Razones trigonométricas de los ángulos notables entre 0 y 2$\pi$ [0º, 360º]. Conversiones varias.

Grado sexagesimal tiene como base el número 60. El grado sexagesimal se define como una de las 360 partes iguales en las que se divide una circunferencia. Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos, y cada minuto se divide en 60 segundos. Los grados, minutos y segundos se representan respectivamente como: $\gss{a}, b'$ y $c''$.

Un radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma.

2$\pi$ radianes = $\gss{360} \Rightarrow $ 1 radián $ = \dfrac{\ \pi \ }{ \gss{180} } = 57,2957 ... = \gss{57} 17' 44,81''$ 

Circle radians, de Lucas V. Barbosa. Licencia bajo dominio público vía Wikimedia Commons.

¿Cómo pasar de grados a radianes? Multiplicamos los grados por $\dfrac{\pi}{ \gss{180} }$. Ejemplo:
$$\gss{30} \Rightarrow \gss{30} \cdot \dfrac{\pi}{ \gss{180} } = \dfrac{\gss{30} \cdot \pi}{ \gss{180} } = \dfrac{\pi}{6} \text{ rad.}$$ 

¿Cómo pasar de radianes a grados? Multiplicamos los radianes por $\dfrac{ \gss{180} }{\pi}$. Ejemplo:
$$\dfrac{3\pi}{4} \text{ rad. }  \Rightarrow \dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{ \gss{180} }{\pi} = \dfrac{3 \pi \gss{180} }{ 4 \pi } = \dfrac{ 3 \cdot \gss{180} }{ 4 } = \dfrac{ \gss{540} }{ 4 } = \gss{135} $$ 


¿Cómo pasar de grados decimales a grados, minutos y segundos sexagesimales? Los grados se quedan igual. La parte decimal la multiplicamos por 60, la parte entera del resultado serán los minutos; cogemos la parte decimal y la volvemos a multiplicar por 60, redondeamos y eso serán los segundos. 

Ejemplo: $130,646^{\circ}$ 

Los grados serán $130^{\circ}$ 

Ahora multiplicamos la parte decimal por 60 $ \Rightarrow  0,646 \times 60 = 38,76  \Rightarrow 38'$ 

Cogemos de nuevo la parte decimal y la volvemos a multiplicar por 60 $\Rightarrow 0,76 \times 60 = 45,6 \Rightarrow 46''$

 $$ 130,646^{\circ} = 130^{\circ} 38' 46'' $$

¿Cómo pasar de grados, minutos y segundos sexagesimales a grados decimales? Los grados se quedan igual; cogemos los minutos y los dividimos por 60; cogemos los segundos y los dividimos por 3600; sumamos todas las cantidades anteriores y tendremos los grados decimales. 

Ejemplo: $130^{\circ} 38' 46''$ 

Los grados decimales serán $130^{\circ} + \dfrac{38}{60} + \dfrac{46}{3600} = 130^{\circ} + \dfrac{38 \times 60}{3600} + \dfrac{46}{3600} = 130^{\circ}.646111... $ 

$$ 130^{\circ} 38' 46'' = 130^{\circ},646111...$$

   Aquí dejo una tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables en los distintos cuadrantes. No hay que aprenderse esta tabla de memoria  «craso error».

N.D. es No definido.

Veamos una imagen que explica la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante:

Pongo este esquema, pero es más sencillo relacionar el eje X o de abscisas con el coseno y ele eje Y o de ordenadas con el seno, pero para gustos los colores.

A veces los alumn@s quieren algunos trucos para aprender de manera fácil las razones trigonométricas de los ángulos principales, veamos algunas: 

En esta imagen vemos que una forma fácil de aprender las razones trigonométricas de los ángulos principales del primer cuadrante:

Otra forma fácil, con los dedos de la mano, para calcular

• el seno, en azul, cuento los dedos que tengo por debajo;
• el coseno, en rojo, los dedos que tengo que tengo por arriba.

Curiosidades trigonométricas, gracias a Antonius Benedictus:

Entrada del blog donde se explican la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, y el seno, coseno de la suma de ángulos.

Entrada del blog donde se explican los teoremas del seno, coseno y de la tangente.

Seguiremos actualizando.