PAU La Rioja 2026 (julio) Contesta justificadamente los siguientes apartados:
Sean la recta $r : \mfrac{x}{3} = y = \mfrac{z - 11}{-1}$ y el punto $P \equiv (0, 1, 1)$.
Determina la ecuación del plano que pasa por el punto $P$ y es perpendicular a la recta $r$.
Halla la distancia de $P$ a la recta $r$.
a) El pano que pasa por $P$ y es perpendicuar a $r$ es de la forma: $\pi : 3x + y - z = k $. Sustituimos las coordenadas de $P$ en $\pi$ para calcular $k$ y nos queda: $ \pi : 1 - 1 = k \implies k = 0 $, luego la ecuación del plano buscado es:
\[ \pi : 3x + y - z = 0 \]
b) Nos piden la distancia de la recta $r$ al punto $P$:
Lo podemos hacer de varias formas, calculando el punto de corte $R$ de la recta $r$ y el plano $\pi$ y calculando la distancia de $P$ a $R$. Aplicando la fórmula de la distancia de un punto a una recta $d(p, r) = \mfrac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}|}{ |\overrightarrow{d}| }$ siendo $\overrightarrow{d}$ el vector director de la recta $r$ y $A$ un punto cualquiera de la recta $r$. Vamos a calcular la distancia con la fórmula:
PAU La Rioja 2026 (julio) Contesta justificadamente los siguientes apartados:
Determina los valores de $a$ para que los planos de ecuaciones:
$$\begin{cases}
\pi_1 : x + y + z = 1, \\
\pi_2 : (a - 1)x + y + z = a, \\
\pi_3 : x + (a - 1)y - z = 0,
\end{cases}$$
se corten en un punto. En este caso, determina el punto de corte.
se corten en una recta. En este caso, determina la recta en su forma paramétrica.
Apartado a)
Siendo $M$ la matriz de coeficientes y $M'$ la matriz ampliada. Para que se corten en un punto, el rango (M) = rango (M') = 3, luego el $|M| \neq 0$:
\[ \begin{eqnarray}
|M| =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a - 1 & 1 & 1 \\
1 & a - 1 & - 1
\end{vmatrix}
= -1 + 1 + (a -1)^2 - (1 - a + 1 + a - 1) = a^2 - 2a + 1 - 1 = a^2 - a = a(a -2)
\end{eqnarray} \]
El $|M| \neq 0 \implies a \neq 0 \text{ y } a \neq 2$.
Vamos a resolver este sistema por el método de Cramer:
\[ x = \dfrac{ \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & 1 & 1 \\
0 & a - 1 & - 1
\end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ -1 + 0 + a(a - 1) - (0 - a + a - 1) }{a(a - 2)} = \mfrac{a(a - 1)}{ a(a - 2) } = \mfrac{ a - 1 }{ a - 2 } \]
\[ y = \dfrac{ \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a - 1 & a & 1 \\
1 & 0 & - 1
\end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ -a + 1 + 0 - (a - a + 1 + 0) }{a(a - 2)} = \mfrac{ -a }{ a(a - 2) } = \mfrac{ - 1 }{ a - 2 } = \mfrac{ 1 }{ 2 - a } \]
\[ z = \dfrac{ \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a - 1 & 1 & a \\
1 & a - 1 & 0
\end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ 0 + a + (a - 1)^2 - (1 + 0 + a(a - 1)) }{a(a - 2)} = \mfrac{a + a^2 - 2a + 1 - 1 - a^2 + a}{ a(a - 2) } = \mfrac{ 0 }{ a - 2 } = 0 \]
El punto donde se cortan es
\[ \left ( \mfrac{ a - 1 }{ a - 2 }, \mfrac{ 1 }{ 2 - a }, 0 \right )\]
Apartado b)
El rango(M) = 2, si $a = 0$ o $a = 2$.
Veamos el caso $a = 0$
$$ \begin{cases}
x + y + z = 1 \\
-x + y + z = 0 \\
x - y - z = 0
\end{cases} \implies \begin{cases}
x + y + z = 1 \\
x - y - z = 0
\end{cases} $$
En este caso, rango(M) = rango (M') = 2 y los planos $\pi_2$ y $\pi_3$ son coincidentes. Luego los tres planos comparten una recta.
Vamos a calcular la recta de corte:
Sumando las dos ecuaciones: $2x = 1 \implies x = \mfrac{1}{2}$ y luego tenemos $y + z = \mfrac{1}{2}$. Si hacemos $y = \lambda$ entonces:
\[ z = \mfrac{1}{2} - y = \mfrac{1}{2} - \lambda \]
\[ \text{ Al final la ecuación de la recta en paramétricas es la siguiente: }r : \begin{cases}
x = \mfrac{1}{2} \\ \\
y = \lambda \\ \\
z = \mfrac{1}{2} - \lambda
\end{cases} \]
Veamos el caso $a = 2$
$$ \begin{cases}
x + y + z = 1 \\
x + y + z = 2 \\
x - y - z = 0
\end{cases} $$
En este caso, rango(M) = 2 y rango (M') = 3. Hay planos secantes, por ser rango(M) = 2, pero dos de esos planos son paralelos ($\pi_1$ y $\pi_2$). El tercer plano es secante con los otros dos que son paralelos, pero los tres planos no comparten la recta.
La Rioja PAU (2026) Halla el área total de la figura limitada por y = x^3, y = 2x e y = x.
Las tres funciones son impares (ya veremos para que sirve esto más adelante). Si hacemos un dibujo de las funciones, se ve que la recta $y = x$ es l bisectriz del $\odn{1}{er}-\odn{3}{er}$ cuadrante, la recta $y = 2x$ va por encima de la recta anterior y luego la curva $y = x^3$ va por debajo de la la bisectriz en el intervalo $[0, 1]$ y entre $[1, \msqrt{2}]$ va entre las dos rectas. Veamos de donde salen estos puntos:
Intersección $y = x$ e $ y =x^3 \implies x = x^3 \implies x = 0, \pm 1$
Intersección $y = 2x$ e $ y =x^3 \implies 2x = x^3 \implies x = 0, \pm \msqrt{2}$
El área la dividimos entre 0 y 1, el área entre $y = 2x$ e $ y =x$; y entre 1 y $\msqrt{2}$, el área enre las funciones $y=2x$ e $y = x^3$:
\[A = \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = (*) \]
\[ = \mintd{0}{1}{(x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = \]
Vamos con la primera integral:
\[ \Bigg [ \mfrac{x^2}{2} \Bigg]^1_0 = \mfrac{1}{2} \]
Ahora a por la segunda:
\[ \Bigg [ x^2 - \mfrac{x^4}{4} \Bigg ]^{\msqrt{2}}_1 = \left (2 - \mfrac{4}{4} \right ) - \left (1 - \mfrac{1}{4} \right ) = 1 - \mfrac{3}{4} = \mfrac{1}{4} \]
Juntando las dos integrales nos queda:
\[ (*) = \mfrac{1}{2} + \mfrac{1}{4} = \mfrac{3}{4} \]
Hemos dicho que las funciones son impares, luego a la izquierda hay un área igual pero en la parte negativa, así el área total es el doble del área calculada:
\[ Área Total = 2 \cdot \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = 2 \cdot \mfrac{3}{4} = \mfrac{3}{2} u^2 \]
La Rioja PAU (2026) Sea $f(x) = \mfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$. Determinar todas las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función $f$.
Las rectas tangentes horizontales son las paralelas al eje $X$, es decir, las que tienen pendiente cero, que coinciden con los extremos de la función. Si derivamos la función:
\[ f'(x) = x^2 - 4x + 3 \]
y resolvemos la ecuación $f'(x) = 0$, cuyas soluciones son $x = 1$ y $x = 4$ por las fórmulas de Cardano-Vieta.
Calculamos las ecuaciones de las rectas tangentes en esos valores de $x$:
$\bullet\ $ Para $x = 1$ la ecuación de la recta será $x = f(1) \implies x = \mfrac{7}{3}$
$\bullet\ $ Para $x = 3$ la ecuación de la recta será $x = f(3) \implies x = 1$
La Rioja PAU (2026) Dados $a, b \in \mathbb{R}$, estudia la continuidad de $f$, en función de $a, b$, para todos los puntos de $\mathbb{R}$ de la siguiente función:
\[ f(x) = \begin{cases}
e^{ax+b}, & \text{si } x < 1, \\
e, & \text{si } x = 1, \\
e - ax + 1, & \text{si } x > 1.
\end{cases} \]
Para que sea continua la función $f(x)$ tiene que cumplir que
\[ \milmt{x}{1^-}{ f(x) } = f(1) = \milmt{x}{1^+}{ f(x) } \]
Veamos el límite por la izquierda:
\[ \milmt{x}{1^-}{ f(x) } = \milmt{x}{1^-}{ e^{a + b} } = e \implies a + b = 1\]
Veamos el límite por la derecha:
\[ \milmt{x}{1^+}{ f(x) } = \milmt{x}{1^-}{ e - ax + 1 } = e \implies -a + 1 = 0 \implies a = 1 \]
Como $a = 1$ y tenemos que $a + b = 1 \implies b = 0$. Luego la función $f$ queda de la siguiente forma:
\[ f(x) = \begin{cases}
e^{x}, & \text{si } x < 1, \\
e, & \text{si } x = 1, \\
e - x + 1, & \text{si } x > 1.
\end{cases} \]
PAU Larioja 2026 (julio) CCSS Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}, a$ número real. Se pide:
Calcula el valor de «$a$» para que se cumpla: $M^2 = I$. Para ese valor de «$a$», calcula la matriz inversa de $M$ y halla $M^{21}$.
Para $a = 1$: calcula una matriz $X$ que verifique la igualdad: $M \cdot X + M^T = 2I$. ($I$ representa la matriz identidad orden 2 y $M^T$ la matriz traspuesta de $M$).
a) Vamos a calcular $M^2$:
\[ M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 1 & 0 \\ 0 & a^2 + 1 \end{pmatrix} \]
Para que $M^2 = I_2 \implies a = 0$ Así $M$ queda: $ M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $
Vamos a calcular $M^{21}$ con $a = 0$:
\[ M^{21} = M^{20} \cdot M = (M^2)^{10} \cdot M = I_2 \cdot M = \cdot M \]
b) Ahora $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ y queremos resolver esta acuación $M \cdot X + M^T = 2I$:
\[ M \cdot X + M^T = 2I_2 \implies M \cdot X = 2I - M^T \implies X = M^{-1} \cdot (2I_2 - M^T) \]
La traspuesta de $M$ es $M^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = M $
Y la inversa de $M$ es $M^{-1} = \mfrac{-1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $
PAU La Rioja (2026 junio) Una empresa fabrica dos tipos de herramientas, A y B. Para su elaboración utiliza madera y acero. Para fabricar una herramienta A se necesitan 300 gramos de madera y 100 gramos de acero; en el caso de B, las cantidades requeridas son 100 y 200 gramos respectivamente. Dispone diariamente de un máximo de 3 kilogramos de madera y 2 kilogramos de acero. Estas herramientas le proporcionan un beneficio de 20 euros por unidad de A y de 15 euros por cada una de B. Además, se deben fabricar diariamente al menos 2 herramientas de tipo A y al menos 3 de tipo B. Se pide:
(0,5 PUNTOS) Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa.
(0,5 PUNTOS) Representa la región factible S.
(0,5 PUNTOS) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
(0,5 PUNTOS) Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo.
a)
Lo primero que hacemos es definir las variables que vamos a usar en este ejercicio:
$x$: Número de herramientas de tipo A.$y$: Número de herramientas de tipo B.
Función objetivo (Maximizar el beneficio):
$$f(x,y) = 20x + 15y$$
Restricciones:
b) Región factible $S$ y c) Coordenadas de los vértices
Dibujamos las rectas y nos sale la siguiente región factible:
Al cruzar estas rectas correctas en el plano, la región factible sigue siendo un cuadrilátero, pero con vértices completamente enteros. Los obtenemos resolviendo los sistemas de ecuaciones de las líneas que se cruzan:
Cruce de los mínimos ($x=2$ e $y=3$): Vértice $A = (2, 3)$
Cruce de $y=3$ con la recta de la madera ($3x + y = 30$):$3x + 3 = 30 \implies 3x = 27 \implies x = 9$
Vértice $B = (9, 3)$ (Cumple la restricción de acero porque $9 + 2(3) = 15 \le 20$)
Cruce de las dos restricciones de materiales ($3x + y = 30$ y $x + 2y = 20$): Multiplicamos la segunda por 3: $3x + 6y = 60$
Restamos la primera: $5y = 30 \implies y = 6$
Sustituimos para hallar $x$: $x + 2(6) = 20 \implies x = 8$
Vértice $C = (8, 6)$Cruce de $x=2$ con la recta del acero ($x + 2y = 20$):$2 + 2y = 20 \implies 2y = 18 \implies y = 9$
Vértice $D = (2, 9)$ (Cumple la restricción de madera porque $3(2) + 9 = 15 \le 30$)
d) Optimización (Beneficio máximo) Evaluamos la función objetivo $f(x,y) = 20x + 15y$ en cada uno de los 4 vértices obtenidos:
PAU La Rioja (2026 junlio) En Semana Santa, dos pasos salen en procesión por dos calles perpendiculares. El primer paso sale de la iglesia $A$ a $3 km/h$ y el segundo sale a la misma hora de la iglesia $B$ a $2,8 km/h$, ambos en sentido al mismo cruce de las calles. La distancia de la iglesia $A$ hasta el cruce es de $2,2 km$ y desde la iglesia $B$ hasta el cruce, de $2 km$.
Determina en qué momento la distancia entre los dos pasos es mínima.
Determina la distancia mínima.
Lo mejor es hacerse un esquema:
La trayectoria del paso de la iglesia $A$ es $(2, 0) + 3t(0,1) = (2, 3t)$
La trayectoria del paso de la iglesia $B$ es $(0, 2.2) + 2,8t(1,0) = (2.8t, 2.2)$
La distancia entre las trayectorias de $A$ y $B$ viene dada por la fórmula:
\[ d(A, B) = \msqrt{ (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 } \]
Luego la función a optimizar es $f(t) = (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 $
\[ f'(t) = 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) \]
Vamos a ver para que valor de $t$ se anula la derivada:
\[ 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) = -13,2 + 18t -11,2 + 15,68t = 0 \implies \]
\[ \implies 33,68t - 24,2= 0 \implies t = \mfrac{24,2}{33,68} \approx 0,72 \text{horas } \approx 43,2 \text{minutos} \]
La distancia mínima es cuando llegan:
\[ d_{mín}(A, B) = f(0,72) = \msqrt{ (2,2 - 3 \cdot 0,72)^2 + (2 - 2,8 \cdot 0,72)^2 } = \msqrt{ 0,0016 + 0,000256 } = \msqrt{ 0,001856 } \approx 0,043km = 43m \]
Sea una muestra $x_1, x_2, \dots x_n$ de $N$ valores con frecuencias $f_1, f_2, ..., f_n$ respectivamente de una variable «$x$»:
Se llama media muestral a $\bar{x} = \mfrac{f_1 \cdot x_1 + f_2 \cdot x_2 + + f_3 \cdot x_3 + \dots + f_n \cdot x_n}{N} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot x_i}{N} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i}{N} $ media aritmética de los datos.
Se llama varianza muestral a $\displaystyle S^2_x = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot (x_i-\bar{x})^2}{N}$ que es una medida de dispersión para estudiar la representatividad de la media:
Se llama desviación típica muestral a la raíz cuadrada de la varianza muestral $S_x = \msqrt{S^2_x}$
La media muestral: $\bar{x}$, sirve para estimar la media poblacional, se denota con $\mu$.
La desviación típica muestral: $\mathbf{s}$, es una estimación de la desviación típica, se denota con $\sigma$.
La varianza: se denota $\sigma^2$.
Calculadora de la Normal en GeoGebra:
Vamos con los ejercicios de la PAU:
PAU 2026 La Rioja junio Una fábrica de café envasa su producto en paquetes cuyo peso sigue una distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma$. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 paquetes, cuyo peso medio ha sido 500 gramos, y se ha calculado el siguiente intervalo de confianza al 91% para estimar $\mu: (496.6, 503.4)$. Se pide:
Calcula el valor de la desviación típica ( $\sigma$).
Con la misma muestra y la misma $\sigma$: si ahora se pretende que el error cometido en la estimación sea a lo sumo de 2,94 gramos, razona si el nivel de confianza ahora sería mayor o menor que 91%.
Para resolver el apartado a).
Tenemos que buscar el valor de $\alpha$ que tenga el intervalo de confianza del 93%. Así
\[ 1 - \alpha = 0,91 \implies \alpha = 1 - 0,91 = 0,09 \]
Ahora calculamos $z_{\frac{\alpha}{2}}$:
\[ P(Z \leq z_{\frac{\alpha}{2}} ) = 1 - \mfrac{\alpha}{2} = 1 - \mfrac{0,09}{2} = 1 - 0,045 = 0,955 \]
Luego \( z_{\alpha/2} = 1,69 \) y el error es $E = 3,4$ (la mitad de la amplitud del intervalo de confianza:
\[ 3,4 = 1,69 \cdot \mfrac{\sigma}{\msqrt{100}} \implies \sigma = \mfrac{34}{1,69} \approx 20,12 g \]
Para el apartado b): Manteniendo la media, la desviación típica y el tamaño de la muestra y querer reducir el error, es lógico que el intervalo de confianza se reduzaca. Vamos a calcular el nuevo $\alpha$:
\[ 2,94 = \mfrac{z_{\alpha/2} \cdot 20,12}{ 10 } \implies z_{\alpha/2} = \mfrac{29,4}{20,12} = 1,46 \]
Si buscas el valor 1.46 en la tabla de la distribución normal tipificada (fila 1.4 y columna 0.06) o en la calculadora de GeoGebra, encontrarás la probabilidad acumulada de 0.9279. Como esa es la probabilidad de que
\[ P(Z \leq z_{\frac{\alpha}{2}} ) = 1 - \mfrac{\alpha}{2} = 0,9279 \implies 2 - \alpha = 1,8558 \implies \alpha = 0,1442 \]
Así el Nivel de confianza es
\[ 1 − α = 1 − 0,1442 =0,8558 \implies 85.58 \% \]
Luego el nivel de confianza ha bajado, al querer reducir el error manteniendo los mismos datos.
PAU 2026 La Rioja junio En un importante evento deportivo, se sabe que el 1% de los participantes consume algún tipo de sustancia prohibida. Para detectar si este consumo ha tenido lugar o no, se puede hacer una determinada prueba. Dicha prueba detecta falsos positivos en un 2%, y falsos negativos, en un 6%. El día del evento, se elige un deportista al azar y se le hace la prueba, se pide:
Calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida y la prueba haya dado positiva.
Si el deportista ha dado positivo en la prueba, calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida.
Sea $A = $ El suceso tomar una sustancia prohibida. \( A^c = A'= \overline{A} = \) No tomar la sustancia prohibida.
Sea $B = $ El suceso dar positivo. \( B^c = B' = \overline{B} = \) dar negativo.
$a)$ Hay que recorrer el árbol según $A$ y después la rama del $B$.
Se multiplican las probabilidades:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \mfrac{1}{100} \cdot \mfrac{94}{100} = \mfrac{94}{10.000} = \mfrac{47}{5.000} \]
\[ \mfrac{47}{ 5.000 } \approx 0,0094 (\text{ es decir, aproximadamente un } 0,94\% \text{ de probabilidad). } \]
$b)$ Tenemos que aplicar el Teorema de la Probabilidad Total.
\[ P(A | B) = \mfrac{ P(A \cap B) }{P(B)} = \mfrac{ P(A \cap B) }{ P(A \cap B) + P( \overline{A} \cap B) } = \mfrac{ \mfrac{94}{10.000} }{ \mfrac{94}{10.000} + \mfrac{198}{10.000} } = \mfrac{94}{ 94 + 198 } = \mfrac{94}{ 292 } = \mfrac{47}{ 146 } \]
\[ \mfrac{47}{ 146 } \approx 0,3219 (\text{ es decir, aproximadamente un } 32,19\% \text{ de probabilidad). } \]
PAU 2026 La Rioja julio En una prueba de diagnóstigo médico se hace la medición de cierto índice que sigue una distribución normal. Los índices tipificados de dos individuos fueron 0.6 y -0.8 y sus índices reales son 109 y 88, respectivamente.
Calcula:
la media y desviación típica del índice analizado.
entre que valores simétricos respecto a la media está el índice del 80% de los individuos de dicho estudio.
Vamos con el apartado a). Como la variable esta tipificada tenemos:
\[
\begin{cases}
109 - \mu = 0,6 \cdot \sigma \cr \cr
88 - \mu = -0,8 \cdot \sigma
\end{cases}
\]
Restamos la ecuaciones y nos queda:
\[ 109 - 88 = 1,4 \cdot \sigma \implies \sigma = \mfrac{21}{1,4} = \mfrac{3}{0,2} = 15 \]
Despejamos ahora $\mu$:
\[ 109 - \mu = 0,6 \cdot 15 \implies \mu = 109 - 9 = 100 \]
Ahora el apartado b):
Para poder usar la tabla estándar, necesitamos saber qué valor de $z$ (positivo) deja acumulado a su izquierda todo el centro más la cola de atrás. Es decir:
$$\text{Área a la izquierda de } z = \text{Centro} + \text{Cola izquierda} = 0.80 + 0.10 = 0.90$$
Buscamos en el interior de la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor más cercano a $0.9000$, el más exacto es $z_{\alpha} = 1,28$
Ahora que sabemos que nuestros límites están a $1,28$ desviaciones típicas de la media, usamos tus datos del apartado a ($\mu = 100$ y $\sigma = 15$) para calcular los índices reales ($x$). Despejamos la $x$ de la fórmula:
\[ x = \mu + z \cdot \sigma \]
Límite inferior ($x_1$): Usamos el $z_{\alpha} = 1,28$:
$$x_1 = 100 + (-1,28) \cdot 15 = 100 - 19,2 = \mathbf{80,8}$$
Límite superior ($x_2$): Usamos el $z$ positivo.
$$x_2 = 100 + (1,28) \cdot 15 = 100 + 19,2 = \mathbf{119,2}$$
El índice del 80% de los individuos de dicho estudio está comprendido entre 80,8 y 119,2.
Si $\alpha$ están en el dominio de la función $f(x)$ entonces:
\[ \mintd{\alpha}{\alpha}{ f(x) }{dx} = 0 \]
Si $f(x)$ es integrable en $[a, b]$ entonces:
\[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = - \mintd{ b }{ a }{ f(x) }{dx} \]
Si $f(x)$ es integrable en $[a, b]$ y $\beta \in \R$ entonces:
\[ \mintd{ a }{ b }{ \beta \cdot f(x) }{dx} = \beta \cdot \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} \]
Si $f(x)$ es constante, $f(x) = c$, es integrable en $[a, b]$ y $ c \in \R$ entonces:
\[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ c }{dx} = c \cdot \mintd{ a }{ b }{ }{dx} = c \cdot \Bigg [ x \Bigg ]^b_a = c \cdot (b - a) \]
Si $f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x)$ son integrables en $[a, b]$ entonces:
\[ \mintd{ a }{ b }{ (f_1(x) \pm f_2(x) \pm \ldots \pm f_n(x)) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ f_1(x) }{dx} \pm \mintd{ a }{ b }{ f_2(x) }{dx} \pm \ldots \mintd{ a }{ b }{ f_n(x) }{dx} \]
Si $f(x)$ es integrable en un intervalo cerrado $[a, b]$ que contiene a tres valores $c,\ d\ \text{ y } \ e$ de forma que $c \leq d \leq e$ entonces:
\[ \mintd{ c }{ e }{ f(x) }{dx} = \mintd{ c }{ d }{ f(x) }{dx} + \mintd{ d }{ e }{ f(x) }{dx} \]
La variable de integración en una integral definida no afecta en el resultado final, por eso se le llama variable muda. Esto significa que puedes cambiar el nombre de la variable de integración sin alterar el valor de la integral, siempre que seas coherente dentro de la expresión.
\[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ f(t) }{dt} \]
Integral de funciones simétricas:
\( \bullet \) Si $f(x)$ es par, es decir, $f(-x) = f(x)$, entonces \( \mintd{-a}{a}{f(x)}{dx} = 2 \cdot \mintd{0}{a}{f(x)}{dx} \)
\( \bullet \) Si $f(x)$ es impar, es decir, $f(-x) = -f(x)$, entonces \( \mintd{-a}{a}{f(x)}{dx} = 0 \)
Propiedades de comparación:
Si $f(x) \geq 0$ en $a \leq x \leq b$, entonces \( \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \geq 0 \)
Si $f(x) \geq g(x) $ en $a \leq x \leq b$, entonces \( \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \geq \mintd{a}{b}{g(x)}{dx} \)
Si $m \leq f(x) \leq M$ en $a \leq x \leq b$, entonces \( m \cdot (b - a) \leq \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \leq M \cdot (b - a) \)
La fórmula de cuadratura de Cavalieri:
\[ \mintd{0}{a}{x^n}{dx} = \mfrac{1}{n + 1} \cdot a^{n+1} \qquad , n \geq 0 \]
Integral indefinida es:
\[ \mint{x^n}{dx} = \mfrac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1} + C, \qquad n \neq 1 \]
\( \bullet \) Ejercicio 1:
\( \bullet \) Ejercicio 2:
\( \bullet \) Ejercicio 3:
Lo primero es ver los puntos de corte de cada función con el eje $X$, el eje de abscisas:
Para $y = \msqrt{4 - x}$ Si $y = 0 \implies 4 - x = 0 \implies x = 4$
Para $y = \msqrt{4 - 4x}$ Si $y = 0 \implies 4 - 4x = 0 \implies x = 1$
Luego el área total se calcula de la siguiente forma:
\[ A_t = \mintd{ 0 }{ 4 }{ \msqrt{4 - x} }{dx} - \mintd{ 0 }{ 1 }{ \msqrt{4 - 4x} }{dx} (1) \]
Para calcular las integrales las ponemos como potencias, es decir, $y = (4 - x)^{1/2}$ e $y = (4 - 4x)^{1/2}$, es más fácil y directa:
Las cónicas se pueden ver como la intersección de un plano que interseca con un cono doble, según el plano de inclinación la intersección produce circunferencias, elipse, parábolas e hiérbolas. Este es el enlace en GeoGebra.
Una cónica viene determinada por cinco puntos, siempre que tres de ellos no estén alineados.
Excentricidad
La excentricidad no es solo un número; mide la forma «estirada» o «achatada» de la curva.
La distancia entre los focos se llama distancia focal. El punto medio del segmento que une los focos es el centro de la cónica y la recta que pasa por los focos se llama eje focal. Si $c$ es la semidistancia focal y $a$ es el semiejemayor, entonces:
$$ \text{ Se define excentricidad } \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } $$
La excentricidad mide cuánto se «desvía» una sección cónica de ser un círculo perfecto. En una elipse, la excentricidad está entre 0 y 1 ($0 < e < 1$). Cuanto más cerca está de 0, más redondeada es; cuanto más cerca de 1, más «achatada». La circunferencia es el caso límite de la elipse donde los dos focos coinciden en un mismo punto (el centro). Al no haber distancia entre los focos, no hay «forma atachada» y la excentricidad es nula.
Forma Estándar de las Secciones Cónicas con Centro en el punto $(h, k)$
$$ \text{ La ecuación general de un cónica es: } \Large Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$
A partir de esta ecuación podemos saber el tipo de cónica.
¿Qué representa cada término?
$Ax^2 + Bxy + Cy^2$ son los términos cuadráticos. El término $xy$ indica si la cónica está rotada respecto a los ejes.
$Dx + Ey$ son los términos lineales que indican si la cónica está desplazada del origen.
$F$ es el término independiente.
Cómo saber qué figura es.
Para identificar la cónica cuando no hay rotación ($B = 0$), nos fijamos en los coeficientes $A$ y $C$:
Si $A = C \implies $ Circunferencia.
Si $A = 0 \lor C = 0 \implies $ Parábola (solo una variable está al cuadrado).
Si $A \neq C$, pero con el mismo signo $\implies $ Elipse.
Si $A \neq C$, pero con signo opuesto $\implies $ Hipérbola.
Si la cónica está rotada $B \neq 0$, identificamos la figura usamos la fórmula $\Delta = B^2 - 4 \cdot A \cdot C$. Según el resultado, sabemos la cónica sin dibujarla:
Si es $\Delta < 0$ es elipse o circunferencia.
Si es $\Delta = 0$ es parábola.
Si es $\Delta > 0$ es hipérbola.
Nota: Una circunferencia nunca está rotada, por eso siempre $B = 0$.
Si $A = B = C = 0$ tenemos una recta, es el caso de cónica degenerada. Las cónicas degeneradas pueden ser: un punto, una recta o un par de rectas secantes.
La circuferencia:
Es el lugar geométrico de los puntos de plano que equidistan de otro punto llamado centro.
Ecuación de la circunferencia:
Punto de plano $P = (x, y)$, centro $C =(h, k)$ y la distancia constante $r$:
$$ d(P, C) = r \Leftrightarrow \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} = r \iff (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$
La excentricidad en la circunferencia es cero. Los focos coinciden con el centro de la circunferencia. El semieje mayor (es el mismo que el semieje menor) y coinciden con el radio.
$$ \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } = \dfrac{\ 0 \ }{ r } = 0 $$
Ejemplos:
Ecuación de la circunferencia centrada en el origen de radio 5:
$$ x^2 + y^2 = 5^2 $$
Ecuación de la circunferencia centrada en el punto $C =(2, -4)$ y de radio 1:
$$ (x-2)^2 + (y + 4)^2 = 1^2 $$
Si desarrollamos la ecuación de un circunferencia de centro $(h, k)$ tenemos que:
$$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \Rightarrow x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yk + k^2 - r^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2hx - 2ky +h^2 + k^2 - r^2 = 0$$
Hacemos $m = -2h$, $ n = -2k$ y $ o = h^2 + k^2 - r^2$ tenemos:
$$ x^2 + y^2 + mx + ny + o = 0, \text{ que es la ecuación general de una cónica con } A = C = 1, B = 0, D = m, E = n \text{ y } F = o $$
La elipse:
Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
La distancia entre los focos se llama distancia focal. El punto medio del segmento que une los focos es el centro de la elipse y la recta que pasa por los focos se llama eje focal.
Si $c$ es la semidistancia focal y $a$ es el semiejemayor, entonces:
$$ \text{ Se define excentricidad } \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } $$
Observación: En una elipse la excentricidad está entre 0 y 1, $ \epsilon \ \in \ (0, 1)$
Nota: La circunferencia es una elipse de excentricidad cero. Como $ a = b \Rightarrow c = 0 \Rightarrow \epsilon = 0 $
$$ d(P, F) + d(P, F') = 2a$$
La distancia es dos veces el semieje mayor de longitud $a$ (en este caso situado en el eje $OX$ o eje de abscisas). El semieje menor de longitud $b$ situado en el eje $OY$ o eje de ordenadas.
En una elipse tenemos que $a^2 = b^2 + c^2$ y así la ecuación de una elipse nos queda:
Si suponemos que la elipse está centrada en el origen de coordenadas, el semieje mayor está en el eje $X$, las coordenadas de los focos son $F = (c, 0)$ y $F' = (-c, 0)$ respectivamente y las coordenadas del punto es $P(x, y)$ tenemos:
Sabiendo que los focos están en los puntos $F_1 = (h - c, k)$ y $F_2 = (h + c, k)$
$$ \dfrac{\ \ (x - h)^2 \ \ }{a^2} + \dfrac{\ \ (y - k)^2 \ \ }{b^2} = 1 \qquad (*) $$
Y si el eje mayor está en la vertical, es decir, en el eje de ordenadas, la ecuación sería:
$$ \dfrac{\ \ (x - h)^2 \ \ }{b^2} + \dfrac{\ \ (y - k)^2 \ \ }{a^2} = 1 $$
Desarrollando la ecuación (*) tenemos que:
$$ a^2(x^2 - 2xh + h^2) + b^2(y^2 - 2yk + k^2) = a^2b^2 \Rightarrow $$
$$a^2x^2 + b^2y^2 + x(-2a^2h) + y(-2b^2k) + a^2h^2 - a^2b^2 + b^2k^2 = 0 $$
Hacemos $p = a^2, q = b^2, B = 0, r = -2a^2h, s = -2b^2k$ y $ t = a^2h^2 - a^2b^2 + b^2k^2$ tenemos:
$$px^2 + qy^2 + rx + sy + t = 0$$
La hipérbola:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. Siendo esta constante menor a la distancia entre los focos, distancia focal.
\[ |d(P,F_1) - d(P,F_2)| = 2a \]
$$\msqrt{(x+c)^2 + y^2} - \msqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a $$
Paso 1: Aislar una raíz y elevar al cuadrado
$$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
$$(x+c)^2 + y^2 = (2a)^2 + 2(2a)\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \left(\sqrt{(x-c)^2 + y^2}\right)^2$$
$$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + (x-c)^2 + y^2$$
Paso 2: Simplificar términos. Expandimos los binomios $(x+c)^2$ y $(x-c)^2$, y cancelamos $y^2$:
$$x^2 + 2xc + c^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + x^2 - 2xc + c^2$$
Cancelamos $x^2$ y $c^2$ de ambos lados y agrupamos los términos con $xc$:
$$4xc - 4a^2 = 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$
Dividimos todo entre 4 para simplificar:
$$xc - a^2 = a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$
Paso 3: Elevar al cuadrado por segunda vezElevamos nuevamente para eliminar la raíz restante:
$$(xc - a^2)^2 = a^2 \left[ (x-c)^2 + y^2 \right]$$
$$x^2c^2 - 2xca^2 + a^4 = a^2 (x^2 - 2xc + c^2 + y^2)$$
$$x^2c^2 - 2xca^2 + a^4 = a^2x^2 - 2xca^2 + a^2c^2 + a^2y^2$$
Cancelamos el término $-2xca^2$ en ambos lados:
$$x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$$
Paso 4: Agrupar variables y usar la sustitución $c^2 = a^2 + b^2$
Pasamos los términos con $x$ e $y$ a un lado y las constantes al otro:
$$x^2c^2 - a^2x^2 - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4$$$$x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)$$
Aquí aplicamos el hecho que mencionas: si $c^2 = a^2 + b^2$, entonces $b^2 = c^2 - a^2$. Sustituimos:
$$x^2(b^2) - a^2y^2 = a^2b^2$$
Paso 5: Resultado final
Dividimos toda la ecuación por $a^2b^2$:
$$\mfrac{x^2b^2}{a^2b^2} - \mfrac{a^2y^2}{a^2b^2} = \mfrac{a^2b^2}{a^2b^2}$$
Es la ecuación estándar de la hipérbola.
$$\mfrac{x^2}{a^2} - \mfrac{y^2}{b^2} = 1$$
La excentricidad de una hipérbola. La distancia entre los vértices ($2a$) debe ser menor que la distancia focal ($2c$). En lenguaje matemático, esto se expresa como:$$a < c \implies \epsilon = \mfrac{c}{a} > 1 $$
La ecuación normal (o canónica) de la hipérbola centrada en el punto $(h, k)$;
Horizontal (que abre hacia la izquierda y hacia la derecha) es:
\[ \dfrac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1 \]
Centro $ = (h, k)$
Vértices: $(\pm a, 0)$
Focos: $(\pm c, 0)$
$c^2 = a^2 + b^2$, donde $c$ es la distancia del origen al foco.
Asíntotas $y = \pm \mfrac{b}{a}x$
Vertical (abre hacia arriba y hacia abajo) es:
\[ \dfrac{(y - k)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(x - h)^{2}}{b^{2}} = 1 \]
Centro $ = (h, k)$
Vértices: $(0, \pm a)$
Focos: $(0, \pm 0)$
$c^2 = a^2 + b^2$, donde $c$ es la distancia del origen al foco.
Asíntotas $y = \pm \mfrac{a}{b}x$
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un recta fija llamada directriz ($d$) y de un punto interior $F$ a la parábola llamado foco. El foco $F$ no pertenece a la directriz. La directriz no interseca a la parábola.
\[ d(P, F) = d(P, d) \]
La parábola centrada en el origen, los datos del foco y de la directriz son: \(F = (0, p) y d \equiv y = - p \)
\[ \msqrt{x^2 + (y - p)^2} = | y + p | \]
Elevamos al cuadrado:
\[ x^2 + (y - p)^2 = ( y + p )^2 \]
\[ x^2 + y^2 - 2yp + p^2 = y^2 + 2yp + p^2 \]
Se cancelan los $y^2$ y los $p^2$:
\[ x^2 - 2yp = 2yp \implies 4yp = x^2 \]
A $4p$ se le denomina lado recto de la parábola. Si $p$ es muy grande, la parábola se estrecha y si p es muy pequeño la parábola es más amplia.
Distancia focal ($p$): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales). Entonces:
\[ \epsilon = \mfrac{c}{a} = \mfrac{p}{p} = 1 \]
Si la parábola está centrada en el origen, el eje focal es paralelo al eje Y o eje de ordenadas y la directriz es paralela al eje X o eje de abscisas, entonces la ecuación es de la forma:
La ecuación ordinario, normal o canónica de una parábola:
Vertical (que abre hacia arriba o hacia abajo) es:
\[ 4p(y - k) = (x - h)^{2} \]
$p$ es la distancia focal. Si $p > 0$ se abre hacia arriba, si $p < 0$ se abre hacia abajo.
Vértice $(h, k)$
Foco: $(h, k + p)$
La directriz es $y = k - p$
Horizontal (abre hacia la izquierda o hacia la derecha) es:
\[ (y - k)^{2} = 4p(x - h) \]
$p$ es la distancia focal. Si $p > 0$ se abre hacia la derecha, si $p < 0$ se abre hacia la izquierda.
Vértice $(h, k)$
Foco: $(h + p, k)$
La directriz es $x = h - p$
Ejemplos:
$$ x^2 = 4py $$
Si $p = \dfrac{1}{4} $ tenemos la parábola $y = x^2$
Ejercicios resueltos
Este ejercicio lo hacemos completando cuadrados a $x$ e $y$:
\[ x^2 + y^2 - 4x - 6y = 12 \implies x^2 -4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 12 + 4 + 9 \implies (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 \]
Es decir, la circunferencia centrada en el punto $(2, 3)$ y de radio 5.
La ecuación de la parábola viene dada por el vértice $(0, 0)$ y $x^2 = 4py$:
El lado recto es $4p$ y vale 8, luego la acuación de la parábola es: $8y = x^2 \implies y = \mfrac{x^2}{8}$
Vértice: $(0, 4)$ y los puntos en el suelo: $(2.5, 0)$ y $(-2.5, 0)$
La ecuación de la parábola viene dada por el vértice $(h, k)$ y $(x - h)^2 = 4p(y - k)$:
$$x^2 = 4p(y - 4)$$
Con el punto $(2.5, 0)$ vamos a calular el lado recto:
\[ (2,5)^2 = 4p(0 - 4) \implies 6,25 = -16p \implies 4p = \mfrac{6,25}{-4} = -1,5625 \]
Ya tenemos la ecuación de la parábola: $$x^2 = -1,5625(y - 4)$$
Para calcular la altura, centramos el coche de 3 metros, dejando 1,5 metros a cada lado del centro del tunel y despejamos $y$:
$$(1,5)^2 = -1,5625(y - 4) \implies 2,25 = -1,5625y + 6,25 \implies -4 = - 1,5625p \implies p = \mfrac{4}{1,5625} = 2,56 \text{m} $$
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
