Potencias de base entera y exponente entero. Propiedades, signo y ejercicios.

Definición de potencia de número entero y exponente natural:

Es una forma abreviada de escribir un producto o multiplicación donde los factores son iguales. La base es el factor que se repite y el exponente el número de veces que se repite el factor.

Se escribe: $$ \Huge{ \ \ \ \ \ \boldsymbol{ \color{red}\textbf{base} \leftarrow \color{red}a^{\color{blue}n \rightarrow \color{blue}\textbf{exponente} } } }$$ Se lee «$a$ elevado a $n$»:
$$ \begin{split} \large{ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_\text{«n»-veces} } \end{split} $$
Veamos algunos ejemplos:

$$ 2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64 $$
$$ (-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243 $$

Propiedades de las potencias:

$$ \large \begin{array}{|l|r|} \hline \ \ \ \ \ \ \ \qquad Propiedad & Ejemplos \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ \ \\ \hline \text{ Si } \ a \neq 0 \Rightarrow a^0 = 1 & 5^0 = 1; (-3)^0 = 1 \\ \hline \text{ Para todo } \ a, a^1 = a & 4^1 = 4; (-7)^1 = -7 \\ \hline a^n \cdot a^m = a^{n + m} & 2^3 \cdot 2^6 = 2^{3 + 6} = 2^9 = 512 \\ \hline a^n : a^m = \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} & 23^{10} : 3^6 = 3^{10 - 6} = 3^4 = 81 \\ \hline a^p \cdot b^p = \left ( a \cdot b \right )^p & 2^6 \cdot 5^6 = (2 \cdot 5)^6 = 10^6 = 1.000.000 \\ \hline a^p : b^p = \dfrac{a^p}{b^p} = \left ( a : b \right )^p = \left ( \dfrac{a}{b} \right )^p & 15^5 : 5^5 = \dfrac{15^5}{5^5} = \left ( 15 : 5 \right )^5 = \left ( \dfrac{15}{5} \right )^5 = 3^5 = 243 \\ \hline \left ( a^s \right )^t = a^{s \cdot t} & \left ( 4^2 \right )^3 = 4^6 = 4.096 \\ \hline a^{-n} = \dfrac{ 1 }{\ a^n\ } & 3^{-2} = \dfrac{1}{\ 3^2\ } = \dfrac{ 1 }{\ 9\ } \\ \hline \end{array} $$

Signo de la potencia:

El signo de la potencia depende del signo de la base y de si el exponente es «par o impar»:

$$ \large \text{signo} \left (a^n \right ) = \begin{cases} \cr \begin{array}{c} \text{ Si } a < 0 \text{ y } \color{blue} n \text{ impar } \Rightarrow a^n < 0 \\ \color{blue} (n \textbf{ positivo o negativo } ) \end{array} \color{blue} \begin{cases} \cr (-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32 < 0 \cr \cr (-11)^{3} = (-11) \cdot (-11) \cdot (-11) = -1331 < 0 \cr \cr (-3)^{-3} = \dfrac{1}{\ (-3)^{3}\ } = -243 < 0 \cr \cr (-5)^{-5} = \dfrac{1}{\ (-5)^{5}\ } = -3125 < 0 \cr \cr \end{cases} \cr \cr \color{black} \text{ Si } a = 0 \text{ y } n > 0 \Rightarrow 0^n = 0 \cr \cr \text{ El resto de casos es positivo } a^n > 0 \begin{cases} \cr 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 > 0 \cr \cr 3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 > 0 \cr \cr 3^{-5} = \dfrac{1}{\ 3^5\ } = \dfrac{1}{\ 243\ } > 0 \cr \cr 7^{-3} = \dfrac{1}{\ 7^3\ } = \dfrac{1}{\ 343\ } > 0 \cr \cr (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 > 0 \cr \cr (-5)^{4} = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625 > 0 \cr \cr (-3)^{-4} = \dfrac{1}{\ (-3)^{4}\ } = \dfrac{1}{\ 81\ } > 0 \cr \cr (-2)^{-10} = \dfrac{1}{\ (-2)^{10}\ } = \dfrac{1}{\ 1024\ } > 0 \cr \cr \end{cases} \cr \cr \end{cases} $$


Vamos a ver las demostraciones de dos de las propiedades de potencias:
$$ \text{Si } a \neq 0, a^0 = a^{1 - 1} = a^{2 - 2} = \ldots = a^{n - n} = \dfrac{\ a^n \ }{\ a^n\ } = 1 $$ $$ a^{n - n} = 1 \Leftrightarrow a^n \cdot a^{-n} = 1 \Leftrightarrow a^{-n} = \dfrac{ 1 }{\ a^n\ } $$ Rellena los siguientes cuadrados en tu cuaderno:

$$ \bbox[6px,border:4px solid red] { \left ( n^{\underline{o}} \text{ negativo }\right)^{\text{par}} = \qquad \qquad \qquad } \qquad \bbox[6px,border:4px solid red] { \left ( n^{\underline{o}} \text{ negativo } \right)^{\text{impar}} = \qquad \qquad \qquad } $$ $$ \bbox[6px,border:4px solid red] { 1^{n} = \qquad \qquad } \qquad \bbox[6px,border:4px solid red] { \left (-1 \right)^{\text{par}} = \qquad \qquad } \qquad \bbox[6px,border:4px solid red] { \left (-1 \right )^{\text{impar}} = \qquad \qquad } $$

Expresa como una sola potencia, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:

1. $\mathtip{ 7^5 \cdot 7^3 }{ \huge { \bbox[Lavender]{\ \text{Solución: } 7^8, \text{ ya que } 5 + 3 = 8 } \ } }$
   
   
2. $\mathtip{ 7^5 : 7^3 }{ \huge { \bbox[Lavender]{\ \text{Solución: } 7^2, \text{ ya que } 5 - 3 = 2 } \ } }$
   
   
3. $\mathtip{ x^5 \cdot x^9 }{ \huge { \bbox[Lavender]{\ \text{Solución: } x^{14}, \text{ ya que } 5 + 9 = 14} \ } }$
   
   
4. $ p^{10} : p^6 $
   
   
5. $(3^4)^5$
   
   
6. $ (m^2)^3 $
   
   
7. $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2^8$
   
   
8. $[(m^3)^2]^5$
   
   
9. $ 8^3 \cdot 5^3 $
   
   
10. $ 35^{4} : 7^4 $
    
    
11. $ (-2)^4 \cdot 7^4 $
    
    
12. $ (-18)^5 : (-9)^5 $
    
    
13. $ a^8 \cdot b^8 $
    
    
14. $ p^{10} : t^{10} $
    
    
15. $ 3^{10} \cdot(-2)^{10} \cdot(-5)^{10} $
    
    
16. $ (-4)^5 \cdot(-3)^5 \cdot(-10)^5 $
    
    

Calcula el número de cifras del número:

Base exponente

El número tiene cifras.

Ejercicio:
Si \( 3x - y = 12, \) ¿Cuánto vale \( \mfrac{8^x}{2^y}\)?

  a) $2^{12}$     b) $4^4$     c) $8^2$    d) Faltan datos

Tabla de derivadas, ejemplos y ejercicios con solución.

$ \require{cancel} $

	Función	Derivada
(1) Derivada de una contante por una función.	$ \require{cancel} F(x) = c \cdot f(x) $	$ F'(x) = c \cdot f('x)$
(2) Derivada de una suma o resta de funciones.	$ F(x) = f(x) \pm g(x)$	$ F'(x) = f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x)$
(3) Derivada de un producto de funciones.	$ F(x) = f(x) \cdot g(x)$	$ F(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
(4) Derivada de un cociente de funciones.	$ F(x) = \dfrac{\ \ f(x) \ \ }{ g(x) } $	$ F'(x) = \dfrac{\ \ f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) }{ \left [ g(x) \right ]^2 } $
(5) Regla de la cadena	$F(x) = f( g(x) )$	$F'(x)=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) $

Linealidad de la derivada:

De las propiedades (1) y (2) podemos deducir que:

$$ \Large{ \text{Sean } c_1, c_2 \in \R \Rightarrow \left [ c_1 \cdot f(x) + c_2 \cdot g(x) \right ]^{\prime} = c_1 \cdot f^{\prime}(x) + c_2 \cdot g^{\prime}(x) } $$

Función	Derivada	Función compuesta	Derivada	Ejemplo
$y = c, c \in \R $	$y' = 0 $
$y = x$	$y' = 1 $
$y = x^2$	$y' = 2x$
$y = x^p, p \in \R$	$y' = p \cdot x^{p - 1}$	$F(x) = [f(x)]^{p} $	$F^{\prime}(x) = p \cdot [f(x)]^{p - 1} \cdot f'(x) $	Ej. 1
$ y = \sqrt{x} $	$ y' = \dfrac{1}{\ 2 \sqrt{\ x\ }\ } $	$ F(x) = \sqrt{\ f(x)\ } $	$ F'(x) = \dfrac{1}{\ 2 \sqrt{\ f(x)\ }\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{f'(x)}{\ 2 \sqrt{\ f(x)\ }\ } $	Ej. 2
$ y = e^{x} $	$ y' = e^{x} $	$ F(x) = e^{f(x)} $	$ F'(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x) $	Ej. 3
$ y = a^{x} $	$ y' = a^{x} \cdot \ln a $	$ F(x) = a^{f(x)} = $ $= e^{\ \ln a^{f(x)}\ } = $ $= e^{\ f(x) \cdot \ln a\ } $	$ F'(x) = a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f^{\prime}(x) $	Ej. 4
$ y = \ln x $	$ y' = \dfrac{1}{\ x\ }$	$ F(x) = \ln f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{1}{\ f(x)\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{\ f'(x)\ }{f(x)}$	Ej. 5
$ y = \log_{a} x $	$ y' = \dfrac{1}{\ x\ } \cdot \dfrac{1}{\ \ln a\ } $	$ F(x) = \log_{a} f(x) $ $= \dfrac{\ \ln f(x)\ }{ \ln a } $	$ F'(x) = \dfrac{1}{\ f(x)\ } \cdot \dfrac{1}{\ \ln a\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{f'(x)}{\ f(x) \ln a\ }$	Ej. 6
$ y = \sen x$	$ y' = \cos x $	$ F(x) = \sen f(x)$	$ F'(x) = f'(x) \cos f(x) $	Ej. 7
$ y = \cos x$	$ y' = - \sen x $	$ F(x) = \cos f(x)$	$ F'(x) = - f'(x) \sen f(x) $	Ej. 8
$ y = \tg x = $ $ = \dfrac{\sen x}{\ \cos x\ }$	$ y' = 1 + \tg^{2} x = $ $ = \sec^2 x\ $	$ F(x) = \tg f(x) $	$ F'(x) = f'(x) \left [ 1 + \tg^{2}( f(x) ) \right ] = $ $ = f'(x) \cdot \sec^{2} f(x) $	Ej. 9
$ y = \sec x = $ $ = \dfrac{1}{\ \cos x \ }$	$ y' = \tg x \cdot \sec x $	$ F(x) = \sec f(x)$	$ F'(x) = f'(x) \cdot \tg f(x) \cdot \sec f(x) $	Ej. 10
$ y = \cosec x$ $ = \dfrac{1}{\ \sen x\ } $	$ y' = - \cotg x \cosec x $	$ F(x) = \cosec f(x)$	$ F'(x) = - f'(x) \cdot \cotg f(x) \cdot \sen f(x) $	Ej. 11
$ y = \cotg x $ $ = \dfrac{\ \cos x\ }{\sen x}$	$ y' = - (1 + \cotg^{2} x ) = $ $ = \cosec^2 x $	$ F(x) = \cotg f(x) $	$ F'(x) = -f'(x) \left [ 1 + \cotg^{2}( f(x) ) \right ] = $ $ = - f'(x) \cdot \cosec^{2} f(x) $	Ej. 12
$ y = \arcsen x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ } $	$ F(x) = \arcsen f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ \sqrt{\ 1 - [f(x)]^{2}\ }\ } $	Ej. 13
$ y = \arccos x $	$ y' = \dfrac{-1}{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ } $	$ F(x) = \arccos f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{- f'(x)}{\ \sqrt{\ 1 - [f(x)]^{2}\ }\ } $	Ej. 14
$ y = \arctg x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \ 1 + x^2\ \ } $	$ F(x) = \arctg f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \ 1 + [f(x)]^{2}\ \ } $	Ej. 15
$ y = \arcsec x $	$ y' = \dfrac{1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $	$ F(x) = \arcsec f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ f(x) \cdot \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1\ }\ } $	Ej. 16
$ y = \arccosec x $	$ y' = \dfrac{- 1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $	$ F(x) = \arccosec f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{- f'(x)}{\ f(x) \cdot \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1\ }\ } $	Ej. 17
$ y = \arccotg x $	$ y' = \dfrac{- 1}{\ \ 1 + x^2\ \ } $	$ F(x) = \arccotg f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ - f'(x) }{\ \ 1 + [f(x)]^{2}\ \ } $	Ej. 18
$ F(x) = g(x)^{h(x)} $	$ F'(x) = h(x) \cdot g(x)^{h(x) - 1} g'(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) $			Ej. 19
$ y = \sh x $	$ y' = \ch x $	$ F(x)= \sh f(x) $	$ F(x)= f'(x) \cdot \sh f(x) $
$ y = \ch x $	$ y' = \sh x $	$ F(x)= \ch f(x) $	$ F(x)= f'(x) \cdot \sh (f(x)) $
$ y = \th x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \ch^{2} x\ \ } = $ $ = 1 - \th^{2} x $	$ F(x)= \th f(x) $	$ F(x)= f'(x) \cdot \dfrac{1}{\ \ch^{2} f(x)\ \ } = $ $ = f'(x) \cdot ( 1 - \th^{2} f(x) ) $
$ y = \argsh x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ x^2 + 1 \ }\ } $	$ F(x) = \argsh f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ \sqrt{\ [f(x)]^{2} + 1 \ }\ } $
$ y = \argch x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $	$ F(x) = \argch f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1 \ }\ } $
$ y = \argth x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \ 1 - x^2\ \ } $	$ F(x) = \argth f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \ 1 - [f(x)]^{2}\ \ } $

Derivada de la potencia de una función

$$ f(x) = \ln^{5}(3 x) = \left ( \ln (3x) \right )^5 \Rightarrow f'(x) = 5 \cdot \ln^4(3x) \cdot 3 = 15 \cdot \ln^4(3x) $$

$$ g(x) = \tg^{3} \left(e^{3x} \right) \Rightarrow g'(x) = 3 \cdot \tg^{2} \left(e^{3x} \right) \cdot ( 1 + \tg^{2} \left(e^{3x} \right) ) \cdot 3 = 9 \tg^2(3x) ( 1 + \tg^2(3x) ) $$

Derivada de la función raíz cuadrada

$$ f(x) = \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ } \Rightarrow f'(x) = \dfrac{\ \left( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ } \right )' \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ -(1 + x) - (1 - x)}{(1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ -1 - x - 1 + x }{(1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ -2 }{\ (1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = $$

$$ = \dfrac{\ \dfrac{ -1 }{\ (1 + x)^2} \ }{\ \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 1 + x\ } }{\ (1 + x)^2 \sqrt{\ \ 1 - x\ }\ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 1 - x^2\ } }{\ (1 - x)(1 + x)^2 \ }$$

$$ g(x) = \sqrt{\ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ \left ( \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \right )' \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x (1 + \sen x) - \cos x (1 - \sen x) \ }{ (1 + \sen x)^2 } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x - \cos x \sen x - \cos x + \cos x \sen x \ }{ (1 + \sen x)^2 } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - 2\cos x }{\ (1 + \sen x)^2 \ } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x }{\ (1 + \sen x)^2 \ } \ }{ \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ - \cos x \sqrt{ \ 1 + \sen x \ } }{\ (1 + \sen x)^2 \cdot \sqrt{ \ 1 - \sen x\ \ } } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x \sqrt{ \ 1 - \sen^2 x \ } }{\ (1 + \sen x)^2 \cdot (1 - \sen x) \ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ (1 + \sen x) \cdot (1 - \sen^2 x) \ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ (1 + \sen x) \cdot \cos^2 x \ } = \dfrac{\ - 1 }{\ 1 + \sen x\ } $$

Derivada de la función exponencial, base $e$

$$ f(x) = e^{\sen x} = \Rightarrow f'(x) = \cos x \cdot e^{\sen x} $$

$$ g(x) = e^{x \cdot \cos x} \Rightarrow g'(x) = (x \cdot \cos x)' \cdot e^{x \cdot \cos x} = (\cos x - x \sen x) \cdot e^{x \cdot \cos x} $$

Derivada de la función exponencial, base $a \neq e$

$$ f(x) = 2^x = e^{\ln2^x} = e^{x \cdot \ln2} \Rightarrow f'(x) = \ln2 \cdot e^{x \cdot \ln2} = \ln2 \cdot 2^x $$

Derivada de la función logaritmo neperiano

Para este tipo de derivadas hay que tener en cuenta las propiedades de los logartimos:

$$ f(x) = \ln \left ( x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \right ) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ ( x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } )'}{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ 1 + \dfrac{2x}{2 \cdot ( \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ ) }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ 1 + \dfrac{x}{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ \dfrac{\ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ }{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{\ \cancel{x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ }{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ }{ \ \cancel{x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ } = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }{\ 1 + x^2\ } $$

$$ g(x) = \ln \left ( \dfrac{\ \sqrt{\ a^2 + x^2\ }\ }{ x^2 }\right ) = \ln \left ( \sqrt{\ a^2 + x^2\ } \right ) - \ln x^2 = \dfrac{\ 1\ }{2} \ln (a^2 + x^2) - 2\ln x \Rightarrow f'(x) = \dfrac{\ 1\ }{2} \dfrac{\ 2x\ }{\ a^2 + x^2\ } - \dfrac{\ 2\ }{x} = $$
$$ = \dfrac{\ x\ }{\ a^2 + x^2\ } - \dfrac{\ 2\ }{x} = \dfrac{\ x^2 - 2a^2 - 2x^2\ }{\ x(a^2 + x^2)\ } = \dfrac{\ - (x^2 + 2a^2)\ }{\ x(a^2 + x^2)\ } $$

$$ h(x) = \ln \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x} \ } = \ln \left ( \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x} \right )^{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \ln (1 - x ) - \ln (1 + x) \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow h'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1}{1 - x} - \dfrac{ 1}{1 + x} \right ] = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1 - x}{\ (1 - x)(1 + x)\ } - \dfrac{ 1 - x }{\ (1 - x)(1 + x)\ } \right ] = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1 - x - 1 + x }{\ (1 - x)(1 + x)\ } \right ] = $$ $$ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{- 2 }{\ (1 - x)(1 + x)\ } = \dfrac{1}{ \cancel{2} } \cdot \dfrac{- \cancel{2} }{\ (1 - x)(1 + x)\ } = \dfrac{-1}{\ 1 - x^2\ } = \dfrac{1}{\ x^2 - 1\ } $$

$$i(x) = \ln \left (x \cdot \tg x \right )^2 = 2 \cdot \ln \left (x \cdot \tg x \right ) = 2 \cdot \left ( \ln x + \ln \tg x \right ) $$ $$i'(x) = 2 \cdot \left ( \dfrac{ 1}{\ x\ } + \dfrac{ 1 + \tg^2 x \ }{\tg x} \right ) = \dfrac{ 2 }{\ x\ } + 2 \cotg x + 2 \tg x $$

$$j(x) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ x^2\ } \cdot \sqrt[3]{\ x^2 - 1 \ } \right ) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ x^2\ } \right ) + \ln \left ( \sqrt[3]{\ x^2 - 1 \ } \right ) = \ln x^{-2} + \ln \left ( x^2 - 1 \right )^{1/3} = -2 \ln x + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \ln (x^2 - 1) $$ $$j'(x) = \dfrac{ -2 }{\ x\ } + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{ 2x }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ - 6x^2 + 6 + 2x^2 }{\ 3x (x^2 - 1)\ } = \dfrac{ 6 - 4x^2 }{\ 3x (x^2 - 1)\ } $$

$$k(x) = \ln \left ( \sqrt[3]{ \dfrac{1}{\ (1 + x)^2\ } }\right ) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ (1 + x)^2\ } \right )^{1/3} = \ln (1 + x)^{-2/3} = \dfrac{ -2 }{\ 3\ } \cdot \ln (1 + x) $$ $$k'(x) = \dfrac{ -2 }{\ 3\ } \cdot \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ } = \dfrac{ - 2 }{\ 3 + 3x\ } $$

Derivada de la función logaritmo en base $a \neq e$

Hacemos un cambio de base y tenemos que derivar un logaritmo neperiano cuya derivada ya hemos visto: $$ F(x) = \log_{a} f(x) = \dfrac{\ln f(x)}{\ln a} \Rightarrow F'(x) = \dfrac{ 1 }{\ \ln a\ } \cdot \dfrac{\ f'(x)\ }{f(x)} $$

$$ g(x) = \log_{3} (x + 2 ) = \dfrac{\ \ln(x + 2) \ }{ \ln 3 } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ 1 \ }{ \ln 3 \cdot (x + 2) } $$

Derivada de la función seno

$$ f(x) = \sen \left( e^{3x} \right) \Rightarrow f'(x) = (e^{3x})' \cdot \cos \left( e^{3x} \right) = 3 \cdot e^{3x} \cdot \cos \left( e^{3x} \right) $$

$$ g(x) = \sen( \ln x ) \Rightarrow g'(x) = (\ln x)' \cdot \cos( \ln x ) = \dfrac{1}{\ x \ } \cdot \cos( \ln x ) = \dfrac{\ \cos( \ln x ) \ }{\ x \ } $$

$$ h(x) = \sen(x \cdot \sen x) \Rightarrow h'(x) = (x \cdot \sen x)' \cos(x \cdot \sen x) = (\sen x + x \cdot \cos x) \cos(x \cdot \sen x) $$

Derivada de la función coseno

$$ f(x) = \cos \left( e^{5x} \right) \Rightarrow f'(x) = - 5 \cdot e^{5x} \cdot \sen \left( e^{5x} \right) $$

$$ g(x) = \cos \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) \Rightarrow g'(x) = - \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right)' \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = - \dfrac{\ e^x \cdot 5x - 5 \cdot e^x \ }{ 25x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = $$
$$ = \dfrac{\ 5 e^x ( 1 - x )\ }{ 25x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = \dfrac{\ e^x ( 1 - x )\ }{ 5x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) $$

Derivada de la función exponencial, base distinta del número $e$

Tenemos que derivar $2^x$, si aplicamos las propiedades de los logaritmos vemos que $2^x = e^{\ln 2^x} = e^{x \ln 2} $ que ya sabemos derivar. $$ f(x) = \tg 2^x = \tg e^{\ln 2^x} = \tg e^{x \ln 2} \Rightarrow f'(x) = (2^x)' \cdot (1 + \tg^2 2^x) = \ln2 \cdot 2^x \cdot (1 + \tg^2 2^x) $$

$$ g(x) = \tg \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \Rightarrow g'(x) = \left (\dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right )' \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = $$
$$ = \left (\dfrac{\ - e^x(1 + e^x ) - e^x(1 - e^x) \ }{ 1 + e^x } \right ) \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = \left (\dfrac{\ - e^x - e^{2x} - e^x + e^{2x} \ }{\ \left( 1 + e^x \right )^2 \ } \right ) \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = $$
$$ = \dfrac{\ - 2e^x\ }{\ \left( 1 + e^x \right )^2 \ } \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) $$

Derivada de la función arco secante

$$ $$

$$ $$

Derivada de la función arco cosecante

$$ $$

$$ $$

Derivada de la función arco cotangente

$$ $$

$$ $$

Derivada de la función arco seno

$$ f(x) = \arcsen \left( x^2 - 4x \right ) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{2x - 4}{\ \sqrt{\ 1 - (x^2 - 4x)^2\ } \ } $$ $$ g(x) = \arcsen \left( \log_{5}(3x) \right) = \arcsen \left( \dfrac{\ \ln 3x \ }{ \ln 5 } \right) \Rightarrow g'(x) = \dfrac{ \dfrac{1}{\ \ln 5\ } \cdot \dfrac{3}{3x} }{\ \sqrt{\ 1 - (\log_{5}(3x))^2\ } \ } = \dfrac{ 1 }{\ x \cdot \ln 5 \cdot \sqrt{\ 1 - (\log_{5}(3x))^2\ } \ } $$

Derivada de la función arco coseno

$$h(x) = \arccos (\ln x) \Rightarrow h'(x) = - \dfrac{ \dfrac{\ 1\ }{x} }{\ \sqrt{\ 1 - (\ln x)^2\ }\ } = \dfrac{- 1}{\ x \cdot \sqrt{\ 1 - \ln ^2 x\ }\ } $$ $$ $$

$$ f(x) = \arccos \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right ) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right )' }{\ \sqrt{\ 1 - \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right )^2\ }\ } = \dfrac{ \ \dfrac{ \sqrt{\ 1 + x^2\ } - x \dfrac{2x}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \sqrt{\ 1 - \dfrac{x^2}{\ 1 + x^2\ }\ } } = $$ $$ = \dfrac{ \ \dfrac{ \sqrt{\ 1 + x^2\ } - x \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \sqrt{\ \dfrac{1 + x^2 - x^2}{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{ \dfrac{1 + x^2 - x^2}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }( 1 + x^2)\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }( 1 + x^2)\ } = $$
$$ = \dfrac{1}{\ 1 + x^2\ } $$

Derivada de la función arco tangente

$$ F(x) = \arccotg \left(x^2\right) \longrightarrow F'(x) = \dfrac{\ - 2x\ }{1 + \left( x^2 \right)^{2} } = \dfrac{ - 2x}{\ 1 + x^4\ } $$

$$ g(x) = \arctg \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ \left ( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \right )'}{ 1 + \left ( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \right)^2 } = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ 1 + \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 1 + \sen x + 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - \cos x\ (1 + \sen x) - \cos x(1 - \sen x) }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - \cos x + \cos x \sen x - \cos x + \cos x \sen x }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - 2\cos x }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ - 2\cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } )(1 + \sen x) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } )\cancel{(1 + \sen x)} }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^{\cancel{2}}\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)\ } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 - \sen^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen x) (1 + \sen x)\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 - \sen^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen x) (1 + \sen x)\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\cos^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen^2 x)\ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ 2 \cdot \cos^2 x\ } = \dfrac{\ -1\ }{2} $$

Derivada de la función arco secante

$$ f(x) = \arcsec (x^7) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ 7x^6 }{\ x^7 \cdot \sqrt{\ \left( x^7 \right)^2 - 1\ }\ } = \dfrac{ 7 }{\ x \cdot \sqrt{\ x^{14} - 1\ }\ } $$

$$ g(x) = (\arcsec x)^{9} \Rightarrow f'(x) = 9 \cdot (\arcsec x)^{8} \cdot (\arcsec x)' = 9 \cdot (\arcsec x)^{8} \cdot \dfrac{1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $$

Derivada de la función arco cosecante

$$ f(x) = \arccosec \left( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ - \dfrac{1 - x + 1 + x}{\ (1-x)^2\ } }{ \left( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right ) \cdot \sqrt{\ \left ( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right)^2 - 1\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{-(1-x)+(1+x)}{(1-x) \cdot (1+x) \cdot \sqrt{\left( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right)^2 - 1\ }\ } = \dfrac{\ -2x\ }{\ (1 - x) \cdot (1+x) \cdot \sqrt{\left ( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right )^2 - 1\ }\ } = \dfrac{\ 2x\ }{(1-x) \cdot(1+x) \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ (1+x)^2 - (1-x)^2\ }{ (1-x)^2 } } } = $$
$$ = \dfrac{2x}{(1+x) \cdot \sqrt{(1+x)^{2}-(1-x)^{2}}} = \dfrac{2x}{\ (1 + x) \cdot \sqrt{\ \left (1 + 2x + x^2 \right ) - \left( 1 - 2 x + x^2 \right )\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{2 x}{\ (1+x) \cdot \sqrt{\ 4x\ }\ } = \dfrac{x}{\ (1 + x) \cdot \sqrt{\ x\ }\ } $$

$$ g(x) = \arccosec \left( \log _{5} 9 x \right) = \arccosec \left( \dfrac{ \ln 9x}{ \ln 5} \right) \Rightarrow g'(x) = \dfrac{- \dfrac{1}{ \ln5 } \cdot \dfrac{9}{\ 9x\ } }{\ \left( \log _{5} 9 x \right) \cdot \sqrt{\ \left( \log_{5} 9x \right)^2 - 1\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{ - 1}{ \ln 5 \cdot x \cdot \left( \log_{5} 9x \right ) \cdot \sqrt{\ \left ( \log_{5} 9x \right )^2 - 1\ }\ } $$

Derivada de la función arco cotangente

$$ f(x) = \arccotg \left( 6x^8 + 8x^7 + 3x \right) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{\ - \left( 48x^7 + 56x^6 + 3 \right) \ }{\ 1 + \left( 8x^7 + 6 x^8 + 3x \right )^2 } $$

Derivada de la función potencial-exponencial

Derivación logarítmica: Cuando tenemos una función potencial-exponencial, es decir, que tanto la base como el exponente son dos funciones no constantes, $ F(x) = g(x)^{h(x)} $ y la queremos derivar. Tenemos dos opciones:

1. Aprendernos esta fórmula de memoria $ F'(x) = h(x) \cdot g(x)^{h(x) - 1} g'(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) $
2. o saber deducirla (muy recomendable). Veamos como:
   
   Lo $\odn{1}{o}$ tomamos logaritmos neperianos: $$ \ln F(x) = \ln g(x)^{h(x)} $$ $$ \text{ usamos las propiedades de los logaritmos y nos queda } \ln F(x) = h(x) \cdot \ln g(x) $$ Tenemos dos expresiones iguales, luego sus funciones derivadas serán iguales: $$ \left (\ln F(x) \right )' = \left (h(x) \cdot \ln g(x) \right )' \Rightarrow \dfrac{\ F'(x)\ }{F(x)} = h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} $$ $$ \text{ pasamos } F(x) \text{ multiplicando y tenemos que } F'(x) = F(x) \cdot \left ( h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} \right ) $$ y sustituyendo $F(x)$ por su valor tenemos: $$ F'(x) = g(x)^{h(x)} \cdot \left ( h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} \right ) = g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} $$ y así tenemos: $$ F'(x) = g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) + g(x)^{h(x) - 1} \cdot h(x) \cdot g'(x) $$
Vamos con un par de ejemplos: $$ F(x) = (\tg x)^{\cotg x} $$ Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos: $$ \ln F(x) = \cotg x \cdot \ln \tg x \Rightarrow \dfrac{\ F'(x)\ }{F(x)} = -(1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} $$ Pasamos $F(x)$ multiplicando y la sustituimos por su valor: $$ F'(x) = (\tg x)^{\cotg x} \cdot \left ( -(1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} \right ) = $$

$$ = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + (\tg x)^{\cotg x} \cdot \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} = (*) $$ Vemos que $$ \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} = \cotg^2 x \cdot ( 1 + \tg^2 x ) = \cotg^2x + 1 $$ Sustituyendo en (*) tenemos y sacando factor común: $$ = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + (\tg x)^{\cotg x} \cdot ( 1 + \cotg^2 x ) = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot ( \ln \tg x - 1 ) $$

Vamos con otro ejemplo: $$ G(x) = \sqrt[\tg x]{x} = x^{ \dfrac{1}{\tg x} } = x^{ \cotg x} $$ Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos: $$ \ln G(x) = \cotg x \cdot \ln x \Rightarrow \dfrac{\ G'(x)\ }{G(x)} = -(1 + \cotg^2 x) \ln x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} $$ Pasamos $G(x)$ multiplicando y la sustituimos por su valor: $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot \left ( -(1 + \cotg^2 x) \ln x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} \right ) = - \sqrt[\tg x]{x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot \ln x + \sqrt[\tg x]{x} \cdot \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} $$ Agrupando nos queda: $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot \ln x + \sqrt[\cotg x - 1]{x} \cdot \cotg x $$ Otra variante $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot \left ( \dfrac{1}{ \ x \cdot \tg x} - \dfrac{\ln x }{\ \sen^2 x\ } \right ) $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Identidades trigonométricas I - Ejercicios con soluciones

Para resolver identidades trigonométricas utilizaremos bastantes cosas. Identidades notables, amplificar y simplificar fracciones, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. La Relación Fundamental de la Trigonometría (RFT) $ \fcolorbox{blue}{white}{ $ \color{blue}{ \cos^2 a + \sen^2 a = 1} $ } $ y las siguientes fórmulas: $$ \tg a = \dfrac{\ \ \sen a \ \ }{ \cos a } \qquad \cotg a = \dfrac{ \cos a }{\ \ \sen a \ \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \ \tg a \ \ } $$ $$ \sec a = \dfrac{ 1 }{ \ \ \cos a \ \ } \qquad \cosec a = \dfrac{ 1 }{ \ \ \sen a \ \ } $$ $$ \tg a \cdot \cotg a = 1 \qquad \sec a \cdot \cos a = 1 \qquad \cosec a \cdot \sen a = 1 $$ De la Relación Fundamental de la Trigonometría se deducen dos fórmulas más:

Si dividimos la RFT por $\cos^2 a$ tendremos: $$ \cos^2 a + \sen^2 a = 1 \Rightarrow \dfrac{\ \ \cos^2 a \ \ }{ \cos^2 a } + \dfrac{\ \ \sen^2 a \ \ }{ \cos^2 a } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 a \ \ } \Rightarrow 1 + \tg^2 a = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 a \ \ } \Rightarrow 1 + \tg^2 a = sec^2 a $$ Si dividimos la RFT por $\sen^2 a$ tendremos: $$ \cos^2 a + \sen^2 a = 1 \Rightarrow \dfrac{\ \ \cos^2 a \ \ }{ \sen^2 a } + \dfrac{\ \ \sen^2 a \ \ }{ \sen^2 a } = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 a \ \ } \Rightarrow \cotg^2 a + 1 = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 a \ \ } \Rightarrow \cotg^2 a + 1 = cosec^2 a $$ Un ejercicio que podemos hacer es poner cada razón trigonométrica en función de las demás, como vemos en el ejemplo, En la primera fila vemos que podemos poner el seno de $\theta$, en función del coseno, de la tangente, de la cosecante, de la secante y de la cotangente. ¿Te animas a llenar la tabla? (Si haces click sobre la imagen la veras en tamaño original).

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda sustituyendo $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \tg \alpha + \dfrac{ 1 }{\ \ \tg \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } + \dfrac{\ \cos \alpha }{\ \ \sen \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo en el numerador 1 por la Relación Fundamental de la Trigonometría:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = $$
$$ = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \cos^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \tg \alpha \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cancel{\cos \alpha} \ \ } \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cancel{\cos \alpha} \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la derecha sacando factor común a $\cos^2 \alpha $:

$$ \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) = \cos^2 \alpha \text{ ✓} $$

Otra forma, esta ve empezando por la izquierda: $$ \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot 1 = \cos^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) = \cos^4 + \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda:

$$ \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{\ \ (\sen \alpha \cdot \cos \alpha)^2 \ \ } = \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \ (\sen \alpha \cdot \cos \alpha)^2 \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \sen^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \cancel{\sen^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \sec^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \dfrac{ \ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ }{\ \ \tg \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } \ \ } = \dfrac{\ \ \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \sen \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \cancel{\sen \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cancel{\sen \alpha} \ \ } = \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezamos por el paréntesis:

$$ 1 + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } $$ Seguimos con la identidad, con la parte izquierda y nos queda: $$ (1 + \tg^2 \alpha) \cdot \cos^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \cdot \cos^2 \alpha = 1 \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$ y aplicando la Relación Fundamental de la Trigonometría:

$$ \tg^2 \alpha \cdot (1 - \sen^2 \alpha) = \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \cdot \cos^2 \alpha = \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cancel{\cos^2 \alpha} \ \ } \cdot \cancel{\cos^2 \alpha} = \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, aplicando la RFT, es decir que $-\cos^2 \alpha + 1 = \sen^2 \alpha$:

$$ \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha + 1 \ \ }{ 2 } = \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ \ }{ 2 } = \dfrac{ \ \ 2 \cdot \sen^2 \alpha \ \ }{ 2 } = \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio haciendo el producto en cruz, ya que podremos usar la identidad notable «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados»:

$$ \dfrac{ \cotg \alpha - \cosec \alpha }{\ \tg \alpha - \sec \alpha \ } = \dfrac{\ \tg \alpha + \sec \alpha \ }{ \cotg \alpha + \cosec \alpha } \Rightarrow (\cotg \alpha - \cosec \alpha) \cdot (\cotg \alpha + \cosec \alpha) = (\tg \alpha - \sec \alpha) \cdot (\tg \alpha + \sec \alpha) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \cotg^2 \alpha - \cosec^2 \alpha = \tg^2 \alpha - \sec^2 \alpha \Rightarrow $$ Ahora sustituimos las expresiones en función de $\cos \alpha$ y $\sen \alpha$: $$ \Rightarrow \cotg^2 \alpha - \cosec^2 \alpha = \tg^2 \alpha - \sec^2 \alpha \Rightarrow \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } - \dfrac{\ 1\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha\ } - \dfrac{\ 1\ }{ \cos^2 \alpha } \Rightarrow \dfrac{\ \cos^2 \alpha - 1\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha - 1 }{\ \cos^2 \alpha\ } \Rightarrow $$ De la Relación Fundamental de la Trigonometría tenemos que $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha - 1 = -\sen^2 \alpha$ y simétricamente tenemos que $\sen^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$, sustituimos en la expresión y nos queda: $$ \Rightarrow \dfrac{\ - \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ -\cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha\ } \Rightarrow -1 = -1 \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda sustituyendo $\sec \alpha$ y $\cosec \alpha$ por $\cos \alpha$ y $\sen \alpha$ respectivamente:

$$ 1 + \dfrac{ \sec \alpha }{\ \cosec^2 \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{\ \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ }\ }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = $$ $$ = 1 + \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot \cancel{(1 + \cos \alpha)} }{\ \cos \alpha \cdot \cancel{(1 + \cos \alpha)} \ } = 1 + \dfrac{\ \ 1 - \cos \alpha \ \ }{\ \cos \alpha \ } = $$ $$ = 1 + \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ } - 1 = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ } = \sec \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador y las identidades notables:

$$ \cos^4 \alpha - \sen^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sen^2 \alpha)^2 = (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) \cdot (\cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha) = $$ $$ = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha = (\cos \alpha + \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) $$ Vamos a ver que nos queda: $$ \dfrac{ \cos^4 \alpha - \sen^4 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ (\cos \alpha + \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) }{\ \cos \alpha \sen \alpha \ } = \dfrac{ \cos \alpha - \sen \alpha }{ \cos \alpha } \cdot \dfrac{\ \cos \alpha + \sen \alpha \ }{\ \sen \alpha } = (1 - \tg \alpha) \cdot (1 + \cotg \alpha) \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador:

$$(1 + \cos \alpha)^2 + (1 - \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha + 1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 2 + 2\cos^2 \alpha = 2(1 + \cos^2 \alpha) $$ Ahora a por el denominador: $$ \sec^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - \dfrac{ \cos^4 \alpha}{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 - \cos^4 \alpha}{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot (1 + \cos^2 \alpha) }{\ \cos^2 \alpha \ } $$ Vamos a ver que nos queda juntándolo todo: $$ \dfrac{ (1 + \cos \alpha)^2 + (1 - \cos \alpha)^2 }{\ \sec^2 \alpha - \cos^2 \alpha\ } = \dfrac{ 2(1 + \cos^2 \alpha) }{ \dfrac{ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot (1 + \cos^2 \alpha) }{\ \cos^2 \alpha \ } } = \dfrac{ 2 \cancel{(1 + \cos^2 \alpha)} }{ \dfrac{ \ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot \cancel{(1 + \cos^2 \alpha)} \ }{\ \cos^2 \alpha \ } } = \dfrac{ 2 }{ \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } } = $$ $$ = \dfrac{ 2 \cos^2 \alpha }{\ 1 - \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 2 \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = 2 \cotg^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ en función del $\sen \alpha$ y del $\cos \alpha$. Vamos a por el denominador:

$$1 + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } + \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \cos^2 \alpha \ } $$ Vamos a ver que nos queda: $$ \dfrac{ \cotg \alpha }{\ 1 + \tg^2 \alpha\ } = \dfrac{ \dfrac{\ \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } }{\ \ \dfrac{ 1 }{ \ \cos^2 \alpha } \ \ } = \dfrac{\ \cos \alpha \ }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos^2 \alpha } \ \ } = \dfrac{ \cos \alpha }{\ \ \dfrac{ \tg \alpha }{ \cos \alpha } \ \ } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha \ }{\ \tg \alpha \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ en función del $\sen \alpha$ y del $\cos \alpha$:

$$\tg \alpha + \cotg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{\ \sen \alpha \ } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \sen \alpha \cos \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \sen \alpha \cos \alpha \ } $$ Ahora elevamos al cuadrado: $$ (\tg \alpha + \cotg \alpha)^2 = \left ( \dfrac{ 1 }{ \ \sen \alpha \cos \alpha \ } \right)^2 = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \cos^2 \alpha \cdot \cancel{\sen^2 \alpha} } + \dfrac{ \cancel{\cos^2 \alpha} }{\ \cancel{\cos^2 \alpha} \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{\ \cos^2 \alpha } + \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } = \sec^2 \alpha + \cosec^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el numerador:

$$\sen \alpha + \tg \alpha = \sen \alpha + \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ }{ \cos \alpha } + \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \alpha + \sen \alpha }{\ \cos \alpha \ } = \dfrac{\ \sen \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{\ \cos \alpha \ } $$ Ahora el denominador: $$\cotg \alpha + \cosec \alpha = \dfrac{ \cos \alpha }{\ \sen \alpha \ } + \dfrac{1}{\ \sen \alpha \ } = \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } $$ Juntamos todo y nos queda: $$ \dfrac{ \sen \alpha + \tg \alpha }{\ \cotg \alpha + \cosec \alpha \ } = \dfrac{ \dfrac{\ \sen \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{\ \cos \alpha \ } }{ \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \tg \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{ \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \tg \alpha \cancel{(\cos \alpha + 1)}\ }{ \dfrac{\ \cancel{1 + \cos \alpha} \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{\ \tg \alpha }{ \dfrac{1}{\ \sen \alpha\ } } = \sen \alpha \cdot \tg \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

$$1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } $$ Así nos queda: $$ \dfrac{ \sec^2 \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \dfrac{ 1 }{\ \cos^2 \alpha\ } \ \ \ }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } = \tg^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

$$1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } $$ Así nos queda: $$ \dfrac{ \sen \alpha }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen \alpha }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \sen^3 \alpha \text{ ✓} $$

Sacamos factor común en el denominador a $\sen \alpha$

$\dfrac{ 1 }{\ \sen^3 \alpha + \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \cdot (\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha ) \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \ } = \cosec \alpha $ ✓

Sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que $1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha$

$\dfrac{\ 1 - \sen^2 \alpha\ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{\cos \alpha } = \cos \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte derecha de la igualdad, sustituimos $1$ por $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha$ y en el denominador $1 - \cos^2 \alpha$ por $ \sen^2 \alpha$ y tenemos que

$ \tg \alpha \cdot \dfrac{1}{\ 1 - \cos^2 \alpha\ } = \tg \alpha \cdot \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha\ }{\sen^2 \alpha} = \tg \alpha \cdot \left ( \dfrac{1}{\ \tg^2 \alpha \ } + 1 \right ) = \dfrac{1}{\ \tg \alpha \ } + \tg \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

$ 1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } $

Sustituimos en el denominador y nos queda

$ \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \ \ \ \ \ \sen \alpha \ \ \ \ \ \ \ \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \sen^3 \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

$ 1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } $

Sustituimos en el denominador y nos queda

$ \dfrac{\ \sec^2 \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{\ 1\ }{\ \cos^2 \alpha \ } \ \ \ \ \ \ \ \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{\ \cos^2 \alpha \ } = \tg^2 \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $ y la $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} $

$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} $ ✓

Hacemos el producto en cruz y tenemos

$ ( 1 - \sen \alpha ) \cdot (1 + \sen \alpha) = \cos \alpha \Rightarrow 1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha \Rightarrow 1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $ ✓

Empezamos por la derecha, sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} $ y multiplicamos numerador y denominador por $\cos^2 \alpha$

$ \dfrac{ \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} }{ \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 } = \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} }{ \cos^2 \alpha \cdot \left ( \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 \right ) } $

en el numerador simplificamos un $\cos \alpha$ y en el denominador aplicamos la propiedad distributiva

$ = \dfrac{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } $ ✓

Empezamos por la izquierda desarrollando ambas identidades notables

$ \sen^2 \alpha - 2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + 2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha = $

Se cancela el doble producto y aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ = 1 + 1 = 2 $ ✓

Desarrollamos por la izquierda y nos damos cuenta que el numerador es diferencia de cuadrados y si aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$ tenemos

$( \sen^2 \alpha)^2 - ( \cos^2 \alpha )^2 = ( \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha ) \cdot ( \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) = 1 \cdot ( \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) $

$\dfrac{ \sen^4 \alpha - \cos^4 \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } = 1 $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 1 + \tg \alpha \ \ }{\sec \alpha} $

Sustituimos $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} $ y $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ 1 + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \cos \alpha + \sen \alpha $ ✓

Desarrollamos por la izquierda, sabemos que $\sec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha}$, $\cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha}$ y $\cotg \alpha = \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } $

Sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ \dfrac{\sec^{2} \alpha}{\cosec^2 \alpha -\sec^2 \alpha} + \dfrac{\cotg^2 \alpha}{\cotg^2 \alpha - 1} = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} }{ \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha} - \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} } + \dfrac{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } - 1} = $

operamos en los dos denominadores y tenemos

$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} } + \dfrac{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha} } = $

En la $1^{\underline{a}}$ fracción se simplifica el $\cos^2 \alpha$ y en la $2^{\underline{a}}$ se simplifica el $\sen^2 \alpha$ ambos dividen al numerador y denominador de cada fracción

$ = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

sumamos ambas fracciones y aplicando la relación fundamental de la trigonometría nos queda

$ = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } $ ✓

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

Vamos a sustituir $\sen^2 \alpha$ por $1 - \cos^2 \alpha$ en el numerador

$ \dfrac{ \sen^{2} \alpha \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = \dfrac{(1 - \cos^2 \alpha) \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = $

Vemos que $1 - \cos^2 \alpha$ es una identidad notable $ 1 - \cos^2 \alpha = (1 + \cos \alpha ) \cdot (1 - \cos \alpha ) $ y simplificamos con el factor del denominador

$ \dfrac{(1 + \cos \alpha ) \cdot (1 - \cos \alpha ) \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = (1 + \cos \alpha )^2 $

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

Sabemos que $ \tg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha} $ sustituimos y tenemos

$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \tg \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha )} = \dfrac{ \cos \alpha }{ \left ( \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha} \right ) \cdot ( 1 - \sen \alpha )} = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha ) } = $

Sabemos que $ \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha$ y esto es una identidad notable $ 1 - \sen^2 \alpha = (1 - \sen \alpha) \cdot ( 1 + \sen \alpha ) $ $ = \dfrac{ (1 - \sen \alpha) \cdot ( 1 + \sen \alpha ) }{ \sen \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha ) } = $

simplificamos $ 1 - \sen \alpha $ en el numerador y en el denominador

$ = \dfrac{ 1 + \sen \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \sen \alpha } = \cosec \alpha + 1 $

Empezamos desarrollando la parte izquierda de la igualdad sabemos que $ \cotg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{ \sen \alpha } $

$ \tg \alpha \cdot \cotg \alpha - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ 1 + \cotg^2 \alpha } } = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ 1 + \dfrac{\cos^2 \alpha}{ \sen^2 \alpha } } } = $

operamos dentro de la raíz, aplicamos la relación fundamental de la trigonometría

$ = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ \dfrac{\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{ \sen^2 \alpha } } } = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } } } = 1 - 2 \cdot \sen^2 \alpha = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría de nuevo $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $

$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha - 2 \cdot \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha = $

esto es una identidad notable $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot ( \cos \alpha -\sen \alpha) $ y además $\cos \alpha = \dfrac{1}{\sec \alpha} $ y $\sen \alpha = \dfrac{1}{\cosec \alpha} $

$ = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot ( \cos \alpha -\sen \alpha) = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot \left ( \dfrac{1}{\sec \alpha} - \dfrac{1}{\cosec \alpha} \right ) $ ✓

Empezamos por la parte izquierda de la identidad, sabemos que $ \tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{ \cos \alpha} $ y que $ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha} $ sustituimos

$ \dfrac{2 \cdot \sen \alpha + 3}{2 \cdot \tg \alpha + 3 \sec \alpha } = \dfrac{2 \cdot \sen \alpha + 3}{2 \cdot \left ( \dfrac{\sen \alpha}{ \cos \alpha} \right ) + 3 \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha} } = $

sumamos las dos fracciones del denominador que tienen el mismo denominador y el denominador de las mismas pasa al numerador multiplicando

$ = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha + 3 \ \ }{ \dfrac{ 2 \cdot \sen \alpha + 3 }{ \cos \alpha} } = \dfrac{ \cos \alpha \cdot \left ( 2 \cdot \sen \alpha + 3 \right )}{ 2 \cdot \sen \alpha + 3 } = $

simplificamos en el numerador y el denominador el factor $ 2 \cdot \sen \alpha + 3 $ y tenemos

$ = \cos \alpha $ ✓

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \dfrac{\sen \alpha - \cos \alpha}{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\cos \alpha \left ( \tg \alpha - 1 \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\cos \alpha \cancel{ \left ( \tg \alpha - 1 \right )} }{ \cancel{ \tg \alpha - 1} }= \cos \alpha ✓ $$

Otra forma, sacando factor común $\sen \alpha$: $$ \dfrac{\sen \alpha - \cos \alpha}{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\sen \alpha \left ( 1 - \cotg \alpha \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\ \sen \alpha \left (1 - \dfrac{\ 1 \ }{ \tg \alpha} \right ) }{\tg \alpha - 1} = $$ $$ = \dfrac{\ \sen \alpha \left ( \dfrac{\ \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha} \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\ \sen \alpha \left ( \tg \alpha - 1 \right ) }{\ \tg \alpha (\tg \alpha - 1) \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \cancel{ \left ( \tg \alpha - 1 \right ) } \ }{\ \tg \alpha \cancel{ (\tg \alpha - 1) }\ } = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \tg \alpha \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \cos \alpha \ } \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ }{\ \sen \alpha \ } = $$ $$ = \dfrac{\ \cancel{\sen \alpha } \cdot \cos \alpha \ }{\ \cancel{\sen \alpha } \ } = \cos \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \tg^{2} \alpha - \sen^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - 1 \right ) = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } \right ) = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{\sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } \right ) = \sen^2 \alpha \cdot \tg^2 \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \dfrac{1 + \cotg \alpha}{\sen \alpha + \cos \alpha} = \dfrac{1 + \cotg \alpha}{\sen \alpha \cdot ( 1 + \cotg \alpha) } = \dfrac{1}{\ \sen \alpha \ } = \cosec \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve fácilmente:

$$ \sec^{2} \alpha - 1 = \tg^{2} \alpha \Rightarrow \sec^{2} \alpha = 1 + \tg^{2} \alpha = 1 + \dfrac{\ \sen^{2} \alpha \ }{ \cos^{2} \alpha } = \dfrac{\ \cos^{2} \alpha + \sen^{2} \alpha \ }{ \cos^{2} \alpha } = \dfrac{1}{ \cos^{2} \ \alpha \ } ✓ $$

En este ejercicio haremos uso de la herramienta «sacar factor común», en este caso lo haremos con $\sen^{2} \alpha $:

$$ \sen^{4} \alpha + \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha \cdot \sen^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha \cdot (\cos^{2} \alpha + \sen^{2} \alpha ) + \cos^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha sustituyendo $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $

$$ \dfrac{1 + 2 \cdot \sen \alpha \cos \alpha}{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + 2 \cdot \sen \alpha \cos \alpha}{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $$ Aplicamos identidades notables en el numerador, cuadrado de una suma; y en el denominador, suma por diferencia es diferencia de cuadrados: $$ \dfrac{ (\cos \alpha + \sen \alpha)^2 }{ (\cos \alpha - \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) } = $$ Simplificando $(\cos \alpha + \sen \alpha)$ nos queda $$ = \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha }{ \cos \alpha - \sen \alpha } = $$ Sacamos factor común $\cos \alpha $ en el numerador y en el denominador y simplificando $\cos \alpha$ nos queda: $$ = \dfrac{ \cos \alpha ( 1 + \tg \alpha) }{ \cos \alpha ( 1 - \tg \alpha) } = \dfrac{ 1 + \tg \alpha }{ 1 - \tg \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \cotg \alpha - \dfrac{ \cotg^2 \alpha - 1 }{ \cotg \alpha } = \dfrac{ \cotg^2 \alpha - \cotg^2 \alpha + 1 }{ \cotg \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cotg \alpha } = $$ $$ = \tg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } }{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \sec \alpha }{ \cosec \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \sec^2 \alpha + \cosec^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha } + \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha } \cdot \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } = \sec^2 \alpha \cdot \cosec^2 \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \tg \alpha + \cotg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \sen \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } \cdot \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } = \sec \alpha \cdot \cosec \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sacando factor común a $\cos^2 \alpha$

$$ \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha} }{\ \ \cos^2 \alpha \left ( 1 - \dfrac{ \sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \right ) \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha \tg \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha ( 1 - \tg^2 \alpha) \ \ } = \dfrac{ \cancel{\cos^2 \alpha} \tg \alpha }{\ \ \cancel{\cos^2 \alpha} ( 1 - \tg^2 \alpha) \ \ } = \dfrac{ \tg \alpha }{\ \ 1 - \tg^2 \alpha \ \ } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } \ \ }{ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } - \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } } (1) $$ Trabajamos con el numerador y nos queda: $$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha \cos \alpha } $$ Ahora con el denominador: $$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } - \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } - \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } $$ Sustityuyendo en $(1)$ nos queda: $$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha \cos \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cancel{ \sen \alpha \cos \alpha} } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \cancel{ \sen \alpha \cos \alpha} } } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \ \ } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$, $\cosec \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \dfrac{ \ \ \sen \alpha + \cotg \alpha \ \ }{ \tg \alpha + \cosec \alpha } = \dfrac{ \ \ \sen \alpha + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } \ \ }{ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{1}{ \sen \alpha } } (2) $$ Trabajamos con el numerador y nos queda: $$ \sen \alpha + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \sen \alpha } $$ Ahora con el denominador: $$ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{1}{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } $$ Sustityuyendo en $(2)$ nos queda: $$ = \dfrac{ \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ \cancel{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha} }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha + \cos \alpha} }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = $$ $$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cancel{\sen \alpha} } }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \cancel{\sen \alpha} } } = \dfrac{ 1 }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } } = \cos \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha, sustituyendo $\cosec \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \cosec \alpha - \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen \alpha \ \ } - \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ 1 - \cos \alpha }{ \sen \alpha } = $$ Ahora amplificamos la fracción por $1 + \cos \alpha$ $$ = \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ \sen^{ \cancel{2} } \alpha }{ \cancel{\sen \alpha} \cdot (1 + \cos \alpha) } = $$ $$ = \dfrac{ \sen \alpha }{ 1 + \cos \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, poniendo común denominador:

$$ \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha \ \ }{ \tg \alpha - 1 } - \cosec^2 \alpha + 1 = \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha - \cosec^2 \alpha (\tg \alpha - 1) + \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha - 1 } = \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \cosec^2 \alpha + \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha - 1 } = \dfrac{ \ \ 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha }{ \tg \alpha - 1 } $$ Volvemos a igualar $\cotg \alpha$ y hacemos el producto en cruz: $$ \dfrac{ \ \ 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha }{ \tg \alpha - 1 } = \cotg \alpha \Rightarrow 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = (\tg \alpha - 1) \cdot \cotg \alpha \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = 1 - \cotg \alpha \Rightarrow - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = - \cotg \alpha $$ Desarrollando la expresión de la izquierda tenemos: $$ - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = \tg \alpha (1 - \cosec^2 \alpha) = \tg \alpha \left ( 1 - \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } - \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \sen^2 \alpha - 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = $$ $$ = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \cdot \cotg^2 \alpha = \left (\tg \alpha \cdot \cotg \alpha \right ) \cdot \cotg \alpha = (1) \cdot \cotg \alpha = \cotg \alpha ✓ $$

Vamos a calcular la identidad:

\( \mfrac{\cos x}{1 - \sen x} - \mfrac{\cos x}{1 + \sen x} = \mfrac{\cos x(1 + \sen x)}{(1 - \sen x)(1 + \sen x)} - \mfrac{\cos x(1 - \sen x)}{(1 + \sen x)(1 - \sen x)} = \)

\( = \mfrac{\cos x + \cos x \cdot \sen x - \cos x + \cos x \cdot \sen x}{(1 + \sen x)(1 - \sen x)} = \mfrac{2\cos x \cdot \sen x }{1 - \sen^2 x} = \mfrac{2\cos x \cdot \sen x }{\cos^2 x} = \mfrac{2 \sen x }{\cos x} = (*) \)

Aprovechando la relación que nos dan y tomando logaritmos nos queda:

\( 2^{\cos x} = 3^{\sen x} \Rightarrow \log 2^{\cos x} = \log 3^{\sen x} \Rightarrow (\cos x) \cdot \log 2 = (\sen x) \cdot \log 3 \Rightarrow \mfrac{\sen x}{\cos x} = \mfrac{\log 2}{ \log 3} \)

Si sustituimos en (*) tenemos:

\( (*) = \mfrac{2 \sen x }{\cos x} = \mfrac{2 \log 2}{\log 3} = \mfrac{\log 4}{\log 3} \)

Aguí tienes otra entrada de ejercicios de identidades trigonométricas para profundizar en este tipo de ejercicios.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com