Ejercicios de límites con solución I - 1º Bachillerato

Vamos a resolver diferentes tipos de límites de funciones y algunas de las indeterminaciones de $\odn{1}{\circ}$ de bachillerato. Son las siguientes:

1. $\zdivz$


2. $\idivi$


3. $\imini$


4. $\uelei$ Explicados en esta entrada del blog.

$$ \milmt{x}{2}{ \dfrac{\ \ 2x^2 - 3x - 2\ \ }{ x^2 - 4 } } = \zdivz (*) $$

Esto quiere decir que 2 es raíz del polinomio del umerador y del polinomio del denominador, luego tenemos que factorizar ambos polinomios:

$ 2x^2 - 3x - 2 = (x - 2) \cdot (2x + 1 ) $ y $ x^2 - 4 = (x - 2) \cdot ( x + 2) $

Una vez factorizados los polinomios seguimos con el cálculo del límite:

$$(*) \ = \milmt{x}{2}{ \dfrac{\ (x - 2) \cdot (2x + 1 )}{ (x - 2) \cdot ( x + 2) } } = \milmt{x}{2}{ \dfrac{\ \cancel{(x - 2)} \cdot (2x + 1 )}{ \cancel{(x - 2)} \cdot ( x + 2) } } = \milmt{x}{2}{ \dfrac{\ \ (2x + 1)\ \ }{x + 2} } = \frac{5}{4} $$

$$ \milmt{x}{0}{ \dfrac{x}{\ 1 - \sqrt{\ 1 - x\ }\ } } = \zdivz (*) $$

En este caso 0 anula el numerador y el denominador, pero el denominador no es un polinomio. Como tiene una raíz cuadrada en el denominador, vamos a multiplicar numerador y denominador por el conjugado, en el denominador aplicaremos la identidad notable $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$

Seguimos con el límite:
$$(*) \ = \milmt{x}{0}{ \dfrac{x}{\ 1 - \sqrt{\ 1 - x\ }\ } } = \milmt{x}{0}{ \dfrac{x \cdot (\ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ }\ ) }{\ \ (1 - \sqrt{\ 1 - x\ }) \cdot (\ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ }\ ) \ \ } } = \milmt{x}{0}{\ \ \dfrac{x \cdot (\ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ }\ ) \ \ }{1 - (\sqrt{\ 1 - x\ })^2} } = $$ $$ = \milmt{x}{0}{ \dfrac{x \cdot (\ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ }\ ) }{x} } = \milmt{x}{0}{ \dfrac{\cancel{x} \cdot (\ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ }\ ) }{\cancel{x}} } = \milmt{x}{0}{ \ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ } } = 1 + 1 = 2 $$

$$ \milmt{x}{3}{ \dfrac{\ \sqrt{\ x + 1\ }- 2\ }{x - 3} } = \zdivz (*) $$ Volvemos a tener una indeterminación cero partido por cero y tenemos una raíz en el numerador, lo que tenemos que hacer es multiplicar numerador y denominador por el conjugado para aplicar en el numerador la identidad notable $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$

$$ (*) \ = \milmt{x}{3}{ \dfrac{\ (\sqrt{\ x + 1\ } - 2 )(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 )\ }{(x - 3)(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 ) } } = \milmt{x}{3}{ \dfrac{\ (\sqrt{\ x + 1\ })^2 - 2^2\ }{(x - 3)(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 ) } } = \milmt{x}{3}{ \dfrac{\ x + 1 - 4\ }{ ( x - 3 )(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 ) } } = $$ $$ = \milmt{x}{3}{ \dfrac{x - 3}{\ (x - 3)(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 )\ } } = \milmt{x}{3}{ \dfrac{ \cancel{x - 3} }{\ \cancel{(x - 3)}(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 )\ } } = \milmt{x}{3}{ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ x + 1 \ } + 2 \ } } = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 3 + 1\ } + 2\ } = \dfrac{\ 1\ }{4} $$

$$\milmt{x}{8}{ \dfrac{\ x - 8 \ }{ \sqrt[3]{x} - 2 } } = \zdivz (*) $$ No podemos factorizar ya que el denominador no es un polinomio y además aparece una raíz cúbica, veamos como podemos «quitar» dicha raíz: $$ \text{Para ello usaremos la siguiente identidad notable } a^3 - a^3 = (a - b) \cdot (a^2 + ab + b^2) $$ Si hacemos que $a = \sqrt[3]{x}$ y $b = 2$, tenemos que $$x - 8 = (\sqrt[3]{x} - 2) \cdot (\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 2^2 )$$ $$(*) \ = \milmt{x}{8}{ \dfrac{ (\sqrt[3]{x} - 2) \cdot (\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 2^2 ) }{ \sqrt[3]{x} - 2 } } = \milmt{x}{8}{ \dfrac{ ( \cancel{ \sqrt[3]{x} - 2) } \cdot (\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 2^2 ) }{ \cancel{ \sqrt[3]{x} - 2} } }= $$ $$ = \milmt{x}{8}{ \left (\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 2^2 \right ) } = \sqrt[3]{8^2} + 2\sqrt[3]{8} + 2^2 = 4 + 2 \cdot 2 + 4 = 12 $$

$$\milmt{x}{+ \infty}{ \dfrac{\ \ 3x^2 + 4\ \ }{ 2x } } = \idivi (*) $$ Este límite es una indeterminación infinito partido por infinito, vemos que el polinomio de mayor grado es el del númerador, luego el límite será infinito. Otra forma de hacerlo es dividir cada término del numerador y del denominador por la mayor potencia de $x$ en este caso $x^2$:

$$(*) = \milmt{x}{\infty}{ \dfrac{\ \ \dfrac{\ 3x^{2}\ }{x^2} + \dfrac{\ 4\ }{x^2} \ \ }{ \dfrac{ 2x }{ x^2} } } = \milmt{x}{\infty}{ \dfrac{\ 3 + \dfrac{4}{x^2} }{ \dfrac{2}{x} } } = \dfrac{\ 3\ }{ 0 } = +\infty $$

Este límite es una indeterminación infinito partido por infinito, vemos que los polinomios del númerador y del denominador tienen el mismo grado, luego el límite será el cociente de los coeficiente directores de ambos polinomios. Otra forma de hacerlo es dividir cada término del numerador y del denominador por la mayor potencia de $x$ en este caso $x^3$:

$$ \milmt{x}{+ \infty}{ \dfrac{\ \ 3x^3 + 5}{ 2x^3 + 1 } } = \idivi (*) $$ $$ (*) = \milmt{x}{ + \infty}{ \dfrac{\ \ 3 \dfrac{\ x^3\ }{ x^3 } + \dfrac{5}{\ x^3\ }}{2 \dfrac{\ x^3\ }{x^3} + \dfrac{1}{\ x^3\ }} }= \milmt{x}{ + \infty }{ \dfrac{\ \ 3 + \dfrac{5}{\ x^3\ }\ \ }{ 2 + \dfrac{1}{\ x^3\ } } } = \dfrac{3}{2} $$

Este límite es una indeterminación infinito partido por infinito, vemos que el polinomio del denominador es el de mayor grado, luego el límite será 0. Otra forma de hacerlo es dividir cada término del numerador y del denominador por la mayor potencia de $x$ que está fuera de la raíz, en este caso $x^2$:

$$ \milmt{x}{ + \infty}{ \dfrac{x}{\ \ 3x^2 + \sqrt{\ x^4 + 4x\ }\ \ } } = \idivi (*) $$ $$ (*) \ = \milmt{x}{+ \infty }{ \dfrac{ \dfrac{x}{\ x^2\ } }{\ \ \dfrac{\ 3x^2\ }{x^2} + \sqrt{\ \dfrac{\ x^4\ }{x^4} + \dfrac{\ 4x\ }{x^4} } } } = \milmt{x}{+ \infty }{ \dfrac{\ \dfrac{\ 1\ }{x}\ }{\ 3 + \sqrt{\ 1 + \dfrac{4}{\ x^3\ } } } } = \dfrac{0}{ 3 + 1 } = \dfrac{0}{ 4 } = 0 $$

$$\milmt{x}{+ \infty }{\left( \dfrac{\ 1 + x\ }{x - 1} \right )^{x} } = \uelei (*) $$ Este límite es una indeterminación uno elevado a infinito y se puede hacer de dos formas:

• Aplicando esta fórmula: $$ 1^{\infty} = \milmt{x}{A}{ f(x)^{h(x)} } = e^{\milmt{x}{A}{ h(x) \cdot (f(x) - 1)} }$$ donde $A$ puede ser un número real cualquiera o $\pm \infty $
  Nos quedaría lo siguiente:
  $$ (*) = e^{ \milmt{x}{+\infty}{ x \cdot \left (\dfrac{\ 1 + x\ }{x - 1} - 1 \right )} } = e^{ \milmt{x}{+ \infty}{ x \cdot \left (\dfrac{\ 1 + x - x + 1\ }{x - 1} \right )} } = e^{ \milmt{x}{+ \infty}{\dfrac{\ 2x\ }{x - 1} } } = e^2 $$
• Aplicando los pasos siguientes:
  1. Sumar y restar 1 en la base;
  2. Poner la fracción de la base con un 1 en el numerador;
  3. Poner de exponente lo que tiene en el denominador de la fracción de la base, mutiplicando por esa expresión y su inverso el exponente que tenemos.
  $$ (*) \milmt{x}{+ \infty }{ \left( \dfrac{\ 1 + x\ }{x - 1} \right )^{x} } = \milmt{x}{+ \infty }{\left( 1 + \dfrac{\ 1 + x\ }{x - 1} - 1 \right )^{x} } = \milmt{x}{+ \infty }{\left( 1 + \dfrac{\ 1 + x - x + 1\ }{x - 1} \right )^{x} } = \milmt{x}{+ \infty }{\left( 1 + \dfrac{\ 2\ }{x - 1} \right )^{x} } = $$ $$ = \milmt{x}{+ \infty }{\left( 1 + \dfrac{\ 1\ }{ \dfrac{\ x - 1\ }{2} }\right )^{x} } = \milmt{x}{+ \infty }{\left [ \left( 1 + \dfrac{\ 1\ }{ \dfrac{\ x - 1\ }{2} }\right )^{ \dfrac{\ x - 1\ }{2} } \right ]^{x \cdot \dfrac{2}{\ x - 1\ } } } = e^{ \milmt{x}{+ \infty }{ \dfrac{2x}{\ x - 1\ } } } = e^2 $$

$$ \milmt{x}{+\infty}{\left(1 - \dfrac{\ 1\ }{x} \right )^{x} } = \uelei (*) $$ Tenemos una indeterminación $1^{\infty}$, aplicamos la fórmula y tenemos que:
$$ (*) \ = e^{\milmt{x}{+\infty}{ x \cdot \left ( 1 - \dfrac{\ - 1 \ }{x} - 1 \right ) } } = e^{\milmt{x}{+\infty}{ \dfrac{\ - x \ }{x} } } = e^{-1} = \dfrac{\ 1 \ }{e} $$

$$ \milmt{x}{1}{ \left ( \dfrac{\ 1\ }{x} \right)^{\dfrac{1}{\ x^2 - 1\ } } } = \uelei \ (*) $$ Tenemos una indeterminación $1^{\infty}$, aplicamos la fórmula y tenemos que:

$$ (*) \ = e^{ \milmt{x}{1}{ \dfrac{1}{\ x^2 - 1\ } \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{x} - 1 \right) } } = e^{ \milmt{x}{1}{ \dfrac{1}{\ x^2 - 1\ } \cdot \dfrac{\ 1 - x\ }{x} } } = e^{ \milmt{x}{1}{ \dfrac{-1}{\ x(x + 1)\ } } } = e^{ \dfrac{\ -1 \ }{2} } = \dfrac{1}{\ e^{\dfrac{\ 1 \ }{2}}\ } = \dfrac{1}{\ \sqrt{e}\ } = \dfrac{\ \sqrt{e}\ }{e} $$

No tenemos una indeterminación $\uelei$, ya que el límite de la base es $\dfrac{\ 2\ }{3}$ que es menor que 1 y el límite del exponente es infinito, y por lo tanto:
$$ \milmt{x}{1}{ \left( \frac{\ 2x + 1\ }{ 3x - 3} \right )^{ \dfrac{x^2}{\ x - 4\ } } } = \left ( \dfrac{\ 2\ }{3} \right )^{+\infty} = 0 $$

No tenemos una indeterminación $\uelei$, ya que el límite de la base es 1 y el límite del exponente es $\frac{1}{2}$, y por lo tanto:
$$ \milmt{x}{1}{ \left( \dfrac{\ 3x + 1\ }{ 3x - 3} \right )^{ \dfrac{x}{\ 2x - 4\ } } } = 1^{ \frac{\ 1\ }{2} } = 1 $$

No tenemos una indeterminación $\uelei$, ya que el límite de la base es $\frac{\ 2\ }{3}$ y el límite del exponente es $\frac{\ 3\ }{2}$, y por lo tanto:
$$ \milmt{x}{1}{ \left( \dfrac{\ 2n + 3\ }{2 + 3n } \right)^{ \dfrac{3n}{\ 1 + 2n\ } } } = \left ( \frac{\ 2\ }{3} \right )^{ \frac{\ 3\ }{2} } $$

En principio parece que tenemos una indeterminación infinito menos infinito, pero los dos términos que restan NO son del mismo grado $x$ y $ \sqrt{\ x - 1\ } \simeq x^{ \frac{1}{2} }$, luego el término que crece mucho más rápido a infinito es $x$ y por tanto no es una indeterminación, si no que el límite es $ + \infty$. $$ \milmt{x}{+\infty}{(x - \sqrt{\ x - 1\ } ) } = +\infty $$

$$ \milmt{x}{+\infty}{ \left ( x - \sqrt{\ x^2 + 2x \ } \right ) } = \imini \ (*) $$ Tenemos una indeterminación infinito menos infinito, ya que los dos términos que restan son del mismo grado $x$ y $ \sqrt{\ x^2 + 2x \ } \simeq x$. Para resolver esta inteterminación vamos a multiplicar y dividir por el conjugado para aplicar la identidad notable $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$:

$$ (*) \ = \milmt{x}{+\infty}{ \dfrac{\ \left (x - \sqrt{\ x^2 + 2x \ } \right ) \cdot \left (x + \sqrt{\ x^2 + 2x \ } \right ) } }{ x + \sqrt{\ x^2 + 2x \ } } = \milmt{x}{+\infty}{ \dfrac{\ x^2 - x^2 - 2x \ }{ x + \sqrt{\ x^2 + 2x \ } } } = \milmt{x}{+\infty}{ \dfrac{\ - 2x \ }{ x + \sqrt{\ x^2 + 2x \ } } } = \dfrac{\ -2 \ }{2} = -1 $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com