Ejercicios de planteamiento - Ecuaciones de primer grado

Fases para resolver problemas en Matemáticas:

1. Entender el problema
Leer las veces que haga falta el enunciado, hacer cualquier dibujo o esquema que ayude a su comprensión. Obtener todos los datos, directos e indirectos, que nos da el problema.
2. Plantear una ecuación
Escribir una ecuación que se adecúe al problema en cuestión.
3. Resolver la ecuación
Resolver la ecuación.
4. Comprobar la solución obtenida
Coherencia del resultado y comprobación de la misma.

$x$ = nº de horas que estudia Matemáticas.
$2x + 3$ = nº de horas que se dedica a jugar a los videojuegos.
$$x + 2x + 3 = 12 $$
$$3x = 12 - 3 $$
$$3x = 9 $$
$$x = \dfrac{\ 9\ }{3} = 3 \text{ horas. } $$
Eso quiere decir que ha dedicado 3 horas a Matemáticas y 9 horas a los videojuegos.

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline Padre & x + 36 & x + 41 \\ \hline Hijo & x & x + 5 \end{array} $$
Si la edad del padre cuadruplica a la del hijo en 5 años, tenemos que:
$$ 4(x + 5) = x + 41 $$
$$ 4x + 20 = x + 41 $$
$$ 4x - x = 41 - 20 $$
$$ 3x = 21 $$
$$ x = \dfrac{\ 21\ }{3} = 7 $$
$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline Padre & 7 + 36 = 43 & 7 + 41 = 48 \\ \hline Hijo & 7 & 7 + 5 = 12 \end{array} $$

$x = $ nº de motos, con 2 ruedas
$39 - x = $ nº de coches, con 4 ruedas
El número total de ruedas es de 130:
$$ 2 \cdot x + 4 \cdot (39 - x ) = 130 $$
$$ 2x + 156 - 4x = 130 $$
$$ - 2x = -26 \Rightarrow 2x = 26 $$
$ x = \dfrac{\ 26\ }{2} = 13 \Rightarrow x = 13$ motos y el número de coches será 39 - 13 = 26.

Comprobación: $13 \times 2 + 26 \times 4 = 26 + 104 = 130 $

$x = $ nº de monedas de 0,1 cts de €
$13 - x = $ nº de monedas de 0,2 cts de €
La cantidad total del dinero es 1,7€
$$ 0,1 \cdot x + 0,2 \cdot (13 - x ) = 1,7 $$
$$ 0,1x + 2,6 - 0,2x = 1,7 $$
$$ - 0,1x = -0.9 \Rightarrow 0,1x = 0,9 $$
$ x = \dfrac{\ 0.9\ }{0,1} = 9 \Rightarrow x = 9 $ monedas de 0,1 cts y 13 - 9 = 4 monedas de 0,2 cts.

Comprobación: $9 \times 0,2 + 4 \times 0,2 = 0,9 + 0,8 = 1,7 $

$x = $ nº de patos, 2 patas
$2x = $ nº de cerdos, 4 patas
La cantidad total de patas es:
$$ 2 \cdot x + 2x \cdot 4 = 350 $$
$$ 2x + 8x = 350 $$
$$ 10x = 350 $$
$ x = \dfrac{\ 350\ }{ 10 } = 35 \Rightarrow x = 35 $ patos, y el número de cerdos es de 70.

Comprobación: Vamos a contar patas $35 \times 2 + 70 \times 4 = 70 + 280 = 350 patas$

Un número par en álgebra es siempre $2 \cdot x$, y tres números naturales pares consecutivos se puede poner de muchas formas:
$$ 2x - 2, 2x, 2x + 2$$
$$ 2x - 2 + 2x + 2x + 2 = 186 $$
$$ 2x \cancel{- 2} + 2x + 2x + \cancel{2} = 186 $$
$$ 6x = 186 $$
$$ x = \dfrac{\ 186\ }{ 6 } = 31 \text{ luego los números son: } $
$ 2x - 2 = 2 \cdot 31 - 2 = 62 - 2 = 60 $
$ 2x = 2 \cdot 31 = 62 $
$ 2x + 2 = 2 \cdot 31 + 2 = 62 + 2 = 64 $
Comprobación: 60 + 62 + 64 = 186

Un número impar en álgebra es siempre $2 \cdot x \pm 1 $, y tres números naturales impares consecutivos se puede poner de muchas formas:
$$ 2x - 1, 2x + 1, 2x + 3$$
$$ 2x - 1 + 2x + 1 + 2x + 3 = 201 $$
$$ 2x \cancel{- 1} + 2x + \cancel{1} + 2x + 3 = 201 $$
$$ 6x + 3 = 201 $$
$$ 6x = 198 $$
$$ x = \dfrac{\ 198\ }{ 6 } = 33 \text{ luego los números son: } $
$ 2x - 1 = 2 \cdot 33 - 1 = 65 $
$ 2x + 1 = 2 \cdot 33 + 1 = 67 $
$ 2x + 3 = 2 \cdot 33 + 3 = 69 $
Comprobación: 65 + 67 + 69 = 201

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline Cristina & x + 15 & x + 20 \\ \hline Andrea & x & x + 5 \end{array} $$
Si la edad de Cristina es el doble de la de Andrea en 5 años, tenemos que:
$$ 2(x + 5) = x + 20 $$
$$ 2x + 10 = x + 20 $$
$$ 2x - x = 20 - 10 $$
$$ x = 10 $$
$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline Padre & 10 + 15 = 25 & 10 + 20 = 30 \\ \hline Hijo & 10 & 10 + 5\ = 15 \end{array} $$

$x = $ nº de preguntas acertadas
$50 - x = $ nº de preguntas No acertadas
Calculamos la puntuación, 3 puntos por acierto y -2 por fallo:
$$ 3 \cdot x - 2 \cdot (50 - x) = 85 $$
$$ 3x - 100 + 2x = 85 $$
$$ 5x = 185 $$
$$ x = \dfrac{\ 185\ }{ 5 } = 37 $$
Comprobación:
$ 3 \times 37 - 2 \times 13 = 111 - 26 = 85 $ puntos

$$ \begin{array}{cc} & \text{ Cantidad } \\ \hline Gallinas & 6x \\ \hline Conejos & 3x \\ \hline Cerdos & \ x \\ \hline Perros & \ 2 \\ \hline \end{array} $$
Si lo sumamos todo tenemos:
$$ 6x + 3x + x + 2 = 252 $$
$$ 10x = 252 - 2 $$
$$ 10x = 250 $$
$$ x = \dfrac{\ 250\ }{10} = 25 $$
Luego tenemos los siguientes animales: $$ \begin{array}{ccc} & \text{ Cantidad } & \\ \hline Gallinas & 6x & 150 \\ \hline Conejos & 3x & \ 75 \\ \hline Cerdos & \ x & \ 25 \\ \hline Perros & \ 2 & \ \ 2\\ \hline \end{array} $$
Sumando nos queda: $ 150 + 75 + 25 + 2 = 252 $

Un número es $x$ y el otro número es $x - 27$, así su resta es 27.
Y la suma de dichos números es 241 luego:
$$ x + x - 27 = 241 $$
$$ 2x = 241 + 27 $$
$$ 2x = 268 $$
$$ x = \dfrac{\ 268\ }{2} = 134 $$
Luego el otro número es $x - 27 = 134 - 27 = 107$
Comprobación:
Si sumamos los números tenemos: 134 + 107 = 241
Si los restamos tenemos: 134 - 107 = 27

$ x =$ nº de huevos que hay en cada cesta
Si pasamos 8 huevos de una cesta a otra nos quedará así, si una tiene el triple que la otra, será la que menos tenga:
$$ 3 \cdot (x - 8) = x + 8 $$
$$ 3x - 24 = x + 8 $$
$$ 3x - x = 24 + 8 $$
$$ 2x = 32 $$
$$ x = \dfrac{\ 32\ }{2} = 16 $$
Luego cada cesta tiene 16 huevos, si pasamos 8 huevos de una cesta a otra, una tendrá 8 y la otra el triple que es 24.

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline Marta & 3x & 3x + 3 \\ \hline Carlos & x & x + 3 \end{array} $$
Dentro de 3 años la edad de Marta será el doble que la de Carlos:
$$ 3x + 3 = 2 \cdot (x + 3) $$
$$ 3x + 3 = 2x + 6 $$
$$ 3x - 2x = 6 - 3 $$
$$ x = 3 \text{ años} $$
Comprobación:

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline Marta & 9 & 12 \\ \hline Carlos & 3 & 6 \end{array} $$

$x =$ nº de botes de kétchup en la estantería
Así tenemos que: $$ x + 20 = 4 (x - 10) $$
$$ x + 20 = 4x - 40 $$
$$ 40 + 20 = 4x - x $$
$$ 60 = 3x $$
$$ x = \dfrac{\ 60\ }{3} = 20 $$
Luego en la estantería hay 20 botes de kétchup.
Comprobación:
Si hay 20 y añado 20 tendré 40 botes de kétcup;
Si quito 10 y multiplico por 4 tendré 40 botes de kétcup también.

$ x = $ nº de alumnos de la clase de Miguel
nº de libros $ = 3x + 4 $
nº de libros $ = 4 \cdot (x - 5) $
Luego igualando el nº de libros tenemos que:
$$ 3x + 4 = 4 \cdot (x - 5) $$
$$ 3x + 4 = 4x - 20 $$
$$ 20 + 4 = 4x - 3x $$
$$ 24 = x $$
Luego el número de alumnos es de 24 y el número de libros es $ 3 \times 24 + 4 = 72 + 4 = 76 $

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline Eva & x - 5 & x - 2 \\ \hline Hermano & x & x + 3 \end{array} $$
Dentro de 3 años la suma de las edades será de 23 años:
$$ x + 3 + x - 2 = 23 $$
$$ 2x + 1 = 23 $$
$$ 2x = 23 - 1 $$
$$ 2x = 22 $$
$$ x = \dfrac{\ 22\ }{2} = 11 \text{ años } $$
Comprobación:

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline Eva & 6 & 9 \\ \hline Hermano & 11 & 14 \end{array} $$

$x = $ nº de perros
$60 - x = $ nº de periquitos
Calculamos el número de patas, los perros tienen 4 y los periquitos 2:
$$ 4 \cdot x + 2 \cdot (60 - x) = 150 $$
$$ 4x + 120 - 2x = 150 $$
$$ 2x = 150 - 120 $$
$$ 2x = 30 $$
$$ x = \dfrac{\ 30\ }{ 2 } = 15 \text{ perros; luego el número de periquitos es de } 45. $$
Comprobación:
$ 4 \times 15 + 2 \times 45 = 60 + 90 = 150 $ patas

$x = $ nº de caballos
$35 - x = $ nº de avestruces
Calculamos el número de patas, los caballos tienen 4 y los avestruces 2:
$$ 4 \cdot x + 2 \cdot (35 - x) = 116 $$
$$ 4x + 70 - 2x = 116 $$
$$ 2x = 116 - 70 $$
$$ 2x = 46 $$
$$ x = \dfrac{\ 46\ }{ 2 } = 23 \text{ caballos; luego el número de avestruces es de } 12. $$
Comprobación:
$ 4 \times 23 + 2 \times 12 = 92 + 24 = 116 $ patas

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 14 años } \\ \hline Madre & x & x + 14 \\ \hline Hijo & 40 - x & 54 - x \end{array} $$
Dentro de 14 años la edad de la madre será el triple que la del hijo:
$$ 3 \cdot (54 - x) = x + 14 $$
$$ 162 - 3x = x + 14 $$
$$ 162 - 14 = x + 3x $$
$$ 148 = 4x $$
$$ x = \dfrac{\ 148\ }{4} = 37 \text{ años tiene la madre; luego el hijo tiene 3 años } $$
Comprobación:

$$ \begin{array}{ccc} & \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 14 años } \\ \hline Madre & 37 & 37 + 14 = 51 \\ \hline Hijo & 3 & 3 + 14 = 17 \end{array} $$

$x =$ número de horas que dura el trayecto.
Sabemos que el viaje de ida le ha costado 2 horas más que el de vuelta. Tenemos que recordar que el espacio = velocidad $ \times $ tiempo. Así:
$$ 60 \cdot (x + 2 ) = 80 \cdot x $$
$$ 60x + 120 = 80x $$
$$ 120 = 20 x $$
$$ x = \dfrac{\ 120\ }{20} = 6 \text{ horas ha durado el viaje. } $$
La distancia entre ambas ciudades es de $6h \cdot 80km/h = 480 km$ de distancia. Comprobación:

Si el viaje de ida va a $60km/h$ y le cuesta 8 horas, ha viajado $ 60 km/h \cdot 8 h = 480 km$

Si el viaje de vuelta va a $80km/h$ y le cuesta 6 horas, ha viajado $ 80 km/h \cdot 6 h = 480 km \checkmark$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Según la existencia y la unicidad de las soluciones, los sistemas de ecuaciones se clasifican:

$$ \large \matrix{ \text{ Sistemas } \cr \text{de} \cr \text{ecuaciones} } = \cases{ \textbf{Compatible} \text{, el sistema tiene solución } \large \cases{ \textbf{Determinado} \text{: solución única. } \cr \cr \textbf{Indeterminado} \text{, infinitas soluciones } } \cr \cr \textbf{Incompatible} \text{, el sistema no tiene solución. } \cr } $$

Vamos a resolver varios sistemas de ecuaciones usando los cuatro métodos.

$$\huge \fbox{ Método de Sustitución} $$

«Consiste en despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en la otra.»

Lo que nos da cuatro opciones: 

• Despejar la $x$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $x$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera;
• Despejar la $y$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $y$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 5x + 2y = 11 \cr \cr 2x - 3y = 12 } $$

Vamos a despejar la $x$ en la primera ecuación, así $x = \dfrac{11 - 2y}{5}$; Y ahora sustituimos en la segunda ecuación:

$$2\left ( \dfrac{11 - 2y}{5} \right ) - 3y = 12 \text{ Multiplicando por 5 ambos lados de la ecuación tenemos } $$

$$2\left ( 11 - 2y \right ) - 15y = 60 \Leftrightarrow 22 - 4y - 15y = 60 \Leftrightarrow -19y = 38 \Leftrightarrow y = - 2$$

Sabiendo el valor de $y$, calculemos el de $x, x  = \dfrac{11 - 2(-2)}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$. 

Vamos a comprobar el sistema: 

$$ \large \cases{ 5 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 15 - 4 = 11 \checkmark \cr \cr 2\cdot 3 - 3 \cdot (-2) = 6 + 6 = 12 \checkmark \cr } $$

Siempre hay que comprobar las soluciones.

En todas y cada una de las ecuaciones que forman el sistema.

$$\huge \fbox{ Método de Igualación} $$

«Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualarlas.»

Lo que nos da dos opciones: 

• Despejar la $x$ en las dos ecuaciones e igualarlas;
• Despejar la $y$ en las dos ecuaciones e igualarlas.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 3x + 2y = 7 \cr 2x - 3y = 9 } $$

De la $\odn{1}{a}$ ecuación despejamos $y$, $ 3x + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 7 - 3x \Rightarrow y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2}$ (1)

De la $\odn{2}{a}$ ecuación despejamos también $y$, $2x - 3y = 9 \Rightarrow - 3y = 9 - 2x \Rightarrow 3y = -9 + 2x \Rightarrow y = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} $ (2)

Igualamos ambas expresiones de $y$ en (1) y (2):

$$ \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} \Leftrightarrow 3 \cdot \left ( 7 - 3x \right ) = 2 \cdot \left ( -9 + 2x \right )$$

$$ 21 - 9x = - 18 + 4x \Leftrightarrow 39 = 13 x \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 39\ }{13} = 3 $$

Sustituyendo en cualquiera de las dos expresiones (1) o (2) donde tenemos despejada la $y$ tenemos:

$$ y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ 7 - 3 \cdot 3 \ }{2} = \dfrac{\ 7 - 9\ }{2} = \dfrac{\ - 2\ }{2} = -1 $$

Ya hemos solucionado el sistema. Vamos con la comprobación:

$$ \left \{ \begin{array}{l} 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 9 - 2 = 7 \checkmark \cr \cr 2 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) = 6 + 3 = 9 \checkmark \cr \end{array} \right . $$

$$\huge \fbox{ Método de Reducción} $$

«Consiste en conseguir un sistema equivalente donde alguna de las incógnitas tengan el mismo coeficiente (o su opuesto), que será el mínimo común múltiplo de los coeficientes de la incógnita elegida. Para ello vamos a multiplicar una de las ecuaciones o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) para que los coeficientes de la $x$ o los de la $y$ sean iguales (u opuestos). A continuación se suman (o restan) las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita.»

1. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
2. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
3. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta

Para este paso hay dos opciones:

• Se repite el proceso con la otra incógnita.
• Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

Vamos a despejar la $y$, para ellos queremos conseguir el mismo coeficiente (o el opuesto) en las $x$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por -5:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow {\ \ \ -5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10x + \ 4y \ = \ 22 \cr \cr -10x + 15y = -60 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 19y = -38 \Rightarrow y = -2 \end{array} $$

Ahora tenemos dos opciones:

1.- Aplicando el método de reducción para despejar la $x$, para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ 3\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow{\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{15x + \ 6y \ = \ 33 \cr \cr \ \ 4x \ - 6y \ = \ 24 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 19x \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 57 \Rightarrow x = 3 \end{array} $$

2.- Sustituir en alguna de las ecuaciones la $y$ por -2 y calcular el valor de $x$. 

$$ 5x + 2 \cdot (-2) = 11 \Leftrightarrow 5x = 15 \Leftrightarrow x = 3 $$

Ya hemos solucionado el sistema. La comprobación la tenemos hecha en el método de sustitución. 

$$\huge \fbox{ Método Gráfico } $$

Consiste en representar las gráficas de las rectas asociadas a cada una de las ecuaciones del sistema para deducir su solución.
Recordemos que dos rectas en el plano tienen tres posibilidades:

1. Rectas secantes, se cortan en un único punto, la solución es única. Sistema compatible determinado.
2. Rectas coincidentes, infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado.
3. Rectas paralelas, no se cortan,  no existe solución. Sistema incompatible.

Para dibujar cada una de las rectas del sistema, seguimos los siguientes pasos:

• Despejamos una incógnita, normalmente la $y$;
• Damos valores y calculamos dos puntos de la recta (de los infinitos que tiene);
• Dibujamos en un sistema de referencia cartesiana los dos puntos obtenidos y trazamos la recta que pasa por ambos puntos.

De la $\odn{1}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{11 - 5x}{2} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 1 & 3 \cr 3 & -2 \end{array} \qquad \qquad$ De la $\odn{2}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{2x - 12}{3} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 6 & 0 \cr 3 & -2 \end{array} $

Veamos la gráfica:

     Truco - Coordenadas enteras     

     A la hora de buscar puntos para dibujarlos, siempre que podamos escogeremos puntos con las coordenadas $x$ e $y$ enteras. Para ello lo primero que haremos será despejar una variable (dependiente) en función de la otra (independiente). Si no hay denominador ya trabajamos con coordeadas enteras; si lo hubiera, a la variable independiente le sumamos un múltiplo cualquiera del denominador y ya tendríamos un punto cualquiera de la recta con coordenadas enteras.

Veamos un ejemplo:

    En la primera ecuación, despejamos la coordenada $y$, tenemos $y = \dfrac{\ \ 11 - 5x \ \ }{2}$; hemos obtenido el punto $(x, y) = (1, 3)$. Si ahora a la coordenada $x = 1$ de este punto, le sumamos un múltiplo del denominador de la $y$ en este caso 2, obtendremos otro punto con coordenadas enteras. Así un múltiplo del denominador puede ser $..., -8, -6 , -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ... $, tomamos por ejemplo 4, si $x = 1 + 4 = 5$, tenemos que $y = -7$, es decir, hemos obtnido otro punto con coordenadas enteras $(x, y) = (5, -7)$. Lo mismo ocurrirá, si $ x = 1 - 4 = -3$, tenemos que $ y = 13$, etc.


    En la 1ª ecuación, si en lugar de despejar $y$, despejamos $x = \dfrac{\ \ 11 - 2y\ \ }{5}$, tenemos que buscar un punto con coordenadas enteras, es lo que más cuesta. En este caso, si $y = -2$ tenemos que $x = 3$, el punto sería el $(x, y) = (3, -2)$. Si ahora sumamos a la coordenada $y$ un múltiplo del denominador 5, tenemos que $y = -2 + 10 = 8$ y así $x = -1$.

    Si cogemos la segunda ecuación tenemos $ y = \dfrac{\ \ 2x - 12\ \ }{3} $ y hemos obtenido el punto $(, y) = (0, -4)$. Si ahora a la coordenada $x$ le sumamos un múltiplo del denominador, que en este caso 3, tenemos $x = 0 + 9 = 9$ así $y = 2$. Otros puntos los obtendríamos para valores de $x = -3, y = -6$.

    Si cogemos la 2ª ecuación y despejamos $ x = \dfrac{\ \ 12 + 3y\ \ }{2} $ y obtenemos el punto $(x, y) = (6, 0)$, ahora a la coordenada $y$ le sumamos cualquier múltiplo de 2 y obtenemos puntos de la recta con coordenadas enteras, por ejemplo, $y = 4$, nos da el valor de $x = 12$.

     Comprueba el sistema     

Aquí os dejo un enlace donde podéis comprobar por el método gráfico la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:





Aquí tienes unos sistemas de ecuaciones resueltos por los métodos sustitución, igualación y reducción. Vamos a ello:

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{1}{a}$ ecuación la variable $x$ y tenemos que: $$ 9x = 2y - 3 \Rightarrow x = \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} (1) $$ sustituimos este valor de $x$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 7y - 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 12\ }{9} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow $$ Multiplicando por 3: $$ 3 \cdot 7y - 3 \cdot \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 3 \cdot 17 \Rightarrow 21y - 4 \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 51 \Rightarrow $$ $$ 21y - 8y + 12 = 51 \Rightarrow 13y = 39 \Rightarrow y = \dfrac{\ 39\ }{ 13 } = 3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ x = \dfrac{\ 2 \cdot 3 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 6 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 3\ }{9} = \dfrac{\ 1\ }{3} $$

Veamos el método de igualación. Vamos a despejar $y$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $9x + 3 = 2y \Rightarrow y = \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $y$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7y = 12x + 17 \Rightarrow y = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (9x + 3) = 2 \cdot (12x + 17) \Rightarrow 63x + 21 = 24x + 34 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 39x = 13 \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{ 39 } = \dfrac{\ 1\ }{3} $$ Sustituyendo la $x$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $y$ obtenemos su valor: $$ y = \dfrac{\ 12 \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} + 17\ }{7} = \dfrac{\ 4 + 17\ }{7} = \dfrac{\ 21\ }{7} = 3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $x$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 63x - 14y \ = \ -21 \cr \cr -24x + 14y = 34 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 39x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 13 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{39} = \dfrac{\ 1\ }{3} \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $y$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 4 y la $\odn{2}{a}$ por 3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 4\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 3\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 36x - 8y \ = \ -12 \cr \cr -36x + 21y = 51 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 13y\ \ \ = 39 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow y = \dfrac{39}{\ 13\ } = 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $n$ y tenemos que: $$ 2n = -23 - 5m \Rightarrow n = \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} (1) $$ sustituimos este valor de $n$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2m - 5 \cdot \left ( \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} \right ) = 14 \Rightarrow 2m - \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 14 \Rightarrow $$ Multiplicando por 2: $$ 2 \cdot 2m - 2 \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 2 \cdot 14 \Rightarrow 4m - 5 \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 28 \Rightarrow 4m + 5 \cdot (23 + 5m) = 28 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4m + 115 + 25m = 28 \Rightarrow 29m = -87 \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{29} = -3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ n = \dfrac{\ -23 - 5 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ -23 + 15\ }{2} = \dfrac{\ -8\ }{2} = -4 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $m$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2m - 5n = 14 \Rightarrow 2m = 14 + 5n \Rightarrow m = \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $m$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $5m = -23 - 2n \Rightarrow m = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $$ Multiplicamos por 10 y nos quedará: $$ 10 \cdot \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = 10 \cdot \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} \Rightarrow 5 \cdot (14 + 5n) = 2 \cdot (-23 - 2n) \Rightarrow 70 + 25n = -46 - 4n \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 29n = -116 \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{ 29 } = -4 $$ Sustituyendo la $n$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $m$ obtenemos su valor: $$ m = \dfrac{\ 14 + 5 \cdot (-4)\ }{2} = \dfrac{\ 14 - 20\ }{2} = \dfrac{\ -6\ }{2} = -3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $n$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ -2\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10m - 25n \ = \ 70 \cr \cr -10m - 4n = 46 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -29n \ \ \ \ \ \ \ = 116 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{29} = -4 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $m$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 2 y la $\odn{2}{a}$ por 5:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ 5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 4m - 10n \ = \ 28 \cr \cr 25m + 10n = -115 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 29m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -87 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{ 29 } = - 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $q$ y tenemos que: $$ 5q = 27 - 7p \Rightarrow q = \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} (1) $$ sustituimos este valor de $q$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2p - 3 \cdot \left ( \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} \right ) = 21 \Rightarrow 2p - \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 21 \Rightarrow $$ Multiplicando por 5: $$ 5 \cdot 2p - 5 \cdot \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 5 \cdot 21 \Rightarrow 10p - 3 \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 105 \Rightarrow 10p - 81 + 21p = 105 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 31p = 186 \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ q = \dfrac{\ 27 - 7 \cdot 6\ }{5} = \dfrac{\ 27 - 42\ }{5} = \dfrac{\ -15\ }{ 5 } = -3 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $p$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2p - 3q = 21 \Rightarrow 2p = 21 + 3q \Rightarrow p = \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $p$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7p = 27 - 5q \Rightarrow p = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (21 + 3q) = 2 \cdot (27 - 5q) \Rightarrow 147 + 21q = 54 - 10q \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 93 = -31q \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = -3 $$ Sustituyendo la $q$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $p$ obtenemos su valor: $$ p = \dfrac{\ 21 + 3 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ 21 - 9\ }{2} = \dfrac{\ 12\ }{2} = 6 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $p$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por -3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -3\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10p - 15q \ = 100 \cr \cr 21p + 15q = 81 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 31p\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 186 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $q$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por -2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -7\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 14p - 21q \ = 147 \cr \cr -14p - 10q = -54 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -31q\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 93 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = - 3 \end{array} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Divisores naturales y enteros de un número entero.

 Vamos a ver como calcular los divisores naturales de un número entero. Vamos con un ejemplo.

Ejemplo 1: Calcular los divisores de 72:

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:

2. Tenemos el número como producto de potencias de números primos. Para calcular el número de divisores de un número, se multiplican los exponentes de los factores primos aumentados en una unidad. En este caso, los exponentes son 3 y 2, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:

$(3 + 1) \cdot (2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12 $ divisores naturales

3. Para calcular los mismos, construimos una tabla, en la parte superior, ponemos los divisores de una de las dos potencias de primos, por ejemplo, los divisores de $2^3$, que son: 1, $2^1$, $2^2$ y $2^3$ y en el parte lateral, los divisores de la otra potencia, la de $3^2$, es decir, 1, $3^1$ y $3^2$.

Ahora rellenamos la tabla, multiplicando el 1 por 1, 2, 4 y 8. El 3 por 1, 2, 4 y 8 y así sucesivamente. Es decir,

En esta tabla tenemos los 12 divisores naturales del número 72. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 24 divisores enteros del número 72. 

En este ejemplo, el número 72 es producto de dos potencias de números primos. Pero, ¿qué pasa si el número es potencia de tres o más números primos? Veamos otro ejemplo.

Ejercicios:

$ \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ \ 9 & 3 \Rightarrow 36 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{2} \\ \ 3 & 3 \\ \ 3 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{c}|{2}{c}{2}{c}{2}{c}} \ & 1 & 2 & \ 4 \ \ \ \\ \hline 1 & 1 & \ 2 & \ 4 \\ 3 & 3 & \ 6 & 12 \\ 9 & 9 & 18 & 36 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 75 & 3 \\ 25 & 5 \Rightarrow 75 = 3^\textcolor{red}{1} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ \ 5 & 5 \\ \ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{1} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 2 \cdot 3 = 6 \qquad \begin{array}{{2}{c}|{2}{c}{2}{c}{2}{c}} \ & 1 & \ 5 & \ 25 \ \ \ \\ \hline 1 & 1 & \ 5 & 25 \\ 3 & 3 & 15 & 75 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \Rightarrow 108 = 3^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{3} \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{3} + 1) = 3 \cdot 4 = 12 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 6 & 12 \\ 9 & 9 & 18 & 36 \\ 27 & 27 & 54 & 108 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 196 & 2 \\ 98 & 2 \\ 49 & 7 \Rightarrow 196 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 7^\textcolor{blue}{2} \\ 7 & 7 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 7 & 7 & 14 & 28 \\ 49 & 39 & 98 & 196 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 200 & 2 \\ 100 & 2 \\ 50 & 2 \Rightarrow 200 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 4 \cdot 3 = 12 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 5 & 5 & 10 & 20 & 40 \\ 25 & 25 & 50 & 100 & 200 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 225 & 3 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \Rightarrow 225 = 3^\textcolor{red}{2} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 5 & \ 25 \\ \hline 1 & 1 & 5 & 25 \\ 3 & 3 & 15 & 75 \\ 9 & 9 & 45 & 225 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 500 & 2 \\ 250 & 2 \\ 125 & 5 \Rightarrow 500 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 5^\textcolor{blue}{3} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{3} + 1) = 4 \cdot 4 = 16 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 5 & 10 & 20 \\ 25 & 25 & 50 & 100 \\ 125 & 125 & 250 & 200 \\ \end{array} $

Ejemplo 2: Vamos a calcular los divisores naturales de 1.400.

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:

2. Ahora calculamos el número de divisores. Cogemos los exponentes, les sumamos 1 y los multiplicamos. En este caso, los exponentes son 3, 2 y 1, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:

$(3 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ divisores naturales

3. Como tenemos 3 potencias de números primos, cogemos dos de ellos y hacemos la tabla anterior. Después haremos otra tabla más, en la parte superior pondremos los divisores ordenados obtenidos en la primera tabla y en el lateral, los divisores de la potencia del primo que nos queda. Vamos paso a paso.

4. Construimos la tabla con los divisores del $2^3$ en la parte superior y los de $5^2$ en el lateral:

5. Cogemos ahora los divisores calculados en la tabla anterior y los ponemos ordenados de forma creciente en la parte superior y en el lateral los divisores de 7:

6. Así hemos calculado los 24 divisores naturales de 1.400. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 48 divisores enteros del número 1.400. 

NOTA: Para calcular los divisores de un número, construiremos las tablas necesarias para ello, siempre será una tabla menos que el número de factores primos que aparecen en la descomposición del número que nos piden.

NOTA: Para calcular los divisores enteros de un número natural o entero, al calcular los divisores lo único que haremos será añadir el $\pm$ a cada uno de los divisores.

Ejercicios:

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \Rightarrow 300 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{1} \cdot 5^\textcolor{green}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 6 & 12 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 300:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 12 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 60 \\ 25 & 25 & 50 & 75 & 100 & 150 & 300 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \Rightarrow 360 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 3^\textcolor{blue}{2} \cdot 5^\textcolor{green}{1} \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) \cdot (\textcolor{green}{1} + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 6 & 12 & 24 \\ 9 & 9 & 18 & 36 & 72 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 360:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 8 & \ 9 & \ 12 & \ 18 & \ 24 & \ 36 & \ 72 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 9 & 12 & 18 & 24 & 36 & 72 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 40 & 45 & 60 & 90 & 120 & 180 & 360 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 600 & 2 \\ 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \Rightarrow 600 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 3^\textcolor{blue}{1} \cdot 5^\textcolor{green}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 6 & 12 & 24 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 600:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 8 & \ 12 & \ 24 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 12 & 24 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 40 & 60 & 120 \\ 25 & 25 & 50 & 75 & 100 & 150 & 200 & 300 & 600 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 980 & 2 \\ 490 & 2 \\ 245 & 5 \Rightarrow 980 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 5^\textcolor{blue}{1} \cdot 7^\textcolor{green}{2} \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 5 & 10 & 20 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 980:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & \ 1 & \ 2 & \ 4 & \ 5 & \ 10 & \ 20 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 5 & 10 & 20 \\ 7 & 7 & 14 & 28 & 35 & 70 & 140 \\ 49 & 49 & 98 & 196 & 245 & 490 & 980 \\ \end{array} $$

Ejercicio: calcula los divisores de 6300.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Calculadora de divisores
Calcula los divisores de un número.
Número