Problemas de optimización. PAU.

PAU La Rioja (2026) Una empresa fabrica dos tipos de herramientas, A y B. Para su elaboración utiliza madera y acero. Para fabricar una herramienta A se necesitan 300 gramos de madera y 100 gramos de acero; en el caso de B, las cantidades requeridas son 100 y 200 gramos respectivamente. Dispone diariamente de un máximo de 3 kilogramos de madera y 2 kilogramos de acero. Estas herramientas le proporcionan un beneficio de 20 euros por unidad de A y de 15 euros por cada una de B. Además, se deben fabricar diariamente al menos 2 herramientas de tipo A y al menos 3 de tipo B. Se pide:

1. (0,5 PUNTOS) Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa.
2. (0,5 PUNTOS) Representa la región factible S.
3. (0,5 PUNTOS) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.
4. (0,5 PUNTOS) Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo.

a) Lo primero que hacemos es definir las variables que vamos a usar en este ejercicio: $x$: Número de herramientas de tipo A.$y$: Número de herramientas de tipo B. Función objetivo (Maximizar el beneficio): $$f(x,y) = 20x + 15y$$ Restricciones:

Madera: $300x + 100y \le 3000 \implies 3x + y \le 30$

Acero: $100x + 200y \le 2000 \implies x + 2y \le 20$

Mínimo de tipo A: $x \ge 2$

Mínimo de tipo B: $y \ge 3$

b) Región factible $S$ y c) Coordenadas de los vértices

Dibujamos las rectas y nos sale la siguiente región factible:

Al cruzar estas rectas correctas en el plano, la región factible sigue siendo un cuadrilátero, pero con vértices completamente enteros. Los obtenemos resolviendo los sistemas de ecuaciones de las líneas que se cruzan:

Cruce de los mínimos ($x=2$ e $y=3$): Vértice $A = (2, 3)$

Cruce de $y=3$ con la recta de la madera ($3x + y = 30$):$3x + 3 = 30 \implies 3x = 27 \implies x = 9$

Vértice $B = (9, 3)$ (Cumple la restricción de acero porque $9 + 2(3) = 15 \le 20$)

Cruce de las dos restricciones de materiales ($3x + y = 30$ y $x + 2y = 20$): Multiplicamos la segunda por 3: $3x + 6y = 60$

Restamos la primera: $5y = 30 \implies y = 6$ Sustituimos para hallar $x$: $x + 2(6) = 20 \implies x = 8$ Vértice $C = (8, 6)$Cruce de $x=2$ con la recta del acero ($x + 2y = 20$):$2 + 2y = 20 \implies 2y = 18 \implies y = 9$

Vértice $D = (2, 9)$ (Cumple la restricción de madera porque $3(2) + 9 = 15 \le 30$)

d) Optimización (Beneficio máximo) Evaluamos la función objetivo $f(x,y) = 20x + 15y$ en cada uno de los 4 vértices obtenidos:

$f(2,3) = 20(2) + 15(3) = 40 + 45 = 85\text{ €}$
$f(9,3) = 20(9) + 15(3) = 180 + 45 = 225\text{ €}$
$f(2,9) = 20(2) + 15(9) = 40 + 135 = 175\text{ €}$
$f(8,6) = 20(8) + 15(6) = 160 + 90 = 250\text{ €}$