Fases para resolver problemas en Matemáticas:
- Entender el problema Leer las veces que haga falta el enunciado, hacer cualquier dibujo o esquema que ayude a su comprensión. Obtener todos los datos, directos e indirectos, que nos da el problema.
- Plantear las ecuaciones Escribir las ecuaciones que se adecúen al problema en cuestión.
- Resolver el sistema de ecuaciones Resolver el sistema.
- Comprobar la solución obtenida Coherencia del resultado y la comprobación de la misma.
Si el número es dos cifras, lo representamos así $xy = 10x + y$. Es decir, $x=$ son las decenas e $y$ = a las unidades.
La suma de las cifras es 10 $ \Rightarrow x + y = 10$
El número, invirtiendo las cifras es $yx = 10y + x$, hemos cambiado las decenas por las unidades y viceversa:
Luego la $\odn{2}{a}$ ecuación será: $10x + y = 10y + x - 36 \Rightarrow 9x - 9y = - 36 \Rightarrow x - y = - 4$
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 10 \cr \cr x - y = -4 } $$
Si el número es dos cifras, lo representamos así $xy = 10x + y$. Es decir, $x=$ son las decenas e $y$ = a las unidades.
La $\odn{1}{a}$ ecuación se obtiene de al saber que la $\odn{1}{a}$ cifra es la tercera parte de la segunda: $x = \dfrac{\ y\ }{3}$
Si invertimos las cifras del número, es decir $ yx = 10y + x$ entonces $ 10y + x = 10x + y + 54 \Rightarrow 9y - 9x = 54 \Rightarrow y - x = 6 $
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x = \dfrac{y}{3} \cr \cr y - x = 6 } $$
$x = $ la edad de la $\odn{1}{a}$ persona
$y = $ la edad de la $\odn{2}{a}$ persona
De la razón tenemos que $ \dfrac{\ x\ }{y} = \dfrac{\ 2\ }{3} $
De la diferencia de edades tenemos: $ y = x + 15 $
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ \dfrac{\ x\ }{y} = \dfrac{\ 2\ }{3} \cr \cr y = x + 15 } $$
El número de tres cifras y capicúa es de la forma $xyx = 100x + 10y + x$
$x = $ número de las centenas y de las unidades.
$y = $ número de las decenas.
La suma de las cifras es 12 luego $2x + y = 12$
La suma de las decenas excede en 4 al doble de las centenas luego $y = 2x + 4$
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ 2x + y = 12 \cr \cr y = 2x + 4 } $$
$x = $ litros de 0,94 €/l
$y = $ litros de 0,86 €/l
Sabemos que la mezcla es de 40 litros luego $x + y = 40$ litros
Como la mezcla debe salir a 0,89 €/litro entonces hemos de calcular el importe en € que echamos a la mezcla y lo dividimos por el número de litros de la misma, así sabemos a qué precio sale el litro: $ \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 $
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 40 \cr \cr \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 \cr } $$
Este ejercicio se puede plantear con una sola incógnita, $x =$ litros de aceite de 0,94 €/l y $40 - x$ serán los litros de aceite de 0,86€/l: $$ \dfrac{\ 0,94x + 0,86 \cdot (40 - x)\ }{ 40 } = 0,89 $$
$x = $ el $\odn{1}{er}$ número.
$y = $ el $\odn{2}{o}$ número.
De la $\odn{1}{a}$ frase tenemos $ 2x + \dfrac{\ y\ }{2} = 7 $
De la $\odn{2}{a}$ frase tenemos $ 7 + x = 5y$
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 40 \cr \cr \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 \cr } $$
$x = $ el nº de olivos.
$y = $ el nº de almendros.
Entre olivos y almendros 250 $ \Rightarrow x + y = 250 $
Si el doble de almendros son 10 menos que el total de olivos $ \Rightarrow 2x = y - 10 $
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 250 \cr \cr 2x = y - 10 } $$
$x = \odn{n}{o}$ de habitaciones simples.
$y = \odn{n}{o}$ de habitaciones dobles.
El número de habitaciones es 50: $ \Rightarrow x + y = 50 $
Ahora contamos camas, las dobles tienen 2 y las simples una: $ \Rightarrow x + 2y = 87 $
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 50 \cr \cr x + 2y = 87 } $$
$x = $ nº de bombillas que funcionan.
$y = $ nº de bombillas defectuosas, que fallan.
El total de bombillas fabricadas son 2100 $ \Rightarrow x + y = 2100 $
La $\odn{2}{a}$ ecuación es sobre el dinero que gana, por cada bombilla suma 0,6€ y por cada bombilla defectuosa -0,8€; haciendo la cuenta: $ 0,6x - 0,8y = 966$ Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 2100 \cr \cr 0,6x - 0,8y = 966 } $$
$x = $ nº de alumnos de $\odn{3}{o}\ A$.
$y = $ nº de alumnos de $\odn{3}{o}\ C$.
El número de alumnos de $\odn{3}{o}\ A$ es el doble de $\odn{3}{o}\ C$, luego: $ x = 2y$
Al pasar alumnos de una clasea otra tenemos: $x - 8 = y + 8$
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x = 2y \cr \cr x - 8 = y + 8 } $$
$x = $ nº de coches.
$y = $ nº de motos.
El total de vehículos es 39 $ \Rightarrow x + y = 39$
Ahora contamos ruedas, las motos tienen 2 y los coches 4 (visibles), luego: $4x + 2y = 126$
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 39 \cr \cr 4x + 2y = 126 } $$
$ x =$ nº de discos de 18 €
$ y = \odn{n}{o}$ de discos de 14,4 €
En total 84 discos, luego $x + y = 84$
Ahora contamos dinero, $x$ discos a 18€ más $y$ discos a 14,4 € son 1242€ $ 18x + 14,4y = 1242 $
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 84 \cr \cr 18x + 14,4y = 1242 } $$
$ x =$ € que cuesta un tarro de berberechos.
$ y =$ € que cuesta un tarro de mejillones.
Todas las latas cuestan 35,7 €, es decir, 17 latas de berberechos por su precio más a 12 latas de mejillones por su precio son $17x + 12y = 35,7$ €
Sabiendo la relación que hay entre 5 botes de berberechos y los 3 de mejillones tenemos: $ 5x = 3y + 4,95 $ Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ 17x + 12y = 35,7 \cr \cr 5x = 3y + 4,95 } $$
$x =$ los $kg$ que pesa el agua que hay en el cubo.
$y =$ los $kg$ que pesa el cubo.
De la $\odn{1}{a}$ frase tenemos: $ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 $
De la $\odn{2}{a}$ frase tenemos: $ \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 $
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 \cr \cr \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 } $$
$ x = $ € del $\odn{1}{er}$ manuscrito.
$ y = $ € del $\odn{2}{o}$ manuscrito.
Por los dos manuscritos paga 2250 € $ \Rightarrow x + y = 2250$ Sacando un 40% de beneficio por la venta de ambos: $1,4 \cdot 2250 = 3150 $ €; Del $\odn{1}{o}$ saca un 25% más y del $\odn{2}{o}$ un 50 % más: $ \Rightarrow 1,25x + 1,5y = 3150 \Rightarrow 125x + 150y = 315.000 \Rightarrow 5x + 6y = 12600 $ Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 2250 \cr \cr 5x + 6y = 12600 } $$
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com