Ejercicios de planteamiento - Ecuaciones de primer grado

Fases para resolver problemas en Matemáticas:

1. Entender el problema
Leer las veces que haga falta el enunciado, hacer cualquier dibujo o esquema que ayude a su comprensión. Obtener todos los datos, directos e indirectos, que nos da el problema.
2. Plantear una ecuación
Escribir una ecuación que se adecúe al problema en cuestión.
3. Resolver la ecuación
Resolver la ecuación.
4. Comprobar la solución obtenida
Coherencia del resultado y comprobación de la misma.

$x$ = nº de horas que estudia Matemáticas.
$2x + 3$ = nº de horas que se dedica a jugar a los videojuegos.
$$x + 2x + 3 = 12 $$
$$3x = 12 - 3 $$
$$3x = 9 $$
$$x = \dfrac{\ 9\ }{3} = 3 \text{ horas. } $$
Eso quiere decir que ha dedicado 3 horas a Matemáticas y 9 horas a los videojuegos.

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline Padre & x + 36 & x + 41 \\ \hline Hijo & x & x + 5 \end{array} $$
Si la edad del padre cuadruplica a la del hijo en 5 años, tenemos que:
$$ 4(x + 5) = x + 41 $$
$$ 4x + 20 = x + 41 $$
$$ 4x - x = 41 - 20 $$
$$ 3x = 21 $$
$$ x = \dfrac{\ 21\ }{3} = 7 $$
$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline Padre & 7 + 36 = 43 & 7 + 41 = 48 \\ \hline Hijo & 7 & 7 + 5 = 12 \end{array} $$

$x = $ nº de motos, con 2 ruedas
$39 - x = $ nº de coches, con 4 ruedas
El número total de ruedas es de 130:
$$ 2 \cdot x + 4 \cdot (39 - x ) = 130 $$
$$ 2x + 156 - 4x = 130 $$
$$ - 2x = -26 \Rightarrow 2x = 26 $$
$ x = \dfrac{\ 26\ }{2} = 13 \Rightarrow x = 13$ motos y el número de coches será 39 - 13 = 26.

Comprobación: $13 \times 2 + 26 \times 4 = 26 + 104 = 130 $

$x = $ nº de monedas de 0,1 cts de €
$13 - x = $ nº de monedas de 0,2 cts de €
La cantidad total del dinero es 1,7€
$$ 0,1 \cdot x + 0,2 \cdot (13 - x ) = 1,7 $$
$$ 0,1x + 2,6 - 0,2x = 1,7 $$
$$ - 0,1x = -0.9 \Rightarrow 0,1x = 0,9 $$
$ x = \dfrac{\ 0.9\ }{0,1} = 9 \Rightarrow x = 9 $ monedas de 0,1 cts y 13 - 9 = 4 monedas de 0,2 cts.

Comprobación: $9 \times 0,2 + 4 \times 0,2 = 0,9 + 0,8 = 1,7 $

$x = $ nº de patos, 2 patas
$2x = $ nº de cerdos, 4 patas
La cantidad total de patas es:
$$ 2 \cdot x + 2x \cdot 4 = 350 $$
$$ 2x + 8x = 350 $$
$$ 10x = 350 $$
$ x = \dfrac{\ 350\ }{ 10 } = 35 \Rightarrow x = 35 $ patos, y el número de cerdos es de 70.

Comprobación: Vamos a contar patas $35 \times 2 + 70 \times 4 = 70 + 280 = 350 patas$

Un número par en álgebra es siempre $2 \cdot x$, y tres números naturales pares consecutivos se puede poner de muchas formas:
$$ 2x - 2, 2x, 2x + 2$$
$$ 2x - 2 + 2x + 2x + 2 = 186 $$
$$ 2x \cancel{- 2} + 2x + 2x + \cancel{2} = 186 $$
$$ 6x = 186 $$
$$ x = \dfrac{\ 186\ }{ 6 } = 31 \text{ luego los números son: } $
$ 2x - 2 = 2 \cdot 31 - 2 = 62 - 2 = 60 $
$ 2x = 2 \cdot 31 = 62 $
$ 2x + 2 = 2 \cdot 31 + 2 = 62 + 2 = 64 $
Comprobación: 60 + 62 + 64 = 186

Un número impar en álgebra es siempre $2 \cdot x \pm 1 $, y tres números naturales impares consecutivos se puede poner de muchas formas:
$$ 2x - 1, 2x + 1, 2x + 3$$
$$ 2x - 1 + 2x + 1 + 2x + 3 = 201 $$
$$ 2x \cancel{- 1} + 2x + \cancel{1} + 2x + 3 = 201 $$
$$ 6x + 3 = 201 $$
$$ 6x = 198 $$
$$ x = \dfrac{\ 198\ }{ 6 } = 33 \text{ luego los números son: } $
$ 2x - 1 = 2 \cdot 33 - 1 = 65 $
$ 2x + 1 = 2 \cdot 33 + 1 = 67 $
$ 2x + 3 = 2 \cdot 33 + 3 = 69 $
Comprobación: 65 + 67 + 69 = 201

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline Cristina & x + 15 & x + 20 \\ \hline Andrea & x & x + 5 \end{array} $$
Si la edad de Cristina es el doble de la de Andrea en 5 años, tenemos que:
$$ 2(x + 5) = x + 20 $$
$$ 2x + 10 = x + 20 $$
$$ 2x - x = 20 - 10 $$
$$ x = 10 $$
$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline Padre & 10 + 15 = 25 & 10 + 20 = 30 \\ \hline Hijo & 10 & 10 + 5\ = 15 \end{array} $$

$x = $ nº de preguntas acertadas
$50 - x = $ nº de preguntas No acertadas
Calculamos la puntuación, 3 puntos por acierto y -2 por fallo:
$$ 3 \cdot x - 2 \cdot (50 - x) = 85 $$
$$ 3x - 100 + 2x = 85 $$
$$ 5x = 185 $$
$$ x = \dfrac{\ 185\ }{ 5 } = 37 $$
Comprobación:
$ 3 \times 37 - 2 \times 13 = 111 - 26 = 85 $ puntos

$$ \begin{array}{cc} & \text{ Cantidad } \\ \hline Gallinas & 6x \\ \hline Conejos & 3x \\ \hline Cerdos & \ x \\ \hline Perros & \ 2 \\ \hline \end{array} $$
Si lo sumamos todo tenemos:
$$ 6x + 3x + x + 2 = 252 $$
$$ 10x = 252 - 2 $$
$$ 10x = 250 $$
$$ x = \dfrac{\ 250\ }{10} = 25 $$
Luego tenemos los siguientes animales: $$ \begin{array}{ccc} & \text{ Cantidad } & \\ \hline Gallinas & 6x & 150 \\ \hline Conejos & 3x & \ 75 \\ \hline Cerdos & \ x & \ 25 \\ \hline Perros & \ 2 & \ \ 2\\ \hline \end{array} $$
Sumando nos queda: $ 150 + 75 + 25 + 2 = 252 $

Un número es $x$ y el otro número es $x - 27$, así su resta es 27.
Y la suma de dichos números es 241 luego:
$$ x + x - 27 = 241 $$
$$ 2x = 241 + 27 $$
$$ 2x = 268 $$
$$ x = \dfrac{\ 268\ }{2} = 134 $$
Luego el otro número es $x - 27 = 134 - 27 = 107$
Comprobación:
Si sumamos los números tenemos: 134 + 107 = 241
Si los restamos tenemos: 134 - 107 = 27

$ x =$ nº de huevos que hay en cada cesta
Si pasamos 8 huevos de una cesta a otra nos quedará así, si una tiene el triple que la otra, será la que menos tenga:
$$ 3 \cdot (x - 8) = x + 8 $$
$$ 3x - 24 = x + 8 $$
$$ 3x - x = 24 + 8 $$
$$ 2x = 32 $$
$$ x = \dfrac{\ 32\ }{2} = 16 $$
Luego cada cesta tiene 16 huevos, si pasamos 8 huevos de una cesta a otra, una tendrá 8 y la otra el triple que es 24.

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline Marta & 3x & 3x + 3 \\ \hline Carlos & x & x + 3 \end{array} $$
Dentro de 3 años la edad de Marta será el doble que la de Carlos:
$$ 3x + 3 = 2 \cdot (x + 3) $$
$$ 3x + 3 = 2x + 6 $$
$$ 3x - 2x = 6 - 3 $$
$$ x = 3 \text{ años} $$
Comprobación:

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline Marta & 9 & 12 \\ \hline Carlos & 3 & 6 \end{array} $$

$x =$ nº de botes de kétchup en la estantería
Así tenemos que: $$ x + 20 = 4 (x - 10) $$
$$ x + 20 = 4x - 40 $$
$$ 40 + 20 = 4x - x $$
$$ 60 = 3x $$
$$ x = \dfrac{\ 60\ }{3} = 20 $$
Luego en la estantería hay 20 botes de kétchup.
Comprobación:
Si hay 20 y añado 20 tendré 40 botes de kétcup;
Si quito 10 y multiplico por 4 tendré 40 botes de kétcup también.

$ x = $ nº de alumnos de la clase de Miguel
nº de libros $ = 3x + 4 $
nº de libros $ = 4 \cdot (x - 5) $
Luego igualando el nº de libros tenemos que:
$$ 3x + 4 = 4 \cdot (x - 5) $$
$$ 3x + 4 = 4x - 20 $$
$$ 20 + 4 = 4x - 3x $$
$$ 24 = x $$
Luego el número de alumnos es de 24 y el número de libros es $ 3 \times 24 + 4 = 72 + 4 = 76 $

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline Eva & x - 5 & x - 2 \\ \hline Hermano & x & x + 3 \end{array} $$
Dentro de 3 años la suma de las edades será de 23 años:
$$ x + 3 + x - 2 = 23 $$
$$ 2x + 1 = 23 $$
$$ 2x = 23 - 1 $$
$$ 2x = 22 $$
$$ x = \dfrac{\ 22\ }{2} = 11 \text{ años } $$
Comprobación:

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline Eva & 6 & 9 \\ \hline Hermano & 11 & 14 \end{array} $$

$x = $ nº de perros
$60 - x = $ nº de periquitos
Calculamos el número de patas, los perros tienen 4 y los periquitos 2:
$$ 4 \cdot x + 2 \cdot (60 - x) = 150 $$
$$ 4x + 120 - 2x = 150 $$
$$ 2x = 150 - 120 $$
$$ 2x = 30 $$
$$ x = \dfrac{\ 30\ }{ 2 } = 15 \text{ perros; luego el número de periquitos es de } 45. $$
Comprobación:
$ 4 \times 15 + 2 \times 45 = 60 + 90 = 150 $ patas

$x = $ nº de caballos
$35 - x = $ nº de avestruces
Calculamos el número de patas, los caballos tienen 4 y los avestruces 2:
$$ 4 \cdot x + 2 \cdot (35 - x) = 116 $$
$$ 4x + 70 - 2x = 116 $$
$$ 2x = 116 - 70 $$
$$ 2x = 46 $$
$$ x = \dfrac{\ 46\ }{ 2 } = 23 \text{ caballos; luego el número de avestruces es de } 12. $$
Comprobación:
$ 4 \times 23 + 2 \times 12 = 92 + 24 = 116 $ patas

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 14 años } \\ \hline Madre & x & x + 14 \\ \hline Hijo & 40 - x & 54 - x \end{array} $$
Dentro de 14 años la edad de la madre será el triple que la del hijo:
$$ 3 \cdot (54 - x) = x + 14 $$
$$ 162 - 3x = x + 14 $$
$$ 162 - 14 = x + 3x $$
$$ 148 = 4x $$
$$ x = \dfrac{\ 148\ }{4} = 37 \text{ años tiene la madre; luego el hijo tiene 3 años } $$
Comprobación:

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 14 años } \\ \hline Madre & 37 & 37 + 14 = 51 \\ \hline Hijo & 3 & 3 + 14 = 17 \end{array} $$

$x =$ número de horas que dura el trayecto.
Sabemos que el viaje de ida le ha costado 2 horas más que el de vuelta. Tenemos que recordar que el espacio = velocidad $ \times $ tiempo. Así:
$$ 60 \cdot (x + 2 ) = 80 \cdot x $$
$$ 60x + 120 = 80x $$
$$ 120 = 20 x $$
$$ x = \dfrac{\ 120\ }{20} = 6 \text{ horas ha durado el viaje. } $$
La distancia entre ambas ciudades es de $6h \cdot 80km/h = 480 km$ de distancia. Comprobación:

Si el viaje de ida va a $60km/h$ y le cuesta 8 horas, ha viajado $ 60 km/h \cdot 8 h = 480 km$

Si el viaje de vuelta va a $80km/h$ y le cuesta 6 horas, ha viajado $ 80 km/h \cdot 6 h = 480 km \checkmark$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com