Potencias de base entera y exponente entero. Propiedades, signo y ejercicios.

Definición de potencia de número entero y exponente natural:

Es una forma abreviada de escribir un producto o multiplicación donde los factores son iguales. La base es el factor que se repite y el exponente el número de veces que se repite el factor.

Se escribe: $$ \Huge{ \ \ \ \ \ \boldsymbol{ \color{red}\textbf{base} \leftarrow \color{red}a^{\color{blue}n \rightarrow \color{blue}\textbf{exponente} } } }$$ Se lee «$a$ elevado a $n$»:
$$ \begin{split} \large{ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_\text{«n»-veces} } \end{split} $$
Veamos algunos ejemplos:

$$ 2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64 $$
$$ (-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243 $$

Propiedades de las potencias:

$$ \large \begin{array}{|l|r|} \hline \ \ \ \ \ \ \ \qquad Propiedad & Ejemplos \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ \ \\ \hline \text{ Si } \ a \neq 0 \Rightarrow a^0 = 1 & 5^0 = 1; (-3)^0 = 1 \\ \hline \text{ Para todo } \ a, a^1 = a & 4^1 = 4; (-7)^1 = -7 \\ \hline a^n \cdot a^m = a^{n + m} & 2^3 \cdot 2^6 = 2^{3 + 6} = 2^9 = 512 \\ \hline a^n : a^m = \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} & 23^{10} : 3^6 = 3^{10 - 6} = 3^4 = 81 \\ \hline a^p \cdot b^p = \left ( a \cdot b \right )^p & 2^6 \cdot 5^6 = (2 \cdot 5)^6 = 10^6 = 1.000.000 \\ \hline a^p : b^p = \dfrac{a^p}{b^p} = \left ( a : b \right )^p = \left ( \dfrac{a}{b} \right )^p & 15^5 : 5^5 = \dfrac{15^5}{5^5} = \left ( 15 : 5 \right )^5 = \left ( \dfrac{15}{5} \right )^5 = 3^5 = 243 \\ \hline \left ( a^s \right )^t = a^{s \cdot t} & \left ( 4^2 \right )^3 = 4^6 = 4.096 \\ \hline a^{-n} = \dfrac{ 1 }{\ a^n\ } & 3^{-2} = \dfrac{1}{\ 3^2\ } = \dfrac{ 1 }{\ 9\ } \\ \hline \end{array} $$

Signo de la potencia:

El signo de la potencia depende del signo de la base y de si el exponente es «par o impar»:

$$ \large \text{signo} \left (a^n \right ) = \begin{cases} \cr \begin{array}{c} \text{ Si } a < 0 \text{ y } \color{blue} n \text{ impar } \Rightarrow a^n < 0 \\ \color{blue} (n \textbf{ positivo o negativo } ) \end{array} \color{blue} \begin{cases} \cr (-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32 < 0 \cr \cr (-11)^{3} = (-11) \cdot (-11) \cdot (-11) = -1331 < 0 \cr \cr (-3)^{-3} = \dfrac{1}{\ (-3)^{3}\ } = -243 < 0 \cr \cr (-5)^{-5} = \dfrac{1}{\ (-5)^{5}\ } = -3125 < 0 \cr \cr \end{cases} \cr \cr \color{black} \text{ Si } a = 0 \text{ y } n > 0 \Rightarrow 0^n = 0 \cr \cr \text{ El resto de casos es positivo } a^n > 0 \begin{cases} \cr 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 > 0 \cr \cr 3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 > 0 \cr \cr 3^{-5} = \dfrac{1}{\ 3^5\ } = \dfrac{1}{\ 243\ } > 0 \cr \cr 7^{-3} = \dfrac{1}{\ 7^3\ } = \dfrac{1}{\ 343\ } > 0 \cr \cr (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 > 0 \cr \cr (-5)^{4} = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625 > 0 \cr \cr (-3)^{-4} = \dfrac{1}{\ (-3)^{4}\ } = \dfrac{1}{\ 81\ } > 0 \cr \cr (-2)^{-10} = \dfrac{1}{\ (-2)^{10}\ } = \dfrac{1}{\ 1024\ } > 0 \cr \cr \end{cases} \cr \cr \end{cases} $$


Vamos a ver las demostraciones de dos de las propiedades de potencias:
$$ \text{Si } a \neq 0, a^0 = a^{1 - 1} = a^{2 - 2} = \ldots = a^{n - n} = \dfrac{\ a^n \ }{\ a^n\ } = 1 $$ $$ a^{n - n} = 1 \Leftrightarrow a^n \cdot a^{-n} = 1 \Leftrightarrow a^{-n} = \dfrac{ 1 }{\ a^n\ } $$ Rellena los siguientes cuadrados en tu cuaderno:

$$ \bbox[6px,border:4px solid red] { \left ( n^{\underline{o}} \text{ negativo }\right)^{\text{par}} = \qquad \qquad \qquad } \qquad \bbox[6px,border:4px solid red] { \left ( n^{\underline{o}} \text{ negativo } \right)^{\text{impar}} = \qquad \qquad \qquad } $$ $$ \bbox[6px,border:4px solid red] { 1^{n} = \qquad \qquad } \qquad \bbox[6px,border:4px solid red] { \left (-1 \right)^{\text{par}} = \qquad \qquad } \qquad \bbox[6px,border:4px solid red] { \left (-1 \right )^{\text{impar}} = \qquad \qquad } $$

Expresa como una sola potencia, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:

1. $\mathtip{ 7^5 \cdot 7^3 }{ \huge { \bbox[Lavender]{\ \text{Solución: } 7^8, \text{ ya que } 5 + 3 = 8 } \ } }$
   
   
2. $\mathtip{ 7^5 : 7^3 }{ \huge { \bbox[Lavender]{\ \text{Solución: } 7^2, \text{ ya que } 5 - 3 = 2 } \ } }$
   
   
3. $\mathtip{ x^5 \cdot x^9 }{ \huge { \bbox[Lavender]{\ \text{Solución: } x^{14}, \text{ ya que } 5 + 9 = 14} \ } }$
   
   
4. $ p^{10} : p^6 $
   
   
5. $(3^4)^5$
   
   
6. $ (m^2)^3 $
   
   
7. $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2^8$
   
   
8. $[(m^3)^2]^5$
   
   
9. $ 8^3 \cdot 5^3 $
   
   
10. $ 35^{4} : 7^4 $
    
    
11. $ (-2)^4 \cdot 7^4 $
    
    
12. $ (-18)^5 : (-9)^5 $
    
    
13. $ a^8 \cdot b^8 $
    
    
14. $ p^{10} : t^{10} $
    
    
15. $ 3^{10} \cdot(-2)^{10} \cdot(-5)^{10} $
    
    
16. $ (-4)^5 \cdot(-3)^5 \cdot(-10)^5 $
    
    

Calcula el número de cifras del número:

Base exponente

El número tiene cifras.