Autor del blog  Raαε  IRa´πz  Gaτςι´@R2G


El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


Cuando uno enseña, dos aprenden. «Robert Heinlein»


Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

En este blog está escrito en LATEX usando Powered by MathJax

El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

miércoles, 22 de abril de 2020

Razones trigonométricas de los ángulos notables entre 0 y 2π [0º, 360º]. Conversiones varias.


Un Ángulo Un ángulo es una figura geométrica formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice. Estas semirrectas se conocen como los lados del ángulo, y la abertura o separación entre ellas determina su medida, que generalmente se expresa en grados sexagesimales radianes.

El sentido de un ángulo depende de cómo se mide, y sí, generalmente se sigue el criterio de medición en sentido contrario a las agujas del reloj. Esto es un convenio estándar en matemáticas y trigonometría.

Detalles sobre el sentido:

Sentido contrario a las agujas del reloj, se considera el sentido positivo. Comienza desde el lado inicial (habitualmente el eje x positivo) y gira hacia el lado terminal. Por ejemplo, un ángulo de 90 positivo apunta hacia arriba desde el eje x.

Sentido en el mismo sentido de las agujas del reloj, se considera el sentido negativo. El giro comienza en el lado inicial y va hacia el lado terminal en dirección opuesta al sentido estándar. Por ejemplo, un ángulo de 90 apunta hacia abajo desde el eje x.

En resumen:
  1. Contrario a las agujas del reloj: positivo.
  2. A favor de las agujas del reloj: negativo.
Este criterio es clave en sistemas como las coordenadas cartesianas y las funciones trigonométricas.

Partes de un ángulo:
  1. Vértice: El punto común del cual parten las dos semirrectas.
  2. Lados: Las dos semirrectas que forman el ángulo.
  3. Amplitud: La medida de la abertura entre los lados del ángulo.
Cómo se mide:
  1. En grados sexagesimales: Un círculo completo mide 360
  2. En radianes: Un círculo completo equivale a 2π radianes.
Tipos de ángulos:
  1. Ángulo agudo: Menor de 90.
  2. Ángulo recto: Exactamente 90.
  3. Ángulo obtuso: Mayor de 90 y menor de 180.
  4. Ángulo llano o plano: Exactamente 180.
  5. Ángulo convexo: Mayor de 0 y menor de 180. Un ángulo agudo, recto o llano son convexos.
  6. Ángulo cóncavo: Mayor de 180 y menor de 360.
  7. Ángulo completo: Exactamente 360.
En geometría y trigonometría, los ángulos son esenciales para describir la orientación y la relación entre líneas o planos.

Grado sexagesimal tiene como base el número 60. El grado sexagesimal se define como una de las 360 partes iguales en las que se divide una circunferencia. Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos, y cada minuto se divide en 60 segundos. Los grados, minutos y segundos se representan respectivamente como: a,b y c.

Un radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma.

2π radianes = 360 1 radián = 180  π =57,2957...=571744,81 



Circle radians, de Lucas V. Barbosa. Licencia bajo dominio público vía Wikimedia Commons.

¿Cómo pasar de grados a radianes?


Multiplicamos los grados por π180 Ejemplo:

3030π180=30π180=π6 rad. 



¿Cómo pasar de radianes a grados?


Multiplicamos los radianes por 180π. Ejemplo:

3π4 rad. 3π4180π=3π1804π=31804=5404=135 


¿Cómo pasar de grados decimales grados, minutos y segundos sexagesimales?


Los grados se quedan igual. La parte decimal la multiplicamos por 60, la parte entera del resultado serán los minutos; cogemos la parte decimal y la volvemos a multiplicar por 60, redondeamos y eso serán los segundos. 

Ejemplo: 130,646 
Los grados serán 130 
Ahora multiplicamos la parte decimal por 60 0,646×60=38,7638 
Cogemos de nuevo la parte decimal y la volvemos a multiplicar por 60 0,76×60=45,646
 130,646=1303846

¿Cómo pasar de grados, minutos y segundos sexagesimalesgrados decimales?


Los grados se quedan igual; cogemos los minutos y los dividimos por 60; cogemos los segundos y los dividimos por 3600; sumamos todas las cantidades anteriores y tendremos los grados decimales. 

Ejemplo: 1303846 
Los grados decimales serán 130+3860+463600=130+38×603600+463600=130.646111... 
1303846=130,646111...


   Aquí dejo una tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables en los distintos cuadrantes. No hay que aprenderse esta tabla de memoria  «craso error».

N.D. es No definido.


Veamos una imagen que explica la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante:


Pongo este esquema, pero es más sencillo relacionar el eje X o de abscisas con el coseno y ele eje Y o de ordenadas con el seno, pero para gustos los colores.




A veces los alumn@s quieren algunos trucos para aprender de manera fácil las razones trigonométricas de los ángulos principales, veamos algunas: 

En esta imagen vemos que una forma fácil de aprender las razones trigonométricas de los ángulos principales del primer cuadrante:

Otra forma fácil, con los dedos de la mano, para calcular
  • el seno, en azul, cuento los dedos que tengo por debajo;
  • el coseno, en rojo, los dedos que tengo que tengo por arriba.



Curiosidades trigonométricas, gracias a Antonius Benedictus:





Sabiendo una razón trigonométrica, vamos a calcular el resto:




1 senα =5senα=1 5 

Ahora sustituimos en la RFT:

cos2α=1sen2α=1(1 5 )2=11 25 =24 25  cosα=± 24 25  =± 24    25  =±2 6   5  Estamos en el 2o cuadrante, el coseno es negativo, así cosα=2 6   5 

Ahora calculamos la tangente:

tgα= senα cosα= 1 5  2 6   5 = 1 5  2 6   5 =12 6  = 6 26 = 6 12 secα=1 cosα = 5  2 6  = 5 6   26 = 5 6   12  cotgα=1 tgα =1 12 6   =2 6 






Como tgα=2cotgα= 1 2

Como tgα=2 senα cosα=2senα=2cosα

Sustituyendo en la RFT tenemos:
cos2α+4cos2α=15cos2α=1cos2α=1 5 cosα=± 1 5  =±1  5  =±  5  5 Como α está en el tercer cuadrante, el cosα es negativo, luego cosα=  5  5

Despejamos en senα=2cosα=2  5  5= 2 5  5

Ahora calculamos la secante secα=1 cosα = 5 

Y la cosecante cosecα=1 senα =5 2 5  =5 5  25 = 5  2 






Un ángulo agudo es aquel que es menor de 90, es lo mismo que decir que está en el primer cuadrante. Dicho esto vamos a calcular el resto de las rrtt de α:
cosα=5secα= 1 5
Sustituyendo en la RFT tenemos: sen2α=1cos2α=1(1 5 )2=11 25 =24 25  senα=± 24 25  =± 24    25  =±2 6   5  Estamos en el 1er cuadrante, el seno positivo, así senα= 2 6   5 
tgα= senα cosα=2 6   5  1 5  =  2 6   5  1 5  =2 6  % secα=1 cosα =1  1 5 =5 cosecα=1 senα =5 2 6  = 5 6   26 = 5 6   12  cotgα=1 tgα =1 2 6  =  6   26 =  6  12






Ahora sustituimos en la RFT:
cos2α=1sen2α=1( 7 3)2=17 9 =2 9  cosα=± 2 9  =± 2    9  =± 2   3  Estamos en el 4o cuadrante, el coseno es positivo, así cosα=  2   3 

Ahora calculamos la tangente:
tgα= senα cosα=  7 3   2   3 = 7 3    2   3 = 7  2  = 14  2  Ahora calculamos el resto de razones trigonométricas: cotgα=1 tgα =2  14  = 2 14   14 =  14  7 secα=1 cosα =1   2   3  = 3   2  = 3 2   2  cosecα=1 senα =3  7  = 3 7   7 






tgα=1 cotgα =1  5 5 = 5  5 =5 Sabemos que: 1+tg2α=cosec2α1+(5)2=cosec2α1+5=cosec2α6=cosec2α cosecα=± 6  Estamos en el segundo cuadrante, la secante (la inversa del seno es positiva, luego \ \ cosecα= 6 

A partie de la cosecante calculamos el seno de α: 1 senα = 6 senα=1  6  =  6   6  Usamos la tangente para calcular el coseno de α:  senα  cosα = 5    6   6   cosα = 5   6   6 = 5 cosαcosα=  6   6 5  = =  30   65 =  30   30  secα=1 cosα =30  30  = 30 






secα=1 cosα 1 cosα = 47 7cosα=7 47 =77 47 =77 47 =7 4  Sabemos el valor del coseno y ahora sustituimos en la RFT: cos2α+sen2α=1sen2α=1cos2α=1(7 4 )2=17 16 =9 16  cosα=± 9 16  =± 9   16  =±3 4  Estamos en el tercer cuadrante, el seno es negativo, luego senα=3 4 
Luego cosecα=1 senα = 4 3
tgα= senα  cosα =3 4 7 4 =3 4 7 4 =37=377 cotgα=1 tgα =7 37 =7 3 





Entrada del blog donde se explican la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, y el seno, coseno de la suma de ángulos.

Entrada del blog donde se explican los teoremas del seno, coseno y de la tangente.

Seguiremos actualizando. 

No hay comentarios: