Historia:
A finales del siglo XVII y principios del XVIII, las matemáticas estaban explotando con nuevas ideas. El cálculo acababa de ser inventado. Guillaume de l’Hôpital era un noble francés adinerado apasionado por las matemáticas, pero no precisamente un genio. Contrató a uno de los matemáticos jóvenes más brillantes de la época, Johann Bernoulli, como tutor personal. Bernoulli era tan talentoso que L’Hôpital le hizo una oferta increíble: un salario anual de 300 francos a cambio de todas las nuevas descubrimientos que hiciera. Sí, L’Hôpital compraba teoremas. Cada vez que Bernoulli encontraba algo nuevo, se lo enviaba a su empleador. En 1696, L’Hôpital publicó el primer libro de texto de cálculo, «Analyse des Infiniment Petits». Allí se presentó la famosa Regla de L’Hôpital, cómo manejar límites indeterminados como «0/0». Pero aquí viene el giro: la regla, y gran parte del libro, fueron escritos en realidad por Bernoulli. Tras la muerte de L’Hôpital, Bernoulli reveló la verdad y mostró las cartas que probaban el acuerdo. Aun así, el nombre de L’Hôpital quedó asociado a la regla, un recordatorio de que a veces en la ciencia el dinero compra fama. Hoy en día, todo estudiante de cálculo aprende la Regla de L’Hôpital, aunque el verdadero autor fue Johann Bernoulli. De @Math_Files
La Regla de L'Hôpital se aplica a las indeterminaciones del tipo $\zdivz$ y $\idivi$.
Regla de L’Hôpital Sean $f,g: \R \longrightarrow \R$ funciones derivables en algún intervalo abierto que contenga a $a \in \R$, excepto posiblemente en $a$.
Supongamos que $g'(x)$ nunca es cero y que se cumple una de las siguientes condiciones:
- $ \milmt{x}{a}{\ f(x)\ } = 0 \text{ y } \milmt{x}{a}{\ g(x)\ } = 0 $
- $ \milmt{x}{a}{\ | f(x) |\ } = \infty \text{ y } \milmt{x}{a}{\ | g(x) |\ } = \infty $
\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \sen x\ }{ x } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \cos x\ }{ 1 } } = \milmt{x}{0}{ \cos x\ } = 1 \] (ii) $\milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \tg x - x\ }{x - \sen x} }$
\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \tg x - x\ }{x - \sen x} } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ 1 + \tg^2 x - 1\ }{1 - \cos x} } = \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ \tg^2 x \ }{1 - \cos x} } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} = \] \[ = \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ 2 \tg x (1 + \tg^2 x) \ }{ \sen x} } = \milmt{x}{0}{ \mfrac{\ 2 (1 + \tg^2 x) \ }{ \cos x} } = 2 \] (iii) \( \milmt{x}{0}{ \mfrac{(1 + x)^4 - 1 }{ x } } \)
Este límite se puede hacer de varias formas, pero lo haremos usando L'Hôpital:
\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{(1 + x)^4 - 1 }{ x } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{ 4(1 + x)^3 }{ 1 } } = \milmt{x}{0}{ \ 4(1 + x)^3 } = 4 \] Ejercicio: ¿De cuántas formas se puede hacer este límite?
Si las funciones $f(x)$ y $g(x)$ son derivables $n$-veces, la regla de l'Hôpital se puede aplicar $n$-veces.
\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{ 1 - \cos x}{ 5x^2 } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{ \sen x}{ 10x } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{}{ \mfrac{ \cos x}{ 10 } } = \mfrac{ 1 }{ 10 } \] Se pueden resolver las indeterminaciones del tipo $\idivi$ haciendo la doble inversión: \[ \idivi = \mfrac{ \mfrac{ 1 }{ \infty} }{ \mfrac{ 1 }{ \infty} } = \zdivz \] Se pueden resolver también indeterminaciones de los tipos: \[ 0 \cdot \infty = 0 \cdot \mfrac{ 1 }{ 0 } = \mfrac{ 0 }{ 0 } \qquad \qquad 0 \cdot \infty = \mfrac{ 1 }{ \infty } \cdot \infty = \mfrac{ \infty }{ \infty } \]
\[ \milmt{x}{e}{ \mfrac{ \ln(x) - 1}{ x - e } } = \zdivz \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{e}{ \mfrac{ \mfrac{1}{x} }{ 1 } } = \milmt{x}{e}{ \mfrac{1}{x} } = \mfrac{1}{e} = e^{-1} \]
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