Veamos la jerarquía de las operaciones combinadas:
$$ \begin{array}{|C{1.75cm}|C{14cm}|} \hline \ \ \ \ 1^{\underline {o}} \ \ \ \ & \ \ \ \ \ \ \ Par\acute{e}ntesis \ (\ ), corchetes \ [\ ] \ o \ llaves \ \{ \ \} \ \ \ \ \ \ \ \\ \hline 2^{\underline {o}} & Potencias \ y \ raíces \\ \hline 3^{\underline {o}} & Multiplicaciones \ y \ divisiones \\ \hline 4^{\underline {o}} & Sumas \ y \ restas \\ \hline \end{array} $$ Veamos algunos ejemplos sencillos de números naturales:
$\bullet \ 2 + 3 + 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 5 + 4 = 9$
$\bullet \ 2 + 3 - 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 5 - 4 = 1$
$\bullet \ 16 - 5 - 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 11 - 4 = 7$
$\bullet \ 12 \cdot 5 \cdot 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 60 \cdot 3 = 180$ (Recordemos que el producto cumple la propiedad asociativa)
$\bullet \ 60 : 10 : 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 6 : 3 = 2$ (Recordemos que la divisón NO cumple la propiedad asociativa)
$\bullet \ 90 \cdot 5 : 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 450 : 3 = 150$
$\bullet \ 2 + 3 \cdot 5 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la multiplicación y después la suma.
$ = 2 + 15 = 17$
$\bullet \ 3 \cdot 7 - 2 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la resta.
$ = 21 - 2 = 19$
$\bullet \ 8 + 12 : 4 = $ Mirando en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la suma
$ = 8 + 3 = 11$
$\bullet \ 15 - 12 : 6 = $ Mirando en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la resta
$ = 15- 2 = 13$
$\bullet \ 18 \cdot 3 + 5 = $ Hacemos primero la multipicación y después la suma.
$ = 54 + 5 = 59$
$\bullet \ 3 \cdot 7 + 9 \cdot 5 = $ Vamos a pensar de otra forma. Antes de poder hacer la suma tendremos que hacer la multiplicación, ¿no?
$ = 21 + 45 = 66$
Veamos ahora como los paréntesis, corchetes y llaves cambian la forma en que realizamos las operaciones combinadas:
$\bullet \ \left( 2 + 3 \right ) \cdot 5 = $ Hemos añadido un paréntesis. ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la operación del paréntesis y después la multiplicación.
$ = 5 \cdot 5 = 25$
$\bullet \ \left ( 8 + 12 \right ) : 4 = $ Igual que antes hemos añadido un paréntesis. Ahora lo $1^{\underline {o}}$ es hacer la suma del paréntesis y después la división
$ = 20 : 4 = 5 $
$\bullet \ 3 \cdot \left ( 7 + 9 \right ) \cdot 5 = $ Ahora el paréntesis nos dice cual es la operación que hay que hacer antes, la suma. Después los productos.
$ = 3 \cdot 16 \cdot 5 = 240 $
$\bullet \ \left ( 2 \cdot 13 + 7 \right ) \cdot 5 + 12 = $ En este caso, lo $1^{\underline {o}}$ es hacer el paréntesis, que tiene otra operación combinada; y dentro del paréntesis $1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma
$ = \left ( 26 + 7 \right ) \cdot 5 + 12 =$
$ = 33 \cdot 5 + 12 =$ Este tipo de operación ya la hemos comentado, $1^{\underline {o}}$ haremos el producto y después la suma.
$ = 165 + 12 = 177 $
$\bullet \ 7 + 3 \cdot \left [1 + 5 - \left ( 6 - 3 \right ) \right ] = ,1^{\underline {o}}$ tendremos que hacer el producto y después la suma, pero el producto es con un corchete, luego tenemos que hacemos la operación del corchete que es a su vez otra operación combinada. Dentro del corchete tenemos una suma y una resta, pero la resta tiene a su vez un paréntesis, luego hay que hacer antes ese paréntesis antes de hacer la resta. Veamos los pasos:
$ = 7 + 3 \cdot \left [6 - 3 \right ] = $
$ = 7 + 3 \cdot 3 = 7 + 9 = 16 $
Vamos ahora con operaciones combinadas que tienen también potencias y raíces:
$\bullet \ 5 \cdot \left ( \sqrt{16} - 2 \right)^{2} + \left ( 2^{3} - 5 \right)^{2} = $ Tenemos un producto y una suma, $1^{\underline {o}}$ el producto y luego la suma, pero uno de los factores del producto es una potencia, con una resta en la base, y el minuendo es una raíz cuadrada, así lo primero hacemos la raíz, luego la resta ya que está dentro del paréntesis y por último la potencia; para la suma lo mismo, tenemos que hacer una potencia, pero con una resta en la base y el minuendo es una potencia en este caso. Veamos los pasos:
$ = 5 \cdot \left ( 4 - 2 \right)^{2} + \left ( 8 - 5 \right)^{2} = $
$ = 5 \cdot \left ( 2 \right )^{2} + \left ( 3 \right)^{2} = $
$ = 5 \cdot 4 + 9 = 20 + 9 = 29 $
Veamos otro ejemplo un poquito más complicado:
$\bullet \ \left ( \sqrt{100} - 3 \right )^{2} + 2 \cdot \left [9 \cdot \sqrt{36} - \left( 3^{2} - \sqrt{4} \right )^{2} \right] = $ En este ejemplo la operación principal es la suma, para hacer la suma tengo que hacer las operaciones combinadas de cada uno de los sumandos. La $1^{\underline {a}}$ es una potencia, con una resta en la base y el minuendo es una raí cuadrada; la $2^{\underline {a}}$ es una operación combinada, tenemos que hacer una resta, donde el minuendo es un producto y el sustraendo una potencia, con una resta en la base, donde el minuendo vuelve a ser una potencia y el sustraendo una raíz cuadrada. Veamos los pasos:
$ = \left ( 10 - 3 \right )^{2} + 2 \cdot \left [9 \cdot 6 - \left( 9 - 2 \right )^{2} \right] = $
$ = \left ( 7 \right )^{2} + 2 \cdot \left [54 - \left( 7 \right )^{2} \right] = $
$ = 49 + 2 \cdot \left [54 - 49 \right] = 49 + 2 \cdot 5 = 49 + 10 = 59 $
La jerarquía de las operaciones se cumplen con todos los números, vamos a ver ahora ejemplos con números enteros y con números racionales.
Veamos algunos ejemplos de operaciones combinadas de números enteros:
$ \bullet \ 5 \cdot 4 - \left (1 + 2 \right ) = $ Tenemos un producto, una resta y un paréntesis; para hacer la resta, antes habrá que hacer el producto y el paréntesis, que tiene sólo una suma. Veamos los pasos a realizar:
$ = 20 - 3 = 17 $
$\bullet \ 50 - 4 \cdot 3 + 2 \cdot 5 - 14 : 7 = $ Antes de hacer las sumas y restas tenemos que hacer las multiplicaciones y la división, una vez hechas estas hacemos las sumas y restas; se puede hacer de dos formas: $1^{\underline {a}}$ haciendo sumas y restas en el orden que están; $2^{\underline {a}}$ sumamos por un lado todo lo que suma, por otro todo lo que resta y al final se restan las dos cantidades obtenidas. $ = 50 - 12 + 10 - 2 = 60 - 14 = 46 $
$\bullet \ \left ( -17 \right ) + \left [ \left (+11 \right ) + \left (-16 \right ) \right ] - \left [ \left ( - 2 + 7 \right ) \cdot \left (25 - 20 \right ) \right ] + 76 = $ Pasos a dar en esta operación combinada:
$1^{\underline{o}}$ Quitar paréntesis;
$2^{\underline{o}}$ Hacer las operaciones de los paréntesis, y después las de los corchetes;
$3^{\underline{o}}$ Hacer las restas y la suma final.
$= -17 + \left [ 11 - 16 \right ] - \left [ 5 \cdot 5 \right ] + 76 = $
$= -17 + \left [ - 5 \right ] - \left [ +25 \right ] + 76 = $
$= -17 - 5 - 25 + 76 = $
$= -47 + 76 = 29 $
$\bullet \ (-20) - 2 \cdot [(-3) \cdot (-4) - (+17) + (- 3) \cdot (-2) \cdot (-4)] = $ Tenemos una resta y un producto, $1^{\underline{o}}$ el producto pero uno de los factores es un corchete que a su vez es una operación combinada. Primero quitaremos paréntesis y haremos los productos, para después hacer la resta y la suma. Después haremos el producto con el resultado del corchete y para terminar la resta.
$= -20 - 2 \cdot [ + 12 - 17 + (+6) \cdot (-4)] = $
$= -20 - 2 \cdot [ - 5 + (-24)] = $
$= -20 - 2 \cdot [ - 29] = $
$= -20 - [-58] = $
$= -20 + 58 = 38 $
$\bullet \ (- 27): ( - 3 ) ^ { 3 } + 4 ^ { 13 }: \left[ 4^4 \right] ^ { 3 } + \sqrt { 81 }: 3 = $ Este ejercicio tiene potencias (repasar las propiedades de las potencias) y raíces. Veamos como afecta esto, primero tenemos que hacer las raíces y/o las potencias, quitar los paréntesis, después las divisones y por último las sumas.
$= - 27: ( - 27 ) + 4 ^ { 13 } : ( 4 ) ^ { 12 } + 9 : 3 = $
$= 1 + 4 + 3 = 8 $
Dejo unos ejercicios de operaciones combinadas
Este ejercicio sólo tiene divisiones y restas, primero haremos las diviones y después las restas:
$ 9 : 3 - (-12) : 2 - 13 : (-1) = $
$ = 3 - (-6) - (-13) = $ Ahora quitamos los paréntesis
$ = 3 + 6 + 13 = 9 + 13 = 22 $
Este ejercicio es una división, pero tanto el dividendo como el divisor son operaciones combinadas de sumas y restas, habrá que quitar paréntesis:
$ [14 - (-6) + (-6) ] : [17 + (-7) - 3 ] = $ en el dividendo sumo y resto la misma cantidad
$ = [14 + 6 - 6 ] : [17 - 7 - 3 ] = $
$ = 14 : 7 = 2 $
Este ejercicio es una resta y el sustraendo es un corchete con una operación combinada, tenemos dos restas, para realizar las restas tenemos que calcular los términos, dos multiplicaciones y una división. el $2^{\underline {o}}$ término tiene otro factor que es otra operación combinada con una división, un producto y al final la resta. Veamos los pasos
$ 3 - [- 5 \cdot 6 - 4 \cdot (12 : 4 - 5 \cdot 2) - 24 : 3] = $
$ = 3 - [- 30 - 4 \cdot (3 - 10) - 8] = $
$ = 3 - [- 30 - 4 \cdot 7 - 8] = $
$ = 3 - [- 30 - 28 - 8] = $
$ = 3 - [- 66] = 3 + 66 = 69 $
$\textcolor{red}{\text{Un error típico en este tipo de ejercicios es hacer primero la resta y después la división.}}$
Este ejercicio tiene una resta y una división, el divisor es un corchete con una operación combinada, tenemos una resta y unasuma, para realizar la resta tenemos que calcular el sustraendo que es otra operación combinada con un producto y una resta. Veamos los pasos
$ 16 - 30 : [6 - 2 \cdot ( 3 - 1 ) + 3 ] = $
$ = 16 - 30 : [6 - 2 \cdot 2 + 3 ] = $
$ = 16 - 30 : [6 - 4 + 3 ] = $
$ = 16 - 30 : 5 = 16 - 6 = 10 $
Este ejercicio tiene potencias. Haremos primero las potencias, después la operación del paréntesis, la división del tercer término y luego la resta y la suma. Veamos los pasos
$ 12 - \left(2^2 - 10^2 : 5 \right) + (-6)^2 : 4 = $
$ = 12 - \left(4 - 100 : 5 \right) + 36 : 4 = $
$ = 12 - \left(4 - 20 \right) + 9 = $
$ = 12 - \left( - 16 \right) + 9 = 12 + 16 + 9 = 37$
Ahora unos ejemplos de operaciones combinadas con fracciones, recordar que para el producto y la división de fracciones no hace falta calcular común denominador. y algo que es muy importante es simplificar, siempre que se pueda.
$\bullet \ \ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma
$ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20} $
$\bullet \ \ \ \ 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto, depués la resta y la suma
$ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{15}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{19}{30} $
$\bullet \ \ \ \ \Big ( 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, que es una resta y una suma; depués el producto,
$ = \Big ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = $
$ = \Big ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $
$\bullet \ \ 1 - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la resta
$ = \dfrac{15}{15} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{13}{15} $
$ \bullet \ \ \ - \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma
$ = - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$
$ \bullet \ \ \ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = 1^{\underline {o}}$ haremos los productos, después las sumas y la resta
$ = \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 4\ }{9} - \dfrac{\ 1\ }{12} + \dfrac{\ 10\ }{3} = $ calculamos el común denominador de 2, 9, 12 y 3, que es 30
$ = \dfrac{\ 18 \ }{36} + \dfrac{\ 16 \ }{36} - \dfrac{\ 3 \ }{36} + \dfrac{\ 120\ }{36} = \dfrac{ 18 + 16 - 3 + 120 }{36} = \dfrac{\ 151 \ }{36} $
$\bullet \ \ \ \ \Big ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, después los productos y al final sumas y resta.
$ = \Big ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \Big ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $
$ = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $
$ = \dfrac{10}{9} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{40}{36} - \dfrac{3}{36} + \dfrac{120}{36} = \dfrac{157}{36} $
$\bullet \ \ \ \ - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = 1^{\underline {o}}$ haremos los productos después la resta y la suma
$ = - \dfrac{4}{14} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{5}{14} = - \dfrac{1}{14} $
$\bullet \ \ \ \ - \dfrac{1}{2} \cdot \Big ( \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} \Big ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, después el producto y al final la suma.
$ = - \dfrac{1}{2} \cdot \Big ( \dfrac{8}{14} - \dfrac{2}{14} \Big ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = $
$ =- \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{14} + \dfrac{5}{14} = $
$ = - \dfrac{3}{14} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{7} $
Veamos unos ejemplos interactivos con la aplicación Graspablemath :
| $ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} $ | |
| $3^2 - 2^2 + \sqrt{81} \cdot \left ( \sqrt{49} - 3 \right )^2 $ | |
| $( \sqrt { 100 } - 3 ) ^ { 2 } + 2 \cdot \left[ 15 \cdot \sqrt { 36 } - \left( 3 ^ { 2 } - \sqrt { 4 } \right) ^ { 2 } \right]$ |
|---|
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
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