Operaciones combinadas de fracciones.

¿Qué es una fracción? Una fracción es una forma de representar una parte de un todo o una división entre dos números. Se escribe con dos números separados por una línea: \[ \mfrac{a}{b} \] donde:

• $a$ se llama numerador, indica cuántas partes tomamos.
• $b$ se llama denominador, indica en cuántas partes iguales se ha dividido el todo.

Ejemplo:

Si partes una tarta en 4 porciones iguales y te comes 1, has comido una cuarta parte, es decir: \( \mfrac{1}{4}\)

Definiciones:

Si el numerador es menor que el denominador, se le dice fracción propia. Por ejemplo: \( \mfrac{3}{5}\)

Si el numerador es igual o mayor, se le dice fracción impropia. Por ejemplo: \( \mfrac{11}{5}\) o \( \mfrac{6}{6} = 1\)

También puede representar una división: \( \mfrac{3}{4} \) = 3 ÷ 4 = 0,75

En una fracción, la palabra numerador proviene del latín «numerator» («el que cuenta») y la palabra denominador proviene de «denominator» («el que designa»). Por lo tanto, el denominador indica por qué factor dividimos, y el numerador indica cuántas partes de esta división tomamos.

¿Qué es una operación combinada con fracciones? Es un grupo de fracciones en las que aparecen sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces de fracciones. Veamos unos ejemplos:

$$ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} \qquad \text{ y } \qquad \dfrac{\ \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 2\ }{3} : \dfrac{\ 2\ }{5} - \left ( \ 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} \ }{\ \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} \ } $$

• Suma y resta de fracciones
  Lo $1^{\underline{o}}$ que nos preguntamos: ¿tienen el mismo denominador?
  Si lo tienen, para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, entonces se suman los numeradores como números enteros que son y se deja el mismo denominador.
  Si no lo tienen, reducimos las fracciones a común denominador y se suman o restan las fracciones obtenidas ya con el mismo denominador.
  Hay que tener «mucho cuidado» a la hora de calcular el común denminador usando el mínimo común múltiplo.
  Ejemplos: $$ \dfrac{\ 6 \ }{11} - \dfrac{\ 2 \ }{11} = \dfrac{\ 4 \ }{11} \qquad \qquad \dfrac{\ 4 \ }{13} + \dfrac{\ 3 \ }{13} = \dfrac{\ 7 \ }{13} $$ $$ \dfrac{\ 1 \ }{2} - \dfrac{\ 1 \ }{3} = \dfrac{\ 3 \ }{6} - \dfrac{\ 2 \ }{6} = \dfrac{\ 1 \ }{6} \qquad \qquad \dfrac{\ 1 \ }{2} + \dfrac{\ 1 \ }{3} = \dfrac{\ 3 \ }{6} + \dfrac{\ 2 \ }{6} = \dfrac{\ 5 \ }{6} $$
• Multiplicar fracciones
  
  
  No tienen que tener el mismo denominador La multiplicación de dos o más fracciones se realiza «en línea», es decir, el numerador del producto será el producto de los numeradores, y el denominador del producto será el producto de los denominadores: Ejemplos: $$ \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{7}{4} = \dfrac{3 \cdot 7}{2 \cdot 4} = \dfrac{21}{8} $$ $$ \dfrac{5}{11} \cdot \dfrac{12}{11} = \dfrac{5 \cdot 12}{11 \cdot 11} = \dfrac{60}{121} $$
• Dividir fracciones
  No tienen que tener el mismo denominador
  
  La división de dos fracciones se realiza «en cruz» o «caramelo», es decir, el numerador del cociente será el producto del numerador de la $\odn{1}{a}$ fracción por el denominador de la $\odn{2}{a}$ fracción, y el denominador del cociente será el producto del denominador de la $\odn{1}{a}$ fracción por el numerador de la $\odn{2}{a}$ fracción: Ejemplos: $$ \dfrac{3}{11} : \dfrac{5}{4} = \dfrac{3 \cdot 4}{11 \cdot 5} = \dfrac{12}{55} $$ $$ \dfrac{4}{5}: \dfrac{7}{9} = \dfrac{4 \cdot 9}{5 \cdot 7} = \dfrac{36}{ 35} $$

¿Qué pasos seguir para calcular el resultado de una operación combinada? Para saber en que orden debemos realizar las operaciones debemos tener en cuenta la jerarquía de las operaciones:

$$ \begin{array}{|C{1.75cm}|C{14cm}|} \hline \ \ \ \ 1^{\underline {o}} \ \ \ \ & \ \ \ \ \ \ \ Par\acute{e}ntesis \ (\ ), corchetes \ [\ ] \ o \ llaves \ \{ \ \} \ \ \ \ \ \ \ \\ \hline 2^{\underline {o}} & Potencias \ y \ raíces \\ \hline 3^{\underline {o}} & Multiplicaciones \ y \ divisiones \\ \hline 4^{\underline {o}} & Sumas \ y \ restas \\ \hline \end{array} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el producto y después la suma: $$ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{\ \cancel{3}\ } \cdot \dfrac{\ \cancelto{2}{6}\ }{5} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, es decir, la suma y después el producto: $$ \left ( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{6}{5} = \left ( \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} \right ) \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{7}{\ \cancelto{2}{12}\ } \cdot \dfrac{ \cancel{6}\ }{5} = \dfrac{7}{10} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el producto y después la resta: $$ 1 - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = 1 - \dfrac{2}{15} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{13}{15} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, la resta, y después el producto: $$ \left ( 1 - \dfrac{2}{3} \right ) \cdot \dfrac{1}{5} = \left ( \dfrac{3}{3} - \dfrac{2}{3} \right ) \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{15} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el producto y después la suma: $$ - \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = - \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ \cancelto{2}{4}\ }{3} \cdot \dfrac{1}{\ \cancel{2}\ } = - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = 0 $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y después el producto. La operación del paréntesis se puede hacer poniendo el mismo denominador a todas las fracciones u operación a operación que es como hemos elegido en este caso: $$ \left ( -1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{6}{5} = \left ( - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{6}{5} = \left ( \dfrac{-3}{6} - \dfrac{2}{6} \right ) \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{-5}{6} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{-5}{\ \xcancel{6}\ } \cdot \dfrac{ \ \xcancel{6}\ }{5} = \dfrac{\ -5\ }{5} = -1 $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los productos y después la suma y la resta poniendo a todas las fracciones el mismo denominador: $$ - \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = - \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{4}{\ 15\ } - \dfrac{6}{\ 15\ } = - \dfrac{6}{15} + \dfrac{4}{15} - \dfrac{6}{15} = \dfrac{-12 + 4}{15} = \dfrac{-8}{15} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, después el producto la suma y por último la resta: $$ \left ( - \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = \left ( - \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} \right ) \cdot \dfrac{4}{5} - \dfrac{6}{15} = - \dfrac{1}{15} \cdot \dfrac{4}{5} - \dfrac{6}{15} = \dfrac{-4}{75} - \dfrac{30}{75} = \dfrac{-34}{75} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos primeros los productos y después poniendo el mismo denominador las sumas y las restas: $$ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\ 4\ }{9} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{\ \cancel{4}\ } \cdot \dfrac{\ \cancelto{2}{8}\ }{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $$
$$ = \dfrac{18}{\ 36\ } + \dfrac{\ 16\ }{36} - \dfrac{3}{\ 36\ } + \dfrac{\ 120\ }{36} = \dfrac{\ 18 + 16 - 3 + 120\ }{36} = \dfrac{151}{36} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, después el producto que está más a la derecha, después el producto que está a la izquierda y después el resto de operaciones: $$ \left ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{\ \cancel{4}\ } \cdot \dfrac{\ \cancelto{2}{8}\ }{3} = \left ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \right ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{5}{\ 6\ } \cdot \dfrac{4}{\ 3\ } - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $$
$$ = \dfrac{5}{\ \cancelto{3}{6}\ } \cdot \dfrac{ \ \cancelto{2}{4}\ }{ 3 } - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{10}{9} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{40}{36} - \dfrac{3}{36} + \dfrac{120}{36} = \dfrac{157}{36} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y después el producto. La operación del paréntesis se puede hacer poniendo el mismo denominador a todas las fracciones u operación a operación que es como hemos elegido en este caso: $$ \left ( 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{2}{5} = \left ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{2}{5} = \left ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \right ) \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{\ \cancel{5}\ }{6} \cdot \dfrac{2}{\ \cancel{5}\ } = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos la resta, ya qué es muy sencilla, después el producto y para terminar la suma: $$ 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{15}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{19}{30} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los productos, como queda el mismo denominador haremos la resta y a la suma a la vez. En esta ocasión de nada sirve simplificar: $$ - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = - \dfrac{4}{14} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{5}{14} = - \dfrac{1}{14} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y después los productos y después la suma. El producto que está más a la derecha se puede hacer a la vez que el paréntesis: $$ - \dfrac{1}{2} \cdot \left ( \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} \right ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = - \dfrac{1}{2} \cdot \left ( \dfrac{8}{14} - \dfrac{2}{14} \right ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = $$
$$ = - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{14} + \dfrac{5}{14} = - \dfrac{1}{ \cancel{2}\ } \cdot \dfrac{\ \cancelto{3}{6}\ }{14} + \dfrac{5}{14} = - \dfrac{3}{14} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{7} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y después simplificaremos las fracciones que podamos, luego la división y por último el resto de operaciones: $$ \dfrac{17}{9} - \dfrac{15}{5} + \dfrac{4}{3} : \left ( \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{15} \right ) + \dfrac{14}{3} : \dfrac{16}{8} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \left ( \dfrac{3}{15} + \dfrac{10}{15} - \dfrac{1}{15} \right ) + \dfrac{14}{3} : 2 = $$
$$ = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{12}{15} + \dfrac{14}{6} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{\ \cancelto{4}{12}\ }{\cancelto{5}{15} } + \dfrac{14}{6} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{4}{5} + \dfrac{7}{3} = $$
$$ = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{5}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{17}{9} - 3 + 4 = \dfrac{17}{9} + 1 = \dfrac{17}{9} + \dfrac{9}{9} = \dfrac{26}{9} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos a la vez la división y el paréntesis, simplificaremos todo lo que podamos. Después haremos el producto y al final la suma: $$ \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{3} : \dfrac{5}{6} \cdot \left ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{10}{9} + 4 \right ) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{ 4 \cdot \cancelto{2}{6}\ }{ \cancel{3} \cdot 5 } \cdot \left ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{\ \cancel{3}\ }{2} \cdot \dfrac{10}{\ \cancelto{3}{9}\ } + 4 \right ) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{8}{5} \cdot \left ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{\ \cancel{10}{5}\ }{ \cancel{2} \cdot 3\ } + 4 \right ) = $$
$$ = \dfrac{1}{3} + \dfrac{8}{5} \cdot \left ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{\ 5\ }{3} + 4 \right ) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\ 8\ }{ 5 } \cdot \left ( \dfrac{3}{6} - \dfrac{10}{6} + \dfrac{24}{6} \right ) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{17}{6} = $$
$$ = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\ \cancel{8}{4}\ }{5} \cdot \dfrac{17}{\ \cancelto{3}{6}\ } = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\ 4\cdot 17\ }{\ 5 \cdot 3\ } = \dfrac{5}{15} + \dfrac{68}{15} = \dfrac{73}{15} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos a la vez el producto, el paréntesis y la divisón, simplificaremos todo lo que podamos. Después haremos el producto y al final el resto de operaciones: $$ \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{5} \cdot \left ( 2 + \dfrac{1}{2} \right ) - \dfrac{7}{3} + 4 : \dfrac{6}{5} = \dfrac{4}{5} - \dfrac{\ \xcancel{7}\ }{\ \cancel{3}\ } \cdot \dfrac{\ \cancel{3}\ }{\ \xcancel{7}\ } + \dfrac{1}{5} \cdot \left ( \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} \right ) - \dfrac{7}{3} + \dfrac{\ 4 \cdot 5}{ 6 } = $$
$$ = \dfrac{4}{5} - 1 + \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{5}{2} - \dfrac{7}{3} + \dfrac{\ \cancelto{2}{4} \cdot 5}{\ \cancelto{3}{6}\ } = \dfrac{4}{5} - 1 + \dfrac{1}{\ \cancel{5}\ } \cdot \dfrac{\ \cancel{5}\ }{2} - \dfrac{7}{3} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{4}{5} - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{3} + \dfrac{10}{3} = $$
$$ = \dfrac{4}{5} - 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{3} = \dfrac{4}{5} - 1 + \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{5} \xcancel{- 1} + \dfrac{1}{2} \xcancel{+ 1} = \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{13}{10} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después el producto y por último el resto de operaciones: $$ \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} \cdot \left ( \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{10} \right ) - \dfrac{5}{4} + \left ( \dfrac{3}{5} : 4 \right ) + \dfrac{12}{5} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} \cdot \left ( \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5} \right ) - \dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{20} + \dfrac{12}{5} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} \cdot 1 - \dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{20} + \dfrac{12}{5} = $$
$$ = \dfrac{2}{3} + \xcancel{ \dfrac{5}{4} } - \xcancel{ \dfrac{5}{4} } + \dfrac{3}{20} + \dfrac{12}{5} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{20} + \dfrac{48}{20} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{51}{20} = \dfrac{40}{60} + \dfrac{153}{60} = \dfrac{193}{60} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, después la divisón y por último la suma: $$ 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( 2 + \dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{4} + \dfrac{5}{3} \right ) = 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( \dfrac{4}{2} + \dfrac{7}{3} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{3} \right ) = 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( \dfrac{4 - 1}{2} + \dfrac{7 + 5}{3} \right ) = $$
$$ = 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( \dfrac{3}{2} + \dfrac{12}{3} \right ) = 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( \dfrac{3}{2} + 4 \right ) = 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( \dfrac{3 + 8}{2} \right ) = 2 + \dfrac{1}{5} : \dfrac{11}{2} = 2 + \dfrac{2}{55} = \dfrac{110}{55} + \dfrac{2}{55} = \dfrac{112}{55} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y la divisón, después el producto y por último la suma: $$ \left ( \dfrac{2}{7} - \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{8} \right ) \cdot \dfrac{3}{2} - \dfrac{7}{5} : \dfrac{4}{7} = \left ( \dfrac{2}{7} - \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{4} \right ) \cdot \dfrac{3}{2} - \dfrac{49}{20} = \left ( \dfrac{40}{140} - \dfrac{122}{140} + \dfrac{35}{140} \right ) \cdot \dfrac{3}{2} - \dfrac{49}{20} = $$
$$ = \dfrac{-37}{140} \cdot \dfrac{3}{2} - \dfrac{49}{20} = \dfrac{\ -111\ }{280} - \dfrac{49}{20} = \dfrac{\ -111\ }{280} - \dfrac{686}{280} = - \dfrac{797}{280} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y la divisón que está más a la derecha, simplificando siempre que sea posible, después la división del paréntesis y por último las sumas y restas: $$ \dfrac{17}{9} - \dfrac{15}{5} + \dfrac{4}{3} : \left ( \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{15} \right ) + \dfrac{14}{3} : \dfrac{16}{8} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \left ( \dfrac{3}{15} + \dfrac{10}{15} - \dfrac{1}{15} \right ) + \dfrac{14}{3} : 2 $$
$$ = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{12}{15} + \dfrac{14}{ 2 \cdot 3} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{ \cancelto{4}{12}\ }{ \cancelto{5}{15}\ } + \dfrac{\ \cancelto{7}{14}\ }{ \cancel{2} \cdot 3 } = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{4}{5} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4 \cdot 5}{ 4 \cdot 3} + \dfrac{7}{3} = $$
$$ = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{\ \cancel{4} \cdot 5}{\ \cancel{4} \cdot 3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{5}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{12}{3} = \dfrac{17}{9} - 3 + 4 = \dfrac{17}{9} + 1 = \dfrac{17}{9} + \dfrac{9}{9} = \dfrac{26}{9} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, después el corchete y por último la suma: $$ \dfrac{2}{3} + \left [ 1 - \left ( \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} \right ) \right ] = \dfrac{2}{3} + \left [ 1 - \left ( \dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} \right ) \right ] = \dfrac{2}{3} + \left [ 1 - \dfrac{7}{12} \right ] =\dfrac{2}{3} + \left [ \dfrac{12}{12} - \dfrac{7}{12} \right ] = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{12} = $$
$$ = \dfrac{8}{\ 12\ } + \dfrac{5}{\ 12\ } = \dfrac{\ 13\ }{12} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después el corchete y por último las sumas y restas: $$ \dfrac{2}{3} - \left [ \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{5} - \left ( \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{3} \right ) + \left ( \dfrac{6}{5} - \dfrac{1}{2} \right ) \right ] - \dfrac{3}{4} + \left ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right ) = $$
$$ = \dfrac{2}{3} - \left [ \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{5} - \left ( \dfrac{6}{15} - \dfrac{5}{15} \right ) + \left ( \dfrac{12}{10} - \dfrac{5}{10} \right ) \right ] - \dfrac{3}{4} + \left ( \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} \right ) = \dfrac{2}{3} - \left [ \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{15} + \dfrac{7}{10} \right ] - \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6} $$
$$ = \dfrac{2}{3} - \left [ \dfrac{45}{30} - \dfrac{6}{30} - \dfrac{2}{30} + \dfrac{21}{30} \right ] - \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{58}{30} - \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{40}{60} - \dfrac{116}{60} - \dfrac{45}{60} + \dfrac{10}{60} = $$
$$ = \dfrac{-111}{60} = - \dfrac{37}{20} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después el corchete y por último la suma y la resta: $$ 2 + \left ( \dfrac{5}{2} - 3 \right ) - \left [ \dfrac{7}{10} - \left ( \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} \right ) \right ] = 2 + \left ( \dfrac{5}{2} - \dfrac{6}{2} \right ) - \left [ \dfrac{7}{10} - \left ( \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} \right ) \right ] = 2 + \left (- \dfrac{1}{2} \right ) - \left [ \dfrac{7}{10} - \dfrac{13}{20} \right ] = $$
$$ 2 - \dfrac{1}{2} - \left [ \dfrac{7}{10} - \dfrac{13}{20} \right ] = \dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2} - \left [ \dfrac{14}{20} - \dfrac{13}{20} \right ] = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{30}{20} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{29}{20} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después el corchete y por último las restas: $$ 2 - \left [ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5} \right ) - \dfrac{1}{3} \right ] - \left ( \dfrac{4}{3} + 2 \right ) - \dfrac{1}{5} = 2 - \left [ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{5}{10} + \dfrac{4}{10} \right ) - \dfrac{1}{3} \right ] - \left ( \dfrac{4}{3} + \dfrac{6}{3} \right ) - \dfrac{1}{5} = $$

$$ = 2 - \left [ \dfrac{4}{3} - \dfrac{9}{10} - \dfrac{1}{3} \right ] - \dfrac{10}{3} - \dfrac{1}{5} = 2 - \left [ 1 - \dfrac{9}{10} \right ] - \dfrac{10}{3} - \dfrac{1}{5} = 2 - \dfrac{1}{10} - \dfrac{10}{3} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{60}{30} - \dfrac{3}{30} - \dfrac{100}{30} - \dfrac{6}{30} = \dfrac{-49}{30} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después el corchete y por último la suma y la resta: $$ \left ( \dfrac{4}{3} - \dfrac{-1}{9} \right ) + \left [2 - \left ( \dfrac{-5}{4} + \dfrac{2}{3} \right ) \right ] - \dfrac{7}{2} = \left ( \dfrac{12}{9} + \dfrac{1}{9} \right ) + \left [2 - \left ( \dfrac{-15}{12} + \dfrac{8}{12} \right ) \right ] - \dfrac{7}{2} = \dfrac{13}{9} + \left [2 - \left ( \dfrac{-7}{12} \right ) \right ] - \dfrac{7}{2} = $$
$$ = \dfrac{13}{9} + \left [\dfrac{24}{12} + \dfrac{7}{12} \right ] - \dfrac{7}{2} = \dfrac{13}{9} + \dfrac{31}{12} - \dfrac{7}{2} = \dfrac{52}{36} + \dfrac{93}{36} - \dfrac{126}{36} = \dfrac{19}{36} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después la divisón del corchete y por último el producto: $$ \left [ \left ( \dfrac{4}{6} + \dfrac{ 1/7 }{2} \right ) : \left ( \dfrac{4}{3} - \dfrac{ 5 }{12} \right ) \right ] \cdot \left ( \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{15} \right ) = \left [ \left ( \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{14} \right ) : \left ( \dfrac{16}{12} - \dfrac{ 5 }{12} \right ) \right ] \cdot \left ( \dfrac{5}{30} + \dfrac{2}{30} \right ) = $$
$$ = \left [ \left ( \dfrac{28}{42} + \dfrac{3}{42} \right ) : \dfrac{11}{12} \right ] \cdot \dfrac{7}{30} = \dfrac{31}{\ 42\ } : \dfrac{11}{\ 12\ } \cdot \dfrac{7}{30} = \dfrac{31 \cdot 12 \cdot 7\ }{42 \cdot 11 \cdot 30} = \dfrac{31 \cdot \cancelto{2}{12} \cdot 7\ }{\ \cancelto{7}{42} \cdot 11 \cdot 30} = \dfrac{31 \cdot 2 \cdot \xcancel{7} }{ \xcancel{7} \cdot 11 \cdot 30} = \dfrac{31 \cdot 2}{11 \cdot 30} = $$
$$ = \dfrac{31 \cdot \cancel{2} }{11 \cdot \cancelto{15}{30} } =\dfrac{31}{11 \cdot 15} = \dfrac{31}{165} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después llos corchetes y por último la resta: $$ \left [ - \dfrac{3}{8} + \left ( 4 - \dfrac{1}{2} \right ) \right ] - \left [ \left ( 2 - \dfrac{5}{4} \right ) + \left ( \dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{8} \right ) \right ] = \left [ - \dfrac{3}{8} + \left ( \dfrac{8}{2} - \dfrac{1}{2} \right ) \right ] - \left [ \left ( \dfrac{8}{4} - \dfrac{5}{4} \right ) + \left ( \dfrac{28}{8} - \dfrac{1}{8} \right ) \right ] = $$

$$ = \left [ - \dfrac{3}{8} + \dfrac{7}{2} \right ] - \left [ \dfrac{3}{4} + \dfrac{27}{8} \right ] = \left [ - \dfrac{3}{8} + \dfrac{28}{8} \right ] - \left [ \dfrac{6}{8} + \dfrac{27}{8} \right ] = \dfrac{25}{8} - \dfrac{33}{8} = \dfrac{-8}{8} = -1 $$

$$ \left ( \dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{5} \right ) \cdot \left [ \left ( \dfrac{1}{3} - 1 \right ) \cdot 3 - \dfrac{1 + 2/5}{3} \right ] = (*) $$

Vamos a cambiar la forma de enfocar este tipo de ejercicios, primero hacemos el primer paréntesis, es decir, $ \dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{5}{15} - \dfrac{12}{15} = \dfrac{-7}{15} $

continuamos por el corchete, haciendo la operación $ \left ( \dfrac{1}{3} - 1 \right ) \cdot 3 = \left ( \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{3} \right ) \cdot 3 = \dfrac{-2 \cdot 3}{3} = - 2 $

y por último hacemos la operación que queda: $ \dfrac{1 + 2/5}{3} = \dfrac{5/5 + 2/5}{3} = \dfrac{7/5}{3} = \dfrac{7}{15}$

Ahora continuamos en (*) sustituyendo todas las operaciones por sus resultados:

$$ (*) = \dfrac{-7}{15} \cdot \left ( -2 - \dfrac{7}{15} \right ) = \dfrac{-7}{15} \cdot \left ( - \dfrac{30}{15} - \dfrac{7}{15} \right ) = \dfrac{-7}{15} \cdot \left ( \dfrac{-37}{15} \right ) = \dfrac{259}{225} $$

$$ \dfrac{4}{5} : \left [ \dfrac{12}{16} \cdot \left ( \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{3} \right ) - \dfrac{3}{8} \right ] - 3 \cdot \left [ \dfrac{1}{6}: \left ( 1 - \dfrac{2}{5} \right ) \right ] = \dfrac{4}{5} : \left [ \dfrac{3}{4} \cdot \left ( \dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} \right ) - \dfrac{3}{8} \right ] - 3 \cdot \left [ \dfrac{1}{6}: \left ( \dfrac{5}{5} - \dfrac{2}{5} \right ) \right ] = $$

$$ = \dfrac{4}{5} : \left [ \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8} \right ] - 3 \cdot \left [ \dfrac{1}{6}: \dfrac{3}{5} \right ] = \dfrac{4}{5} : \left [ \dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{8} \right ] - 3 \cdot \dfrac{5}{18} = \dfrac{4}{5} : \dfrac{2}{8} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{32}{10} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{96}{30} - \dfrac{25}{30} = \dfrac{71}{30} $$

$$ \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} : \left ( \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{15}{8} + 1 \right ) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} : \left ( \dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{4} + 1 \right ) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} : \left ( \dfrac{16}{12} - \dfrac{15}{12} + \dfrac{12}{12} \right ) = $$

$$ = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} : \dfrac{13}{12} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2 \cdot 12}{3 \cdot 13} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{8}{13} = \dfrac{39}{26} - \dfrac{16}{26} = \dfrac{23}{36} $$

$$ \left [ \dfrac{ \dfrac{5}{3} }{ 3 - \dfrac{1}{2} } \cdot \left ( \dfrac{6}{4} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \right ) \right ] \cdot \left ( \dfrac{ 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} }{ \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{2} } + 1 \right ) = (*) $$

Primero haremos la primera fracción dentro del corchete, es decir, $ \dfrac{ \dfrac{5}{3} }{ 3 - \dfrac{1}{2} } = \dfrac{ \dfrac{5}{3} }{ \dfrac{6}{2} - \dfrac{1}{2} } = \dfrac{ \dfrac{5}{3} }{ \dfrac{5}{2} } = \dfrac{2}{3} $;

Después haremos el paréntesis dentro del corchete $ \dfrac{6}{4} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

Ahora seguimos con el paréntesis derecho, cogemos el numerador de la fracción $1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{7}{6}$;

Ahora continuamos con el denominador $ \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{20}{12} = \dfrac{-17}{12} $;

Ahora sustituims en (*) los valores obtenidos:

$$ (*) = \left [ \dfrac{2}{3} \cdot 1 \right ] \cdot \left ( \dfrac{ \dfrac{7}{6} }{ \dfrac{-17}{12} } + 1 \right ) = \dfrac{2}{3} \cdot \left ( \dfrac{-7 \cdot 12}{17 \cdot 6} + 1 \right ) = \dfrac{2}{3} \cdot \left ( \dfrac{-14}{17} + 1 \right ) = \dfrac{2}{3} \cdot \left ( \dfrac{-14}{17} + \dfrac{17}{17} \right ) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{17} = \dfrac{2}{17} $$

Este tipo de ejercicios se resuelven haciendo por una lado el numerador y por otro el denominador. Vamos con el numerador:

$$ \dfrac{\ 3\ }{5} + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 6\ }{10} + \dfrac{\ 5\ }{10} = \dfrac{\ 11\ }{10} $$
Ahora con el denominador:

$$ \dfrac{\ 2\ }{3} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{6} - \dfrac{\ 3\ }{6} = \dfrac{\ 1\ }{6} $$
Susituimos en (*) y tenemos:

$$ (1) = \dfrac{\ \dfrac{\ 11\ }{10} \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{6}\ } = \dfrac{\ 11\ }{10} : \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 66\ }{10} = \dfrac{\ 33\ }{5} $$

$$ \dfrac{\ 1 + \dfrac {\ 1 + \dfrac{\ 1\ }{2}\ }{ 2 } }{ 1 - \dfrac{ \ 1 - \dfrac{\ 1\ }{3}\ }{3}\ } = (*)$$

Vamos a empezar por el numerador $ 1 + \dfrac {\ 1 + \dfrac{\ 1\ }{2}\ }{ 2 } $:

$\odn{1}{o}$ hacemos la suma: $ 1 + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 3\ }{2}$, luego lo dividimos por 2: $\dfrac {\ \dfrac{\ 3\ }{2}\ }{ 2 } = \dfrac{\ 3\ }{4}$ y por último le sumamos 1: $1 + \dfrac{\ 3\ }{4} = \dfrac{\ 7\ }{4}$

Ahora vamos con el denominador:

$\odn{1}{o}$ hacemos la resta: $ 1 - \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 2\ }{3}$, luego lo dividimos por 3: $ \dfrac{ \ \dfrac{\ 2\ }{3}\ }{3} = \dfrac{\ 2\ }{9}$ y por último se lo restamos a 1: $1 - \dfrac{\ 2\ }{9} = \dfrac{\ 7\ }{9}$

Sustituimos en (*) y tenemos que:

$$ (*) = \dfrac{\ \dfrac{\ 7\ }{4} \ }{ \dfrac{\ 7\ }{9} } = \dfrac{\ 7 \cdot 9\ }{\ 7 \cdot 4\ } = \dfrac{\ \cancel{7} \cdot 9\ }{\ \cancel{7} \cdot 4\ } = \dfrac{\ 9\ }{4} $$

$$ \dfrac{\ \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} : 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} - \dfrac{\ 2\ }{7} \ }{\ \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot 3 - \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} \right ) \cdot \dfrac{\ 2\ }{7}\ } = (*) $$
Vamos a empezar por el numerador: $$ \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} : 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} - \dfrac{\ 2\ }{7} $$ Empezamos por el paréntesis $ \dfrac{\ 2\ }{5} : 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 2\ }{15} + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{30} + \dfrac{\ 15\ }{30} = \dfrac{\ 19\ }{30} $ Multiplicamos por $\dfrac{\ 1\ }{3}$ y le restamos $\dfrac{\ 2\ }{7}$

$$ \dfrac{\ 19\ }{30} \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} - \dfrac{\ 2\ }{7} = \dfrac{\ 19\ }{90} - \dfrac{\ 2\ }{7} = \dfrac{\ 133\ }{630} - \dfrac{\ 180\ }{630} = \dfrac{\ - 47\ }{630} $$ Ahora vamos a calcular el denominador:

$$ \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot 3 - \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} \right ) \cdot \dfrac{\ 2\ }{7} $$ Hacemos $\odn{1}{o}$ el paréntesis:

$ \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 3\ }{6} + \dfrac{\ 2\ }{6} = \dfrac{\ 5\ }{6} $ y sustituimos:

$ \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot 3 - \dfrac{\ 5\ }{6} \cdot \dfrac{\ 2\ }{7} = \dfrac{\ 6\ }{5} - \dfrac{\ 5 \cdot 2\ }{6 \cdot 7} = \dfrac{\ 6\ }{5} - \dfrac{\ 5 \ }{ 21 } = \dfrac{\ 126\ }{105} - \dfrac{\ 25 \ }{ 105 } = \dfrac{\ 101 \ }{ 105 } $

Sustituimos en (*) y tenemos $$ (*) = \dfrac{\ \dfrac{\ - 47\ }{630} \ }{\ \dfrac{ 17 }{\ 105\ } \ } = \dfrac{\ - 47\ }{630} : \dfrac{ 17 }{\ 105\ } = \dfrac{\ -47 \cdot 105 \ }{\ 101 \cdot 630\ } = \dfrac{ -47 }{\ 101 \cdot 6\ } = \dfrac{ -47 }{\ 606\ } $$

$$ \dfrac{\ \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 2\ }{3} \cdot \dfrac{\ 9\ }{4} \right ) + 3\ }{\ \left [ \dfrac{\ 1\ }{7} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{7} - \dfrac{\ 1\ }{3} \right ) + \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ] : \dfrac{\ 1\ }{2} \ } = (*) $$
Vamos a por el numerador del fracción:

$$ \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 2\ }{3} \cdot \dfrac{\ 9\ }{4} \right ) + 3 = $$ Hacemos primero el paréntesis, producto y resta, una vez hecho el paréntesis hacemos la divsión y la resta:

$$ = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 2\ }{3} \cdot \dfrac{\ 9\ }{4} \right ) + 3 = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 2 \cdot 9 \ }{3 \cdot 4} \right ) + 3 = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ \cancel{2} \cdot 9 \ }{3 \cdot \cancelto{2}{4} } \right ) + 3 = $$ $$ = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 9 \ }{3 \cdot 2 } \right ) + 3 = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ \cancelto{3}{9} \ }{ \cancel{3} \cdot 2 } \right ) + 3 = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 3 \ }{ 2 } \right ) + 3 = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( \dfrac{\ -1 \ }{ 2 } \right ) + 3 = $$ $$= \dfrac{\ -6\ }{5} + 3 = \dfrac{\ -6\ }{5} + \dfrac{\ 15\ }{5} = \dfrac{\ 9\ }{5} $$ Ahora calculamos el denominador:

$$ \left [ \dfrac{\ 1\ }{7} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{7} - \dfrac{\ 1\ }{3} \right ) + \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ] : \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ Hacemos el paréntesis que hay dentro del corchete, el producto, la suma y por último la división:

$$ = \left [ \dfrac{\ 1\ }{7} \cdot \left ( \dfrac{\ 6\ }{21} - \dfrac{\ 7\ }{21} \right ) + \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ] : \dfrac{\ 1\ }{2} = \left [ \dfrac{\ 1\ }{7} \cdot \left ( \dfrac{\ -1\ }{21} \right ) + \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ] : \dfrac{\ 1\ }{2} = \left [ \dfrac{\ -2\ }{294} \cdot + \dfrac{\ 735\ }{294} \ \right ] : \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ $$ = \dfrac{\ 733\ }{294} : \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 733 \cdot 2\ }{294} = \dfrac{\ 733 \cdot \cancel{2}\ }{ \cancelto{147}{294} } = \dfrac{\ 733 \ }{147} $$ Sustituimos en $(*)$ y tenemos:

$$ (*) = \dfrac{\ \ \dfrac{\ 9\ }{5} \ \ }{ \dfrac{\ 733 \ }{147} } = \dfrac{9 \cdot 147} {\ 5 \cdot 733 \ } = \dfrac{ 1323 }{\ 3665 \ } $$

$$ \dfrac{\ \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 3\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{4} + 5\ }{ \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 3\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{4} + 5 \right ) \ } = (*) $$
Vamos a por el numerador del fracción:

$$ \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 3\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{4} + 5 = $$ Hacemos el producto, luego la división y el resto de operaciones de izquierda a derecha:

$$ = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 2\ }{15} + \dfrac{\ 12\ }{2} + 5 = \dfrac{\ 15\ }{30} - \dfrac{\ 4\ }{30} + 6 + 5 = \dfrac{\ 11\ }{30} + 11 = \dfrac{\ 11\ }{30} + \dfrac{\ 330\ }{30} = \dfrac{\ 341\ }{30} $$ Ahora calculamos el denominador:

$$ \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 3\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{4} + 5 \right ) = $$ Hacemos el paréntesis, la división y las dos sumas, una vez el paréntesis hacemos el producto y la resta:

$$ = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 12\ }{2} + 5 \right ) = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + 6 + 5 \right ) = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + 11 \right ) = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 55\ }{5} \right ) = $$ $$ = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 57\ }{5} = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 57\ }{3 \cdot 5} = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ \cancelto{19}{57}\ }{ \cancel{3} \cdot 5} = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 19\ }{ 5 } = \dfrac{\ 5\ }{10} - \dfrac{\ 38\ }{ 10 } = \dfrac{\ -33\ }{ 10 } $$ Sustituimos en $(*)$ y tenemos:

$$ (*) = \dfrac{\ \ \dfrac{\ 341\ }{30} \ \ }{ \dfrac{\ -33\ }{ 10 } } = \dfrac{\ -341 \cdot 10 \ }{ 33 \cdot 30 } = \dfrac{\ -341 \cdot \cancel{10} \ }{ 33 \cdot \cancelto{3}{30} } = \dfrac{\ -341 \ }{ 33 \cdot 3 } = \dfrac{\ -\cancelto{31}{341} \ }{ \cancelto{3}{33} \cdot 3 } = \dfrac{\ - 31 \ }{ 3 \cdot 3 } = \dfrac{\ - 31 \ }{ 9} $$

$$ \dfrac{\ \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{3} + 2 \ \right) \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2}\ }{\ \dfrac{\ 1\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ) + \dfrac{\ 1\ }{3}\ } = (*) $$
Vamos a por el numerador del fracción:

$$ \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{3} + 2 \ \right) \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ Hacemos primero el paréntesis, la división y después la resta, una vez hecho el paréntesis hacemos el producto y la resta:

$$ = \left ( \dfrac{\ 3\ }{2} + 2 \ \right) \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \left ( \dfrac{\ 3\ }{2} + \dfrac{\ 4\ }{2} \ \right) \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 7\ }{2} \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 7 \cdot 2 \ }{ 2 \cdot 5 } - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 7 \cdot \cancel{2} \ }{ \cancel{2} \cdot 5 } - \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ $$ = \dfrac{\ 7\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 14\ }{10} - \dfrac{\ 5\ }{10} = \dfrac{\ 9\ }{10} $$ Ahora el denominador de la fracción:

$$ \dfrac{\ 1\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ) + \dfrac{\ 1\ }{3} = $$ Hacemos primero el paréntesis, producto y después suma, una vez hecho el paréntesis hacemos la sivisión y la suma:

$$ = \dfrac{\ 1\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ 5\ }{6} \ \right ) + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 1\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 4\ }{6} + \dfrac{\ 5\ }{6} \right ) + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 1\ }{3} : \dfrac{\ 9 \ }{6} + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 1\ }{3} : \dfrac{\ 3 \ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} = $$ $$ = \dfrac{\ 2\ }{9} + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 2\ }{9} + \dfrac{\ 3\ }{9} = \dfrac{\ 5\ }{9} $$ Sustituimos en $(*)$ y tenemos:

$$ (*) = \dfrac{\ \ \dfrac{\ 9\ }{10} \ \ }{ \dfrac{\ 5\ }{9} } = \dfrac{\ 9 \cdot 9 \ }{ 5 \cdot 10 } = \dfrac{\ 81\ }{ 50 } $$

$$ \dfrac{\ \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 6\ }{3} + \dfrac{\ 2\ }{3} \ }{\ 1 - \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 6\ }{4}\ } - \dfrac{\ \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3}\ }{\ \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ 6\ }{5} } = (*) $$
Vamos a empezar por el numerador de la primera fracción:

$$ \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 6\ }{3} + \dfrac{\ 2\ }{3} = \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 4\ }{3} = \dfrac{\ 6\ }{15} - \dfrac{\ 20\ }{15} = \dfrac{\ -14\ }{15} $$ Ahora el denominador de la primera fracción:

$$ 1 - \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 6\ }{4} = 1 - \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 3\ }{2} = \dfrac{\ 10\ }{10} - \dfrac{\ 4\ }{10} - \dfrac{\ 15\ }{10} = \dfrac{\ -9\ }{10} $$ Ahora a por el numerador de la segunda fracción:

$$ \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 3\ }{6} + \dfrac{\ 2\ }{6} = \dfrac{\ 5\ }{6} $$ Y ahora el denominador de la segunda fracción:

$$ \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ 6\ }{5} = \dfrac{\ 10\ }{15} + \dfrac{\ 18\ }{15} = \dfrac{\ 28\ }{15} $$ Sustituimos en $(*)$ y tenemos:

$$ (*) = \dfrac{\ \ \dfrac{\ -14\ }{15} \ \ }{ \dfrac{\ -9\ }{10} } - \dfrac{\ \ \dfrac{\ 5\ }{6} \ \ }{ \dfrac{\ 28\ }{15} } = \dfrac{\ 14 \cdot 10 \ }{15 \cdot 9} - \dfrac{\ 5 \cdot 15\ }{6 \cdot 28 } = \dfrac{\ 14 \cdot \cancelto{2}{10} \ }{ \cancelto{3}{15} \cdot 9} - \dfrac{\ 5 \cdot \cancelto{5}{15}\ }{ \cancelto{2}{6} \cdot 28 } = \dfrac{\ 14 \cdot 2 \ }{3 \cdot 9} - \dfrac{\ 5 \cdot 5\ }{2 \cdot 28 } = $$ $$ = \dfrac{\ 28 \ }{ 27 } - \dfrac{\ 25\ }{ 56 } = \dfrac{\ 1568 \ }{ 1512 } - \dfrac{\ 675\ }{ 1512 } = \dfrac{\ 893\ }{ 1512 } $$

$$ \dfrac{\ \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} - \dfrac{\ 1\ }{4} \ }{\ 2 + \dfrac{\ 5\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{6}\ } \cdot \dfrac{2}{\ 1 - \dfrac{\ 3\ }{\ 2 - \dfrac{\ 1\ }{4} } } = (*) $$
Vamos a empezar por el numerador de la primera fracción:

$$ \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} - \dfrac{\ 1\ }{4} = \dfrac{\ 1\ }{4} + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 3\ }{12} + \dfrac{\ 4\ }{12} = \dfrac{\ 7\ }{12} $$ Ahora vamos a calcular el denominador de la primera fracción:

$$ 2 + \dfrac{\ 5\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 12\ }{6} + \dfrac{\ 15\ }{6} - \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 26\ }{6} = \dfrac{\ 13\ }{3} $$ Ahora vamos a calcular el denominador de la segunda fracción:

$$ 1 - \dfrac{\ 3\ }{\ 2 - \dfrac{\ 1\ }{4} } = 1 - \dfrac{\ 3\ }{\ \dfrac{\ 8\ }{4} - \dfrac{\ 1\ }{4} } = 1 - \dfrac{\ 3\ }{\ \dfrac{\ 7\ }{4} \ } = 1 - \dfrac{\ 12\ }{\ 7\ } = \dfrac{\ 7\ }{ 7 } - \ \dfrac{\ 12\ }{7} = \dfrac{-5}{7} $$ Sustituimos en (*) y tenemos:

$$ (*) = \dfrac{\ \ \dfrac{\ 7\ }{12} \ \ }{ \dfrac{\ 13\ }{3} } \cdot \dfrac{ 2 }{\ \ \dfrac{-5}{7} \ \ } = \dfrac{\ 7 \cdot 3\ }{ 12 \cdot 13 } \cdot \dfrac{\ -14\ }{ 5 } = \dfrac{\ -14 \cdot 7 \cdot 3 \ }{ 12 \cdot 13 \cdot 5 } = \dfrac{\ -14 \cdot 7 \cdot \cancel{3} \ }{ \cancelto{4}{12} \cdot 13 \cdot 5 } = \dfrac{\ -14 \cdot 7 \ }{ 4 \cdot 13 \cdot 5 } = $$ $$ = \dfrac{\ - \cancelto{7}{14} \cdot 7 \ }{ \cancelto{2}{4} \cdot 13 \cdot 5 } = \dfrac{\ -7 \cdot 7 \ }{ 2 \cdot 13 \cdot 5 } = \dfrac{\ -49 \ }{ 130 } $$

$$ \dfrac{ \ \dfrac{\ 5\ }{3} + \dfrac{\ 3\ }{4} : 1 - \dfrac{\ 5\ }{4} + \dfrac{\ 17\ }{3}\ }{\ \dfrac{\ 15\ }{3} + \dfrac{\ 2\ }{5}\ } = (*) $$
Vamos a empezar por el numerador: $$ \dfrac{\ 5\ }{3} + \dfrac{\ 3\ }{4} : 1 - \dfrac{\ 5\ }{4} + \dfrac{\ 17\ }{3} = $$ Empezamos por la división y agrupamos las fracciones por los denominadores de las fracciones: $$ \dfrac{\ 5\ }{3} + \dfrac{\ 3\ }{4} - \dfrac{\ 5\ }{4} + \dfrac{\ 17\ }{3} = \dfrac{\ 5\ }{3} - \dfrac{\ 2\ }{4} + \dfrac{\ 17\ }{3} = \dfrac{\ 22\ }{3} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 44\ }{6} - \dfrac{\ 3\ }{6} = \dfrac{\ 41\ }{6} $$ Ahora vamos a calcular el denominador:

$$ \dfrac{\ 15\ }{3} + \dfrac{\ 2\ }{5} = $$ Hacemos la suma:

$$ = 5 + \dfrac{\ 2\ }{5} = \dfrac{\ 25\ }{5} + \dfrac{\ 2\ }{5} = \dfrac{\ 27\ }{5} $$ Sustituimos en (*) y tenemos: $$ (*) = \dfrac{\ \dfrac{\ 41\ }{ 6 } \ }{\ \dfrac{ 27 }{\ 5\ } \ } = \dfrac{\ 41 \cdot 5 \ }{\ 27 \cdot 6\ } = \dfrac{\ 205 \ }{\ 162\ } $$

$$ \dfrac{ \ \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 3\ }{2} \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \right ) \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2}\ }{ \ \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 : \dfrac{\ 3\ }{2} \right ) \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 3\ }{2} \right ) } = (*) $$
Vamos a empezar por el numerador: $$ \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 3\ }{2} \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \right ) \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2}\ = $$ Empezamos por el paréntesis del corchete: $$ \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ \cancel{3}\ }{2} \cdot \dfrac{8}{\ \cancelto{9}{27}\ } \right ) \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2}\ = \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 8\ }{ 18 } \right ) \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2}\ = \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \left ( \dfrac{\ 9\ }{18} + \dfrac{\ 8\ }{\ 18\ } \right ) \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = $$ $$ = \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \dfrac{\ 17\ }{18} \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = \left [ - 3 + \dfrac{\ 2 \cdot 17 \ }{5 \cdot 18} \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = \left [ - 3 + \dfrac{\ \cancel{2} \cdot 17 \ }{5 \cdot \cancelto{9}{18} } \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = \left [ \dfrac{- 135}{45} + \dfrac{\ 17 \ }{45} \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = $$ $$ = \left [ \dfrac{- 118}{45} \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = \dfrac{- 118 \cdot 2 }{45 \cdot 3 } = \dfrac{- 236 }{ 135 } $$ Ahora vamos a calcular el denominador:

$$ \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 : \dfrac{\ 3\ }{2} \right ) \dfrac{8}{\ 27\ } \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 3\ }{2} \right ) = $$ Hacemos los paréntesis y después los productos:

$$ = \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{2 \cdot 3 }{\ 3\ } \right ) \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot \dfrac{\ 4\ }{2} = \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{2 \cdot \cancel{3} }{\ \cancel{3}\ } \right ) \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot 2 = \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 2 \right ) \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot 2 = \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{ 10 }{\ 5\ } \right ) \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot 2 = $$ $$ = \dfrac{\ -8\ }{ 5 } \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot 2 = \dfrac{- 8 \cdot 8 \cdot 2}{ 5 \cdot 27} = \dfrac{- 128}{ 135 } $$ Sustituimos en (*) y tenemos: $$ (*) = \dfrac{\ \ \ \dfrac{- 236 }{ 135 } \ \ \ }{\ \dfrac{ -128 }{\ 135\ } \ } = \dfrac{\ - 236 \cdot 135\ }{ - 128 \cdot 135 } = \dfrac{\ - 236 \cdot \cancel{135}\ }{ - 128 \cdot \cancel{135} } = \dfrac{\ 236 \ }{ 128 } = \dfrac{\ \cancelto{59}{236}\ }{ \cancelto{32}{128} } = \dfrac{\ 59\ }{ 32 } $$

$$ \dfrac {\ \dfrac{\ 1\ }{4} + \dfrac{\ 2\ }{4} + \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot \dfrac{\ 2\ }{9} \ }{\ 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 6\ }{5} \right )\ } = (*) $$
Primero hacemos la operación combinada del numerador:

$$ \dfrac{\ 1\ }{4} + \dfrac{\ 2\ }{4} + \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot \dfrac{\ 2\ }{9} = $$ Podemos hacer la primera suma, antes de hacer el producto simplificamos y terminamos el numerador:

$$ = \dfrac{\ 3\ }{4} + \dfrac{\ \cancel{3}\ }{ \cancelto{2}{4} } \cdot \dfrac{\ \cancel{2}\ }{ \cancelto{3}{9} } = \dfrac{\ 3\ }{4} + \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 9\ }{12} + \dfrac{\ 2\ }{12} = \dfrac{\ 11\ }{12} $$ Ahora vamos con el denominador:

$$ 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 6\ }{5} \right ) = $$ Hacemos el paréntesis simplificando lo primero y luego el resto de operaciones:

$$ = 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 1\ }{\cancel{3}} \cdot \dfrac{\ \cancelto{2}{6}\ }{5} \right ) = 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 2\ }{5} \right ) = 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 10\ }{5} - \dfrac{\ 2\ }{5} \right ) = 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 8\ }{5} = 2 + \dfrac{\ 8\ }{15} = $$ $$ = \dfrac{\ 30\ }{15} + \dfrac{\ 8\ }{15} = \dfrac{\ 38\ }{15} $$ Sustituimos en (*) y tenemos

$$ \dfrac {\ \dfrac{\ 1\ }{4} + \dfrac{\ 2\ }{4} + \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot \dfrac{\ 2\ }{9} \ }{\ 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 6\ }{5} \right )\ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{\ 11\ }{12}\ \ \ \ }{ \dfrac{\ 38\ }{15} } = \dfrac{\ 11 \cdot 15\ }{ 12 \cdot 38 } = \dfrac{\ 11 \cdot \cancelto{5}{15}\ }{ \cancelto{4}{12} \cdot 38 } = \dfrac{\ 11 \cdot 5\ }{ 4 \cdot 38 } = \dfrac{\ 55\ }{ 152 } $$

$$ \dfrac{\ \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 2\ }{3} : \dfrac{\ 2\ }{5} - \left ( \ 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} \ }{\ \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} \ } = (*) $$
Primero hacemos la operación combinada del numerador:

$$ \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 2\ }{3} : \dfrac{\ 2\ }{5} - \left ( \ 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} = $$ Empezamos por el corchete, hacemos la división y después el paréntesis:

$$ = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 2 \cdot 5\ }{3 \cdot 2} - \left ( \ \dfrac{\ 6\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 10\ }{ 6 } - \left ( \ \dfrac{\ 7\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 10\ }{ 6 } - \left ( \ \dfrac{\ 21\ }{6} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} = $$ $$ = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ -11\ }{ 6 } \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ - \cancel{11}\ }{ 6 } \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{ \cancel{11} } = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ - 3\ }{ 6 } \right ] = \dfrac{\ 10\ }{6} + \dfrac{\ 3\ }{ 6 } = \dfrac{\ 13\ }{ 6 } $$ Ahora vamos con el denominador:

$$ \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ Hacemos el paréntesis, luego la división y después el resto de operaciones de izquierda a derecha:

$$ \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 15\ }{5} \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( - \dfrac{\ 13\ }{5} \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 14\ }{3} + \dfrac{\ 13 \cdot 5 \ }{3 \cdot 13} + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 14\ }{3} + \dfrac{\ \cancel{13} \cdot 5 \ }{3 \cdot \cancel{13} } + \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ $$ = \dfrac{\ 14\ }{3} + \dfrac{\ 5 \ }{3 } + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 19\ }{3} + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 38\ }{6} + \dfrac{\ 3\ }{6} = \dfrac{\ 41\ }{6} $$ Sustituimos en (*) y tenemos:

$$\dfrac{\ \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 2\ }{3} : \dfrac{\ 2\ }{5} - \left ( \ 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} \ }{\ \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{\ 13\ }{ 6 }\ \ \ \ }{ \dfrac{\ 41\ }{6} } = \dfrac{\ 13 \cdot 6\ }{ 41 \cdot 6 } = \dfrac{\ 13 \cdot \cancel{6}\ }{ 41 \cdot \cancel{6} } = \dfrac{\ 13\ }{ 41 } $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Operaciones combinadas de números naturales, enteros y racionales.

Operación combinada

Veamos la jerarquía de las operaciones combinadas:

$$ \begin{array}{|C{1.75cm}|C{14cm}|} \hline \ \ \ \ 1^{\underline {o}} \ \ \ \ & \ \ \ \ \ \ \ Par\acute{e}ntesis \ (\ ), corchetes \ [\ ] \ o \ llaves \ \{ \ \} \ \ \ \ \ \ \ \\ \hline 2^{\underline {o}} & Potencias \ y \ raíces \\ \hline 3^{\underline {o}} & Multiplicaciones \ y \ divisiones \\ \hline 4^{\underline {o}} & Sumas \ y \ restas \\ \hline \end{array} $$ Veamos algunos ejemplos sencillos de números naturales:


$\bullet \ 2 + 3 + 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 5 + 4 = 9$


$\bullet \ 2 + 3 - 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 5 - 4 = 1$


$\bullet \ 16 - 5 - 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 11 - 4 = 7$


$\bullet \ 12 \cdot 5 \cdot 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 60 \cdot 3 = 180$ (Recordemos que el producto cumple la propiedad asociativa)


$\bullet \ 60 : 10 : 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 6 : 3 = 2$ (Recordemos que la divisón NO cumple la propiedad asociativa)


$\bullet \ 90 \cdot 5 : 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 450 : 3 = 150$


$\bullet \ 2 + 3 \cdot 5 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la multiplicación y después la suma.
$ = 2 + 15 = 17$


$\bullet \ 3 \cdot 7 - 2 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la resta.
$ = 21 - 2 = 19$


$\bullet \ 8 + 12 : 4 = $ Mirando en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la suma
$ = 8 + 3 = 11$


$\bullet \ 15 - 12 : 6 = $ Mirando en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la resta
$ = 15- 2 = 13$


$\bullet \ 18 \cdot 3 + 5 = $ Hacemos primero la multipicación y después la suma.
$ = 54 + 5 = 59$


$\bullet \ 3 \cdot 7 + 9 \cdot 5 = $ Vamos a pensar de otra forma. Antes de poder hacer la suma tendremos que hacer la multiplicación, ¿no?
$ = 21 + 45 = 66$


Veamos ahora como los paréntesis, corchetes y llaves cambian la forma en que realizamos las operaciones combinadas:

$\bullet \ \left( 2 + 3 \right ) \cdot 5 = $ Hemos añadido un paréntesis. ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la operación del paréntesis y después la multiplicación.
$ = 5 \cdot 5 = 25$


$\bullet \ \left ( 8 + 12 \right ) : 4 = $ Igual que antes hemos añadido un paréntesis. Ahora lo $1^{\underline {o}}$ es hacer la suma del paréntesis y después la división
$ = 20 : 4 = 5 $


$\bullet \ 3 \cdot \left ( 7 + 9 \right ) \cdot 5 = $ Ahora el paréntesis nos dice cual es la operación que hay que hacer antes, la suma. Después los productos.
$ = 3 \cdot 16 \cdot 5 = 240 $


$\bullet \ \left ( 2 \cdot 13 + 7 \right ) \cdot 5 + 12 = $ En este caso, lo $1^{\underline {o}}$ es hacer el paréntesis, que tiene otra operación combinada; y dentro del paréntesis $1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma
$ = \left ( 26 + 7 \right ) \cdot 5 + 12 =$
$ = 33 \cdot 5 + 12 =$ Este tipo de operación ya la hemos comentado, $1^{\underline {o}}$ haremos el producto y después la suma.
$ = 165 + 12 = 177 $


$\bullet \ 7 + 3 \cdot \left [1 + 5 - \left ( 6 - 3 \right ) \right ] = ,1^{\underline {o}}$ tendremos que hacer el producto y después la suma, pero el producto es con un corchete, luego tenemos que hacemos la operación del corchete que es a su vez otra operación combinada. Dentro del corchete tenemos una suma y una resta, pero la resta tiene a su vez un paréntesis, luego hay que hacer antes ese paréntesis antes de hacer la resta. Veamos los pasos:
$ = 7 + 3 \cdot \left [6 - 3 \right ] = $
$ = 7 + 3 \cdot 3 = 7 + 9 = 16 $


Vamos ahora con operaciones combinadas que tienen también potencias y raíces:

$\bullet \ 5 \cdot \left ( \sqrt{16} - 2 \right)^{2} + \left ( 2^{3} - 5 \right)^{2} = $ Tenemos un producto y una suma, $1^{\underline {o}}$ el producto y luego la suma, pero uno de los factores del producto es una potencia, con una resta en la base, y el minuendo es una raíz cuadrada, así lo primero hacemos la raíz, luego la resta ya que está dentro del paréntesis y por último la potencia; para la suma lo mismo, tenemos que hacer una potencia, pero con una resta en la base y el minuendo es una potencia en este caso. Veamos los pasos:
$ = 5 \cdot \left ( 4 - 2 \right)^{2} + \left ( 8 - 5 \right)^{2} = $
$ = 5 \cdot \left ( 2 \right )^{2} + \left ( 3 \right)^{2} = $
$ = 5 \cdot 4 + 9 = 20 + 9 = 29 $


Veamos otro ejemplo un poquito más complicado:
$\bullet \ \left ( \sqrt{100} - 3 \right )^{2} + 2 \cdot \left [9 \cdot \sqrt{36} - \left( 3^{2} - \sqrt{4} \right )^{2} \right] = $ En este ejemplo la operación principal es la suma, para hacer la suma tengo que hacer las operaciones combinadas de cada uno de los sumandos. La $1^{\underline {a}}$ es una potencia, con una resta en la base y el minuendo es una raí cuadrada; la $2^{\underline {a}}$ es una operación combinada, tenemos que hacer una resta, donde el minuendo es un producto y el sustraendo una potencia, con una resta en la base, donde el minuendo vuelve a ser una potencia y el sustraendo una raíz cuadrada. Veamos los pasos:
$ = \left ( 10 - 3 \right )^{2} + 2 \cdot \left [9 \cdot 6 - \left( 9 - 2 \right )^{2} \right] = $
$ = \left ( 7 \right )^{2} + 2 \cdot \left [54 - \left( 7 \right )^{2} \right] = $
$ = 49 + 2 \cdot \left [54 - 49 \right] = 49 + 2 \cdot 5 = 49 + 10 = 59 $


La jerarquía de las operaciones se cumplen con todos los números, vamos a ver ahora ejemplos con números enteros y con números racionales.

Veamos algunos ejemplos de operaciones combinadas de números enteros:


$ \bullet \ 5 \cdot 4 - \left (1 + 2 \right ) = $ Tenemos un producto, una resta y un paréntesis; para hacer la resta, antes habrá que hacer el producto y el paréntesis, que tiene sólo una suma. Veamos los pasos a realizar:
$ = 20 - 3 = 17 $

$\bullet \ 50 - 4 \cdot 3 + 2 \cdot 5 - 14 : 7 = $ Antes de hacer las sumas y restas tenemos que hacer las multiplicaciones y la división, una vez hechas estas hacemos las sumas y restas; se puede hacer de dos formas: $1^{\underline {a}}$ haciendo sumas y restas en el orden que están; $2^{\underline {a}}$ sumamos por un lado todo lo que suma, por otro todo lo que resta y al final se restan las dos cantidades obtenidas. $ = 50 - 12 + 10 - 2 = 60 - 14 = 46 $

$\bullet \ \left ( -17 \right ) + \left [ \left (+11 \right ) + \left (-16 \right ) \right ] - \left [ \left ( - 2 + 7 \right ) \cdot \left (25 - 20 \right ) \right ] + 76 = $ Pasos a dar en esta operación combinada:
  $1^{\underline{o}}$ Quitar paréntesis;
  $2^{\underline{o}}$ Hacer las operaciones de los paréntesis, y después las de los corchetes;
  $3^{\underline{o}}$ Hacer las restas y la suma final.
$= -17 + \left [ 11 - 16 \right ] - \left [ 5 \cdot 5 \right ] + 76 = $
$= -17 + \left [ - 5 \right ] - \left [ +25 \right ] + 76 = $
$= -17 - 5 - 25 + 76 = $
$= -47 + 76 = 29 $


$\bullet \ (-20) - 2 \cdot [(-3) \cdot (-4) - (+17) + (- 3) \cdot (-2) \cdot (-4)] = $ Tenemos una resta y un producto, $1^{\underline{o}}$ el producto pero uno de los factores es un corchete que a su vez es una operación combinada. Primero quitaremos paréntesis y haremos los productos, para después hacer la resta y la suma. Después haremos el producto con el resultado del corchete y para terminar la resta.
$= -20 - 2 \cdot [ + 12 - 17 + (+6) \cdot (-4)] = $
$= -20 - 2 \cdot [ - 5 + (-24)] = $
$= -20 - 2 \cdot [ - 29] = $
$= -20 - [-58] = $
$= -20 + 58 = 38 $


$\bullet \ (- 27): ( - 3 ) ^ { 3 } + 4 ^ { 13 }: \left[ 4^4 \right] ^ { 3 } + \sqrt { 81 }: 3 = $ Este ejercicio tiene potencias (repasar las propiedades de las potencias) y raíces. Veamos como afecta esto, primero tenemos que hacer las raíces y/o las potencias, quitar los paréntesis, después las divisones y por último las sumas.
$= - 27: ( - 27 ) + 4 ^ { 13 } : ( 4 ) ^ { 12 } + 9 : 3 = $
$= 1 + 4 + 3 = 8 $


Dejo unos ejercicios de operaciones combinadas

Este ejercicio sólo tiene divisiones y restas, primero haremos las diviones y después las restas:

$ 9 : 3 - (-12) : 2 - 13 : (-1) = $

$ = 3 - (-6) - (-13) = $ Ahora quitamos los paréntesis

$ = 3 + 6 + 13 = 9 + 13 = 22 $

Este ejercicio es una división, pero tanto el dividendo como el divisor son operaciones combinadas de sumas y restas, habrá que quitar paréntesis:

$ [14 - (-6) + (-6) ] : [17 + (-7) - 3 ] = $ en el dividendo sumo y resto la misma cantidad

$ = [14 + 6 - 6 ] : [17 - 7 - 3 ] = $

$ = 14 : 7 = 2 $

Este ejercicio es una resta y el sustraendo es un corchete con una operación combinada, tenemos dos restas, para realizar las restas tenemos que calcular los términos, dos multiplicaciones y una división. el $2^{\underline {o}}$ término tiene otro factor que es otra operación combinada con una división, un producto y al final la resta. Veamos los pasos

$ 3 - [- 5 \cdot 6 - 4 \cdot (12 : 4 - 5 \cdot 2) - 24 : 3] = $

$ = 3 - [- 30 - 4 \cdot (3 - 10) - 8] = $

$ = 3 - [- 30 - 4 \cdot 7 - 8] = $

$ = 3 - [- 30 - 28 - 8] = $

$ = 3 - [- 66] = 3 + 66 = 69 $

$\textcolor{red}{\text{Un error típico en este tipo de ejercicios es hacer primero la resta y después la división.}}$

Este ejercicio tiene una resta y una división, el divisor es un corchete con una operación combinada, tenemos una resta y unasuma, para realizar la resta tenemos que calcular el sustraendo que es otra operación combinada con un producto y una resta. Veamos los pasos

$ 16 - 30 : [6 - 2 \cdot ( 3 - 1 ) + 3 ] = $

$ = 16 - 30 : [6 - 2 \cdot 2 + 3 ] = $

$ = 16 - 30 : [6 - 4 + 3 ] = $

$ = 16 - 30 : 5 = 16 - 6 = 10 $

Este ejercicio tiene potencias. Haremos primero las potencias, después la operación del paréntesis, la división del tercer término y luego la resta y la suma. Veamos los pasos

$ 12 - \left(2^2 - 10^2 : 5 \right) + (-6)^2 : 4 = $

$ = 12 - \left(4 - 100 : 5 \right) + 36 : 4 = $

$ = 12 - \left(4 - 20 \right) + 9 = $

$ = 12 - \left( - 16 \right) + 9 = 12 + 16 + 9 = 37$

Ahora unos ejemplos de operaciones combinadas con fracciones, recordar que para el producto y la división de fracciones no hace falta calcular común denominador. y algo que es muy importante es simplificar, siempre que se pueda.


$\bullet \ \ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma

$ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20} $

$\bullet \ \ \ \ 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto, depués la resta y la suma

$ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{15}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{19}{30} $

$\bullet \ \ \ \ \Big ( 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, que es una resta y una suma; depués el producto,

$ = \Big ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = $

$ = \Big ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $

$\bullet \ \ 1 - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la resta

$ = \dfrac{15}{15} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{13}{15} $

$ \bullet \ \ \ - \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma

$ = - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$

$ \bullet \ \ \ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = 1^{\underline {o}}$ haremos los productos, después las sumas y la resta

$ = \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 4\ }{9} - \dfrac{\ 1\ }{12} + \dfrac{\ 10\ }{3} = $ calculamos el común denominador de 2, 9, 12 y 3, que es 30

$ = \dfrac{\ 18 \ }{36} + \dfrac{\ 16 \ }{36} - \dfrac{\ 3 \ }{36} + \dfrac{\ 120\ }{36} = \dfrac{ 18 + 16 - 3 + 120 }{36} = \dfrac{\ 151 \ }{36} $

$\bullet \ \ \ \ \Big ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, después los productos y al final sumas y resta.

$ = \Big ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \Big ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $

$ = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $

$ = \dfrac{10}{9} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{40}{36} - \dfrac{3}{36} + \dfrac{120}{36} = \dfrac{157}{36} $

$\bullet \ \ \ \ - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = 1^{\underline {o}}$ haremos los productos después la resta y la suma

$ = - \dfrac{4}{14} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{5}{14} = - \dfrac{1}{14} $

$\bullet \ \ \ \ - \dfrac{1}{2} \cdot \Big ( \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} \Big ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, después el producto y al final la suma.

$ = - \dfrac{1}{2} \cdot \Big ( \dfrac{8}{14} - \dfrac{2}{14} \Big ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = $

$ =- \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{14} + \dfrac{5}{14} = $

$ = - \dfrac{3}{14} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{7} $

Veamos unos ejemplos interactivos con la aplicación Graspablemath :

$ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} $
$3^2 - 2^2 + \sqrt{81} \cdot \left ( \sqrt{49} - 3 \right )^2 $
$( \sqrt { 100 } - 3 ) ^ { 2 } + 2 \cdot \left[ 15 \cdot \sqrt { 36 } - \left( 3 ^ { 2 } - \sqrt { 4 } \right) ^ { 2 } \right]$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com