Identidades trigonométricas I - Ejercicios con soluciones

Para resolver identidades trigonométricas utilizaremos bastantes cosas. Identidades notables, amplificar y simplificar fracciones, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. La Relación Fundamental de la Trigonometría (RFT) $ \fcolorbox{blue}{white}{ $ \color{blue}{ \cos^2 a + \sen^2 a = 1} $ } $ y las siguientes fórmulas: $$ \tg a = \dfrac{\ \ \sen a \ \ }{ \cos a } \qquad \cotg a = \dfrac{ \cos a }{\ \ \sen a \ \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \ \tg a \ \ } $$ $$ \sec a = \dfrac{ 1 }{ \ \ \cos a \ \ } \qquad \cosec a = \dfrac{ 1 }{ \ \ \sen a \ \ } $$ $$ \tg a \cdot \cotg a = 1 \qquad \sec a \cdot \cos a = 1 \qquad \cosec a \cdot \sen a = 1 $$ De la Relación Fundamental de la Trigonometría se deducen dos fórmulas más:

Si dividimos la RFT por $\cos^2 a$ tendremos: $$ \cos^2 a + \sen^2 a = 1 \Rightarrow \dfrac{\ \ \cos^2 a \ \ }{ \cos^2 a } + \dfrac{\ \ \sen^2 a \ \ }{ \cos^2 a } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 a \ \ } \Rightarrow 1 + \tg^2 a = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 a \ \ } \Rightarrow 1 + \tg^2 a = sec^2 a $$ Si dividimos la RFT por $\sen^2 a$ tendremos: $$ \cos^2 a + \sen^2 a = 1 \Rightarrow \dfrac{\ \ \cos^2 a \ \ }{ \sen^2 a } + \dfrac{\ \ \sen^2 a \ \ }{ \sen^2 a } = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 a \ \ } \Rightarrow \cotg^2 a + 1 = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 a \ \ } \Rightarrow \cotg^2 a + 1 = cosec^2 a $$ Un ejercicio que podemos hacer es poner cada razón trigonométrica en función de las demás, como vemos en el ejemplo, En la primera fila vemos que podemos poner el seno de $\theta$, en función del coseno, de la tangente, de la cosecante, de la secante y de la cotangente. ¿Te animas a llenar la tabla? (Si haces click sobre la imagen la veras en tamaño original).

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda sustituyendo $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \tg \alpha + \dfrac{ 1 }{\ \ \tg \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } + \dfrac{\ \cos \alpha }{\ \ \sen \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo en el numerador 1 por la Relación Fundamental de la Trigonometría:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = $$
$$ = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \cos^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \tg \alpha \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cancel{\cos \alpha} \ \ } \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cancel{\cos \alpha} \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la derecha sacando factor común a $\cos^2 \alpha $:

$$ \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) = \cos^2 \alpha \text{ ✓} $$

Otra forma, esta ve empezando por la izquierda: $$ \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot 1 = \cos^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) = \cos^4 + \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda:

$$ \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{\ \ (\sen \alpha \cdot \cos \alpha)^2 \ \ } = \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \ (\sen \alpha \cdot \cos \alpha)^2 \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \sen^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \cancel{\sen^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \sec^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \dfrac{ \ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ }{\ \ \tg \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } \ \ } = \dfrac{\ \ \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \sen \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \cancel{\sen \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cancel{\sen \alpha} \ \ } = \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezamos por el paréntesis:

$$ 1 + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } $$ Seguimos con la identidad, con la parte izquierda y nos queda: $$ (1 + \tg^2 \alpha) \cdot \cos^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \cdot \cos^2 \alpha = 1 \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$ y aplicando la Relación Fundamental de la Trigonometría:

$$ \tg^2 \alpha \cdot (1 - \sen^2 \alpha) = \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \cdot \cos^2 \alpha = \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cancel{\cos^2 \alpha} \ \ } \cdot \cancel{\cos^2 \alpha} = \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, aplicando la RFT, es decir que $-\cos^2 \alpha + 1 = \sen^2 \alpha$:

$$ \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha + 1 \ \ }{ 2 } = \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ \ }{ 2 } = \dfrac{ \ \ 2 \cdot \sen^2 \alpha \ \ }{ 2 } = \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio haciendo el producto en cruz, ya que podremos usar la identidad notable «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados»:

$$ \dfrac{ \cotg \alpha - \cosec \alpha }{\ \tg \alpha - \sec \alpha \ } = \dfrac{\ \tg \alpha + \sec \alpha \ }{ \cotg \alpha + \cosec \alpha } \Rightarrow (\cotg \alpha - \cosec \alpha) \cdot (\cotg \alpha + \cosec \alpha) = (\tg \alpha - \sec \alpha) \cdot (\tg \alpha + \sec \alpha) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \cotg^2 \alpha - \cosec^2 \alpha = \tg^2 \alpha - \sec^2 \alpha \Rightarrow $$ Ahora sustituimos las expresiones en función de $\cos \alpha$ y $\sen \alpha$: $$ \Rightarrow \cotg^2 \alpha - \cosec^2 \alpha = \tg^2 \alpha - \sec^2 \alpha \Rightarrow \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } - \dfrac{\ 1\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha\ } - \dfrac{\ 1\ }{ \cos^2 \alpha } \Rightarrow \dfrac{\ \cos^2 \alpha - 1\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha - 1 }{\ \cos^2 \alpha\ } \Rightarrow $$ De la Relación Fundamental de la Trigonometría tenemos que $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha - 1 = -\sen^2 \alpha$ y simétricamente tenemos que $\sen^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$, sustituimos en la expresión y nos queda: $$ \Rightarrow \dfrac{\ - \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ -\cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha\ } \Rightarrow -1 = -1 \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda sustituyendo $\sec \alpha$ y $\cosec \alpha$ por $\cos \alpha$ y $\sen \alpha$ respectivamente:

$$ 1 + \dfrac{ \sec \alpha }{\ \cosec^2 \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{\ \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ }\ }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = $$ $$ = 1 + \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot \cancel{(1 + \cos \alpha)} }{\ \cos \alpha \cdot \cancel{(1 + \cos \alpha)} \ } = 1 + \dfrac{\ \ 1 - \cos \alpha \ \ }{\ \cos \alpha \ } = $$ $$ = 1 + \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ } - 1 = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ } = \sec \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador y las identidades notables:

$$ \cos^4 \alpha - \sen^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sen^2 \alpha)^2 = (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) \cdot (\cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha) = $$ $$ = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha = (\cos \alpha + \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) $$ Vamos a ver que nos queda: $$ \dfrac{ \cos^4 \alpha - \sen^4 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ (\cos \alpha + \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) }{\ \cos \alpha \sen \alpha \ } = \dfrac{ \cos \alpha - \sen \alpha }{ \cos \alpha } \cdot \dfrac{\ \cos \alpha + \sen \alpha \ }{\ \sen \alpha } = (1 - \tg \alpha) \cdot (1 + \cotg \alpha) \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador:

$$(1 + \cos \alpha)^2 + (1 - \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha + 1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 2 + 2\cos^2 \alpha = 2(1 + \cos^2 \alpha) $$ Ahora a por el denominador: $$ \sec^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - \dfrac{ \cos^4 \alpha}{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 - \cos^4 \alpha}{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot (1 + \cos^2 \alpha) }{\ \cos^2 \alpha \ } $$ Vamos a ver que nos queda juntándolo todo: $$ \dfrac{ (1 + \cos \alpha)^2 + (1 - \cos \alpha)^2 }{\ \sec^2 \alpha - \cos^2 \alpha\ } = \dfrac{ 2(1 + \cos^2 \alpha) }{ \dfrac{ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot (1 + \cos^2 \alpha) }{\ \cos^2 \alpha \ } } = \dfrac{ 2 \cancel{(1 + \cos^2 \alpha)} }{ \dfrac{ \ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot \cancel{(1 + \cos^2 \alpha)} \ }{\ \cos^2 \alpha \ } } = \dfrac{ 2 }{ \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } } = $$ $$ = \dfrac{ 2 \cos^2 \alpha }{\ 1 - \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 2 \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = 2 \cotg^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ en función del $\sen \alpha$ y del $\cos \alpha$. Vamos a por el denominador:

$$1 + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } + \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \cos^2 \alpha \ } $$ Vamos a ver que nos queda: $$ \dfrac{ \cotg \alpha }{\ 1 + \tg^2 \alpha\ } = \dfrac{ \dfrac{\ \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } }{\ \ \dfrac{ 1 }{ \ \cos^2 \alpha } \ \ } = \dfrac{\ \cos \alpha \ }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos^2 \alpha } \ \ } = \dfrac{ \cos \alpha }{\ \ \dfrac{ \tg \alpha }{ \cos \alpha } \ \ } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha \ }{\ \tg \alpha \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ en función del $\sen \alpha$ y del $\cos \alpha$:

$$\tg \alpha + \cotg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{\ \sen \alpha \ } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \sen \alpha \cos \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \sen \alpha \cos \alpha \ } $$ Ahora elevamos al cuadrado: $$ (\tg \alpha + \cotg \alpha)^2 = \left ( \dfrac{ 1 }{ \ \sen \alpha \cos \alpha \ } \right)^2 = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \cos^2 \alpha \cdot \cancel{\sen^2 \alpha} } + \dfrac{ \cancel{\cos^2 \alpha} }{\ \cancel{\cos^2 \alpha} \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{\ \cos^2 \alpha } + \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } = \sec^2 \alpha + \cosec^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el numerador:

$$\sen \alpha + \tg \alpha = \sen \alpha + \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ }{ \cos \alpha } + \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \alpha + \sen \alpha }{\ \cos \alpha \ } = \dfrac{\ \sen \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{\ \cos \alpha \ } $$ Ahora el denominador: $$\cotg \alpha + \cosec \alpha = \dfrac{ \cos \alpha }{\ \sen \alpha \ } + \dfrac{1}{\ \sen \alpha \ } = \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } $$ Juntamos todo y nos queda: $$ \dfrac{ \sen \alpha + \tg \alpha }{\ \cotg \alpha + \cosec \alpha \ } = \dfrac{ \dfrac{\ \sen \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{\ \cos \alpha \ } }{ \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \tg \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{ \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \tg \alpha \cancel{(\cos \alpha + 1)}\ }{ \dfrac{\ \cancel{1 + \cos \alpha} \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{\ \tg \alpha }{ \dfrac{1}{\ \sen \alpha\ } } = \sen \alpha \cdot \tg \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

$$1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } $$ Así nos queda: $$ \dfrac{ \sec^2 \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \dfrac{ 1 }{\ \cos^2 \alpha\ } \ \ \ }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } = \tg^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

$$1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } $$ Así nos queda: $$ \dfrac{ \sen \alpha }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen \alpha }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \sen^3 \alpha \text{ ✓} $$

Sacamos factor común en el denominador a $\sen \alpha$

$\dfrac{ 1 }{\ \sen^3 \alpha + \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \cdot (\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha ) \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \ } = \cosec \alpha $ ✓

Sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que $1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha$

$\dfrac{\ 1 - \sen^2 \alpha\ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{\cos \alpha } = \cos \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte derecha de la igualdad, sustituimos $1$ por $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha$ y en el denominador $1 - \cos^2 \alpha$ por $ \sen^2 \alpha$ y tenemos que

$ \tg \alpha \cdot \dfrac{1}{\ 1 - \cos^2 \alpha\ } = \tg \alpha \cdot \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha\ }{\sen^2 \alpha} = \tg \alpha \cdot \left ( \dfrac{1}{\ \tg^2 \alpha \ } + 1 \right ) = \dfrac{1}{\ \tg \alpha \ } + \tg \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

$ 1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } $

Sustituimos en el denominador y nos queda

$ \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \ \ \ \ \ \sen \alpha \ \ \ \ \ \ \ \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \sen^3 \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

$ 1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } $

Sustituimos en el denominador y nos queda

$ \dfrac{\ \sec^2 \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{\ 1\ }{\ \cos^2 \alpha \ } \ \ \ \ \ \ \ \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{\ \cos^2 \alpha \ } = \tg^2 \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $ y la $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} $

$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} $ ✓

Hacemos el producto en cruz y tenemos

$ ( 1 - \sen \alpha ) \cdot (1 + \sen \alpha) = \cos \alpha \Rightarrow 1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha \Rightarrow 1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $ ✓

Empezamos por la derecha, sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} $ y multiplicamos numerador y denominador por $\cos^2 \alpha$

$ \dfrac{ \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} }{ \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 } = \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} }{ \cos^2 \alpha \cdot \left ( \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 \right ) } $

en el numerador simplificamos un $\cos \alpha$ y en el denominador aplicamos la propiedad distributiva

$ = \dfrac{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } $ ✓

Empezamos por la izquierda desarrollando ambas identidades notables

$ \sen^2 \alpha - 2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + 2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha = $

Se cancela el doble producto y aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ = 1 + 1 = 2 $ ✓

Desarrollamos por la izquierda y nos damos cuenta que el numerador es diferencia de cuadrados y si aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$ tenemos

$( \sen^2 \alpha)^2 - ( \cos^2 \alpha )^2 = ( \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha ) \cdot ( \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) = 1 \cdot ( \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) $

$\dfrac{ \sen^4 \alpha - \cos^4 \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } = 1 $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 1 + \tg \alpha \ \ }{\sec \alpha} $

Sustituimos $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} $ y $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ 1 + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \cos \alpha + \sen \alpha $ ✓

Desarrollamos por la izquierda, sabemos que $\sec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha}$, $\cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha}$ y $\cotg \alpha = \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } $

Sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ \dfrac{\sec^{2} \alpha}{\cosec^2 \alpha -\sec^2 \alpha} + \dfrac{\cotg^2 \alpha}{\cotg^2 \alpha - 1} = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} }{ \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha} - \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} } + \dfrac{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } - 1} = $

operamos en los dos denominadores y tenemos

$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} } + \dfrac{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha} } = $

En la $1^{\underline{a}}$ fracción se simplifica el $\cos^2 \alpha$ y en la $2^{\underline{a}}$ se simplifica el $\sen^2 \alpha$ ambos dividen al numerador y denominador de cada fracción

$ = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

sumamos ambas fracciones y aplicando la relación fundamental de la trigonometría nos queda

$ = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } $ ✓

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

Vamos a sustituir $\sen^2 \alpha$ por $1 - \cos^2 \alpha$ en el numerador

$ \dfrac{ \sen^{2} \alpha \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = \dfrac{(1 - \cos^2 \alpha) \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = $

Vemos que $1 - \cos^2 \alpha$ es una identidad notable $ 1 - \cos^2 \alpha = (1 + \cos \alpha ) \cdot (1 - \cos \alpha ) $ y simplificamos con el factor del denominador

$ \dfrac{(1 + \cos \alpha ) \cdot (1 - \cos \alpha ) \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = (1 + \cos \alpha )^2 $

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

Sabemos que $ \tg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha} $ sustituimos y tenemos

$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \tg \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha )} = \dfrac{ \cos \alpha }{ \left ( \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha} \right ) \cdot ( 1 - \sen \alpha )} = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha ) } = $

Sabemos que $ \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha$ y esto es una identidad notable $ 1 - \sen^2 \alpha = (1 - \sen \alpha) \cdot ( 1 + \sen \alpha ) $ $ = \dfrac{ (1 - \sen \alpha) \cdot ( 1 + \sen \alpha ) }{ \sen \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha ) } = $

simplificamos $ 1 - \sen \alpha $ en el numerador y en el denominador

$ = \dfrac{ 1 + \sen \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \sen \alpha } = \cosec \alpha + 1 $

Empezamos desarrollando la parte izquierda de la igualdad sabemos que $ \cotg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{ \sen \alpha } $

$ \tg \alpha \cdot \cotg \alpha - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ 1 + \cotg^2 \alpha } } = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ 1 + \dfrac{\cos^2 \alpha}{ \sen^2 \alpha } } } = $

operamos dentro de la raíz, aplicamos la relación fundamental de la trigonometría

$ = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ \dfrac{\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{ \sen^2 \alpha } } } = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } } } = 1 - 2 \cdot \sen^2 \alpha = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría de nuevo $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $

$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha - 2 \cdot \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha = $

esto es una identidad notable $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot ( \cos \alpha -\sen \alpha) $ y además $\cos \alpha = \dfrac{1}{\sec \alpha} $ y $\sen \alpha = \dfrac{1}{\cosec \alpha} $

$ = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot ( \cos \alpha -\sen \alpha) = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot \left ( \dfrac{1}{\sec \alpha} - \dfrac{1}{\cosec \alpha} \right ) $ ✓

Empezamos por la parte izquierda de la identidad, sabemos que $ \tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{ \cos \alpha} $ y que $ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha} $ sustituimos

$ \dfrac{2 \cdot \sen \alpha + 3}{2 \cdot \tg \alpha + 3 \sec \alpha } = \dfrac{2 \cdot \sen \alpha + 3}{2 \cdot \left ( \dfrac{\sen \alpha}{ \cos \alpha} \right ) + 3 \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha} } = $

sumamos las dos fracciones del denominador que tienen el mismo denominador y el denominador de las mismas pasa al numerador multiplicando

$ = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha + 3 \ \ }{ \dfrac{ 2 \cdot \sen \alpha + 3 }{ \cos \alpha} } = \dfrac{ \cos \alpha \cdot \left ( 2 \cdot \sen \alpha + 3 \right )}{ 2 \cdot \sen \alpha + 3 } = $

simplificamos en el numerador y el denominador el factor $ 2 \cdot \sen \alpha + 3 $ y tenemos

$ = \cos \alpha $ ✓

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \dfrac{\sen \alpha - \cos \alpha}{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\cos \alpha \left ( \tg \alpha - 1 \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\cos \alpha \cancel{ \left ( \tg \alpha - 1 \right )} }{ \cancel{ \tg \alpha - 1} }= \cos \alpha ✓ $$

Otra forma, sacando factor común $\sen \alpha$: $$ \dfrac{\sen \alpha - \cos \alpha}{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\sen \alpha \left ( 1 - \cotg \alpha \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\ \sen \alpha \left (1 - \dfrac{\ 1 \ }{ \tg \alpha} \right ) }{\tg \alpha - 1} = $$ $$ = \dfrac{\ \sen \alpha \left ( \dfrac{\ \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha} \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\ \sen \alpha \left ( \tg \alpha - 1 \right ) }{\ \tg \alpha (\tg \alpha - 1) \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \cancel{ \left ( \tg \alpha - 1 \right ) } \ }{\ \tg \alpha \cancel{ (\tg \alpha - 1) }\ } = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \tg \alpha \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \cos \alpha \ } \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ }{\ \sen \alpha \ } = $$ $$ = \dfrac{\ \cancel{\sen \alpha } \cdot \cos \alpha \ }{\ \cancel{\sen \alpha } \ } = \cos \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \tg^{2} \alpha - \sen^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - 1 \right ) = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } \right ) = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{\sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } \right ) = \sen^2 \alpha \cdot \tg^2 \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \dfrac{1 + \cotg \alpha}{\sen \alpha + \cos \alpha} = \dfrac{1 + \cotg \alpha}{\sen \alpha \cdot ( 1 + \cotg \alpha) } = \dfrac{1}{\ \sen \alpha \ } = \cosec \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve fácilmente:

$$ \sec^{2} \alpha - 1 = \tg^{2} \alpha \Rightarrow \sec^{2} \alpha = 1 + \tg^{2} \alpha = 1 + \dfrac{\ \sen^{2} \alpha \ }{ \cos^{2} \alpha } = \dfrac{\ \cos^{2} \alpha + \sen^{2} \alpha \ }{ \cos^{2} \alpha } = \dfrac{1}{ \cos^{2} \ \alpha \ } ✓ $$

En este ejercicio haremos uso de la herramienta «sacar factor común», en este caso lo haremos con $\sen^{2} \alpha $:

$$ \sen^{4} \alpha + \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha \cdot \sen^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha \cdot (\cos^{2} \alpha + \sen^{2} \alpha ) + \cos^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha sustituyendo $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $

$$ \dfrac{1 + 2 \cdot \sen \alpha \cos \alpha}{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + 2 \cdot \sen \alpha \cos \alpha}{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $$ Aplicamos identidades notables en el numerador, cuadrado de una suma; y en el denominador, suma por diferencia es diferencia de cuadrados: $$ \dfrac{ (\cos \alpha + \sen \alpha)^2 }{ (\cos \alpha - \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) } = $$ Simplificando $(\cos \alpha + \sen \alpha)$ nos queda $$ = \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha }{ \cos \alpha - \sen \alpha } = $$ Sacamos factor común $\cos \alpha $ en el numerador y en el denominador y simplificando $\cos \alpha$ nos queda: $$ = \dfrac{ \cos \alpha ( 1 + \tg \alpha) }{ \cos \alpha ( 1 - \tg \alpha) } = \dfrac{ 1 + \tg \alpha }{ 1 - \tg \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \cotg \alpha - \dfrac{ \cotg^2 \alpha - 1 }{ \cotg \alpha } = \dfrac{ \cotg^2 \alpha - \cotg^2 \alpha + 1 }{ \cotg \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cotg \alpha } = $$ $$ = \tg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } }{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \sec \alpha }{ \cosec \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \sec^2 \alpha + \cosec^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha } + \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha } \cdot \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } = \sec^2 \alpha \cdot \cosec^2 \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \tg \alpha + \cotg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \sen \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } \cdot \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } = \sec \alpha \cdot \cosec \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sacando factor común a $\cos^2 \alpha$

$$ \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha} }{\ \ \cos^2 \alpha \left ( 1 - \dfrac{ \sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \right ) \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha \tg \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha ( 1 - \tg^2 \alpha) \ \ } = \dfrac{ \cancel{\cos^2 \alpha} \tg \alpha }{\ \ \cancel{\cos^2 \alpha} ( 1 - \tg^2 \alpha) \ \ } = \dfrac{ \tg \alpha }{\ \ 1 - \tg^2 \alpha \ \ } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } \ \ }{ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } - \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } } (1) $$ Trabajamos con el numerador y nos queda: $$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha \cos \alpha } $$ Ahora con el denominador: $$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } - \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } - \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } $$ Sustityuyendo en $(1)$ nos queda: $$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha \cos \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cancel{ \sen \alpha \cos \alpha} } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \cancel{ \sen \alpha \cos \alpha} } } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \ \ } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$, $\cosec \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \dfrac{ \ \ \sen \alpha + \cotg \alpha \ \ }{ \tg \alpha + \cosec \alpha } = \dfrac{ \ \ \sen \alpha + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } \ \ }{ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{1}{ \sen \alpha } } (2) $$ Trabajamos con el numerador y nos queda: $$ \sen \alpha + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \sen \alpha } $$ Ahora con el denominador: $$ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{1}{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } $$ Sustityuyendo en $(2)$ nos queda: $$ = \dfrac{ \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ \cancel{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha} }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha + \cos \alpha} }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = $$ $$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cancel{\sen \alpha} } }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \cancel{\sen \alpha} } } = \dfrac{ 1 }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } } = \cos \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha, sustituyendo $\cosec \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \cosec \alpha - \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen \alpha \ \ } - \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ 1 - \cos \alpha }{ \sen \alpha } = $$ Ahora amplificamos la fracción por $1 + \cos \alpha$ $$ = \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ \sen^{ \cancel{2} } \alpha }{ \cancel{\sen \alpha} \cdot (1 + \cos \alpha) } = $$ $$ = \dfrac{ \sen \alpha }{ 1 + \cos \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, poniendo común denominador:

$$ \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha \ \ }{ \tg \alpha - 1 } - \cosec^2 \alpha + 1 = \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha - \cosec^2 \alpha (\tg \alpha - 1) + \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha - 1 } = \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \cosec^2 \alpha + \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha - 1 } = \dfrac{ \ \ 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha }{ \tg \alpha - 1 } $$ Volvemos a igualar $\cotg \alpha$ y hacemos el producto en cruz: $$ \dfrac{ \ \ 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha }{ \tg \alpha - 1 } = \cotg \alpha \Rightarrow 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = (\tg \alpha - 1) \cdot \cotg \alpha \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = 1 - \cotg \alpha \Rightarrow - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = - \cotg \alpha $$ Desarrollando la expresión de la izquierda tenemos: $$ - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = \tg \alpha (1 - \cosec^2 \alpha) = \tg \alpha \left ( 1 - \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } - \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \sen^2 \alpha - 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = $$ $$ = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \cdot \cotg^2 \alpha = \left (\tg \alpha \cdot \cotg \alpha \right ) \cdot \cotg \alpha = (1) \cdot \cotg \alpha = \cotg \alpha ✓ $$

Vamos a calcular la identidad:

\( \mfrac{\cos x}{1 - \sen x} - \mfrac{\cos x}{1 + \sen x} = \mfrac{\cos x(1 + \sen x)}{(1 - \sen x)(1 + \sen x)} - \mfrac{\cos x(1 - \sen x)}{(1 + \sen x)(1 - \sen x)} = \)

\( = \mfrac{\cos x + \cos x \cdot \sen x - \cos x + \cos x \cdot \sen x}{(1 + \sen x)(1 - \sen x)} = \mfrac{2\cos x \cdot \sen x }{1 - \sen^2 x} = \mfrac{2\cos x \cdot \sen x }{\cos^2 x} = \mfrac{2 \sen x }{\cos x} = (*) \)

Aprovechando la relación que nos dan y tomando logaritmos nos queda:

\( 2^{\cos x} = 3^{\sen x} \Rightarrow \log 2^{\cos x} = \log 3^{\sen x} \Rightarrow (\cos x) \cdot \log 2 = (\sen x) \cdot \log 3 \Rightarrow \mfrac{\sen x}{\cos x} = \mfrac{\log 2}{ \log 3} \)

Si sustituimos en (*) tenemos:

\( (*) = \mfrac{2 \sen x }{\cos x} = \mfrac{2 \log 2}{\log 3} = \mfrac{\log 4}{\log 3} \)

Aguí tienes otra entrada de ejercicios de identidades trigonométricas para profundizar en este tipo de ejercicios.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Identidades trigonométricas II - Ejercicios con soluciones

Aguí tienes otra entrada de ejercicios de identidades trigonométricas por si los ejercicios de esta entrada te han parecido difíciles.

Sustituimos $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha$

$ = \dfrac{1 - \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha}{\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

Sustituimos $1 - \cos^2 \alpha = \sen^2 \alpha$ y en el denominador los $\sen^2 \alpha$ se cancelan; $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha}$

$ = \dfrac{2 \sen^2 \alpha}{ \cos^2 \alpha } = 2 \tg^2 \alpha $ ✓

Sustituimos $\sen 2\alpha = 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha $ y $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha$

$ = 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sen^3 \alpha = $

agrupamos los términos semejantes y nos queda

$ = \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sen^3 \alpha = $

sacamos factor común a $\sen \alpha $ y nos queda

$ = \sen \alpha \cdot \left ( \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \right ) = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \sen \alpha $ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha - \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta$

$ = \cos \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta) + \sen \alpha \cdot ( \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta ) = $

desarrollamos y nos queda

$ = \cos^2 \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \alpha \cdot \sen \beta + \sen^2 \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sen \beta = $

se cancelan los términos $\cos \alpha \cdot \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y sacamos factor común a $\cos \beta$ y tenemos

$ = \cos \beta \cdot \left ( \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \right ) = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \cos \beta $ ✓

Desarrollamos $\cos \left ( \dfrac{\pi}{4} - \alpha \right ) = \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \cos \alpha + \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \sen \alpha$

$ = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \cos \alpha + \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \sen \alpha \right ] = $

sabemos que $ \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$

$ = \sqrt{2} \cdot \left [ \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \cos \alpha + \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \sen \alpha \right ] = $

hacemos cuentas y

$ = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \cos \alpha + \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \sen \alpha = $

simplificamos y nos queda

$ = \sen \alpha + \cos \alpha $ ✓

sustituimos la $\sec A = \dfrac{1}{ \cos A}$ y la $\tg A = \dfrac{\sen A}{\cos A} $

$ = \dfrac{1}{ \cos^2 A} - \dfrac{\sen^2 A}{\cos^2 A} = \dfrac{1 - \sen^2 A}{\cos^2 A} $

sabemos que $ 1 - \sen^2 A = \cos^2 A$ luego

$ = \dfrac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = 1 $ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha - \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta$

y $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha + \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta - (\sen \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \beta) }{ \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta - (\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta) } = $

quitamos paréntesis y operamos

$ = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta - \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta }{ \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta - \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta } = $

Se cancelan en el numerador los términos $\sen \alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos \alpha \cdot \cos \beta$

$ = \dfrac{ -2 \cos \alpha \cdot \sen \beta }{ -2 \sen \alpha \cdot \sen \beta } = $

se simplifica en el numerador y denominador $ \sen \beta$ y el $-2$

$ = \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \cotg \alpha = \dfrac{1}{ \tg \alpha } $ ✓

Simplifica todo lo que puedas la siguiente expresión:

Sustituimos $\cos (2\alpha - \beta) = \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(2\alpha - \beta) = \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

y $\cos (2\alpha + \beta) = \cos 2\alpha \cdot \cos \beta - \sen 2\alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(2\alpha + \beta) = \sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta - (\cos 2\alpha \cdot \cos \beta - \sen 2\alpha \cdot \sen \beta) }{ \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta + (\sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta) } = $

quitamos paréntesis y operamos

$ = \dfrac{ \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta - \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta }{ \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta + \sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta } = $

Se cancelan en el numerador los términos $\cos 2\alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ 2 \sen 2\alpha \cdot \sen \beta }{ 2 \sen 2\alpha \cdot \cos \beta } = $

se simplifica en el numerador y denominador $ \sen 2\alpha$ y el $2$

$ = \dfrac{ \sen \beta }{ \cos \beta } = \tg \beta $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 1 + \tg \alpha \ \ }{\sec \alpha} $

Sustituimos $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} $ y $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ 1 + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \cos \alpha + \sen \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ \cos \alpha + \tg \alpha \ \ }{\cos \alpha \cdot \tg \alpha} $

Sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ \cos \alpha + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \cos \alpha \cdot \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador y en el denominador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \cos \alpha \cdot \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el término $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha + \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } = $

separamos en dos fracciones y nos queda

$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } + \dfrac{ \ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } = $

simplificamos en la $1^{\underline{a}}$ fraccción $\cos \alpha$ y en la $2^{\underline{a}}$ el $\sen \alpha$

$ = \dfrac{ \ \ \cos \alpha \ \ }{ \sen \alpha } + \dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } = \cotg \alpha + \sec \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{1 - \sen^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $

factorizamos $1 - \sen^4 \alpha = (1 - \sen^2 \alpha) \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha ) = $ sustituimos $ 1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha $ y qnos queda $1 - \sen^4 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha )$ sustituimos

$ = \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha )}{\cos^2 \alpha} = $

simplificamos $\cos^2 \alpha $ en el numerador y en el denominador y nos queda

$ = 1 + \sen^2 \alpha = $

sustituimos $ \sen^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $ y tenemos

$ = 1 + 1 - \cos^2 \alpha = 2 - \cos^2 \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{\tg 2\alpha} $

$$ \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{\tg 2\alpha} = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \dfrac{ \sen 2 \alpha }{ \cos 2 \alpha} } = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \dfrac{ 2 \sen \alpha \cos \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} } = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \ \ \dfrac{ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} } = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \left ( \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \right ) \ \ }{ 2 \sen \alpha \cos \alpha } = $$

$$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \ \ }{ \cos \alpha } = \cos \alpha - \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\cos \alpha} ✓ $$

Empezamos por $ \dfrac{ \tg (2 \alpha) }{1 + \sec (2 \alpha) } $

$$ \dfrac{ \tg (2 \alpha) }{1 + \sec (2 \alpha) } = \dfrac{ \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \cos 2\alpha } }{1 + \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{ \cos 2\alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \cos 2\alpha } }{\dfrac{ \ \ \cos 2\alpha + 1 \ \ }{ \cos 2\alpha } } = \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \ \ \cos 2\alpha + 1 \ \ } = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{1 + \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{ 2 \cos^2 \alpha } = $$

$$ = \dfrac{ \ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha } = \tg \alpha ✓ $$

Empezamos por transformar sumas y restas en productos, $\cos 5 \theta + \cos \theta = 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta $ y

en el denominador $ \sen 5 \theta - \sen \theta = 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \sen 2\theta $ sustituimos

$ \dfrac{ \cos 2 \theta + \cos 5 \theta + \cos \theta }{\sen 2 \theta + \sen 5 \theta - \sen \theta } = \dfrac{ \cos 2 \theta + 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta }{\sen 2 \theta + 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \sen 2\theta } $

sacamos factor común en el numerador a $\cos 2 \theta$ y en el denominador a $\cos 2 \theta$ nos queda

$ = \dfrac{ \cos 2 \theta \cdot ( 1 + 2 \cdot \cos 3\theta ) }{\sen 2 \theta \cdot (1 + 2 \cdot \cos 3\theta ) } $

simplificamos el factor $ 1 + 2 \cdot \cos 3\theta $ y tenemos

$ = \dfrac{ \ \ \cos 2 \theta \ \ }{ \sen 2 \theta } = \cotg 2\theta $ ✓

Aquí tienes el enlace a otra página con más ejercicios de identidades trigonométricas (III).

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Teoremas del seno, coseno y de la tangente. Resolución de triángulos no rectángulos.

 Teorema del seno:

Para entender mejor el teorema del seno necesitamos 3 resultados geométricos: 

1.- Dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales. 

2.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 

Teorema del seno: 

El teorema del seno es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}} = \dfrac{c}{\sen \hat{C} } = 2R} \quad \cr \quad } $ } } $$

donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo $\triangle{ABC}$.

Teorema del coseno: 

Teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos. El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} } \quad \cr \quad \mathbf{ b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \hat{B} } \quad \cr \quad \mathbf{ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \hat{C} } \quad \cr \quad } $ } } $$

Veamos como podemos saber el tipo de triángulo según sus ángulos usando el Teorema del coseno:

• Si tiene una ángulo recto $\hat{A} = \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} = 0 $, triángulo rectángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 \qquad \text{ (Teorema de Pitágoras)} } $$
  
• Si tiene una ángulo obtuso $\hat{A} > \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} < 0 $, triángulo obtusángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 > b^2 + c^2 } $$
  
• Si tiene una ángulo agudo $\hat{A} < \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} > 0 $, triángulo acutángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 < b^2 + c^2 } $$
  

Ocurre lo mismo si cogemos el ángulo $\hat{B}$ o el ángulo $\hat{C}$.

Teorema del coseno (Usando el Producto Escalar) 

El teorma del coseno se puede demostrar también usando el producto escalar. Del dibujo tenemos:

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow  \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} $$ 

$$ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} = \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} - 2 \cdot \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} $$

Recapitulando:

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2 - 2 |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos \hat{A}$$

Es decir

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} $$

Ventajas e incovenientes de usar el teorema del seno o del coseno

	Teorema del seno	Teorema del coseno
Ventajas	Fácil de calcular	El coseno de un ángulo tiene un único valor entre 0 y $\pi$ radianes.
Incovenientes	El seno de un ángulo y su suplementario tienen el mismo valor. Dos posibles soluciones.	No es tan fácil de calcular como el Teorema del seno.

Teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos.

Para demostrar el teorema de la tangente tenemos que hacer uno de una propiedad de las proporciones:

$$ \dfrac{x}{y} = \dfrac{z}{t} \ \ \Longleftrightarrow \ \ x \cdot t = y \cdot z \ \ \ \  \text{entonces}  \ \ \Longrightarrow  \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{z + t}{z - t}  $$

$$ \text{Tenemos } \ \  \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}}  \ \ \Longleftrightarrow \ \ \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sen \hat{A}}{\sen \hat{B}} $$ 

Aplicando esta propiedad al teorema del seno: 

$$ \dfrac{ a + b}{a - b} = \dfrac{\sen \hat{A} + \sen \hat{B}}{\sen \hat{A} - \sen \hat{B}} = \dfrac{2 \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) }{2 \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ \dfrac{ a + b}{a - b} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } = 2R} \quad \cr \quad \cr \mathbf{ \dfrac{ a + c}{a - c} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{C}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{C}}{2} \right ) } = 2R} \quad \cr \quad \cr \mathbf{ \dfrac{ b + c}{b - c} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{B} - \hat{C}}{2} \right ) } = 2R} \cr \quad } $ } } $$

Entrada del blog donde se explican la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, y el seno, coseno de la suma de ángulos.

Entrada del blog donde se indican las razones trigonométricas de los ángulos notables entre $[0, 2\pi]$ y las conversiones de grados a radianes, de radianes a grados, de grados decimales a sexagesimales y de grados sexagesimales a decimales.

Resolución de triángulos no rectángulos

Cosas a tener en cuenta:

1. La suma de los ángulos internos de un triángulo suma $\gss{180} = \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}$.
   
   
2. Las longitudes de los Lados del Triángulo deben cumplir la condición de existencia del triángulo que establece, que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera siempre debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Este es un pilar fundamental en la definición de un triángulo.
   
   $$ \cases{ a + b > c \cr \cr a + c > b \cr \cr b + c > a \cr } $$
3. El lado más largo se encuentra frente al ángulo más grande y el lado más pequeño frente al ángulo más pequeño.
   
   

Casos

Tenemos 5 casos:

• $\odn{1}{er}$ CASO: Conocidos los 3 lados (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del coseno una vez para calcular un ángulo; después teorema del coseno para calcular el segundo ángulo. El tercer ángulo a partir de los dos anteriores.
  
  
• $\odn{2}{o}$ CASO: Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. (Si existe la solución es única) $\rightarrow$ Teorema del coseno para calcular el lado que falta. Después el teorema del coseno para calcular otro ángulo y después el tercer ángulo a partir de los dos anteriores.
  
  
• $\odn{3}{er}$ CASO: Conocidos dos lados y el $\underline{\underline{\textbf{ángulo agudo}}}$ no comprendido entre ellos. $\rightarrow$ Teorema del seno para calcular uno de los ángulos que falta. Geométricamente puede ocurrir lo siguiente:
  
  1. El triángulo no existe. Al aplicar el teorema del seno, se obtiene mayor que la unidad o menor que -1.
     
     
  2. Triángulo existe y es único: Uno de los ángulos del teorema del seno no cumplirá que la suma de los ángulos interiores es $\pi$ radianes. El tercer ángulo con la resta y el tercer lado con el teorema del seno.
     
     
  3. Dos posibles triángulos solución, con el teorema del seno, ambas soluciones son válidas. El tercer ángulo con la resta y el tercer lado con el teorema del seno.
     
     
• $\odn{4}{o}$ CASO: Conocidos dos lados y el «ángulo obtuso» no comprendido entre ellos (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del seno para calcular uno de los ángulos que faltan, el tercero restando. Teorema del seno para el lado que falta.
  
  
• $\odn{5}{o}$ CASO: Conocidos un lado y dos ángulos, es decir, los tres ángulos. (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del seno dos veces para calcular los dos lados que faltan.
  

Ejemplos

• $\odn{1}{er}$ CASO: $a = 15$km, $b = 22$km y $c = 17$km.
  Aplicamos el Teorem del coseno dos veces: $$ \cos \hat{A} = \mfrac{22^2 + 17^2 - 15^2 }{ 2 \cdot 17 \cdot 22 } = 0,73 \implies \hat{A} = \arccos(0,73) = cos^{-1} (0,73) = \gss{43} $$ $$ \cos \hat{B} = \mfrac{15^2 + 17^2 - 22^2 }{ 2 \cdot 17 \cdot 15 } = 0,06 \implies \hat{B} = \arccos(0,06) = cos^{-1} (0,06) = \gss{43} $$ $ \hat{C} = \gss{180} - \gss{43} - \gss{43} = \gss{50} $
  
  
• $\odn{2}{o}$ CASO:$a= 10$ dam, $b = 7$ dam y $\hat{C} = \gss{30}$.
  Aplicamos el teorema del coseno para calcular el lado $c$: $$ c = \msqrt{10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos (\gss{30} ) } = 5.27 \text{dam} $$ Aplicamos el teorema del coseno para calcular el ángulo $\hat{A}$: $$ \cos ( \hat{A}) = \mfrac{7^2 + (5,27)^2 - 10^2}{ 2 \cdot 7 \cdot 5,27} = -0,31 \implies \hat{A} = \arccos(-0,31) = \cos^{-1}(-0,31) = \gss{108} $$ $ \hat{C} = \gss{180} - \gss{108} - \gss{30} = \gss{42} $
  
  
• $\odn{3}{er}$ CASO:
  1. $a = 5$ m, $b = 8$ m y $\hat{A} = \gss{72}$ $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{8 \cdot \sen(\gss{72})}{5} = 1,52 \text{ No es posible} $$
     
     
  2. $a = 7,5$ cm, $b = 6,4$ cm y $\hat{A} = \gss{53}$. $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{6,4 \cdot \sen(\gss{53})}{7,5} = 0,81 \implies \hat{B} = \arcsen(0,81) = \sen^{-1} (0,81) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{B_1} = \gss{43} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{53} - \gss{43} = \gss{84} \implies c = \dfrac{7,5 \cdot \sen(\gss{84})}{ \sen( \gss{53} ) } = 9,34 \text{ cm} \\ \\ \hat{B_2} = \gss{137} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{53} - \gss{137} = - \gss{10} \quad \nexists \text{ solución } \end{cases} $$
     
     
  3. $b = 6,5$ cm, $c = 7$ cm y $\hat{B} = \gss{67}$ $$ \sen(\hat{C}) = \mfrac{6,4 \cdot \sen(\gss{53})}{7,5} = 0,99 \implies \hat{B} = \arcsen(0,82) = \sen^{-1} (0,82) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{C_1} = \gss{82} \implies \hat{A_1} = \gss{180} - \gss{67} - \gss{82} = \gss{31} \implies a_1 = \mfrac{6,5 \cdot \sen(\gss{31})}{ \sen(\gss{67}) } = 3,64 \\ \\ \hat{C_2} = \gss{98} \implies \hat{A_2} = \gss{180} - \gss{67} - \gss{98} = \gss{15} \implies a_2 = \mfrac{6,5 \cdot \sen(\gss{15})}{ \sen(\gss{67}) } = 1,83 \end{cases} $$
     
     
• $\odn{4}{o}$ CASO: $a= 12$ cm, $b = 8$ cm y $\hat{A} = \gss{150}$. $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{8 \cdot \sen(\gss{150})}{ 12 } = 0,33 \implies \hat{B} = \arcsen(0,33) = \sen^{-1} (0,33) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{B_1} = \gss{19} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{150} - \gss{19} = \gss{11} \implies c = \mfrac{12 \cdot \sen(\gss{22})}{ \sen(\gss{150}) } = 4,58 \text{ cm} \\ \\ \hat{B_2} = \gss{161} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{150} - \gss{161} = - \gss{131} \quad \nexists \text{ solución } \end{cases} $$
  
  
• $\odn{5}{o}$ CASO: $b= \msqrt{2}$ m, $\hat{A} = \gss{30}$ y $\hat{B} = \gss{45}$. $$ \hat{C} = \gss{180} - \gss{30} - \gss{45} = \gss{105} $$ $$ a = \mfrac{b \cdot \sen(\gss{30})}{ \sen(\gss{45}) } = 1,04 \qquad \text{ y } \qquad c = \mfrac{b \cdot \sen(\gss{105})}{ \sen(\gss{45}) } = 3,65 $$
  
  

Otros ejercicios

Queremos calcular el lado $c$, para ello usaremos el Teorema del Coseno: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2bc \cos \widehat{C} $$ Sustituyendo las variables por su valor, que $\cos \gss{120} = \dfrac{\ -1\ }{ 2 } $ tenemos que:
$$ c^2 = 5^2 + 3^2 - 2\cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos \gss{120} \Rightarrow c^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left ( \dfrac{\ -1\ }{ 2 } \right) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow c^2 = 25 + 9 + 15 \Rightarrow c^2 = 49 \Rightarrow c= 7 $$ Ahora calculamos cualquiera de los ángulos que nos quedan $\widehat{A} $ o $\widehat{B}$, vamos con $\widehat{B}$: $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \widehat{B} \Rightarrow 2ac \cos \widehat{B} = a^2 + c^2 - b^2 \Rightarrow \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } $$ Sustituyendo los datos en las variables: $$ \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } = \dfrac{\ 5^2 + 7^2 - 3^2\ }{ 2 \cdot 5 \cdot 7 } = \dfrac{\ 65\ }{ 70 } = \dfrac{\ 13\ }{ 14 } $$ Es decir: $$ \widehat{B} = \arccos \left ( \dfrac{\ 13\ }{ 14 } \right) = \gss{21,79} = \gss{21} 47' 24''$$ Y por tanto $$ \widehat{A} = \gss{38,21} = \gss{38} 12' 36'' $$

Al darnos dos de los tres ángulos, podemos calcular el tercer ángulo restando: \[ \hat{B} = \gss{180} - \gss{32} - \gss{93} = \gss{55} \] Aplicando el teorema del seno dos veces calculamos los lados que nos faltan:

\[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{b}{\sen \hat{B} } \implies a = \mfrac{b \cdot \sen \hat{A} }{ \sen \hat{B} } = \mfrac{9,5 \cdot \sen(\gss{32}) }{ \sen(\gss{55}) } = 6,15 \] \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{6,15 \cdot \sen(\gss{93}) }{ \sen(\gss{32}) } = 11,59 m \] Ahora calculamos el área: $ \text{Área } = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C} = \mfrac{1}{2} \cdot 6,15 \cdot 9,5 \cdot \sen (\gss{93}) = 29,17m^2 $

Aplicamos el teorema del seno: \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies \sen \hat{A} = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ a } = \mfrac{7 \cdot \sen(\gss{65}) }{ \sen(\gss{5}) } = 1,27 m \quad \nexists { solución.} \]

Este es un triángulo imposible ya que $5 + 10 < 20$.

Aplicamos el teorema del cateto para calcular $a$: \[ a = \msqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\gss{75})} = \msqrt{(9,2)^2 + (6,7)^2 - 2 \cdot 9,2 \cdot 6,7 \cdot \cos(\gss{75})} = 9,88m \] Aplicamos el teorema del cateto para calcular $\hat{B}$: \[ \cos \hat{B} = \mfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \mfrac{(9,88)^2 + (6,7)^2 - (9,2)^2}{2 \cdot 9,88 \cdot 6,7} = 0,44 \implies \hat{B} =\arccos (0,44) = \cos^{-1} (0,44) = \gss{64} \] \( \hat{C} = \gss{180} - \gss{75} - \gss{64} = \gss{41} \)

Área = \( \mfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sen \hat{A} = \mfrac{1}{2} \cdot 9,2 \cdot 6,7 \cdot \sen (\gss{75}) = 29,77m^2\)

Aplicamos el teorema del coseno para calcular $\hat{A}$: \[ \cos \hat{A} = \mfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c} = \mfrac{(10,5)^2 + (8,2)^2 - (12,5)^2}{2 \cdot 10,5 \cdot 8,2} = 0,12 \implies \hat{A} =\arccos (0,12) = \cos^{-1} (0,12) = \gss{83} \] Aplicamos el teorema del coseno para calcular $\hat{A}$: \[ \cos \hat{B} = \mfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \mfrac{(12,5)^2 + (8,2)^2 - (10,5)^2}{2 \cdot 12,5 \cdot 8,2} = 0,55 \implies \hat{A} =\arccos (0,55) = \cos^{-1} (0,12) = \gss{57} \] \( \hat{C} = \gss{180} - \gss{83} - \gss{57} = \gss{40} \)

  Área = \( \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C} = \mfrac{1}{2} \cdot 12,5 \cdot 10,5 \cdot \sen (\gss{40}) = 42,72m^2\)

Aplicamos el teorema del seno: \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{b}{\sen \hat{B} } \implies \sen \hat{B} = \mfrac{b \cdot \sen \hat{A} }{ b } = \mfrac{13,2 \cdot \sen(\gss{58}) }{ 11,5 } = 0,97 \implies \hat{B} = \arcsen(0,97) = \sen(0,97) = \gss{76} \] Pero su complementario tiene el mismo seno, es decir, $\hat{B_1} = \gss{76}$ y $\hat{B_1} = \gss{104}$. Ambos valores son compatibles con $\gss{58}$, luego tenemos dos posibles soluciones:

\( \bullet \ \text{Si } \hat{B_1} = \gss{76} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{58} - \gss{76} = \gss{46} \) \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c_1 = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{11,5 \cdot \sen(\gss{46}) }{ \sen(\gss{58}) } = 9,75 m \] Área \( \triangle{AB_1C_1} = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C_1} = \mfrac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot 13,2 \cdot \sen (\gss{46}) = 54,6m^2 \)


\( \bullet \ \text{Si } \hat{B_2} = \gss{104} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{58} - \gss{104} = \gss{18} \) \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c_2 = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{11,5 \cdot \sen(\gss{18}) }{ \sen(\gss{58}) } = 4,19 m \] Área \( \triangle{AB_2C_2} = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C_2} = \mfrac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot 13,2 \cdot \sen (\gss{18}) = 23,45 m^2 \)