Criterios de divisibilidad: «Otro criterios de divisibilidad ... » del 7, del 11 y del 13.

Criterio de divisibilidad del 11:

Siempre viene en los libros de texto el siguiente criterio, que lía mucho a los discentes:
«Un número es divisible entre 11 cuando la suma de los números que ocupan la posición par menos la suma de los números que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11»

En lugar de usar este criterio, vamos a probar con este:

1. Agrupamos las cifras por parejas empezando por la derecha, si el número tiene un número impar de cifras nos quedará una cifra suelta, da igual;
2. Sumamos todos los grupos de cifras que se han formado;
3. - Si el resultado es un número de dos cifras iguales, el número es divisible por 11;
   - Si el resultado es un número de dos cifras diferentes, el número no es divisible por 11;
   - Si el resultado de esta suma es un número de 3 cifras o más se repite el proceso con la suma obtenida.

Veamos unos ejemplos:

1. Número 32.505
   1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 05, 25 y 3
   2. Los sumamos: 05 + 25 + 3 = 33
   3. Tiene las dos cifras iguales luego es divisible por 11.
   Hacemos la división para comprobarlo:

2. Número 873.147
   1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 47, 31, 87;
   2. Los sumamos: 47 + 31 + 87 = 165
   Como el número es de 3 cifras, repetimos el proceso:
   1. Hacemos grupos de dos cifras empezando por la derecha: 65, 1;
   2. Los sumamos: 65 + 1 = 66;
   3. Como el número tiene las dos cifras iguales es múltiplo de 11.
   Hacemos la división para comprobarlo:

3. Número 1.341
   1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 13, 41;
   2. Los sumamos: 13 + 41 = 54
   3. Como el número tiene las dos cifras diferentes, no es divisible por 11.
   Vamos a hacer la división para ver que no es divisible:

Criterio de divisibilidad del 7:

Cogemos el número quitándole la cifra de las unidades y le restamos la cifra de las unidades multiplicada por 2, si el número es múlitplo de 7 ya está, si no sabemos si es múltiplo de 7 porque el número es bastante grande, podemos reiterar el proceso las veces que sea necesario:

Veamos el ejemplo con el número $ 3269 \Rightarrow 326 - 9 \cdot 2 = 326 - 18 = 308$, no lo vemos claro. Reiteramos el proceso y tenemos:

Seguimos con el número $ 308 \Rightarrow 30 - 8 \cdot 2 = 30 - 16 = 14$, que es múltiplo de 7, entonces el número 3269 es múltiplo de 7 y finalizamos el proceso. Hagamos la división para comprobarlo.

Ejercicio 1: Comprobar que 3.748 NO es múltiplo de 7.

Ejercicio 2: Comprobar que 4.221 SÍ es múltiplo de 7.

Criterio de divisibilidad del 13:

Para saber si un número es divisible entre 13, al número que resulta de quitarle la cifra de las unidades le restamos las unidades por 9. Si esa resta tiene como resultado 0 múltiplo de 13 entonces el número es divisible entre 13. Si no vemos con claridad que dicho número es múltiplo de 13 podemos reiterar el proceso.

Ejemplo: Veamos si 1.430 es divisible por 13:

Restamos $ 143 - 9 \cdot 0 = 143 $, reiteramos el proceso y nos queda: $ 14 - 3 \cdot 9 = 14 - 27 = -13 $ que claramente es múltiplo de 13.

Ejercicio 3: Comprobar que 3.748 NO es múltiplo de 13.

Ejercicio 4: Comprobar que 4.238 SÍ es múltiplo de 13.