PAU La Rioja (2026 junio) Una empresa fabrica dos tipos de herramientas, A y B. Para su elaboración utiliza madera y acero. Para fabricar una herramienta A se necesitan 300 gramos de madera y 100 gramos de acero; en el caso de B, las cantidades requeridas son 100 y 200 gramos respectivamente. Dispone diariamente de un máximo de 3 kilogramos de madera y 2 kilogramos de acero. Estas herramientas le proporcionan un beneficio de 20 euros por unidad de A y de 15 euros por cada una de B. Además, se deben fabricar diariamente al menos 2 herramientas de tipo A y al menos 3 de tipo B. Se pide:
(0,5 PUNTOS) Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa.
(0,5 PUNTOS) Representa la región factible S.
(0,5 PUNTOS) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
(0,5 PUNTOS) Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo.
a)
Lo primero que hacemos es definir las variables que vamos a usar en este ejercicio:
$x$: Número de herramientas de tipo A.$y$: Número de herramientas de tipo B.
Función objetivo (Maximizar el beneficio):
$$f(x,y) = 20x + 15y$$
Restricciones:
b) Región factible $S$ y c) Coordenadas de los vértices
Dibujamos las rectas y nos sale la siguiente región factible:
Al cruzar estas rectas correctas en el plano, la región factible sigue siendo un cuadrilátero, pero con vértices completamente enteros. Los obtenemos resolviendo los sistemas de ecuaciones de las líneas que se cruzan:
Cruce de los mínimos ($x=2$ e $y=3$): Vértice $A = (2, 3)$
Cruce de $y=3$ con la recta de la madera ($3x + y = 30$):$3x + 3 = 30 \implies 3x = 27 \implies x = 9$
Vértice $B = (9, 3)$ (Cumple la restricción de acero porque $9 + 2(3) = 15 \le 20$)
Cruce de las dos restricciones de materiales ($3x + y = 30$ y $x + 2y = 20$): Multiplicamos la segunda por 3: $3x + 6y = 60$
Restamos la primera: $5y = 30 \implies y = 6$
Sustituimos para hallar $x$: $x + 2(6) = 20 \implies x = 8$
Vértice $C = (8, 6)$Cruce de $x=2$ con la recta del acero ($x + 2y = 20$):$2 + 2y = 20 \implies 2y = 18 \implies y = 9$
Vértice $D = (2, 9)$ (Cumple la restricción de madera porque $3(2) + 9 = 15 \le 30$)
d) Optimización (Beneficio máximo) Evaluamos la función objetivo $f(x,y) = 20x + 15y$ en cada uno de los 4 vértices obtenidos:
PAU La Rioja (2026 junlio) En Semana Santa, dos pasos salen en procesión por dos calles perpendiculares. El primer paso sale de la iglesia $A$ a $3 km/h$ y el segundo sale a la misma hora de la iglesia $B$ a $2,8 km/h$, ambos en sentido al mismo cruce de las calles. La distancia de la iglesia $A$ hasta el cruce es de $2,2 km$ y desde la iglesia $B$ hasta el cruce, de $2 km$.
Determina en qué momento la distancia entre los dos pasos es mínima.
Determina la distancia mínima.
Lo mejor es hacerse un esquema:
La trayectoria del paso de la iglesia $A$ es $(2, 0) + 3t(0,1) = (2, 3t)$
La trayectoria del paso de la iglesia $B$ es $(0, 2.2) + 2,8t(1,0) = (2.8t, 2.2)$
La distancia entre las trayectorias de $A$ y $B$ viene dada por la fórmula:
\[ d(A, B) = \msqrt{ (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 } \]
Luego la función a optimizar es $f(t) = (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 $
\[ f'(t) = 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) \]
Vamos a ver para que valor de $t$ se anula la derivada:
\[ 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) = -13,2 + 18t -11,2 + 15,68t = 0 \implies \]
\[ \implies 33,68t - 24,2= 0 \implies t = \mfrac{24,2}{33,68} \approx 0,72 \text{horas } \approx 43,2 \text{minutos} \]
La distancia mínima es cuando llegan:
\[ d_{mín}(A, B) = f(0,72) = \msqrt{ (2,2 - 3 \cdot 0,72)^2 + (2 - 2,8 \cdot 0,72)^2 } = \msqrt{ 0,0016 + 0,000256 } = \msqrt{ 0,001856 } \approx 0,043km = 43m \]
PAU La Rioja (2026 junio) CCSS II En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas A y B. Para tabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda A requiere de 3 horas de corte y 2 de costura; cada prenda B, de 1 y 4 horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de 15 horas para el corte y de 20 horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de A son de 100 € y por cada una de B, 120 €. Se pide:
Plantea el problema de programación lineal para maximizar los ingresos de la sastrería.
Representa la región factible S.
Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
Calcula el número de prendas de cada tipo a confeccionar para que los ingresos sean máximos. Indica el valor de estos ingresos.
$x$ = número de prendas tipo A e $y$ = número de prendas tipo B.
Vamos con el apartado a):
REstricción del número de prendas: $x \leq 0$, $y \leq 0$
Restricción de horas de corte: $3x + y \leq 15$
Restricción del número de horas de costura: $2x + 4y \leq 20$ c
y la función a optimizar es $f(x, y) = 100x + 120y $
b) y c) Veamos la región factible y las coordenadas de los vértices:
PAU 2026 La Rioja junio Una fábrica de café envasa su producto en paquetes cuyo peso sigue una distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma$. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 paquetes, cuyo peso medio ha sido 500 gramos, y se ha calculado el siguiente intervalo de confianza al 91% para estimar $\mu: (496.6, 503.4)$. Se pide:
Calcula el valor de la desviación típica ( $\sigma$).
Con la misma muestra y la misma $\sigma$: si ahora se pretende que el error cometido en la estimación sea a lo sumo de 2,94 gramos, razona si el nivel de confianza ahora sería mayor o menor que 91%.
Para resolver el apartado a).
Tenemos que buscar el valor de $\alpha$ que tenga el intervalo de confianza del 93%. Así
\[ 1 - \alpha = 0,91 \implies \alpha = 1 - 0,91 = 0,09 \]
Ahora calculamos $z_{\frac{\alpha}{2}}$:
\[ P(Z \leq z_{\frac{\alpha}{2}} ) = 1 - \mfrac{\alpha}{2} = 1 - \mfrac{0,09}{2} = 1 - 0,045 = 0,955 \]
Luego \( z_{\alpha/2} = 1,69 \) y el error es $E = 3,4$ (la mitad de la amplitud del intervalo de confianza:
\[ 3,4 = 1,69 \cdot \mfrac{\sigma}{\msqrt{100}} \implies \sigma = \mfrac{34}{1,69} \approx 20,12 g \]
Para el apartado b): Manteniendo la media, la desviación típica y el tamaño de la muestra y querer reducir el error, es lógico que el intervalo de confianza se reduzaca. Vamos a calcular el nuevo $\alpha$:
\[ 2,94 = \mfrac{z_{\alpha/2} \cdot 20,12}{ 10 } \implies z_{\alpha/2} = \mfrac{29,4}{20,12} = 1,46 \]
Si buscas el valor 1.46 en la tabla de la distribución normal tipificada (fila 1.4 y columna 0.06) o en la calculadora de GeoGebra, encontrarás la probabilidad acumulada de 0.9279. Como esa es la probabilidad de que
\[ P(Z \leq z_{\frac{\alpha}{2}} ) = 1 - \mfrac{\alpha}{2} = 0,9279 \implies 2 - \alpha = 1,8558 \implies \alpha = 0,1442 \]
Así el Nivel de confianza es
\[ 1 − α = 1 − 0,1442 =0,8558 \implies 85.58 \% \]
Luego el nivel de confianza ha bajado, al querer reducir el error manteniendo los mismos datos.
PAU 2026 La Rioja junio En un importante evento deportivo, se sabe que el 1% de los participantes consume algún tipo de sustancia prohibida. Para detectar si este consumo ha tenido lugar o no, se puede hacer una determinada prueba. Dicha prueba detecta falsos positivos en un 2%, y falsos negativos, en un 6%. El día del evento, se elige un deportista al azar y se le hace la prueba, se pide:
Calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida y la prueba haya dado positiva.
Si el deportista ha dado positivo en la prueba, calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida.
Sea $A = $ El suceso tomar una sustancia prohibida. \( A^c = A'= \overline{A} = \) No tomar la sustancia prohibida.
Sea $B = $ El suceso dar positivo. \( B^c = B' = \overline{B} = \) dar negativo.
$a)$ Hay que recorrer el árbol según $A$ y después la rama del $B$.
Se multiplican las probabilidades:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \mfrac{1}{100} \cdot \mfrac{94}{100} = \mfrac{94}{10.000} = \mfrac{47}{5.000} \]
\[ \mfrac{47}{ 5.000 } \approx 0,0094 (\text{ es decir, aproximadamente un } 0,94\% \text{ de probabilidad). } \]
$b)$ Tenemos que aplicar el Teorema de la Probabilidad Total.
\[ P(A | B) = \mfrac{ P(A \cap B) }{P(B)} = \mfrac{ P(A \cap B) }{ P(A \cap B) + P( \overline{A} \cap B) } = \mfrac{ \mfrac{94}{10.000} }{ \mfrac{94}{10.000} + \mfrac{198}{10.000} } = \mfrac{94}{ 94 + 198 } = \mfrac{94}{ 292 } = \mfrac{47}{ 146 } \]
\[ \mfrac{47}{ 146 } \approx 0,3219 (\text{ es decir, aproximadamente un } 32,19\% \text{ de probabilidad). } \]
PAU 2026 La Rioja julio En una prueba de diagnóstigo médico se hace la medición de cierto índice que sigue una distribución normal. Los índices tipificados de dos individuos fueron 0.6 y -0.8 y sus índices reales son 109 y 88, respectivamente.
Calcula:
la media y desviación típica del índice analizado.
entre que valores simétricos respecto a la media está el índice del 80% de los individuos de dicho estudio.
Vamos con el apartado a). Como la variable esta tipificada tenemos:
\[
\begin{cases}
109 - \mu = 0,6 \cdot \sigma \cr \cr
88 - \mu = -0,8 \cdot \sigma
\end{cases}
\]
Restamos la ecuaciones y nos queda:
\[ 109 - 88 = 1,4 \cdot \sigma \implies \sigma = \mfrac{21}{1,4} = \mfrac{3}{0,2} = 15 \]
Despejamos ahora $\mu$:
\[ 109 - \mu = 0,6 \cdot 15 \implies \mu = 109 - 9 = 100 \]
Ahora el apartado b):
Para poder usar la tabla estándar, necesitamos saber qué valor de $z$ (positivo) deja acumulado a su izquierda todo el centro más la cola de atrás. Es decir:
$$\text{Área a la izquierda de } z = \text{Centro} + \text{Cola izquierda} = 0.80 + 0.10 = 0.90$$
Buscamos en el interior de la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor más cercano a $0.9000$, el más exacto es $z_{\alpha} = 1,28$
Ahora que sabemos que nuestros límites están a $1,28$ desviaciones típicas de la media, usamos tus datos del apartado a ($\mu = 100$ y $\sigma = 15$) para calcular los índices reales ($x$). Despejamos la $x$ de la fórmula:
\[ x = \mu + z \cdot \sigma \]
Límite inferior ($x_1$): Usamos el $z_{\alpha} = 1,28$:
$$x_1 = 100 + (-1,28) \cdot 15 = 100 - 19,2 = \mathbf{80,8}$$
Límite superior ($x_2$): Usamos el $z$ positivo.
$$x_2 = 100 + (1,28) \cdot 15 = 100 + 19,2 = \mathbf{119,2}$$
El índice del 80% de los individuos de dicho estudio está comprendido entre 80,8 y 119,2.
PAU 2026 La Rioja julio CCSSII Según los resultados obtenidos en una investigación relativa al ocio digital juvenil, se observa que el 80% de los alumnos de cierta universidad esta suscrito a una plataforma musical, el 60% lo está a una de video y, además, el 90% tiene al menos una de las dos suscripciones. Se elige un alumno al azar, se pide:
Calcula la probabilidad de que esté suscrito a ambos tipos de plataformas.
Si está suscrito a una plataforma de video, calcula la probabilidad de que no lo esté a una de música.
a) Lo primero es definir los sucesos:
$M = $ suscrito a una plataform musical y $V = $ suscrito a una plataforma de vídeo
b) La probabilidad de que pase un suceso y la probabilidad de que no pase (su complementario), condicionada al mismo suceso, suman 1:
$$P(M|V) + P(\overline{M}|V) = 1$$
En el apartado anterior ya calculamos, podemos calcular primero la condicionada normal $P(M/V)$:
$$P(M/V) = \mfrac{P(M \cap V)}{P(V)} = \mfrac{0,50}{0,60} = \mfrac{5}{6}$$
Ahora, despejamos la del complemmentario:
$$P(\overline{M}|V) = 1 - P(M|V) = 1 - \mfrac{5}{6} = \mathbf{\mfrac{1}{6}} \approx 0,1667 \ (16,67\%)$$
PAU 2026 La Rioja julio CCSSII El peso de cierto tipo de quesos producidos en una quesería sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 60 gramos.
Se toma una muestra aleatoria de 36 quesos obteniéndose una media muestral de 980 gramos. Calcula un intervalo de confianza al 97% para estimar $\mu$.
Determina cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que al estimar $\mu$, con el mismo nivel de confianza, el error cometido sea, a lo sumo, de 10 gramos.
a) Para un nivel de confianza del 97%:
$$1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03 \implies \mfrac{\alpha}{2} = 0,015$$
Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor cuya probabilidad acumulada sea:
$$1 - \mfrac{\alpha}{2} = 1 - 0,015 = 0,9850$$
Buscando en la tabla $N(0,1)$ el valor exacto para $0,9850$, encontramos que corresponde a: $\mathbf{z_{\alpha/2} = 2,17}$
La fórmula del error es :$E = z_{\alpha/2} \cdot \mfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Sustituyendo:
$$E = 2,17 \cdot \mfrac{60}{\sqrt{36}} = 2,17 \cdot \mfrac{60}{6} = 2,17 \cdot 10 = \mathbf{21,7\text{ g}}$$
Luego el intervalo de confianza al 97% será:
\[ IC = (\bar{x} - E, \ \bar{x} + E) = (980 - 21,7, 980 + 21,7) = (\mathbf{958,3}, \mathbf{1001,7} ) \]
b) Ahora queremos que con los mismos datos el error sea $E \leq 10 $:
\[ E \leq 10 \implies Z_{\alpha/2} \cdot \mfrac{\sigma}{\msqrt{n}} \leq 10 \implies 2,17 \cdot \mfrac{ 60 }{ \msqrt{n}} \leq 10 \implies \]
\[ implies 2,10 \cdot 6 \leq \msqrt{n} \implies n \geq (2,17 \cdot 6)^2 \implies n \geq 169,52 \implies \mathbf{n \geq 170} \text{ quesos} \]
Si $\alpha$ están en el dominio de la función $f(x)$ entonces:
\[ \mintd{\alpha}{\alpha}{ f(x) }{dx} = 0 \]
Si $f(x)$ es integrable en $[a, b]$ entonces:
\[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = - \mintd{ b }{ a }{ f(x) }{dx} \]
Si $f(x)$ es integrable en $[a, b]$ y $\beta \in \R$ entonces:
\[ \mintd{ a }{ b }{ \beta \cdot f(x) }{dx} = \beta \cdot \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} \]
Si $f(x)$ es constante, $f(x) = c$, es integrable en $[a, b]$ y $ c \in \R$ entonces:
\[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ c }{dx} = c \cdot \mintd{ a }{ b }{ }{dx} = c \cdot \Bigg [ x \Bigg ]^b_a = c \cdot (b - a) \]
Si $f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x)$ son integrables en $[a, b]$ entonces:
\[ \mintd{ a }{ b }{ (f_1(x) \pm f_2(x) \pm \ldots \pm f_n(x)) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ f_1(x) }{dx} \pm \mintd{ a }{ b }{ f_2(x) }{dx} \pm \ldots \mintd{ a }{ b }{ f_n(x) }{dx} \]
Si $f(x)$ es integrable en un intervalo cerrado $[a, b]$ que contiene a tres valores $c,\ d\ \text{ y } \ e$ de forma que $c \leq d \leq e$ entonces:
\[ \mintd{ c }{ e }{ f(x) }{dx} = \mintd{ c }{ d }{ f(x) }{dx} + \mintd{ d }{ e }{ f(x) }{dx} \]
La variable de integración en una integral definida no afecta en el resultado final, por eso se le llama variable muda. Esto significa que puedes cambiar el nombre de la variable de integración sin alterar el valor de la integral, siempre que seas coherente dentro de la expresión.
\[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ f(t) }{dt} \]
Integral de funciones simétricas:
\( \bullet \) Si $f(x)$ es par, es decir, $f(-x) = f(x)$, entonces \( \mintd{-a}{a}{f(x)}{dx} = 2 \cdot \mintd{0}{a}{f(x)}{dx} \)
\( \bullet \) Si $f(x)$ es impar, es decir, $f(-x) = -f(x)$, entonces \( \mintd{-a}{a}{f(x)}{dx} = 0 \)
Propiedades de comparación:
Si $f(x) \geq 0$ en $a \leq x \leq b$, entonces \( \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \geq 0 \)
Si $f(x) \geq g(x) $ en $a \leq x \leq b$, entonces \( \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \geq \mintd{a}{b}{g(x)}{dx} \)
Si $m \leq f(x) \leq M$ en $a \leq x \leq b$, entonces \( m \cdot (b - a) \leq \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \leq M \cdot (b - a) \)
La fórmula de cuadratura de Cavalieri:
\[ \mintd{0}{a}{x^n}{dx} = \mfrac{1}{n + 1} \cdot a^{n+1} \qquad , n \geq 0 \]
Integral indefinida es:
\[ \mint{x^n}{dx} = \mfrac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1} + C, \qquad n \neq 1 \]
\( \bullet \) Ejercicio 1:
\( \bullet \) Ejercicio 2:
\( \bullet \) Ejercicio 3:
Lo primero es ver los puntos de corte de cada función con el eje $X$, el eje de abscisas:
Para $y = \msqrt{4 - x}$ Si $y = 0 \implies 4 - x = 0 \implies x = 4$
Para $y = \msqrt{4 - 4x}$ Si $y = 0 \implies 4 - 4x = 0 \implies x = 1$
Luego el área total se calcula de la siguiente forma:
\[ A_t = \mintd{ 0 }{ 4 }{ \msqrt{4 - x} }{dx} - \mintd{ 0 }{ 1 }{ \msqrt{4 - 4x} }{dx} (1) \]
Para calcular las integrales las ponemos como potencias, es decir, $y = (4 - x)^{1/2}$ e $y = (4 - 4x)^{1/2}$, es más fácil y directa:
