La propiedad distributiva nos dice
$$ a \cdot \left ( b + c \right ) = a \cdot b + a \cdot c $$ Multiplicar un número por la suma de dos número, es lo mismo que multiplicar ese número por cada uno de los sumandos y efectuar después la suma de esos dos productos.
Veamos algunos ejemplos:
1.- $ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 $
Aquí $a = 12 $, $b = 8$ y $c = 42$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 = 12 \cdot ( 8 + 42 ) = 12 \cdot 50 = 600 $$ 2.- $ 23 \cdot 18 + 12 \cdot 23 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 23 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 = 23 \cdot ( 18 + 12 ) = 23 \cdot 30 = 690 $$ 3.- $55 \cdot (20 + 6)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 55 \cdot 26$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 55$, $b=20$ y $c = 6$ tenemos dos productos más sencillos y una suma:
$$ 55 \cdot (20 + 6) = 55 \cdot 20 + 55 \cdot 6 = 1100 + 330 = 1430 $$ 4.- $77 \cdot 31$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 + 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 + 1) = 77 \cdot 30 + 77 \cdot 1 = 2410 + 77 = 2487 $$ Gráficamente lo podemos ver así:
La suma de las áreas de dos rectángulos de distinta base pero con la misma altura es la misma área que la de un rectángulo que tiene por base la suma de las bases de dichos rectángulos y la misma altura.
Veamos una imagen que vale más que mil palabras:
$$ a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = $$ Aplico la distributiva y tenemos
$$ = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = a \cdot \left [b + c \right ] + a \cdot d = $$ Vuelve a aplicar la distributiva en el primer termino y tenemos
$$ = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d $$ $$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d} $$ Esta fórmula se puede usar con 2, 3, 4 o todos los sumandos que quieras dentro del paréntesis.
La propiedad distributiva también se puede usar con la resta:
$$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot b - a \cdot c } $$ Una explicación muy sencilla es la siguiente:
$$ a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot \left [ b + ( - c ) \right ] = a \cdot b + a \cdot (-c) = a \cdot b - a \cdot c $$ Veamos algunos ejemplos:
1.- $ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 $
Aquí $a = 12 $, $b = 28$ y $c = 18$ aplicamos la propiedad distributiva con la resta y tenemos:
$$ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 = 12 \cdot ( 28 - 18 ) = 12 \cdot 10 = 120 $$ 2.- $ 25 \cdot 18 - 12 \cdot 25 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 25 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 = 25 \cdot ( 18 - 12 ) = 25 \cdot 6 = 150 $$ 3.- $35 \cdot (20 - 2)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 35 \cdot 18$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 35$, $b = 20$ y $c = 2$ tenemos dos productos más sencillos y una resta:
$$ 35 \cdot (20 - 2) = 35 \cdot 20 - 35 \cdot 2 = 700 - 70 = 630 $$ 4.- $77 \cdot 29$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 - 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 - 1) = 77 \cdot 30 - 77 \cdot 1 = 2410 - 77 = 2333 $$ Gráficamente sería la resta de áreas:
Para terminar con la propiedad distributiva, dentro del paréntesis se pueden alternar sumas y restas:
$$ \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c + d \right ) = a \cdot b - a \cdot c + a \cdot d} $$ Veamos un ejemplo:
$$ 12 \cdot \left ( 12 - 5 + 4 \right ) = 12 \cdot 12 - 12 \cdot 5 + 12 \cdot 4 = 144 - 60 + 48 = 132 $$
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