Una función es una regla que asigna a cada elemento $x$ (del conjunto inicial) un valor y sólo uno llamado imagen de $x$, se denota $f(x)$, (del conjunto final).
Una función relaciona dos magnitudes:
La variable independiente $x$, forma parte del conjunto inicial.
La variable dependiente $y$ o $f(x)$, que forma parte del conjunto final.
Con frecuencia se utiliza la expresión $y = f(x)$, que se lee «$y$ es igual a $f$ de $x$». Diremos que $f(x)$ es la imagen de $x$.
\[ \begin{array}{ll} f: & A \longrightarrow B \\ & x \ \longrightarrow y = f(x) \end{array}\] Una función puede definirse de varias formas:
- Definidas por un enunciado: Si un kilo de naranjas cuesta 0,70 €, la función que relaciona el peso en kilos (\(x\)) con el precio total en euros (\(y\)) se enuncia como: "el precio es igual a multiplicar 0,70 por la cantidad de kilos comprados". Su fórmula es \(f(x) = 0,70x\).
- Definidas por una tabla:
Hora ($x$) Temperatura en °C ($y$) 8:00 12 11:00 18 14:00 25 17:00 22 20:00 16 - Definidas por una gráfica:
Variable independiente (\(x\)): Distancia recorrida (en kilómetros).
Variable dependiente (\(y\)): Altitud (en metros).
- Definidas por una expresión analítica: $f(x) = \log_{2}(x)$
- $f(x) = x$ La función identidad, a cada número le toca el mismo.
- $f(x) = - x$ La función que calcula el opuesto de un número.
- $f(x) = \msqrt{x}$ La función que a cada número le asocia su raíz cuadrada positiva.
- $f(x) = |x|$ La función que a cada número le asocia su valor absoluto.
- $f(x) = 1$ La función constante, la función que a cada número le corresponde el 1. (o un número cualquiera). Si f(x) = 0, se llama la función nula.
A partir de la gráfica podemos saber saber si es una función o no. Basta con trazar una paralela al eje $Y$, el eje de ordenadas, y si corta en dos o más puntos a la gráfica no se corresponde con una función.
Dejo este applet de Geogebra para que practiques:
Dominio de una función:
$\bullet\ $ Dada un función $f(x)$, se llama dominio de la función al conjunto de valores para los que está definida la función. Veamos unos ejemplos: \[ f(x) = \msqrt{x} \] ¿Puedo calcular la raíz cuadrada de cualquier $x$ (númeor real)? La respuesta es que NO. Sólo podemos calcular la raíz cuadrada positiva de números reales positivos, luego el dominio de la función es el intervalo infinito $[0, +\infty)$ y se denota: \[ \domin{f}{x} = [0, +\infty) \] $\bullet\ $ Sea la función $g(x) = x^{-1} = \mfrac{1}{x}$, la que a cada número le corresponde su inverso. ¿Dominio? ¿Puedo calcular el invesro de cualquier número? La respuesta es que NO, todos los números tienen inverso salvo el cero. \[ \domin{g}{x} = \R \setminus \{ 0 \} \] $\bullet\ $ Sea la función $h(x) = |x| $, la función que a cada número le asocia su valor absoluto. ¿Dominio? No hay ninguna restriccón, podemos calcular el valor absoluto de cualquier número, luego el dominio es todos los reales. \[ \domin{h}{x} = \R \] $\bullet\ $ Sea la función $j(x) = \log_{2}(x) $, la función que a cada número le asocia su logaritmo en base 2. ¿Dominio? Sólo puedo calcular el logaritmo de números positivos. \[ \domin{j}{x} = (0, +\infty) \] Comentarios sobre los dominios:
- Si una función tiene una expresión polnómica, el dominio es todos los reales.
- Si una función es un cociente de dos polinomios, el dominio será todos los reales excepto las raíces del denominador.
- Si una función es una raíz de índice par, la expresión del radicando sólo puede ser positiva.
- Si una función es una raíz de índice impar, la expresión del radicando es independiente del signo del radicando.
- Si la función es un logaritmo, recordemos que sólo podemos calcular el logaritmo de expresiones positivas.
Al ser una función con una expresión polinómica, el dominio de $f(x)$ es todo $\R$.
Recorrido de un función:
Es el conjunto dónde la función nos devuelve los valores que puede tomar. No siempre es fácil de calcular. Veamos unos ejemplos.
$\bullet\ $ Dada un función $f(x) = \msqrt{x}$, esta función siempre nos devuelve valores mayores o iguales que cero, luego su recorrido o imagen es el intervalo $ \recor{f}{x} = \imagn{f}{x} = [0, +\infty]$. Podemos poner la función así: \[ \begin{array}{lccl} g: & [0, +\infty] & \longrightarrow & [0, +\infty] \\ & x & \longrightarrow & \msqrt{x} \end{array} \] $\bullet\ $ Sea la función $g(x) = x^{-1} = \mfrac{1}{x}$, ¿cuál es su recorrido? Todos los números tienen inverso salvo el cero. Luego el $ \recor{f}{x} = \imagn{f}{x} = \R \setminus \{ 0 \} $ \[ \begin{array}{lccl} f: & \R \setminus \{ 0 \} & \longrightarrow & \R \setminus \{ 0 \} \\ & x & \longrightarrow & \mfrac{1}{x} \end{array} \] $\bullet\ $ Sea la función $h(x) = |x| $. ¿cuál es su recorrido? Esta función nos devuelve valores mayores o iguales que cero. Luego su recorrido o imagen es el intervalo $ \recor{f}{x} = \imagn{f}{x} = [0, +\infty]$. Podemos poner la función así: \[ \begin{array}{lccl} h: & \R & \longrightarrow & [0, +\infty] \\ & x & \longrightarrow & |x| \end{array} \] $\bullet\ $ Sea la función $i(x) = 3 $ (o la constante que queramos. ¿Cuál es el recorrido o imagen de esta función? El número 3, es decir, $ \recor{i}{x} = \imagn{i}{x} = \{ 3 \}$. \[ \begin{array}{lccl} i: & \R & \longrightarrow & \{ 3 \} \\ & x & \longrightarrow & 3 \end{array} \] $\bullet\ $ Sea la función $j(x) = \log_{2}(x)$. ¿Cuál es el recorrido o imagen de esta función? El exponente que hay que poner a 2 para que nos de otro número es cualquier número real. $ \recor{j}{x} = \imagn{j}{x} = \R$. \[ \begin{array}{llcl} j: & (0, +\infty) & \longrightarrow & R \\ & x & \longrightarrow & \log_{2}(x) \end{array} \] Una función $f$:
$$\large \fbox{ \( \begin{array}{lccl} f: & \domin{f}{x} & \longrightarrow & \recor{f}{x} \\ & x & \longrightarrow & y = f(x) \end{array} \) } $$
Simetrías:
$\bullet \ f(x) $ es par si cumple $f(x) = f(-x)$. La función toma los mismos valores en $x$ que en sus opuestos $-x$. La gráfica es simétrica respecto del eje $Y$.
Ejemplos: $f(x) = x^2$
\[ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \] $g(x) = \sen(x)$
\[ g(-x) = \sen(-x) = \sen(x) = g(x) \] $\bullet \ f(x) $ es impar si cumple $f(x) = -f(-x)$. La función toma valores opuestos en $x$ que en $-x$. La gráfica es simétrica respecto del origen. Si la giramos $\gss{180}$ o $\pi$ radianes la gráfica es la misma.
Ejemplos: $f(x) = x^3$
\[ f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) \] $g(x) = \cos(x)$
\[ g(-x) = \cos(-x) = -\cos(x) = -g(x) \] Aquí tienes un applet de Geogebra para que practiques:
Con las funciones se pueden hacer las operaciones básicas: $+, - , \times \text{ y } \div$.
Y se cumple: \[ \text{Dom}\, (f \pm g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) \] \[ \text{Dom}\, (f \cdot g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) \] \[ \text{Dom}\, (f \div g) (x) = \text{Dom}\, \left (\mfrac{f}{g} \right ) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) \setminus \{ x_0 | g(x_0) = 0 \} \] Ejemplos: Sean $f(x) = x^3 + 1$ y $g(x) = x^2 + 5x + 6$:
$ \text{Dom}\, f(x) = \R $ y $\text{Dom}\, g(x) = \R$
$f(x) + g(x) = x^3 + x^2 + 5x + 7$ \[ \text{Dom}\, (f + g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) = \R \cap \R = \R \] $f(x) + g(x) = x^3 - x^2 - 5x - 5$ \[ \text{Dom}\, (f - g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) = \R \cap \R = \R \] $f(x) \cdot g(x) = (x^3 + 1)(x^2 + 5x + 6) = x^5 + 5x^4 + 6x^3 + x^2 + 5x + 6$ \[ \text{Dom}\, (f \cdot g) (x) = \text{Dom}\, f(x) \cap \text{Dom}\, g(x) = \R \cap \R = \R \] $f(x) \div g(x) = \mfrac{x^3 + 1}{x^2 + 5x + 6} $, veamos cuando se anula el denominador: \[ x^2 + 5x + 6 = 0 \text{ Aplicando Cardano-Vieta, las raíces son } -2 \text{ y } - 3\] \[ \text{Dom}\, (f \div g) (x) = \text{Dom}\, \left (\mfrac{f}{g} \right ) (x) = \R \cap \R \setminus \{x_0 | g(x_0) = 0 \} = \R \setminus \{ -2, -3 \} \] Además con las funciones aparece una nueva operación, la composición de funciones, se denota con el símbolo $\circ$, se expresa $\left (g \circ f \right )(x)$ y se lee «$f$ compuesto con $g$», primero actua $f$ y después $g$: \[ \left (g \circ f \right ) (x) = g \left ( f(x) \right ) \] También se puede hacer «$g$ compuesto con $f$», se expresa $\left (f \circ g \right )(x)$: \[ \left (f \circ g \right ) (x) = f \left ( g(x) \right ) \] Ejemplo: Sean $f(x) = x + 2$ y $g(x) = \msqrt{x}$:
Si hacemos «$f$ compuesto con $g$», primero aplicamos $f$ y después aplicamos $g$: \[ \left (g \circ f \right ) (x) = g \left ( f(x) \right ) = g \left ( x + 2 \right ) = \msqrt{ x + 2 } \] Y si hacemos «$g$ compuesto con $f$», primero aplicamos $g$ y después aplicamos $f$: \[ \left (f \circ g \right ) (x) = f \left ( g(x) \right ) = f \left ( \msqrt{x} \right ) = \msqrt{ x } + 2 \] Lo primero que vemos es que $ \left (g \circ f \right ) (x) \neq \left (f \circ g \right ) (x) $, es decir, la composición de funciones NO es una operación conmutativa. Puede ocurrir que alguna vez puntual se cumpla la igualdad, pero son excepciones.
La composición de funciones de puede hacer con 2 funciones, con 3, con 4 ... sin límite: \[ \left (h \circ g \circ f \right ) (x) = h \left [ g \left ( f(x) \right ) \right ] \] Supongamos que tenemos las siguientes tres funciones: \(h(x) = x + 1, g(x) = 2x \text{ y } f(x) = x^2 \). Queremos calcular la siguiente composición \((f \circ g \circ h)(x)\): \[ (f \circ g \circ h)(x) = f [ g( h(x) ) ] = f [ g( x + 1 ) ] = f ( 2(x + 1) ) = [ 2(x + 1) ]^2 = (2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4 \]
$$\large \fbox{ Función inversa} $$
Si una función \(f\) convierte una entrada \(x\) en un resultado \(y \text{ o } f(x)\), su función inversa (escrita como \(f^{-1}\)) toma ese resultado \(y \text{ o } f(x)\) y lo regresa al valor original \(x\). Veamos un ejemplo sencillo:
\[ f(x) = 2x \implies f(3) = 6 ; f(1) = 2 \] \[ f^{-1}(x) = \mfrac{x}{2} \implies f^{-1}(6) = 3; f^{-1}(2) = 1 \] ¿Qué ocurre si hacemos la composición de $f$ y de $f^{-1}$ o viceversa? Primero hacemos la composición de $f$ y de $f^{-1}$
\[ \left ( f^{-1} \circ f \right) (x) = f^{-1} (f(x) ) = f^{-1}(2x) = \mfrac{2x}{2} = x \] Ahora vamos a hacer la composición de $\invrs{f}$ y de $f$: $\domin{f}{x}$ \[ \left ( f \circ \invrs{f} \right) (x) = f(\invrs{f}(x) ) = f\left( \mfrac{x}{2} \right) = 2 \cdot \mfrac{x}{2} = x \] Conclusión, cuando componemos una función $f$ con su inversa $\invrs{f}$ siempre nos da la función identidad. Y además da igual el orden a la hora de componer una función con su inversa o la inversa con la función original y el resultado siempre es la identidad.
$$\large \fbox{ $\left ( f^{-1} \circ f \right) (x) = \left ( f \circ \invrs{f} \right) (x) = x$ } $$
Una función y su inversa son simétricas respecto de la recta $y = x$, la bisectriz del primer-tercer cuadrante.
Aquí dejo un applet de GeoGebra para que compruebes algunas parejas de funciones inversas:
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com