Funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Funciones recíprocas: arcocoseno, arcoseno y arcotangente.

Antes de empezar con este tema, es conveniente tener claro (repasar) la trigonometría.

En este enlace podemos ver las gráficas de las funciones trigonométricas $\cos (x)$, $\mathrm{sen}(x)$, $\mathrm{tg}(x)$, $\sec (x)$, $\mathrm{cosec}(x)$, $\mathrm{cotg}(x)$, las simetrías de las funciones $\cos (x)$, $\mathrm{sen}(x)$, $\mathrm{tg}(x)$ y las recíprocas de $\cos (x)$, $\mathrm{sen}(x)$, $\mathrm{tg}(x)$ que respectivamente son $\arccos (x)$, $\mathrm{arcsen}(x)$, $\mathrm{arctg}(x)$.

Función coseno

La función $f(x)=\cos (x)$ es una función que cumple lo siguiente: $$f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$$ $$x\hookrightarrow f(x)=\cos (x)$$

1. El $\cos (x)$ está definida en todo $\mathbb{R}$, para todos los números reales.
2. Es una función par $f(x)=f(-x)$, es decir, es simétrica respecto del eje Y, el eje de «ordenadas».
3. El recorrido o imagen de la función $\cos (x)$ es el intervalo $[-1,1]$. Lo que nos dice que el $\cos (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
4. La función $\cos (x)$ es una función periódica, de periodo $P=2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\cos (x)$ presenta un máximo cuando $x=2\cdot k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}$
6. La función $\cos (x)$ presenta un mínimo cuando $x=(2\cdot k+1)\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}$
7. La función $\cos (x)$ se anula en $x\in \{x\in \mathbb{R}\mid x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$

Función seno

La función $g(x)=\mathrm{sen}(x)$ es una función que cumple lo siguiente: $$g:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$$ $$x\hookrightarrow f(x)=\mathrm{sen}(x)$$

1. El $\mathrm{sen}(x)$ está definida en todo $\mathbb{R}$, para todos los números reales.
2. Es una función impar $f(x)=-f(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
3. El recorrido o imagen de la función $\mathrm{sen}(x)$ es el intervalo $[-1,1]$. Lo que nos dice que el $\mathrm{sen}(x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
4. La función $\mathrm{sen}(x)$ es una función periódica, de periodo $P=2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\mathrm{sen}(x)$ presenta un máximo cuando $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\cdot k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}$
6. La función $\mathrm{sen}(x)$ presenta un mínimo cuando $x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+2\cdot k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}$
7. La función $\mathrm{sen}(x)$ se anula en $x\in \{x\in \mathbb{R}\mid x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$

Función tangente

La función $h(x)=\mathrm{tg}(x)$ es una función que cumple lo siguiente: $$h:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$$ $$x\hookrightarrow h(x)=\mathrm{tg}(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(x)}{\cos (x)}}$$

1. La $\mathrm{tg}(x)$ está definida en $\mathbb{R}$, menos en los puntos que se anula el denominador, es decir el $\cos (x)$. Así $Domh(x)=\mathbb{R}\setminus \{x\in \mathbb{R}\mid x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}.$
2. Para los elementos de este conjunto $\{x\in \mathbb{R}\mid x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$ la función $\mathrm{tg}(x)$ presenta asíntotas verticales.
3. Es una función impar $h(x)=-h(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
4. El recorrido o imagen de la función $\mathrm{tg}(x)$ son todos los números reales $\mathbb{R}$. Lo que nos dice que la $\mathrm{tg}(x)$ no es una función acotada.
5. La función $\mathrm{tg}(x)$ es una función periódica, de periodo $P=\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $\pi$ cualquiera.
6. La función $\mathrm{tg}(x)$ se anula cuando se anula la función $\mathrm{sen}(x)$, es decir, en $x\in \{x\in \mathbb{R}\mid x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$

Función secante

La función $i(x)=\sec (x)$ es una función que cumple lo siguiente: $$i:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$$ $$x\hookrightarrow i(x)=\sec (x)={\displaystyle \frac{1}{\cos (x)}}$$

1. La $\sec (x)$ está definida en todo $\mathbb{R}$ menos en los valores que se anula el $\cos x$, es decir, $Domi(x)=\mathbb{R}\setminus \{x\in \mathbb{R}\mid x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}.$.
2. Es una función par $i(x)=i(-x)$, es decir, es simétrica respecto del eje Y, el eje de «ordenadas».
3. El recorrido o imagen de la función $\sec (x)$ es el la unión de los intervalos $(-\mathrm{\infty },-1]\bigcup [1,-\mathrm{\infty })$. Lo que nos dice que la $\sec (x)$ no es una función acotada.
4. La función $\sec (x)$ es una función periódica, de periodo $P=2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\sec (x)$ presenta un mínimo «relativo» cuando $x=2\cdot k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}$
6. La función $\sec (x)$ presenta un máximo «relativo» cuando $x=(2\cdot k+1)\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}$
7. La función $\sec (x)$ no se anula para ningún valor de $x\in \mathbb{R}$

Función cosecante

La función $j(x)=\mathrm{cosec}(x)$ es una función que cumple lo siguiente: $$j:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$$ $$x\hookrightarrow j(x)=\mathrm{cosec}(x)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}(x)}}$$

1. La $\mathrm{cosec}(x)$ está definida en todo $\mathbb{R}$ menos en los valores que se anula el $\mathrm{sen}x$, es decir, $Domj(x)=\mathbb{R}\setminus \{x\in \mathbb{R}\mid x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$ .
2. Es una función impar $j(x)=-j(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
3. El recorrido o imagen de la función $\mathrm{cosec}(x)$ es el la unión de los intervalos $(-\mathrm{\infty },-1]\bigcup [1,-\mathrm{\infty })$. Lo que nos dice que la $\mathrm{cosec}(x)$ no es una función acotada.
4. La función $\mathrm{cosec}(x)$ es una función periódica, de periodo $P=2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\mathrm{cosec}(x)$ presenta un máximo «relativo» cuando $x=(2k+1)\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}$
6. La función $\mathrm{cosec}(x)$ presenta un mínimo «relativo» cuando $x=2\cdot k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}$
7. La función $\mathrm{cosec}(x)$ no se anula en $x\in \mathbb{R}$.

Función cotangente

La función $k(x)=\mathrm{tg}(x)$ es una función que cumple lo siguiente: $$k:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$$ $$x\hookrightarrow k(x)=\mathrm{cotg}(x)={\displaystyle \frac{\cos (x)}{\mathrm{sen}(x)}}$$

1. La $\mathrm{tg}(x)$ está definida en $\mathbb{R}$, menos en los puntos que se anula el denominador, es decir el $\mathrm{sen}(x)$. Así $Domk(x)=\mathbb{R}\setminus \{x\in \mathbb{R}\mid x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}.$
2. Para los elementos de este conjunto $\{x\in \mathbb{R}\mid x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$ la función $\mathrm{cotg}(x)$ presenta asíntotas verticales.
3. Es una función impar $k(x)=-k(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
4. El recorrido o imagen de la función $\mathrm{cotg}(x)$ son todos los números reales $\mathbb{R}$. Lo que nos dice que la $\mathrm{cotg}(x)$ no es una función acotada.
5. La función $\mathrm{cotg}(x)$ es una función periódica, de periodo $P=\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $\pi$ cualquiera.
6. La función $\mathrm{cotg}(x)$ se anula cuando se anula la función $\cos (x)$, es decir, en $x\in \{x\in \mathbb{R}\mid x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$

Funciones recíprocas o inversas de las trigonométricas

Una función es inyectiva si cumple: $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$, es decir, a elemntos diferentes, imágenes diferentes. Veamos un par de ejemplos:

1. $f(x)={\log }_a(x)$ Si $\log (x_1)=\log (x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ Luego el logaritmo es inyectiva.
   
2. $f(x)=x^2$ Si $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1^2=x_2^2\Rightarrow x_1=\pm x_2$, luego la función que a cada número le asocia su cuadrado no es inyectiva.

Otra forma de comprobar la inyectividad, pero a partir de la gráfica, es trazando una línea recta paralela al eje X (de abscisas) y si corta a la función en más de un punto la función NO es inyectiva.

Función NO inyectiva

Función inyectiva

Recordemos que:

1. una función y su recíproca son simétricas respecto de la recta $y=x$, la bisectriz del $1^{\underset{―}{er}}$-$3^{\underset{―}{er}}$ cuadrante.
   
2. $(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x$

Función arcocoseno

Lo primero de todo hay que remarcar que la función $\cos (x)$ no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de $x$ diferentes le correspondan valores de la $f(x)$ diferentes, por ejemplo, tenemos $x=0$ y $x=2\pi$ pero tenemos que $f(0)=f(2\pi )=1$. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función coseno al intervalo $[0,\pi ]$ donde la función es inyectiva y decreciente.

La función $p(x)=\arccos (x)$ es una función que cumple lo siguiente: $$p:[-1,1]⟶[0,\pi ]$$ $$x\hookrightarrow p(x)=\arccos (x)$$

1. El $\arccos (x)$ está definida en $[-1,1]$.
2. El recorrido o imagen de la función $\arccos (x)$ es el intervalo $[0,\pi ]$. Lo que nos dice que el $\arccos (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
3. La función $\arccos (x)$ presenta un máximo cuando $x=-1$.
4. La función $\arccos (x)$ presenta un mínimo cuando $x=1$ que es además cuando se anula.

Función arcoseno

Lo primero de todo hay que remarcar que la función $\mathrm{sen}(x)$ no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de $x$ diferentes le correspondan valores de la $f(x)$ diferentes, por ejemplo, tenemos $x=0$ y $x=\pi$ pero tenemos que $\mathrm{sen}(0)=\mathrm{sen}(\pi )=0$. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función seno al intervalo $[{\displaystyle \frac{-\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ donde la función es inyectiva y creciente.

La función $q(x)=\mathrm{arcsen}(x)$ es una función que cumple lo siguiente: $$q:[-1,1]⟶[{\displaystyle \frac{-\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$$ $$x\hookrightarrow q(x)=\mathrm{arcsen}(x)$$

1. El $\mathrm{arcsen}(x)$ está definida en $[-1,1]$.
2. El recorrido o imagen de la función $\mathrm{arcsen}(x)$ es el intervalo $[{\displaystyle \frac{-\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$. Lo que nos dice que el $\mathrm{arcsen}(x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
3. La función $\mathrm{arcsen}(x)$ presenta un máximo cuando $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
4. La función $\mathrm{arcsen}(x)$ presenta un mínimo cuando $x={\displaystyle \frac{-\pi }{2}}$.
5. La función $\mathrm{arcsen}(x)$ se anula para $x=0$.

Función arcotangente

Lo primero de todo hay que remarcar que la función $\mathrm{tg}(x)$ no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de $x$ diferentes le correspondan valores de la $f(x)$ diferentes, por ejemplo, tenemos $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ y $x={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$ pero tenemos que $\mathrm{tg}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=\mathrm{tg}\left({\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\right)=0$. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función seno al intervalo $({\displaystyle \frac{-\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ donde la función es inyectiva y creciente.

La función $r(x)=\mathrm{arctg}(x)$ es una función que cumple lo siguiente: $$r:\mathbb{R}⟶({\displaystyle \frac{-\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$ $$x\hookrightarrow r(x)=\mathrm{arctg}(x)$$

1. El $\mathrm{arctg}(x)$ está definida en $\mathbb{R}$.
2. El recorrido o imagen de la función $\mathrm{arctg}(x)$ es el intervalo $({\displaystyle \frac{-\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$. Lo que nos dice que el $\mathrm{arctg}(x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
3. La función $\mathrm{arctg}(x)$ no presenta ni máximo ni mínimo.
4. La función $\mathrm{arctg}(x)$ se anula para $x=0$.