Problemas de optimización. PAU.

PAU La Rioja (2026 junio) Una empresa fabrica dos tipos de herramientas, A y B. Para su elaboración utiliza madera y acero. Para fabricar una herramienta A se necesitan 300 gramos de madera y 100 gramos de acero; en el caso de B, las cantidades requeridas son 100 y 200 gramos respectivamente. Dispone diariamente de un máximo de 3 kilogramos de madera y 2 kilogramos de acero. Estas herramientas le proporcionan un beneficio de 20 euros por unidad de A y de 15 euros por cada una de B. Además, se deben fabricar diariamente al menos 2 herramientas de tipo A y al menos 3 de tipo B. Se pide:

1. (0,5 PUNTOS) Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa.
2. (0,5 PUNTOS) Representa la región factible S.
3. (0,5 PUNTOS) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
4. (0,5 PUNTOS) Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo.

a) Lo primero que hacemos es definir las variables que vamos a usar en este ejercicio: $x$: Número de herramientas de tipo A.$y$: Número de herramientas de tipo B. Función objetivo (Maximizar el beneficio): $$f(x,y) = 20x + 15y$$ Restricciones:

Madera: $300x + 100y \le 3000 \implies 3x + y \le 30$

Acero: $100x + 200y \le 2000 \implies x + 2y \le 20$

Mínimo de tipo A: $x \ge 2$

Mínimo de tipo B: $y \ge 3$

b) Región factible $S$ y c) Coordenadas de los vértices

Dibujamos las rectas y nos sale la siguiente región factible:

Al cruzar estas rectas correctas en el plano, la región factible sigue siendo un cuadrilátero, pero con vértices completamente enteros. Los obtenemos resolviendo los sistemas de ecuaciones de las líneas que se cruzan:

Cruce de los mínimos ($x=2$ e $y=3$): Vértice $A = (2, 3)$

Cruce de $y=3$ con la recta de la madera ($3x + y = 30$):$3x + 3 = 30 \implies 3x = 27 \implies x = 9$

Vértice $B = (9, 3)$ (Cumple la restricción de acero porque $9 + 2(3) = 15 \le 20$)

Cruce de las dos restricciones de materiales ($3x + y = 30$ y $x + 2y = 20$): Multiplicamos la segunda por 3: $3x + 6y = 60$

Restamos la primera: $5y = 30 \implies y = 6$ Sustituimos para hallar $x$: $x + 2(6) = 20 \implies x = 8$ Vértice $C = (8, 6)$Cruce de $x=2$ con la recta del acero ($x + 2y = 20$):$2 + 2y = 20 \implies 2y = 18 \implies y = 9$

Vértice $D = (2, 9)$ (Cumple la restricción de madera porque $3(2) + 9 = 15 \le 30$)

d) Optimización (Beneficio máximo) Evaluamos la función objetivo $f(x,y) = 20x + 15y$ en cada uno de los 4 vértices obtenidos:

$f(2,3) = 20(2) + 15(3) = 40 + 45 = 85\text{ €}$
$f(9,3) = 20(9) + 15(3) = 180 + 45 = 225\text{ €}$
$f(2,9) = 20(2) + 15(9) = 40 + 135 = 175\text{ €}$
$f(8,6) = 20(8) + 15(6) = 160 + 90 = 250\text{ €}$

PAU La Rioja (2026 junlio) En Semana Santa, dos pasos salen en procesión por dos calles perpendiculares. El primer paso sale de la iglesia $A$ a $3 km/h$ y el segundo sale a la misma hora de la iglesia $B$ a $2,8 km/h$, ambos en sentido al mismo cruce de las calles. La distancia de la iglesia $A$ hasta el cruce es de $2,2 km$ y desde la iglesia $B$ hasta el cruce, de $2 km$.

1. Determina en qué momento la distancia entre los dos pasos es mínima.
2. Determina la distancia mínima.

Lo mejor es hacerse un esquema:

La trayectoria del paso de la iglesia $A$ es $(2, 0) + 3t(0,1) = (2, 3t)$

La trayectoria del paso de la iglesia $B$ es $(0, 2.2) + 2,8t(1,0) = (2.8t, 2.2)$

La distancia entre las trayectorias de $A$ y $B$ viene dada por la fórmula: \[ d(A, B) = \msqrt{ (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 } \] Luego la función a optimizar es $f(t) = (2,2 - 3t)^2 + (2 - 2,8t)^2 $ \[ f'(t) = 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) \] Vamos a ver para que valor de $t$ se anula la derivada: \[ 2(2,2 - 3t)(-3) + 2(2 - 2,8t)(-2,8) = -13,2 + 18t -11,2 + 15,68t = 0 \implies \] \[ \implies 33,68t - 24,2= 0 \implies t = \mfrac{24,2}{33,68} \approx 0,72 \text{horas } \approx 43,2 \text{minutos} \] La distancia mínima es cuando llegan: \[ d_{mín}(A, B) = f(0,72) = \msqrt{ (2,2 - 3 \cdot 0,72)^2 + (2 - 2,8 \cdot 0,72)^2 } = \msqrt{ 0,0016 + 0,000256 } = \msqrt{ 0,001856 } \approx 0,043km = 43m \]



PAU La Rioja (2026 junio) CCSS II En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas A y B. Para tabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda A requiere de 3 horas de corte y 2 de costura; cada prenda B, de 1 y 4 horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de 15 horas para el corte y de 20 horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de A son de 100 € y por cada una de B, 120 €. Se pide:

1. Plantea el problema de programación lineal para maximizar los ingresos de la sastrería.
2. Representa la región factible S.
3. Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
4. Calcula el número de prendas de cada tipo a confeccionar para que los ingresos sean máximos. Indica el valor de estos ingresos.

$x$ = número de prendas tipo A e $y$ = número de prendas tipo B.

Vamos con el apartado a):

REstricción del número de prendas: $x \leq 0$, $y \leq 0$

Restricción de horas de corte: $3x + y \leq 15$

Restricción del número de horas de costura: $2x + 4y \leq 20$ c y la función a optimizar es $f(x, y) = 100x + 120y $

b) y c) Veamos la región factible y las coordenadas de los vértices:

d) Los valores en los vértces:

$f(5, 0) = 100 \cdot 5 = 500 $

$f(0, 5) = 120 \cdot 5 = 600 $

$f(4, 3) = 100 \cdot 4 + 120 \cdot 3 = 400 + 360 = 760$€