Cosas para clase

1. Calcula la altura de las tres figuras.
   
   
2. 
   
   
3. Calcula la altura de la carreta.
   
4. ¿Qué número va en cada cuadro de color?
   
5. $$ \text{ Si } \mfrac{ 1 }{ x + 2567 } = 2567; \text{ ¿cuánto vale } \mfrac{ 1 }{ x + 2568 } \text{?} $$
6. El número misterioso:
   $N$ es un número de tres cifras. Las cifras de $N$ se pueden intercambiar y forman cinco nuevos números de tres cifras. Si sumamos estos cinco nuevos números de tres cifras nos da 2022. ¿Cuál es el número $N$?
   
   
7. Un tipo entra a una tienda y le roba al dueño un billete de 100€ de la caja sin su consentimiento. Luego compra por valor de 70€ en productos de la tienda y el dueño le devuelve 30€. ¿cuánto dinero perdió el dueño de la tienda?
   
   
8. Rellenar los círculos del 1 al 9, de forma que cada triángulo sume quince.
   
9. 
   
   
10. Cuatro personas tienen que cruzar un puente, el cual soporta el peso de dos, cuentan con una linterna y una tiene que volver con ella para las otras. Si: la primera tarda 10 minutos en cruzar, la segunda tarda 5 minutos, la tercera tarda 2 minutos y, la cuarta tarda 1 minuto, ¿cuál el menor tiempo que tardan en cruzar las cuatro personas?
11. ¿Cuánto triángulos ves en la figura?
    
12. 
    Una de «álgebra»:
    
13. 
    Una de cifras:
    
    
    
14. 
    
    
    
    
15. ¿Cuánto cuadrados ves en la figura?
    
16. ¿y ahora?
    


17. Coge un número al azar entre 1 y 9, multiplícalo por 9 y después por 123456789. ¿Qué pasa?


18. Número de Krapecar 6174
    
    
    1. Elige un número de 4 cifras que esté formado por al menos dos dígitos diferentes. Por ejemplo: 9876
    2. Ordena las cifras de forma descendente. En nuestro ejemplo anterior sería: Ejemplo: 9876.
    3. Ahora ordena las cifras de forma ascendente, es decir, de menor a mayor: Ejemplo: 6789.
    4. Resta al número mayor el más pequeño: Ejemplo: 9876 – 6789 = 3087.
    5. Con el número obtenido en el paso 4 repite los pasos del 2 al 4. Ejemplo: 8730 - 0378 = 8352
    6. Con el número obtenido en el paso 5 repite los pasos del 2 al 4. Ejemplo: 8532 - 2358 = 6174
    
    
19. Las fecha en el calendario gregoriano y arabe:
    
    Calendario gregoriano
    Calendario árabe
20. 
21. Conjetura de Collatz: Aplicable a cualquier número entero positivo:
    • Si el número es par, se divide entre 2.
    • Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.
    Ejemplo: Empezamos con el número 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
    
    
    Serie de Collatz del número
    
    
    


22. Números de FRIEDMAN
Un número de Friedman es un número natural que se puede escribir de manera no trivial utilizando sus propias cifras junto con los paréntesis y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación.

Por ejemplo: $25 = 5^2$ y $126 = 21·6$


Si un número de Friedman tiene la propiedad adicional de que los dígitos en la fórmula se utilizan en el mismo orden en el que aparecen en el número, el número de Friedman se llama simpático.

Por ejemplo: $343 = (3 + 4)^3$.




Aquí tenéis la lista de los primeros 45 números de Friedman (en negrita los que son simpáticos):

25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125 y 3159.






23. La figura de abajo muestra un triángulo grande de lados iguales (a) dividido por tres segmentos en siete partes. Las tres partes grises son triángulos de lados iguales de longitud 5 cm, mientras que el triángulo negro tiene lados iguales de longitud 2 cm. ¿Cuál es la longitud del lado del gran triángulo ABC?
    
24. 
    
    


25. ¿Cuáles son los posibles valores de $a$? \[ \Huge{ \begin{array}{ccccc} & x & y & x & y \\ \times & & & & a \\ \hline \\ & 8 & 4 & 8 & 4 \end{array} } \]


26. ¿Cuál es el área del círculo exterior si es un 20 % mayor que el interior?
    
    1. $20\pi$
    2. $25\pi$
    3. $30\pi$
    4. No sabe/No contesta


27. ¿Cuál es el área de esta figura?
    
    a) 56 m b) 72 m c) 80 m d) 112m
    
    a) 3 b) 4 c) 12 d) 24 e) No sabe
    No contesta


28. Calcula la alura del hombre y del pájaro:
    


29. Hay que llenar las casillas en blanco con los números del 1 al 9, sin repetirlos, de manera que se obtenga el resultado indicado en cada fila y columna:
    
30. Calcula el número \( ABCD \):
    
    


31. ¿Cuál es el peso del contendor vacío?
    


32. Hay que volver a llenar las casillas en blanco con los números del 1 al 9, sin repetirlos, de manera que se obtenga el resultado indicado en cada fila y columna:
    


33. Supongamos que tenemos 3 vasos y 10 monedas. Tenemos que colocar un número impar de monedas en cada vaso, es decir, cada vaso debe contener monedas y el número de monedas en cada vaso debe ser impar y el total de monedas que se utilizarán debe ser igual a 10.
    
34. 
    Calcula el valor de \( a \):
    
35. Pensemos ...
    
36. 
37. A un rectángulo morado le hemos quitado un rectángulo como se observa en la figura:
    
    
    Dibuja una línea recta que divida la parte morada en dos partes iguales y una breve explicación sobre que dicha línea es la correcta.
    
    No puedes tomar medidas, sólo dibujar rectas y todo aquello que te ayude a encontrar la solución al ejercicio propuesto.
    
    
38. Vamos a jugar al Numble, con 6 números y las operaciones aritméticas básicas, conseguir el número objetivo:
    
39. Calcula el radio de la circunferencia:
    
    



40. Calcula YARA:
    
    



41. 
    
    



42. Vamos a jugar a acertar el número, en verde si hemos acertado la posición del número y en naranja si hemos acertado el número pero no la posición:
    
43. Completar este cuadrado mágico para que estén todos los números de 0 a 15, uno en cada casilla, y la suma de sus filas, columnas y diagonales sea igual. (Ayuda: (0+1+2+...+15)/4 es la suma de cada fila).
    
44. 
    
    ¿Ya te rindes? ¡¡¡ Inténtalo un poco más !!!
    
    Para saber la solución manda un correo a profesor.maties@gmail.com.
    
    


45. Número feliz: sumamos los cuadrados de las cifras que componen el número, si al reiterar este proceso obtenemos el número 1, dicho número es feliz.
    Veamos unos ejemplos:
    $\bullet\ $ ¿el 23 es un número feliz?
    $23 \Rightarrow 2^2 + 3^2 = 13 \Rightarrow 1^2 + 3^2 = 10 \Rightarrow 1^2 + 0^2 = 1$ luego el número 23 es feliz.
    $\bullet\ $ ¿el 4 es un número feliz?
    $ 4 \Rightarrow 4^2 = 16 \Rightarrow 1^2 + 6^2 = 37 \Rightarrow 3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58 \Rightarrow 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 \Rightarrow 8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145 \Rightarrow $
    $1^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 16 + 25 = 42 \Rightarrow 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \Rightarrow 2^2 + 0^2 = 4$, así el 4 no es un número feliz. <
    • ¿Todos los números son felices o tristes?
    • ¿Hay un número finito de números felices? ¿y tristes?
    • ¿Hay más felices o tristes?
    • ¿Cómo se comportan?
    • ¿Entre los 100 primeros hay más tristes o felices?


46. Calcula el área total de los dos cuadrados.
    


47. Vamos a hacer un crucigrama diferente, sí de números:
    


48. De @aomatos, más cosas en su web hay muchas cosas buenas e interesantes.
    
    ¿Cuántos cuadrados pueden hacerse con los vértices en la trama de puntos?
    


49. Calcula el área del círculo:
    
    
    


50. Rellena los cuadrados con los números que faltan:
    


51. Seguiremos añadiendo cosas ...

Ejercicios «diferentes» o encontrados por la web

Vamos a estrenar este entrada con otro tipo de ejercicios, diferentes a los que se ven en clase (¡espero!) ...

Las soluciones son $x = -4, x = -3, x = 5$ y $x = 7$

Si $x^2 + x = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 - x $

Entonces $x^4 = \left ( x^2 \right )^{2} = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 = 1 - 2x + 1 - x = 2 - 3x$

Luego $x^5 = x \cdot x^4 = x \cdot(2 - 3x) = 2x - 3x^2 = 2x - 3(1 - x) = 2x - 3 + 3x = 5x - 3$

Entonces $x^5 + 8 = 5x - 3 + 8 = 5x + 5 = 5 \cdot (x + 1)$
$$ \dfrac{\ \ x^5 + 8\ \ }{x + 1} = \dfrac{\ \ 5 \cdot(x + 1)\ \ }{x + 1} = 5 $$

$ 1 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 \Rightarrow 1 = \sin^{6} \theta + 3\sin^4 \theta \cos^2 \theta + 3\sin^2 \theta \cos^4 \theta + \cos^{6} \theta $

$ 1 = \dfrac{1}{4} + 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{4} + 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta $

Luego

$ 1 - \dfrac{1}{4} = 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta \Rightarrow \dfrac{3}{4} = 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta \Rightarrow \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \dfrac{1}{4} $

$ \dfrac{1}{\sin^{6} \theta} + \dfrac{1}{\cos^{6} \theta} = \dfrac{\ \ \sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta \ \ }{\sin^{6} \theta \cdot \cos^{6} \theta} = \dfrac{ \ \ \dfrac{1}{4} \ \ }{ \left ( \dfrac{1}{4} \right )^3 } = \dfrac{\ \ 4^3 \ \ }{ 4 } = 4^2 = 16 $

Tenemos que poner $2^{56}$ y $4^{26}$ como potencias de 8.

Como $8 = 2^3$, así $2^{56} = 2^{3 \cdot 18 + 2} = 2^{3 \cdot 17 + 5} = 2^{3 \cdot 17} \cdot 2^5 = 2^5 \cdot 8^{17}$ y $4^{26} = 2^{52} = 2^{3 \cdot 17 + 1} = 2 \cdot 2^{3 \cdot 17} = 2 \cdot 8^{17}$

sustituyendo tenemos:

$ 2^{56} - 4^{26} = 2^5 \cdot 8^{17} - 2 \cdot 8^{17} = 8^{17} \cdot (32 - 2) = 8^{17} \cdot 30 $

Para acabar:

$ 8^x = \dfrac{\ \ 2^{56} - 4^{26}\ \ }{30} = \dfrac{\ \ 8^{17} \cdot 30 \ \ }{30} = \dfrac{\ \ 8^{17} \cdot \xcancel{30} \ \ }{ \xcancel{30} } = 8^{17} \Rightarrow x = 17 $

Aplicamos la propiedad del logaritmo $\ln a^p = p \cdot \ln a$ y tenemos que:

$ \left ( \ln x \right )^{\ln x} = \ln x^{\ln x} \Rightarrow \left ( \ln x \right )^{\ln x} = \left ( \ln x \right )^2 $

Tenemos entonces dos opciones: $$ \left \{ \begin{array}{l} \ln x = 2 \Rightarrow x = e^2 \cr \cr \ln x = 1 \Rightarrow x = e \cr \end{array} \right. $$ Comprobación:

Si $x = e \Rightarrow \left ( \ln e \right )^{\ln e} = \ln e^{\ln e} \Rightarrow 1^1 = \ln e^1 \Rightarrow 1 = \ln e \checkmark $

Si $x = e^2 \Rightarrow \left ( \ln e^2 \right )^{\ln e^2} = \ln (e^2)^{\ln e^2} \Rightarrow 2^2 = \ln (e^2)^2 \Rightarrow 4 = \ln e^4 \Rightarrow 4 = 4 \checkmark $

Aplicamos la propiedad del logaritmo $\ln a^p = p \cdot \ln a$ y tenemos que:

$$ \ln \sqrt[3]{x} = \sqrt{\ \ln x\ } $$ Comprobación:

$ \checkmark $

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com