Determinantes. Propiedades. Inversa de una matriz. Regla de Cramer. Ejercicios resueltos.

¿Qué es un determinante?

Los determinantes son valores escalares que se asocian a matrices cuadradas, esto es, aquellas matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas. El determinante de una matriz es una medida numérica que proporciona información importante sobre la matriz y sus transformaciones lineales asociadas. El determinante de una matriz A se denota como det(A) o |A|.

$\bullet$ Determinante de una matriz $2 \times 2$:

$$ \begin{eqnarray} |A| = \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \cdot a_{ 22 } - a_{ 21 } \cdot a_{ 12 } \end{eqnarray} $$

$\bullet$ Determinante de una matriz $3 \times 3$:

$$ \begin{eqnarray} |A| = \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \cdot a_{ 22 } \cdot a_{ 33 } + a_{ 12 } \cdot a_{ 23 } \cdot a_{ 31 } + a_{ 21 } \cdot a_{ 32 } \cdot a_{ 13 } \\ \\ - ( a_{ 13 } \cdot a_{ 22 } \cdot a_{ 31 } + a_{ 21 } \cdot a_{ 12 } \cdot a_{ 33 } + a_{ 11 } \cdot a_{ 32 } \cdot a_{ 23 } ) \end{eqnarray} $$

$$ \begin{eqnarray} |A| = \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \cdot \begin{vmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} - a_{ 12 } \cdot \begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} + a_{ 13 } \cdot \begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 22 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix} = \\ \\ = a_{ 11 } \left ( a_{ 22 } \cdot a_{ 33 } - a_{ 32 } \cdot a_{ 23 } \right) - a_{ 12 } \cdot \left ( a_{ 21 } \cdot a_{ 33 } - a_{ 31 } \cdot a_{ 23 } \right) + a_{ 13 } \cdot \left ( a_{ 21 } \cdot a_{ 32 } - a_{ 31 } \cdot a_{ 22 } \right) = \\ \\ = a_{ 11 } \cdot a_{ 22 } \cdot a_{ 33 } + a_{ 12 } \cdot a_{ 31 } \cdot a_{ 23 } + a_{ 13 } \cdot a_{ 21 } \cdot a_{ 32 } - a_{ 11 } \cdot a_{ 32 } \cdot a_{ 23 } - a_{ 12 } \cdot a_{ 21 } \cdot a_{ 33 } - a_{ 13 } \cdot a_{ 31 } \cdot a_{ 22 } \end{eqnarray} $$

Propiedades de los determinantes:

1. Multiplicación por un escalar: Multiplicar una fila (o columna) por un escalar \( k \) multiplica el determinante por \( k \).
   
   
2. Si $A$ es una matriz de orden $n$ y $k$ es un número real: \[ |k \cdot A | = k^n \cdot |A| \]
3. Intercambio de filas o columnas: Intercambiar dos filas (o columnas) cambia el signo del determinante.
   
   
4. Operaciones elementales: Sumar un múltiplo de una fila (o columna) a otra no cambia el determinante.
   
   Sumar a otra fila (columna) multiplos de varias filas (columnas) no cambia el determinante.
   
   
5. Matriz triangular: El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de sus elementos diagonales.
   
   Ejemplos de determinantes de matrices triangulares superiores:
   
   $$ \begin{array}{ccc} |A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 = 6 & \qquad \phantom{prueba} \qquad & |B| = \begin{vmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 \cdot (-1) = -6 \end{array} $$ $$ |C|= \begin{vmatrix} 5 & 3 & 10 & -5 \\ 0 & 3 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 5 \cdot 3 \cdot (- 2) \cdot (- 3) = 90 $$
6. Si en un determinante los elementos de una fila o columna son sumas de dos sumandos, se puede descomponer en suma de dos determinantes.
   
   
7. El determinante de la suma de dos matrices cuadradas $A$ y $B$ no siempre es igual a la suma de los determinantes de $A$ y de $B$: \[ |A + B| \neq |A| + |B| \]
8. Matriz diagonal: El determinante de una matriz diagonal es el producto de sus elementos diagonales.
   
   
9. Matriz singular: Si el determinante vale 0.
   $\bullet\ $ Si una matriz tiene una fila (o columna) de ceros, su determinante es cero.
   
   $\bullet\ $ Si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su determinante es cero.
   
   
10. Multiplicación de matrices: El determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes de las matrices individuales. \[ | A \cdot B | = |A| \cdot | B | \]
    
11. Inversa de una matriz: El determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante original. \[ | A^{-1} | = \mfrac{1}{|A|} \]
    
12. Traspuesta de una matriz: El determinante de la traspuesta de una matriz es igual al determinante de la matriz original. \[ | A^{\top} | = |A| \]
    

Si $A$ y $B$ son matrices $n \times n$: \[ |A + B| \neq |A| + |B| \] \[ | − A| \neq |A| (\text{ es } | − A| = (−1)^n |A| ) \] \[ |kA| \neq k|A| (\text{ es } |kA| = k^n \cdot |A|) \]

Inversa de una matriz

Se llama Menor Complementario de un elemento $a_{ij}$ al determinante que se obtiene eliminando la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz original. La notación es $M_{ij}$.

Ejemplo: Sea la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 4 \\ -1 & 6 & 0 & -2 \\ 4 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$ Para calcular el menor complementario del elemento de la primera fila y primera columna ($a_{11} = 2$), tachamos la fila 1 y la columna 1, indicándolo de la siguiente forma: \[ \require{colortbl} A = \begin{pmatrix} \rowcolor[rgb]{0.94,0.5,0.5} 2 & -2 & -1 & 4 \\ \cellcolor[rgb]{0.94,0.5,0.5} -1 & 6 & 0 & -2 \\ \cellcolor[rgb]{0.94,0.5,0.5} 4 & 1 & 3 & 1 \\ \cellcolor[rgb]{0.94,0.5,0.5} 3 & 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] $$M_{11} = \begin{vmatrix} 6 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ (Nota: Recuerda que un menor es un determinante, lo que se representa con barras verticales.)

Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $n \times n$ se llama menor de orden $r$ de dicha matriz al determinante que se obtiene quedándonos con los elementos de las $r$ filas y $r$ columnas que se indiquen: \[ A \begin{pmatrix} i_1 i_2 \dots i_r \\ j_1 j_2 \dots j_r \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \dots & a_{i_1 j_r} \\ a_{i_2 j_1} & a_{i_2 j_2} & \dots & a_{i_2 j_r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i_r j_1} & a_{i_r j_2} & \dots & a_{i_r j_r} \end{vmatrix} \] con $i_1 < i_2 < \dots < i_r$ y $j_1 < j_2 < \dots < j_r$.

Veamos un ejemplo:

En la matriz $A$ queremos indicar el menor de orden 2 formado por las filas 1 y 3 y las columnas 2 y 4: filas elegidas: $i_1 = 1$, $i_2 = 3$; columnas elegidas: $j_1 = 2$, $j_2 = 4$; Se indica y calcula así: \[ \require{colortbl} A = \begin{pmatrix} \rowcolor[rgb]{1, 0.95, 0.6} 2 & \cellcolor[rgb]{0.75, 0.9, 0.6}-2 & -1 & \cellcolor[rgb]{0.75, 0.9, 0.6}4 \\ -1 & \cellcolor[rgb]{0.85, 0.95, 0.8}6 & 0 & \cellcolor[rgb]{0.85, 0.95, 0.8}-2 \\ \rowcolor[rgb]{1, 0.95, 0.6} 4 & \cellcolor[rgb]{0.75, 0.9, 0.6}1 & 3 & \cellcolor[rgb]{0.75, 0.9, 0.6}1 \\ 3 & \cellcolor[rgb]{0.85, 0.95, 0.8}2 & -2 & \cellcolor[rgb]{0.85, 0.95, 0.8}1 \end{pmatrix} \] $$ A \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{14} \\ a_{32} & a_{34} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 1) - (4 \cdot 1) = -6 $$



Dada una matriz $A$ cuadrada, de orden $n \times n$, se llama adjunto $A_{ij}$ al menor complementario de $a_{ij}$, $M_{ij}$, obtenido de suprimir la fila $i$-ésima y la columna $j$-ésima multiplicada por $(-1)^{i + j}$: \[ A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1\,j-1} & a_{1\,j+1} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \dots & \vdots \\ a_{i-1\,1} & \dots & a_{i-1\,j-1} & a_{i-1\,j+1} & \dots & a_{i-1\,n} \\ a_{i+1\,1} & \dots & a_{i+1\,j-1} & a_{i+1\,j+1} & \dots & a_{i+1\,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \dots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n\,j-1} & a_{n\,j+1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} \] Podemos calcular el determinante de una matriz con sus adjuntos bien por filas o bien por columnas: Por la fila $i$-ésima: \[ \boxed{|A| = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot A_{ij}} \] y análogamente por la columna $j$-ésima: \[ \boxed{|A| = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot A_{ij}} \] Vamos a usar esta propiedad para obtener la fórmula de un determnante 3 $\times 3$: \[ |A| = \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} = \] \[ = a_{ 11 } \cdot (-1)^{1+1} \cdot M_{11} + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot M_{12} + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot M_{13} = \] \[ = a_{ 11 } \cdot \begin{vmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} - a_{12} \cdot \begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} + a_{13} \cdot \begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 22 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix} = \] \[ = a_{ 11 } \cdot (a_{ 22 } a_{ 33 } - a_{ 32 }a_{ 23 } ) - a_{ 12 } \cdot (a_{ 21 } a_{ 33 } - a_{ 31 } a_{ 23 }) + a_{ 13 } \cdot (a_{ 21 } a_{ 32 } - a_{ 31 }a_{ 22 }) = \] \[ = a_{ 11 }a_{ 22 } a_{ 33 } - a_{ 11 }a_{ 32 }a_{ 23 } + a_{ 12 }a_{ 31 } a_{ 23 } - a_{ 12 }a_{ 21 } a_{ 33 } + a_{ 13 }a_{ 21 } a_{ 32 } - a_{ 13 }a_{ 31 }a_{ 22 } \] \[ = a_{ 11 }a_{ 22 } a_{ 33 } + a_{ 12 }a_{ 31 } a_{ 23 } + a_{ 13 }a_{ 21 } a_{ 32 } - ( a_{ 11 }a_{ 32 }a_{ 23 } + a_{ 12 }a_{ 21 } a_{ 33 } + a_{ 13 }a_{ 31 }a_{ 22 } ) \] Este desarrollo se usa para determinantes de orden 4 o superior.

Dada una matriz cuadrada $A$ llamamos matriz adjunta de $A$, se denota $adj A$, a la traspuesta de la matriz de adjuntos: \[ adj A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix} \] Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$. $A$ es inversible (o regular; o no singular) si y sólo si su determinante es no nulo. En ese caso se verifica: \[ \boxed{ A^{-1} = \mfrac{1}{|A|} \cdot (adjA) } \] Ejemplo: Vamos a calcular la inversa de la matriz $ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 4 \\ 0 & -2 & 7 \end{pmatrix} $

Vamos a calcular los adjuntos de cada $a_{ij}$ por filas: \[ A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} = 8 \quad A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = (-1) (- 14) = 14 \] \[ A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 4 \] Como hemos calculado los adjuntos de la primera fila, podemos calcular el determinante por los adjuntos de la primera fila: \[ |A| = 1 \cdot 8 - 1 \cdot 14 + 2 \cdot 4 = 8 - 14 + 8 = 2 \]
\[ A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} = (-1)(-3) = 3;\ \ A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 7; \] \[ A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = (-1)(-2) = 2 \]
\[ A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -4;\ \ A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = (-1)8 = -8; \] \[ A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \] Ya tenemos la matriz adjunta de $A$: \[ adjA = \begin{pmatrix} 8 & 14 & 4 \\ 3 & 7 & 2 \\ -4 & -8 & -2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 8 & 3 & -4 \\ 14 & 7 & -8 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix}\] Ya podemos calcular la inversa de $A$: \[ A^{-1} = \mfrac{1}{|A|} \cdot (adjA) = \mfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 8 & 3 & -4 \\ 14 & 7 & -8 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3/2 & -2 \\ 7 & 7/2 & -4 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] Podemos comprobar que es la inversa de $A$: \[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 4 \\ 0 & -2 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 3/2 & -2 \\ 7 & 7/2 & -4 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3 \]

Regla de Cramer

La regla de Cramer nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados, es decir, con una única solución.

El sistema tiene que ser cuadrado (tantas ecuaciones como incógnitas) y la matriz de coeficientes debe ser regular (determinante distinto de 0).

Si $Ax = b$ es un sistema de ecuaciones, $A$ es la matriz de coeficientes del sistema, $x = (x_1, \dots, x_n)$ es el vector columna de las incógnitas, y $b$ es el vector columna de los términos independientes, entonces la solución al sistema se presenta así: \[ x_j = \mfrac{\mid A_j \mid}{\mid A \mid } \] Donde $A_j$ es la matriz resultante de reemplazar la $j$-ésima columna de $A$ por el vector columna $\mathbf{b}$. Importante: Para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz $A$ ha de ser no nulo. Veamos un ejemplo: \[ \begin{cases} -x + 2y - 2z = 1 \\ -3x + 5y - z = 2 \\ -x + y + 9z = -1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \] Antes de calcular la solución tenemos que comporbar que $|A| \neq 0$: \[ |A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{vmatrix} = -45 + 2 + 6 - (10 - 54 + 1) = -37 - (-43) = 6 \neq 0 \] Podemos aplicar Cramer, y la solución es la siguiente: \[ x = \mfrac{\mid A_1 \mid}{\mid A \mid} = \mfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} -1 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{vmatrix}} = \mfrac{-2}{6} = \mfrac{-1}{3} \] \[ x = \mfrac{\mid A_2 \mid}{\mid A \mid} = \mfrac{\begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ -3 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 9 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} -1 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{vmatrix}} = \mfrac{1}{6} \] \[ x = \mfrac{\mid A_3 \mid}{\mid A \mid} = \mfrac{\begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -3 & 5 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} -1 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{vmatrix}} = \mfrac{-1}{6} \] Comprobamos que es la solución: \[ \begin{cases} -(-1/3) + 2(1/6) - 2(-1/6) = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 \checkmark \\ \\ -3(-1/3) + 5(1/6) - (-1/6) = 1 + 5/6 + 1/6 = 2 \checkmark \\ \\ -(-1/3) + (1/6) + 9(-1/6) = 2/6 + 1/6 - 9/6 = -6/6 = -1 \checkmark \end{cases} \]

Ejercicios resueltos

$\bullet$ Calcula el valor del siguiente determinante: $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^2 & y^2 & z^2 & t^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 & t^3 \end{vmatrix} $$ Restamos a las columnas 2º, 3ª y 4ª la 1ª: $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^2 & y^2 & z^2 & t^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 & t^3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & y - x & z - x & t - x \\ x^2 & y^2 - x^2 & z^2 - x^2 & t^2 - x^2 \\ x^3 & y^3 - x^3 & z^3 - x^3 & t^3 - x^3 \end{vmatrix} = $$ Ahora nos queda un determinante $3 \times 3$ $$ = \begin{vmatrix} y - x & z - x & t - x \\ (y - x)(y + x) & (z - x)(z + x) & (t - x)(t + x) \\ (y - x)(y^2 + xy + x^2) & (z - x)(z^2 + xz + x^2) & (t - x)(t^2 + xt + x^2) \end{vmatrix} = $$

$$ = (y - x) \begin{vmatrix} 1 & z - x & t - x \\ y + x & (z - x)(z + x) & (t - x)(t + x) \\ y^2 + xy + x^2 & (z - x)(z^2 + xz + x^2) & (t - x)(t^2 + xt + x^2) \end{vmatrix} = $$

$$ = (y - x) \cdot (z - x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & t - x \\ y + x & z + x & (t - x)(t + x) \\ y^2 + xy + x^2 & z^2 + xz + x^2 & (t - x)(t^2 + xt + x^2) \end{vmatrix} = $$

$$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ y + x & z + x & t + x \\ y^2 + xy + x^2 & z^2 + xz + x^2 & t^2 + xt + x^2 \end{vmatrix} = $$ Volvemos a restar a las columnas 2ª y 3ª, la 1ª columna: $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ y + x & z - y & t - y \\ y^2 + xy + x^2 & z^2 - y^2 + xz - xy & t^2 -y^2 + xt - xy \end{vmatrix} = $$ $$ z^2 - y^2 + xz - xy = (z - y) \cdot (z + y) + x \cdot (z - y) = (z - y) \cdot (x + y + z) $$ $$ t^2 - y^2 + xt - xy = (t - y) \cdot (t + y) + x \cdot (t - y) = (t - y) \cdot (x + y + t) $$ $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ y + x & z - y & t - y \\ y^2 + xy + x^2 & (z - y) \cdot (x + y + z) & (t - y) \cdot (x + y + t) \end{vmatrix} = $$ $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ y + x & 1 & t - y \\ y^2 + xy + x^2 & x + y + z & (t - y) \cdot (x + y + t) \end{vmatrix} = $$ $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \cdot (t - y) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ y + x & 1 & 1 \\ y^2 + xy + x^2 & x + y + z & x + y + t \end{vmatrix} = $$ y después de aplicar propiedades nos queda un determinante $2 \times 2$: $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \cdot (t - y) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x + y + z & x + y + t \end{vmatrix} = $$ Restamos a la 2ª columna la 1ª y nos queda: $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \cdot (t - y) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ x + y + z & t - z \end{vmatrix} = $$ $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \cdot (t - y) \cdot (t -z) $$

$\bullet \ $ Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$, calcula: $$ \begin{array}{ccc} \text{ a) } \begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & \qquad & \text{ b) } \begin{vmatrix} 5a & 5b & 5c \\ 1 & 0 & \dfrac{3}{5} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{array} $$

a)$ \ \begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} a & b & c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 $

$ \text{ b) } \begin{vmatrix} 5a & 5b & 5c \\ 1 & 0 & \dfrac{3}{5} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & 0 & \dfrac{3}{5} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot \mfrac{1}{5} \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 $



$\bullet$ Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 2$, calcula $$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 2 \\ a & b & c \\ a - 4 & b - 4 & c - 4 \end{vmatrix} $$

Saco factor común a 2 en la primera fila y después permuto las dos primeras filas, lo que supone un cambio de signo en el determinante: $$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 2 \\ a & b & c \\ a - 4 & b - 4 & c - 4 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ a & b & c \\ a - 4 & b - 4 & c - 4 \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ a - 4 & b - 4 & c - 4 \end{vmatrix} = $$ Y ahora la tercera fila la cambio, la multiplico por -1 y le suma la tercera fila: \[ = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ -a + 4 & - b + 4 & - c + 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \end{vmatrix} = \] Ahora en la tercera fila saco un 2 y queda: \[ = 4 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 8 \]



$\bullet$ ¿Cuánto vale el siguiente determinante? $$\begin{vmatrix} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix}$$

Opciones:

1. $abc$
2. $(a + b)(b + c)(a + c)$
3. $(a + b + c)abc$
4. $(a + b + c)^3$
5. $(a - b)(b - c)(c - a)$

Solución: Sumamos a la 1ª fila la 2ª y 3ª fila:
$$\begin{vmatrix} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix} = $$ El factor $a + b + c$ está multiplicando a la 1ª fila luegp $$ = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix} = $$ Restamos la 1ª columna a la 2ª y 3ª columna: $$ = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2b & - (a + b + c) & 0 \\ 2c & 0 & - (a + b + c) \end{vmatrix} = $$ Desarrollamos el determinante por la 1ª fila y nos queda: $$ = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} - (a + b + c) & 0 \\ 0 & - (a + b + c) \end{vmatrix} = (a + b + c)^3 $$ Luego la opción correcta es la 4.

$\bullet$ Sabiendo que $ A = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5$, calcula: $$ \text{ a) } \begin{vmatrix} 3x & 2 & x - 1 \\ 3y & 0 & y - 1 \\ 3z & 1 & z - 1 \end{vmatrix} \qquad \text{ b) } \begin{vmatrix} x & y & z \\ 10 & 2 & 6 \\ x + 4 & y & z + 2 \end{vmatrix} \qquad \text{ c) } |2(A \cdot A^t)^{-1}|$$

\( \bullet \) Encuentra el valor de \( f(100), \text{ si } a - 2b + c = 1 \). Siendo \[ f(x) = \begin{vmatrix} x + a & x + 2 & x + 1 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} \] Primero calculamos el valor del determinante, para ello vamos a usar lo que nos dicen, a la primera fila, le sumamos la segunda multiplicada por -2 y le sumamos la 3 fila: \[ \begin{vmatrix} x + a & x + 2 & x + 1 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} \xrightarrow{F_{1} = F_{1} - 2 \cdot F_{2} + F_{3} } \] \[ \xrightarrow{F_{1} = F_{1} - 2 \cdot F_{2} + F_{3} } \begin{vmatrix} x + a - 2(x + b) + (x + c) & x + 2 -2(x + 3) + (x + 4) & x + 1 - 2(x + 2) + (x + 3) \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \] \[ = \begin{vmatrix} x + a - 2x - 2b + x + c & x + 2 - 2x -6 + x + 4 & x + 1 - 2x - 4 + x + 3 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \] \[ = \begin{vmatrix} a - 2b + c & 0 & 0 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x + 3 & x + 2 \\ x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = (x + 3)^2 - (x + 4)(x + 2) \] Así la expresión de $f(x)$ es la siguiente: \[ f(x) = (x + 3)^2 - (x + 4)(x + 2) = x^2 + 6x + 9 - (x^2 + 6x + 8) = 1 \forall x \in \R \]

\( \bullet \) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada $A$ vale −1 y que el determinante de la matriz $2A$ vale −16. ¿Cuál es el orden de la matriz A?

Sabemos que si un escalar multiplica una fila o una columna de una matriz, el determinante queda multiplicado por ese escalar.

La matriz $2A$ es el resultado de multiplicar por 2 todos los elementos de la matriz, luego el orden de la matriz es 4, ya que: \[ |2A| = 2^n \cdot |A| = -2^n = -16 \Rightarrow n = 4 \] La matriz tiene orden 4.

\( \bullet \) Calcula el siguiente determinante: \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \] \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{F_{6} = F_{6} - 2 \cdot F_{1}} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{F_{5} = F_{5} - 2 \cdot F_{2}} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{} \] \[ \xrightarrow{F_{4} = F_{4} - 2 \cdot F_{3}} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \] Nos ha quedado una matriz diagonal superior, el determinante es el producto de los valores de la diagonal, luego \[ A = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot 1 = 9 \]

Curiosidades de los determinantes:

$\bullet\ $ Área de un triángulo = \( \mfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \)

$\bullet\ $ Volumen de un tetraedro = \( \mfrac{1}{3!} \cdot \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\ \end{vmatrix} \)

$\bullet\ $ La ecuación general de una cónica \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \] se puede calcular con un determinante sabiendo 5 puntos que pertenezcan a dicha cónica. Así dados los puntos $(x_i, y_i)$ para $i=1, ..., 5$ el siguiente determinante determina la cónica: \[ \begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_6y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \]

\[ |A| = |A^t| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix} = 5 + 0 - 12 - (0 - 15 - 8) = -7 + 23 = 16 \]

Usaremos las propiedades 3 y 4 para convertir el determinante de $A$ en el determinante de una matriz diagonal: \[ \mid A \mid = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 9 & 6 \\ 3 & 2 & 4 & 8 \end{vmatrix} = \] A la tercera fila le restamos la primera fila multiplicado por 2, y a la cuarta fila le restamos la primera fila multiplicada por 3: \[ = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -1 & 2 \\ 0 & -7 & -11 & 2 \end{vmatrix} = \] A la tercera fila le sumamos la segunda fila multiplicado por -5, y a la cuarta fila le sumamos la segunda fila multiplicada por -7: \[ = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -16 & -18 \\ 0 & 0 & -32 & -26 \end{vmatrix} = \] Y por último, a la cuarta fila le sumamos la tercera fila multipicada por -2: \[ = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -16 & -18 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{vmatrix} = \] Tenemos el determinante de una matriz diagonal superior que se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal: \[ = 1 \cdot (-1) \cdot (-16) \cdot (10) = 160 \]

La primera columna está multiplicada por $bc$, la segunda columna por $b$ y la tercera columna por $a$: \[ \begin{vmatrix} abc & -ab & a^2 \\ -b^2c & 2b^2 & -ab \\ b^2c & -b^2c & 3ab \end{vmatrix} = ab^2c \cdot \begin{vmatrix} a & -a & a \\ -b & 2b & -b \\ b & -bc & 3b \end{vmatrix} = \] Ahora la primera fila está multiplicada por $a$, la segunda y tercera fila por $b$: \[ = a^2b^4c \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -c & 3 \end{vmatrix} = \] Ahora a la segunda fila le sumamos la primera fila y a la tercera fila le restamos la primera fila y desarrollamos el determinante por la primera columna: \[ = a^2b^4c \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -c + 1 & 2 \end{vmatrix} = a^2b^4c \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -c + 1 & 2 \end{vmatrix} = 2a^2b^4c \]

Si nos damos cuenta la suma de todas las filas es $x + 3$: \[ \begin{vmatrix} x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x + 3 & x + 3 & x + 3 & x + 3 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x \end{vmatrix} = 0 \] Ahora a las columnas segunda, tercera y cuarta le restamos la primera columna: \[ \begin{vmatrix} x + 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & x - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & x - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & x - 1 \end{vmatrix} = 0 \implies (x + 3)(x - 1)^3 = 0 \ implies \] \[ \implies x = -3 \text{ y } x = 1 \]

Vamos a hacer ceros en la primera columna, restándole el doble de la primera fila: \[ \begin{vmatrix} 1 & x & x & x \\ 2 & 1 & 2x & 2x \\ 2 & 2 & 1 & 2x \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} 1 & x & x & x \\ 0 & 1 - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 - 2x & 1 - 2x & 0 \\ 0 & 2 - 2x & 2 - 2x & 1 - 2x \end{vmatrix} = 0 \implies \] \[ \implies (1 - 2x)^3 = 0 \implies x = \mfrac{1}{2} \]

Sacamos $x$ del determinante ya que multiplica a la primera fila: \[ \begin{vmatrix} x & x & x & x \\ x & 1 & 0 & x \\ x & 0 & x & 1 \\ x & x & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies x \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & 1 & 0 & x \\ x & 0 & x & 1 \\ x & x & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies \] Ahora hacemos ceros en la primera fila menos en la posición (1,1) y desarrollamos el determinante por la primera fila: \[ \implies x \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & 1 - x & -x & 1 - x \\ x & -x & 0 & 1 - x \\ x & 0 & 1 - x & -x \end{vmatrix} = 0 \implies \] \[ \implies x \cdot \begin{vmatrix} 1 - x & -x & 1 - x \\ -x & 0 & 1 - x \\ 0 & 1 - x & -x \end{vmatrix} = 0 \implies x \cdot [ x^3 - (1 - x)^3 = 0 (1)\implies \] \[ \implies x \cdot (x^3 - 1 + 3x - 3x^2 + x^3\] = 0 \implies x \cdot (2x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0 \] Una solución es $x = 0$ y la otra $x = \mfrac{1}{2}$ de $(1)$. Si factorizamos: \[ x \cdot (2x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0 \implies x (2x - 1) (x^2 - x + 1) = 0\] $x^2 - x - 1$ es un polinomio irreducible de segundo grado.

\[ |A - \lambda I_2| = 0 \implies \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 3 \\ 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \implies (2 - \lambda)(1 - \lambda) -6 = 0 \implies \] \[ \implies 2 - 2\lambda - \lambda + \lambda^2 - 6 = 0 \implies \lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0 \] Aplicando las fórmulas de Cardano-Vieta las raíces son $\lambda = -1$ y $\lambda = 4$.

Vamos a calcular los adjuntos de cada $a_{ij}$ por filas: \[ A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \quad A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 2 = -2 \] \[ A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \] Como hemos calculado los adjuntos de la primera fila, podemos calcular el determinante por los adjuntos de la primera fila: \[ |A| = 1 + 2 = 3 \]
\[ A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = 1;\ \ A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1; \] \[ A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \]
\[ A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -3;\ \ A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0; \] \[ A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \] Ya tenemos la matriz adjunta de $A$: \[ adjA = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\] Ya podemos calcular la inversa de $A$: \[ A^{-1} = \mfrac{1}{|A|} \cdot (adjA) = \mfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & -1 \\ -2/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] Podemos comprobar que es la inversa de $A$: \[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & -1 \\ -2/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3 \]

Calculamos el determinante de $A$: \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{vmatrix} = -m^2 + 0 + 0 - (- 4m + 0 + 3 ) = \] \[ = - m^2 + 4m - 3 = - (m - 1)(m - 3) \] Para que la matriz sea inversible su determinante ha de ser distinto de cero: \[ -m^2 + 4m - 3 = 0 \Leftrightarrow (m - 1)(m - 3) = 0 \Leftrightarrow m = -1 \text{ y } m = -3 \] Es decir, si $m \neq -1$ y $m \neq -3$ existe $A^{-1}$.

Nos piden calcular la inversa si $m = 2$. Está claro que existe la inversa ($|A| = 1$) vamos a calcularla con la matriz adjunta: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix} \] Vamos a calcular los adjuntos de cada $a_{ij}$ por filas: \[ A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -7 \quad A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = (-1) (- 12) = 12 \] \[ A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -8 \]
\[ A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-1)(-3) = 3;\ \ A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = 2; \] \[ A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -1 \]
\[ A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 2;\ \ A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = (-1)3 = -3; \] \[ A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \] Ya tenemos la matriz adjunta de $A$: \[ adjA = \begin{pmatrix} -7 & 12 & -8 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}\] Ya podemos calcular la inversa de $A$: \[ A^{-1} = \mfrac{1}{|A|} \cdot (adjA) = 1 \cdot \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] Podemos comprobar que es la inversa de $A$: \[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3 \]

Linealmente independientes: Construimos la matriz con los vectores por filas (o columnas) y calculamos su determinante, que coincide con la matriz $A$ del apartado anterior: \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 1 + 0 - 0 - 0 - 0 = 2 \] Como $|A| = 2 \neq 0$, el rango de la matriz es 3, lo que demuestra que los tres vectores $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ son linealmente independientes.

Formación de la base: Dado que el número de vectores linealmente independientes es igual a la dimensión del espacio vectorial, es decir: \[ \text{nº de vectores} = 3 = \dim(\mathbb{R}^3) \] estos vectores constituyen también un sistema generador de $\mathbb{R}^3$ y, por lo tanto, sí forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

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Matrices. Ejercicios.

¿Qué es una matriz?

Una matriz es un conjunto de números o expresiones algebraicas dispuestos en una tabla formada por filas y columnas. Cada número o expresión algebraica de la matriz se llama elemento y se denota $a_{ij}$, donde $i$ hace referencia a la fila i-ésima y $j$ hacer referencia a la colmuna j-ésima. El elemento $a_{23}$ es el que está en la $\odn{2}{a}$ fila, $\odn{3}{a}$ columna.

Las matrices se representan del siguiente modo: $$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \\ \end{pmatrix} $$ $A$ es una matriz de $n$ filas y $m$ columnas, se dice que es de orden $n \times m$.

Dos matrices $A$ y $B$ son iguales si tienen el mismo orden y los elementos correspondientes de las matrices son iguales si $$a_{ij} = b_{ij} \ \forall \ 1 \leq i \leq n; \ 1 \leq j \leq m$$

$$\huge \fbox{ Clases de Matrices } $$

- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matrices rectangulares: } } $ el número de filas y de columnas es distinto. $$ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 9 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & -3 \\ \end{pmatrix} \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ - $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz fila} }:$ Tiene una fila y una o varias columnas. \[ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \]

- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz columna} }:$ Tiene una columna y una o varias filas. \[ \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \]

- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz traspuesta} }:$ Es la que se obtiene al cambiar las filas por las columnas, se denota $A^t$ o $A'$. \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow A^t = A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}; \] \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow B' = B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}; \] Nota $(A')' = A$. La traspuesta de la traspuesta es la matriz original.

- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz nula} }:$ Todos los elementos de la matriz son nulos. $(a_{ij} = 0) \forall 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n $

\[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matrices cuadradas} }:$ el número de filas y de columnas es el mismo.

$$ \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & -3 & 8 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$ - Matriz identidad: Es una matriz cuadrada con unos en la diagonal y el resto ceros. Se denoya $I_n$ a la matriz cuadrada de orden $n$.

$$ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \cdots I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}; $$ La diagonal de una matriz cuadrada son los elementos de la matriz donde el número de fila y columna coinciden: $(a_{ii}) \forall 1 \leq i \leq \ n $.

- Matriz diagonal: Cuando todos los elementos que no están en la diagonal son cero, y los de la diagonal, distintos de cero: \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}; \]

- Matriz escalar: Es un caso particular de matriz diagonal, donde los elementos de la diagonal son todos iguales: \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}; \] La Matriz identidad es una matriz diagonal. Las Matrices escalares se pueden poner como un número por una matriz identidad. \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -1 \cdot I_2; \qquad \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} = (-3) \cdot I_3; \]

- Matriz triangular superior: Los elementos por debajo de la diagonal son ceros. \[ \begin{pmatrix} 11 & -7 & 3 \\ 0 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 8 \\ 0 & -9 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -11 \end{pmatrix}; \]

- Matriz triangular inferior: Los elementos por encima de la diagonal son ceros. \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 10 & -4 & 7 \end{pmatrix}; \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 9 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 6 & 0 \\ -1 & 2 & 5 & -3 \end{pmatrix}; \]

- Matriz simétrica: Si cumple que $A = A'$ \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 1 & 5 & -1 \end{pmatrix}; \] Para que una matriz sea simétrica los elementos simétricos respecto de la diagonal han de ser iguales $a_{ij} = a_{ji} \forall \ 1 \leq i,j \leq n, i \neq j $.

La suma de una matriz cualquiera y su traspuesta es una matriz simétrica: $$ S = A + A' \Rightarrow S' = (A + A')' = A' + A = S $$ Nota: La traspuesta de la suma (o resta) de matrices es la suma (o resta) de las traspuestas.

- Matriz antisimétrica: SI cumple que $A = - A'$ \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ -3 & 0 & 7 \\ 1 & -7 & 0 \end{pmatrix}; \] Para que una matriz sea antisimétrica los elementos simétricos respecto de la diagonal han de ser opuestos $a_{ij} = -a_{ji} \forall \ 1 \leq i,j \leq n$ y los de la diagonal nulos $ (a_{ii} = 0 \forall 1 \leq i \leq n )$.

La resta de una matriz cualquiera y su traspuesta es antisimétrica: $$ T = A - A' \Rightarrow T' = (A - A')' = - A' + A = T $$ Nota: La traspuesta de la suma (o resta) de matrices es la suma (o resta) de las traspuestas.

-

$$\Large \fbox{ Operaciones con matrices } $$

- Suma y resta de matrices: Las matrices deben tener la misma dimensión (mismo número de filas y de columnas). La operación se realiza sumando o restando los elementos que están en la misma posición en ambas matrices, obteniendo como resultado una nueva matriz del mismo tamaño. La suma de matrices es CONMUTATIVA $A + B = B + A$.

\[ A \pm B = (a_{ij}) \pm (b_{ij}) = (a_{ij} \pm b_{ij} ) \] Ejemplos:

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 3 & 1 + 4 \\ 5 + 2 & -7 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 7 & 0 \end{pmatrix} \)

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 3 & 1 - 4 \\ 5 - 2 & -7 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -14 \end{pmatrix} \)

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 -2 & 1 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \end{pmatrix} \)

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & - 1 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 1 & 0 + 1 & 1 + 2 \\ 2 + 2 & - 1 + 0 & -7 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & - 1 & -7 \end{pmatrix} \)

- Producto de matrices: La multiplicación sólo es posible si el número de columnas de la $\odn{1}{a}$ matriz coincide con el número de filas de la $\odn{2}{a}$. El producto de dos matrices se obtiene al multiplicar las filas de la $\odn{1}{a}$ matriz por las columnas de la $\odn{2}{a}$. Si \(A\) es una matriz de orden \(m\times p\) y \(B\) es de orden \(p\times n\), entonces la matriz producto \(AB\) será de orden \(m\times n\). Para calcular cada elemento de la matriz resultante $c_{ij}$, se multiplica elemento a elemento la fila $i$ por la columna $j$ correspondiente y se suman los resultados. El producto de matrices NO es CONMUTATIVO, es decir $A \cdot B \neq B \cdot A.$

\[ A \times B = (c_{ij} ), \text{ donde } c_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^n {a_{ik} \times b_{kj}} \] Ejemplos:

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 6 - 5 = 1 \)

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 3 & -1 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ -3 & -5 \end{pmatrix} \)

El producto de matrices es asociativo, es decir, \[ A \times (B \times C ) = ( A \times B )\times C \] El producto de matrices es distributivo respecto de la suma, es decir, \[ A \times (B + C) = A \times B + A \times C \] El producto tiene elemento neutro $I_s$, que es la identidad de dimensión que corresponda y es el elemento neutro por derecha e izquierda (si la matriz es cuadrada, si no, el neutro por derecha e izquierda tiene distinta dimensión). Es decir, $A$ es de orden n \times m entonces: \[ I_n \times A = A \times I_m = A \] Si la matriz B es cuadrada $n \times n$, entonces: \[ I_n \times B = B \times I_n = B \] - Producto por un número o escalar: Para multiplicar una matriz \(A\) por un escalar \(k\) (un número real cualquiera), se debe multiplicar cada uno de los elementos de la matriz \(A\) por dicho escalar \(k\). \[ k \cdot A = k \cdot (a_{ij} ) = (k \cdot a_{ij}) \]

$\bullet$ Ejercicio 1: \( \text{ Si } \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{37} A^{n} = \text{?} \)

\( A^1 = A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

\( A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)

\( A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)

\( A^4 = A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)

\( \text{Así tenemos que } A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ n & 1 \end{pmatrix} \)

Luego $$ \displaystyle \sum_{n=1}^{37} A^{n} = \displaystyle \sum_{n=1}^{37} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ n & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & 0\\ \dfrac{37 \cdot 38}{2} & 37 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & 0\\ 37 \cdot 19 & 37 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ 37 & 0\\ 703 & 37 \end{pmatrix} $$



$\bullet$ Ejercicio 2: Sea \( A = \begin{pmatrix} \ \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } & \mfrac{ - \msqrt{2} }{ 2 } \\ \\ \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } & \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } \end{pmatrix} \) Calcula el valor de \( A^{12} \).



$\bullet \ $ Halla todas la matrices que conmutan con $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$.



$\bullet \ $ Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Determina los valores de $p$ y $q$, para los que se cumple la ecuación $A^2 + p \cdot A^t + q \cdot I_2 = -2 \cdot A^{-1}$.



$\bullet \ $ Sea $P = \begin{pmatrix} a & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$. Calcula el valor de $a$ sabiendo que $P \cdot P^t$ es una matriz diagonal.


La matriz traspuesta es $P^t = \begin{pmatrix} a & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$ entonces: \[ P \cdot P^t = \begin{pmatrix} a & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 9 & 2a - 12 \\ 2a - 12 & 2^2 + 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 9 & 2a - 12 \\ 2a - 12 & 20 \end{pmatrix} \] Como $P$ es una matriz diagonal, eso quiere decir que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son cero. Entonces $2a - 12 = 0 \Rightarrow a = 6$ y la matriz $P$ queda así: \[ P = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \text{ y } P^t = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \]

$$\Large \fbox{ Matrices curiosidades: } $$

Podemos poner el producto vectorial de dos vectores $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ y $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ en $\R^3$ como el producto de una matriz por un vector columna (análogamente por un vector fila): $$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} $$ $\bullet\ $ un producto de matrices curioso:
\[ \bbox[black, 20px]{ \color{white} \begin{pmatrix} \color{cyan} \begin{matrix} 6 & 5 & 3 & 7 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 5 \\ 7 & 5 & 3 & 6 \end{matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{yellow} \begin{matrix} 7 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 7 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 7 \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{cyan}6\color{yellow}7 & \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}7\color{yellow}2 \\ \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}2\color{yellow}1 & \color{cyan}1\color{yellow}3 & \color{cyan}3\color{yellow}1 \\ \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}7 & \color{cyan}2\color{yellow}1 & \color{cyan}5\color{yellow}2 \\ \color{cyan}7\color{yellow}2 & \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}6\color{yellow}7 \end{pmatrix} } \]




En una pastelería se elaboran dos tipos de tartas: de limón y de chocolate. De cada tipo hacen tres tamaños. Cada semana elaboran las tartas que aparecen en la tabla:

	Limón	Chocolate
Grande	10	5
Mediana	16	20
Pequeña	12	10

De las tartas de chocolate, se venden en la pastelería el $60\%$, y de las tartas de limón, el $50\%$. El resto se reparten a domicilio.

1. Escribe la matriz que expresa el número de tartas según el tamaño y el sabor.
2. Escribe las matrices que expresan el número de tartas y el porcentaje según el sabor y el tipo de venta.
3. Calcula la matriz que expresa el número de tartas según el tamaño y el tipo de venta.

Contesta justificadamente los siguientes apartados:
En una tienda de comida para llevar, el producto más vendido se elabora con tres variantes: A, B y C. Cada variante se vende en dos tamaños: pequeño y grande. Cada día se elaboran las cantidades de cada variante que aparecen en la siguiente tabla:

	A	B	C
Pequeño	100	50	100
Grande	160	150	100

De la variante A venden en tienda el 50%, de la variante B el 60% y de la variante C el 40%. El resto se reparte a domicilio.

1. Escribe la matriz que expresa el número de productos según el tamaño y la variante.
2. Escribe la matriz que expresa el número de productos y el porcentaje según la variante y el tipo de venta.
3. Calcula la matriz que expresa el número de productos según tamaño y tipo de venta.

$\bullet\ $ Dadas la matrices \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 2 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 5 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 5 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] Calcular:

1. $2A + B$
2. $B - C$
3. $2A + 3C$

$\bullet\ $ Dadas las matrices \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 5 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Calcular: $(A + B) \cdot C$

Vamos a calcular primeo $M \cdot N$

\[ M \cdot N = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 14 \\ 18 & 8 & 16 \\ 11 & 8 & 23 \end{pmatrix} \] Ahora $N \cdot M$ \[ N \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 15 & 20 \\ 16 & 12 & 23 \\ 6 & 4 & 10 \end{pmatrix} \] Luego restamos: \[ M \cdot N - N \cdot M = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 8 \\ 18 & 8 & 14 \\ 11 & 8 & 23 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15 & 15 & 20 \\ 16 & 12 & 23 \\ 6 & 4 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -10 & -6 \\ 2 & -4 & -7 \\ 5 & 4 & 13 \end{pmatrix} \]

$\bullet\ $ Encontrar una base del espacio vectorial $(M_2, +, \mathbb{R})$, es decir del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2.



$\bullet\ $ Dadas las matrices \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 3 \\ 2 & -3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \] Hallar el producto $A \cdot B$



$\bullet\ $ Dada la matriz \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Hallar las matrices $M$, triangular inferior, y $N$, triangular superior, con $n_{ii} = 1, \; \forall \, i \in \{1,2,3\}$, tales que $A = M \cdot N$.



$\bullet\ $ Una cuadrilla de obreros trabaja simultáneamente en la realización de tres obras. Para la primera de ellas necesitan diariamente 100kg de cemento, 235 ladrillos y 44 baldosas; para la segunda necesitan cada día 80kg de cemento, 190 ladrillos y 38 baldosas, y para la tercera obra, las necesidades diarias son de 250kg de cemento, 300 ladrillos y 62 baldosas. Suponiendo que la duración estimada para cada obra sea de 8, 6 y 12 días, respectivamente, se pide expresar matricialmente y calcular las cantidades totales necesarias de cada uno de los materiales empleados en las obras.



$\bullet\ $ Se consideran las matrices \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & -4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} x \\ 1 \\ y \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \] Calcular $x, y, z$ sabiendo que $A \cdot B = C$



$\bullet\ $ Resolver la ecuación matricial $A \cdot X = B$ siendo \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \]



$\bullet\ $ Resolver la ecuación $X \cdot A = B + C$ siendo: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]



$\bullet\ $ Dada la matriz cuadrada de orden 2, \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \] ver si es regular o singular, intentando calcular su inversa a partir de la definición.

Vamos a calcular el $|A| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -1 $ La matriz es inversible porque el determinante es distinto de cero.

\[ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cccc} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 3 & -12 & 6 & -3 \\ 2 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array} \right) \xrightarrow{E_{4} \leftrightarrow E_{2}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 7 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{c} {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 7 \cdot E_{2}} \left( \begin{array}{cccc} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -25 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \end{array}} \\ \end{array} \] El rango de la matriz es 3.

Primero calculamos $A^2$: \[ A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \end{pmatrix} \] Ahora vamos a resolver la igualdad que nos piden: \[ A^2 + aA + bI_2 = 0 \implies \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \end{pmatrix} + a \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} + b \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \implies \] \[  \begin{cases} 14 + 2a + b = 0 \\ 5 + 5a = 0 \\ 2 + 2a = 0 \\ 11 - a + b = 0 \end{cases} \text{ De la segunda y tercera ecuación} \implies a = - 1\] Sustituimos $a$ en la primera ecuación: \[ 14 + 2a + b = 0 \implies 14 - 2 + b = 0 \implies b = -12 \]

Calculamos las primeras potencias de la matriz $A$ para observar su comportamiento: \[ A^1 = A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] \[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \] Como además se cumple que $A \cdot A^2 = A^3 = I_2$, se deduce inmediatamente por la definición de matriz inversa que: \[ A^2 = A^{-1} \] Calculamos la siguiente potencia: \[ A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 \] A partir de aquí, las potencias vuelven a repetirse en ciclos de 3 en 3 (por ejemplo, $A^4 = A^3 \cdot A = I_2 \cdot A = A$). Por lo tanto, para cualquier exponente $k \ge 3$, realizamos la división entera $k \div 3$, donde $n$ es el cociente, y el resultado dependerá del resto de la división:

• Si $k = 3n$ (el resto es 0): \[ A^k = A^{3n} = (A^3)^n = (I_2)^n = I_2 \]
• Si $k = 3n + 1$ (el resto es 1): \[ A^k = A^{3n+1} = A^{3n} \cdot A = I_2 \cdot A = A \]
• Si $k = 3n + 2$ (el resto es 2): \[ A^k = A^{3n+2} = A^{3n} \cdot A^2 = I_2 \cdot A^2 = A^2 = A^{-1} \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Estadística. Teoría y problemas.

Sea una muestra $x_1, x_2, \dots x_n$ de $N$ valores con frecuencias $f_1, f_2, ..., f_n$ respectivamente de una variable «$x$»:

• Se llama media muestral a $\bar{x} = \mfrac{f_1 \cdot x_1 + f_2 \cdot x_2 + + f_3 \cdot x_3 + \dots + f_n \cdot x_n}{N} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot x_i}{N} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i}{N} $ media aritmética de los datos.
• Se llama varianza muestral a $\displaystyle S^2_x = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot (x_i-\bar{x})^2}{N}$ que es una medida de dispersión para estudiar la representatividad de la media:
• Se llama desviación típica muestral a la raíz cuadrada de la varianza muestral $S_x = \msqrt{S^2_x}$

Veamos un ejemplo: Dadas las notas de un alumno

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
7	0	0
9	2	4
6	-1	1
7	0	0
6	-1	1

$$ \bar{x} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot x_i}{N} = \mfrac{2 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 9}{5} = \mfrac{35}{5} = 7 $$ $$ S^2x = \mfrac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{N} = \mfrac{2 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot 0 + (-2)^2}{5} = \mfrac{6}{5} = 1,2 $$

• La media muestral: $\bar{x}$, sirve para estimar la media poblacional, se denota con $\mu$.
• La desviación típica muestral: $\mathbf{s}$, es una estimación de la desviación típica, se denota con $\sigma$.
• La varianza: se denota $\sigma^2$.

Distribución Normal

Una variable aleatoria continua $X$ sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, y se designa por $N(\mu, \sigma)$ si cumplen las siguientes condiciones:

• La variable pueden tomar cualquier valor real, es decir, $x \in (-\infty, \infty)$
• La función de densidad, $f(x)$ de la distribución $$f(x) = \mfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

La gráfica de una distribución normal es simétrica con respecto de la media «$\mu$» y su forma es acampanada, lo que le da el nombre de la campana de Gauss.

El área que queda por debajo de la curva es 1.


$P(-\infty < x < +\infty) = 1$



Cuando $\mu=0$ y $\sigma=1$ tenemos la normal tipificada o estándar $N(0,1)$



La importancia que la distribución normal tipificada radica en que cualquier distribución normal se puede reducir a una tipificada y que esta se encuentra tabulada.



Cálculo de probabilidades en una Normal Tipificada

La distribución $N(0,1)$ que se representa por $Z$, se encuentra tabulada, lo cual permite un cálculo rápido de las probabilidades asociadas a la misma.

Aunque existe muchos fenómenos que se comporten como una distribución normal, se puede afirmar que ninguno de ellos se comporta exactamente como una $N(0,1)$

Lo más aconsejable sería transformar la variable $X$ que sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$ en otra variable $Z$ que siga una distribución $N(0,1)$. Esta transformación se conoce con el nombre de tipificación de la variable y consiste en:

• Centrar: consiste en trasladar la media de la distribución al origen de coordenadas. Esto equivale a hacer $\mu = 0$
• Reducir: la desviación estándar a 1 ($\sigma = 1$). Esto equivale a dilatar o contraer la gráfica de la distribución para que coincida con la ley estándar: $$Z = \mfrac{X - \mu}{\sigma}$$

La regla de simetría real es: >$$P(Z > a) = P(Z < -a)$$ Esta propiedad es fundamental en la distribución normal estándar y se basa en una única palabra: «simetría». La campana de Gauss de una $N(0,1)$ está perfectamente centrada en el $0$. Esto significa que la mitad izquierda de la campana es un reflejo exacto (como en un espejo) de la mitad derecha. Si elegimos un número positivo cualquiera, por ejemplo $a$: $P(Z >a)$ representa el área de la «cola» que queda a la derecha de $a$. $P(Z < -a)$ representa el área de la «cola» que queda a la izquierda de $-a$. Como la campana es simétrica y los puntos $a$ y $-a$ están exactamente a la misma distancia del centro ($0$), esas dos colas exteriores son idénticas en tamaño. Por lo tanto, el área que encierran (la probabilidad) vale exactamente lo mismo. En la PAU esto es utilísimo porque las tablas oficiales solo suelen dar las probabilidades para valores positivos y menores que ($P(Z < a)$). Si el examen te pide calcular la probabilidad de que $Z$ sea menor que un número negativo, gracias a esta propiedad le das la vuelta a todo y lo transformas en un problema de cola derecha: \[ P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a) \]

Cálculo de $\mathbf{ P(Z \leq a) } $

Hallar la probabilidad

$ P(Z \leq 0,56)$ Basta con buscar el valor en la tabla o en la calculadora.

$ P(Z \leq 0,56) = 0,7123 $

Hallar la $a$ sabiendo la probabilidad:

$P(Z \leq a) = 0,6854 \implies a = 0,48285$

Cálculo de $\mathbf{ P(Z > a) } $

Hallar la Probabilidad

$ P(Z \geq 1,215) = 1 - P(Z \leq 1,125) = 1 - 0,8697 = 0,1303 $

$ P(Z \geq 1,41) = 1 - P(Z \leq 1,41)= 1 - 0,9207 = 0,0793 $

Hallar la $a$ sabiendo la probabilidad:

$P(Z \geq a) = 0,1384 \implies P(Z \leq a) = 0,8616 \implies$

$a = 1,08754$

Cálculo de $\mathbf{ P(Z < -a) } $

Hallar la Probabilidad

$P(Z < - 0,25) = P(Z > 0,25) = $

$= 1 - P(Z \leq 0,25) = 1 – 0,5987 = 0,4013$



$P(Z < - 1,75) = P(Z > 1,75) = $

$= 1- P(Z \leq 1,75) = 1 – 0,9599 = 0,0401 $

Cálculo de $\mathbf{ P(a \leq Z \leq b) } $

Hallar la Probabilidad

$ P(-0,75 < Z < 1,23) = P(Z < 1,23) - P(Z < -0,75) = $

$ = P(Z < 1,23) – P(Z > 0,75) = $

$ = P(Z < 1,23) - [1 - P(Z < 0,75) ] = $

$ = 0,8907 – (1 - 0,7734) = 0,664 $







El valor crítico se designa mediante $z_{\alpha/2}$.

$P(Z > z_{\alpha/2}) = \mfrac{\alpha}{2} $

$P(-z_{\alpha/2} < Z < z_{\alpha/2}] = 1 − \alpha$

$\alpha$ es el nivel de significación.

$1 − \alpha$ es el nivel de confianza, que es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.

Los niveles de confianza más usuales son: 90%; 95% y 99%.

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 1 - \alpha & \alpha & \alpha/2 & z_{\alpha/2} \\[2.5ex] \hline 0,90 & 0,10 & 0,05 & 1,645 \\[2.5ex] \hline 0,95 & 0,05 & 0,025 & 1,96 \\[2.5ex] \hline 0,99 & 0,01 & 0,005 & 2,575 \\[2.5ex] \hline \end{array} \]