Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera siempre lo
llevaremos al $1^{\underline{er}}$ cuadrante, realmente
al $1^{\underline{er}}$ octante usando ángulos complementarios.
Veamos de qué forma, os dejo un
applet de GeoGebra
donde se puede ver:
Razones trigonométricas de ángulos del $1^{\underline{er}}$ cuadrante [0º, 90º] = $ \left [0, \dfrac{\pi}{2} \right ] $
Para calcular las razones trigonométricas de ángulos del $1^{\underline{er}}$ cuadrante vamos a trabajar con los ángulos complementarios, aquellos que suman 90º. En el esquema de GeoGebra podemos ver que el coseno de un ángulo es el seno de su complementario y viceversa; además la tangente de un ángulo es la cotangente de su complementario:Aquí tenemos una 2ª versión de este applet:
Razones trigonométricas de ángulos del $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante [90º, 180º] = $ \left [\dfrac{\pi}{2}, \pi \right ]$
Seguimos por los ángulos del $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante y para ello usamos que los ángulos suplementarios, es decir, aquellos ángulos cuya suma es 180º. Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo del $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante nos fijaremos en su suplementario y vemos que el seno es el mismo y el coseno es el opuesto; y por tanto la tangente es la opuesta.
Aquí tenemos una 2ª versión de este applet:
Razones trigonométricas de ángulos del $3^{\underline{er}}$ cuadrante [180º, 270º] = $ \left [\pi, \dfrac{3\pi}{2} \right ]$
Seguimos por los ángulos del $3^{\underline{er}}$ cuadrante y para ello usamos que los ángulos se diferencian en 180º. Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo del $3^{\underline{er}}$ cuadrante, lo que hacemos es prolongar el radio que define el ángulo en el tercer cuadrante y nos marca el ángulo del $1^{\underline{er}}$ y vemos que el seno es el opuesto, el coseno es el opuesto; y por tanto la tangente es la misma.Aquí tenemos una 2ª versión de este applet:
Razones trigonométricas de ángulos del $4^{\underline{\circ}}$ cuadrante [270º, 360º] = $ \left [ \dfrac{3\pi}{2}, 2 \pi \right]$
Vamos a terminar con los ángulos del $4^{\underline{\circ}}$ cuadrante y para ello usamos que los ángulos suman 360º o el ángulo opuesto. Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo del $4^{\underline{\circ}}$ cuadrante, lo que hacemos es ver que los «triángulos» que forman los ángulos comparten la misma base, luego el coseno es el mismo, vemos que el seno es el opuesto y por tanto la tangente es la opuesta.Aquí tenemos una 2ª versión de este applet:
RRTT de un ángulo $\alpha$ del $1^{\underline{er}}$ cuadrante al que le sumamos $\mfrac{\pi}{2}$, $\mfrac{3\pi}{2}$ y se lo restamos a $\mfrac{3\pi}{2}$
$$\large \fbox{ $\boldsymbol{ \quad \sen \left ( \alpha + \mfrac{\pi}{2} \right ) = \cos \left ( \alpha \right ) \qquad
\cos \left ( \alpha + \mfrac{\pi}{2} \right ) = - \sen \left ( \alpha \right ) \qquad
\tg \left ( \alpha + \mfrac{\pi}{2} \right ) = - \cotg \left ( \alpha \right ) \qquad } $ } $$
$$\large \fbox{ $\boldsymbol{ \sen \left ( \mfrac{3\pi}{2} - \alpha \right ) = - \cos \left ( \alpha \right ) \qquad
\cos \left ( \mfrac{3\pi}{2} - \alpha\right ) = - \sen \left ( \alpha \right ) \qquad
\tg \left ( \mfrac{3\pi}{2} - \alpha \right ) = \cotg \left ( \alpha \right ) } $ } $$
$$\large \fbox{ $\boldsymbol{ \sen \left ( \alpha + \mfrac{3\pi}{2} \right ) = - \cos \left ( \alpha \right ) \qquad
\cos \left ( \alpha + \mfrac{3\pi}{2} \right ) = \sen \left ( \alpha \right ) \qquad
\tg \left ( \alpha + \mfrac{3\pi}{2} \right ) = - \cotg \left ( \alpha \right ) } $ } $$
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com