| Función | Derivada | |
|---|---|---|
| (1) Derivada de una contante por una función. | $ \require{cancel} F(x) = c \cdot f(x) $ | $ F'(x) = c \cdot f('x)$ |
| (2) Derivada de una suma o resta de funciones. | $ F(x) = f(x) \pm g(x)$ | $ F'(x) = f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x)$ |
| (3) Derivada de un producto de funciones. |
$ F(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $ F(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ |
| (4) Derivada de un cociente de funciones. | $ F(x) = \dfrac{\ \ f(x) \ \ }{ g(x) } $ | $ F'(x) = \dfrac{\ \ f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) }{ \left [ g(x) \right ]^2 } $ |
| (5) Regla de la cadena | $F(x) = f( g(x) )$ | $F'(x)=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) $ |
Linealidad de la derivada:
De las propiedades (1) y (2) podemos deducir que:
$$ \Large{ \text{Sean } c_1, c_2 \in \R \Rightarrow \left [ c_1 \cdot f(x) + c_2 \cdot g(x) \right ]^{\prime} = c_1 \cdot f^{\prime}(x) + c_2 \cdot g^{\prime}(x) } $$
| Función | Derivada | Función compuesta | Derivada | Ejemplo |
|---|---|---|---|---|
| $y = c, c \in \R $ | $y' = 0 $ | |||
| $y = x$ | $y' = 1 $ | |||
| $y = x^2$ | $y' = 2x$ | |||
| $y = x^p, p \in \R$ | $y' = p \cdot x^{p - 1}$ | $F(x) = [f(x)]^{p} $ | $F^{\prime}(x) = p \cdot [f(x)]^{p - 1} \cdot f'(x) $ | Ej. 1 |
| $ y = \sqrt{x} $ | $ y' = \dfrac{1}{\ 2 \sqrt{\ x\ }\ } $ | $ F(x) = \sqrt{\ f(x)\ } $ | $ F'(x) = \dfrac{1}{\ 2 \sqrt{\ f(x)\ }\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{f'(x)}{\ 2 \sqrt{\ f(x)\ }\ } $ |
Ej. 2 |
| $ y = e^{x} $ | $ y' = e^{x} $ | $ F(x) = e^{f(x)} $ | $ F'(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x) $ | Ej. 3 |
| $ y = a^{x} $ | $ y' = a^{x} \cdot \ln a $ | $ F(x) = a^{f(x)} = $ $= e^{\ \ln a^{f(x)}\ } = $ $= e^{\ f(x) \cdot \ln a\ } $ |
$ F'(x) = a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f^{\prime}(x) $ | Ej. 4 |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \dfrac{1}{\ x\ }$ | $ F(x) = \ln f(x) $ | $ F'(x) = \dfrac{1}{\ f(x)\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{\ f'(x)\ }{f(x)}$ |
Ej. 5 |
| $ y = \log_{a} x $ | $ y' = \dfrac{1}{\ x\ } \cdot \dfrac{1}{\ \ln a\ } $ | $ F(x) = \log_{a} f(x) $ $= \dfrac{\ \ln f(x)\ }{ \ln a } $ |
$ F'(x) = \dfrac{1}{\ f(x)\ } \cdot \dfrac{1}{\ \ln a\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{f'(x)}{\ f(x) \ln a\ }$ |
Ej. 6 |
| $ y = \sen x$ | $ y' = \cos x $ | $ F(x) = \sen f(x)$ | $ F'(x) = f'(x) \cos f(x) $ | Ej. 7 |
| $ y = \cos x$ | $ y' = - \sen x $ | $ F(x) = \cos f(x)$ | $ F'(x) = - f'(x) \sen f(x) $ | Ej. 8 |
| $ y = \tg x = $ $ = \dfrac{\sen x}{\ \cos x\ }$ |
$ y' = 1 + \tg^{2} x = $ $ = \sec^2 x\ $ |
$ F(x) = \tg f(x) $ | $ F'(x) = f'(x) \left [ 1 + \tg^{2}( f(x) ) \right ] = $ $ = f'(x) \cdot \sec^{2} f(x) $ |
Ej. 9 |
| $ y = \sec x = $ $ = \dfrac{1}{\ \cos x \ }$ |
$ y' = \tg x \cdot \sec x $ | $ F(x) = \sec f(x)$ | $ F'(x) = f'(x) \cdot \tg f(x) \cdot \sec f(x) $ | Ej. 10 |
| $ y = \cosec x$ $ = \dfrac{1}{\ \sen x\ } $ |
$ y' = - \cotg x \cosec x $ | $ F(x) = \cosec f(x)$ | $ F'(x) = - f'(x) \cdot \cotg f(x) \cdot \sen f(x) $ | Ej. 11 |
| $ y = \cotg x $ $ = \dfrac{\ \cos x\ }{\sen x}$ |
$ y' = - (1 + \cotg^{2} x ) = $ $ = \cosec^2 x $ |
$ F(x) = \cotg f(x) $ | $ F'(x) = -f'(x) \left [ 1 + \cotg^{2}( f(x) ) \right ] = $ $ = - f'(x) \cdot \cosec^{2} f(x) $ |
Ej. 12 |
| $ y = \arcsen x $ | $ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ } $ | $ F(x) = \arcsen f(x) $ | $ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ \sqrt{\ 1 - [f(x)]^{2}\ }\ } $ | Ej. 13 |
| $ y = \arccos x $ | $ y' = \dfrac{-1}{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ } $ | $ F(x) = \arccos f(x) $ | $ F'(x) = \dfrac{- f'(x)}{\ \sqrt{\ 1 - [f(x)]^{2}\ }\ } $ | Ej. 14 |
| $ y = \arctg x $ | $ y' = \dfrac{1}{\ \ 1 + x^2\ \ } $ | $ F(x) = \arctg f(x) $ | $ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \ 1 + [f(x)]^{2}\ \ } $ | Ej. 15 |
| $ y = \arcsec x $ | $ y' = \dfrac{1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $ | $ F(x) = \arcsec f(x) $ | $ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ f(x) \cdot \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1\ }\ } $ | Ej. 16 |
| $ y = \arccosec x $ | $ y' = \dfrac{- 1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $ | $ F(x) = \arccosec f(x) $ | $ F'(x) = \dfrac{- f'(x)}{\ f(x) \cdot \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1\ }\ } $ | Ej. 17 |
| $ y = \arccotg x $ | $ y' = \dfrac{- 1}{\ \ 1 + x^2\ \ } $ | $ F(x) = \arccotg f(x) $ | $ F'(x) = \dfrac{ - f'(x) }{\ \ 1 + [f(x)]^{2}\ \ } $ | Ej. 18 |
| $ F(x) = g(x)^{h(x)} $ | $ F'(x) = h(x) \cdot g(x)^{h(x) - 1} g'(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) $ | Ej. 19 | ||
| $ y = \sh x $ | $ y' = \ch x $ | $ F(x)= \sh f(x) $ | $ F(x)= f'(x) \cdot \sh f(x) $ | |
| $ y = \ch x $ | $ y' = \sh x $ | $ F(x)= \ch f(x) $ | $ F(x)= f'(x) \cdot \sh (f(x)) $ | |
| $ y = \th x $ | $ y' = \dfrac{1}{\ \ch^{2} x\ \ } = $ $ = 1 - \th^{2} x $ |
$ F(x)= \th f(x) $ | $ F(x)= f'(x) \cdot \dfrac{1}{\ \ch^{2} f(x)\ \ } = $ $ = f'(x) \cdot ( 1 - \th^{2} f(x) ) $ |
|
| $ y = \argsh x $ | $ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ x^2 + 1 \ }\ } $ | $ F(x) = \argsh f(x) $ | $ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ \sqrt{\ [f(x)]^{2} + 1 \ }\ } $ | |
| $ y = \argch x $ | $ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $ | $ F(x) = \argch f(x) $ | $ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1 \ }\ } $ | |
| $ y = \argth x $ | $ y' = \dfrac{1}{\ \ 1 - x^2\ \ } $ | $ F(x) = \argth f(x) $ | $ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \ 1 - [f(x)]^{2}\ \ } $ | |
Derivada de la potencia de una función
$$ f(x) = \ln^{5}(3 x) = \left ( \ln (3x) \right )^5 \Rightarrow f'(x) = 5 \cdot \ln^4(3x) \cdot 3 = 15 \cdot \ln^4(3x) $$
$$ g(x) = \tg^{3} \left(e^{3x} \right) \Rightarrow g'(x) = 3 \cdot \tg^{2} \left(e^{3x} \right) \cdot ( 1 + \tg^{2} \left(e^{3x} \right) ) \cdot 3 = 9 \tg^2(3x) ( 1 + \tg^2(3x) ) $$
Derivada de la función raíz cuadrada
$$ f(x) = \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ } \Rightarrow f'(x) = \dfrac{\ \left( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ } \right )' \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ -(1 + x) - (1 - x)}{(1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ -1 - x - 1 + x }{(1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ -2 }{\ (1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ -1 }{\ (1 + x)^2} \ }{\ \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 1 + x\ } }{\ (1 + x)^2 \sqrt{\ \ 1 - x\ }\ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 1 - x^2\ } }{\ (1 - x)(1 + x)^2 \ }$$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ -1 }{\ (1 + x)^2} \ }{\ \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 1 + x\ } }{\ (1 + x)^2 \sqrt{\ \ 1 - x\ }\ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 1 - x^2\ } }{\ (1 - x)(1 + x)^2 \ }$$
$$ g(x) = \sqrt{\ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ \left ( \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \right )' \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x (1 + \sen x) - \cos x (1 - \sen x) \ }{ (1 + \sen x)^2 } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x - \cos x \sen x - \cos x + \cos x \sen x \ }{ (1 + \sen x)^2 } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - 2\cos x }{\ (1 + \sen x)^2 \ } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x }{\ (1 + \sen x)^2 \ } \ }{ \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ - \cos x \sqrt{ \ 1 + \sen x \ } }{\ (1 + \sen x)^2 \cdot \sqrt{ \ 1 - \sen x\ \ } } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x \sqrt{ \ 1 - \sen^2 x \ } }{\ (1 + \sen x)^2 \cdot (1 - \sen x) \ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ (1 + \sen x) \cdot (1 - \sen^2 x) \ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ (1 + \sen x) \cdot \cos^2 x \ } = \dfrac{\ - 1 }{\ 1 + \sen x\ } $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x - \cos x \sen x - \cos x + \cos x \sen x \ }{ (1 + \sen x)^2 } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - 2\cos x }{\ (1 + \sen x)^2 \ } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x }{\ (1 + \sen x)^2 \ } \ }{ \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ - \cos x \sqrt{ \ 1 + \sen x \ } }{\ (1 + \sen x)^2 \cdot \sqrt{ \ 1 - \sen x\ \ } } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x \sqrt{ \ 1 - \sen^2 x \ } }{\ (1 + \sen x)^2 \cdot (1 - \sen x) \ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ (1 + \sen x) \cdot (1 - \sen^2 x) \ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ (1 + \sen x) \cdot \cos^2 x \ } = \dfrac{\ - 1 }{\ 1 + \sen x\ } $$
Derivada de la función exponencial, base $e$
$$ f(x) = e^{\sen x} = \Rightarrow f'(x) = \cos x \cdot e^{\sen x} $$
$$ g(x) = e^{x \cdot \cos x} \Rightarrow g'(x) = (x \cdot \cos x)' \cdot e^{x \cdot \cos x} = (\cos x - x \sen x) \cdot e^{x \cdot \cos x} $$
Derivada de la función exponencial, base $a \neq e$
$$ f(x) = 2^x = e^{\ln2^x} = e^{x \cdot \ln2} \Rightarrow f'(x) = \ln2 \cdot e^{x \cdot \ln2} = \ln2 \cdot 2^x $$
Derivada de la función logaritmo neperiano
Para este tipo de derivadas hay que tener en cuenta las propiedades de los logartimos:
$$ f(x) = \ln \left ( x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \right ) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ ( x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } )'}{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ 1 + \dfrac{2x}{2 \cdot ( \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ ) }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ 1 + \dfrac{x}{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ \dfrac{\ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ }{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{\ \cancel{x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ }{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ }{ \ \cancel{x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ } = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }{\ 1 + x^2\ } $$
$$ g(x) = \ln \left ( \dfrac{\ \sqrt{\ a^2 + x^2\ }\ }{ x^2 }\right ) = \ln \left ( \sqrt{\ a^2 + x^2\ } \right ) - \ln x^2 = \dfrac{\ 1\ }{2} \ln (a^2 + x^2) - 2\ln x \Rightarrow f'(x) = \dfrac{\ 1\ }{2} \dfrac{\ 2x\ }{\ a^2 + x^2\ } - \dfrac{\ 2\ }{x} = $$
$$ = \dfrac{\ x\ }{\ a^2 + x^2\ } - \dfrac{\ 2\ }{x} = \dfrac{\ x^2 - 2a^2 - 2x^2\ }{\ x(a^2 + x^2)\ } = \dfrac{\ - (x^2 + 2a^2)\ }{\ x(a^2 + x^2)\ } $$
$$ h(x) = \ln \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x} \ } = \ln \left ( \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x} \right )^{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \ln (1 - x ) - \ln (1 + x) \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow h'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1}{1 - x} - \dfrac{ 1}{1 + x} \right ] = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1 - x}{\ (1 - x)(1 + x)\ } - \dfrac{ 1 - x }{\ (1 - x)(1 + x)\ } \right ] = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1 - x - 1 + x }{\ (1 - x)(1 + x)\ } \right ] = $$ $$ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{- 2 }{\ (1 - x)(1 + x)\ } = \dfrac{1}{ \cancel{2} } \cdot \dfrac{- \cancel{2} }{\ (1 - x)(1 + x)\ } = \dfrac{-1}{\ 1 - x^2\ } = \dfrac{1}{\ x^2 - 1\ } $$
$$i(x) = \ln \left (x \cdot \tg x \right )^2 = 2 \cdot \ln \left (x \cdot \tg x \right ) = 2 \cdot \left ( \ln x + \ln \tg x \right ) $$ $$i'(x) = 2 \cdot \left ( \dfrac{ 1}{\ x\ } + \dfrac{ 1 + \tg^2 x \ }{\tg x} \right ) = \dfrac{ 2 }{\ x\ } + 2 \cotg x + 2 \tg x $$
$$j(x) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ x^2\ } \cdot \sqrt[3]{\ x^2 - 1 \ } \right ) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ x^2\ } \right ) + \ln \left ( \sqrt[3]{\ x^2 - 1 \ } \right ) = \ln x^{-2} + \ln \left ( x^2 - 1 \right )^{1/3} = -2 \ln x + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \ln (x^2 - 1) $$ $$j'(x) = \dfrac{ -2 }{\ x\ } + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{ 2x }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ - 6x^2 + 6 + 2x^2 }{\ 3x (x^2 - 1)\ } = \dfrac{ 6 - 4x^2 }{\ 3x (x^2 - 1)\ } $$
$$k(x) = \ln \left ( \sqrt[3]{ \dfrac{1}{\ (1 + x)^2\ } }\right ) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ (1 + x)^2\ } \right )^{1/3} = \ln (1 + x)^{-2/3} = \dfrac{ -2 }{\ 3\ } \cdot \ln (1 + x) $$ $$k'(x) = \dfrac{ -2 }{\ 3\ } \cdot \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ } = \dfrac{ - 2 }{\ 3 + 3x\ } $$
Derivada de la función logaritmo en base $a \neq e$
$$ g(x) = \log_{3} (x + 2 ) = \dfrac{\ \ln(x + 2) \ }{ \ln 3 } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ 1 \ }{ \ln 3 \cdot (x + 2) } $$
Derivada de la función seno
$$ g(x) = \sen( \ln x ) \Rightarrow g'(x) = (\ln x)' \cdot \cos( \ln x ) = \dfrac{1}{\ x \ } \cdot \cos( \ln x ) = \dfrac{\ \cos( \ln x ) \ }{\ x \ } $$
$$ h(x) = \sen(x \cdot \sen x) \Rightarrow h'(x) = (x \cdot \sen x)' \cos(x \cdot \sen x) = (\sen x + x \cdot \cos x) \cos(x \cdot \sen x) $$
Derivada de la función coseno
$$ g(x) = \cos \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) \Rightarrow g'(x) = - \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right)' \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = - \dfrac{\ e^x \cdot 5x - 5 \cdot e^x \ }{ 25x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = $$
$$ = \dfrac{\ 5 e^x ( 1 - x )\ }{ 25x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = \dfrac{\ e^x ( 1 - x )\ }{ 5x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) $$
Derivada de la función exponencial, base distinta del número $e$
$$ g(x) = \tg \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \Rightarrow g'(x) = \left (\dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right )' \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = $$
$$ = \left (\dfrac{\ - e^x(1 + e^x ) - e^x(1 - e^x) \ }{ 1 + e^x } \right ) \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = \left (\dfrac{\ - e^x - e^{2x} - e^x + e^{2x} \ }{\ \left( 1 + e^x \right )^2 \ } \right ) \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = $$
$$ = \dfrac{\ - 2e^x\ }{\ \left( 1 + e^x \right )^2 \ } \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) $$
Derivada de la función arco secante
$$ $$
Derivada de la función arco cosecante
$$ $$
Derivada de la función arco cotangente
$$ $$
Derivada de la función arco seno
Derivada de la función arco coseno
$$ f(x) = \arccos \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right ) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right )' }{\ \sqrt{\ 1 - \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right )^2\ }\ } = \dfrac{ \ \dfrac{ \sqrt{\ 1 + x^2\ } - x \dfrac{2x}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \sqrt{\ 1 - \dfrac{x^2}{\ 1 + x^2\ }\ } } = $$ $$ = \dfrac{ \ \dfrac{ \sqrt{\ 1 + x^2\ } - x \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \sqrt{\ \dfrac{1 + x^2 - x^2}{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{ \dfrac{1 + x^2 - x^2}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }( 1 + x^2)\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }( 1 + x^2)\ } = $$
$$ = \dfrac{1}{\ 1 + x^2\ } $$
Derivada de la función arco tangente
$$ g(x) = \arctg \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ \left ( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \right )'}{ 1 + \left ( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \right)^2 } = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ 1 + \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 1 + \sen x + 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - \cos x\ (1 + \sen x) - \cos x(1 - \sen x) }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - \cos x + \cos x \sen x - \cos x + \cos x \sen x }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - 2\cos x }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ - 2\cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } )(1 + \sen x) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } )\cancel{(1 + \sen x)} }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^{\cancel{2}}\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)\ } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 - \sen^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen x) (1 + \sen x)\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 - \sen^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen x) (1 + \sen x)\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\cos^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen^2 x)\ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ 2 \cdot \cos^2 x\ } = \dfrac{\ -1\ }{2} $$
Derivada de la función arco secante
$$ g(x) = (\arcsec x)^{9} \Rightarrow f'(x) = 9 \cdot (\arcsec x)^{8} \cdot (\arcsec x)' = 9 \cdot (\arcsec x)^{8} \cdot \dfrac{1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $$
Derivada de la función arco cosecante
$$ = \dfrac{-(1-x)+(1+x)}{(1-x) \cdot (1+x) \cdot \sqrt{\left( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right)^2 - 1\ }\ } = \dfrac{\ -2x\ }{\ (1 - x) \cdot (1+x) \cdot \sqrt{\left ( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right )^2 - 1\ }\ } = \dfrac{\ 2x\ }{(1-x) \cdot(1+x) \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ (1+x)^2 - (1-x)^2\ }{ (1-x)^2 } } } = $$
$$ = \dfrac{2x}{(1+x) \cdot \sqrt{(1+x)^{2}-(1-x)^{2}}} = \dfrac{2x}{\ (1 + x) \cdot \sqrt{\ \left (1 + 2x + x^2 \right ) - \left( 1 - 2 x + x^2 \right )\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{2 x}{\ (1+x) \cdot \sqrt{\ 4x\ }\ } = \dfrac{x}{\ (1 + x) \cdot \sqrt{\ x\ }\ } $$
$$ g(x) = \arccosec \left( \log _{5} 9 x \right) = \arccosec \left( \dfrac{ \ln 9x}{ \ln 5} \right) \Rightarrow g'(x) = \dfrac{- \dfrac{1}{ \ln5 } \cdot \dfrac{9}{\ 9x\ } }{\ \left( \log _{5} 9 x \right) \cdot \sqrt{\ \left( \log_{5} 9x \right)^2 - 1\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{ - 1}{ \ln 5 \cdot x \cdot \left( \log_{5} 9x \right ) \cdot \sqrt{\ \left ( \log_{5} 9x \right )^2 - 1\ }\ } $$
Derivada de la función arco cotangente
Derivada de la función potencial-exponencial
- Aprendernos esta fórmula de memoria $ F'(x) = h(x) \cdot g(x)^{h(x) - 1} g'(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) $
- o saber deducirla (muy recomendable). Veamos como:
Lo $\odn{1}{o}$ tomamos logaritmos neperianos: $$ \ln F(x) = \ln g(x)^{h(x)} $$ $$ \text{ usamos las propiedades de los logaritmos y nos queda } \ln F(x) = h(x) \cdot \ln g(x) $$ Tenemos dos expresiones iguales, luego sus funciones derivadas serán iguales: $$ \left (\ln F(x) \right )' = \left (h(x) \cdot \ln g(x) \right )' \Rightarrow \dfrac{\ F'(x)\ }{F(x)} = h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} $$ $$ \text{ pasamos } F(x) \text{ multiplicando y tenemos que } F'(x) = F(x) \cdot \left ( h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} \right ) $$ y sustituyendo $F(x)$ por su valor tenemos: $$ F'(x) = g(x)^{h(x)} \cdot \left ( h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} \right ) = g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} $$ y así tenemos: $$ F'(x) = g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) + g(x)^{h(x) - 1} \cdot h(x) \cdot g'(x) $$
-
Vamos con un par de ejemplos:
$$ F(x) = (\tg x)^{\cotg x} $$
Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos:
$$ \ln F(x) = \cotg x \cdot \ln \tg x \Rightarrow \dfrac{\ F'(x)\ }{F(x)} = -(1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} $$
Pasamos $F(x)$ multiplicando y la sustituimos por su valor:
$$ F'(x) = (\tg x)^{\cotg x} \cdot \left ( -(1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} \right ) = $$
$$ = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + (\tg x)^{\cotg x} \cdot \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} = (*) $$ Vemos que $$ \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} = \cotg^2 x \cdot ( 1 + \tg^2 x ) = \cotg^2x + 1 $$ Sustituyendo en (*) tenemos y sacando factor común: $$ = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + (\tg x)^{\cotg x} \cdot ( 1 + \cotg^2 x ) = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot ( \ln \tg x - 1 ) $$
Vamos con otro ejemplo: $$ G(x) = \sqrt[\tg x]{x} = x^{ \dfrac{1}{\tg x} } = x^{ \cotg x} $$ Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos: $$ \ln G(x) = \cotg x \cdot \ln x \Rightarrow \dfrac{\ G'(x)\ }{G(x)} = -(1 + \cotg^2 x) \ln x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} $$ Pasamos $G(x)$ multiplicando y la sustituimos por su valor: $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot \left ( -(1 + \cotg^2 x) \ln x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} \right ) = - \sqrt[\tg x]{x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot \ln x + \sqrt[\tg x]{x} \cdot \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} $$ Agrupando nos queda: $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot \ln x + \sqrt[\cotg x - 1]{x} \cdot \cotg x $$ Otra variante $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot \left ( \dfrac{1}{ \ x \cdot \tg x} - \dfrac{\ln x }{\ \sen^2 x\ } \right ) $$
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
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