Binomio de Newton. Desarrollo. Ejercicios.

El binomio de Newton, llamada así en honor al matemático Sir Isaac Newton (*), es una fórmula para desarrollar la potencia natural de cualquier binomio, es decir, algo de la forma:

$$ \Large{ ( a + b )^n \quad \text{ o } \quad (a - b)^n } $$ Para ello tenemos que manejar con soltura los factoriales y los números combinatorios.

$$ \Large{ ( a + b )^n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} \cdot a^{n - i} \cdot b^{i} } $$

$$ \Large{ ( a - b )^n = ( a + [-b] )^n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} \cdot a^{n - i} \cdot (-b)^{i} } $$

Si queremos calcular directamente un término del desarrollo sin necesidad de hacer el desarrollo completo usaremos la siguiente fórmula: $$ \text{Si es } \Large { (a + b)^n \Rightarrow T_{k} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - (k - 1)} \cdot b^{k - 1} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - k + 1} \cdot b^{k - 1} } $$

$$ \text{Si es } \Large { (a - b)^n \Rightarrow T_{k} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - (k - 1)} \cdot (-b)^{k - 1} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - k + 1} \cdot (-b)^{k - 1} } $$

                                                                                    
Binomio a desarrollar $(a \ $ + - $b)^2$                           1 2 3
                                                                                    

Otra forma de sacar los números combinatorios es con el Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia.

Ahora lo que hay que hacer es calcular los números combinatorios y sustituir $a$ y $b$ por las expresiones que tengas en tu ejercicio. Veamos un par de ejemplos:

1.- Con la suma, $ \left (x + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^5 $, el binomio de una suma elevado a 5: $$ \displaystyle \large{ \left ( a + b \right )^{5} = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} a^{5 - i} \cdot b^{i} = } $$ $$ = \displaystyle \large{ \binom{5}{0} \cdot a^{5} + \binom{5}{1} \cdot a^{4} \cdot b + \binom{5}{2} \cdot a^{3} \cdot b^{2} + \binom{5}{3} \cdot a^{2} \cdot b^{3} + \binom{5}{4} \cdot a \cdot b^{4} + \binom{5}{5} \cdot b^{5} } = $$ $$ = \displaystyle \large { a^{5} + 5 \cdot a^{4} \cdot b + 10 \cdot a^{3} \cdot b^{2} + 10 \cdot a^{2} \cdot b^{3} + 5 \cdot a \cdot b^{4} + b^{5} } $$ Ahora sustituimos $ a $ por $x$, $b$ por $\dfrac{\ 1 \ }{x}$ y los números combinatorios por su valor $ \displaystyle \binom{5}{5} = \binom{5}{5} = 1$, $ \displaystyle \binom{5}{1} = \binom{5}{4} = 5$ y $ \displaystyle \binom{5}{2} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = \dfrac{5 \cdot 4 }{2} = 10 $

Luego $ \left (x + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^5 = x^{5} + 5 \cdot x^{4} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right ) + 10 \cdot x^{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{2} + 10 \cdot x^{2} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{3} + 5 \cdot x \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{4} + \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{5} = $

$ = x^{5} + 5 \cdot x^3 + 10 \cdot x + \dfrac{\ 10 \ }{x} + \dfrac{\ 5 \ }{x^3} + \dfrac{\ 1 \ }{x^5}$


2.- Con la resta, $ \left (xy - \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^4 $, el binomio de una resta elevado a 4: $$ \displaystyle \large{ \left ( a - b \right )^{4} = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} a^{4 - i} \cdot (-b)^{i} = } $$ $$ = \displaystyle \large{ \binom{4}{0} \cdot a^{4} - \binom{4}{1} \cdot a^{3} \cdot b + \binom{4}{2} \cdot a^{2} \cdot b^{2} - \binom{4}{3} \cdot a \cdot b^{3} + \binom{4}{4} \cdot b^{4} } $$ $$ = \displaystyle \large { a^{4} - 4 \cdot a^{3} \cdot b + 6 \cdot a^{2} \cdot b^{2} - 4 \cdot a \cdot b^{3} + b^{4} } $$ Ahora sustituimos $ a $ por $xy$, $b$ por $\dfrac{\ 1 \ }{xy}$ y los números combinatorios por su valor $ \displaystyle \binom{4}{0} = \binom{4}{4} = 1$, $ \displaystyle \binom{4}{1} = \binom{4}{3} = 4$ y $ \displaystyle \binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 }{2} = 6 $

Luego $ \left (xy - \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^4 = (xy)^{4} - 4 \cdot (xy)^{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right ) + 6 \cdot (xy)^{2} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{2} - 4 \cdot (xy) \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{3} + \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{4} = $

$ = (xy)^{4} - 4 \cdot (xy)^{2} + 6 - \dfrac{\ 4 \ }{(xy)^3} + \dfrac{\ 1 \ }{(xy)^4} $

Ejercicios, desarrolla los siguientes binomios: $\large $

1. $(3x - 2)^{4} $
2. $\left(2x^{3} + 5x \right)^{3} $
3. $ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{5} $
4. $(\sqrt{5} - 2)^{4} $
5. $\left(x - \dfrac{2}{x} \right)^{4}$
6. $\left(2x + \dfrac{y}{3} \right)^{4} $

$\normalsize $

$ \displaystyle \left ( 3x + 2 \right )^4 = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} \cdot \left ( 3x \right )^{4 - i} \cdot (2 )^i = $

$ \displaystyle = \binom{4}{0} \cdot \left ( 3x \right )^4 + \binom{4}{1} \cdot \left ( 3x \right )^3 \cdot (2) + \binom{4}{2} \cdot \left ( 3x \right )^2 \cdot (2)^2 + \binom{4}{3} \cdot \left ( 3x \right ) \cdot (2)^3 + \binom{4}{4} \cdot (2)^4 = $

$ = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 96x + 16 $

$ \displaystyle \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } - x \right )^5 = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^{5- i} \cdot (- x)^i = $

$ \displaystyle = \binom{5}{0} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^5 + \binom{5}{1} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^4 \cdot (- x) + \binom{5}{2} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^3 \cdot (- x)^2 + \binom{5}{3} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^2 \cdot (- x)^3 + $

$\displaystyle + \binom{5}{4} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right ) \cdot (- x)^4 + \binom{5}{5} \cdot (- x)^5 = \dfrac{ \ \sqrt{x} \ }{ x^3 } - 5 \cdot \dfrac{1}{ \ x \ } + 10 \cdot \sqrt{x} - 10 \cdot x^2 + 5 \cdot \sqrt{x} \cdot x^3 - x^5 $

El desarrollo tiene 5 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término 3º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
$$ \displaystyle \large {T_{3} = \binom{4}{2} \cdot \left ( \dfrac{\ x^{2}\ }{9} \right )^{2} \cdot \left ( \dfrac{1}{\ x^{3}\ } \right)^{2} = \binom{4}{2} \cdot \dfrac{\ x^4\ }{81} \cdot \dfrac{1}{\ x^6 \ } } $$

Calaculamos el número combinatorio
$$ \displaystyle \large { \binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2! } = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!} }{\cancel{2!} \cdot 2! } =\dfrac{4 \cdot 3 }{ 2 } = \dfrac{12}{2} = 6 } $$
Luego el término central será $$ \displaystyle \large {T_{3} = 6 \cdot \dfrac{\ x^4\ }{81} \cdot \dfrac{1}{\ x^6 \ } = \dfrac{6}{81 \cdot x^2} } $$

El desarrollo tiene 13 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término 7º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
$$ \displaystyle \large {T_{7} = \binom{12}{6} \cdot (3x^2)^{6} \cdot (-5x^4)^{6} = \binom{12}{6} \cdot 3^6 \cdot 5^6 \cdot x^{12} \cdot x^{24} = \binom{12}{6} \cdot 15^6 \cdot x^{36} } $$

Si calculamos el número combinatorio

$ \displaystyle \large { \binom{12}{6} = \dfrac{12!}{6! \cdot 6!} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6!}}{\cancel{6!} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \dfrac{ \cancel{12} \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4 \cdot 3 } \cdot 2 } = } $
$ \displaystyle \large {= \dfrac{ 11 \cdot \cancel{10} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 6 \cdot \cancel{5 \cdot \cdot 2} } = \dfrac{ 11 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 3 \cdot 2 } = \dfrac{ 11 \cdot 3 \cdot \cancel{3 \cdot 2} \cdot 4 \cdot 7 }{ \cancel{3 \cdot 2} } = 11 \cdot 12 \cdot 7 = 11 \cdot 84 = 924} $

y haciendo el resto de operaciones $ \displaystyle \large { 924 \cdot 15^6 = 10.524.937.500 } $

$$ \displaystyle \large {T_{7} = 10.524.937.500 \cdot x^{36} } $$

Para saber si existe un término de grado 13 voy a ver si existe tal término, es decir, voy a ver si existe el término k-ésimo de grado 13 $T_{k} = x^{13}$
$$ \displaystyle \large { \binom{8}{k - 1} \cdot (3x)^{8 -k + 1} \cdot (x^2)^{k - 1} = x^{13} } $$

Para calcular el valor de $k$ no nos hace falta el número combinatorio y podemos quitar el $3$ de $3x$, así nos quedará algo más sencillo
$$ \displaystyle \large { (x)^{9 - k} \cdot (x^2)^{k - 1} = x^{13} } $$ Esto es un ecuación exponencial y tenemos que calcular el valor de $k$, recordemos que $k$ tiene que ser un «número natural», si no lo fuera el problema no tendría solución y además sabemos que es menor o igual que 13.

Vamos a resolver laecuación:

$$ \displaystyle \large { (x)^{9 - k} \cdot (x^{2k - 2} = x^{13} \rightarrow 9 - k + 2k - 2 = 13 \Rightarrow 7 + k = 13 \Rightarrow k = 6 } $$ Una vez que sabemos el valor de $k$, vamos a calcular el término 6º:

$$ \displaystyle \large { T_{6} = \binom{8}{5} \cdot (3x)^3 \cdot (x^2)^5 = \binom{8}{5} \cdot 27 \cdot x^{13} } $$
Calculamos el valor de $ \displaystyle \large { \binom{8}{5} = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5! }{ 5!\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} }{ \cancel{ 3 \cdot 2 } } } = 8 \cdot 7 = 56 $



$$ \displaystyle \large {T_{6} = 56 \cdot 27 \cdot x^{13} = 1.512 \cdot x^{13} } $$

$$ \displaystyle \large { T_{2} = x^{11} \Rightarrow \binom{n}{1} \cdot (x^2)^{n - 1} \cdot \left( \dfrac{-1}{\ x \ } \right)^{1} = x^{11} \Rightarrow } $$
Sólo nos dicen que el segundo término es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:

$$ \displaystyle \large { x^{2(n - 1)} \cdot ( x^{-1} ) = x^11 \Rightarrow x^{2n - 2} \cdot x^{-1} = x^{11} } $$
y ahora planteamos una ecuación exponencial:

$$ \large { 2n - 2 - 1 = 11 \Rightarrow 2n = 14 \Rightarrow n = 7 } $$ Tenemos que desarrollar $ \large { \left(x^{2} - \dfrac{1}{\ x \ } \right )^{7} } $

$$ \displaystyle \large { \left(x^{2} - \dfrac{1}{\ x \ } \right )^{7} = \sum_{i = 0}^{7} \binom{7}{i} \cdot (x^2)^{7 - i} \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{7}{0} \cdot (x^2)^7 + \binom{7}{1} \cdot (x^2)^6 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right ) + \binom{7}{2} \cdot (x^2)^5 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^2 + \binom{7}{3} \cdot (x^2)^4 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^3 + } $$
$$ \displaystyle \large { + \binom{7}{4} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^4 + \binom{7}{5} \cdot (x^2)^2 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^5 + \binom{7}{6} \cdot (x^2) \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^6 + \binom{7}{7} \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^7 = (*) } $$
Vamos a calcular los número combinatorios:

Tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{0} = \binom{7}{7} = 1 \text{ y } \binom{7}{1} = \binom{7}{6} = 7 } $

Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{2} = \binom{7}{5} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 2!} = \dfrac{7 \cdot 6 }{ 2 } = \dfrac{42}{2} = 21 } $

Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{3} = \binom{7}{4} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 }{ \cancel{6} } = 7 \cdot 5 = 35 } $

Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$

$$ \displaystyle \large { = x^{14} - 7x^{11} + 21x^8 - 35x^5 + 35x^2 - \dfrac{21}{\ x \ } + \dfrac{7}{\ x^4 \ } - \dfrac{1}{\ x^7 \ } } $$

$$ \displaystyle \large { T_{3} = 90 \Rightarrow \binom{5}{2} \cdot \left( \dfrac{3}{\ x \ } \right)^3 \cdot (-x)^2 = 90 \Rightarrow } $$
$$ \displaystyle \large { \Rightarrow 10 \cdot \dfrac{27}{\ x^3 \ } \cdot x^2 = 90 \Rightarrow \dfrac{270}{\ \ x \ \ } = 90 \Rightarrow 270 = 90x \Rightarrow x = 3 } $$

$$ \displaystyle \large { T_{3} = x^2 \Rightarrow \binom{n}{2} \cdot (x^2)^{n - 2} \cdot \left( \dfrac{3}{\ x \ } \right)^2 = x^2 \Rightarrow } $$
Sólo nos dicen que el tercer término es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:

$$ \displaystyle \large { x^{2(n - 2)} \cdot ( x^{-1} )^2 = x^2 \Rightarrow x^{2n - 4} \cdot x^{-2} = x^2 } $$
y ahora planteamos una ecuación exponencial:

$$ \large { 2n - 4 - 2 = 2 \Rightarrow 2n = 8 \Rightarrow n = 4 } $$ Tenemos que desarrollar $ \large { \left( x^{2} + \dfrac{3}{\ x\ } \right)^4 } $

$$ \displaystyle \large { \left( x^{2} + \dfrac{3}{\ x\ } \right)^4 = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} \cdot (x^2)^{4 - i} \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{4}{0} \cdot (x^2)^4 + \binom{4}{1} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right ) + \binom{4}{2} \cdot (x^2)^2 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^2 + \binom{4}{3} \cdot x^2 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^3 + } $$
$$ \displaystyle \large { + \binom{4}{4} \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^4 = (*) } $$
Vamos a calcular los número combinatorios:

Tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{4}{0} = \binom{4}{4} = 1 \text{ y } \binom{4}{1} = \binom{4}{3} = 4 } $

Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{4}{2} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!} }{ \cancel{2!} \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 }{ 2 } = \dfrac{12}{\ 2\ } = 6 } $

Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$

$$ \displaystyle \large { = x^8 + 12x^5 + 54x^2 + \dfrac{\ 108 \ }{\ x \ } + \dfrac{81}{\ x^4 \ } } $$

$$ \displaystyle \large { 11^5 = (10 + 1)^5 = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} \cdot 11^{5 - i} \cdot (1)^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{5}{0} \cdot 10^5 + \binom{5}{1} \cdot 10^4 + \binom{5}{2} \cdot 10^3 + \binom{5}{3} \cdot 10^2 + \binom{5}{4} \cdot 10 + \binom{5}{5} = (*) } $$
Sabemos que

$ \displaystyle \large { \binom{5}{0} = \binom{5}{5} = 1 }$, que $ \displaystyle \large { \binom{5}{1} = \binom{5}{4} = 5 } $ y

$$ \displaystyle \large { \binom{5}{2} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{\ 3! \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{\ 3! \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!} }{\ \cancel{3!} \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4}{\ 2 \ } = \dfrac{20}{\ 10 \ } = 10 } $$
seguimos en $(*)$ y tenemos que

$$ \displaystyle \large { = 100.000 + 50.000 + 10.000 + 1.000 + 50 + 1 = 161.051} $$

$$ \large { (a + b + c)^{2} = \left ( \left [ a + b \right ] + c \right )^2 = [a + b]^2 + 2 \cdot [a + b] \cdot c + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = } $$
$$ \large{ = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc }$$

Hacemos $a = 2; b = x y c = x^2$ y tenemos:

$$ \large { \left(2 + x + x^{2} \right)^{2} = 2^2 + x^2 + \left (x^2 \right )^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot x^2 + 2 \cdot x \cdot x^2 = } $$
$$ \large { = 4 + x^2 + x^4 + 4x + 4x^2 + 2x^3 = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x + 4 } $$

$$ \large { (a + b + c)^{3} = \left ( \left [ a + b \right ] + c \right )^3 = [a + b]^3 + 3 \cdot [a + b]^2 \cdot c + 3 \cdot [a + b] \cdot c^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3c \cdot (a^2 + 2ab + b^2) + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3b^2a + 3b^2c + 3c^2a + 3c^2b + 6abc } $$

$$ \displaystyle \large { \binom{5}{2} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^2 = \binom{5}{2} \cdot (x^3)^2 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x\ } \right )^3 } $$
$$ \displaystyle \large { 10 \cdot x^6 \cdot \dfrac{9}{\ x^2\ } = 10 \cdot x^6 \cdot \dfrac{-1}{\ x^3\ } \Rightarrow \cancel{10} \cdot x^4 \cdot 9 = - \cancel{10} \cdot x^3 \Rightarrow 9x^4 + x^3 = 0 \Rightarrow x^3 \cdot (9x + 1) = 0 \Rightarrow } $$
$$ \large { \Rightarrow \cases { \text{ Si } x = 0 \text{ no puede ser solución, ya que está en el denominador} \cr \cr \text{ Si } x = \dfrac{-1}{\ 9\ } \text{ sí es solución.} } } $$

$\bullet$ Vamos con el cuarto término, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:

$ \displaystyle \large { \binom{9}{3} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 3!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6!} }{ \cancel{6!} \cdot 3!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 }{3 \cdot 2 } = \dfrac{3 \cdot \cancel{3} \cdot 8 \cdot 7 }{\cancel{3} \cdot 2 } = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot \cancel{2} \cdot 7 }{ \cancel{ 2 } } = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 } $

$$ \displaystyle \large { T_4 = \binom{9}{3} \cdot (x)^6 \cdot \left ( y \right )^3 = 84x^6y^3 } $$


$\bullet$ Vamos ahora con el quinto término, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:

$ \displaystyle \large { \binom{8}{4} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot 5}{ 4 \cdot \cancel{3 \cdot 2} } = \dfrac{\cancel{4} \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5 }{ \cancel{4} } = 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70 } $

$$ \displaystyle \large { T_5 = \binom{8}{4} \cdot (2x)^4 \cdot \left ( -y \right )^4 = 70 \cdot 16 \cdot x^4y^4 = 1.120x^4y^4 } $$

Vamos con el término k-ésimo:

$ \displaystyle \large { T_k = \binom{7}{k - 1} \cdot ( 3x^2)^{8 - k} \cdot \left ( - \dfrac{1}{\ x\ } \right )^{k - 1} } $

Sólo nos dicen que el término k-ésimo es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:

$$ \displaystyle \large { (x^2)^{8 - k} \cdot \left ( x^{-1} \right )^{k - 1} = x^2 } $$
Y ahora planteamos una ecuación exponencial:

$$ \large { x^{16 - 2k} \cdot x^{-k + 1} = x^2 \Rightarrow 16 - 2k - k + 1 = 2 \Rightarrow 17 - 3k = 2 \Rightarrow 15 = 3k \Rightarrow k = 5 } $$
Vamos a comprobarlo, primero calculamos el número combinatorio:
$ \displaystyle \large { \binom{7}{4} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 }{ \cancel{6} } = 7 \cdot 5 = 35 } $

Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$

$ \displaystyle \large { T_5 = \binom{7}{4} \cdot ( 3x^2)^{3} \cdot \left ( - \dfrac{1}{\ x\ } \right )^{4} = 35 \cdot 27 x^6 x^{-4} = 945x^2 } $

Vamos con el sexto, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:

$ \displaystyle \large { \binom{9}{5} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 4!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 4!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} }{4 \cdot \cancel{6} } = \dfrac{9 \cdot 2 \cdot \cancel{4} \cdot 7 }{ \cancel{4} } = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126 } $

$$ \displaystyle \large { T_6 = \binom{9}{5} \cdot (3x)^4 \cdot \left ( -x \right )^5 = -126 \cdot 81 x^9 = -10.206 x^9} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com