Función. Dominio y Recorrido. Simetrías. Continuidad. Operaciones con funciones. Composición de funciones. Función inversa. Cálculo de la función inversa.

¿Qué es una función?
Una función es una regla que asigna a cada elemento $x$ (del conjunto inicial) un valor y sólo uno llamado imagen de $x$, se denota $f(x)$, (del conjunto final).

Una función relaciona dos magnitudes:
La variable independiente $x$, forma parte del conjunto inicial.
La variable dependiente $y$ o $f(x)$, que forma parte del conjunto final.
Con frecuencia se utiliza la expresión $y = f(x)$, que se lee «$y$ es igual a $f$ de $x$». Diremos que $f(x)$ es la imagen de $x$.
\[ \begin{array}{ll} f: & A \longrightarrow B \\ & x \ \longrightarrow y = f(x) \end{array}\] Una función puede definirse de varias formas:

• Definidas por un enunciado: Si un kilo de naranjas cuesta 0,70 €, la función que relaciona el peso en kilos (\(x\)) con el precio total en euros (\(y\)) se enuncia como: "el precio es igual a multiplicar 0,70 por la cantidad de kilos comprados". Su fórmula es \(f(x) = 0,70x\).
• Definidas por una tabla:

  Hora ($x$)	Temperatura en °C ($y$)
  8:00	12
  11:00	18
  14:00	25
  17:00	22
  20:00	16

• Definidas por una gráfica:
  
  Variable independiente (\(x\)): Distancia recorrida (en kilómetros).
  
  Variable dependiente (\(y\)): Altitud (en metros).
  
  
• Definidas por una expresión analítica: $f(x) = \log_{2}(x)$

Ejemplos de funciones:

• $f(x) = x$ La función identidad, a cada número le toca el mismo.
• $f(x) = - x$ La función que calcula el opuesto de un número.
• $f(x) = \msqrt{x}$ La función que a cada número le asocia su raíz cuadrada positiva.
• $f(x) = |x|$ La función que a cada número le asocia su valor absoluto.
• $f(x) = 1$ La función constante, la función que a cada número le corresponde el 1. (o un número cualquiera). Si f(x) = 0, se llama la función nula.

A partir de la gráfica podemos saber saber si es una función o no. Basta con trazar una paralela al eje $Y$, el eje de ordenadas, y si corta en dos o más puntos a la gráfica no se corresponde con una función.

Dejo este applet de Geogebra para que practiques:

Dominio de una función:

$\bullet\ $ Dada un función $f(x)$, se llama dominio de la función al conjunto de valores para los que está definida la función. Veamos unos ejemplos: \[ f(x) = \msqrt{x} \] ¿Puedo calcular la raíz cuadrada de cualquier $x$ (númeor real)? La respuesta es que NO. Sólo podemos calcular la raíz cuadrada positiva de números reales positivos, luego el dominio de la función es el intervalo infinito $[0, +\infty)$ y se denota: \[ \domin{f}{x} = [0, +\infty) \] $\bullet\ $ Sea la función $g(x) = x^{-1} = \mfrac{1}{x}$, la que a cada número le corresponde su inverso. ¿Dominio? ¿Puedo calcular el invesro de cualquier número? La respuesta es que NO, todos los números tienen inverso salvo el cero. \[ \domin{g}{x} = \R \setminus \{ 0 \} \] $\bullet\ $ Sea la función $h(x) = |x| $, la función que a cada número le asocia su valor absoluto. ¿Dominio? No hay ninguna restriccón, podemos calcular el valor absoluto de cualquier número, luego el dominio es todos los reales. \[ \domin{h}{x} = \R \] $\bullet\ $ Sea la función $j(x) = \log_{2}(x) $, la función que a cada número le asocia su logaritmo en base 2. ¿Dominio? Sólo puedo calcular el logaritmo de números positivos. \[ \domin{j}{x} = (0, +\infty) \] Comentarios sobre los dominios:

• Si una función tiene una expresión polnómica, el dominio es todos los reales.
  
  
• Si una función es un cociente de dos polinomios, el dominio será todos los reales excepto las raíces del denominador.
  
  
• Si una función es una raíz de índice par, la expresión del radicando sólo puede ser positiva.
  
  
• Si una función es una raíz de índice impar, la expresión del radicando es independiente del signo del radicando.
  
  
• Si la función es un logaritmo, recordemos que sólo podemos calcular el logaritmo de expresiones positivas.
  
  

Ejercicios de dominios:

Al ser una función con una expresión polinómica, el dominio de $f(x)$ es todo $\R$.

Recorrido de un función:
Es el conjunto dónde la función nos devuelve los valores que puede tomar. No siempre es fácil de calcular. Veamos unos ejemplos.

$\bullet\ $ Dada un función $f(x) = \msqrt{x}$, esta función siempre nos devuelve valores mayores o iguales que cero, luego su recorrido o imagen es el intervalo $ \recor{f}{x} = \imagn{f}{x} = [0, +\infty]$. Podemos poner la función así: \[ \begin{array}{lccl} g: & [0, +\infty] & \longrightarrow & [0, +\infty] \\ & x & \longrightarrow & \msqrt{x} \end{array} \] $\bullet\ $ Sea la función $g(x) = x^{-1} = \mfrac{1}{x}$, ¿cuál es su recorrido? Todos los números tienen inverso salvo el cero. Luego el $ \recor{f}{x} = \imagn{f}{x} = \R \setminus \{ 0 \} $ \[ \begin{array}{lccl} f: & \R \setminus \{ 0 \} & \longrightarrow & \R \setminus \{ 0 \} \\ & x & \longrightarrow & \mfrac{1}{x} \end{array} \] $\bullet\ $ Sea la función $h(x) = |x| $. ¿cuál es su recorrido? Esta función nos devuelve valores mayores o iguales que cero. Luego su recorrido o imagen es el intervalo $ \recor{f}{x} = \imagn{f}{x} = [0, +\infty]$. Podemos poner la función así: \[ \begin{array}{lccl} h: & \R & \longrightarrow & [0, +\infty] \\ & x & \longrightarrow & |x| \end{array} \] $\bullet\ $ Sea la función $i(x) = 3 $ (o la constante que queramos. ¿Cuál es el recorrido o imagen de esta función? El número 3, es decir, $ \recor{i}{x} = \imagn{i}{x} = \{ 3 \}$. \[ \begin{array}{lccl} i: & \R & \longrightarrow & \{ 3 \} \\ & x & \longrightarrow & 3 \end{array} \] $\bullet\ $ Sea la función $j(x) = \log_{2}(x)$. ¿Cuál es el recorrido o imagen de esta función? El exponente que hay que poner a 2 para que nos de otro número es cualquier número real. $ \recor{j}{x} = \imagn{j}{x} = \R$. \[ \begin{array}{llcl} j: & (0, +\infty) & \longrightarrow & R \\ & x & \longrightarrow & \log_{2}(x) \end{array} \] Una función $f$:

$$\large \fbox{ \( \begin{array}{lccl} f: & \domin{f}{x} & \longrightarrow & \recor{f}{x} \\ & x & \longrightarrow & y = f(x) \end{array} \) } $$

Simetrías:

$\bullet \ f(x) $ es par si cumple $f(x) = f(-x)$. La función toma los mismos valores en $x$ que en sus opuestos $-x$. La gráfica es simétrica respecto del eje $Y$.
Ejemplos: $f(x) = x^2$

\[ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \] $g(x) = \sen(x)$

\[ g(-x) = \sen(-x) = \sen(x) = g(x) \] $\bullet \ f(x) $ es impar si cumple $f(x) = -f(-x)$. La función toma valores opuestos en $x$ que en $-x$. La gráfica es simétrica respecto del origen. Si la giramos $\gss{180}$ o $\pi$ radianes la gráfica es la misma.
Ejemplos: $f(x) = x^3$

\[ f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) \] $g(x) = \cos(x)$

\[ g(-x) = \cos(-x) = -\cos(x) = -g(x) \] Aquí tienes un applet de Geogebra para que practiques:

Con las funciones se pueden hacer las operaciones básicas: $+, - , \times \text{ y } \div$.

Y se cumple: \[ \text{Dom}\, (f \pm g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) \] \[ \text{Dom}\, (f \cdot g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) \] \[ \text{Dom}\, (f \div g) (x) = \text{Dom}\, \left (\mfrac{f}{g} \right ) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) \setminus \{ x_0 | g(x_0) = 0 \} \] Ejemplos: Sean $f(x) = x^3 + 1$ y $g(x) = x^2 + 5x + 6$:

$ \text{Dom}\, f(x) = \R $ y $\text{Dom}\, g(x) = \R$

$f(x) + g(x) = x^3 + x^2 + 5x + 7$ \[ \text{Dom}\, (f + g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) = \R \cap \R = \R \] $f(x) + g(x) = x^3 - x^2 - 5x - 5$ \[ \text{Dom}\, (f - g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) = \R \cap \R = \R \] $f(x) \cdot g(x) = (x^3 + 1)(x^2 + 5x + 6) = x^5 + 5x^4 + 6x^3 + x^2 + 5x + 6$ \[ \text{Dom}\, (f \cdot g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) = \R \cap \R = \R \] $f(x) \div g(x) = \mfrac{x^3 + 1}{x^2 + 5x + 6} $, veamos cuando se anula el denominador: \[ x^2 + 5x + 6 = 0 \text{ Aplicando Cardano-Vieta, las raíces son } -2 \text{ y } - 3\] \[ \text{Dom}\, (f \div g) (x) = \text{Dom}\, \left (\mfrac{f}{g} \right ) (x) = \R \cap \R \setminus \{x_0 | g(x_0) = 0 \} = \R \setminus \{ -2, -3 \} \] Además con las funciones aparece una nueva operación, la composición de funciones, se denota con el símbolo $\circ$, se expresa $\left (g \circ f \right )(x)$ y se lee «$f$ compuesto con $g$», primero actua $f$ y después $g$: \[ \left (g \circ f \right ) (x) = g \left ( f(x) \right ) \] También se puede hacer «$g$ compuesto con $f$», se expresa $\left (f \circ g \right )(x)$: \[ \left (f \circ g \right ) (x) = f \left ( g(x) \right ) \] Ejemplo: Sean $f(x) = x + 2$ y $g(x) = \msqrt{x}$:

Si hacemos «$f$ compuesto con $g$», primero aplicamos $f$ y después aplicamos $g$: \[ \left (g \circ f \right ) (x) = g \left ( f(x) \right ) = g \left ( x + 2 \right ) = \msqrt{ x + 2 } \] Y si hacemos «$g$ compuesto con $f$», primero aplicamos $g$ y después aplicamos $f$: \[ \left (f \circ g \right ) (x) = f \left ( g(x) \right ) = f \left ( \msqrt{x} \right ) = \msqrt{ x } + 2 \] Lo primero que vemos es que $ \left (g \circ f \right ) (x) \neq \left (f \circ g \right ) (x) $, es decir, la composición de funciones NO es una operación conmutativa. Puede ocurrir que alguna vez puntual se cumpla la igualdad, pero son excepciones.

La composición de funciones de puede hacer con 2 funciones, con 3, con 4 ... sin límite: \[ \left (h \circ g \circ f \right ) (x) = h \left [ g \left ( f(x) \right ) \right ] \] Supongamos que tenemos las siguientes tres funciones: \(h(x) = x + 1, g(x) = 2x \text{ y } f(x) = x^2 \). Queremos calcular la siguiente composición \((f \circ g \circ h)(x)\): \[ (f \circ g \circ h)(x) = f [ g( h(x) ) ] = f [ g( x + 1 ) ] = f ( 2(x + 1) ) = [ 2(x + 1) ]^2 = (2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4 \]

$$\large \fbox{ Función inversa} $$

Una función inversa es aquella que «deshace» o «revierte» la acción de la función original, devolviendo el valor inicial de donde se partió.

Si una función \(f\) convierte una entrada \(x\) en un resultado \(y \text{ o } f(x)\), su función inversa (escrita como \(f^{-1}\)) toma ese resultado \(y \text{ o } f(x)\) y lo regresa al valor original \(x\). Veamos un ejemplo sencillo:

\[ f(x) = 2x \implies f(3) = 6 ; f(1) = 2 \] \[ f^{-1}(x) = \mfrac{x}{2} \implies f^{-1}(6) = 3; f^{-1}(2) = 1 \] ¿Qué ocurre si hacemos la composición de $f$ y de $f^{-1}$ o viceversa? Primero hacemos la composición de $f$ y de $f^{-1}$
\[ \left ( f^{-1} \circ f \right) (x) = f^{-1} (f(x) ) = f^{-1}(2x) = \mfrac{2x}{2} = x \] Ahora vamos a hacer la composición de $\invrs{f}$ y de $f$: $\domin{f}{x}$ \[ \left ( f \circ \invrs{f} \right) (x) = f(\invrs{f}(x) ) = f\left( \mfrac{x}{2} \right) = 2 \cdot \mfrac{x}{2} = x \] Conclusión, cuando componemos una función $f$ con su inversa $\invrs{f}$ siempre nos da la función identidad. Y además da igual el orden a la hora de componer una función con su inversa o la inversa con la función original y el resultado siempre es la identidad.

$$\large \fbox{ $\left ( f^{-1} \circ f \right) (x) = \left ( f \circ \invrs{f} \right) (x) = x$ } $$

Una función y su inversa son simétricas respecto de la recta $y = x$, la bisectriz del primer-tercer cuadrante.
Aquí dejo un applet de GeoGebra para que compruebes algunas parejas de funciones inversas:

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Determinantes. Propiedades. Inversa de una matriz. Regla de Cramer. Ejercicios resueltos.

¿Qué es un determinante?

Los determinantes son valores escalares que se asocian a matrices cuadradas, esto es, aquellas matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas. El determinante de una matriz es una medida numérica que proporciona información importante sobre la matriz y sus transformaciones lineales asociadas. El determinante de una matriz A se denota como det(A) o |A|.

$\bullet$ Determinante de una matriz $2 \times 2$:

$$ \begin{eqnarray} |A| = \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \cdot a_{ 22 } - a_{ 21 } \cdot a_{ 12 } \end{eqnarray} $$

$\bullet$ Determinante de una matriz $3 \times 3$:

$$ \begin{eqnarray} |A| = \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \cdot a_{ 22 } \cdot a_{ 33 } + a_{ 12 } \cdot a_{ 23 } \cdot a_{ 31 } + a_{ 21 } \cdot a_{ 32 } \cdot a_{ 13 } \\ \\ - ( a_{ 13 } \cdot a_{ 22 } \cdot a_{ 31 } + a_{ 21 } \cdot a_{ 12 } \cdot a_{ 33 } + a_{ 11 } \cdot a_{ 32 } \cdot a_{ 23 } ) \end{eqnarray} $$

Un truco muy útil consiste en repetir las dos primeras filas del determinante justo debajo de este. El proceso para resolverlo es el siguiente:

• Diagonales principales (positivas): Multiplicamos los elementos de las tres diagonales que van de izquierda a derecha hacia abajo, y sumamos sus resultados.
• Diagonales secundarias (negativas): Hacemos lo mismo con las tres diagonales que van de derecha a izquierda hacia abajo, sumando también sus resultados.
• El cálculo final: A la suma de las primeras diagonales le restamos la suma de las segundas.

Veamos la imagen para que quede mucho más claro:

\[ = \textcolor{blue}{a_{ 11 } \cdot a_{ 22 } \cdot a_{ 33 } + a_{ 12 } \cdot a_{ 31 } \cdot a_{ 23 } + a_{ 13 } \cdot a_{ 21 } \cdot a_{ 32 } } - \textcolor{red}{ a_{ 11 } \cdot a_{ 32 } \cdot a_{ 23 } - a_{ 12 } \cdot a_{ 21 } \cdot a_{ 33 } - a_{ 13 } \cdot a_{ 31 } \cdot a_{ 22 } } \] Esta la variante repitiendo las dos primeras columnas a la derecha.

Otra versión:

Este método te permite calcular el determinante de $3 \times 3$ trabajando directamente sobre la matriz original, lo que ahorra tiempo al no tener que reescribir números. Se divide en dos grupos de multiplicaciones:

• Términos positivos (líneas azules): Primero, multiplicamos los tres elementos de la diagonal principal. Luego, multiplicamos los elementos que forman los dos "triángulos" paralelos a esta diagonal (agrupando dos números de un lado con el vértice del extremo opuesto). Sumamos estos tres resultados.
• Términos negativos (líneas rojas): Hacemos el mismo proceso, pero tomando como referencia la diagonal secundaria (de derecha a izquierda). Multiplicamos sus tres elementos y luego los que forman los dos triángulos paralelos a ella.
• Sumamos estos tres resultados y se los restamos al bloque positivo anterior.

Veamos la imagen:

\[ = \textcolor{blue}{a_{ 11 } \cdot a_{ 22 } \cdot a_{ 33 } + a_{ 12 } \cdot a_{ 31 } \cdot a_{ 23 } + a_{ 13 } \cdot a_{ 21 } \cdot a_{ 32 } } - \textcolor{red}{ a_{ 11 } \cdot a_{ 32 } \cdot a_{ 23 } - a_{ 12 } \cdot a_{ 21 } \cdot a_{ 33 } - a_{ 13 } \cdot a_{ 31 } \cdot a_{ 22 } } \]

Propiedades de los determinantes:

1. Multiplicación por un escalar: Multiplicar una fila (o columna) por un escalar \( k \) multiplica el determinante por \( k \).
   
   \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -12 \implies \begin{vmatrix} 2\cdot1 & 2 & 3 \\ 2\cdot5 & 4 & 3 \\ 2\cdot2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -24 = 2 \cdot (-12) \]
2. Si $A$ es una matriz de orden $n$ y $k$ es un número real: \[ |k \cdot A | = k^n \cdot |A| \] \[ |2 \cdot A| = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 10 & 8 & 6 \\ 4 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -96 = 2^3 \cdot (-12) = 2^3 |A| \]
3. Intercambio de filas o columnas: Intercambiar dos filas (o columnas) cambia el signo del determinante. \[ A = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \xrightarrow{F_1 \leftrightarrow F_2} B = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -3 \]
   
   
4. Operaciones elementales: Sumar un múltiplo de una fila (o columna) a otra no cambia el determinante.
   
   Sumar a otra fila (columna) multiplos de varias filas (columnas) no cambia el determinante.
   
   
5. Matriz singular: Si el determinante vale 0.
   Si una matriz tiene una fila o columna de ceros, su determinante vale cero. \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \implies |A| = 0 \] \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 10 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \implies |A| = 0 \]
6. Matriz singular: Si el determinante vale 0.
   Si una matriz tiene dos líneas iguales o proporcionales, su determinante vale cero. \[ |A| = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \quad (F_1 = 2 \cdot F_3) \qquad |B| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \quad (F_1 = F_2) \]
7. Matriz singular: Si el determinante vale 0.
   Si una línea puede expresarse como combinación lineal de otras líneas paralelas, su determinante vale cero. \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \implies |A| = 0 \quad (F_3 = F_1 + F_2) \] Consecuencia: Todas las líneas de una matriz son linealmente independientes si y solo si su determinante es distinto de cero.
8. Matriz triangular: El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de sus elementos diagonales.
   
   Ejemplos de determinantes de matrices triangulares superiores:
   
   $$ \begin{array}{ccc} |A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 = 6 & \qquad \phantom{prueba} \qquad & |B| = \begin{vmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 \cdot (-1) = -6 \end{array} $$ $$ |C|= \begin{vmatrix} 5 & 3 & 10 & -5 \\ 0 & 3 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 5 \cdot 3 \cdot (- 2) \cdot (- 3) = 90 $$
9. Si en un determinante los elementos de una fila o columna son sumas de dos sumandos, se puede descomponer en suma de dos determinantes. \[ \begin{vmatrix} 5+2 & 1 & 2 \\ 3+4 & 2 & 1 \\ 2+3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -15 + 3 = -12 \]
   
   
10. El determinante de la suma de dos matrices cuadradas $A$ y $B$ no siempre es igual a la suma de los determinantes de $A$ y de $B$: \[ |A + B| \neq |A| + |B| \]
11. Matriz diagonal: El determinante de una matriz diagonal es el producto de sus elementos diagonales.
    
    \[ \mid A_{\text{diagonal}} \mid = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 4 \cdot 1 \cdot 5 = 20 \]
12. Matriz escalar: El determinante de una matriz escalar es el producto de sus elementos diagonales.
    
    \[ \mid A_{\text{escalar}} \mid = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 4 \cdot I_3 \implies \mid 4 \cdot I_3 | = 4^3 \cdot \mid I_3 \mid =4^3 = 64 \]
13. Multiplicación de matrices: El determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes de las matrices individuales. \[ | A \cdot B | = |A| \cdot | B | \]
    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \ B = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 7 & 10 \end{pmatrix} \implies |A| = -2, \ |B| = 48 \] \[ A \cdot B = \begin{pmatrix} 23 & 26 \\ 55 & 58 \end{pmatrix} \implies |A \cdot B| = -96 = (-2) \cdot 48 = |A| \cdot |B| \]
14. Inversa de una matriz: El determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante original. \[ | A^{-1} | = \mfrac{1}{|A|} \]
    
15. Traspuesta de una matriz: El determinante de la traspuesta de una matriz es igual al determinante de la matriz original. \[ | A^{\top} | = |A| \] \[ A = \begin{pmatrix} 7 & -4 & 8 \\ 11 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 17 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} 7 & 11 & 1 \\ -4 & 2 & 0 \\ 8 & 0 & 17 \end{pmatrix} \] \[ \left. \begin{aligned} |A| &= 970 \\ |A^t| &= 970 \end{aligned} \right\} \implies |A| = |A^t| = 970 \]
    
    

Si $A$ y $B$ son matrices $n \times n$: \[ |A + B| \neq |A| + |B| \] \[ | − A| \neq |A| (\text{ es } | − A| = (−1)^n |A| ) \] \[ |kA| \neq k|A| (\text{ es } |kA| = k^n \cdot |A|) \]

Inversa de una matriz

Se llama Menor Complementario de un elemento $a_{ij}$ al determinante que se obtiene eliminando la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz original. La notación es $M_{ij}$.

Ejemplo: Sea la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 4 \\ -1 & 6 & 0 & -2 \\ 4 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$ Para calcular el menor complementario del elemento de la primera fila y primera columna ($a_{11} = 2$), tachamos la fila 1 y la columna 1, indicándolo de la siguiente forma: \[ \require{colortbl} A = \begin{pmatrix} \rowcolor[rgb]{0.94,0.5,0.5} 2 & -2 & -1 & 4 \\ \cellcolor[rgb]{0.94,0.5,0.5} -1 & 6 & 0 & -2 \\ \cellcolor[rgb]{0.94,0.5,0.5} 4 & 1 & 3 & 1 \\ \cellcolor[rgb]{0.94,0.5,0.5} 3 & 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] $$M_{11} = \begin{vmatrix} 6 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ (Nota: Recuerda que un menor es un determinante, lo que se representa con barras verticales.)

Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $n \times n$ se llama menor de orden $r$ de dicha matriz al determinante que se obtiene quedándonos con los elementos de las $r$ filas y $r$ columnas que se indiquen: \[ A \begin{pmatrix} i_1 i_2 \dots i_r \\ j_1 j_2 \dots j_r \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \dots & a_{i_1 j_r} \\ a_{i_2 j_1} & a_{i_2 j_2} & \dots & a_{i_2 j_r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i_r j_1} & a_{i_r j_2} & \dots & a_{i_r j_r} \end{vmatrix} \] con $i_1 < i_2 < \dots < i_r$ y $j_1 < j_2 < \dots < j_r$.

Veamos un ejemplo:

En la matriz $A$ queremos indicar el menor de orden 2 formado por las filas 1 y 3 y las columnas 2 y 4: filas elegidas: $i_1 = 1$, $i_2 = 3$; columnas elegidas: $j_1 = 2$, $j_2 = 4$; Se indica y calcula así: \[ \require{colortbl} A = \begin{pmatrix} \rowcolor[rgb]{1, 0.95, 0.6} 2 & \cellcolor[rgb]{0.75, 0.9, 0.6}-2 & -1 & \cellcolor[rgb]{0.75, 0.9, 0.6}4 \\ -1 & \cellcolor[rgb]{0.85, 0.95, 0.8}6 & 0 & \cellcolor[rgb]{0.85, 0.95, 0.8}-2 \\ \rowcolor[rgb]{1, 0.95, 0.6} 4 & \cellcolor[rgb]{0.75, 0.9, 0.6}1 & 3 & \cellcolor[rgb]{0.75, 0.9, 0.6}1 \\ 3 & \cellcolor[rgb]{0.85, 0.95, 0.8}2 & -2 & \cellcolor[rgb]{0.85, 0.95, 0.8}1 \end{pmatrix} \] $$ A \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{14} \\ a_{32} & a_{34} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 1) - (4 \cdot 1) = -6 $$



Dada una matriz $A$ cuadrada, de orden $n \times n$, se llama adjunto $A_{ij}$ al menor complementario de $a_{ij}$, $M_{ij}$, obtenido de suprimir la fila $i$-ésima y la columna $j$-ésima multiplicada por $(-1)^{i + j}$: \[ A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1\,j-1} & a_{1\,j+1} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \dots & \vdots \\ a_{i-1\,1} & \dots & a_{i-1\,j-1} & a_{i-1\,j+1} & \dots & a_{i-1\,n} \\ a_{i+1\,1} & \dots & a_{i+1\,j-1} & a_{i+1\,j+1} & \dots & a_{i+1\,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \dots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n\,j-1} & a_{n\,j+1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} \] Podemos calcular el determinante de una matriz con sus adjuntos bien por filas o bien por columnas: Por la fila $i$-ésima: \[ \boxed{|A| = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot A_{ij}} \] y análogamente por la columna $j$-ésima: \[ \boxed{|A| = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot A_{ij}} \] Vamos a usar esta propiedad para obtener la fórmula de un determnante 3 $\times 3$: \[ |A| = \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} = \] \[ = a_{ 11 } \cdot (-1)^{1+1} \cdot M_{11} + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot M_{12} + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot M_{13} = \] \[ = a_{ 11 } \cdot \begin{vmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} - a_{12} \cdot \begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} + a_{13} \cdot \begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 22 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix} = \] \[ = a_{ 11 } \cdot (a_{ 22 } a_{ 33 } - a_{ 32 }a_{ 23 } ) - a_{ 12 } \cdot (a_{ 21 } a_{ 33 } - a_{ 31 } a_{ 23 }) + a_{ 13 } \cdot (a_{ 21 } a_{ 32 } - a_{ 31 }a_{ 22 }) = \] \[ = a_{ 11 }a_{ 22 } a_{ 33 } - a_{ 11 }a_{ 32 }a_{ 23 } + a_{ 12 }a_{ 31 } a_{ 23 } - a_{ 12 }a_{ 21 } a_{ 33 } + a_{ 13 }a_{ 21 } a_{ 32 } - a_{ 13 }a_{ 31 }a_{ 22 } \] \[ = a_{ 11 }a_{ 22 } a_{ 33 } + a_{ 12 }a_{ 31 } a_{ 23 } + a_{ 13 }a_{ 21 } a_{ 32 } - ( a_{ 11 }a_{ 32 }a_{ 23 } + a_{ 12 }a_{ 21 } a_{ 33 } + a_{ 13 }a_{ 31 }a_{ 22 } ) \] Este desarrollo se usa para determinantes de orden 4 o superior.

Dada una matriz cuadrada $A$ llamamos matriz adjunta de $A$, se denota $adj A$, a la traspuesta de la matriz de adjuntos: \[ adj A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix} \] Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$. $A$ es inversible (o regular; o no singular) si y sólo si su determinante es no nulo. En ese caso se verifica: \[ \boxed{ A^{-1} = \mfrac{1}{|A|} \cdot (adjA) } \] Ejemplo: Vamos a calcular la inversa de la matriz $ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 4 \\ 0 & -2 & 7 \end{pmatrix} $

Vamos a calcular los adjuntos de cada $a_{ij}$ por filas: \[ A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} = 8 \quad A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = (-1) (- 14) = 14 \] \[ A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 4 \] Como hemos calculado los adjuntos de la primera fila, podemos calcular el determinante por los adjuntos de la primera fila: \[ |A| = 1 \cdot 8 - 1 \cdot 14 + 2 \cdot 4 = 8 - 14 + 8 = 2 \]
\[ A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} = (-1)(-3) = 3;\ \ A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 7; \] \[ A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = (-1)(-2) = 2 \]
\[ A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -4;\ \ A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = (-1)8 = -8; \] \[ A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \] Ya tenemos la matriz adjunta de $A$: \[ adjA = \begin{pmatrix} 8 & 14 & 4 \\ 3 & 7 & 2 \\ -4 & -8 & -2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 8 & 3 & -4 \\ 14 & 7 & -8 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix}\] Ya podemos calcular la inversa de $A$: \[ A^{-1} = \mfrac{1}{|A|} \cdot (adjA) = \mfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 8 & 3 & -4 \\ 14 & 7 & -8 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3/2 & -2 \\ 7 & 7/2 & -4 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] Podemos comprobar que es la inversa de $A$: \[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 4 \\ 0 & -2 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 3/2 & -2 \\ 7 & 7/2 & -4 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3 \]

Regla de Cramer

La regla de Cramer nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados, es decir, con una única solución.

El sistema tiene que ser cuadrado (tantas ecuaciones como incógnitas) y la matriz de coeficientes debe ser regular (determinante distinto de 0).

Si $Ax = b$ es un sistema de ecuaciones, $A$ es la matriz de coeficientes del sistema, $x = (x_1, \dots, x_n)$ es el vector columna de las incógnitas, y $b$ es el vector columna de los términos independientes, entonces la solución al sistema se presenta así: \[ x_j = \mfrac{\mid A_j \mid}{\mid A \mid } \] Donde $A_j$ es la matriz resultante de reemplazar la $j$-ésima columna de $A$ por el vector columna $\mathbf{b}$. Importante: Para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz $A$ ha de ser no nulo. Veamos un ejemplo: \[ \begin{cases} -x + 2y - 2z = 1 \\ -3x + 5y - z = 2 \\ -x + y + 9z = -1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \] Antes de calcular la solución tenemos que comporbar que $|A| \neq 0$: \[ |A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{vmatrix} = -45 + 2 + 6 - (10 - 54 + 1) = -37 - (-43) = 6 \neq 0 \] Podemos aplicar Cramer, y la solución es la siguiente: \[ x = \mfrac{\mid A_1 \mid}{\mid A \mid} = \mfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} -1 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{vmatrix}} = \mfrac{-2}{6} = \mfrac{-1}{3} \] \[ x = \mfrac{\mid A_2 \mid}{\mid A \mid} = \mfrac{\begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ -3 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 9 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} -1 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{vmatrix}} = \mfrac{1}{6} \] \[ x = \mfrac{\mid A_3 \mid}{\mid A \mid} = \mfrac{\begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -3 & 5 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} -1 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ -1 & 1 & 9 \end{vmatrix}} = \mfrac{-1}{6} \] Comprobamos que es la solución: \[ \begin{cases} -(-1/3) + 2(1/6) - 2(-1/6) = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 \checkmark \\ \\ -3(-1/3) + 5(1/6) - (-1/6) = 1 + 5/6 + 1/6 = 2 \checkmark \\ \\ -(-1/3) + (1/6) + 9(-1/6) = 2/6 + 1/6 - 9/6 = -6/6 = -1 \checkmark \end{cases} \]

Ejercicios resueltos

$\bullet$ Calcula el valor del siguiente determinante: $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^2 & y^2 & z^2 & t^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 & t^3 \end{vmatrix} $$ Restamos a las columnas 2º, 3ª y 4ª la 1ª: $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^2 & y^2 & z^2 & t^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 & t^3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & y - x & z - x & t - x \\ x^2 & y^2 - x^2 & z^2 - x^2 & t^2 - x^2 \\ x^3 & y^3 - x^3 & z^3 - x^3 & t^3 - x^3 \end{vmatrix} = $$ Desarrollamos el determinante por la primera fila. Ahora nos queda un determinante $3 \times 3$, la primera columna está multiplicado por $(y - x)$, la segunda por $(z - x)$ y la tercera por $(t - x)$: $$ = \begin{vmatrix} y - x & z - x & t - x \\ (y - x)(y + x) & (z - x)(z + x) & (t - x)(t + x) \\ (y - x)(y^2 + xy + x^2) & (z - x)(z^2 + xz + x^2) & (t - x)(t^2 + xt + x^2) \end{vmatrix} = $$

$$ = (y - x) \begin{vmatrix} 1 & z - x & t - x \\ y + x & (z - x)(z + x) & (t - x)(t + x) \\ y^2 + xy + x^2 & (z - x)(z^2 + xz + x^2) & (t - x)(t^2 + xt + x^2) \end{vmatrix} = $$

$$ = (y - x) \cdot (z - x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & t - x \\ y + x & z + x & (t - x)(t + x) \\ y^2 + xy + x^2 & z^2 + xz + x^2 & (t - x)(t^2 + xt + x^2) \end{vmatrix} = $$

$$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ y + x & z + x & t + x \\ y^2 + xy + x^2 & z^2 + xz + x^2 & t^2 + xt + x^2 \end{vmatrix} = $$ Volvemos a restar a las columnas 2ª y 3ª, la 1ª columna y desarrollamos el determinante por la 1ª fila, un determinante $2 \times 2$: $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ y + x & z - y & t - y \\ y^2 + xy + x^2 & z^2 - y^2 + xz - xy & t^2 -y^2 + xt - xy \end{vmatrix} = $$ $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \begin{vmatrix} z - y & t - y \\ z^2 - y^2 + xz - xy & t^2 -y^2 + xt - xy \end{vmatrix} = $$ Factorizamos la 2ª fila del determinante: $$ z^2 - y^2 + xz - xy = (z - y) \cdot (z + y) + x \cdot (z - y) = (z - y) \cdot (x + y + z) $$ $$ t^2 - y^2 + xt - xy = (t - y) \cdot (t + y) + x \cdot (t - y) = (t - y) \cdot (x + y + t) $$ $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \begin{vmatrix} z - y & t - y \\ (z - y) \cdot (x + y + z) & (t - y) \cdot (x + y + t) \end{vmatrix} = $$ La 1ª columna está multiplicada por $ z - y $ y la 2ª $ t - y $: $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \cdot (t - y) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x + y + z & x + y + t \end{vmatrix} = $$ Restamos a la 2ª columna la 1ª y nos queda: $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \cdot (t - y) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ x + y + z & t - z \end{vmatrix} = $$ $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \cdot (t - y) \cdot (t -z) $$



$\bullet \ $ Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$, calcula: $$ \begin{array}{ccc} \text{ a) } \begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & \qquad & \text{ b) } \begin{vmatrix} 5a & 5b & 5c \\ 1 & 0 & \dfrac{3}{5} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{array} $$

a)$ \ \begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} a & b & c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 $

$ \text{ b) } \begin{vmatrix} 5a & 5b & 5c \\ 1 & 0 & \dfrac{3}{5} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & 0 & \dfrac{3}{5} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot \mfrac{1}{5} \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 $



$\bullet$ Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 2$, calcula $$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 2 \\ a & b & c \\ a - 4 & b - 4 & c - 4 \end{vmatrix} $$

Saco factor común a 2 en la primera fila y después permuto las dos primeras filas, lo que supone un cambio de signo en el determinante: $$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 2 \\ a & b & c \\ a - 4 & b - 4 & c - 4 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ a & b & c \\ a - 4 & b - 4 & c - 4 \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ a - 4 & b - 4 & c - 4 \end{vmatrix} = $$ Y ahora la tercera fila la cambio, la multiplico por -1 y le suma la tercera fila: \[ = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ -a + 4 & - b + 4 & - c + 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \end{vmatrix} = \] Ahora en la tercera fila saco un 2 y queda: \[ = 4 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 8 \]



$\bullet$ ¿Cuánto vale el siguiente determinante? $$\begin{vmatrix} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix}$$

Opciones:

1. $abc$
2. $(a + b)(b + c)(a + c)$
3. $(a + b + c)abc$
4. $(a + b + c)^3$
5. $(a - b)(b - c)(c - a)$

Solución: Sumamos a la 1ª fila la 2ª y 3ª fila:
$$\begin{vmatrix} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix} = $$ El factor $a + b + c$ está multiplicando a la 1ª fila luegp $$ = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix} = $$ Restamos la 1ª columna a la 2ª y 3ª columna: $$ = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2b & - (a + b + c) & 0 \\ 2c & 0 & - (a + b + c) \end{vmatrix} = $$ Desarrollamos el determinante por la 1ª fila y nos queda: $$ = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} - (a + b + c) & 0 \\ 0 & - (a + b + c) \end{vmatrix} = (a + b + c)^3 $$ Luego la opción correcta es la D.



$\bullet$ Sabiendo que $ A = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5$, calcula: $$ \text{ a) } \begin{vmatrix} 3x & 2 & x - 1 \\ 3y & 0 & y - 1 \\ 3z & 1 & z - 1 \end{vmatrix} \qquad \text{ b) } \begin{vmatrix} x & y & z \\ 10 & 2 & 6 \\ x + 4 & y & z + 2 \end{vmatrix} \qquad \text{ c) } |2(A \cdot A^t)^{-1}|$$ a) Veamos, lo primero aplicamos la propiedad $\mid A \mid = \mid A^T \mid$ \[ \begin{vmatrix} 3x & 2 & x - 1 \\ 3y & 0 & y - 1 \\ 3z & 1 & z - 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3x & 3y & 3x \\ 2 & 0 & 1 \\ x - 1 & y - 1 & z - 1 \end{vmatrix} = \] Sacamos 3 de la primera fila y multiplicamos la segunda por 2 y la dividimos por $\mfrac{1}{2}$: \[ = 3 \cdot \begin{vmatrix} x & y & x \\ 2 & 0 & 1 \\ x - 1 & y - 1 & z - 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \mfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} x & y & x \\ 4 & 0 & 2 \\ x - 1 & y - 1 & z - 1 \end{vmatrix} = \mfrac{3}{2} \cdot \begin{vmatrix} x & y & x \\ 4 & 0 & 2 \\ x - 1 & y - 1 & z - 1 \end{vmatrix} = \] Ahora multiplicamos la tercera por -1 y le sumamos a esta la tercera fila: \[ \mfrac{-3}{2} \cdot \begin{vmatrix} x & y & x \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 - x & 1 - y & 1 - z \end{vmatrix} = \mfrac{-3}{2} \cdot \begin{vmatrix} x & y & x \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mfrac{-3}{2} \cdot 5 = \mfrac{-15}{2} \]

b) Permutamos la 2ª y la 3ª fila: \[ \begin{vmatrix} x & y & z \\ 10 & 2 & 6 \\ x + 4 & y & z + 2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} x & y & z \\ x + 4 & y & z + 2 \\ 10 & 2 & 6 \end{vmatrix} = \] A la 2ª fila le restamos la 1ª: \[ = - \begin{vmatrix} x & y & z \\ 4 & 0 & 2 \\ 10 & 2 & 6 \end{vmatrix} = \] A la 3ª fila le restamos el doble de la 2ª fila; después de la operación a la 3ª fila la dividimos por 2: \[ = - \begin{vmatrix} x & y & z \\ 4 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 \cdot 5 = -10 \]

c) El orden de la matriz es 3, después la propiedad del determinante de la inversa que es la inversa del determinante y por último, el determinante de un producto de matrices es el producto de determinantes: \[ \mid 2(A \cdot A^t)^{-1} \mid = 2^3 \cdot \mid (A \cdot A^t)^{-1} \mid = 2^3 \mfrac{1}{ \mid A \cdot A^t \mid } = \mfrac{8}{ \mid A \mid \cdot \mid A^t \mid } = \mfrac{8}{ \mid A \mid ^2 } = \mfrac{8}{25} \]



\( \bullet \) Encuentra el valor de \( f(100), \text{ si } a - 2b + c = 1 \). Siendo \[ f(x) = \begin{vmatrix} x + a & x + 2 & x + 1 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} \] Primero calculamos el valor del determinante, para ello vamos a usar lo que nos dicen, a la primera fila, le sumamos la segunda multiplicada por -2 y le sumamos la 3 fila: \[ \begin{vmatrix} x + a & x + 2 & x + 1 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} \xrightarrow{F_{1} = F_{1} - 2 \cdot F_{2} + F_{3} } \] \[ \xrightarrow{F_{1} = F_{1} - 2 \cdot F_{2} + F_{3} } \begin{vmatrix} x + a - 2(x + b) + (x + c) & x + 2 -2(x + 3) + (x + 4) & x + 1 - 2(x + 2) + (x + 3) \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \] \[ = \begin{vmatrix} x + a - 2x - 2b + x + c & x + 2 - 2x -6 + x + 4 & x + 1 - 2x - 4 + x + 3 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \] \[ = \begin{vmatrix} a - 2b + c & 0 & 0 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x + 3 & x + 2 \\ x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = (x + 3)^2 - (x + 4)(x + 2) \] Así la expresión de $f(x)$ es la siguiente: \[ f(x) = (x + 3)^2 - (x + 4)(x + 2) = x^2 + 6x + 9 - (x^2 + 6x + 8) = 1 \forall x \in \R \]



\( \bullet \) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada $A$ vale −1 y que el determinante de la matriz $2A$ vale −16. ¿Cuál es el orden de la matriz A?

Sabemos que si un escalar multiplica una fila o una columna de una matriz, el determinante queda multiplicado por ese escalar.

La matriz $2A$ es el resultado de multiplicar por 2 todos los elementos de la matriz, luego el orden de la matriz es 4, ya que: \[ |2A| = 2^n \cdot |A| = -2^n = -16 \Rightarrow n = 4 \] La matriz tiene orden 4.



\( \bullet \) Calcula el siguiente determinante: \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \] \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{F_{6} = F_{6} - 2 \cdot F_{1}} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{F_{5} = F_{5} - 2 \cdot F_{2}} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{} \] \[ \xrightarrow{F_{4} = F_{4} - 2 \cdot F_{3}} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \] Nos ha quedado una matriz diagonal superior, el determinante es el producto de los valores de la diagonal, luego \[ A = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot 1 = 9 \]

Curiosidades de los determinantes:

$\bullet\ $ Sea $F_n$ la matriz de orden $n$ ($n \times n$ con 1 en la diagonal e i ($i^2 = -1$) en las dos diagonales adyacentes. Entonces el determinante de $F_n$ es el n-ésimo número de Fibonacci: $F_0 = 1$ \[ F_1 = \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad F_2 = \begin{vmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{vmatrix} = 2 \qquad F_3 = \begin{vmatrix} 1 & i & 0 \\ i & 1 & i \\ 0 & i & 1 \end{vmatrix} = 3 \] \[ F_4 = \begin{vmatrix} 1 & i & 0 & 0 \\ i & 1 & i & 0 \\ 0 & i & 1 & i \\ 0 & 0 & i & 1 \\ \end{vmatrix} = 5 \qquad F_5 = \begin{vmatrix} 1 & i & 0 & 0 & 0 \\ i & 1 & i & 0 & 0 \\ 0 & i & 1 & i & 0 \\ 0 & 0 & i & 1 & i \\ 0 & 0 & 0 & i & 1 \end{vmatrix} = 8 \qquad \cdots \] $\bullet\ $ Área de un triángulo de vértices $A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2), C = (x_3, y_3)$: \[ A = \mfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \]

$\bullet\ $ Área de un cuarilátero de vértices $A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2), C = (x_3, y_3), D = (x_4, y_4)$: \[ A = \mfrac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 & 0 \\ x_2 & y_2 & 1 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 & 0 \\ x_4 & y_4 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

$\bullet\ $ Volumen de un tetraedro de vértices $A = (x_1, y_1, z_1), B = (x_2, y_2, z_2), C = (x_3, y_3, z_3), D = (x_4, y_4, z_4)$: \[ V = \mfrac{1}{3!} \cdot \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\ \end{vmatrix} \]

$\bullet\ $ La ecuación general de una cónica que pasa por los puntos $P = (x_1, y_1), Q = (x_2, y_2), R = (x_3, y_3), S = (x_4, y_4) \text{ y } T = (x_5, y_5)$: \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \] se puede calcular con un determinante sabiendo 5 puntos que pertenezcan a dicha cónica. Así dados los puntos $(x_i, y_i)$ para $i=1, ..., 5$ el siguiente determinante determina la cónica: \[ \begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_6y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \]

\[ |A| = |A^t| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix} = 5 + 0 - 12 - (0 - 15 - 8) = -7 + 23 = 16 \]

Usaremos las propiedades 3 y 4 para convertir el determinante de $A$ en el determinante de una matriz diagonal: \[ \mid A \mid = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 9 & 6 \\ 3 & 2 & 4 & 8 \end{vmatrix} = \] A la tercera fila le restamos la primera fila multiplicado por 2, y a la cuarta fila le restamos la primera fila multiplicada por 3: \[ = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -1 & 2 \\ 0 & -7 & -11 & 2 \end{vmatrix} = \] A la tercera fila le sumamos la segunda fila multiplicado por -5, y a la cuarta fila le sumamos la segunda fila multiplicada por -7: \[ = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -16 & -18 \\ 0 & 0 & -32 & -26 \end{vmatrix} = \] Y por último, a la cuarta fila le sumamos la tercera fila multipicada por -2: \[ = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -16 & -18 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{vmatrix} = \] Tenemos el determinante de una matriz diagonal superior que se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal: \[ = 1 \cdot (-1) \cdot (-16) \cdot (10) = 160 \]

La primera columna está multiplicada por $bc$, la segunda columna por $b$ y la tercera columna por $a$: \[ \begin{vmatrix} abc & -ab & a^2 \\ -b^2c & 2b^2 & -ab \\ b^2c & -b^2c & 3ab \end{vmatrix} = ab^2c \cdot \begin{vmatrix} a & -a & a \\ -b & 2b & -b \\ b & -bc & 3b \end{vmatrix} = \] Ahora la primera fila está multiplicada por $a$, la segunda y tercera fila por $b$: \[ = a^2b^4c \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -c & 3 \end{vmatrix} = \] Ahora a la segunda fila le sumamos la primera fila y a la tercera fila le restamos la primera fila y desarrollamos el determinante por la primera columna: \[ = a^2b^4c \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -c + 1 & 2 \end{vmatrix} = a^2b^4c \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -c + 1 & 2 \end{vmatrix} = 2a^2b^4c \]

Si nos damos cuenta la suma de todas las filas es $x + 3$: \[ \begin{vmatrix} x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x + 3 & x + 3 & x + 3 & x + 3 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x \end{vmatrix} = 0 \] Ahora a las columnas segunda, tercera y cuarta le restamos la primera columna: \[ \begin{vmatrix} x + 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & x - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & x - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & x - 1 \end{vmatrix} = 0 \implies (x + 3)(x - 1)^3 = 0 \ implies \] \[ \implies x = -3 \text{ y } x = 1 \]

Vamos a hacer ceros en la primera columna, restándole el doble de la primera fila: \[ \begin{vmatrix} 1 & x & x & x \\ 2 & 1 & 2x & 2x \\ 2 & 2 & 1 & 2x \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} 1 & x & x & x \\ 0 & 1 - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 - 2x & 1 - 2x & 0 \\ 0 & 2 - 2x & 2 - 2x & 1 - 2x \end{vmatrix} = 0 \implies \] \[ \implies (1 - 2x)^3 = 0 \implies x = \mfrac{1}{2} \]

Sacamos $x$ del determinante ya que multiplica a la primera fila: \[ \begin{vmatrix} x & x & x & x \\ x & 1 & 0 & x \\ x & 0 & x & 1 \\ x & x & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies x \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & 1 & 0 & x \\ x & 0 & x & 1 \\ x & x & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies \] Ahora hacemos ceros en la primera fila menos en la posición (1,1) y desarrollamos el determinante por la primera fila: \[ \implies x \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & 1 - x & -x & 1 - x \\ x & -x & 0 & 1 - x \\ x & 0 & 1 - x & -x \end{vmatrix} = 0 \implies \] \[ \implies x \cdot \begin{vmatrix} 1 - x & -x & 1 - x \\ -x & 0 & 1 - x \\ 0 & 1 - x & -x \end{vmatrix} = 0 \implies x \cdot [ x^3 - (1 - x)^3 = 0 (1)\implies \] \[ \implies x \cdot (x^3 - 1 + 3x - 3x^2 + x^3\] = 0 \implies x \cdot (2x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0 \] Una solución es $x = 0$ y la otra $x = \mfrac{1}{2}$ de $(1)$. Si factorizamos: \[ x \cdot (2x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0 \implies x (2x - 1) (x^2 - x + 1) = 0\] $x^2 - x - 1$ es un polinomio irreducible de segundo grado.

\[ |A - \lambda I_2| = 0 \implies \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 3 \\ 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \implies (2 - \lambda)(1 - \lambda) -6 = 0 \implies \] \[ \implies 2 - 2\lambda - \lambda + \lambda^2 - 6 = 0 \implies \lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0 \] Aplicando las fórmulas de Cardano-Vieta las raíces son $\lambda = -1$ y $\lambda = 4$.

Vamos a calcular los adjuntos de cada $a_{ij}$ por filas: \[ A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \quad A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 2 = -2 \] \[ A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \] Como hemos calculado los adjuntos de la primera fila, podemos calcular el determinante por los adjuntos de la primera fila: \[ |A| = 1 + 2 = 3 \]
\[ A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = 1;\ \ A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1; \] \[ A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \]
\[ A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -3;\ \ A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0; \] \[ A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \] Ya tenemos la matriz adjunta de $A$: \[ adjA = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\] Ya podemos calcular la inversa de $A$: \[ A^{-1} = \mfrac{1}{|A|} \cdot (adjA) = \mfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & -1 \\ -2/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] Podemos comprobar que es la inversa de $A$: \[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & -1 \\ -2/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3 \]

Calculamos el determinante de $A$: \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{vmatrix} = -m^2 + 0 + 0 - (- 4m + 0 + 3 ) = \] \[ = - m^2 + 4m - 3 = - (m - 1)(m - 3) \] Para que la matriz sea inversible su determinante ha de ser distinto de cero: \[ -m^2 + 4m - 3 = 0 \Leftrightarrow (m - 1)(m - 3) = 0 \Leftrightarrow m = -1 \text{ y } m = -3 \] Es decir, si $m \neq -1$ y $m \neq -3$ existe $A^{-1}$.

Nos piden calcular la inversa si $m = 2$. Está claro que existe la inversa ($|A| = 1$) vamos a calcularla con la matriz adjunta: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix} \] Vamos a calcular los adjuntos de cada $a_{ij}$ por filas: \[ A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -7 \quad A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = (-1) (- 12) = 12 \] \[ A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -8 \]
\[ A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-1)(-3) = 3;\ \ A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = 2; \] \[ A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -1 \]
\[ A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 2;\ \ A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = (-1)3 = -3; \] \[ A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \] Ya tenemos la matriz adjunta de $A$: \[ adjA = \begin{pmatrix} -7 & 12 & -8 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}\] Ya podemos calcular la inversa de $A$: \[ A^{-1} = \mfrac{1}{|A|} \cdot (adjA) = 1 \cdot \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] Podemos comprobar que es la inversa de $A$: \[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3 \]

Linealmente independientes: Construimos la matriz con los vectores por filas (o columnas) y calculamos su determinante, que coincide con la matriz $A$ del apartado anterior: \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 1 + 0 - 0 - 0 - 0 = 2 \] Como $|A| = 2 \neq 0$, el rango de la matriz es 3, lo que demuestra que los tres vectores $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ son linealmente independientes.

Formación de la base: Dado que el número de vectores linealmente independientes es igual a la dimensión del espacio vectorial, es decir: \[ \text{nº de vectores} = 3 = \dim(\mathbb{R}^3) \] estos vectores constituyen también un sistema generador de $\mathbb{R}^3$ y, por lo tanto, sí forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

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Matrices. Operaciones. Ejercicios.

¿Qué es una matriz?

Una matriz es un conjunto de números o expresiones algebraicas dispuestos en una tabla formada por filas y columnas. Cada número o expresión algebraica de la matriz se llama elemento y se denota $a_{ij}$, donde $i$ hace referencia a la fila i-ésima y $j$ hacer referencia a la colmuna j-ésima. El elemento $a_{23}$ es el que está en la $\odn{2}{a}$ fila, $\odn{3}{a}$ columna.

Las matrices se representan del siguiente modo: $$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \\ \end{pmatrix} $$ $A$ es una matriz de $n$ filas y $m$ columnas, se dice que es de orden $n \times m$.

Dos matrices $A$ y $B$ son iguales si tienen el mismo orden y los elementos correspondientes de las matrices son iguales si $$a_{ij} = b_{ij} \ \forall \ 1 \leq i \leq n; \ 1 \leq j \leq m$$

$$\huge \fbox{ Clases de Matrices } $$

- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matrices rectangulares: } } $ el número de filas y de columnas es distinto. $$ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 9 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & -3 \\ \end{pmatrix} \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ - $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz fila} }:$ Tiene una fila y una o varias columnas. \[ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \]

- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz columna} }:$ Tiene una columna y una o varias filas. \[ \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \]

- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz traspuesta} }:$ Es la que se obtiene al cambiar las filas por las columnas, se denota $A^t$ o $A'$. \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow A^t = A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}; \] \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow B' = B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}; \] Nota $(A')' = A$. La traspuesta de la traspuesta es la matriz original.

- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz nula} }:$ Todos los elementos de la matriz son nulos. $(a_{ij} = 0) \forall 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n $

\[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matrices cuadradas} }:$ el número de filas y de columnas es el mismo.

$$ \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & -3 & 8 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$ - Matriz identidad: Es una matriz cuadrada con unos en la diagonal y el resto ceros. Se denoya $I_n$ a la matriz cuadrada de orden $n$.

$$ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \cdots I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}; $$ La diagonal de una matriz cuadrada son los elementos de la matriz donde el número de fila y columna coinciden: $(a_{ii}) \forall 1 \leq i \leq \ n $.

- Matriz diagonal: Cuando todos los elementos que no están en la diagonal son cero, y los de la diagonal, distintos de cero: \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}; \]

- Matriz escalar: Es un caso particular de matriz diagonal, donde los elementos de la diagonal son todos iguales: \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}; \] La Matriz identidad es una matriz diagonal. Las Matrices escalares se pueden poner como un número por una matriz identidad. \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -1 \cdot I_2; \qquad \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} = (-3) \cdot I_3; \]

- Matriz triangular superior: Los elementos por debajo de la diagonal son ceros. \[ \begin{pmatrix} 11 & -7 & 3 \\ 0 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 8 \\ 0 & -9 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -11 \end{pmatrix}; \]

- Matriz triangular inferior: Los elementos por encima de la diagonal son ceros. \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 10 & -4 & 7 \end{pmatrix}; \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 9 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 6 & 0 \\ -1 & 2 & 5 & -3 \end{pmatrix}; \]

- Matriz simétrica: Si cumple que $A = A'$ \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 1 & 5 & -1 \end{pmatrix}; \] Para que una matriz sea simétrica los elementos simétricos respecto de la diagonal han de ser iguales $a_{ij} = a_{ji} \forall \ 1 \leq i,j \leq n, i \neq j $.

La suma de una matriz cualquiera y su traspuesta es una matriz simétrica: $$ S = A + A' \Rightarrow S' = (A + A')' = A' + A = S $$ Nota: La traspuesta de la suma (o resta) de matrices es la suma (o resta) de las traspuestas.

- Matriz antisimétrica: SI cumple que $A = - A'$ \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ -3 & 0 & 7 \\ 1 & -7 & 0 \end{pmatrix}; \] Para que una matriz sea antisimétrica los elementos simétricos respecto de la diagonal han de ser opuestos $a_{ij} = -a_{ji} \forall \ 1 \leq i,j \leq n$ y los de la diagonal nulos $ (a_{ii} = 0 \forall 1 \leq i \leq n )$.

La resta de una matriz cualquiera y su traspuesta es antisimétrica: $$ T = A - A' \Rightarrow T' = (A - A')' = - A' + A = T $$ Nota: La traspuesta de la suma (o resta) de matrices es la suma (o resta) de las traspuestas.

-

$$\Large \fbox{ Operaciones con matrices } $$

- Suma y resta de matrices: Las matrices deben tener la misma dimensión (mismo número de filas y de columnas). La operación se realiza sumando o restando los elementos que están en la misma posición en ambas matrices, obteniendo como resultado una nueva matriz del mismo tamaño. La suma de matrices es CONMUTATIVA $A + B = B + A$.

\[ A \pm B = (a_{ij}) \pm (b_{ij}) = (a_{ij} \pm b_{ij} ) \] Ejemplos:

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 3 & 1 + 4 \\ 5 + 2 & -7 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 7 & 0 \end{pmatrix} \)

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 3 & 1 - 4 \\ 5 - 2 & -7 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -14 \end{pmatrix} \)

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 -2 & 1 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \end{pmatrix} \)

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & - 1 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 1 & 0 + 1 & 1 + 2 \\ 2 + 2 & - 1 + 0 & -7 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & - 1 & -7 \end{pmatrix} \)

- Producto de matrices: La multiplicación sólo es posible si el número de columnas de la $\odn{1}{a}$ matriz coincide con el número de filas de la $\odn{2}{a}$. El producto de dos matrices se obtiene al multiplicar las filas de la $\odn{1}{a}$ matriz por las columnas de la $\odn{2}{a}$. Si \(A\) es una matriz de orden \(m\times p\) y \(B\) es de orden \(p\times n\), entonces la matriz producto \(AB\) será de orden \(m\times n\). Para calcular cada elemento de la matriz resultante $c_{ij}$, se multiplica elemento a elemento la fila $i$ por la columna $j$ correspondiente y se suman los resultados. El producto de matrices NO es CONMUTATIVO, es decir $A \cdot B \neq B \cdot A.$

\[ A \times B = (c_{ij} ), \text{ donde } c_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^n {a_{ik} \times b_{kj}} \]

Para que la multiplicación esté definida, los números «internos» deben coincidir. El resultado estará determinado por los números «externos».

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 4 \\ -2 & 5 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 27 & -2 & 12 \\ -1 & 6 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$

Para que la multiplicación esté definida, los números «internos» deben coincidir. El resultado estará determinado por los números «externos».

$$\begin{pmatrix} 5 & 6 & 1 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 & -1 & 0 \\ -2 & 8 & 1 \end{pmatrix} \implies \fbox{$\begin{array}{l} \text{No se puede hacer el} \\ \text{producto de matrices} \end{array}$}$$

Ejemplos:

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 6 - 5 = 1 \)

\( \bullet \ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 3 & -1 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ -3 & -5 \end{pmatrix} \)

El producto de matrices es asociativo, es decir, \[ A \times (B \times C ) = ( A \times B )\times C \] El producto de matrices es distributivo respecto de la suma, es decir, \[ A \times (B + C) = A \times B + A \times C \] El producto tiene elemento neutro $I_s$, que es la identidad de dimensión que corresponda y es el elemento neutro por derecha e izquierda (si la matriz es cuadrada, si no, el neutro por derecha e izquierda tiene distinta dimensión). Es decir, $A$ es de orden n \times m entonces: \[ I_n \times A = A \times I_m = A \] Si la matriz B es cuadrada $n \times n$, entonces: \[ I_n \times B = B \times I_n = B \] - Producto por un número o escalar: Para multiplicar una matriz \(A\) por un escalar \(k\) (un número real cualquiera), se debe multiplicar cada uno de los elementos de la matriz \(A\) por dicho escalar \(k\). \[ k \cdot A = k \cdot (a_{ij} ) = (k \cdot a_{ij}) \]

$\bullet$ Ejercicio 1: \( \text{ Si } \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{37} A^{n} = \text{?} \)

\( A^1 = A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

\( A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)

\( A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)

\( A^4 = A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)

\( \text{Así tenemos que } A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ n & 1 \end{pmatrix} \)

Luego $$ \displaystyle \sum_{n=1}^{37} A^{n} = \displaystyle \sum_{n=1}^{37} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ n & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & 0\\ \dfrac{37 \cdot 38}{2} & 37 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & 0\\ 37 \cdot 19 & 37 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ 37 & 0\\ 703 & 37 \end{pmatrix} $$



$\bullet$ Ejercicio 2: Sea \( A = \begin{pmatrix} \ \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } & \mfrac{ - \msqrt{2} }{ 2 } \\ \\ \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } & \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } \end{pmatrix} \) Calcula el valor de \( A^{12} \).



$\bullet \ $ Halla todas la matrices que conmutan con $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$.



$\bullet \ $ Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Determina los valores de $p$ y $q$, para los que se cumple la ecuación $A^2 + p \cdot A^t + q \cdot I_2 = -2 \cdot A^{-1}$.



$\bullet \ $ Sea $P = \begin{pmatrix} a & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$. Calcula el valor de $a$ sabiendo que $P \cdot P^t$ es una matriz diagonal.


La matriz traspuesta es $P^t = \begin{pmatrix} a & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$ entonces: \[ P \cdot P^t = \begin{pmatrix} a & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 9 & 2a - 12 \\ 2a - 12 & 2^2 + 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 9 & 2a - 12 \\ 2a - 12 & 20 \end{pmatrix} \] Como $P$ es una matriz diagonal, eso quiere decir que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son cero. Entonces $2a - 12 = 0 \Rightarrow a = 6$ y la matriz $P$ queda así: \[ P = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \text{ y } P^t = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \]

$$\Large \fbox{ Matrices curiosidades: } $$

Podemos poner el producto vectorial de dos vectores $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ y $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ en $\R^3$ como el producto de una matriz por un vector columna (análogamente por un vector fila): $$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} $$ $\bullet\ $ un producto de matrices curioso:
\[ \bbox[black, 20px]{ \color{white} \begin{pmatrix} \color{cyan} \begin{matrix} 6 & 5 & 3 & 7 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 5 \\ 7 & 5 & 3 & 6 \end{matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{yellow} \begin{matrix} 7 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 7 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 7 \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{cyan}6\color{yellow}7 & \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}7\color{yellow}2 \\ \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}2\color{yellow}1 & \color{cyan}1\color{yellow}3 & \color{cyan}3\color{yellow}1 \\ \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}7 & \color{cyan}2\color{yellow}1 & \color{cyan}5\color{yellow}2 \\ \color{cyan}7\color{yellow}2 & \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}6\color{yellow}7 \end{pmatrix} } \]




En una pastelería se elaboran dos tipos de tartas: de limón y de chocolate. De cada tipo hacen tres tamaños. Cada semana elaboran las tartas que aparecen en la tabla:

	Limón	Chocolate
Grande	10	5
Mediana	16	20
Pequeña	12	10

De las tartas de chocolate, se venden en la pastelería el $60\%$, y de las tartas de limón, el $50\%$. El resto se reparten a domicilio.

1. Escribe la matriz que expresa el número de tartas según el tamaño y el sabor.
2. Escribe las matrices que expresan el número de tartas y el porcentaje según el sabor y el tipo de venta.
3. Calcula la matriz que expresa el número de tartas según el tamaño y el tipo de venta.

Contesta justificadamente los siguientes apartados:
En una tienda de comida para llevar, el producto más vendido se elabora con tres variantes: A, B y C. Cada variante se vende en dos tamaños: pequeño y grande. Cada día se elaboran las cantidades de cada variante que aparecen en la siguiente tabla:

	A	B	C
Pequeño	100	50	100
Grande	160	150	100

De la variante A venden en tienda el 50%, de la variante B el 60% y de la variante C el 40%. El resto se reparte a domicilio.

1. Escribe la matriz que expresa el número de productos según el tamaño y la variante.
2. Escribe la matriz que expresa el número de productos y el porcentaje según la variante y el tipo de venta.
3. Calcula la matriz que expresa el número de productos según tamaño y tipo de venta.

$\bullet\ $ Dadas la matrices \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 2 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 5 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 5 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] Calcular:

1. $2A + B$
2. $B - C$
3. $2A + 3C$

$\bullet\ $ Dadas las matrices \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 5 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Calcular: $(A + B) \cdot C$

Vamos a calcular primeo $M \cdot N$

\[ M \cdot N = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 14 \\ 18 & 8 & 16 \\ 11 & 8 & 23 \end{pmatrix} \] Ahora $N \cdot M$ \[ N \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 15 & 20 \\ 16 & 12 & 23 \\ 6 & 4 & 10 \end{pmatrix} \] Luego restamos: \[ M \cdot N - N \cdot M = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 8 \\ 18 & 8 & 14 \\ 11 & 8 & 23 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15 & 15 & 20 \\ 16 & 12 & 23 \\ 6 & 4 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -10 & -6 \\ 2 & -4 & -7 \\ 5 & 4 & 13 \end{pmatrix} \]

$\bullet\ $ Encontrar una base del espacio vectorial $(M_2, +, \mathbb{R})$, es decir del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2.



$\bullet\ $ Dadas las matrices \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 3 \\ 2 & -3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \] Hallar el producto $A \cdot B$



$\bullet\ $ Dada la matriz \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Hallar las matrices $M$, triangular inferior, y $N$, triangular superior, con $n_{ii} = 1, \; \forall \, i \in \{1,2,3\}$, tales que $A = M \cdot N$.



$\bullet\ $ Una cuadrilla de obreros trabaja simultáneamente en la realización de tres obras. Para la primera de ellas necesitan diariamente 100kg de cemento, 235 ladrillos y 44 baldosas; para la segunda necesitan cada día 80kg de cemento, 190 ladrillos y 38 baldosas, y para la tercera obra, las necesidades diarias son de 250kg de cemento, 300 ladrillos y 62 baldosas. Suponiendo que la duración estimada para cada obra sea de 8, 6 y 12 días, respectivamente, se pide expresar matricialmente y calcular las cantidades totales necesarias de cada uno de los materiales empleados en las obras.



$\bullet\ $ Se consideran las matrices \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & -4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} x \\ 1 \\ y \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \] Calcular $x, y, z$ sabiendo que $A \cdot B = C$



$\bullet\ $ Resolver la ecuación matricial $A \cdot X = B$ siendo \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \]



$\bullet\ $ Resolver la ecuación $X \cdot A = B + C$ siendo: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]



$\bullet\ $ Dada la matriz cuadrada de orden 2, \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \] ver si es regular o singular, intentando calcular su inversa a partir de la definición.

Vamos a calcular el $|A| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -1 $ La matriz es inversible porque el determinante es distinto de cero.

\[ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cccc} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 3 & -12 & 6 & -3 \\ 2 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array} \right) \xrightarrow{E_{4} \leftrightarrow E_{2}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 7 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{c} {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 7 \cdot E_{2}} \left( \begin{array}{cccc} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -25 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \end{array}} \\ \end{array} \] El rango de la matriz es 3.

Primero calculamos $A^2$: \[ A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \end{pmatrix} \] Ahora vamos a resolver la igualdad que nos piden: \[ A^2 + aA + bI_2 = 0 \implies \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \end{pmatrix} + a \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} + b \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \implies \] \[  \begin{cases} 14 + 2a + b = 0 \\ 5 + 5a = 0 \\ 2 + 2a = 0 \\ 11 - a + b = 0 \end{cases} \text{ De la segunda y tercera ecuación} \implies a = - 1\] Sustituimos $a$ en la primera ecuación: \[ 14 + 2a + b = 0 \implies 14 - 2 + b = 0 \implies b = -12 \]

Calculamos las primeras potencias de la matriz $A$ para observar su comportamiento: \[ A^1 = A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] \[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \] Como además se cumple que $A \cdot A^2 = A^3 = I_2$, se deduce inmediatamente por la definición de matriz inversa que: \[ A^2 = A^{-1} \] Calculamos la siguiente potencia: \[ A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 \] A partir de aquí, las potencias vuelven a repetirse en ciclos de 3 en 3 (por ejemplo, $A^4 = A^3 \cdot A = I_2 \cdot A = A$). Por lo tanto, para cualquier exponente $k \ge 3$, realizamos la división entera $k \div 3$, donde $n$ es el cociente, y el resultado dependerá del resto de la división:

• Si $k = 3n$ (el resto es 0): \[ A^k = A^{3n} = (A^3)^n = (I_2)^n = I_2 \]
• Si $k = 3n + 1$ (el resto es 1): \[ A^k = A^{3n+1} = A^{3n} \cdot A = I_2 \cdot A = A \]
• Si $k = 3n + 2$ (el resto es 2): \[ A^k = A^{3n+2} = A^{3n} \cdot A^2 = I_2 \cdot A^2 = A^2 = A^{-1} \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com