Funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Funciones recíprocas: arcocoseno, arcoseno y arcotangente.

Antes de empezar con este tema, es conveniente tener claro (repasar) la trigonometría.

En este enlace podemos ver las gráficas de las funciones trigonométricas $\cos(x)$, $\sen(x)$, $\tg(x)$, $\sec(x)$, $\cosec(x)$, $\cotg(x)$, las simetrías de las funciones $\cos(x)$, $\sen(x)$, $\tg(x)$ y las recíprocas de $\cos(x)$, $\sen(x)$, $\tg(x)$ que respectivamente son $\arccos(x)$, $\arcsen(x)$, $\arctg(x)$.

Función coseno

La función $ f(x) = \cos (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ f: \R \longrightarrow \R $$ $$ \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow f(x) = \cos (x) $$

1. El $\cos (x)$ está definida en todo $\R$, para todos los números reales.
2. Es una función par $f(x) = f(-x)$, es decir, es simétrica respecto del eje Y, el eje de «ordenadas».
3. El recorrido o imagen de la función $\cos (x)$ es el intervalo $[-1, 1]$. Lo que nos dice que el $\cos (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
4. La función $\cos (x)$ es una función periódica, de periodo $P = 2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\cos (x)$ presenta un máximo cuando $x = 2 \cdot k \cdot \pi, \ k \in \Z $
6. La función $\cos (x)$ presenta un mínimo cuando $x = (2 \cdot k + 1 ) \cdot \pi, \ k \in \Z $
7. La función $\cos (x)$ se anula en $ x \in \left \{ x \in \R \mid x = \dfrac{\ \pi\ }{2} + k \pi, \quad k \in \Z \right \}$

Función seno

La función $ g(x) = \sen (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ g: \R \longrightarrow \R $$ $$ \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow f(x) = \sen (x) $$

1. El $\sen (x)$ está definida en todo $\R$, para todos los números reales.
2. Es una función impar $f(x) = -f(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
3. El recorrido o imagen de la función $\sen (x)$ es el intervalo $[-1, 1]$. Lo que nos dice que el $\sen (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
4. La función $\sen (x)$ es una función periódica, de periodo $P = 2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\sen (x)$ presenta un máximo cuando $x = \dfrac{\ \pi\ }{2} + 2 \cdot k \cdot \pi, \ k \in \Z $
6. La función $\sen (x)$ presenta un mínimo cuando $x = \dfrac{\ 3\pi\ }{2} + 2 \cdot k \cdot \pi, \ k \in \Z $
7. La función $\sen (x)$ se anula en $ x \in \left \{ x \in \R \mid x = k \pi, \quad k \in \Z \right \}$

Función tangente

La función $ h(x) = \tg (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ h: \R \longrightarrow \R \qquad $$ $$ \qquad \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow h(x) = \tg (x) = \dfrac{\ \sen (x) \ }{ \cos (x) } $$

1. La $\tg (x)$ está definida en $\R$, menos en los puntos que se anula el denominador, es decir el $\cos (x)$. Así $Dom \ h(x) = \R \setminus \left \{ x \in \R \mid x = \dfrac{\ \pi\ }{2} + k \pi, \quad k \in \Z \right \}. $
2. Para los elementos de este conjunto $ \left \{ x \in \R \mid x = \dfrac{\ \pi\ }{2} + k \pi, \quad k \in \Z \right \} $ la función $\tg(x)$ presenta asíntotas verticales.
3. Es una función impar $h(x) = -h(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
4. El recorrido o imagen de la función $\tg (x)$ son todos los números reales $\R$. Lo que nos dice que la $\tg(x)$ no es una función acotada.
5. La función $\tg (x)$ es una función periódica, de periodo $P = \pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $\pi$ cualquiera.
6. La función $\tg(x)$ se anula cuando se anula la función $\sen (x)$, es decir, en $ x \in \left \{ x \in \R \mid x = k \pi, \quad k \in \Z \right \}$

Función secante

La función $ i(x) = \sec (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ i: \R \longrightarrow \R \qquad \qquad $$ $$ \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow i(x) = \sec (x) = \dfrac{ 1 }{\ \cos (x)\ }$$

1. La $\sec (x)$ está definida en todo $\R$ menos en los valores que se anula el $\cos x$, es decir, $Dom i(x) = \R \setminus \left \{ x \in \R \mid x = \dfrac{\ \pi\ }{2} + k \pi, \quad k \in \Z \right \}.$.
2. Es una función par $i(x) = i(-x)$, es decir, es simétrica respecto del eje Y, el eje de «ordenadas».
3. El recorrido o imagen de la función $\sec (x)$ es el la unión de los intervalos $(-\infty, -1] \bigcup [1, -\infty)$. Lo que nos dice que la $\sec (x)$ no es una función acotada.
4. La función $\sec (x)$ es una función periódica, de periodo $P = 2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\sec (x)$ presenta un mínimo «relativo» cuando $x = 2 \cdot k \cdot \pi, \ k \in \Z $
6. La función $\sec (x)$ presenta un máximo «relativo» cuando $x = (2 \cdot k + 1 ) \cdot \pi, \ k \in \Z $
7. La función $\sec (x)$ no se anula para ningún valor de $ x \in \R $

Función cosecante

La función $ j(x) = \cosec (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ j: \R \longrightarrow \R \qquad \qquad \qquad $$ $$ \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow j(x) = \cosec (x) = \dfrac{ 1 }{\ \sen (x)\ } $$

1. La $\cosec (x)$ está definida en todo $\R$ menos en los valores que se anula el $\sen x$, es decir, $Dom \ j(x) = \R \setminus \left \{ x \in \R \mid x = k \pi, \quad k \in \Z \right \}$ .
2. Es una función impar $j(x) = -j(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
3. El recorrido o imagen de la función $\cosec (x)$ es el la unión de los intervalos $(-\infty, -1] \bigcup [1, -\infty)$. Lo que nos dice que la $\cosec (x)$ no es una función acotada.
4. La función $\cosec (x)$ es una función periódica, de periodo $P = 2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\cosec (x)$ presenta un máximo «relativo» cuando $x = (2k + 1 ) \cdot \pi, \ k \in \Z $
6. La función $\cosec (x)$ presenta un mínimo «relativo» cuando $x = 2 \cdot k \cdot \pi, \ k \in \Z $
7. La función $\cosec (x)$ no se anula en $ x \in \R $.

Función cotangente

La función $ k(x) = \tg (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ k: \R \longrightarrow \R \qquad \quad $$ $$ \qquad \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow k(x) = \cotg (x) = \dfrac{\ \cos (x) \ }{ \sen (x) } $$

1. La $\tg (x)$ está definida en $\R$, menos en los puntos que se anula el denominador, es decir el $\sen (x)$. Así $Dom \ k(x) = \R \setminus \left \{ x \in \R \mid x = k \pi, \quad k \in \Z \right \}. $
2. Para los elementos de este conjunto $ \left \{ x \in \R \mid x = k \pi, \quad k \in \Z \right \} $ la función $\cotg(x)$ presenta asíntotas verticales.
3. Es una función impar $k(x) = - k(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
4. El recorrido o imagen de la función $\cotg (x)$ son todos los números reales $\R$. Lo que nos dice que la $\cotg(x)$ no es una función acotada.
5. La función $\cotg (x)$ es una función periódica, de periodo $P = \pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $\pi$ cualquiera.
6. La función $\cotg(x)$ se anula cuando se anula la función $\cos (x)$, es decir, en $ x \in \left \{ x \in \R \mid x = \dfrac{\ \pi \ }{2} + k \pi, \quad k \in \Z \right \}$

Funciones recíprocas o inversas de las trigonométricas

Una función es inyectiva si cumple: $ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$, es decir, a elemntos diferentes, imágenes diferentes. Veamos un par de ejemplos:

1. $f(x) = \log_{a}(x) $ Si $\log(x_1) = \log(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 $ Luego el logaritmo es inyectiva.
   
2. $f(x) = x^2 $ Si $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = \pm x_2 $, luego la función que a cada número le asocia su cuadrado no es inyectiva.

Otra forma de comprobar la inyectividad, pero a partir de la gráfica, es trazando una línea recta paralela al eje X (de abscisas) y si corta a la función en más de un punto la función NO es inyectiva.

Función NO inyectiva

Función inyectiva

Recordemos que:

1. una función y su recíproca son simétricas respecto de la recta $ y = x $, la bisectriz del $\odn{1}{er}$-$\odn{3}{er}$ cuadrante.
   
2. $(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x $

Función arcocoseno

Lo primero de todo hay que remarcar que la función $\cos (x)$ no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de $x$ diferentes le correspondan valores de la $f(x)$ diferentes, por ejemplo, tenemos $x = 0$ y $x=2\pi$ pero tenemos que $f(0) = f(2\pi) = 1$. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función coseno al intervalo $[0, \pi]$ donde la función es inyectiva y decreciente.

La función $ p(x) = \arccos (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ p: [-1, 1] \longrightarrow \left [ 0 , \pi\ \right ] $$ $$ \qquad \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow p(x) = \arccos (x) $$

1. El $\arccos (x)$ está definida en $[-1, 1]$.
2. El recorrido o imagen de la función $\arccos (x)$ es el intervalo $[0, \pi]$. Lo que nos dice que el $\arccos (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
3. La función $\arccos (x)$ presenta un máximo cuando $x = -1$.
4. La función $\arccos (x)$ presenta un mínimo cuando $x = 1$ que es además cuando se anula.

Función arcoseno

Lo primero de todo hay que remarcar que la función $\sen (x)$ no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de $x$ diferentes le correspondan valores de la $f(x)$ diferentes, por ejemplo, tenemos $x = 0$ y $x = \pi $ pero tenemos que $\sen (0) = \sen (\pi) = 0$. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función seno al intervalo $\left [ \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right ]$ donde la función es inyectiva y creciente.

La función $ q(x) = \arcsen (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ q: [-1, 1] \longrightarrow \left [ \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right ] $$ $$ \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow q(x) = \arcsen (x) $$

1. El $\arcsen (x)$ está definida en $[-1, 1]$.
2. El recorrido o imagen de la función $\arcsen (x)$ es el intervalo $\left [ \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right ]$. Lo que nos dice que el $\arcsen (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
3. La función $\arcsen (x)$ presenta un máximo cuando $x = \dfrac{\ \pi \ }{2}$.
4. La función $\arcsen (x)$ presenta un mínimo cuando $x = \dfrac{\ -\pi \ }{2}$.
5. La función $\arcsen (x)$ se anula para $x = 0$.

Función arcotangente

Lo primero de todo hay que remarcar que la función $\tg (x)$ no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de $x$ diferentes le correspondan valores de la $f(x)$ diferentes, por ejemplo, tenemos $x = \dfrac{\ \pi \ }{4}$ y $x = \dfrac{\ 5\pi \ }{4} $ pero tenemos que $\tg \left ( \dfrac{\ \pi \ }{4} \right ) = \tg \left ( \dfrac{\ 5\pi \ }{4} \right ) = 0$. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función seno al intervalo $\left ( \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right )$ donde la función es inyectiva y creciente.

La función $ r(x) = \arctg (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ r: \R \longrightarrow \left ( \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right ) $$ $$ \qquad x \hookrightarrow r(x) = \arctg (x) $$

1. El $\arctg (x)$ está definida en $\R$.
2. El recorrido o imagen de la función $\arctg (x)$ es el intervalo $\left ( \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right ) $. Lo que nos dice que el $\arctg (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
3. La función $\arctg (x)$ no presenta ni máximo ni mínimo.
4. La función $\arctg (x)$ se anula para $x = 0$.