Integral definida. Propiedades. Ejercicios.

Si $\alpha$ están en el dominio de la función $f(x)$ entonces: \[ \mintd{\alpha}{\alpha}{ f(x) }{dx} = 0 \] Si $f(x)$ es integrable en $[a, b]$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = - \mintd{ b }{ a }{ f(x) }{dx} \] Si $f(x)$ es integrable en $[a, b]$ y $\beta \in \R$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ \beta \cdot f(x) }{dx} = \beta \cdot \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} \] Si $f(x)$ es constante, $f(x) = c$, es integrable en $[a, b]$ y $ c \in \R$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ c }{dx} = c \cdot \mintd{ a }{ b }{ }{dx} = c \cdot \Bigg [ x \Bigg ]^b_a = c \cdot (b - a) \] Si $f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x)$ son integrables en $[a, b]$ entonces: \[ \mintd{ a }{ b }{ (f_1(x) \pm f_2(x) \pm \ldots \pm f_n(x)) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ f_1(x) }{dx} \pm \mintd{ a }{ b }{ f_2(x) }{dx} \pm \ldots \mintd{ a }{ b }{ f_n(x) }{dx} \] Si $f(x)$ es integrable en un intervalo cerrado $[a, b]$ que contiene a tres valores $c,\ d\ \text{ y } \ e$ de forma que $c \leq d \leq e$ entonces: \[ \mintd{ c }{ e }{ f(x) }{dx} = \mintd{ c }{ d }{ f(x) }{dx} + \mintd{ d }{ e }{ f(x) }{dx} \] La variable de integración en una integral definida no afecta en el resultado final, por eso se le llama variable muda. Esto significa que puedes cambiar el nombre de la variable de integración sin alterar el valor de la integral, siempre que seas coherente dentro de la expresión. \[ \mintd{ a }{ b }{ f(x) }{dx} = \mintd{ a }{ b }{ f(t) }{dt} \] Integral de funciones simétricas:

\( \bullet \) Si $f(x)$ es par, es decir, $f(-x) = f(x)$, entonces \( \mintd{-a}{a}{f(x)}{dx} = 2 \cdot \mintd{0}{a}{f(x)}{dx} \)

\( \bullet \) Si $f(x)$ es impar, es decir, $f(-x) = -f(x)$, entonces \( \mintd{-a}{a}{f(x)}{dx} = 0 \)

Propiedades de comparación:

1. Si $f(x) \geq 0$ en $a \leq x \leq b$, entonces \( \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \geq 0 \)



2. Si $f(x) \geq g(x) $ en $a \leq x \leq b$, entonces \( \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \geq \mintd{a}{b}{g(x)}{dx} \)



3. Si $m \leq f(x) \leq M$ en $a \leq x \leq b$, entonces \( m \cdot (b - a) \leq \mintd{a}{b}{f(x)}{dx} \leq M \cdot (b - a) \)

La fórmula de cuadratura de Cavalieri: \[ \mintd{0}{a}{x^n}{dx} = \mfrac{1}{n + 1} \cdot a^{n+1} \qquad , n \geq 0 \] Integral indefinida es: \[ \mint{x^n}{dx} = \mfrac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1} + C, \qquad n \neq 1 \] \( \bullet \) Ejercicio 1:

\( \bullet \) Ejercicio 2:

\( \bullet \) Ejercicio 3:

Lo primero es ver los puntos de corte de cada función con el eje $X$, el eje de abscisas:

Para $y = \msqrt{4 - x}$ Si $y = 0 \implies 4 - x = 0 \implies x = 4$

Para $y = \msqrt{4 - 4x}$ Si $y = 0 \implies 4 - 4x = 0 \implies x = 1$

Luego el área total se calcula de la siguiente forma: \[ A_t = \mintd{ 0 }{ 4 }{ \msqrt{4 - x} }{dx} - \mintd{ 0 }{ 1 }{ \msqrt{4 - 4x} }{dx} (1) \]  Para calcular las integrales las ponemos como potencias, es decir, $y = (4 - x)^{1/2}$ e $y = (4 - 4x)^{1/2}$, es más fácil y directa:

Vamos con la $\odn{1}{a}$ integral: \[ \mintd{ 0 }{ 4 }{ \msqrt{4 - x} }{dx} = \mintd{ 0 }{ 4 }{ (4 - x)^{1/2} }{dx} = \mfrac{-2}{3} \cdot \mintd{ 0 }{ 4 }{ \mfrac{-3}{2} (4 - x)^{1/2} }{dx} = \] \[ = \mfrac{-2}{3} \cdot \Bigg [ (4 - x)^{3/2} \Bigg ]^{4}_{0} = \mfrac{-2}{3} \cdot \Bigg [ (4 - 4)^{3/2} - (4)^{3/2} \Bigg ] = \mfrac{2}{3} \cdot (4)^{3/2} = \mfrac{16}{3} u^2 \] Vamos con la $\odn{2}{a}$ integral: \[ \mintd{ 0 }{ 1 }{ \msqrt{4 - 4x} }{dx} = \mintd{ 0 }{ 1 }{ 2(1 - x)^{1/2} }{dx} = \mfrac{-4}{3} \cdot \mintd{ 0 }{ 1 }{ \mfrac{-3}{2} (1 - x)^{1/2} }{dx} = \] \[ = \mfrac{-4}{3} \cdot \Bigg [ (1 - x)^{3/2} \Bigg ]^{1}_{0} = \mfrac{-4}{3} \cdot \Bigg [ (1 - 1)^{3/2} - (1)^{3/2} \Bigg ] = \mfrac{4}{3} \cdot (1)^{3/2} = \mfrac{4}{3} u^2\] Juntamos ambas integrales en $(1)$: \[ A_t = \mfrac{16}{3} - \mfrac{4}{3} = \mfrac{12}{3} = 4u^2 \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com