Identidades trigonométricas II - Ejercicios con soluciones

Aguí tienes otra entrada de ejercicios de identidades trigonométricas por si los ejercicios de esta entrada te han parecido difíciles.

Sustituimos $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha$

$ = \dfrac{1 - \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha}{\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

Sustituimos $1 - \cos^2 \alpha = \sen^2 \alpha$ y en el denominador los $\sen^2 \alpha$ se cancelan; $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha}$

$ = \dfrac{2 \sen^2 \alpha}{ \cos^2 \alpha } = 2 \tg^2 \alpha $ ✓

Sustituimos $\sen 2\alpha = 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha $ y $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha$

$ = 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sen^3 \alpha = $

agrupamos los términos semejantes y nos queda

$ = \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sen^3 \alpha = $

sacamos factor común a $\sen \alpha $ y nos queda

$ = \sen \alpha \cdot \left ( \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \right ) = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \sen \alpha $ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha - \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta$

$ = \cos \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta) + \sen \alpha \cdot ( \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta ) = $

desarrollamos y nos queda

$ = \cos^2 \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \alpha \cdot \sen \beta + \sen^2 \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sen \beta = $

se cancelan los términos $\cos \alpha \cdot \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y sacamos factor común a $\cos \beta$ y tenemos

$ = \cos \beta \cdot \left ( \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \right ) = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \cos \beta $ ✓

Desarrollamos $\cos \left ( \dfrac{\pi}{4} - \alpha \right ) = \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \cos \alpha + \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \sen \alpha$

$ = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \cos \alpha + \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \sen \alpha \right ] = $

sabemos que $ \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$

$ = \sqrt{2} \cdot \left [ \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \cos \alpha + \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \sen \alpha \right ] = $

hacemos cuentas y

$ = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \cos \alpha + \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \sen \alpha = $

simplificamos y nos queda

$ = \sen \alpha + \cos \alpha $ ✓

sustituimos la $\sec A = \dfrac{1}{ \cos A}$ y la $\tg A = \dfrac{\sen A}{\cos A} $

$ = \dfrac{1}{ \cos^2 A} - \dfrac{\sen^2 A}{\cos^2 A} = \dfrac{1 - \sen^2 A}{\cos^2 A} $

sabemos que $ 1 - \sen^2 A = \cos^2 A$ luego

$ = \dfrac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = 1 $ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha - \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta$

y $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha + \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta - (\sen \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \beta) }{ \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta - (\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta) } = $

quitamos paréntesis y operamos

$ = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta - \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta }{ \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta - \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta } = $

Se cancelan en el numerador los términos $\sen \alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos \alpha \cdot \cos \beta$

$ = \dfrac{ -2 \cos \alpha \cdot \sen \beta }{ -2 \sen \alpha \cdot \sen \beta } = $

se simplifica en el numerador y denominador $ \sen \beta$ y el $-2$

$ = \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \cotg \alpha = \dfrac{1}{ \tg \alpha } $ ✓

Simplifica todo lo que puedas la siguiente expresión:

Sustituimos $\cos (2\alpha - \beta) = \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(2\alpha - \beta) = \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

y $\cos (2\alpha + \beta) = \cos 2\alpha \cdot \cos \beta - \sen 2\alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(2\alpha + \beta) = \sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta - (\cos 2\alpha \cdot \cos \beta - \sen 2\alpha \cdot \sen \beta) }{ \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta + (\sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta) } = $

quitamos paréntesis y operamos

$ = \dfrac{ \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta - \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta }{ \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta + \sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta } = $

Se cancelan en el numerador los términos $\cos 2\alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ 2 \sen 2\alpha \cdot \sen \beta }{ 2 \sen 2\alpha \cdot \cos \beta } = $

se simplifica en el numerador y denominador $ \sen 2\alpha$ y el $2$

$ = \dfrac{ \sen \beta }{ \cos \beta } = \tg \beta $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 1 + \tg \alpha \ \ }{\sec \alpha} $

Sustituimos $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} $ y $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ 1 + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \cos \alpha + \sen \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ \cos \alpha + \tg \alpha \ \ }{\cos \alpha \cdot \tg \alpha} $

Sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ \cos \alpha + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \cos \alpha \cdot \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador y en el denominador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \cos \alpha \cdot \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el término $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha + \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } = $

separamos en dos fracciones y nos queda

$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } + \dfrac{ \ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } = $

simplificamos en la $1^{\underline{a}}$ fraccción $\cos \alpha$ y en la $2^{\underline{a}}$ el $\sen \alpha$

$ = \dfrac{ \ \ \cos \alpha \ \ }{ \sen \alpha } + \dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } = \cotg \alpha + \sec \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{1 - \sen^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $

factorizamos $1 - \sen^4 \alpha = (1 - \sen^2 \alpha) \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha ) = $ sustituimos $ 1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha $ y qnos queda $1 - \sen^4 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha )$ sustituimos

$ = \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha )}{\cos^2 \alpha} = $

simplificamos $\cos^2 \alpha $ en el numerador y en el denominador y nos queda

$ = 1 + \sen^2 \alpha = $

sustituimos $ \sen^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $ y tenemos

$ = 1 + 1 - \cos^2 \alpha = 2 - \cos^2 \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{\tg 2\alpha} $

$$ \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{\tg 2\alpha} = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \dfrac{ \sen 2 \alpha }{ \cos 2 \alpha} } = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \dfrac{ 2 \sen \alpha \cos \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} } = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \ \ \dfrac{ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} } = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \left ( \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \right ) \ \ }{ 2 \sen \alpha \cos \alpha } = $$

$$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \ \ }{ \cos \alpha } = \cos \alpha - \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\cos \alpha} ✓ $$

Empezamos por $ \dfrac{ \tg (2 \alpha) }{1 + \sec (2 \alpha) } $

$$ \dfrac{ \tg (2 \alpha) }{1 + \sec (2 \alpha) } = \dfrac{ \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \cos 2\alpha } }{1 + \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{ \cos 2\alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \cos 2\alpha } }{\dfrac{ \ \ \cos 2\alpha + 1 \ \ }{ \cos 2\alpha } } = \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \ \ \cos 2\alpha + 1 \ \ } = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{1 + \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{ 2 \cos^2 \alpha } = $$

$$ = \dfrac{ \ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha } = \tg \alpha ✓ $$

Empezamos por transformar sumas y restas en productos, $\cos 5 \theta + \cos \theta = 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta $ y

en el denominador $ \sen 5 \theta - \sen \theta = 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \sen 2\theta $ sustituimos

$ \dfrac{ \cos 2 \theta + \cos 5 \theta + \cos \theta }{\sen 2 \theta + \sen 5 \theta - \sen \theta } = \dfrac{ \cos 2 \theta + 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta }{\sen 2 \theta + 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \sen 2\theta } $

sacamos factor común en el numerador a $\cos 2 \theta$ y en el denominador a $\cos 2 \theta$ nos queda

$ = \dfrac{ \cos 2 \theta \cdot ( 1 + 2 \cdot \cos 3\theta ) }{\sen 2 \theta \cdot (1 + 2 \cdot \cos 3\theta ) } $

simplificamos el factor $ 1 + 2 \cdot \cos 3\theta $ y tenemos

$ = \dfrac{ \ \ \cos 2 \theta \ \ }{ \sen 2 \theta } = \cotg 2\theta $ ✓

Aquí tienes el enlace a otra página con más ejercicios de identidades trigonométricas (III).

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Divisores naturales y enteros de un número entero.

 Vamos a ver como calcular los divisores naturales de un número entero. Vamos con un ejemplo.

Ejemplo 1: Calcular los divisores de 72:

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:

2. Tenemos el número como producto de potencias de números primos. Para calcular el número de divisores de un número, se multiplican los exponentes de los factores primos aumentados en una unidad. En este caso, los exponentes son 3 y 2, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:

$(3 + 1) \cdot (2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12 $ divisores naturales

3. Para calcular los mismos, construimos una tabla, en la parte superior, ponemos los divisores de una de las dos potencias de primos, por ejemplo, los divisores de $2^3$, que son: 1, $2^1$, $2^2$ y $2^3$ y en el parte lateral, los divisores de la otra potencia, la de $3^2$, es decir, 1, $3^1$ y $3^2$.

Ahora rellenamos la tabla, multiplicando el 1 por 1, 2, 4 y 8. El 3 por 1, 2, 4 y 8 y así sucesivamente. Es decir,

En esta tabla tenemos los 12 divisores naturales del número 72. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 24 divisores enteros del número 72. 

En este ejemplo, el número 72 es producto de dos potencias de números primos. Pero, ¿qué pasa si el número es potencia de tres o más números primos? Veamos otro ejemplo.

Ejercicios:

$ \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ \ 9 & 3 \Rightarrow 36 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{2} \\ \ 3 & 3 \\ \ 3 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{c}|{2}{c}{2}{c}{2}{c}} \ & 1 & 2 & \ 4 \ \ \ \\ \hline 1 & 1 & \ 2 & \ 4 \\ 3 & 3 & \ 6 & 12 \\ 9 & 9 & 18 & 36 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 75 & 3 \\ 25 & 5 \Rightarrow 75 = 3^\textcolor{red}{1} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ \ 5 & 5 \\ \ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{1} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 2 \cdot 3 = 6 \qquad \begin{array}{{2}{c}|{2}{c}{2}{c}{2}{c}} \ & 1 & \ 5 & \ 25 \ \ \ \\ \hline 1 & 1 & \ 5 & 25 \\ 3 & 3 & 15 & 75 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \Rightarrow 108 = 3^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{3} \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{3} + 1) = 3 \cdot 4 = 12 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 6 & 12 \\ 9 & 9 & 18 & 36 \\ 27 & 27 & 54 & 108 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 196 & 2 \\ 98 & 2 \\ 49 & 7 \Rightarrow 196 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 7^\textcolor{blue}{2} \\ 7 & 7 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 7 & 7 & 14 & 28 \\ 49 & 39 & 98 & 196 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 200 & 2 \\ 100 & 2 \\ 50 & 2 \Rightarrow 200 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 4 \cdot 3 = 12 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 5 & 5 & 10 & 20 & 40 \\ 25 & 25 & 50 & 100 & 200 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 225 & 3 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \Rightarrow 225 = 3^\textcolor{red}{2} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 5 & \ 25 \\ \hline 1 & 1 & 5 & 25 \\ 3 & 3 & 15 & 75 \\ 9 & 9 & 45 & 225 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 500 & 2 \\ 250 & 2 \\ 125 & 5 \Rightarrow 500 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 5^\textcolor{blue}{3} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{3} + 1) = 4 \cdot 4 = 16 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 5 & 10 & 20 \\ 25 & 25 & 50 & 100 \\ 125 & 125 & 250 & 200 \\ \end{array} $

Ejemplo 2: Vamos a calcular los divisores naturales de 1.400.

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:

2. Ahora calculamos el número de divisores. Cogemos los exponentes, les sumamos 1 y los multiplicamos. En este caso, los exponentes son 3, 2 y 1, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:

$(3 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ divisores naturales

3. Como tenemos 3 potencias de números primos, cogemos dos de ellos y hacemos la tabla anterior. Después haremos otra tabla más, en la parte superior pondremos los divisores ordenados obtenidos en la primera tabla y en el lateral, los divisores de la potencia del primo que nos queda. Vamos paso a paso.

4. Construimos la tabla con los divisores del $2^3$ en la parte superior y los de $5^2$ en el lateral:

5. Cogemos ahora los divisores calculados en la tabla anterior y los ponemos ordenados de forma creciente en la parte superior y en el lateral los divisores de 7:

6. Así hemos calculado los 24 divisores naturales de 1.400. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 48 divisores enteros del número 1.400. 

NOTA: Para calcular los divisores de un número, construiremos las tablas necesarias para ello, siempre será una tabla menos que el número de factores primos que aparecen en la descomposición del número que nos piden.

NOTA: Para calcular los divisores enteros de un número natural o entero, al calcular los divisores lo único que haremos será añadir el $\pm$ a cada uno de los divisores.

Ejercicios:

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \Rightarrow 300 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{1} \cdot 5^\textcolor{green}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 6 & 12 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 300:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 12 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 60 \\ 25 & 25 & 50 & 75 & 100 & 150 & 300 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \Rightarrow 360 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 3^\textcolor{blue}{2} \cdot 5^\textcolor{green}{1} \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) \cdot (\textcolor{green}{1} + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 6 & 12 & 24 \\ 9 & 9 & 18 & 36 & 72 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 360:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 8 & \ 9 & \ 12 & \ 18 & \ 24 & \ 36 & \ 72 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 9 & 12 & 18 & 24 & 36 & 72 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 40 & 45 & 60 & 90 & 120 & 180 & 360 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 600 & 2 \\ 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \Rightarrow 600 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 3^\textcolor{blue}{1} \cdot 5^\textcolor{green}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 6 & 12 & 24 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 600:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 8 & \ 12 & \ 24 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 12 & 24 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 40 & 60 & 120 \\ 25 & 25 & 50 & 75 & 100 & 150 & 200 & 300 & 600 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 980 & 2 \\ 490 & 2 \\ 245 & 5 \Rightarrow 980 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 5^\textcolor{blue}{1} \cdot 7^\textcolor{green}{2} \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 5 & 10 & 20 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 980:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & \ 1 & \ 2 & \ 4 & \ 5 & \ 10 & \ 20 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 5 & 10 & 20 \\ 7 & 7 & 14 & 28 & 35 & 70 & 140 \\ 49 & 49 & 98 & 196 & 245 & 490 & 980 \\ \end{array} $$

Ejercicio: calcula los divisores de 6300.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Calculadora de divisores
Calcula los divisores de un número.
Número

Demostraciones sin palabras.

 

Universidad de La Rioja - Seminario de problemas para ESO y Bachillerato.

En la Universidad de La Rioja, en Logroño, se desarrolla este seminario que está destinado a todos los alumnos de enseñanza de Secundaria y Bachillerato. Consiste en la propuesta de problemas matemáticos de distinta dificultad que los mismos alumnos deben resolver y explicar. Se desarrolla con periodicidad semanal.

Toda la información en este enlace: Seminario de problemas

Retos matemáticos

Matemáticas, enseñanza y educación; Educación, enseñanza y Matemáticas.Enseñanza, Matemáticas y educación.

¡Hola!

He visto esta foto sobre el trabajo de cualquier profesor y que queréis que os diga ... Así es el trabajo de un profesor.

El que se esfuerza, trabaja y lo merece aprueba. Veámoslo con una «regla de tres»:

La enseñanza y el aprendizaje es una carrera de fondo ...

En este vídeo de Ricardo Moreno Castillo, da una versión del sistema educativo español que me parece muy acertada ... pero no es políticamente correcta, ya que va en contra de la nuevas metodologías educativas. Que cada uno decida.

Cuando a alguien le importe de verdad la educación hará algo con la ratio y si no al tiempo. La realidad siempre supera a la ficción. Disfrutar esta versión de José Mota con las «ratios», ¡brutal!

Con tantas reformas educativas y laborales ...

Algo que se está perdiendo en la sociedad y sobre todo en la enseñanza es la «cultura del esfuerzo»

Hay un proverbio árabe que lo dice muy claro

Y algo más de educación no iría nada mal ...

El otro día vi un chiste que nos tiene, que nos debe hacer «reflexionar» sobre lo que queremos para nuestros hijos ...

y más para reflexionar ...

No podía faltar en esta sección una de las varias entrevistas-reflexiones que le hacen al juez de menores «Emilio Calatayud» como siempre nos invita a reflexionar. Merece la pena ver este vídeo.

Después de escuchar al juez Calatayud, recodemos a una persona que fue ministrable, lo de vergüenza ajena es poco. 

Iremos ampliando esta sección.