Teorema de Pitágoras.

Vocabulario:

Triángulo: Polígono de tres lados.

Ángulo recto: Ángulo de $90^{\circ}$ grados o $\dfrac{\ \pi\ }{2}$ radianes.

Triángulo rectángulo: Triángulo que tiene un ángulo recto.

Cateto: Cada uno de los lados de un triángulo rectángulo que forma el angulo recto.

Hipotenusa: El lado opuesto al ángulo recto.

El Teorema de Pitágoras dice:

«En todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos.»

Pythagorean Theorem: Six Proofs from Beau Janzen on Vimeo.

Con el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de un lado sabiendo los otros dos:

• Conocidos los catetos podemos calcular la hipotenusa: $ h = \sqrt{\ c_1^2 + c_2^2\ } $
• Conocidos un cateto y la hipotenusa, calcular el otro cateto:
  • Si sabemos los valores de $c_1$ y $h \Rightarrow c_2 = \sqrt{\ h^2 - c_1^2 \ }$
  • Si sabemos los valores de $c_2$ y $h \Rightarrow c_1 = \sqrt{\ h^2 - c_2^2 \ }$

Ejemplos:

1. Si sabemos lo que valen los dos catetos podemos calcular fácilmente el valor de la hipotenusa:
   
   Si $c_1 = 7$ y $c_2 = 24 \Rightarrow h = \sqrt{\ c_1^2 + c_1^2 \ } = \sqrt{\ 72 + 242 \ } = \sqrt{\ 49 + 576 \ } = \sqrt{\ 625 \ } = 25$
2. Si sabemos lo que vale la hipotenusa y uno de los catetos podemos calcular fácilmente lo que vale el otro cateto:
   
   Si $h = 10$ y $c_1 = 6 \Rightarrow c_2 = \sqrt{\ h^2 - c_1^2 \ } = \sqrt{\ 10^2 - 6^2 \ } = \sqrt{\ 100 - 36 \ } = \sqrt{\ 64 \ } = 8 $

Veamos un applet de GeoGebra:

¿Se cumple sólo el Teorema de Pitágoras para áreas de cuadrados?

Veamos este ejercicio:

Sabiendo que la distancia entre $A$ y $B$ es de 7 unidades, ¿cuánto vale la suma de las áreas de los dos cuadrados?

Este problema no es fácil para alumnos de la ESO, pero sí que es asequible para los de Bachillerato.