Identidades notables. Sacar factor común (Propiedad distributiva). Ejercicios con soluciones.

Empezaremos por definir lo que es una expresión algebraica, es una combinación de números, variables (letras) y operaciones matemáticas (+, -, $\times$, $\div$).
Ejemplos de expresiones algebraicas:

• \( 3x + 5 \)
• \( a^2 - 4b \)
• \( \dfrac{2x + 1}{x - 3} \)
• \( 5xyz - 2y^2 + 7 \)

Componentes de una expresión algebraica:

• Números: Se llaman coeficientes si están multiplicando una variable (por ejemplo, en \( 3x \), el número 3 es el coeficiente).
• Variables: Representan valores desconocidos y suelen ser letras (como \( x, y, z, \alpha, ... \)).
• Exponentes: Indican cuántas veces se multiplica una variable por sí misma (por ejemplo, en \( x^2 \), el exponente es 2).
• Operaciones: Son las sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, etc.

Las expresiones algebraicas no incluyen signos de igualdad (\( = \)). Cuando se añade un signo de igualdad, se convierte en una igualdad algebraica.

Una identidad notable es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se cumple para cualquier valor de las variables involucradas. Se llaman «notables» porque aparecen con frecuencia, facilitan el cálculo y la factorización de expresiones algebraicas.

1. La propiedad conmutativa de la suma y del producto: \[ a + b = b + a \qquad \qquad a \times b = b \times a \]
2. La propiedad asociativa de la suma (resta) y del producto: \[ a + (b + c) = (a + b) + c \qquad \qquad a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \]
3. La propiedad distributiva del producto respecto de la suma: \[ a \times (b + c) = a \times c + b \times c \] \[ a \times (b - c) = a \times c - b \times c \]
4. Cuadrado de una suma: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
5. Cuadrado de una diferencia: \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
6. Diferencia de cuadrados \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
7. Cubo de una suma: \[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
8. Cubo de una diferencia: \[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
9. Suma y diferencia de cubos: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]

Vamos con unos ejercicios de desarrollar identidades notables, el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta y suma por diferencia, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:

$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \qquad \qquad a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)$

1. \( (x + 5y)^2 \)
   
   
2. $(2x + y)^2$
   
   
3. $(3x + 4y)^2$
   
   
4. $(x^2 + 1)^2$
   
   
5. $(2x + 3x^2)^2$
   
   
6. $ (x - 5y)^2$
   
   
7. $(2x - y)^2$
   
   
8. $(3x - 4y)^2$
   
   
9. $(x^2 - 1)^2 $
   
   
10. $(2x - 3x^2)^2$
    
    
11. $(x + 5y)(x - 5y)$
    
    
12. $ (2x + y)(2x - y) $
    
    
13. $ (3x + 4y)(3x - 4y) $
    
    
14. $ (x^2 + 1)(x^2 - 1) $
    
    
15. $ (2x + 3x^2)(2x - 3x^2) $
    
    
16. $ (-x + 2y)^2 $
    
    
17. $ (- s - 2z)^2 $
    
    
18. $ (-s + 2t)(-s - 2t) $
    
    
19. $ \left(x + \dfrac{1}{2}y \right)^2 $
    
    
20. $ - \left ( \dfrac{3x}{5} + 7 \right )^2 $
    
    
21. $ \left ( \dfrac{\ 2\ }{ 3 } - x \right )^2 $
    
    
22. $ \left (3ab - 4 \right )^2 $
    
    

Ahora vamos con otro tipo de ejercicios, vamos a hacer justo lo contrario, convertir expresiones en cuadrados o productos, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:

1. \( \dfrac{\ 25x^2\ }{9} - 9 \)
   
   
2. $x^4 + 2x^2 + 1$
   
   
3. $81x^4 + 18x^2y + y^2$
   
   
4. $4x^2y^4 - 1$
   
   
5. $4x^2 + 12x^3 + 9x^4$
   
   
6. $ x^6 - 10x^3 + 25$
   
   
7. $x^2 + 16x + 64$
   
   
8. $\dfrac{\ y^4\ }{ 16 } - 121$
   
   
9. $64x^{10} - y^{12}$
   
   
10. $ 25x^4 + 100y^2 + 100x^2y $
    
    
11. $ 3x^2 - 5y^8 $
    
    
12. $ x + y + 2\sqrt{\ xy\ }$
    
    

Ahora vamos con ejercicios de sacar factor común, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio. Veamos unos ejemplos:

$a^4 + 2a^3 - 3a^2 = a^2 \cdot (a^2 + 2a - 3)$
$12x^4 - 6x^3 + 15x^2 = 3x^3 \cdot (4x^2 - 2x + 5)$
$1x^3y^3z - 6x^2y^2z^4 + 4x^3yz = 2x^2yz \cdot (5xy^2 - 3yz^3 + x)$

Para sacar factor común de una expresión algebraica seguiremos los siguientes pasos:

1. Sacar el Máximo común divisor de los coeficientes de cada uno de los términos que forman la expresión algebraica.


2. Determinar las variables con el menor exponente.


3. Para comprobar si hemos hecho correctamente el ejercicio podemos aplicar la propiedad distributiva al resultado obtenido y nos dará por resultado la expresión inicial.

1. \( 3x + 12 \)
   
   
2. \( mx + m \)
   
   
3. $ a^2 + ab$
   
   
4. \( 8m^2 + 12m \)
   
   
5. \( 3am^3 + 6a^3m \)
   
   
6. \( 3x^4 - 15x^3 \)
   
   
7. $t^3 - 8t^2 + t$
   
   
8. $6a^2b - 12ab^2 + 3a^3b^3$
   
   
9. $15abc^2 + 45a^2bc$
   
   
10. $15abx - 9b^2x$
    
    
11. $x^5 + 2x^3 - 5x^2$
    
    
12. $ 16x^3 - 4x^2 $
    
    
13. $ am^2 - an^2 + a^2mn $
    
    
14. $ 2a^2b + 4ab^2 - 10a^3b^3$
    
    
15. $ 9a^3 - 6a^2 $
    
    
16. $21a^5 + 49a^3$
    
    
17. $ 14acd - 7cd + 21c^2d^2 $
    
    
18. $ 3a^3 - 6a^2 + 9a $
    
    
19. $ 8q^4t + 2q^3t^2 - 6q^2t^4 $
    
    
20. $ 5x^2y^2 - 15xy + 20xyz $
    
    
21. $ 17m^3n^3 - 51m^2n^2 + 85mn $
    
    
22. $ 12m^3n^3 - 18m^2n^2 - 24m^4n^4 $
    
    
23. $ x^4 + x^3 - x^2 + x $
    
    
24. $ m^2n^2 + mn^2 - 2m^2n^4 $
    
    

Ahora vamos con ejercicios de sacar factor común agrupando por términos, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio. Veamos unos ejemplos:

$ ax + bx + ay + by = (a + b) \cdot (x + y)$

Para sacar factor común agrupando por términos de una expresión algebraica seguiremos los siguientes pasos:

1. Agrupar términos que tienen factor común: \[ ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) \]


2. Sacamos factor común a los términos agrupados: \[ = x (a + b) + y(a + b) = \]


3. Formamos factores: uno con los términos con factor común y otros con los términos no comunes, que es la solución. \[ = (a + b)(x + y) \]

$\bullet $ Veamos otro ejemplo: $3m^2 - 6mn + 4m - 8n$

\[ 3m^2 - 6mn + 4m - 8n = (3m^2 - 6mn) + (4m - 8n) = \] \[ 3m(m - 2n) + 4(m - 2n) = (3m + 4)(m - 2n) \] $\bullet $ Veamos otro ejemplo: $ax - 2bx - 2ay + 4by$

\[ ax - 2ay - 2bx + 4by = a(x - 2y) - 2b(x - 2y) = \] \[ (a - 2b)(x - 2y) \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Propiedad distributiva - Ejemplo gráfico

Hola, Vamos a usar la página web graspablemath.com/ para revisar la propiedad distributiva en el siguiente enlace Propiedad Distributiva .

La propiedad distributiva nos dice
$$ a \cdot \left ( b + c \right ) = a \cdot b + a \cdot c $$ Multiplicar un número por la suma de dos número, es lo mismo que multiplicar ese número por cada uno de los sumandos y efectuar después la suma de esos dos productos.

Veamos algunos ejemplos:


1.- $ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 $
Aquí $a = 12 $, $b = 8$ y $c = 42$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 = 12 \cdot ( 8 + 42 ) = 12 \cdot 50 = 600 $$ 2.- $ 23 \cdot 18 + 12 \cdot 23 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 23 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 = 23 \cdot ( 18 + 12 ) = 23 \cdot 30 = 690 $$ 3.- $55 \cdot (20 + 6)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 55 \cdot 26$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 55$, $b=20$ y $c = 6$ tenemos dos productos más sencillos y una suma:
$$ 55 \cdot (20 + 6) = 55 \cdot 20 + 55 \cdot 6 = 1100 + 330 = 1430 $$ 4.- $77 \cdot 31$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 + 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 + 1) = 77 \cdot 30 + 77 \cdot 1 = 2410 + 77 = 2487 $$ Gráficamente lo podemos ver así:

La suma de las áreas de dos rectángulos de distinta base pero con la misma altura es la misma área que la de un rectángulo que tiene por base la suma de las bases de dichos rectángulos y la misma altura.

Veamos una imagen que vale más que mil palabras:

La propiedad distributiva se puede generalizar, usando la asociativa:

$$ a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = $$ Aplico la distributiva y tenemos
$$ = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = a \cdot \left [b + c \right ] + a \cdot d = $$ Vuelve a aplicar la distributiva en el primer termino y tenemos
$$ = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d $$ $$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d} $$ Esta fórmula se puede usar con 2, 3, 4 o todos los sumandos que quieras dentro del paréntesis.


La propiedad distributiva también se puede usar con la resta:

$$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot b - a \cdot c } $$ Una explicación muy sencilla es la siguiente:

$$ a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot \left [ b + ( - c ) \right ] = a \cdot b + a \cdot (-c) = a \cdot b - a \cdot c $$ Veamos algunos ejemplos:


1.- $ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 $
Aquí $a = 12 $, $b = 28$ y $c = 18$ aplicamos la propiedad distributiva con la resta y tenemos:
$$ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 = 12 \cdot ( 28 - 18 ) = 12 \cdot 10 = 120 $$ 2.- $ 25 \cdot 18 - 12 \cdot 25 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 25 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 = 25 \cdot ( 18 - 12 ) = 25 \cdot 6 = 150 $$ 3.- $35 \cdot (20 - 2)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 35 \cdot 18$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 35$, $b = 20$ y $c = 2$ tenemos dos productos más sencillos y una resta:
$$ 35 \cdot (20 - 2) = 35 \cdot 20 - 35 \cdot 2 = 700 - 70 = 630 $$ 4.- $77 \cdot 29$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 - 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 - 1) = 77 \cdot 30 - 77 \cdot 1 = 2410 - 77 = 2333 $$ Gráficamente sería la resta de áreas:

Gifs modificados por la web iloveimg.com
Para terminar con la propiedad distributiva, dentro del paréntesis se pueden alternar sumas y restas:

$$ \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c + d \right ) = a \cdot b - a \cdot c + a \cdot d} $$ Veamos un ejemplo:
$$ 12 \cdot \left ( 12 - 5 + 4 \right ) = 12 \cdot 12 - 12 \cdot 5 + 12 \cdot 4 = 144 - 60 + 48 = 132 $$