $N(0,1)$

Lo más aconsejable sería transformar la variable $X$ que sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$ en otra variable $Z$ que siga una distribución $N(0,1)$. Esta transformación se conoce con el nombre de tipificación de la variable y consiste en:

• Centrar: consiste en trasladar la media de la distribución al origen de coordenadas. Esto equivale a hacer $\mu = 0$
• Reducir: la desviación estándar a 1 ($\sigma = 1$). Esto equivale a dilatar o contraer la gráfica de la distribución para que coincida con la ley estándar: $$Z = \mfrac{X - \mu}{\sigma}$$

La regla de simetría real es: >$$P(Z > a) = P(Z < -a)$$ Esta propiedad es fundamental en la distribución normal estándar y se basa en una única palabra: «simetría». La campana de Gauss de una $N(0,1)$ está perfectamente centrada en el $0$. Esto significa que la mitad izquierda de la campana es un reflejo exacto (como en un espejo) de la mitad derecha. Si elegimos un número positivo cualquiera, por ejemplo $a$: $P(Z >a)$ representa el área de la «cola» que queda a la derecha de $a$. $P(Z < -a)$ representa el área de la «cola» que queda a la izquierda de $-a$. Como la campana es simétrica y los puntos $a$ y $-a$ están exactamente a la misma distancia del centro ($0$), esas dos colas exteriores son idénticas en tamaño. Por lo tanto, el área que encierran (la probabilidad) vale exactamente lo mismo. En la PAU esto es utilísimo porque las tablas oficiales solo suelen dar las probabilidades para valores positivos y menores que ($P(Z < a)$). Si el examen te pide calcular la probabilidad de que $Z$ sea menor que un número negativo, gracias a esta propiedad le das la vuelta a todo y lo transformas en un problema de cola derecha: \[ P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a) \]

Cálculo de $\mathbf{ P(Z \leq a) } $

Hallar la probabilidad

$ P(Z \leq 0,56)$ Basta con buscar el valor en la tabla o en la calculadora.

$ P(Z \leq 0,56) = 0,7123 $

Hallar la $a$ sabiendo la probabilidad:

$P(Z \leq a) = 0,6854 \implies a = 0,48285$

Cálculo de $\mathbf{ P(Z > a) } $

Hallar la Probabilidad

$ P(Z \geq 1,215) = 1 - P(Z \leq 1,125) = 1 - 0,8697 = 0,1303 $

$ P(Z \geq 1,41) = 1 - P(Z \leq 1,41)= 1 - 0,9207 = 0,0793 $

Hallar la $a$ sabiendo la probabilidad:

$P(Z \geq a) = 0,1384 \implies P(Z \leq a) = 0,8616 \implies$

$a = 1,08754$

Cálculo de $\mathbf{ P(Z < -a) } $

Hallar la Probabilidad

$P(Z < - 0,25) = P(Z > 0,25) = $

$= 1 - P(Z \leq 0,25) = 1 – 0,5987 = 0,4013$



$P(Z < - 1,75) = P(Z > 1,75) = $

$= 1- P(Z \leq 1,75) = 1 – 0,9599 = 0,0401 $

Cálculo de $\mathbf{ P(a \leq Z \leq b) } $

Hallar la Probabilidad

$ P(-0,75 < Z < 1,23) = P(Z < 1,23) - P(Z < -0,75) = $

$ = P(Z < 1,23) – P(Z > 0,75) = $

$ = P(Z < 1,23) - [1 - P(Z < 0,75) ] = $

$ = 0,8907 – (1 - 0,7734) = 0,664 $







El valor crítico se designa mediante $z_{\alpha/2}$.

$P(Z > z_{\alpha/2}) = \mfrac{\alpha}{2} $

$P(-z_{\alpha/2} < Z < z_{\alpha/2}] = 1 − \alpha$

$\alpha$ es el nivel de significación.

$1 − \alpha$ es el nivel de confianza, que es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.

Los niveles de confianza más usuales son: 90%; 95% y 99%.

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 1 - \alpha & \alpha & \alpha/2 & z_{\alpha/2} \\[2.5ex] \hline 0,90 & 0,10 & 0,05 & 1,645 \\[2.5ex] \hline 0,95 & 0,05 & 0,025 & 1,96 \\[2.5ex] \hline 0,99 & 0,01 & 0,005 & 2,575 \\[2.5ex] \hline \end{array} \]

Geometría. PAU.

PAU La Rioja 2026 (julio) Contesta justificadamente los siguientes apartados:

Sean la recta $r : \mfrac{x}{3} = y = \mfrac{z - 11}{-1}$ y el punto $P \equiv (0, 1, 1)$.

1. Determina la ecuación del plano que pasa por el punto $P$ y es perpendicular a la recta $r$.
2. Halla la distancia de $P$ a la recta $r$.

a) El pano que pasa por $P$ y es perpendicuar a $r$ es de la forma: $\pi : 3x + y - z = k $. Sustituimos las coordenadas de $P$ en $\pi$ para calcular $k$ y nos queda: $ \pi : 1 - 1 = k \implies k = 0 $, luego la ecuación del plano buscado es: \[ \pi : 3x + y - z = 0 \]

b) Nos piden la distancia de la recta $r$ al punto $P$: Lo podemos hacer de varias formas, calculando el punto de corte $R$ de la recta $r$ y el plano $\pi$ y calculando la distancia de $P$ a $R$. Aplicando la fórmula de la distancia de un punto a una recta $d(p, r) = \mfrac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}|}{ |\overrightarrow{d}| }$ siendo $\overrightarrow{d}$ el vector director de la recta $r$ y $A$ un punto cualquiera de la recta $r$. Vamos a calcular la distancia con la fórmula:

Sea $A = (0, 0, 11)$ el vector $\overrightarrow{AP} = (0, 1, -10)$. Ahora hacemos el producto vectorial de $\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}$: \[ \overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d} = \begin{vmatrix} i & i & k \\ 0 & 1 & -10 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 9i - 30j - 3k = (9, -30, -3) \] \[ d(p, r) = \mfrac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}|}{ |\overrightarrow{d}| } = \mfrac{ \msqrt{81 + 900 + 9} }{ \msqrt{9 + 1 + 1} } = \mfrac{ \msqrt{990} }{ \msqrt{11} } = \msqrt{ \mfrac{990}{11} } = \msqrt{90} \approx 9,49 u \]



PAU La Rioja 2026 (julio) Contesta justificadamente los siguientes apartados:

Determina los valores de $a$ para que los planos de ecuaciones: $$\begin{cases} \pi_1 : x + y + z = 1, \\ \pi_2 : (a - 1)x + y + z = a, \\ \pi_3 : x + (a - 1)y - z = 0, \end{cases}$$

1. se corten en un punto. En este caso, determina el punto de corte.
2. se corten en una recta. En este caso, determina la recta en su forma paramétrica.

Apartado a)

Siendo $M$ la matriz de coeficientes y $M'$ la matriz ampliada. Para que se corten en un punto, el rango (M) = rango (M') = 3, luego el $|M| \neq 0$: \[ \begin{eqnarray} |M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & 1 & 1 \\ 1 & a - 1 & - 1 \end{vmatrix} = -1 + 1 + (a -1)^2 - (1 - a + 1 + a - 1) = a^2 - 2a + 1 - 1 = a^2 - a = a(a -2) \end{eqnarray} \] El $|M| \neq 0 \implies a \neq 0 \text{ y } a \neq 2$.

Vamos a resolver este sistema por el método de Cramer: \[ x = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & - 1 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ -1 + 0 + a(a - 1) - (0 - a + a - 1) }{a(a - 2)} = \mfrac{a(a - 1)}{ a(a - 2) } = \mfrac{ a - 1 }{ a - 2 } \] \[ y = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & a & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ -a + 1 + 0 - (a - a + 1 + 0) }{a(a - 2)} = \mfrac{ -a }{ a(a - 2) } = \mfrac{ - 1 }{ a - 2 } = \mfrac{ 1 }{ 2 - a } \] \[ z = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & 1 & a \\ 1 & a - 1 & 0 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ 0 + a + (a - 1)^2 - (1 + 0 + a(a - 1)) }{a(a - 2)} = \mfrac{a + a^2 - 2a + 1 - 1 - a^2 + a}{ a(a - 2) } = \mfrac{ 0 }{ a - 2 } = 0 \] El punto donde se cortan es \[ \left ( \mfrac{ a - 1 }{ a - 2 }, \mfrac{ 1 }{ 2 - a }, 0 \right )\]



Apartado b)

El rango(M) = 2, si $a = 0$ o $a = 2$.

Veamos el caso $a = 0$ $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x + y + z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y - z = 0 \end{cases} $$ En este caso, rango(M) = rango (M') = 2 y los planos $\pi_2$ y $\pi_3$ son coincidentes. Luego los tres planos comparten una recta. Vamos a calcular la recta de corte: Sumando las dos ecuaciones: $2x = 1 \implies x = \mfrac{1}{2}$ y luego tenemos $y + z = \mfrac{1}{2}$. Si hacemos $y = \lambda$ entonces: \[ z = \mfrac{1}{2} - y = \mfrac{1}{2} - \lambda \] \[ \text{ Al final la ecuación de la recta en paramétricas es la siguiente: }r : \begin{cases} x = \mfrac{1}{2} \\ \\ y = \lambda \\ \\ z = \mfrac{1}{2} - \lambda \end{cases} \]



Veamos el caso $a = 2$ $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x - y - z = 0 \end{cases} $$ En este caso, rango(M) = 2 y rango (M') = 3. Hay planos secantes, por ser rango(M) = 2, pero dos de esos planos son paralelos ($\pi_1$ y $\pi_2$). El tercer plano es secante con los otros dos que son paralelos, pero los tres planos no comparten la recta.

Análisis. PAU.

La Rioja PAU (2026) junio CCSS Una empresa tecnológica de nueva creación estima que su beneficio (en cientos de euros) durante los 10 primeros meses, desde su apertura, vendrá dado por la función: $$f(x) = x^3 - 15x^2 + 48x + 120 \quad x \in [0, 10]$$ donde $x$ representa el número de meses transcurridos. Se pide:

1. Calcula el beneficio de la empresa a los 3 meses de su apertura.
2. Calcula los extremos relativos de $f$. En este período de 10 meses, es decir en el intervalo [0, 10], calcula cuál será el beneficio máximo y cuál será el mínimo; determina cuándo se alcanzarán.
3. Considera la función $g(x) = f'(x)$; calcula el área limitada por la gráfica de $g$, el eje $X$, la recta $x = 0$ y la recta $x = 2$.

a) $f(3) = 3^3 - 15 \cdot 3^2 + 48 \cdot 3 + 120 = 27 - 135 + 144 + 120 = 136 \implies 13.600 \text{€}$

b) Vamos a derivar $f(x)$, $f'(x) = 3x^2 - 30x + 48$ y tenemos que resolver la ecuación $f'(x) = 0$: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 30x + 48 = 0 \implies x^2 - 10x + 16 = 0 \implies (x - 2)(x - 8) = 0 \] $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & [0, 2) & 2 & (2, 8) & 8 & (8,10] \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & + & 0 & - & 0 & + \\[2.5ex] \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \\[2.5ex] \end{array} $$ Beneficio máximo $f(2) = 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 + 120 = 8 - 60 + 96 + 120 = 164 \implies 16.400 \text{€}$

Beneficio mínimo $f(8) = 8^3 - 15 \cdot 8^2 + 48 \cdot 8 + 120 = 8 \cdot 8^2 - 15 \cdot 8^2 + 6 \cdot 8^2 + 120 = -64 + 120 = 56 \implies 5.600 \text{€}$

c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{0}{2}{ (3x^2 - 30x + 48) }{dx} = \left [ x^3 - 15x^2 + 48x \right]^2_0 = 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 = 8 - 60 + 96 = 44 u^2 \]



La Rioja PAU (2026) junio CCSS Dada la función $f(x) = \mfrac{x + a}{(x - 1)^2}, \quad \text{(a: número real)}$, se pide:

1. Halla el valor de «$a$» para que la gráfica de $f$ pase por el punto (0, 2). Para dicho valor de «$a$», calcula el dominio de $f$, las asíntotas y los puntos de corte de dicha gráfica con los ejes coordenados.
2. Para $a = 1$: Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como los extremos relativos.
3. Para $a = 1$: Calcula la integral definida $\mintd{2}{3}{ f(x)(x - 1)^3}{dx}$ e interpreta geométricamente el resultado obtenido.

a) $f(0) = 2 \implies \mfrac{a}{ 1 } = 2 \implies a = 2 \implies f(x) = \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} $

$Dom f(x) = \R \setminus \{1\}$

Puntos de corte: con el eje $Y$ ya lo tenemos. Con el eje $X$: \[ 0 = \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} \implies 0 = x + 2 \implies x = -2 \] Asíntotas horizontales $y = 0$: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = 0 \qquad \milmt{x}{- \infty}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = 0 \] Asíntotas verticales en $x = 1$: \[ \milmt{x}{1^+}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = +\infty \qquad \milmt{x}{1^-}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = +\infty \] Asíntotas oblicuas no tiene: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{ f(x) }{ x } } = 0 \qquad \milmt{x}{- \infty}{ \mfrac{ f(x) }{ x } } = 0 \]

b) Sea $f(x) = \mfrac{x + 1}{(x - 1)^2}$, vamos a derivar la función para estudiar sus extremos y creciemiento/decrecimiento: \[ f'(x) = \mfrac{(x - 1)^2 - (x + 1)2(x -1)}{(x - 1)^4} = \mfrac{(x - 1) - 2(x + 1)}{(x - 1)^3} = \mfrac{x - 1 - 2x -2 }{(x - 1)^3} = \mfrac{-(x + 3) }{(x - 1)^3} \] $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, 1) & 1 & (1, +\infty) \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & - & 0 & + & \text{No definida} & - \\[2.5ex] \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & - & \searrow \\[2.5ex] \end{array} $$

c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{2}{3}{ f(x) \cdot (x - 1)^3 }{dx} = \mintd{2}{3}{ \mfrac{x + 1}{(x - 1)^2} \cdot (x - 1)^3 }{dx} = \mintd{2}{3}{ (x + 1) \cdot (x - 1) }{dx} = \] \[ = \mintd{2}{3}{ (x^2 - 1) }{dx} = \left [ \mfrac{x^3}{3} - x \right ]^3_2 = 9 - 3 - \left ( \mfrac{8}{3} - 2 \right ) = 6 - \mfrac{2}{3} = \mfrac{16}{3}u^2 \] La función del integrando $h(x) = f(x) \cdot (x-1)^3 = (x + 1)(x - 1)$ es continua y positiva en el intervalo de integración $[2, 3]$, el valor obtenido $\mfrac{16}{3}$ representa el área de la región plana acotada por la gráfica de dicha función, el eje $X$ y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 3$.



La Rioja PAU (2026) junio Halla el área total de la figura limitada por y = x^3, y = 2x e y = x.

Las tres funciones son impares (ya veremos para que sirve esto más adelante). Si hacemos un dibujo de las funciones, se ve que la recta $y = x$ es l bisectriz del $\odn{1}{er}-\odn{3}{er}$ cuadrante, la recta $y = 2x$ va por encima de la recta anterior y luego la curva $y = x^3$ va por debajo de la la bisectriz en el intervalo $[0, 1]$ y entre $[1, \msqrt{2}]$ va entre las dos rectas. Veamos de donde salen estos puntos:

Intersección $y = x$ e $ y =x^3 \implies x = x^3 \implies x = 0, \pm 1$

Intersección $y = 2x$ e $ y =x^3 \implies 2x = x^3 \implies x = 0, \pm \msqrt{2}$

El área la dividimos entre 0 y 1, el área entre $y = 2x$ e $ y =x$; y entre 1 y $\msqrt{2}$, el área enre las funciones $y=2x$ e $y = x^3$: \[A = \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = (*) \] \[ = \mintd{0}{1}{(x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = \] Vamos con la primera integral: \[ \Bigg [ \mfrac{x^2}{2} \Bigg]^1_0 = \mfrac{1}{2} \] Ahora a por la segunda: \[ \Bigg [ x^2 - \mfrac{x^4}{4} \Bigg ]^{\msqrt{2}}_1 = \left (2 - \mfrac{4}{4} \right ) - \left (1 - \mfrac{1}{4} \right ) = 1 - \mfrac{3}{4} = \mfrac{1}{4} \] Juntando las dos integrales nos queda: \[ (*) = \mfrac{1}{2} + \mfrac{1}{4} = \mfrac{3}{4} \] Hemos dicho que las funciones son impares, luego a la izquierda hay un área igual pero en la parte negativa, así el área total es el doble del área calculada: \[ Área Total = 2 \cdot \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = 2 \cdot \mfrac{3}{4} = \mfrac{3}{2} u^2 \]

La Rioja PAU (2026) Sea $f(x) = \mfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$. Determinar todas las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función $f$. Las rectas tangentes horizontales son las paralelas al eje $X$, es decir, las que tienen pendiente cero, que coinciden con los extremos de la función. Si derivamos la función: \[ f'(x) = x^2 - 4x + 3 \] y resolvemos la ecuación $f'(x) = 0$, cuyas soluciones son $x = 1$ y $x = 4$ por las fórmulas de Cardano-Vieta.

Calculamos las ecuaciones de las rectas tangentes en esos valores de $x$:

$\bullet\ $ Para $x = 1$ la ecuación de la recta será $x = f(1) \implies x = \mfrac{7}{3}$

$\bullet\ $ Para $x = 3$ la ecuación de la recta será $x = f(3) \implies x = 1$

La Rioja PAU (2026) Dados $a, b \in \mathbb{R}$, estudia la continuidad de $f$, en función de $a, b$, para todos los puntos de $\mathbb{R}$ de la siguiente función: \[ f(x) = \begin{cases} e^{ax+b}, & \text{si } x < 1, \\ e, & \text{si } x = 1, \\ e - ax + 1, & \text{si } x > 1. \end{cases} \] Para que sea continua la función $f(x)$ tiene que cumplir que \[ \milmt{x}{1^-}{ f(x) } = f(1) = \milmt{x}{1^+}{ f(x) } \] Veamos el límite por la izquierda: \[ \milmt{x}{1^-}{ f(x) } = \milmt{x}{1^-}{ e^{a + b} } = e \implies a + b = 1\] Veamos el límite por la derecha: \[ \milmt{x}{1^+}{ f(x) } = \milmt{x}{1^-}{ e - ax + 1 } = e \implies -a + 1 = 0 \implies a = 1 \] Como $a = 1$ y tenemos que $a + b = 1 \implies b = 0$. Luego la función $f$ queda de la siguiente forma: \[ f(x) = \begin{cases} e^{x}, & \text{si } x < 1, \\ e, & \text{si } x = 1, \\ e - x + 1, & \text{si } x > 1. \end{cases} \]

La Rioja PAU (2026) julio CCSS II Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en mg/l) viene modelada por la función: $$C(x) = \mfrac{a \cdot x}{x^2 + 4}, \quad x > 0, \quad \text{(a: número real)}$$ siendo «$x$» el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración. Se pide:

1. Calcula el valor de «$a$» sabiendo que la concentración de la sustancia en sangre transcurridas 4 horas es de $0,20 mg/l$.
Calcula $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} C(x)$ e interpreta el resultado sabiendo lo que representan $x$ y $C(x)$.
2. Para $a = 1$: Calcula los intervalos de tiempo en los que la concentración aumenta y aquellos en los que disminuye. Estudia si la función posee o no algún extremo relativo, y en caso afirmativo, razona si se trata de un máximo o de un mínimo.
3. Calcula el valor de «$a$» para que se verifique la igualdad: $$\displaystyle \int_{1}^{2} (x^2 + 4) C(x) \, dx = 6.$$
a) $ C(4) = 0,2 \implies \mfrac{a \cdot 4}{4^2 + 4} = 0,2 \implies 4a = 0,2 \cdot 20 \implies 4a = 4 \implies a = 1 $

\[ \milmt{x}{+\infty}{C(x)} = 0 \] Quiere decir que con el tiempo el la concentración en sangre de la sustancia desaparece.

b) Tenemos que derivar $C(x)$. \[ C'(x) = \mfrac{x^2 + 4 - x(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{x^2 + 4 - 2x^2}{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{4 - x^2 }{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{(2 - x)(2 + x)}{(x^2 + 4)^2} \] $x$ significa el tiempo, es decir $x > 0$. Estudiando el signo de la derivada, vemos que en $(0, 2)$ la función $C(x)$ crece y en $(2, +\infty)$ decrece, así en $x = 2$ la función tiene un máximo, ya que pasa de creciente a decreciente y su valor es $C(2) = \mfrac{2}{2^2 + 4} = \mfrac{2}{8} = \mfrac{1}{4} $

c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{1}{2}{ (x^2 + 4) \cdot C(x) }{dx} = 6 \implies \mintd{1}{2}{ (x^2 + 4) \cdot \mfrac{ax}{x^2 + 4} }{dx} = 6 \implies \] \[ \implies \mintd{1}{2}{ \cancel{(x^2 + 4)} \cdot \mfrac{ax}{ \cancel{(x^2 + 4)} } }{dx} = 6 \implies \mintd{1}{2}{ ax }{dx} = 6 \implies \] \[ \implies a \cdot \left [ \mfrac{x^2}{2} \right]^2_1 = 6 \implies a \cdot \left (2 - \mfrac{1}{2} \right ) = 6 \implies a \cdot \mfrac{3}{2} = 6 \implies 3 \cdot a = 12 \implies a = 4 \]



La Rioja PAU (2026) julio CCSS II Dada la función $f(x) = \mfrac{ax^2 + b}{x^3}$ ($a, b$: números reales), se pide:
1. Calcula los valores de «$a$» y «$b$» sabiendo que la gráfica de $f$ pasa por el punto $P = (1, 3)$ y que la recta tangente a esta curva en $P$ es paralela a la recta de ecuación $y = -5x + 2$.
2. Para b = 4, calcula el valor de «$a$» para que la función posea un extremo relativo en $x = 2$. Para este valor de «$a$», indica si en $x = 2$ la función alcanza un máximo o un mínimo relativo.
3. Para a = 2, calcula el valor de «$b$» para que se verifique la igualdad: $$ \mintd{1}{3}{ x^4 f(x) }{dx} = 12 $$
a) $f(1) = 3 \implies a + b = 3$ y $f'(1) = 5 \implies $. Vamos a calcular la derivada de $f(x)$: \[ f'(x) = \mfrac{ 2ax \cdot x^3 - 3x^2(ax^2 + b) }{ (x^3)^2 } = \mfrac{ 2ax^4 - 3ax^4 - 3bx^2 }{ (x^3)^2 } = \] \[ = \mfrac{ -ax^4 - 3bx^2 }{ (x^3)^2 } = \mfrac{ -x^2(ax^2 + 3b) }{ x^6 } = \mfrac{ -(ax^2 + 3b) }{ x^4 } \] Ahora imponemos $f'(1) = -5 \implies -a - 3b = - 5 \implies a + 3b = 5 $

Junytamos las dos condiciones y tenemos un sistemas: \[ \begin{cases} a + b = 3 \\ a + 3b = 5 \end{cases} \] A la primera ecuación le restamos la segunda: $-2b = -2 \implies b = 1 \implies a = 3 -b = 3 - 1 = 2$

b) $f(x) = \mfrac{ax^2 + 4}{x^3}$ Se tiene que anular la derivada en $x = 2$: \[ f'(x) = \mfrac{ -(ax^2 + 12) }{ x^4 } \] \[ f'(2) = 0 \implies \mfrac{ - 12 - 4a }{ 16 } = 0 \implies - 12 - 4a = 0 \implies a = -3 \] Entonces $f(x) = \mfrac{-3x^2 + 4}{x^3}$ y $f'(x) = \mfrac{ 3(x^2 - 4) }{x^4} = \mfrac{ 3(x - 2)(x + 2) }{x^4} $

A la izquierda de 2 la derivada es negativa, decrece, y a la derecha del 2 la función es positiva, crece, luego la función tiene en $x = 2$ es un mínimo. $f(2) = \mfrac{-3 \cdot 2^2 + 4}{2^3} = \mfrac{-8}{8} = -1$

c) Ahora $f(x) = \mfrac{2x^2 + b}{x^3}$ y nos piden que calculemos $b$ de forma que: \[ \mintd{1}{3}{ x^4 \cdot \mfrac{2x^2 + b}{x^3} }{dx} = 12 \implies\mintd{1}{3}{ 2x^3 + bx }{dx} = 12 \implies \] \[ \implies \left [ \mfrac{x^4}{2} + b \cdot \mfrac{x^2}{2}\right ]^3_1 = 12 \implies \mfrac{81}{2} + \mfrac{9b}{2} - \mfrac{1}{2} - \mfrac{b}{2} = 12 \implies \] \[ \implies \mfrac{80}{2} + \mfrac{8b}{2} = 12 \implies 40 + 4b = 12 \implies 4b = -28 \implies b = -7 \]

Álgebra. PAU.

PAU Larioja 2026 (junio) CCSS Una pareja compra en una tienda especializada tres electrodomésticos: A, B у C, pagando por ellos un total de 1000 euros. Lo que les ha costado A representa el 40% de lo gastado en C; y, además, la suma total del dinero gastado en la compra de B y de C cuadruplica el pagado por A. Calcula cuánto le ha costado a esta pareja cada uno de los tres electrodomésticos.

$x = $ Importe electrodoméstico A; $y = $ Importe electrodoméstico B; $z = $ Importe electrodoméstico C; Vamos a plantear las ecuaciones: $x + y + z = 1000 $

$x = 0,4z$

$y + z = 4x $

Que forman el sistema que vamos a resolver: \[ \begin{cases} x + y + z = 1000 \\ x = 0,4z \\ y + z = 4x \end{cases}\] Se puede resolver matricialmente, pero en este caso no merece la pena. De la tercera ecuación, usando la segunda, sacamos una relación entre $x$ e $y$: \[ y = 4x - z = 1,6z - z = 0,6z \] Sustituimos en la primera ecuación: \[ x + y + z = 1000 \implies 0,4z + 0,6z + z = 1000 \implies 2z = 1000 \implies z = 500 \text{€}\] Ahora despejamos $x$ e $y$:

$x = 0,4z = 0,4 \cdot 500 = 200 \text{€}$

$y = 0,6z = 0,6 \cdot 500 = 300 \text{€}$



PAU Larioja 2026 (junio) CCSS Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix}$, $a, b$: números reales, se pide:

1. Calcula los valores de «$a$» y «$b$» para que se verifique la igualdad: $A \cdot B = B \cdot A$.
2. Calcula una matriz $X$ que cumpla la igualdad: $X \cdot A^4 = I_2$. (I_2 representa la matriz identidad de orden 2)

a) Vamos a hacer las cuentas para que $A \cdot B = B \cdot A$: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 4 + 2a & 5 + 2b \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 13 \\ a & b \end{pmatrix} \] La segunda fila ya coincide, veamos la primera fila, tenemos:

$4 + 2a = 4 \implies 2a = 0 \implies a = 0$ y por otro lado $5 + 2b = 13 \implies 2b = 8 \implies b = 4$.

b) Vamos a calcular $X$, $A$ es inversible ya que $|A| = 1$ luego $X = A^{-4}$, vamos a calcular $A^{-1}$, después $A^{-2}$ y por último $A^{-4}$: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad A^{-2} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ A^{-4} = A^{-2} \cdot A^{-2} = \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ X = \begin{pmatrix} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]



PAU Larioja 2026 (julio) Dos productos A y B compiten en el mercado. Sus demandas $x_a$ y $x_b$ están relacionadas con sus precios, $p_a$ y $p_b$, por las siguientes ecuaciones de demanda: $$x_a = 17 - 2p_a + \mfrac{1}{2}p_b, \qquad x_b = 20 - 3p_b + \mfrac{1}{2}p_a.$$ Las ecuaciones de oferta son: $$p_a = 2 + x_a + \mfrac{1}{3}x_b, \qquad p_b = 2 + \frac{1}{2}x_b + \mfrac{1}{4}x_a,$$ que dan los precios a los cuales las cantidades $x_a$ e $x_b$ estarán disponibles en el mercado. Calcula los valores de equilibrio de $x_a, x_b, p_a$ y $p_b$ que resuelven el sistema planteado: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_a \\ x_b \\ p_a \\ p_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ Vamos a resolver el problema: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr -1 & -1/3 & 1 & 0 & 2 \cr -1/4 & -1/2 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \] Vamos a hacer ceros por debajo de la diagonal: Primer paso, a la $\odn{3}{a}$ fila le suma la $\odn{1}{a}$ y a la $\odn{4}{a}$ fila le sumo la $\odn{1}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{4}$: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & -1/3 & 3 & -1/2 & 19 \cr 0 & -1/2 & 1/2 & 7/8 & 25/4 \end{array} \right) \] Segundo paso, a la $\odn{3}{a}$ fila le suma la $\odn{2}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{3}$ (el resultado final lo multiplicamos por 6) y a la $\odn{4}{a}$ fila le sumo la $\odn{2}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{2}$ (el resultaod final lo multiplicamos por 4): \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 17 & 3 & 154 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \end{array} \right) \] Tercer paso. permutamos la $\odn{3}{a}$ y la $\odn{4}{a}$: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \cr 0 & 0 & 17 & 3 & 154 \end{array} \right) \] Cuarto paso, a la $\odn{4}{a}$ fila le suma la $\odn{4}{a}$ multiplicada por $-17$ (el resultado final lo multiplicamos por 3): \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \cr 0 & 0 & 0 & 317/2 & 951 \end{array} \right) \] Ahora despejamos el sistema de abajo hacia arriba, empezmos por $p_b$: \[ \mfrac{317}{2} p_b = 951 \implies 317 p_b = 1902 \implies p_b = 6 \] Ahora $p_a$: \[ p_a + \mfrac{19}{2} \cdot p_b = 65 \implies p_a = 65 - \mfrac{19}{2} \cdot 6 = 65 - 57 = 8 \] Ahora $x_b$: \[ x_b - \mfrac{1}{2} \cdot p_a + 3 \cdot p_b = 20 \implies x_b = 20 + \mfrac{1}{2} \cdot 8 - 3 \cdot 6 = 20 + 4 - 18 = 6 \] Ahora $x_a$: \[ x_a + 2 \cdot p_a - \mfrac{1}{2} \cdot p_b = 17 \implies x_a = 17 - 2 \cdot 8 + \mfrac{1}{2} \cdot 6 = 17 - 16 + 3 = 4 \] Vamos a comprobar la solución: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 16 - 3 \\ 6 - 4 + 18 \\ -4 - 2 + 8 \\ -1 - 3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ PAU La Rioja 2026 (julio) Dada la matriz $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},$$ calcula $A = I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t$ y comprueba que es idempotente, es decir, que $A^2 = A$. Primero vamos a calcular la traspuesta de $X$: \[ X^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] Ahora hacemos el producto de matrices $X^t \cdot X$, ordenes de las matrices $(2 \times 4) \cdot (4 \times 2) = (2 \times 2)$: \[ X^t \cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 7 & 15 \end{pmatrix} \] El resultado es una matriz inversible (|X^t \cdot X| = 11 \neq 0) y se calcula muy fácilmente: \[ (X^t \cdot X)^{-1} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \] Vamos a ir calculando $A$ poco a poco, ahora multiplicamos $X \cdot (X^t \cdot X)^{-1}$: \[ X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 1 & 1 \\ 8 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} \] Ahora hacemos $X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} \cdot X^t$: \[ X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} \cdot X^t = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 1 & 1 \\ 8 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} \] Ahora el paso final: \[ A = I_4 - \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -2 & -5 & 1 \\ -2 & 8 & -2 & -4 \\ -5 & -2 & 6 & 1 \\ 1 & -4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]  Ahora veamos que $A^2 = A$ de una forma sencilla: \[ A^2 = (I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t)^2 = I_4^2 - 2 \cdot I_4 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + (X(X^t X)^{-1} X^t)^2 = \] \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} X^t \cdot X(X^t X)^{-1} X^t = \] \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} \textcolor{blue}{ X^t \cdot X (X^t X)^{-1} } X^t = \] el texto en azul es la identidad de orden 2: \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} \textcolor{blue}{ I_2 } X^t = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} X^t = \] \[ = I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t = A \]



PAU Larioja 2026 (julio) CCSS Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}, a$ número real. Se pide:

1. Calcula el valor de «$a$» para que se cumpla: $M^2 = I$. Para ese valor de «$a$», calcula la matriz inversa de $M$ y halla $M^{21}$.
2. Para $a = 1$: calcula una matriz $X$ que verifique la igualdad: $M \cdot X + M^T = 2I$. ($I$ representa la matriz identidad orden 2 y $M^T$ la matriz traspuesta de $M$).

a) Vamos a calcular $M^2$: \[ M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 1 & 0 \\ 0 & a^2 + 1 \end{pmatrix} \] Para que $M^2 = I_2 \implies a = 0$ Así $M$ queda: $ M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $

Vamos a calcular $M^{21}$ con $a = 0$: \[ M^{21} = M^{20} \cdot M = (M^2)^{10} \cdot M = I_2 \cdot M = \cdot M \]

b) Ahora $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ y queremos resolver esta acuación $M \cdot X + M^T = 2I$: \[ M \cdot X + M^T = 2I_2 \implies M \cdot X = 2I - M^T \implies X = M^{-1} \cdot (2I_2 - M^T) \] La traspuesta de $M$ es $M^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = M $

Y la inversa de $M$ es $M^{-1} = \mfrac{-1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $

Juntándolo todo tenemos: \[ X = M^{-1} \cdot (2I_2 - M^T) = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left [ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right ] = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \] \[ = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \]



PAU Larioja 2026 (julio) CCSS Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$, se pide:

1. Calcula $A^2$ y calcula el determinante de la matriz inversa de $A$.
2. Calcula una matriz $X$ que verifique la igualdad: $X \cdot A = B^T + I_3$ ($B^T$: matriz traspuesta de $B$, $I_3$: matriz identidad orden 3)

a) Vamos a calcular $A^2$: \[A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3 \] Vamos a calcular el determinante de $A^{-1}$ sabemos que $A^{-1} = \mfrac{1}{|A|} = \mfrac{1}{-1} = -1 $

b) Vamos a calcular $X, X \cdot A = B^T + I_3 \implies X = (B^T + I_3) \cdot A^{-1}$ para ello necesitamos la inversa de $A$ y la $B^T$. Para calcular $A^{-1}$ usaremos el apartado anterior, ya que $A^{-1} = A$.

$B^T = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ Hacemos las cuentas: \[ X = (B^T + I_3) \cdot A^{-1} = \left [ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right ] \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 3 \\ 5 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Problemas de optimización. PAU.

PAU La Rioja (2026 junio) Una empresa fabrica dos tipos de herramientas, A y B. Para su elaboración utiliza madera y acero. Para fabricar una herramienta A se necesitan 300 gramos de madera y 100 gramos de acero; en el caso de B, las cantidades requeridas son 100 y 200 gramos respectivamente. Dispone diariamente de un máximo de 3 kilogramos de madera y 2 kilogramos de acero. Estas herramientas le proporcionan un beneficio de 20 euros por unidad de A y de 15 euros por cada una de B. Además, se deben fabricar diariamente al menos 2 herramientas de tipo A y al menos 3 de tipo B. Se pide:

1. (0,5 PUNTOS) Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa.
2. (0,5 PUNTOS) Representa la región factible S.
3. (0,5 PUNTOS) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
4. (0,5 PUNTOS) Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo.

a) Lo primero que hacemos es definir las variables que vamos a usar en este ejercicio: $x$: Número de herramientas de tipo A.$y$: Número de herramientas de tipo B. Función objetivo (Maximizar el beneficio): $$f(x,y) = 20x + 15y$$ Restricciones:

Madera: $300x + 100y \le 3000 \implies 3x + y \le 30$

Acero: $100x + 200y \le 2000 \implies x + 2y \le 20$

Mínimo de tipo A: $x \ge 2$

Mínimo de tipo B: $y \ge 3$

b) Región factible $S$ y c) Coordenadas de los vértices

Dibujamos las rectas y nos sale la siguiente región factible:

Al cruzar estas rectas correctas en el plano, la región factible sigue siendo un cuadrilátero, pero con vértices completamente enteros. Los obtenemos resolviendo los sistemas de ecuaciones de las líneas que se cruzan:

Cruce de los mínimos ($x=2$ e $y=3$): Vértice $A = (2, 3)$

Cruce de $y=3$ con la recta de la madera ($3x + y = 30$):$3x + 3 = 30 \implies 3x = 27 \implies x = 9$

Vértice $B = (9, 3)$ (Cumple la restricción de acero porque $9 + 2(3) = 15 \le 20$)

Cruce de las dos restricciones de materiales ($3x + y = 30$ y $x + 2y = 20$): Multiplicamos la segunda por 3: $3x + 6y = 60$

Restamos la primera: $5y = 30 \implies y = 6$ Sustituimos para hallar $x$: $x + 2(6) = 20 \implies x = 8$ Vértice $C = (8, 6)$Cruce de $x=2$ con la recta del acero ($x + 2y = 20$):$2 + 2y = 20 \implies 2y = 18 \implies y = 9$

Vértice $D = (2, 9)$ (Cumple la restricción de madera porque $3(2) + 9 = 15 \le 30$)

d) Optimización (Beneficio máximo) Evaluamos la función objetivo $f(x,y) = 20x + 15y$ en cada uno de los 4 vértices obtenidos:

$f(2,3) = 20(2) + 15(3) = 40 + 45 = 85\text{ €}$
$f(9,3) = 20(9) + 15(3) = 180 + 45 = 225\text{ €}$
$f(2,9) = 20(2) + 15(9) = 40 + 135 = 175\text{ €}$
$f(8,6) = 20(8) + 15(6) = 160 + 90 = 250\text{ €}$

PAU La Rioja (2026 junlio) En Semana Santa, dos pasos salen en procesión por dos calles perpendiculares. El primer paso sale de la iglesia $A$ a $3 km/h$ y el segundo sale a la misma hora de la iglesia $B$ a $2,8 km/h$, ambos en sentido al mismo cruce de las calles. La distancia de la iglesia $A$ hasta el cruce es de $2,2 km$ y desde la iglesia $B$ hasta el cruce, de $2 km$.

1. Determina en qué momento la distancia entre los dos pasos es mínima.
2. Determina la distancia mínima.

Lo mejor es hacerse un esquema:

La trayectoria del paso de la iglesia $A$ es $(2, 0) + 3t(0,1) = (2, 3t)$

La trayectoria del paso de la iglesia $B$ es $(0, 2.2) + 2,8t(1,0) = (2.8t, 2.2)$

La distancia entre las trayectorias de $A$ y $B$ viene dada por la fórmula: \[ d(A, B) = \msqrt{ (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 } \] Luego la función a optimizar es $f(t) = (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 $ \[ f'(t) = 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) \] Vamos a ver para que valor de $t$ se anula la derivada: \[ 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) = -13,2 + 18t -11,2 + 15,68t = 0 \implies \] \[ \implies 33,68t - 24,2= 0 \implies t = \mfrac{24,2}{33,68} \approx 0,72 \text{horas } \approx 43,2 \text{minutos} \] La distancia mínima es cuando llegan: \[ d_{mín}(A, B) = f(0,72) = \msqrt{ (2,2 - 3 \cdot 0,72)^2 + (2 - 2,8 \cdot 0,72)^2 } = \msqrt{ 0,0016 + 0,000256 } = \msqrt{ 0,001856 } \approx 0,043km = 43m \]



PAU La Rioja (2026 junio) CCSS II En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas A y B. Para tabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda A requiere de 3 horas de corte y 2 de costura; cada prenda B, de 1 y 4 horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de 15 horas para el corte y de 20 horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de A son de 100 € y por cada una de B, 120 €. Se pide:

1. Plantea el problema de programación lineal para maximizar los ingresos de la sastrería.
2. Representa la región factible S.
3. Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
4. Calcula el número de prendas de cada tipo a confeccionar para que los ingresos sean máximos. Indica el valor de estos ingresos.

$x$ = número de prendas tipo A e $y$ = número de prendas tipo B.

Vamos con el apartado a):

REstricción del número de prendas: $x \leq 0$, $y \leq 0$

Restricción de horas de corte: $3x + y \leq 15$

Restricción del número de horas de costura: $2x + 4y \leq 20$ c y la función a optimizar es $f(x, y) = 100x + 120y $

b) y c) Veamos la región factible y las coordenadas de los vértices:

d) Los valores en los vértces:

$f(5, 0) = 100 \cdot 5 = 500 $

$f(0, 5) = 120 \cdot 5 = 600 $

$f(4, 3) = 100 \cdot 4 + 120 \cdot 3 = 400 + 360 = 760$€

Probabilidad y Estadística. PAU.

Enlace a la tabla de la Normal $N(0, 1)$ y la Calculadora de la Normal en GeoGebra:





Vamos con los ejercicios de la PAU:



PAU 2026 La Rioja junio Una fábrica de café envasa su producto en paquetes cuyo peso sigue una distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma$. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 paquetes, cuyo peso medio ha sido 500 gramos, y se ha calculado el siguiente intervalo de confianza al 91% para estimar $\mu: (496.6, 503.4)$. Se pide:

1. Calcula el valor de la desviación típica ( $\sigma$).
2. Con la misma muestra y la misma $\sigma$: si ahora se pretende que el error cometido en la estimación sea a lo sumo de 2,94 gramos, razona si el nivel de confianza ahora sería mayor o menor que 91%.

Para resolver el apartado a).

Tenemos que buscar el valor de $\alpha$ que tenga el intervalo de confianza del 93%. Así \[ 1 - \alpha = 0,91 \implies \alpha = 1 - 0,91 = 0,09 \] Ahora calculamos $z_{\frac{\alpha}{2}}$: \[ P(Z \leq z_{\frac{\alpha}{2}} ) = 1 - \mfrac{\alpha}{2} = 1 - \mfrac{0,09}{2} = 1 - 0,045 = 0,955 \] Luego \( z_{\alpha/2} = 1,69 \) y el error es $E = 3,4$ (la mitad de la amplitud del intervalo de confianza: \[ 3,4 = 1,69 \cdot \mfrac{\sigma}{\msqrt{100}} \implies \sigma = \mfrac{34}{1,69} \approx 20,12 g \]

Para el apartado b): Manteniendo la media, la desviación típica y el tamaño de la muestra y querer reducir el error, es lógico que el intervalo de confianza se reduzaca. Vamos a calcular el nuevo $\alpha$: \[ 2,94 = \mfrac{z_{\alpha/2} \cdot 20,12}{ 10 } \implies z_{\alpha/2} = \mfrac{29,4}{20,12} = 1,46 \] Si buscas el valor 1.46 en la tabla de la distribución normal tipificada (fila 1.4 y columna 0.06) o en la calculadora de GeoGebra, encontrarás la probabilidad acumulada de 0.9279. Como esa es la probabilidad de que \[ P(Z \leq z_{\frac{\alpha}{2}} ) = 1 - \mfrac{\alpha}{2} = 0,9279 \implies 2 - \alpha = 1,8558 \implies \alpha = 0,1442 \] Así el Nivel de confianza es \[ 1 − α = 1 − 0,1442 =0,8558 \implies 85.58 \% \] Luego el nivel de confianza ha bajado, al querer reducir el error manteniendo los mismos datos.



PAU 2026 La Rioja junio En un importante evento deportivo, se sabe que el 1% de los participantes consume algún tipo de sustancia prohibida. Para detectar si este consumo ha tenido lugar o no, se puede hacer una determinada prueba. Dicha prueba detecta falsos positivos en un 2%, y falsos negativos, en un 6%. El día del evento, se elige un deportista al azar y se le hace la prueba, se pide:

1. Calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida y la prueba haya dado positiva.
2. Si el deportista ha dado positivo en la prueba, calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida.

Sea $A = $ El suceso tomar una sustancia prohibida. \( A^c = A'= \overline{A} = \) No tomar la sustancia prohibida.
Sea $B = $ El suceso dar positivo. \( B^c = B' = \overline{B} = \) dar negativo.

$a)$ Hay que recorrer el árbol según $A$ y después la rama del $B$.

Se multiplican las probabilidades: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \mfrac{1}{100} \cdot \mfrac{94}{100} = \mfrac{94}{10.000} = \mfrac{47}{5.000} \] \[ \mfrac{47}{ 5.000 } \approx 0,0094 (\text{ es decir, aproximadamente un } 0,94\% \text{ de probabilidad). } \] $b)$ Tenemos que aplicar el Teorema de la Probabilidad Total. \[ P(A | B) = \mfrac{ P(A \cap B) }{P(B)} = \mfrac{ P(A \cap B) }{ P(A \cap B) + P( \overline{A} \cap B) } = \mfrac{ \mfrac{94}{10.000} }{ \mfrac{94}{10.000} + \mfrac{198}{10.000} } = \mfrac{94}{ 94 + 198 } = \mfrac{94}{ 292 } = \mfrac{47}{ 146 } \] \[ \mfrac{47}{ 146 } \approx 0,3219 (\text{ es decir, aproximadamente un } 32,19\% \text{ de probabilidad). } \]



PAU 2026 La Rioja julio En una prueba de diagnóstigo médico se hace la medición de cierto índice que sigue una distribución normal. Los índices tipificados de dos individuos fueron 0.6 y -0.8 y sus índices reales son 109 y 88, respectivamente. Calcula:

1. la media y desviación típica del índice analizado.
2. entre que valores simétricos respecto a la media está el índice del 80% de los individuos de dicho estudio.

Vamos con el apartado a). Como la variable esta tipificada tenemos: \[ \begin{cases} 109 - \mu = 0,6 \cdot \sigma \cr \cr 88 - \mu = -0,8 \cdot \sigma \end{cases} \] Restamos la ecuaciones y nos queda: \[ 109 - 88 = 1,4 \cdot \sigma \implies \sigma = \mfrac{21}{1,4} = \mfrac{3}{0,2} = 15 \] Despejamos ahora $\mu$: \[ 109 - \mu = 0,6 \cdot 15 \implies \mu = 109 - 9 = 100 \]



Ahora el apartado b):

Para poder usar la tabla estándar, necesitamos saber qué valor de $z$ (positivo) deja acumulado a su izquierda todo el centro más la cola de atrás. Es decir: $$\text{Área a la izquierda de } z = \text{Centro} + \text{Cola izquierda} = 0.80 + 0.10 = 0.90$$ Buscamos en el interior de la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor más cercano a $0.9000$, el más exacto es $z_{\alpha} = 1,28$

Ahora que sabemos que nuestros límites están a $1,28$ desviaciones típicas de la media, usamos tus datos del apartado a ($\mu = 100$ y $\sigma = 15$) para calcular los índices reales ($x$). Despejamos la $x$ de la fórmula: \[ x = \mu + z \cdot \sigma \] Límite inferior ($x_1$): Usamos el $z_{\alpha} = 1,28$: $$x_1 = 100 + (-1,28) \cdot 15 = 100 - 19,2 = \mathbf{80,8}$$ Límite superior ($x_2$): Usamos el $z$ positivo. $$x_2 = 100 + (1,28) \cdot 15 = 100 + 19,2 = \mathbf{119,2}$$ El índice del 80% de los individuos de dicho estudio está comprendido entre 80,8 y 119,2.



PAU 2026 La Rioja julio CCSSII Según los resultados obtenidos en una investigación relativa al ocio digital juvenil, se observa que el 80% de los alumnos de cierta universidad esta suscrito a una plataforma musical, el 60% lo está a una de video y, además, el 90% tiene al menos una de las dos suscripciones. Se elige un alumno al azar, se pide:

1. Calcula la probabilidad de que esté suscrito a ambos tipos de plataformas.
2. Si está suscrito a una plataforma de video, calcula la probabilidad de que no lo esté a una de música.

a) Lo primero es definir los sucesos:

$M = $ suscrito a una plataform musical y $V = $ suscrito a una plataforma de vídeo

$P(M) = \mfrac{4}{5}; P(V) = \mfrac{3}{5}; P(M \cup V) = \mfrac{9}{10}$ Nos piden $P( M \cap V)$: \[ P( M \cap V) = P(M) + P(V) - P(M \cup V) = \mfrac{8}{10} + \mfrac{6}{10} - \mfrac{9}{10} = \mfrac{5}{10} = \mfrac{1}{2} = 0,5 = 50\% \]

b) La probabilidad de que pase un suceso y la probabilidad de que no pase (su complementario), condicionada al mismo suceso, suman 1: $$P(M|V) + P(\overline{M}|V) = 1$$ En el apartado anterior ya calculamos, podemos calcular primero la condicionada normal $P(M/V)$: $$P(M/V) = \mfrac{P(M \cap V)}{P(V)} = \mfrac{0,50}{0,60} = \mfrac{5}{6}$$ Ahora, despejamos la del complemmentario: $$P(\overline{M}|V) = 1 - P(M|V) = 1 - \mfrac{5}{6} = \mathbf{\mfrac{1}{6}} \approx 0,1667 \ (16,67\%)$$



PAU 2026 La Rioja julio CCSSII El peso de cierto tipo de quesos producidos en una quesería sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 60 gramos.

1. Se toma una muestra aleatoria de 36 quesos obteniéndose una media muestral de 980 gramos. Calcula un intervalo de confianza al 97% para estimar $\mu$.
2. Determina cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que al estimar $\mu$, con el mismo nivel de confianza, el error cometido sea, a lo sumo, de 10 gramos.

a) Para un nivel de confianza del 97%: $$1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03 \implies \mfrac{\alpha}{2} = 0,015$$ Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor cuya probabilidad acumulada sea: $$1 - \mfrac{\alpha}{2} = 1 - 0,015 = 0,9850$$ Buscando en la tabla $N(0,1)$ el valor exacto para $0,9850$, encontramos que corresponde a: $\mathbf{z_{\alpha/2} = 2,17}$

La fórmula del error es :$E = z_{\alpha/2} \cdot \mfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Sustituyendo: $$E = 2,17 \cdot \mfrac{60}{\sqrt{36}} = 2,17 \cdot \mfrac{60}{6} = 2,17 \cdot 10 = \mathbf{21,7\text{ g}}$$ Luego el intervalo de confianza al 97% será: \[ IC = (\bar{x} - E, \ \bar{x} + E) = (980 - 21,7, 980 + 21,7) = (\mathbf{958,3}, \mathbf{1001,7} ) \]

b) Ahora queremos que con los mismos datos el error sea $E \leq 10 $: \[ E \leq 10 \implies Z_{\alpha/2} \cdot \mfrac{\sigma}{\msqrt{n}} \leq 10 \implies 2,17 \cdot \mfrac{ 60 }{ \msqrt{n}} \leq 10 \implies \] \[ implies 2,10 \cdot 6 \leq \msqrt{n} \implies n \geq (2,17 \cdot 6)^2 \implies n \geq 169,52 \implies \mathbf{n \geq 170} \text{ quesos} \]

Integral definida. Propiedades. Ejercicios.

Si $\alpha$ están en el dominio de la función $f(x)$ entonces: \[ \mintd{\alpha}{\alpha}{ f(x) }{dx} = 0 \] Si $f(x)$ es integrable en $[a, b]$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = - \mintd{ b }{ a }{ f(x) }{dx} \] Si $f(x)$ es integrable en $[a, b]$ y $\beta \in \R$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ \beta \cdot f(x) }{dx} = \beta \cdot \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} \] Si $f(x)$ es constante, $f(x) = c$, es integrable en $[a, b]$ y $ c \in \R$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ c }{dx} = c \cdot \mintd{ a }{ b }{ }{dx} = c \cdot \Bigg [ x \Bigg ]^b_a = c \cdot (b - a) \] Si $f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x)$ son integrables en $[a, b]$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ (f_1(x) \pm f_2(x) \pm \ldots \pm f_n(x)) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ f_1(x) }{dx} \pm \mintd{ a }{ b }{ f_2(x) }{dx} \pm \ldots \mintd{ a }{ b }{ f_n(x) }{dx} \] Si $f(x)$ es integrable en un intervalo cerrado $[a, b]$ que contiene a tres valores $c,\ d\ \text{ y } \ e$ de forma que $c \leq d \leq e$ entonces: \[ \mintd{ c }{ e }{ f(x) }{dx} = \mintd{ c }{ d }{ f(x) }{dx} + \mintd{ d }{ e }{ f(x) }{dx} \] La variable de integración en una integral definida no afecta en el resultado final, por eso se le llama variable muda. Esto significa que puedes cambiar el nombre de la variable de integración sin alterar el valor de la integral, siempre que seas coherente dentro de la expresión. \[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ f(t) }{dt} \] Integral de funciones simétricas:

\( \bullet \) Si $f(x)$ es par, es decir, $f(-x) = f(x)$, entonces \( \mintd{-a}{a}{f(x)}{dx} = 2 \cdot \mintd{0}{a}{f(x)}{dx} \)

\( \bullet \) Si $f(x)$ es impar, es decir, $f(-x) = -f(x)$, entonces \( \mintd{-a}{a}{f(x)}{dx} = 0 \)

Propiedades de comparación:

1. Si $f(x) \geq 0$ en $a \leq x \leq b$, entonces \( \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \geq 0 \)



2. Si $f(x) \geq g(x) $ en $a \leq x \leq b$, entonces \( \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \geq \mintd{a}{b}{g(x)}{dx} \)



3. Si $m \leq f(x) \leq M$ en $a \leq x \leq b$, entonces \( m \cdot (b - a) \leq \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \leq M \cdot (b - a) \)

La fórmula de cuadratura de Cavalieri: \[ \mintd{0}{a}{x^n}{dx} = \mfrac{1}{n + 1} \cdot a^{n+1} \qquad , n \geq 0 \] Integral indefinida es: \[ \mint{x^n}{dx} = \mfrac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1} + C, \qquad n \neq 1 \] \( \bullet \) Ejercicio 1:

\( \bullet \) Ejercicio 2:

\( \bullet \) Ejercicio 3:

Lo primero es ver los puntos de corte de cada función con el eje $X$, el eje de abscisas:

Para $y = \msqrt{4 - x}$ Si $y = 0 \implies 4 - x = 0 \implies x = 4$

Para $y = \msqrt{4 - 4x}$ Si $y = 0 \implies 4 - 4x = 0 \implies x = 1$

Luego el área total se calcula de la siguiente forma: \[ A_t = \mintd{ 0 }{ 4 }{ \msqrt{4 - x} }{dx} - \mintd{ 0 }{ 1 }{ \msqrt{4 - 4x} }{dx} (1) \]  Para calcular las integrales las ponemos como potencias, es decir, $y = (4 - x)^{1/2}$ e $y = (4 - 4x)^{1/2}$, es más fácil y directa:

Vamos con la $\odn{1}{a}$ integral: \[ \mintd{ 0 }{ 4 }{ \msqrt{4 - x} }{dx} = \mintd{ 0 }{ 4 }{ (4 - x)^{1/2} }{dx} = \mfrac{-2}{3} \cdot \mintd{ 0 }{ 4 }{ \mfrac{-3}{2} (4 - x)^{1/2} }{dx} = \] \[ = \mfrac{-2}{3} \cdot \Bigg [ (4 - x)^{3/2} \Bigg ]^{4}_{0} = \mfrac{-2}{3} \cdot \Bigg [ (4 - 4)^{3/2} - (4)^{3/2} \Bigg ] = \mfrac{2}{3} \cdot (4)^{3/2} = \mfrac{16}{3} u^2 \] Vamos con la $\odn{2}{a}$ integral: \[ \mintd{ 0 }{ 1 }{ \msqrt{4 - 4x} }{dx} = \mintd{ 0 }{ 1 }{ 2(1 - x)^{1/2} }{dx} = \mfrac{-4}{3} \cdot \mintd{ 0 }{ 1 }{ \mfrac{-3}{2} (1 - x)^{1/2} }{dx} = \] \[ = \mfrac{-4}{3} \cdot \Bigg [ (1 - x)^{3/2} \Bigg ]^{1}_{0} = \mfrac{-4}{3} \cdot \Bigg [ (1 - 1)^{3/2} - (1)^{3/2} \Bigg ] = \mfrac{4}{3} \cdot (1)^{3/2} = \mfrac{4}{3} u^2\] Juntamos ambas integrales en $(1)$: \[ A_t = \mfrac{16}{3} - \mfrac{4}{3} = \mfrac{12}{3} = 4u^2 \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com