Límites: Regla de L'Hôpital.

La Regla de L'Hôpital se aplica a las indeterminaciones del tipo $\zdivz$ y $\idivi$.

Regla de L’Hôpital Sean $f,g: \R \longrightarrow \R$ funciones derivables en algún intervalo abierto que contenga a $a \in \R$, excepto posiblemente en $a$.

Supongamos que $g'(x)$ nunca es cero y que se cumple una de las siguientes condiciones:

1. $ \milmt{x}{a}{\ f(x)\ } = 0 \text{ y } \milmt{x}{a}{\ g(x)\ } = 0 $
2. $ \milmt{x}{a}{\ | f(x) |\ } = \infty \text{ y } \milmt{x}{a}{\ | g(x) |\ } = \infty $

entonces si existe $$ \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f'(x) }{ g'(x) } } $$ Se cumple: $$ \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f'(x) }{ g'(x) } } = \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f(x) }{ g(x) } } $$ $$ \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f(x) }{ g(x) } } = \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f(x) - f(a) }{ g(x) - g(a) } } = \milmt{x}{a}{ \mfrac{ \mfrac{ f(x) - f(a) }{x - a} } { \mfrac{ g(x) - g(a) }{x - a} } } = \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f'(x) }{ g'(x) } } $$ (i) \( \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \sen x\ }{ x } } \)

\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \sen x\ }{ x } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \cos x\ }{ 1 } } = \milmt{x}{0}{ \cos x\ } = 1 \] (ii) $\milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \tg x - x\ }{x - \sen x} }$

\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \tg x - x\ }{x - \sen x} } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ 1 + \tg^2 x - 1\ }{1 - \cos x} } = \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \tg^2 x \ }{1 - \cos x} } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} = \] \[ = \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ 2 \tg x (1 + \tg^2 x) \ }{ \sen x} } = \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ 2 (1 + \tg^2 x) \ }{ \cos x} } = 2 \] (iii) \( \milmt{x}{0}{ \mfrac{(1 + x)^4 - 1 }{ x } } \)

Este límite se puede hacer de varias formas, pero lo haremos usando L'Hôpital:
\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{(1 + x)^4 - 1 }{ x } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{ 4(1 + x)^3 }{ 1 } } = \milmt{x}{0}{ \ 4(1 + x)^3 } = 4 \] Ejercicio: ¿De cuántas formas se puede hacer este límite?

Si las funciones $f(x)$ y $g(x)$ son derivables $n$-veces, la regla de l'Hôpital se puede aplicar $n$-veces.

\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{ 1 - \cos x}{ 5x^2 } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{ \sen x}{ 10x } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{}{ \mfrac{ \cos x}{ 10 } } = \mfrac{ 1 }{ 10 } \] Se pueden resolver las indeterminaciones del tipo $\idivi$ haciendo la doble inversión: \[ \idivi = \mfrac{ \mfrac{ 1 }{ \infty} }{ \mfrac{ 1 }{ \infty} } = \zdivz \] Se pueden resolver también indeterminaciones de los tipos: \[ 0 \cdot \infty = 0 \cdot \mfrac{ 1 }{ 0 } = \mfrac{ 0 }{ 0 } \qquad \qquad 0 \cdot \infty = \mfrac{ 1 }{ \infty } \cdot \infty = \mfrac{ \infty }{ \infty } \]

\[ \milmt{x}{e}{ \mfrac{ \ln(x) - 1}{ x - e } } = \zdivz \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{e}{ \mfrac{ \mfrac{1}{x} }{ 1 } } = \milmt{x}{e}{ \mfrac{1}{x} } = \mfrac{1}{e} = e^{-1} \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com