Potencias de base un número real y exponente fraccionario.

Vamos a repasar las propiedades de las potencias, empezando por la definición: $$ \huge \textcolor{blue}{ \fcolorbox{red}{white}{ $a^n = \underbrace{ a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\text{«}n\text{»-veces}} $ } } $$ Vamos con las propiedades:

• $ \huge { a^1 = a } $ Preguntar a vuestros alumnos cuántas vecen han usado esta propiedad desde que la vieron (al menos) desde 1ª de la ESO. Os vais a sorprender.
  $0^1 = 0$
  $(-3)^1 = -3$
  $50594095049832^1 = 50594095049832$
  
  $\left ( \mfrac{4}{5} \right )^1 = \dfrac{4}{5} $
  grado de ( $xy^2z^3$ ) = 6
  
  Cualquier número se escribiría así: $+7^1$, el signo y el exponente se omiten.
  
  
Potencias con la misma base:
• $\huge{ a^n \cdot a^m = a^{n + m} } $
  
  $2^7 \cdot 2^3 = 2^{10}$
$ \huge{ a^n : a^m = \mfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} } $

$3^{75} : 3^{100} = 3^{-25}$

Potencias con el mismo exponente:
• $\huge{ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^{n} } $
  
  $2^{13} \cdot 5^{13} = (2 \cdot 5)^{13} = 10^{13}$
• $\huge{ a^n : b^n = \mfrac{a^n}{b^n} = (a : b)^{n} = \left ( \mfrac{a}{b} \right )^n } $
  
  $15^{20} : 5^{20} =\left ( \mfrac{15^{20}}{5^{20}} \right ) = (15 : 5)^{20} = 3^{20}$
• $ \huge{ \left ( a^r \right )^s = a^{r \cdot s} } $
  
  $\left ( 7^4 \right )^5 = 7^{20} $
  
  
• $ \huge { a^0 = 1, a \neq 0 } $ Vamos a demostrarla: $$ \huge { a^0 = a^{1 - 1} = a^{2 - 2} = \ldots = a^{n - n} = \mfrac{a^n}{a^n} = 1 } $$ Está claro que $a$ no puede ser cero, en el denominador no puede haber un cero.
  
  
• $ \huge { a^{-1} = \mfrac{ 1 }{a^n}, a \neq 0 } $ Vamos a demostrarla: $$ \huge { 1 = a^0 \Leftrightarrow a = a^{n - n} \Leftrightarrow 1 = a^n \cdot a^{-n} } $$ Para despejar $a^{-n}$, hacemos: $$ \huge{ a^{-n} = \mfrac{ 1 }{ a^n } } $$
  
  $ 2^{-1} = \mfrac{1}{2}$
  
  $ \left ( \mfrac{1}{5} \right )^{-1} = 5$
  
  $ \left ( \mfrac{7}{13} \right )^{-1} = \mfrac{13}{7}$
  
  $11^{-3} = \mfrac{1}{11^3} = \mfrac{1}{1331} $
  
  

$$ \huge \textcolor{blue}{ \fcolorbox{red}{white}{ $\text{ Exponente fraccionario } \qquad \huge \sqrt[n]{\ a\ } = a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \qquad \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } $ } } $$ Para empezar a trabajar con potencias de exponente fraccionario vamos a demostrar las dos propiedades que tenemos en el recuadro anterior. Vamos con la $1^{\underline{a}}$ propiedad: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } = a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } }$$ Por definición de raíz n-ésima $( n \neq 1)$ tenemos que: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } = b \Leftrightarrow b^n = a } \qquad \normalsize{ (1) } $$ Si multiplicamos los exponentes en esta igualdad por $\dfrac{\ 1\ }{n}$ tenemos: $$ \huge{ (b^n)^{\frac{\ 1\ }{n}} = a^{\frac{\ 1\ }{n}} \Rightarrow b = a^{\frac{\ 1\ }{n}} } \qquad \normalsize{ (2) } $$ De $(1)$ y de $(2)$ nos queda: $$ \huge{ b = \sqrt[n]{\ a\ } \text{ y además } b = a^{\frac{\ 1\ }{n}} \Rightarrow \sqrt[n]{\ a\ } = a^{\frac{\ 1\ }{n}} } \qquad \normalsize{ QED } $$


Una vez que tenemos este resultado, vamos a demostrar la $2^{\underline{a}}$ propiedad, es decir, veamos que $ \Large{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } }$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } \qquad \normalsize{ (3) } $$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = \sqrt[n]{\ a^m\ } } \qquad \normalsize{ (4) } $$ De $(3)$ y de $(4)$ nos queda: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } \qquad \normalsize{ QED } $$


Esto siempre cuando los valores a $a$, $n$ y $m$ tengan sentido, por ejemplo: $$ \sqrt{\ -4\ } \qquad n = 2; m = 1; a = -4 \ \ \text{ No tiene sentido, no puedo calcular con números reales la raíz cuadrada de } -4 $$

Recordemos que:
$$ \Large{ \sqrt[\color{red}{n}]{a} = a^{ \dfrac{1}{\color{red}{n}} } \qquad \text{ y } \qquad \sqrt[\color{red}{n}]{a^m} = a^{ \dfrac{m}{ \color{red}{n} } } } $$ Ejemplos:
$$ \sqrt{5} = 5^{\dfrac{1}{2} } \qquad \sqrt[3]{7} = 7^{\dfrac{1}{3} } \qquad \sqrt[5]{16} = 16^{\dfrac{1}{5} } = 2^{\dfrac{4}{5} } $$

Vamos ahora a demostrar el resto de las propiedades de los radicales:

$\blacksquare \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $

$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = a^{\frac{\ 1 \ }{n} } \cdot b^{\frac{\ 1 \ }{n} } = \left (a \cdot b\right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $$

$\blacksquare \huge{ \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a \ }{ b } } } $

$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } : \sqrt[n]{\ b\ } = \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \dfrac{\ a^{\frac{\ 1 \ }{n} }\ }{ b^{\frac{\ 1 \ }{n} } } = \left (\dfrac{\ a\ }{ b} \right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a\ }{ b } } } $$

$\blacksquare \huge{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $

$$ \Large{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \left ( a^{ \frac{\ 1 \ }{n} } \right )^{\frac{\ 1 \ }{m}} = a^{ \frac{\ 1 \ }{\ m \cdot n\ } } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $$

$\blacksquare \huge{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = \sqrt[n \cdot s]{\ a^{m \cdot s}\ } } $

$$ \Large{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } = a^{ \frac{\ m \cdot s\ }{\ n \cdot s\ } } = \sqrt[m \cdot s]{\ a^{n \cdot s}\ } } $$

Veamos una consecuencia de estas propiedades: $$ \Large{ \begin{array}{ccc} a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } & \qquad & \begin{array}{c} \xrightarrow{ Introducir factores } \cr a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } \cr \xleftarrow{ Sacar factores } \cr \end{array} \end{array} } $$ $ \msqrt{2^9 \cdot x^3 \cdot y^8} = 2^4 \cdot x \cdot y^4 \ \cdot \msqrt{2x} $

$ \mmsqrt{3}{(-3)^3 \cdot x^4 \cdot y^{12}} = -3 \cdot x \cdot y^4 \ \cdot \mmsqrt{3}{x} $

Si $n$ es par: $$ \Large{ \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } = |a| \cdot \sqrt[n]{\ x\ } } $$ Si $n$ es impar: $$ \Large{ \sqrt[n]{\ (\pm a)^n \cdot x\ } = \pm a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } } $$ $\msqrt{4} = + 2 \qquad \mmsqrt{4}{-16} $ No está definida.

$\mmsqrt{3}{-27} = - 3 \qquad \mmsqrt{5}{32} = 2 $




$\bullet \huge{ a^{\frac{\ -1\ }{\ n\ }} = \mfrac{1}{a^{\frac{\ 1\ }{\ n\ }}} = \mfrac{1}{ \mmsqrt{n}{a} } } $

$$ 3^{\frac{\ -1\ }{\ 4\ }} = \mfrac{1}{3^{\frac{\ 1\ }{\ 4\ }}} = \mfrac{1}{ \mmsqrt{4}{3} } $$ \( \bullet\ \) Un ejercicio interesante:

Radicales. Ejercicios.

$\textbf{¿Qué es un radical?}$ Es aquel número que no puede ser simplificado para extraer su raíz, es decir, que no es una raíz exacta y por ello el signo del radical aparece, es decir, una potencia cuyo exponente es una fracción irreducible. Ejemplos:

$$\sqrt{2}; \qquad \sqrt[3]{2}; \qquad \sqrt[7]{5}; ... $$

Sacar factores de un radical

$\bullet$ Para sacar factores de un radical, por ejemplo: $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ ¿Cómo se hace? ¿Cómo se sacan?
Factorizamos el radicando en producto de primos, para cada primo cogemos el exponente, si no es mayor que el índice, no podemos sacar factores de ese primo, si el exponente es mayor, hacemos la división entera, se sacan tantos factores como dice el cociente y se quedan tantos factores como indique el resto.

Veamos el ejemplo de $\sqrt{8},$ y sabemos que $8 = 2^3$, como el exponente 3 es mayor 2, hacemos la división entera y sale cociente 1 y resto 1, eso quiere decir que se saca un $\color{blue}{2}$ y se queda otro $\color{green}{2}$, es decir, $\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = \color{blue}{2} \color{black} \sqrt{\ \color{green}{2}\ }$.

Veamos otro ejemplo: $$\sqrt[3]{972} = \sqrt[3]{\ 2^2 \cdot 3^5\ }$$ Cogemos el primer factor que es $2^2$, como el exponente es 2, que es menor que 3, no hacemos nada. Ahora cogemos el otro factor $3^5$, y hacemos la divisón entera entre el exponente 5 y el índice 3, nos da cociente 1 y resto 2, es decir, sacamos un 3 y se quedan dos 3. Es decir: $$\sqrt[3]{972} = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^5} = 3 \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2} $$ Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:

Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando $$ \sqrt{\ 9 \cdot a^4 \cdot b \cdot c^5\ } = \sqrt{\ 3^2 \cdot a^4 \cdot b \cdot c^5\ } = (*) $$ Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $b$ es menor que 1, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 3, sale 1 y queda 0; de $a$ salen 2 y ninguno se queda; y de $c$ salen 2 y se queda 1: $$ (*) = 3 \cdot a^2 \cdot c^2 \cdot \sqrt{\ b c\ } $$

Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando $$ \sqrt{\ 18 \cdot a^{12} \cdot b^9 \cdot c^7\ } = \sqrt{\ 2 \cdot 3^2 \cdot a^{12} \cdot b^9 \cdot c^7\ } = (*) $$ Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $2$ es menor que 1, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 3, sale 1 y queda 0; de $a$ salen 6 y ninguno se queda; de $b$ salen 4 y se queda 1; y de $c$ salen 3 y se queda 1: $$ (*) = 3 \cdot a^6 \cdot b^4 \cdot c^3 \sqrt{\ 2 \cdot b \cdot c\ } $$

En este caso es una raíz cúbica, de índice 3. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando: $$ \sqrt[3]{\ 864 \cdot a^4 \cdot b^9 \cdot c^{24}\ } = \sqrt[3]{\ 2^5 \cdot 3^3 \cdot a^4 \cdot b^9 \cdot c^{24}\ } = (*) $$ Ahora revisamos los factores primos y vemos que todos los exponentes son mayores que 3, luego podemos sacar algún factor de todos los primos. Del 2, salen 1 y se quedan 2; del 3, sale 1 y queda 0; de $a$ salen 1 y se queda 1; de $b$ salen 3 y se queda 0; y de $c$ salen 8 y se queda 0: $$ (*) = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot b^3 \cdot c^8 \sqrt{\ 2^2 \cdot a\ } $$

En este caso es una raíz de índice 7. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando: $$ \sqrt[7]{\ 3072 \cdot a^{12} \cdot b^{14} \cdot c^{26}\ } = \sqrt[7]{\ 2^{10} \cdot 3 \cdot a^{12} \cdot b^{14} \cdot c^{26}\ } = (*) $$ Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $3$ es menor que 7, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 7 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y queda 3; de $a$ sale 1 y se quedan 5; de $b$ salen 2 y no se queda ninguno; y de $c$ salen 3 y se queda 5: $$ (*) = 2 \cdot a \cdot b^2 \cdot c^3 \sqrt[7]{\ 2^3 \cdot 3 \cdot a^5 \cdot c^5\ } $$

En este caso es una raíz cuadrada, de índice 2. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando: $$ \sqrt{\ \dfrac{\ 8 \cdot x^3 \cdot y\ }{ 125 \cdot z^9 }\ } = \sqrt{\ \dfrac{\ 2^3 \cdot x^3 \cdot y\ }{ 5^3 \cdot z^9 }\ } = (*) $$ Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $y$ es menor que 2, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y queda 1; de $x$ sale 1 y se quedan 1; de $5$ salen 1 y se queda uno; y de $z$ salen 4 y se queda 1: $$ (*) = \dfrac{\ 2 \cdot x\ }{ 5 \cdot z^4 } \sqrt{\ \dfrac{\ 2 \cdot x \cdot y\ }{ 5 \cdot z }\ } $$

En este caso es una raíz cúbica, de índice 3. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando: $$ \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 108 \cdot a^9 \cdot b \cdot c^{16}\ }{ 875 \cdot d^4 \cdot e }\ } = \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 2^4 \cdot 3^3 \cdot a^9 \cdot b \cdot c^{16}\ }{ 5^3 \cdot 7 \cdot d^4 \cdot e }\ } = (*) $$ Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $b$, del 7 y de la $e$ ,son menor que 2, luego de esos factores no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 3 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y queda 1; de $3$ sale 1 y no se queda ninguno; de $a$ salen 3 y no se queda ninguno; y de $c$ salen 5 y se queda 1; del 5 sale uno y no se queda ninguno y del $d$ sale y se queda uno: $$ (*) = \dfrac{\ 2 \cdot 3 \cdot a^3 \cdot c^5\ }{ 5 \cdot d } \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 2 \cdot b \cdot c\ }{ 7 \cdot d \cdot e }\ } $$

En este caso es una raíz cuadrada, de índice 2. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando: $$ \sqrt{\ \dfrac{\ 16 \cdot a^4\ }{27 \cdot b \cdot c^6}\ } = \sqrt{\ \dfrac{\ 2^4 \cdot a^4\ }{ 3^3 \cdot b \cdot c^6 }\ } = (*) $$ Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $b$ es menor que 2, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 2 y no se queda ninguno; de $a$ sale 2 y no se queda ninguno; de $3$ salen 1 y se queda uno; y de $c$ salen 3 y no se queda ninguno: $$ (*) = \dfrac{\ 2^2 \cdot a^2\ }{ 3 \cdot c^3 } \sqrt{\ \dfrac{ 1 }{\ 3 \cdot b\ }\ } = \dfrac{\ 2^2 \cdot a^2\ }{ 3 \cdot c^3 \cdot \sqrt{\ 3 \cdot b\ }\ } $$

En este caso es una raíz cúbica, de índice 3. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando: $$ \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 8 \cdot a^9 \cdot c^{10}\ }{\ 125 \cdot d^3 \cdot e^9\ }\ } = \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 2^3 \cdot a^9 \cdot c^{10}\ }{\ 5^3 \cdot d^3 \cdot e^9\ }\ } = (*) $$ Ahora revisamos los factores primos y vemos que todos los exonentes son mayores que 3 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y no se queda ninguno; de $a$ salen 3 y no se queda ninguno; de $c$ salen 3 y se queda uno; de 5 sale 1 y no se queda ninguno; del $d$ sale uno y no se queda ninguno y del $e$ salen 3 y no se queda ninguno: $$ (*) = \dfrac{\ 2 \cdot a^3 \cdot c^3\ }{ 5 \cdot d \cdot e^3 } \sqrt[3]{\ c\ } $$

Introducir factores en un radical

Para introducir un factor dentro de una raíz, multiplicamos el exponente del factor por el índice de la raíz, veamos unos ejemplos: $$ 5 \cdot \sqrt{\ 2\ } = \sqrt{\ 5^2 \cdot 2\ } $$ $$ 7 \cdot \sqrt[3]{\ 2^2\ } = \sqrt[3]{\ 7^3 \cdot 2^2 \ } $$ $$ 3^2 \cdot \sqrt[5]{\ 2^2 \cdot 7\ } = \sqrt[5]{\ 2^2 \cdot 3^{10} \cdot 7 \ } $$ $$ 3 \cdot a \cdot \sqrt{\ 5 \cdot a \cdot x\ } = \sqrt{\ 5 \cdot a \cdot x \cdot (3 \cdot a)^2\ } = \sqrt{\ 5 \cdot a \cdot x \cdot \left (9 \cdot a^2 \right ) \ } = \sqrt{\ 45 \cdot a^3 x\ } $$ $$ 5 \cdot x^2 \cdot y \cdot \sqrt[3]{\ 4 \cdot x \cdot z\ } = \sqrt[3]{\ 4 \cdot x \cdot z \cdot \left(5 \cdot x^2 \cdot y \right)^3\ } = \sqrt[3]{\ 4 \cdot x \cdot z \cdot \left(125 \cdot x^6 \cdot y^3 \right )\ } = \sqrt[3]{\ 500 \cdot x^7 \cdot y^3 \cdot z\ }$$ $$ \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot a^3 \cdot b \cdot \sqrt{\ 3 \cdot x\ } = \sqrt{3 \cdot x \cdot \left( \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot a^3 \cdot b \right )^2 } = \sqrt{\ 3 \cdot x \cdot \left( \dfrac{4}{\ 25\ } \cdot a^6 \cdot b^2 \right )\ } = \sqrt{\ \dfrac{\ 12\ }{25} \cdot a^6 \cdot b^2 \cdot x\ } $$

Los ejercicios anteriores de sacar factores, si los leemos del final al principio tenemos ejercicios de introducir factores en el radical.

Para introducir factores lo que haremos será multiplicar el exponente de cada factor por el índice de la raíz: $$ 2 \cdot a^3 \cdot b \cdot c \cdot \sqrt{\ 3 \cdot a \cdot c\ } = \sqrt{\ 2^2 \cdot 3 \cdot a^7 \cdot b^2 \cdot c^3\ } $$

Para introducir factores lo que haremos será multiplicar el exponente de cada factor por el índice de la raíz: $$ 2 \cdot a^2 \cdot b \cdot c^3 \cdot \sqrt[3]{\ 5 \cdot a \cdot c^2\ } = \sqrt[3]{\ 2^3 \cdot 5 \cdot a^7 \cdot b^3 \cdot c^{11}\ } $$

Para introducir factores lo que haremos será multiplicar el exponente de cada factor por el índice de la raíz: $$ 3 \cdot a^2 \cdot b^4 \cdot c \cdot \sqrt{\ 2 \cdot b \cdot c\ } = \sqrt{\ 2 \cdot 3^2 \cdot a^4 \cdot b^9 \cdot c^3\ } $$

Suma y resta de radicales

Calcula y simplifica: $$ 3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{8} + 7 \sqrt{32} = 3 \sqrt{2} - 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{\ 2\ } + 7 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{\ 2\ } = 3 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} + 28 \sqrt{2} = 21 \sqrt{2} $$

Sacamos todos los factores que podamos de las raíces: $$ \sqrt{2} + \sqrt{8} - 5 \cdot \sqrt{18} + \sqrt{32} = \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{\ 2\ } - 5 \cdot 3 \cdot \sqrt{\ 2\ } + 2^2 \cdot \sqrt{\ 2\ } = \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{\ 2\ } - 15 \cdot \sqrt{\ 2\ } + 4 \cdot \sqrt{\ 2\ } = -8 \cdot \sqrt{\ 2\ } $$

Sacamos todos los factores que podamos de las raíces: $$ \sqrt{\ 24\ } + 7 \cdot \sqrt{\ 6\ } - 2 \sqrt{\ 486\ } = 2 \cdot \sqrt{\ 6\ } + 7 \cdot \sqrt{\ 6\ } - 2 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{\ 6\ } = 2 \cdot \sqrt{\ 6\ } + 7 \cdot \sqrt{\ 6\ } - 18 \cdot \sqrt{\ 6\ } = -9 \cdot \sqrt{\ 6\ } $$

Sacamos todos los factores que podamos de las raíces: $$ \sqrt{\ \dfrac{\ 2\ }{3}\ } + \dfrac{\ 3\ }{2} \sqrt{\ \dfrac{8}{\ 27\ }\ } - \dfrac{\ 1\ }{2} \sqrt{\ \dfrac{\ 32\ }{75}\ } = \sqrt{\ \dfrac{\ 2\ }{3}\ } + \dfrac{\ 3\ }{2} \cdot \dfrac{\ 2\ }{3} \cdot \sqrt{\ \dfrac{2}{\ 3\ }\ } - \dfrac{\ 1\ }{2} \cdot \dfrac{\ 2^2\ }{5} \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 2\ }{3}\ } = $$
$$ = \sqrt{\ \dfrac{\ 2\ }{3}\ } + \dfrac{\ \cancel{3}\ }{\xcancel{2}} \cdot \dfrac{\ \xcancel{2}\ }{\cancel{3}} \cdot \sqrt{\ \dfrac{2}{\ 3\ }\ } - \dfrac{\ 1\ }{\cancel{2}} \cdot \dfrac{\ \cancelto{2}{2^2}\ }{5} \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 2\ }{3}\ } = \sqrt{\ \dfrac{\ 2\ }{3}\ } + \sqrt{\ \dfrac{2}{\ 3\ }\ } - \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 2\ }{3}\ } = 2\sqrt{\ \dfrac{2}{\ 3\ }\ } - \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 2\ }{3}\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 10\ }{2} \cdot \sqrt{\ \dfrac{2}{\ 3\ }\ } - \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 2\ }{3}\ } = \dfrac{\ 8\ }{5} \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 2\ }{3}\ } $$

Sacamos todos los factores que podamos de las raíces: $$ 5 \cdot \sqrt{\ 48\ } - \dfrac{\ 1\ }{8} \sqrt{\ 12\ } + \dfrac{\ 3\ }{5} \sqrt{\ 75\ } = 5 \cdot \sqrt{\ 2^4 \cdot 3\ } - \dfrac{\ 1\ }{8} \sqrt{\ 2^2 \cdot 3\ } + \dfrac{\ 3\ }{5} \sqrt{\ 3 \cdot 5^2\ } = 5 \cdot 4 \sqrt{\ 3 \ } - \dfrac{\ 2\ }{8} \sqrt{\ 3\ } + \dfrac{\ 3 \cdot 5\ }{5} \cdot \sqrt{\ 3\ } = $$
$$ = 20 \sqrt{\ 3 \ } - \dfrac{\ 1\ }{4} \sqrt{\ 3\ } + 3 \cdot \sqrt{\ 3\ } = 23 \sqrt{\ 3 \ } - \dfrac{\ 1\ }{4} \sqrt{\ 3\ } = \dfrac{\ 92\ }{4} \cdot \sqrt{\ 3\ } - \dfrac{\ 1\ }{4} \sqrt{\ 3\ } = \dfrac{\ 91\ }{4} \sqrt{\ 3\ } $$

Sacamos todos los factores que podamos de las raíces: $$ 2 \cdot \sqrt{\ 180\ } - \dfrac{3}{5} \cdot \sqrt{\ 125\ } - 5 \cdot \sqrt{\ 5\ } + \dfrac{\ 7\ }{4} \sqrt{\ 80\ } = 2 \cdot \sqrt{\ 6^2 \cdot 50\ } - \dfrac{3}{5} \cdot \sqrt{\ 5^3\ } - 5 \cdot \sqrt{\ 5\ } + \dfrac{\ 7\ }{4} \sqrt{\ 4^2 \cdot 5 \ } = $$ $$ = 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{\ 5\ } - \dfrac{\ 3 \cdot 5\ }{5} \cdot \sqrt{\ 5\ } - 5 \cdot \sqrt{\ 5\ } + \dfrac{\ 7 \cdot 4\ }{4} \sqrt{\ 5\ } = $$ $$ = 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{\ 5\ } - \dfrac{\ 3 \cdot \cancel{5}\ }{ \cancel{5} } \cdot \sqrt{\ 5\ } - 5 \cdot \sqrt{\ 5\ } + \dfrac{\ 7 \cdot \cancel{4}\ }{ \cancel{4}\ } \cdot \sqrt{\ 5\ } = 12 \cdot \sqrt{\ 5\ } - 3 \cdot \sqrt{\ 5\ } - 5 \cdot \sqrt{\ 5\ } + 7 \cdot \sqrt{\ 5\ } = 11 \sqrt{\ 5\ } $$

Sacamos todos los factores que podamos de las raíces: $$ \sqrt[3]{\ 108\ } - 2 \cdot \sqrt[3]{\ 32\ } - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \sqrt[3]{\ 500\ } = \sqrt[3]{\ 2^2 \cdot 3^3\ } - 2 \sqrt[3]{\ 2^5\ } - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \sqrt[3]{\ 5^3 \cdot 2^2\ } = 3 \cdot \sqrt[3]{\ 4\ } - 2 \cdot 2 \sqrt[3]{\ 4\ } - \dfrac{\ 5\ }{3} \cdot \sqrt[3]{\ 4\ } = $$ $$ = 3 \cdot \sqrt[3]{\ 4\ } - 4 \cdot \sqrt[3]{\ 4\ } - \dfrac{\ 5\ }{3} \cdot \sqrt[3]{\ 4\ } = - \sqrt[3]{\ 4\ } - \dfrac{\ 5\ }{3} \cdot \sqrt[3]{\ 4\ } = $$ $$ = \dfrac{\ -3\ }{3} \cdot \sqrt[3]{\ 4\ } - \dfrac{\ 5\ }{3} \cdot \sqrt[3]{\ 4\ } = \dfrac{\ -8\ }{3} \cdot \sqrt[3]{\ 4\ } $$

Sacamos todos los factores que podamos de las raíces y usaremos que $\sqrt[n]{\ a^m\ } = \sqrt[n \cdot s]{\ a^{m \cdot s}\ }$: $$ \sqrt[6]{\ 8\ } + \sqrt[4]{\ 4\ } - 7 \cdot \sqrt{72} = \sqrt[6]{\ 2^3\ } + \sqrt[4]{\ 2^2\ } - 7 \cdot \sqrt{\ 2^3 \cdot 3^2\ } = \sqrt[2 \cdot 3]{\ 2^3\ } + \sqrt[2 \cdot 2]{\ 2^2\ } - 7 \cdot \sqrt{\ 2^3 \cdot 3^2\ } = \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 2\ } - 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{\ 2\ } = $$ $$ = 2 \cdot \sqrt{\ 2\ } - 42 \cdot \sqrt{\ 2\ } = -40 \cdot \sqrt{\ 2\ } $$

Sacamos todos los factores que podamos de las raíces: $$ \sqrt{\ 128\ } + 5 \sqrt{\ 12\ } - 2 \sqrt{\ 18\ } - 3 \sqrt{\ 27\ } -\sqrt{\ 2\ } = \sqrt{\ 2^7\ } + 5 \sqrt{\ 2^2 \cdot 3\ } - 2 \sqrt{\ 2 \cdot 3^2\ } - 3 \sqrt{\ 3^3\ } -\sqrt{\ 2\ } = $$ $$ = 2^3 \sqrt{\ 2\ } + 5 \cdot 2 \sqrt{\ 3\ } - 2 \dot 3 \sqrt{\ 2\ } - 3 \cdot 3 \sqrt{\ 3\ } -\sqrt{\ 2\ } = $$ Agrupamos los radicales que tenemos $\sqrt{\ 2\ }$ y $\sqrt{\ 3\ }$: $$ = 8 \sqrt{\ 2\ } + 10 \sqrt{\ 3\ } - 6 \sqrt{\ 2\ } - 9 \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } = \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 3\ } $$

Sacamos todos los factores que podamos de las raíces: $$ \sqrt{\ 32\ } + 2 \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 8\ } + \sqrt{\ 2\ } - 2 \sqrt{\ 12\ } = \sqrt{\ 2^5\ } + 2 \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2^3\ } + \sqrt{\ 2\ } - 2 \sqrt{\ 2^2 \cdot 3\ } = $$ $$ = 2^2 \sqrt{\ 2\ } + 2 \sqrt{\ 3\ } - 2 \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 2\ } - 2 \cdot 2 \sqrt{\ 3\ } = $$ Agrupamos los radicales que tenemos $\sqrt{\ 2\ }$ y $\sqrt{\ 3\ }$: $$ = 4 \sqrt{\ 2\ } + 2 \sqrt{\ 3\ } - 2 \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 2\ } - 4 \sqrt{\ 3\ } = 3 \sqrt{\ 2\ } - 2 \sqrt{\ 3\ } $$

Sacamos todos los factores que podamos de las raíces: $$ 8 \sqrt{\ 8\ } - 5 \sqrt{\ 2\ } + 4 \sqrt{\ 20\ } - 12 \sqrt{\ 5\ } + 3 \sqrt{\ 18\ } = 8 \sqrt{\ 2^3\ } - 5 \sqrt{\ 2\ } + 4 \sqrt{\ 2^2 \cdot 5\ } - 12 \sqrt{\ 5\ } + 3 \sqrt{\ 2 \cdot 3^2\ } = $$ $$ = 8 \cdot 2 \sqrt{\ 2\ } - 5 \sqrt{\ 2\ } + 4 \cdot 2 \sqrt{\ 5\ } - 12 \sqrt{\ 5\ } + 3 \cdot 3 \sqrt{\ 2\ } = $$ Agrupamos los radicales que tenemos $\sqrt{\ 2\ }$ y $\sqrt{\ 5\ }$: $$ = 16 \sqrt{\ 2\ } - 5 \sqrt{\ 2\ } + 8 \sqrt{\ 5\ } - 12 \sqrt{\ 5\ } + 9 \sqrt{\ 2\ } = 20 \sqrt{\ 2\ } - 4 \sqrt{\ 5\ } $$

Inténtalo un poco más.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com