Ecuaciones trigonométricas con solución I

Antes de resolver ecuaciones trigonométricas es conveniente saber las razones trigonométricas de las ángulos principales $0, \dfrac{\ \pi\ }{2}, \pi, \dfrac{\ 3\pi\ }{2}$ y $ 2\pi $; además de los ángulos $ \dfrac{\ \pi\ }{6}, \dfrac{\ \pi\ }{4}, \dfrac{\ \pi\ }{3}$ y los relacionados con estos en los cuadrantes II, III y IV. En este enlace tienes toda esta información

Sabemos que el $\sen x = 1 \Rightarrow x = \arcsen (1) \Rightarrow x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{2} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z $

Sabemos que $\tg x = 0 \Leftrightarrow \sen x = 0$.

Sabemos que el $\sen x = 0 \Rightarrow x = \arcsen(0) \Rightarrow x = \pi \cdot k, \quad k \in \Z $

Sabemos que $2 \cdot \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \dfrac{\ \ -1 \ \ }{2}$

El coseno es negativo en el $2^{\underline{\circ}}$ y $3^{\underline{er}}$ cuadrante, luego sabemos que el

$$\cos x = \dfrac{\ \ -1 \ \ }{2} \Rightarrow x = \arccos \left ( \dfrac{\ \ -1 \ \ }{2} \right ) \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \ 2\pi \ \ }{3} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ \ 4\pi \ \ }{3} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } $$

Sabemos que $\sqrt{3} \cdot \tg x - 1 = 0 \Rightarrow \tg x = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ \sqrt{3} } = \dfrac{\ \sqrt{3} \ }{ 3 } $

La tangente es positiva en el $1^{\underline{er}}$ y $3^{\underline{er}}$ cuadrante, luego sabemos que el

$$\tg x = \dfrac{\ \sqrt{3} \ }{ 3 } \Rightarrow x = \arctg \left ( \dfrac{\ \sqrt{3} \ }{ 3 } \right ) \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \pi \ }{6} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ 7\pi \ }{6} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } $$

Sabemos que la tangente es negativa en el $2^{\underline{\circ}}$ y $4^{\underline{\circ}}$ cuadrante, luego sabemos que

$$ 3x = \arctg ( - 1) \Rightarrow \cases{ 3x = \dfrac{\ 3\pi \ }{4} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr 3x = \dfrac{\ 7\pi \ }{4} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \pi \ }{4} + \dfrac{2 \cdot \pi \cdot k}{3}, \quad k \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ 7\pi \ }{12} + \dfrac{2 \cdot \pi \cdot k}{3}, \quad k \in \Z \cr } $$

Sabemos que el seno es positivo en el $1^{\underline{er}}$ y $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante, luego sabemos que

$$ 4x - \dfrac{\ \pi\ }{9} = \arcsen \left ( \dfrac{\ \sqrt{3}\ }{2} \right ) \Rightarrow \cases{ 4x - \dfrac{\ \pi\ }{9} = \dfrac{\ \pi \ }{3} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr 4x - \dfrac{\ \pi\ }{9} = \dfrac{\ 2\pi \ }{3} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } \Rightarrow \cases{ 4x = \dfrac{\ \pi \ }{3} + \dfrac{\ \pi\ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr 4x = \dfrac{\ 2\pi \ }{3} + \dfrac{\ \pi\ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \cases{ 4x = \dfrac{\ 3\pi \ }{9} + \dfrac{\ \pi\ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr 4x = \dfrac{\ 6\pi \ }{9} + \dfrac{\ \pi\ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } \Rightarrow \cases{ 4x = \dfrac{\ 4\pi \ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr 4x = \dfrac{\ 7\pi \ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \pi \ }{9} + \dfrac{\ \pi \cdot k\ }{2}, \quad k \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ 7\pi \ }{36} + \dfrac{\pi \cdot k}{2}, \quad k \in \Z \cr } $$

Sabemos que $\sec x = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ \cos x } $ luego $ \cos x + 4 \cdot \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ \cos x } = 5$

Multiplicamos por $\cos x$ ambos lados de la ecuación y tenemos que

$$ \cos^2 x + 4 = 5 \cos x \Rightarrow \cos^2 x - 5 \cos x + 4 = 0$$ Lo que es una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado en $\cos x$

Podemos aplicar la fórmula para resolver la ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado o como vemos fácilmente que 1 es raíz, la otra aíz es 4. Así nos quedará:

$ \cos x = 1 \Rightarrow x = \arccos(1) \Rightarrow x = 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z $
$ \text{ o } \cos x = 4 $ lo que es imposible.

Sabemos que $\tg x = \dfrac{\ \ \sen x \ \ }{ \cos x } $ luego $ \cos x \cdot \tg x = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 2 } \Rightarrow \cos x \cdot \dfrac{\ \ \sen x \ \ }{ \cos x } = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 2 } \Rightarrow \sen x = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 2 } $

El seno es positivo en el $1^{\underline{er}}$ y $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante, luego sabemos que el

$$\sen x = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{2} \Rightarrow x = \arcsen \left ( \dfrac{\ \ 1 \ \ }{2} \right ) \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \ \pi \ \ }{6} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ \ 5\pi \ \ }{6} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } $$

Sabemos que $\tg x = \dfrac{\ \ \sen x \ \ }{ \cos x}$, sustituimos y sacamos factor común:
$$ \tg x - \sen x = 0\Rightarrow \dfrac{\ \ \sen x \ \ }{ \cos x} - \sen x = 0 \Rightarrow \sen x \cdot \left ( \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ \cos x} - 1 \right ) = 0 $$ Dos posibilidades:

1. $\sen x = 0 \Rightarrow x = \arcsen (0) \Rightarrow x = \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
   
   
2. $\dfrac{\ \ 1 \ \ }{ \cos x} - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = \arccos (1) \Rightarrow x = 2\cdot \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
   
   

Las soluciones de $\cos x = 1$ están en las soluciones de $\sen x = 0$. Luego las soluciones de esta ecuación son: $$ x = \pi \cdot k, \qquad k \in Z $$

Este ejercicio se puede hacer de bastantes formas:

1. Dividimos por el $\sen^2 x$ y tenemos que:
   $ \dfrac{\ \ \sen^2 x \ \ }{ \cos^2 x } = 1 \Rightarrow \tg^2 x = 1 \Rightarrow \tg x = \pm 1 $
   
   Dos posibilidades:
   
   
   1. $\tg x = 1 \Rightarrow x = \arctg (1) \Rightarrow x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   2. $\tg x = -1 \Rightarrow x = \arctg (-1) \Rightarrow x = \dfrac{\ \ 3\pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   Podemos juntar las dos soluciones en una:
   
   $$ x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \dfrac{\ \ \pi \cdot k\ \ }{2}, \qquad k \in Z $$
   
   Nota: Análogamente se puede hacer dividiendo por el $\sen^2 x$.
   
   
2. Pasamos restando el $\cos^2 x$ y tenemos que:
   $$ \sen^2 x - \cos^2 x = 0 \text{ Esto es una identidad notable, diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia } $$
   $$ \sen^2 x - \cos^2 x = 0 \Rightarrow (\sen x - \cos x) \cdot (\sen x + \cos x) = 0 $$
   Otra vez dos posibilidades:
   
   
   1. $\sen x - \cos x = 0 \Rightarrow \sen x = \cos x \Rightarrow x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   2. $\sen x + \cos x = 0 \Rightarrow \sen x = - \cos x \Rightarrow x = \dfrac{\ \ 3\pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   Podemos juntar las dos soluciones en una:
   
   $$ x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \dfrac{\ \ \pi \cdot k\ \ }{2}, \qquad k \in Z $$
   
   
3. Sabemos que $\cos^2 x + \sen^2 x = 1$, depejamos $\cos^2 x = 1 - \sen^2x $ y sustituyendo en la ecuación tenemos que:
   $$ \sen^2 x = 1 - \sen^2 x \Rightarrow 2\sen^2 x = 1 \Rightarrow \sen^2 x = \dfrac{\ 1 \ }{2} \Rightarrow \sen x = \pm \sqrt{ \dfrac{\ 1 \ }{ 2 } } = \dfrac{\ \pm 1 \ }{\sqrt{2}} = \dfrac{\ \pm \sqrt{2} }{2} $$
   Otra vez dos posibilidades:
   
   
   1. $\sen x = \dfrac{\ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   2. $\sen x = \dfrac{\ - \sqrt{2} }{2} \Rightarrow x = \dfrac{\ \ 3\pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   Podemos juntar las dos soluciones en una:
   
   $$ x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \dfrac{\ \ \pi \cdot k\ \ }{2}, \qquad k \in Z $$
   Nota: Análogamente se puede hacer despejando el $\sen^2 x = 1 - \cos^2 x $.
   

Este ejercicio vamos a poner todo en senos y cosenos:

$ \dfrac{\ \ 3 \ \ }{ \sen x } - 2 \cdot \cos x \cdot \dfrac{\ \ \cos x \ \ }{ \sen x } + 3 = 0 $

Multiplicamos por el $\sen x$:

$ 3 - 2 \cdot \cos^2 x + 3 \cdot \sen x = 0 $

Sustituimos el $\cos^2 x = 1 - \sen^2 x$ y reordenamos:

$ 3 - 2 \cdot (1 - \sen^2 x) + 3 \cdot \sen x = 0 \Rightarrow 3 - 2 + 2 \sen^2 + 3 \cdot \sen x = 0 \Rightarrow 2 \cdot \sen^2 x + 3 \cdot \sen x + 1 = 0 $

Tenemos una ecuación de $\odn{2}{0}$ grado en $\sen x$:

$$ \sen x = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \ } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 9 - 8 \ } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 1 } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm 1 \ }{ 4 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ -2 }{ 4 } = \dfrac{ -1 }{ 2 } \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -4 }{ 4 } = -1 \end{array}. $$

$$ \sen x = \dfrac{ -1 }{ 2 } \Leftrightarrow x = \arcsen \left ( \dfrac{\ -1\ }{2} \right ) \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ 7\pi\ }{6} + 2 \cdot \pi \cdot k_1, \quad k_1 \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ 11\pi\ }{ 6 } + 2 \cdot \pi \cdot k_2, \quad k_2 \in \Z \cr } $$

$$ \sen x = -1 \Leftrightarrow x = \arcsen \left ( -1 \right ) \Rightarrow x = \dfrac{\ 3\pi\ }{2} + 2 \cdot \pi \cdot k_3, \quad k_3 \in \Z $$

Este ejercicio vamos a poner todo en senos y cosenos:

$ \cos x - \dfrac{ \sen x }{\ \ \cos x \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos x \ \ } $

Multiplicamos por el $\cos x$:

$ \cos^2 x - \sen x = 1 $

Sustituimos el $\cos^2 x = 1 - \sen^2 x$ y reordenamos:

$ 1 - \sen^2 x - \sen x - 1 = 0 \Rightarrow - \sen^2 x - \sen x = 0 \Rightarrow \sen^2 x + \sen x = 0 $

Tenemos una ecuación de $\odn{2}{0}$ grado en $\sen x$ incompleta, sacamos factor común y resolvemos:

$$ \sen^2 x + \sen x = 0 \Rightarrow \sen x \cdot (\sen x + 1) = 0 \Leftrightarrow \cases{ \sen x = 0 \cr \cr \sen x = - 1 }. $$

$$ \sen x = 0 \Leftrightarrow x = \arcsen ( 0 ) \Rightarrow x = \pi \cdot k_1, \quad k_1 \in \Z $$

$$ \sen x = -1 \Leftrightarrow x = \arcsen \left ( -1 \right ) \Rightarrow x = \dfrac{\ 3\pi\ }{2} + 2 \cdot \pi \cdot k_2, \quad k_2 \in \Z $$ En esta solución, destacar que si $ \sen x = -1 \Rightarrow \cos x = 0$ y esto quiere decir, que ni la $\tg x$ ni la $\sec x$ están definidas.

Este ejercicio vamos a dividir por 3 y a poner todo en senos y cosenos:

$ \cancel{3} \cdot \sec x - \cancel{3} \cdot \sen x \cdot \tg x = - \cancel{3} \Rightarrow \dfrac{ 1 }{\ \cos x\ \ } - \sen x \cdot \dfrac{ \sen x }{\ \cos x\ \ } = - 1 $

Multiplicamos por el $\cos x$:

$ 1 - \sen^2 x = - \cos x $

Sustituimos el $1 - \sen^2 x = \cos^2 x $ y reordenamos:

$ \cos^2 x = - \cos x \Rightarrow \cos^2 x + \cos x = 0 $

Tenemos una ecuación de $\odn{2}{0}$ grado en $\cos x$ incompleta, sacamos factor común y resolvemos:

$$ \cos^2 x + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x \cdot (\cos x + 1) = 0 \Leftrightarrow \cases{ \cos x = 0 \cr \cr \cos x = -1 }. $$

$$ \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \arccos( 0 ) \Rightarrow x = \dfrac{\ \pi\ }{ 2 } + \pi \cdot k_1, \quad k_1 \in \Z $$ Esta solución no vale, ya que si el $\cos x = 0$, entonces la $\sec x$ y el $\tg x$ no estarían definidas.

$$ \cos x = -1 \Leftrightarrow x = \arccos \left ( -1 \right ) \Rightarrow x = \pi + 2 \cdot \pi \cdot k_2, \quad k_2 \in \Z $$

En este ejercicio vamos a ponerlo todo en senos y cosenos:

$ 3 \cdot \mfrac{ \cos x }{ \sen x } - 4 \cdot \sen x = - 2 \cdot \cos x \cdot \mfrac{ \sen x }{ \cos x } \Rightarrow 3 \cdot \mfrac{ \cos x }{ \sen x } - 4 \cdot \sen x = - 2 \cdot \sen x \Rightarrow 3 \cdot \mfrac{ \cos x }{ \sen x } - 2 \cdot \sen x = 0 $

Multiplicamos por el $\sen x$:

$ 3 \cdot \cos x = 2 \cdot \sen^2 x $

Sustituimos el $\sen^2 x = 1 - \cos^2 x $ y reordenamos:

$ 3 \cdot \cos x = 2 \cdot (1 - \cos^2 x ) \Rightarrow 3 \cdot \cos x = 2 - 2 \cdot \cos^2 x \Rightarrow 2 \cdot \cos^2 x + 3 \cdot \cos x - 2 = 0 $

Tenemos una ecuación de $\odn{2}{0}$ grado en $\cos x$ incompleta, sacamos factor común y resolvemos:

$$ \cos x = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) \ } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 9 + 16 \ } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 25\ } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm 5 \ }{ 4 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 2 }{ 4 } = \dfrac{ 1 }{ 2 } \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -8 }{ 4 } = -2 \end{array}. $$

$ \cos x = -2 \Leftrightarrow x = \arccos( -2 ) $ Esta solución no vale, ya que el $\cos x $ no puede ser menor que -1.

$ \cos x = \dfrac{\ 1\ }{2} \Leftrightarrow x = \arccos \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \pi\ }{3} + 2 \cdot \pi \cdot k_1, \quad k_1 \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ -\pi\ }{ 3 } + 2 \cdot \pi \cdot k_2 = \dfrac{\ 5\pi\ }{ 3 } + 2 \cdot \pi \cdot k_2, \quad k_2 \in \Z \cr } $

\[\sen^2 x - \cos^2 x = \dfrac{1}{2}\] Simplificamos utilizando la identidad \(\sen^2 x + \cos^2 x = 1\): \[\sen^2 x - (1 - \sen^2 x) = \dfrac{1}{2}\] Expandiendo y simplificando: \[2\sen^2 x = \dfrac{3}{2}\] Dividiendo por 2: \[\sen^2 x = \dfrac{3}{4}\] Tomando la raíz cuadrada: \[\sen x = \dfrac{\ \pm \sqrt{\ 3\ } \ }{2}\] - Si $\sen x = \dfrac{\ \sqrt{\ 3\ } \ }{2}$

Las soluciones son \(x = \dfrac{\ \pi\ }{3} + 2n\pi\) y \(x = \dfrac{\ 2\pi\ }{3} + 2n \pi \), donde \(n\) es un número entero.

- Si $\sen x = \dfrac{\ -\sqrt{\ 3\ } \ }{2}$

Las soluciones son \(x = \dfrac{\ 4\pi\ }{3} + 2n\pi\) y \(x = \dfrac{\ 5\pi\ }{3} + 2n \pi \), donde \(n\) es un número entero.

Estás soluciones se pueden poner así:

\( x = \dfrac{\ \pi\ }{3} + s\pi \) y \( x = \dfrac{\ 2\pi\ }{3} + s\pi \), donde \( s \in \Z \)

\[ \cos^2 x - 3 \sen^2 x = 0 \] Simplificando con la identidad \(\cos^2 x + \sen^2 x = 1\): \[ 4 \cos^2 x - 3 = 0 \] Añadiendo 3 a ambos lados: \[ 4 \cos^2 x = 3 \] Dividiendo por 4: \[ \cos^2 x = \dfrac{\ 3\ }{4} \] Tomando la raíz cuadrada: \[ \cos x = \dfrac{\ \pm \sqrt{\ 3\ }\ }{2} \] Las soluciones son:

- Si \(\cos x = \dfrac{\ \sqrt{\ 3\ }\ }{2} \) \[ x = \dfrac{\ \pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \] \[ x = \dfrac{\ 11\pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \] - Si \(\cos x = \dfrac{\ -\sqrt{\ 3\ }\ }{2} \) \[ x = \dfrac{\ 5\pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \] \[ x = \dfrac{\ 7\pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \] Estás soluciones se pueden poner así:

\( x = \dfrac{\ \pi\ }{6} + s\pi, s \in \Z \) y \( x = \dfrac{\ 5\pi\ }{6} + s\pi \), donde \( s \in \Z \)

\[ \sen^2 x + \sen x - 6 = 0 \] Resolviendo la ecuación cuadrática para \(\sen x\): \[ \sen x = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)\ }\ }{ 2 \cdot 1 } = \] \[ = \dfrac{-1 \pm \sqrt{\ 25\ }\ }{2} = \dfrac{\ -1 \pm 5\ }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 4 }{ 2 } = 2 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -6 }{ 2 } = -3 \end{array}. \] Las soluciones son \(\sen x = 2\) y \(\sen x = -3\), pero ambas no tienen soluciones reales, ya que el seno está acotado entre -1 y 1.

\[ 2 \cdot ( \cos^2 x - \sen^2 x ) = 1 \] Dividimos los dos miembros de la ecuación por 2 y nos queda: \[ \cos^2 x - \sen^2 x = \dfrac{\ 1\ }{2} \] Simplificamos utilizando la identidad \(\sen^2 x + \cos^2 x = 1\): \[(1 - \sen^2 x) - \sen^2 x = \dfrac{1}{2}\] Expandiendo y simplificando: \[-2\sen^2 x = \dfrac{\ -1\ }{2}\] Dividiendo por -2: \[\sen^2 x = \dfrac{\ 1\ }{4}\] Tomando la raíz cuadrada: \[\sen x = \dfrac{\ \pm 1 \ }{2}\] - Si $\sen x = \dfrac{\ 1 \ }{2}$

Las soluciones son \(x = \dfrac{\ \pi\ }{6} + 2n\pi\) y \(x = \dfrac{\ 5\pi\ }{6} + 2n \pi \), donde \(n\) es un número entero.

- Si $\sen x = \dfrac{\ -1 \ }{2}$

Las soluciones son \(x = \dfrac{\ 7\pi\ }{6} + 2n\pi\) y \(x = \dfrac{\ 11\pi\ }{6} + 2n \pi \), donde \(n\) es un número entero.

Estás soluciones se pueden poner así:

\( x = \dfrac{\ \pi\ }{6} + s\pi \) y \( x = \dfrac{\ 5\pi\ }{6} + s\pi \), donde \( s \in \Z \)

\[2 \tan^2 x - 3 \tan x + 1 = 0\] Resolviendo la ecuación cuadrática para \(\tan x\): \[\tg x = \dfrac{\ 3 \pm \sqrt{\ (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1\ }}{ 2 \cdot 2 } = \dfrac{\ 3 \pm \sqrt{\ 9 - 8\ }\ }{ 4 } = \dfrac{\ 3 \pm \sqrt{\ 1\ }\ }{ 4 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 4 }{ 4 } = 1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 4 } = \dfrac{\ 1\ }{ 2 } \end{array} \] Las soluciones son:

- Si \( \tg x = 1 \)
\[ x = \dfrac{\ \pi\ }{4} + n\pi, n \in \Z \] - Si \( \tg x = \dfrac{\ 1\ }{ 2 } \)
\[ x = \dfrac{\ \pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \] \[ x = \dfrac{\ 5\pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \]

\[ \tan x = \cos x \] Lo primero que hacemos es sustituir la tangente por su definición: \[ \dfrac{\ \sen x\ }{ \cos x } = \cos x \Leftrightarrow \sen x = \cos^2 x \] Despejamos en la Relación Fundamental de la Trigonometría el $\cos^2 x$ y sustituimos en esta ecuación: $$ \cos^2 x = 1- \sen^2x \Rightarrow \sen x = 1 - \sen^2 x $$ Reordenando tenemos una ecuación de $\odn{2}{o}$ orden: $$ \sen^2 x + \sen x - 1 = 0 $$ Resolviendo tenemos: $$ \sen x = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)\ }}{ 2 \cdot 1 } = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 5\ }\ }{ 2 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{\ -1 + \sqrt{\ 5\ }\ }{ 2 } \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{\ -1 - \sqrt{\ 5\ }\ }{ 2 } < -1 \text{ No es solución válida. } \end{array} $$ Hemos calculado $\sen x$, ahora calcularemos $x$

- Si $ \sen x = \dfrac{\ -1 + \sqrt{\ 5\ }\ }{ 2 } \Rightarrow x = \arcsen \left ( \dfrac{\ -1 + \sqrt{\ 5\ }\ }{ 2 } \right ) = 0,67 \text{rad} = \gss{38,17} $ Las soluciones son: \[ x = 0,67 rad. + 2n\pi, n \in \Z \Longrightarrow x = \gss{ 38,17} + \gss{360} \cdot n \in \Z \] \[ x = 2,48 rad. + 2n\pi, n \in \Z \Longrightarrow x = \gss{141,83} + \gss{360} \cdot n \in \Z \]

\[ \mfrac{1}{ \sen \theta + \cos \theta } - \mfrac{1}{\sen \theta - \cos \theta} = 1 \]

Ampliación de Ecuaciones trigonométricas en este enlace, para ello es necesario saber el seno y el coseno de la suma de dos ángulos y alguna cosilla más.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Ecuaciones irracionales (con la incógnita en el radicando) y ejemplos.

  Una ecuación irracional es una ecuación donde la incógnita se encuentra en el radicando. Veamos algunos ejemplos: 

1. $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $
2. $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $ 
3. $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Vamos a verlo, pero antes tenemos que tener en cuenta una serie de cosas. 

En Matemáticas las raíces cuadradas las intentamos eliminar de dos formas:

• Racionalizando; 
• Elevando al cuadrado.

Para resolver este tipo de ecuaciones elegiremos la $2^{\underline{a}}$ opción, es decir, elevaremos al cuadrado. Pero al usar esta opción, tenemos un pequeño inconveniente, estamos añadiendo soluciones. Veamos esto con un ejemplo muy sencillo: 

Tenemos la ecuación $x = 3$, si elevamos al cuadrado, es decir, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad tenemos que  $x^2 = 9$ y las soluciones de esta ecuación son $x = 3$ que ya la sabíamos y $x = -3$ que no es solución, que ha aparecido por elevar al cuadrado. ¿Cuándo nos daremos cuenta de esto? Cuando comprobemos las soluciones de la ecuación original que estamos resolviendo. Así que siempre tenemos que comprobar las ecuaciones y siempre en la ecuación original, la que tenemos que resolver. 

Otra cosa a tener en cuenta, es que al elevar al cuadrado puede que tengamos una suma o una resta, es decir, tenemos que desarrollar el cuadrado de una suma o de una resta, cuidado, no dejarnos el doble producto, suele ser uno de los errores más comunes en este tipo de ejercicios: 

• $(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 
• $(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 

También tenemos que tener en cuenta las propiedades de las potencias en general y sobre todo una en particular: 

$$ (c \cdot d)^n = c^n \cdot d^n $$ 

Es decir, la potencia de un producto de varios factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores.

También conviene recordar como poner una raíz en forma de exponente fraccionario y recordar la siguiente propiedad: $$(a \cdot b)^{ \frac{\ 1\ }{2} } = \sqrt{\ a \cdot b \ } = \sqrt{\ a \ } \cdot \sqrt{\ b \ } = a^{ \frac{\ 1\ }{2} } \cdot b^{ \frac{\ 1\ }{2} } $$
$$(a \cdot b)^{ \frac{\ 1\ }{3} } = \sqrt[3]{\ a \cdot b \ } = \sqrt[3]{\ a \ } \cdot \sqrt[3]{\ b \ } = a^{ \frac{\ 1\ }{3} } \cdot b^{ \frac{\ 1\ }{3} } $$

Repasadas algunas cosas vamos a resolver este tipo de ecuaciones. 

$\bullet$ Veamos el $1^{\underline{er}}$ ejemplo: $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $ 

Podemos reordenarla de forma que dejamos la raíz  «aislada»  (solamente la raíz) en lado de la igualdad: 

$$2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x \Rightarrow 2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} $$

Y ahora con la raíz aislada en una lado de la ecuación elevamos al cuadrado: 

$$2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} \Rightarrow (2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 $$

Desarrollamos los cuadrados en ambos lados de la igualdad: 

$$(2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 \Rightarrow 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 9x$$ 

Agrupando y pasándolo todo a un lado de la igualdad tenemos:

$$4 + 4x + x^2 - 9x = 0 \Rightarrow x^2 -5x + 4 = 0 $$

Como la suma de los coeficientes es cero 1 es raíz; la otra raíz la sacamos ya que el producto de las dos raíces es 4 y una de ellas es 1, la otra es 4. Vamos a comprobar las raíces en la ecuación inicial: 

• $x = 1 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 2 - 3 = -1 \checkmark $ 
• $x = 4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{4} = -4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot 2 = -4 \Rightarrow 2 -6 = -4 \checkmark $ 

En este caso las dos soluciones son raíces de la ecuación inicial. 

$\bullet$ Veamos con el $2^{\underline{o}}$ ejemplo, la ecuación $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $. En este caso no se puede aislar una raíz en cada uno de los lados de la ecuación. El consejo en este caso es tener una raíz en cada uno de los lados de la ecuación: 

$$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 1 + \sqrt{x - 1} $$

y con una raíz en cada lado elevamos al cuadrado: 

$$ \left ( \sqrt{x + 1} \right )^2 = \left (1 + \sqrt{x - 1} \right)^2 $$

Desarrollamos cada uno de los cuadrados y tenemos: 

$$ x + 1 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1  $$ 

Agrupamos, simplificamos y dejamos la raíz asilada en lado de la ecuación como en el primer ejemplo: 

$$ x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow  1 =  2 \cdot \sqrt{x - 1} $$ 

Ahora estamos igual que en el primer ejercicio, volvemos a elevar al cuadrado y: 

$$ 1 = 2 \cdot \sqrt{x - 1} \Rightarrow 1 = 4 \cdot (x - 1) \Rightarrow 1 + 4 = 4x \Rightarrow x = \dfrac{5}{4} $$

Comprobemos la solución: 

$$ x = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{5}{4} + 1} - \sqrt{\dfrac{5}{4} - 1} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} - \sqrt{\dfrac{1}{4} } = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \checkmark $$ 

$\bullet$ Vamos con el $3^{\underline{er}}$ ejemplo: $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

Estamos en el mismo caso que en el anterior ejemplo, no podemos aislar una raíz en cada uno de los dos lados de la ecuación. Así que elevaremos al cuadrado y reordenaremos: 

$$\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)} \Rightarrow x + 3 + x - 1 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2 \cdot (x + 1) $$

Agrupando tenemos: 

$$ 2x + 2 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2x + 2  \Rightarrow - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 \Rightarrow \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 $$ 

$$ \sqrt{ (x - 1) \cdot (x + 3)} = 0  \Rightarrow (x - 1) \cdot (x + 3) = 0 $$

Claramente los candidatos a soluciones son $x = 1$ y $x = -3$. Vamos a comprobarlos: 

$x = -3 \Rightarrow \sqrt{- 3 + 3} - \sqrt{-3 - 1} = \sqrt{2 \cdot (-3 + 1)} \Rightarrow \sqrt{0} - \sqrt{-4} = \sqrt{-4} $ ✗ no tiene sentido hablar de raíces negativas $x= -3$ no es solución.

$x = 1 \Rightarrow \sqrt{1 + 3} - \sqrt{1 - 1} = \sqrt{2 \cdot (1 + 1)} \Rightarrow \sqrt{4} - \sqrt{0} = \sqrt{4} \Rightarrow 2 = 2 \checkmark  x = 1$ es solución.

Veamos unos ejercicios resueltos:

Este ejercicio tiene solamente una raíz cuadrada, así que la podemos aislar fácilmente:

$ \sqrt{3x - 3} = 4x - 13 $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ 3x - 3 = (4x - 13)^2 \Rightarrow 3x - 3 = 16x^2 - 104x + 169 \Rightarrow 16x^2 - 107x + 172 = 0 $


Resolvemos la ecuación de $2^{\underline{o}}$ grado y tenemos que:

$$ x = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{107^{2} - 4 \cdot 172 \cdot 16} }{2 \cdot 16} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{11.449 - 11.008} }{32} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{441} }{32} = \dfrac{ 107 \pm 21 }{32} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 128 }{ 32 } = 4 \Rightarrow x_1 = 4 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 86 }{ 32 } = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 4 \Rightarrow \sqrt{3 \cdot 4 - 3} = 4 \cdot 4 - 13 \Rightarrow \sqrt{9} = 16 - 13 \Rightarrow 3 = 16 - 14 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow \sqrt{3 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 3} = 4 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 13 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 129 - 48 }{ 16 } } = \dfrac{ 43 - 52 }{ 4 } \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 81 }{ 16 } } = \dfrac{ -9 }{ 4 } \Rightarrow \dfrac{ 9 }{ 4} = \dfrac{ -9 }{ 4 } $ ✗ que no es solución.

Este ejercicio tiene dos raíces, aislar una de ellas es fácil, la otra la pasamos al otro lado de la ecuación

$ \sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{2x + 3} = 2 + \sqrt{x - 2} $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ \left ( \sqrt{2x + 3} \right ) = \left ( 2 + \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow 2x + 3 = 4 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} + x - 2 \Rightarrow 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} $


Agrupamos y dejamos la raíz aislada en un lado de la ecuación

$ 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} \Rightarrow x + 1 = 4 \cdot \sqrt{x - 2} $

Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$ (x + 1)^2 = \left (4 \cdot \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16 \cdot (x - 2) \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16x - 32 \Rightarrow x^2 - 14x + 33 = 0 $

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 33} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{196 - 132} }{2} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{64} }{2} = \dfrac{ 14 \pm 8 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 22 }{ 2 } = 11 \Rightarrow x_1 = 11 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 6 }{ 2 } = 3 \Rightarrow x_2 = 3 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 11 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 11 + 3} - \sqrt{11 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{25} -\sqrt{9} = 2 \Rightarrow 5 - 3 = 2 \checkmark $

$x_2 = 3 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 3 + 3} - \sqrt{3 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{ 9 } - \sqrt{1} = 2 \Rightarrow 3 - 1 = 2 \checkmark $

En este caso las dos soluciones cumplen la ecuación.

Pasamos una raíz al otro lado de la igualdad, da igual la que pasemos pero es mejor pasar la que está restando:

$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7} = 2\sqrt{x - 3} $$ Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad y desarrollamos:

$$(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7})^2 = (2\sqrt{x - 3})^2 \Rightarrow x - 1 + x - 7 + 2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 4(x - 3) $$

Reordenando y simplificando tenemos:

$$2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 2(x - 2) \Rightarrow \sqrt{(x - 1)(x - 7)} = (x - 2) $$

Volvemos a elevar al cuadrado por segunda vez, desarrollamos y agrupamos

$$\left ( \sqrt{(x - 1)(x - 7)} \right )^2 = (x - 2)^2 \Rightarrow x^2 - 8x + 7 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow - 4x = - 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{4}$$

Comprobamos la solución en la ecuación inicial:

$x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{4} - 1} + \sqrt{\dfrac{3}{4} - 7} - 2\sqrt{\dfrac{3}{4} - 3} = 0 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{-1}{4} } + \sqrt{ \dfrac{-25}{4} } - 2\sqrt{ \dfrac{-9}{4} } = 0 $ ✗

Todas las raíces son negativas por lo tanto, no tiene soluciones reales.

Aislamos la raíz en un lado de la ecuación, elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \sqrt{x} = 30 - x \Rightarrow x = (30 - x)^2 \rightarrow x = 900 - 60x + x^2 \Rightarrow x^2 - 61x + 900 = 0 $$ Ahora resolvemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado

$$ x = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 900} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{3721 - 3600} }{2} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{121} }{2} = \dfrac{ 61 \pm 11 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 72 }{ 2 } = 36 \Rightarrow x_1 = 36 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 50 }{ 2 } = 25 \Rightarrow x_2 = 25 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x = 36 \Rightarrow \sqrt{36} = 30 - 36 \Rightarrow 6 = 30 - 36 \Rightarrow 6 = -6 $ ✗ luego no es solución

$x = 25 \Rightarrow \sqrt{25} = 30 - 25 \Rightarrow 5 = 30 - 25 \checkmark $ luego sí es solución

Tenemos dos raíces, dejamos una en cada lado, vamos como están, elevamos al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ \sqrt{x} + 1 = \sqrt{x + 9} \Rightarrow \left ( \sqrt{x} + 1 \right )^2 = \left (\sqrt{x + 9} \right)^2 \Rightarrow x + 2 \cdot \sqrt{x} + 1 = x + 9 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{x} = 8 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 $$ Volvemos a elevar al cuadrado y ya lo tenemos

$ x = 16 $, vamos a comprobarlo $ \sqrt{16} + 1 = \sqrt{16 + 9} \Rightarrow 4 + 1 = \sqrt{25} \Rightarrow 4 + 1 = 5 \checkmark $ es solución.

Tal y como está elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \left( 2 \cdot \sqrt{2x - 1} \right )^2 = \left ( \sqrt{6x - 5} + \sqrt{2x - 9} \right )^2 \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 6x - 5 + 2x - 9 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 8x - 14 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 2 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4x - 2 = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 5 = \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} $$ Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ 25 = (6x - 5) \cdot (2x - 9) \Rightarrow 25 = 12x^2 - 54x - 10x + 45 \Rightarrow 12x^2 - 64x + 20 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 16x + 5 = 0 $$ Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5} }{2 \cdot 3} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{256 - 60} }{6} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{196} }{6} = \dfrac{ 16 \pm 14 }{6} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 30 }{ 6 } = 5 \Rightarrow x_1 = 5 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 6 } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 5 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{6 \cdot 5 - 5} + \sqrt{2 \cdot 5 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{10 - 1} = \sqrt{30 - 5} + \sqrt{10 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{9} = \sqrt{25} + \sqrt{1} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 2 \cdot 3 = 5 + 1 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot \dfrac{ 1 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ 2 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ -1 }{ 3 } } $ ✗ que no tiene sentido. Luego no es solución.

Tal y como está hacemos el producto en cruz:

$$ 2 \cdot \sqrt{\ x\ } \cdot 2 \cdot \sqrt{\ x\ } = \left ( 5 + \sqrt{\ x\ }\right ) \cdot \left ( 5 - \sqrt{\ x\ } \right ) \Leftrightarrow 4 x = 25 - x \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5 $$
Vamos a comprobar la solución $x = 5$, siempre en la ecuación inicial:

$$ \dfrac{\ 2 \cdot \sqrt{\ 5\ } }{\ 5 - \sqrt{\ 5\ }\ } = \dfrac{\ 5 + \sqrt{\ 5\ }\ }{ 2\sqrt{\ 5\ } } \Leftrightarrow 4 \cdot 5 = 25 - 5 \Leftrightarrow 20 = 20 \checkmark $$

Veamos otro tipo de ejercicios pero también con radicales:

Elevemos al cuadrado los dos lados de la ecuación, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (1 - x \right )^2 = \left ( \sqrt{1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} } \right )^2 \Rightarrow 1 - 2x + x^2 = 1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \Rightarrow - 2x + x^2 = - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} $$

Nos queda una raíz y por tanto volvemos a elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (- 2x + x^2 \right )^2 = \left (- x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \right )^2 \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = x^2 \cdot (4 - 7x^2) \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = 4x^2 - 7x^4 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 8x^4 - 4x^3 = 0 \Rightarrow 4x^4 \cdot (2x - 1) = 0 $$

Las soluciones de la ecuación son $x = 0$ y $x = \dfrac{1}{2}$. Vamos a comprobarlo

$x = 0 \Rightarrow 1 - 0 = \sqrt{1 - 0 \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot 0^2} } \Rightarrow 1 = 1 \checkmark $

$x = \dfrac{1}{2} $

Por un lado tenemos que $ 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} $;

Por otro lado $ \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right ) ^2} } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - \dfrac{7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{16 - 7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{9}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} } = $

$ = \sqrt{1 - \dfrac{3}{4} } = \sqrt{ \dfrac{1}{4} } = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \checkmark $

Las dos soluciones de la ecuación transformada son solución de la ecuación original.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Funciones cuadráticas - Parábolas - En la ESO

Parábolas - Funciones cuadráticas

Vamos a estudiar las parábolas como la representación geométrica de una función polinómica de grado 2, es decir, $f(x) = ax^2 + bx + c$. 

Siguiendo esta serie de pasos podemos dibujar cualquier parábola: 

$1^{\underline{\circ}}$ Saber la dirección de las ramas de la parábola viendo el signo del coeficiente del monomio $a \cdot x^2$, es decir, por $a$: 

Si $a > 0$ las ramas de la parábola van hacia arriba; si $a < 0$ las ramas de la parábola van hacia abajo.

Cuánto mayor sea el valor absoluto de $|a|$ menos amplitud tendrá la parábola y 

cuánto menor sea el valor absoluto de $|a|$ más amplitud tendrá la parábola.

$2^{\underline{\circ}}$ Calcular el vértice de la parábola $V = \left ( \dfrac{-b}{2a}, f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) \right )$.  Tenemos que calcular $f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right )$ 

$$f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) = a  \cdot \left ( \dfrac{-b}{2a} \right )^2 + b \cdot \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) + c = \dfrac{ab^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{2a} + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{2b^2}{4a} + \dfrac{4ac}{4a} = \dfrac{4ac - b^2}{4a} $$

NOTAS: 

• Si la parábola va hacia arriba el vértice es un mínimo.
• Si la parábola va hacia abajo el vértice es un máximo. 

$3^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OY$, «siempre» va a cortar a este eje $Y$, el eje de ordenadas, lo hará cuando $x = 0$ y así el punto de corte será el punto de coordenadas $(0, c)$.

$4^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OX$, cortará a este eje $X$ , el eje de abscisas, cuando la $y = 0$, para saber en que puntos corta la parábola a dicho tenemos que resolver la siguiente ecuación: 

$$ 0 = ax^2 + bx + c$$ 

Al eje $X$ «NO siempre» le corta. Ya sabemos que resolviendo este ecuación tenemos tres casos: 

1. No hay solución $\rightarrow$ la parábola no corta al eje $X$; 
2. Hay una solución (doble) $x_1 \rightarrow$ la parábola corta al eje $X$ en un único punto de coordenadas $(x_1, 0)$, es decir, el eje $X$ es tangente a la parábola;
3. Hay dos soluciones distintas $x_1$ y $x_2$, la parábola corta al eje $X$ en dos puntos distintos de coordenadas respectivamente $(x_1, 0)$ y $(x_2, 0)$.  

NOTA: 

Si la parábola va hacia arriba y el vértice está por encima del eje $X$, es claro que la parábola no cortará al eje $X$ (Caso 1).

Lo mismo si la parábola va hacia abajo y el vértice está por debajo del eje X. 

Parábolas hacia abajo: 

$5^{\underline{\circ}}$ Eje de simetría: La recta $x = \mfrac{-b}{2a}$ es el eje de simetría, es una recta paralela al eje $Y$ que pasa por el vértice de la parábola. Si doblaramos el plano por dicha recta las dos ramas de la prábola coincidirían.

$6^{\underline{\circ}}$ Dibujar la gráfica con los puntos calculados. Si hicieran falta más puntos se pueden calcular haciendo una tabla numérica.

Vamos a ver dos ejemplos: 

El $1^{\underline{er}}$ ejemplo, la parábola $y = x^2 - 12x + 11 $. Vamos a calcular los pasos anteriores:

1. $a = 1 > 0$ luego las ramas de la parábola van hacia arriba.
2. Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $  \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{12}{2} = 6$ y la componente $y$ es $f(6) = 36 - 72 + 11 = -25$ luego el vértice tiene de coordenadas $V = (6, -25)$. Como el vértice está por debajo del eje $X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes. 
3. Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$ así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, 11)$ 
4. Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la ecuación $x^2 - 12x + 11 = 0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto de las raíces es 11 entonces la otra raíz es 11. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $(11, 0)$. 
5. Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados: 

El $2^{\underline{\circ}}$ ejemplo, la parábola $y = -3x^2 + 5x -2 $. Vamos a calcular los pasos anteriores:

1. $a = -3 < 0$ luego las ramas de la parábola van hacia abajo.
2. Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $  \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-5}{-6} = \dfrac{5}{6}$ y la componente $y$ es $f \left (\dfrac{5}{6} \right) = \dfrac{24 - 25}{-12} = \dfrac{1}{12}$ luego el vértice tiene de coordenadas $V = \left (\dfrac{5}{6}, \dfrac{1}{12} \right )$. Como el vértice está por encima del eje $X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes. 
3. Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$ así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, -2)$ 
4. Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la ecuación $-3x^2 + 5x - 2 = 0$ que es lo mismo que resolver $3x^2 - 5x + 2 = 0$, sacamos 3 factor común $x^2 - \dfrac{5x}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto de las raíces es $\dfrac{2}{3}$ entonces la otra raíz es $\dfrac{2}{3}$. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $\left (\dfrac{2}{3}, 0 \right )$. 
5. Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados:

Y eso es todo ... por ahora.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Según la existencia y la unicidad de las soluciones, los sistemas de ecuaciones se clasifican:

$$ \large \matrix{ \text{ Sistemas } \cr \text{de} \cr \text{ecuaciones} } = \cases{ \textbf{Compatible} \text{, el sistema tiene solución } \large \cases{ \textbf{Determinado} \text{: solución única. } \cr \cr \textbf{Indeterminado} \text{, infinitas soluciones } } \cr \cr \textbf{Incompatible} \text{, el sistema no tiene solución. } \cr } $$

Vamos a resolver varios sistemas de ecuaciones usando los cuatro métodos.

$$\huge \fbox{ Método de Sustitución} $$

«Consiste en despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en la otra.»

Lo que nos da cuatro opciones: 

• Despejar la $x$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $x$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera;
• Despejar la $y$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $y$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 5x + 2y = 11 \cr \cr 2x - 3y = 12 } $$

Vamos a despejar la $x$ en la primera ecuación, así $x = \dfrac{11 - 2y}{5}$; Y ahora sustituimos en la segunda ecuación:

$$2\left ( \dfrac{11 - 2y}{5} \right ) - 3y = 12 \text{ Multiplicando por 5 ambos lados de la ecuación tenemos } $$

$$2\left ( 11 - 2y \right ) - 15y = 60 \Leftrightarrow 22 - 4y - 15y = 60 \Leftrightarrow -19y = 38 \Leftrightarrow y = - 2$$

Sabiendo el valor de $y$, calculemos el de $x, x  = \dfrac{11 - 2(-2)}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$. 

Vamos a comprobar el sistema: 

$$ \large \cases{ 5 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 15 - 4 = 11 \checkmark \cr \cr 2\cdot 3 - 3 \cdot (-2) = 6 + 6 = 12 \checkmark \cr } $$

Siempre hay que comprobar las soluciones.

En todas y cada una de las ecuaciones que forman el sistema.

$$\huge \fbox{ Método de Igualación} $$

«Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualarlas.»

Lo que nos da dos opciones: 

• Despejar la $x$ en las dos ecuaciones e igualarlas;
• Despejar la $y$ en las dos ecuaciones e igualarlas.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 3x + 2y = 7 \cr 2x - 3y = 9 } $$

De la $\odn{1}{a}$ ecuación despejamos $y$, $ 3x + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 7 - 3x \Rightarrow y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2}$ (1)

De la $\odn{2}{a}$ ecuación despejamos también $y$, $2x - 3y = 9 \Rightarrow - 3y = 9 - 2x \Rightarrow 3y = -9 + 2x \Rightarrow y = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} $ (2)

Igualamos ambas expresiones de $y$ en (1) y (2):

$$ \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} \Leftrightarrow 3 \cdot \left ( 7 - 3x \right ) = 2 \cdot \left ( -9 + 2x \right )$$

$$ 21 - 9x = - 18 + 4x \Leftrightarrow 39 = 13 x \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 39\ }{13} = 3 $$

Sustituyendo en cualquiera de las dos expresiones (1) o (2) donde tenemos despejada la $y$ tenemos:

$$ y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ 7 - 3 \cdot 3 \ }{2} = \dfrac{\ 7 - 9\ }{2} = \dfrac{\ - 2\ }{2} = -1 $$

Ya hemos solucionado el sistema. Vamos con la comprobación:

$$ \left \{ \begin{array}{l} 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 9 - 2 = 7 \checkmark \cr \cr 2 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) = 6 + 3 = 9 \checkmark \cr \end{array} \right . $$

$$\huge \fbox{ Método de Reducción} $$

«Consiste en conseguir un sistema equivalente donde alguna de las incógnitas tengan el mismo coeficiente (o su opuesto), que será el mínimo común múltiplo de los coeficientes de la incógnita elegida. Para ello vamos a multiplicar una de las ecuaciones o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) para que los coeficientes de la $x$ o los de la $y$ sean iguales (u opuestos). A continuación se suman (o restan) las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita.»

1. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
2. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
3. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta

Para este paso hay dos opciones:

• Se repite el proceso con la otra incógnita.
• Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

Vamos a despejar la $y$, para ellos queremos conseguir el mismo coeficiente (o el opuesto) en las $x$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por -5:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow {\ \ \ -5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10x + \ 4y \ = \ 22 \cr \cr -10x + 15y = -60 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 19y = -38 \Rightarrow y = -2 \end{array} $$

Ahora tenemos dos opciones:

1.- Aplicando el método de reducción para despejar la $x$, para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ 3\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow{\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{15x + \ 6y \ = \ 33 \cr \cr \ \ 4x \ - 6y \ = \ 24 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 19x \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 57 \Rightarrow x = 3 \end{array} $$

2.- Sustituir en alguna de las ecuaciones la $y$ por -2 y calcular el valor de $x$. 

$$ 5x + 2 \cdot (-2) = 11 \Leftrightarrow 5x = 15 \Leftrightarrow x = 3 $$

Ya hemos solucionado el sistema. La comprobación la tenemos hecha en el método de sustitución. 

$$\huge \fbox{ Método Gráfico } $$

Consiste en representar las gráficas de las rectas asociadas a cada una de las ecuaciones del sistema para deducir su solución.
Recordemos que dos rectas en el plano tienen tres posibilidades:

1. Rectas secantes, se cortan en un único punto, la solución es única. Sistema compatible determinado.
2. Rectas coincidentes, infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado.
3. Rectas paralelas, no se cortan,  no existe solución. Sistema incompatible.

Para dibujar cada una de las rectas del sistema, seguimos los siguientes pasos:

• Despejamos una incógnita, normalmente la $y$;
• Damos valores y calculamos dos puntos de la recta (de los infinitos que tiene);
• Dibujamos en un sistema de referencia cartesiana los dos puntos obtenidos y trazamos la recta que pasa por ambos puntos.

De la $\odn{1}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{11 - 5x}{2} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 1 & 3 \cr 3 & -2 \end{array} \qquad \qquad$ De la $\odn{2}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{2x - 12}{3} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 6 & 0 \cr 3 & -2 \end{array} $

Veamos la gráfica:

     Truco - Coordenadas enteras     

     A la hora de buscar puntos para dibujarlos, siempre que podamos escogeremos puntos con las coordenadas $x$ e $y$ enteras. Para ello lo primero que haremos será despejar una variable (dependiente) en función de la otra (independiente). Si no hay denominador ya trabajamos con coordeadas enteras; si lo hubiera, a la variable independiente le sumamos un múltiplo cualquiera del denominador y ya tendríamos un punto cualquiera de la recta con coordenadas enteras.

Veamos un ejemplo:

    En la primera ecuación, despejamos la coordenada $y$, tenemos $y = \dfrac{\ \ 11 - 5x \ \ }{2}$; hemos obtenido el punto $(x, y) = (1, 3)$. Si ahora a la coordenada $x = 1$ de este punto, le sumamos un múltiplo del denominador de la $y$ en este caso 2, obtendremos otro punto con coordenadas enteras. Así un múltiplo del denominador puede ser $..., -8, -6 , -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ... $, tomamos por ejemplo 4, si $x = 1 + 4 = 5$, tenemos que $y = -7$, es decir, hemos obtnido otro punto con coordenadas enteras $(x, y) = (5, -7)$. Lo mismo ocurrirá, si $ x = 1 - 4 = -3$, tenemos que $ y = 13$, etc.


    En la 1ª ecuación, si en lugar de despejar $y$, despejamos $x = \dfrac{\ \ 11 - 2y\ \ }{5}$, tenemos que buscar un punto con coordenadas enteras, es lo que más cuesta. En este caso, si $y = -2$ tenemos que $x = 3$, el punto sería el $(x, y) = (3, -2)$. Si ahora sumamos a la coordenada $y$ un múltiplo del denominador 5, tenemos que $y = -2 + 10 = 8$ y así $x = -1$.

    Si cogemos la segunda ecuación tenemos $ y = \dfrac{\ \ 2x - 12\ \ }{3} $ y hemos obtenido el punto $(, y) = (0, -4)$. Si ahora a la coordenada $x$ le sumamos un múltiplo del denominador, que en este caso 3, tenemos $x = 0 + 9 = 9$ así $y = 2$. Otros puntos los obtendríamos para valores de $x = -3, y = -6$.

    Si cogemos la 2ª ecuación y despejamos $ x = \dfrac{\ \ 12 + 3y\ \ }{2} $ y obtenemos el punto $(x, y) = (6, 0)$, ahora a la coordenada $y$ le sumamos cualquier múltiplo de 2 y obtenemos puntos de la recta con coordenadas enteras, por ejemplo, $y = 4$, nos da el valor de $x = 12$.

     Comprueba el sistema     

Aquí os dejo un enlace donde podéis comprobar por el método gráfico la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:





Aquí tienes unos sistemas de ecuaciones resueltos por los métodos sustitución, igualación y reducción. Vamos a ello:

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{1}{a}$ ecuación la variable $x$ y tenemos que: $$ 9x = 2y - 3 \Rightarrow x = \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} (1) $$ sustituimos este valor de $x$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 7y - 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 12\ }{9} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow $$ Multiplicando por 3: $$ 3 \cdot 7y - 3 \cdot \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 3 \cdot 17 \Rightarrow 21y - 4 \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 51 \Rightarrow $$ $$ 21y - 8y + 12 = 51 \Rightarrow 13y = 39 \Rightarrow y = \dfrac{\ 39\ }{ 13 } = 3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ x = \dfrac{\ 2 \cdot 3 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 6 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 3\ }{9} = \dfrac{\ 1\ }{3} $$

Veamos el método de igualación. Vamos a despejar $y$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $9x + 3 = 2y \Rightarrow y = \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $y$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7y = 12x + 17 \Rightarrow y = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (9x + 3) = 2 \cdot (12x + 17) \Rightarrow 63x + 21 = 24x + 34 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 39x = 13 \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{ 39 } = \dfrac{\ 1\ }{3} $$ Sustituyendo la $x$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $y$ obtenemos su valor: $$ y = \dfrac{\ 12 \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} + 17\ }{7} = \dfrac{\ 4 + 17\ }{7} = \dfrac{\ 21\ }{7} = 3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $x$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 63x - 14y \ = \ -21 \cr \cr -24x + 14y = 34 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 39x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 13 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{39} = \dfrac{\ 1\ }{3} \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $y$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 4 y la $\odn{2}{a}$ por 3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 4\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 3\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 36x - 8y \ = \ -12 \cr \cr -36x + 21y = 51 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 13y\ \ \ = 39 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow y = \dfrac{39}{\ 13\ } = 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $n$ y tenemos que: $$ 2n = -23 - 5m \Rightarrow n = \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} (1) $$ sustituimos este valor de $n$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2m - 5 \cdot \left ( \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} \right ) = 14 \Rightarrow 2m - \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 14 \Rightarrow $$ Multiplicando por 2: $$ 2 \cdot 2m - 2 \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 2 \cdot 14 \Rightarrow 4m - 5 \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 28 \Rightarrow 4m + 5 \cdot (23 + 5m) = 28 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4m + 115 + 25m = 28 \Rightarrow 29m = -87 \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{29} = -3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ n = \dfrac{\ -23 - 5 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ -23 + 15\ }{2} = \dfrac{\ -8\ }{2} = -4 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $m$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2m - 5n = 14 \Rightarrow 2m = 14 + 5n \Rightarrow m = \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $m$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $5m = -23 - 2n \Rightarrow m = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $$ Multiplicamos por 10 y nos quedará: $$ 10 \cdot \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = 10 \cdot \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} \Rightarrow 5 \cdot (14 + 5n) = 2 \cdot (-23 - 2n) \Rightarrow 70 + 25n = -46 - 4n \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 29n = -116 \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{ 29 } = -4 $$ Sustituyendo la $n$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $m$ obtenemos su valor: $$ m = \dfrac{\ 14 + 5 \cdot (-4)\ }{2} = \dfrac{\ 14 - 20\ }{2} = \dfrac{\ -6\ }{2} = -3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $n$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ -2\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10m - 25n \ = \ 70 \cr \cr -10m - 4n = 46 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -29n \ \ \ \ \ \ \ = 116 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{29} = -4 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $m$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 2 y la $\odn{2}{a}$ por 5:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ 5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 4m - 10n \ = \ 28 \cr \cr 25m + 10n = -115 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 29m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -87 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{ 29 } = - 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $q$ y tenemos que: $$ 5q = 27 - 7p \Rightarrow q = \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} (1) $$ sustituimos este valor de $q$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2p - 3 \cdot \left ( \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} \right ) = 21 \Rightarrow 2p - \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 21 \Rightarrow $$ Multiplicando por 5: $$ 5 \cdot 2p - 5 \cdot \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 5 \cdot 21 \Rightarrow 10p - 3 \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 105 \Rightarrow 10p - 81 + 21p = 105 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 31p = 186 \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ q = \dfrac{\ 27 - 7 \cdot 6\ }{5} = \dfrac{\ 27 - 42\ }{5} = \dfrac{\ -15\ }{ 5 } = -3 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $p$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2p - 3q = 21 \Rightarrow 2p = 21 + 3q \Rightarrow p = \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $p$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7p = 27 - 5q \Rightarrow p = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (21 + 3q) = 2 \cdot (27 - 5q) \Rightarrow 147 + 21q = 54 - 10q \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 93 = -31q \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = -3 $$ Sustituyendo la $q$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $p$ obtenemos su valor: $$ p = \dfrac{\ 21 + 3 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ 21 - 9\ }{2} = \dfrac{\ 12\ }{2} = 6 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $p$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por -3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -3\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10p - 15q \ = 100 \cr \cr 21p + 15q = 81 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 31p\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 186 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $q$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por -2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -7\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 14p - 21q \ = 147 \cr \cr -14p - 10q = -54 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -31q\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 93 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = - 3 \end{array} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com