Teoremas de Weierstrass, Bolzano, Rolle y del valor medio.

Teorema de Weiersttrass (Weierstraß):

Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en algún punto de ese intervalo.

Teorema de Bolzano:

Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, con $f(a) \cdot f(b) < 0 $ ( la función toma valores de signo contrario en los extremos), entonces existe al menos un valor $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Propiedad de Darboux:

Si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y $k$ es cualquier número entre $f(a)$ y $f(b) \left (k \in ( f(a), f(b) ) \right )$, entonces existe un valor $d$ entre $a$ y $b$ ($ d \in (a, b)$) para el cual $f(d) = k$.

Teorema de Rolle:

Sea $f:[a, b] \to \mathbb {R}$ es una función continua en un intervalo cerrado $\displaystyle [a,b] $ diferenciable en el intervalo abierto $ \displaystyle (a,b) $ y que cumple $ f(a) = f(b) $ entonces existe al menos un punto $c \in (a, b) $ tal que $ f'(c) = 0$.

Teorema del valor medio:

Sea $f:[a, b] \to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ entonces existe al menos un punto $c \in (a, b) $ tal que \[ f'(c) = \dfrac{\ f(b) - f(a)\ }{ b - a } \]