Operaciones combinadas de fracciones.

¿Qué es una fracción? Una fracción es una forma de representar una parte de un todo o una división entre dos números. Se escribe con dos números separados por una línea: \[ \mfrac{a}{b} \] donde:

• $a$ se llama numerador, indica cuántas partes tomamos.
• $b$ se llama denominador, indica en cuántas partes iguales se ha dividido el todo.

Ejemplo:

Si partes una tarta en 4 porciones iguales y te comes 1, has comido una cuarta parte, es decir: \( \mfrac{1}{4}\)

Definiciones:

Si el numerador es menor que el denominador, se le dice fracción propia. Por ejemplo: \( \mfrac{3}{5}\)

Si el numerador es igual o mayor, se le dice fracción impropia. Por ejemplo: \( \mfrac{11}{5}\) o \( \mfrac{6}{6} = 1\)

También puede representar una división: \( \mfrac{3}{4} \) = 3 ÷ 4 = 0,75

En una fracción, la palabra numerador proviene del latín «numerator» («el que cuenta») y la palabra denominador proviene de «denominator» («el que designa»). Por lo tanto, el denominador indica por qué factor dividimos, y el numerador indica cuántas partes de esta división tomamos.

¿Qué es una operación combinada con fracciones? Es un grupo de fracciones en las que aparecen sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces de fracciones. Veamos unos ejemplos:

$$ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} \qquad \text{ y } \qquad \dfrac{\ \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 2\ }{3} : \dfrac{\ 2\ }{5} - \left ( \ 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} \ }{\ \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} \ } $$

• Suma y resta de fracciones
  Lo $1^{\underline{o}}$ que nos preguntamos: ¿tienen el mismo denominador?
  Si lo tienen, para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, entonces se suman los numeradores como números enteros que son y se deja el mismo denominador.
  Si no lo tienen, reducimos las fracciones a común denominador y se suman o restan las fracciones obtenidas ya con el mismo denominador.
  Hay que tener «mucho cuidado» a la hora de calcular el común denminador usando el mínimo común múltiplo.
  Ejemplos: $$ \dfrac{\ 6 \ }{11} - \dfrac{\ 2 \ }{11} = \dfrac{\ 4 \ }{11} \qquad \qquad \dfrac{\ 4 \ }{13} + \dfrac{\ 3 \ }{13} = \dfrac{\ 7 \ }{13} $$ $$ \dfrac{\ 1 \ }{2} - \dfrac{\ 1 \ }{3} = \dfrac{\ 3 \ }{6} - \dfrac{\ 2 \ }{6} = \dfrac{\ 1 \ }{6} \qquad \qquad \dfrac{\ 1 \ }{2} + \dfrac{\ 1 \ }{3} = \dfrac{\ 3 \ }{6} + \dfrac{\ 2 \ }{6} = \dfrac{\ 5 \ }{6} $$
• Multiplicar fracciones
  
  
  No tienen que tener el mismo denominador La multiplicación de dos o más fracciones se realiza «en línea», es decir, el numerador del producto será el producto de los numeradores, y el denominador del producto será el producto de los denominadores: Ejemplos: $$ \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{7}{4} = \dfrac{3 \cdot 7}{2 \cdot 4} = \dfrac{21}{8} $$ $$ \dfrac{5}{11} \cdot \dfrac{12}{11} = \dfrac{5 \cdot 12}{11 \cdot 11} = \dfrac{60}{121} $$
• Dividir fracciones
  No tienen que tener el mismo denominador
  
  La división de dos fracciones se realiza «en cruz» o «caramelo», es decir, el numerador del cociente será el producto del numerador de la $\odn{1}{a}$ fracción por el denominador de la $\odn{2}{a}$ fracción, y el denominador del cociente será el producto del denominador de la $\odn{1}{a}$ fracción por el numerador de la $\odn{2}{a}$ fracción: Ejemplos: $$ \dfrac{3}{11} : \dfrac{5}{4} = \dfrac{3 \cdot 4}{11 \cdot 5} = \dfrac{12}{55} $$ $$ \dfrac{4}{5}: \dfrac{7}{9} = \dfrac{4 \cdot 9}{5 \cdot 7} = \dfrac{36}{ 35} $$

¿Qué pasos seguir para calcular el resultado de una operación combinada? Para saber en que orden debemos realizar las operaciones debemos tener en cuenta la jerarquía de las operaciones:

$$ \begin{array}{|C{1.75cm}|C{14cm}|} \hline \ \ \ \ 1^{\underline {o}} \ \ \ \ & \ \ \ \ \ \ \ Par\acute{e}ntesis \ (\ ), corchetes \ [\ ] \ o \ llaves \ \{ \ \} \ \ \ \ \ \ \ \\ \hline 2^{\underline {o}} & Potencias \ y \ raíces \\ \hline 3^{\underline {o}} & Multiplicaciones \ y \ divisiones \\ \hline 4^{\underline {o}} & Sumas \ y \ restas \\ \hline \end{array} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el producto y después la suma: $$ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{\ \cancel{3}\ } \cdot \dfrac{\ \cancelto{2}{6}\ }{5} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, es decir, la suma y después el producto: $$ \left ( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{6}{5} = \left ( \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} \right ) \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{7}{\ \cancelto{2}{12}\ } \cdot \dfrac{ \cancel{6}\ }{5} = \dfrac{7}{10} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el producto y después la resta: $$ 1 - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = 1 - \dfrac{2}{15} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{13}{15} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, la resta, y después el producto: $$ \left ( 1 - \dfrac{2}{3} \right ) \cdot \dfrac{1}{5} = \left ( \dfrac{3}{3} - \dfrac{2}{3} \right ) \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{15} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el producto y después la suma: $$ - \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = - \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ \cancelto{2}{4}\ }{3} \cdot \dfrac{1}{\ \cancel{2}\ } = - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = 0 $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y después el producto. La operación del paréntesis se puede hacer poniendo el mismo denominador a todas las fracciones u operación a operación que es como hemos elegido en este caso: $$ \left ( -1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{6}{5} = \left ( - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{6}{5} = \left ( \dfrac{-3}{6} - \dfrac{2}{6} \right ) \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{-5}{6} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{-5}{\ \xcancel{6}\ } \cdot \dfrac{ \ \xcancel{6}\ }{5} = \dfrac{\ -5\ }{5} = -1 $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los productos y después la suma y la resta poniendo a todas las fracciones el mismo denominador: $$ - \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = - \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{4}{\ 15\ } - \dfrac{6}{\ 15\ } = - \dfrac{6}{15} + \dfrac{4}{15} - \dfrac{6}{15} = \dfrac{-12 + 4}{15} = \dfrac{-8}{15} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, después el producto la suma y por último la resta: $$ \left ( - \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = \left ( - \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} \right ) \cdot \dfrac{4}{5} - \dfrac{6}{15} = - \dfrac{1}{15} \cdot \dfrac{4}{5} - \dfrac{6}{15} = \dfrac{-4}{75} - \dfrac{30}{75} = \dfrac{-34}{75} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos primeros los productos y después poniendo el mismo denominador las sumas y las restas: $$ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\ 4\ }{9} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{\ \cancel{4}\ } \cdot \dfrac{\ \cancelto{2}{8}\ }{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $$
$$ = \dfrac{18}{\ 36\ } + \dfrac{\ 16\ }{36} - \dfrac{3}{\ 36\ } + \dfrac{\ 120\ }{36} = \dfrac{\ 18 + 16 - 3 + 120\ }{36} = \dfrac{151}{36} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, después el producto que está más a la derecha, después el producto que está a la izquierda y después el resto de operaciones: $$ \left ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{\ \cancel{4}\ } \cdot \dfrac{\ \cancelto{2}{8}\ }{3} = \left ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \right ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{5}{\ 6\ } \cdot \dfrac{4}{\ 3\ } - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $$
$$ = \dfrac{5}{\ \cancelto{3}{6}\ } \cdot \dfrac{ \ \cancelto{2}{4}\ }{ 3 } - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{10}{9} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{40}{36} - \dfrac{3}{36} + \dfrac{120}{36} = \dfrac{157}{36} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y después el producto. La operación del paréntesis se puede hacer poniendo el mismo denominador a todas las fracciones u operación a operación que es como hemos elegido en este caso: $$ \left ( 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{2}{5} = \left ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \right ) \cdot \dfrac{2}{5} = \left ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \right ) \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{\ \cancel{5}\ }{6} \cdot \dfrac{2}{\ \cancel{5}\ } = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos la resta, ya qué es muy sencilla, después el producto y para terminar la suma: $$ 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{15}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{19}{30} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los productos, como queda el mismo denominador haremos la resta y a la suma a la vez. En esta ocasión de nada sirve simplificar: $$ - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = - \dfrac{4}{14} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{5}{14} = - \dfrac{1}{14} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y después los productos y después la suma. El producto que está más a la derecha se puede hacer a la vez que el paréntesis: $$ - \dfrac{1}{2} \cdot \left ( \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} \right ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = - \dfrac{1}{2} \cdot \left ( \dfrac{8}{14} - \dfrac{2}{14} \right ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = $$
$$ = - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{14} + \dfrac{5}{14} = - \dfrac{1}{ \cancel{2}\ } \cdot \dfrac{\ \cancelto{3}{6}\ }{14} + \dfrac{5}{14} = - \dfrac{3}{14} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{7} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y después simplificaremos las fracciones que podamos, luego la división y por último el resto de operaciones: $$ \dfrac{17}{9} - \dfrac{15}{5} + \dfrac{4}{3} : \left ( \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{15} \right ) + \dfrac{14}{3} : \dfrac{16}{8} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \left ( \dfrac{3}{15} + \dfrac{10}{15} - \dfrac{1}{15} \right ) + \dfrac{14}{3} : 2 = $$
$$ = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{12}{15} + \dfrac{14}{6} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{\ \cancelto{4}{12}\ }{\cancelto{5}{15} } + \dfrac{14}{6} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{4}{5} + \dfrac{7}{3} = $$
$$ = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{5}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{17}{9} - 3 + 4 = \dfrac{17}{9} + 1 = \dfrac{17}{9} + \dfrac{9}{9} = \dfrac{26}{9} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos a la vez la división y el paréntesis, simplificaremos todo lo que podamos. Después haremos el producto y al final la suma: $$ \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{3} : \dfrac{5}{6} \cdot \left ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{10}{9} + 4 \right ) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{ 4 \cdot \cancelto{2}{6}\ }{ \cancel{3} \cdot 5 } \cdot \left ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{\ \cancel{3}\ }{2} \cdot \dfrac{10}{\ \cancelto{3}{9}\ } + 4 \right ) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{8}{5} \cdot \left ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{\ \cancel{10}{5}\ }{ \cancel{2} \cdot 3\ } + 4 \right ) = $$
$$ = \dfrac{1}{3} + \dfrac{8}{5} \cdot \left ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{\ 5\ }{3} + 4 \right ) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\ 8\ }{ 5 } \cdot \left ( \dfrac{3}{6} - \dfrac{10}{6} + \dfrac{24}{6} \right ) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{17}{6} = $$
$$ = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\ \cancel{8}{4}\ }{5} \cdot \dfrac{17}{\ \cancelto{3}{6}\ } = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\ 4\cdot 17\ }{\ 5 \cdot 3\ } = \dfrac{5}{15} + \dfrac{68}{15} = \dfrac{73}{15} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos a la vez el producto, el paréntesis y la divisón, simplificaremos todo lo que podamos. Después haremos el producto y al final el resto de operaciones: $$ \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{5} \cdot \left ( 2 + \dfrac{1}{2} \right ) - \dfrac{7}{3} + 4 : \dfrac{6}{5} = \dfrac{4}{5} - \dfrac{\ \xcancel{7}\ }{\ \cancel{3}\ } \cdot \dfrac{\ \cancel{3}\ }{\ \xcancel{7}\ } + \dfrac{1}{5} \cdot \left ( \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} \right ) - \dfrac{7}{3} + \dfrac{\ 4 \cdot 5}{ 6 } = $$
$$ = \dfrac{4}{5} - 1 + \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{5}{2} - \dfrac{7}{3} + \dfrac{\ \cancelto{2}{4} \cdot 5}{\ \cancelto{3}{6}\ } = \dfrac{4}{5} - 1 + \dfrac{1}{\ \cancel{5}\ } \cdot \dfrac{\ \cancel{5}\ }{2} - \dfrac{7}{3} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{4}{5} - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{3} + \dfrac{10}{3} = $$
$$ = \dfrac{4}{5} - 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{3} = \dfrac{4}{5} - 1 + \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{5} \xcancel{- 1} + \dfrac{1}{2} \xcancel{+ 1} = \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{13}{10} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después el producto y por último el resto de operaciones: $$ \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} \cdot \left ( \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{10} \right ) - \dfrac{5}{4} + \left ( \dfrac{3}{5} : 4 \right ) + \dfrac{12}{5} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} \cdot \left ( \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5} \right ) - \dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{20} + \dfrac{12}{5} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} \cdot 1 - \dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{20} + \dfrac{12}{5} = $$
$$ = \dfrac{2}{3} + \xcancel{ \dfrac{5}{4} } - \xcancel{ \dfrac{5}{4} } + \dfrac{3}{20} + \dfrac{12}{5} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{20} + \dfrac{48}{20} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{51}{20} = \dfrac{40}{60} + \dfrac{153}{60} = \dfrac{193}{60} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, después la divisón y por último la suma: $$ 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( 2 + \dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{4} + \dfrac{5}{3} \right ) = 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( \dfrac{4}{2} + \dfrac{7}{3} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{3} \right ) = 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( \dfrac{4 - 1}{2} + \dfrac{7 + 5}{3} \right ) = $$
$$ = 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( \dfrac{3}{2} + \dfrac{12}{3} \right ) = 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( \dfrac{3}{2} + 4 \right ) = 2 + \dfrac{1}{5} : \left ( \dfrac{3 + 8}{2} \right ) = 2 + \dfrac{1}{5} : \dfrac{11}{2} = 2 + \dfrac{2}{55} = \dfrac{110}{55} + \dfrac{2}{55} = \dfrac{112}{55} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y la divisón, después el producto y por último la suma: $$ \left ( \dfrac{2}{7} - \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{8} \right ) \cdot \dfrac{3}{2} - \dfrac{7}{5} : \dfrac{4}{7} = \left ( \dfrac{2}{7} - \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{4} \right ) \cdot \dfrac{3}{2} - \dfrac{49}{20} = \left ( \dfrac{40}{140} - \dfrac{122}{140} + \dfrac{35}{140} \right ) \cdot \dfrac{3}{2} - \dfrac{49}{20} = $$
$$ = \dfrac{-37}{140} \cdot \dfrac{3}{2} - \dfrac{49}{20} = \dfrac{\ -111\ }{280} - \dfrac{49}{20} = \dfrac{\ -111\ }{280} - \dfrac{686}{280} = - \dfrac{797}{280} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis y la divisón que está más a la derecha, simplificando siempre que sea posible, después la división del paréntesis y por último las sumas y restas: $$ \dfrac{17}{9} - \dfrac{15}{5} + \dfrac{4}{3} : \left ( \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{15} \right ) + \dfrac{14}{3} : \dfrac{16}{8} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \left ( \dfrac{3}{15} + \dfrac{10}{15} - \dfrac{1}{15} \right ) + \dfrac{14}{3} : 2 $$
$$ = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{12}{15} + \dfrac{14}{ 2 \cdot 3} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{ \cancelto{4}{12}\ }{ \cancelto{5}{15}\ } + \dfrac{\ \cancelto{7}{14}\ }{ \cancel{2} \cdot 3 } = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4}{3} : \dfrac{4}{5} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{4 \cdot 5}{ 4 \cdot 3} + \dfrac{7}{3} = $$
$$ = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{\ \cancel{4} \cdot 5}{\ \cancel{4} \cdot 3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{5}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{17}{9} - 3 + \dfrac{12}{3} = \dfrac{17}{9} - 3 + 4 = \dfrac{17}{9} + 1 = \dfrac{17}{9} + \dfrac{9}{9} = \dfrac{26}{9} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos el paréntesis, después el corchete y por último la suma: $$ \dfrac{2}{3} + \left [ 1 - \left ( \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} \right ) \right ] = \dfrac{2}{3} + \left [ 1 - \left ( \dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} \right ) \right ] = \dfrac{2}{3} + \left [ 1 - \dfrac{7}{12} \right ] =\dfrac{2}{3} + \left [ \dfrac{12}{12} - \dfrac{7}{12} \right ] = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{12} = $$
$$ = \dfrac{8}{\ 12\ } + \dfrac{5}{\ 12\ } = \dfrac{\ 13\ }{12} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después el corchete y por último las sumas y restas: $$ \dfrac{2}{3} - \left [ \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{5} - \left ( \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{3} \right ) + \left ( \dfrac{6}{5} - \dfrac{1}{2} \right ) \right ] - \dfrac{3}{4} + \left ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right ) = $$
$$ = \dfrac{2}{3} - \left [ \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{5} - \left ( \dfrac{6}{15} - \dfrac{5}{15} \right ) + \left ( \dfrac{12}{10} - \dfrac{5}{10} \right ) \right ] - \dfrac{3}{4} + \left ( \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} \right ) = \dfrac{2}{3} - \left [ \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{15} + \dfrac{7}{10} \right ] - \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6} $$
$$ = \dfrac{2}{3} - \left [ \dfrac{45}{30} - \dfrac{6}{30} - \dfrac{2}{30} + \dfrac{21}{30} \right ] - \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{58}{30} - \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{40}{60} - \dfrac{116}{60} - \dfrac{45}{60} + \dfrac{10}{60} = $$
$$ = \dfrac{-111}{60} = - \dfrac{37}{20} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después el corchete y por último la suma y la resta: $$ 2 + \left ( \dfrac{5}{2} - 3 \right ) - \left [ \dfrac{7}{10} - \left ( \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} \right ) \right ] = 2 + \left ( \dfrac{5}{2} - \dfrac{6}{2} \right ) - \left [ \dfrac{7}{10} - \left ( \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} \right ) \right ] = 2 + \left (- \dfrac{1}{2} \right ) - \left [ \dfrac{7}{10} - \dfrac{13}{20} \right ] = $$
$$ 2 - \dfrac{1}{2} - \left [ \dfrac{7}{10} - \dfrac{13}{20} \right ] = \dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2} - \left [ \dfrac{14}{20} - \dfrac{13}{20} \right ] = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{30}{20} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{29}{20} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después el corchete y por último las restas: $$ 2 - \left [ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5} \right ) - \dfrac{1}{3} \right ] - \left ( \dfrac{4}{3} + 2 \right ) - \dfrac{1}{5} = 2 - \left [ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{5}{10} + \dfrac{4}{10} \right ) - \dfrac{1}{3} \right ] - \left ( \dfrac{4}{3} + \dfrac{6}{3} \right ) - \dfrac{1}{5} = $$

$$ = 2 - \left [ \dfrac{4}{3} - \dfrac{9}{10} - \dfrac{1}{3} \right ] - \dfrac{10}{3} - \dfrac{1}{5} = 2 - \left [ 1 - \dfrac{9}{10} \right ] - \dfrac{10}{3} - \dfrac{1}{5} = 2 - \dfrac{1}{10} - \dfrac{10}{3} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{60}{30} - \dfrac{3}{30} - \dfrac{100}{30} - \dfrac{6}{30} = \dfrac{-49}{30} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después el corchete y por último la suma y la resta: $$ \left ( \dfrac{4}{3} - \dfrac{-1}{9} \right ) + \left [2 - \left ( \dfrac{-5}{4} + \dfrac{2}{3} \right ) \right ] - \dfrac{7}{2} = \left ( \dfrac{12}{9} + \dfrac{1}{9} \right ) + \left [2 - \left ( \dfrac{-15}{12} + \dfrac{8}{12} \right ) \right ] - \dfrac{7}{2} = \dfrac{13}{9} + \left [2 - \left ( \dfrac{-7}{12} \right ) \right ] - \dfrac{7}{2} = $$
$$ = \dfrac{13}{9} + \left [\dfrac{24}{12} + \dfrac{7}{12} \right ] - \dfrac{7}{2} = \dfrac{13}{9} + \dfrac{31}{12} - \dfrac{7}{2} = \dfrac{52}{36} + \dfrac{93}{36} - \dfrac{126}{36} = \dfrac{19}{36} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después la divisón del corchete y por último el producto: $$ \left [ \left ( \dfrac{4}{6} + \dfrac{ 1/7 }{2} \right ) : \left ( \dfrac{4}{3} - \dfrac{ 5 }{12} \right ) \right ] \cdot \left ( \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{15} \right ) = \left [ \left ( \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{14} \right ) : \left ( \dfrac{16}{12} - \dfrac{ 5 }{12} \right ) \right ] \cdot \left ( \dfrac{5}{30} + \dfrac{2}{30} \right ) = $$
$$ = \left [ \left ( \dfrac{28}{42} + \dfrac{3}{42} \right ) : \dfrac{11}{12} \right ] \cdot \dfrac{7}{30} = \dfrac{31}{\ 42\ } : \dfrac{11}{\ 12\ } \cdot \dfrac{7}{30} = \dfrac{31 \cdot 12 \cdot 7\ }{42 \cdot 11 \cdot 30} = \dfrac{31 \cdot \cancelto{2}{12} \cdot 7\ }{\ \cancelto{7}{42} \cdot 11 \cdot 30} = \dfrac{31 \cdot 2 \cdot \xcancel{7} }{ \xcancel{7} \cdot 11 \cdot 30} = \dfrac{31 \cdot 2}{11 \cdot 30} = $$
$$ = \dfrac{31 \cdot \cancel{2} }{11 \cdot \cancelto{15}{30} } =\dfrac{31}{11 \cdot 15} = \dfrac{31}{165} $$

En este caso $\odn{1}{o}$ haremos los paréntesis, después llos corchetes y por último la resta: $$ \left [ - \dfrac{3}{8} + \left ( 4 - \dfrac{1}{2} \right ) \right ] - \left [ \left ( 2 - \dfrac{5}{4} \right ) + \left ( \dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{8} \right ) \right ] = \left [ - \dfrac{3}{8} + \left ( \dfrac{8}{2} - \dfrac{1}{2} \right ) \right ] - \left [ \left ( \dfrac{8}{4} - \dfrac{5}{4} \right ) + \left ( \dfrac{28}{8} - \dfrac{1}{8} \right ) \right ] = $$

$$ = \left [ - \dfrac{3}{8} + \dfrac{7}{2} \right ] - \left [ \dfrac{3}{4} + \dfrac{27}{8} \right ] = \left [ - \dfrac{3}{8} + \dfrac{28}{8} \right ] - \left [ \dfrac{6}{8} + \dfrac{27}{8} \right ] = \dfrac{25}{8} - \dfrac{33}{8} = \dfrac{-8}{8} = -1 $$

$$ \left ( \dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{5} \right ) \cdot \left [ \left ( \dfrac{1}{3} - 1 \right ) \cdot 3 - \dfrac{1 + 2/5}{3} \right ] = (*) $$

Vamos a cambiar la forma de enfocar este tipo de ejercicios, primero hacemos el primer paréntesis, es decir, $ \dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{5}{15} - \dfrac{12}{15} = \dfrac{-7}{15} $

continuamos por el corchete, haciendo la operación $ \left ( \dfrac{1}{3} - 1 \right ) \cdot 3 = \left ( \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{3} \right ) \cdot 3 = \dfrac{-2 \cdot 3}{3} = - 2 $

y por último hacemos la operación que queda: $ \dfrac{1 + 2/5}{3} = \dfrac{5/5 + 2/5}{3} = \dfrac{7/5}{3} = \dfrac{7}{15}$

Ahora continuamos en (*) sustituyendo todas las operaciones por sus resultados:

$$ (*) = \dfrac{-7}{15} \cdot \left ( -2 - \dfrac{7}{15} \right ) = \dfrac{-7}{15} \cdot \left ( - \dfrac{30}{15} - \dfrac{7}{15} \right ) = \dfrac{-7}{15} \cdot \left ( \dfrac{-37}{15} \right ) = \dfrac{259}{225} $$

$$ \dfrac{4}{5} : \left [ \dfrac{12}{16} \cdot \left ( \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{3} \right ) - \dfrac{3}{8} \right ] - 3 \cdot \left [ \dfrac{1}{6}: \left ( 1 - \dfrac{2}{5} \right ) \right ] = \dfrac{4}{5} : \left [ \dfrac{3}{4} \cdot \left ( \dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} \right ) - \dfrac{3}{8} \right ] - 3 \cdot \left [ \dfrac{1}{6}: \left ( \dfrac{5}{5} - \dfrac{2}{5} \right ) \right ] = $$

$$ = \dfrac{4}{5} : \left [ \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8} \right ] - 3 \cdot \left [ \dfrac{1}{6}: \dfrac{3}{5} \right ] = \dfrac{4}{5} : \left [ \dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{8} \right ] - 3 \cdot \dfrac{5}{18} = \dfrac{4}{5} : \dfrac{2}{8} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{32}{10} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{96}{30} - \dfrac{25}{30} = \dfrac{71}{30} $$

$$ \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} : \left ( \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{15}{8} + 1 \right ) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} : \left ( \dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{4} + 1 \right ) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} : \left ( \dfrac{16}{12} - \dfrac{15}{12} + \dfrac{12}{12} \right ) = $$

$$ = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} : \dfrac{13}{12} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2 \cdot 12}{3 \cdot 13} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{8}{13} = \dfrac{39}{26} - \dfrac{16}{26} = \dfrac{23}{36} $$

$$ \left [ \dfrac{ \dfrac{5}{3} }{ 3 - \dfrac{1}{2} } \cdot \left ( \dfrac{6}{4} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \right ) \right ] \cdot \left ( \dfrac{ 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} }{ \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{2} } + 1 \right ) = (*) $$

Primero haremos la primera fracción dentro del corchete, es decir, $ \dfrac{ \dfrac{5}{3} }{ 3 - \dfrac{1}{2} } = \dfrac{ \dfrac{5}{3} }{ \dfrac{6}{2} - \dfrac{1}{2} } = \dfrac{ \dfrac{5}{3} }{ \dfrac{5}{2} } = \dfrac{2}{3} $;

Después haremos el paréntesis dentro del corchete $ \dfrac{6}{4} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

Ahora seguimos con el paréntesis derecho, cogemos el numerador de la fracción $1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{7}{6}$;

Ahora continuamos con el denominador $ \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{20}{12} = \dfrac{-17}{12} $;

Ahora sustituims en (*) los valores obtenidos:

$$ (*) = \left [ \dfrac{2}{3} \cdot 1 \right ] \cdot \left ( \dfrac{ \dfrac{7}{6} }{ \dfrac{-17}{12} } + 1 \right ) = \dfrac{2}{3} \cdot \left ( \dfrac{-7 \cdot 12}{17 \cdot 6} + 1 \right ) = \dfrac{2}{3} \cdot \left ( \dfrac{-14}{17} + 1 \right ) = \dfrac{2}{3} \cdot \left ( \dfrac{-14}{17} + \dfrac{17}{17} \right ) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{17} = \dfrac{2}{17} $$

Este tipo de ejercicios se resuelven haciendo por una lado el numerador y por otro el denominador. Vamos con el numerador:

$$ \dfrac{\ 3\ }{5} + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 6\ }{10} + \dfrac{\ 5\ }{10} = \dfrac{\ 11\ }{10} $$
Ahora con el denominador:

$$ \dfrac{\ 2\ }{3} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{6} - \dfrac{\ 3\ }{6} = \dfrac{\ 1\ }{6} $$
Susituimos en (*) y tenemos:

$$ (1) = \dfrac{\ \dfrac{\ 11\ }{10} \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{6}\ } = \dfrac{\ 11\ }{10} : \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 66\ }{10} = \dfrac{\ 33\ }{5} $$

$$ \dfrac{\ 1 + \dfrac {\ 1 + \dfrac{\ 1\ }{2}\ }{ 2 } }{ 1 - \dfrac{ \ 1 - \dfrac{\ 1\ }{3}\ }{3}\ } = (*)$$

Vamos a empezar por el numerador $ 1 + \dfrac {\ 1 + \dfrac{\ 1\ }{2}\ }{ 2 } $:

$\odn{1}{o}$ hacemos la suma: $ 1 + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 3\ }{2}$, luego lo dividimos por 2: $\dfrac {\ \dfrac{\ 3\ }{2}\ }{ 2 } = \dfrac{\ 3\ }{4}$ y por último le sumamos 1: $1 + \dfrac{\ 3\ }{4} = \dfrac{\ 7\ }{4}$

Ahora vamos con el denominador:

$\odn{1}{o}$ hacemos la resta: $ 1 - \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 2\ }{3}$, luego lo dividimos por 3: $ \dfrac{ \ \dfrac{\ 2\ }{3}\ }{3} = \dfrac{\ 2\ }{9}$ y por último se lo restamos a 1: $1 - \dfrac{\ 2\ }{9} = \dfrac{\ 7\ }{9}$

Sustituimos en (*) y tenemos que:

$$ (*) = \dfrac{\ \dfrac{\ 7\ }{4} \ }{ \dfrac{\ 7\ }{9} } = \dfrac{\ 7 \cdot 9\ }{\ 7 \cdot 4\ } = \dfrac{\ \cancel{7} \cdot 9\ }{\ \cancel{7} \cdot 4\ } = \dfrac{\ 9\ }{4} $$

$$ \dfrac{\ \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} : 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} - \dfrac{\ 2\ }{7} \ }{\ \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot 3 - \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} \right ) \cdot \dfrac{\ 2\ }{7}\ } = (*) $$
Vamos a empezar por el numerador: $$ \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} : 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} - \dfrac{\ 2\ }{7} $$ Empezamos por el paréntesis $ \dfrac{\ 2\ }{5} : 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 2\ }{15} + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{30} + \dfrac{\ 15\ }{30} = \dfrac{\ 19\ }{30} $ Multiplicamos por $\dfrac{\ 1\ }{3}$ y le restamos $\dfrac{\ 2\ }{7}$

$$ \dfrac{\ 19\ }{30} \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} - \dfrac{\ 2\ }{7} = \dfrac{\ 19\ }{90} - \dfrac{\ 2\ }{7} = \dfrac{\ 133\ }{630} - \dfrac{\ 180\ }{630} = \dfrac{\ - 47\ }{630} $$ Ahora vamos a calcular el denominador:

$$ \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot 3 - \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} \right ) \cdot \dfrac{\ 2\ }{7} $$ Hacemos $\odn{1}{o}$ el paréntesis:

$ \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 3\ }{6} + \dfrac{\ 2\ }{6} = \dfrac{\ 5\ }{6} $ y sustituimos:

$ \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot 3 - \dfrac{\ 5\ }{6} \cdot \dfrac{\ 2\ }{7} = \dfrac{\ 6\ }{5} - \dfrac{\ 5 \cdot 2\ }{6 \cdot 7} = \dfrac{\ 6\ }{5} - \dfrac{\ 5 \ }{ 21 } = \dfrac{\ 126\ }{105} - \dfrac{\ 25 \ }{ 105 } = \dfrac{\ 101 \ }{ 105 } $

Sustituimos en (*) y tenemos $$ (*) = \dfrac{\ \dfrac{\ - 47\ }{630} \ }{\ \dfrac{ 17 }{\ 105\ } \ } = \dfrac{\ - 47\ }{630} : \dfrac{ 17 }{\ 105\ } = \dfrac{\ -47 \cdot 105 \ }{\ 101 \cdot 630\ } = \dfrac{ -47 }{\ 101 \cdot 6\ } = \dfrac{ -47 }{\ 606\ } $$

$$ \dfrac{\ \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 2\ }{3} \cdot \dfrac{\ 9\ }{4} \right ) + 3\ }{\ \left [ \dfrac{\ 1\ }{7} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{7} - \dfrac{\ 1\ }{3} \right ) + \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ] : \dfrac{\ 1\ }{2} \ } = (*) $$
Vamos a por el numerador del fracción:

$$ \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 2\ }{3} \cdot \dfrac{\ 9\ }{4} \right ) + 3 = $$ Hacemos primero el paréntesis, producto y resta, una vez hecho el paréntesis hacemos la divsión y la resta:

$$ = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 2\ }{3} \cdot \dfrac{\ 9\ }{4} \right ) + 3 = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 2 \cdot 9 \ }{3 \cdot 4} \right ) + 3 = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ \cancel{2} \cdot 9 \ }{3 \cdot \cancelto{2}{4} } \right ) + 3 = $$ $$ = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 9 \ }{3 \cdot 2 } \right ) + 3 = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ \cancelto{3}{9} \ }{ \cancel{3} \cdot 2 } \right ) + 3 = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( 1 - \dfrac{\ 3 \ }{ 2 } \right ) + 3 = \dfrac{\ 3\ }{5} : \left ( \dfrac{\ -1 \ }{ 2 } \right ) + 3 = $$ $$= \dfrac{\ -6\ }{5} + 3 = \dfrac{\ -6\ }{5} + \dfrac{\ 15\ }{5} = \dfrac{\ 9\ }{5} $$ Ahora calculamos el denominador:

$$ \left [ \dfrac{\ 1\ }{7} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{7} - \dfrac{\ 1\ }{3} \right ) + \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ] : \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ Hacemos el paréntesis que hay dentro del corchete, el producto, la suma y por último la división:

$$ = \left [ \dfrac{\ 1\ }{7} \cdot \left ( \dfrac{\ 6\ }{21} - \dfrac{\ 7\ }{21} \right ) + \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ] : \dfrac{\ 1\ }{2} = \left [ \dfrac{\ 1\ }{7} \cdot \left ( \dfrac{\ -1\ }{21} \right ) + \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ] : \dfrac{\ 1\ }{2} = \left [ \dfrac{\ -2\ }{294} \cdot + \dfrac{\ 735\ }{294} \ \right ] : \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ $$ = \dfrac{\ 733\ }{294} : \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 733 \cdot 2\ }{294} = \dfrac{\ 733 \cdot \cancel{2}\ }{ \cancelto{147}{294} } = \dfrac{\ 733 \ }{147} $$ Sustituimos en $(*)$ y tenemos:

$$ (*) = \dfrac{\ \ \dfrac{\ 9\ }{5} \ \ }{ \dfrac{\ 733 \ }{147} } = \dfrac{9 \cdot 147} {\ 5 \cdot 733 \ } = \dfrac{ 1323 }{\ 3665 \ } $$

$$ \dfrac{\ \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 3\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{4} + 5\ }{ \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 3\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{4} + 5 \right ) \ } = (*) $$
Vamos a por el numerador del fracción:

$$ \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 3\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{4} + 5 = $$ Hacemos el producto, luego la división y el resto de operaciones de izquierda a derecha:

$$ = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 2\ }{15} + \dfrac{\ 12\ }{2} + 5 = \dfrac{\ 15\ }{30} - \dfrac{\ 4\ }{30} + 6 + 5 = \dfrac{\ 11\ }{30} + 11 = \dfrac{\ 11\ }{30} + \dfrac{\ 330\ }{30} = \dfrac{\ 341\ }{30} $$ Ahora calculamos el denominador:

$$ \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 3\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{4} + 5 \right ) = $$ Hacemos el paréntesis, la división y las dos sumas, una vez el paréntesis hacemos el producto y la resta:

$$ = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 12\ }{2} + 5 \right ) = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + 6 + 5 \right ) = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + 11 \right ) = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} + \dfrac{\ 55\ }{5} \right ) = $$ $$ = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 57\ }{5} = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 57\ }{3 \cdot 5} = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ \cancelto{19}{57}\ }{ \cancel{3} \cdot 5} = \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{\ 19\ }{ 5 } = \dfrac{\ 5\ }{10} - \dfrac{\ 38\ }{ 10 } = \dfrac{\ -33\ }{ 10 } $$ Sustituimos en $(*)$ y tenemos:

$$ (*) = \dfrac{\ \ \dfrac{\ 341\ }{30} \ \ }{ \dfrac{\ -33\ }{ 10 } } = \dfrac{\ -341 \cdot 10 \ }{ 33 \cdot 30 } = \dfrac{\ -341 \cdot \cancel{10} \ }{ 33 \cdot \cancelto{3}{30} } = \dfrac{\ -341 \ }{ 33 \cdot 3 } = \dfrac{\ -\cancelto{31}{341} \ }{ \cancelto{3}{33} \cdot 3 } = \dfrac{\ - 31 \ }{ 3 \cdot 3 } = \dfrac{\ - 31 \ }{ 9} $$

$$ \dfrac{\ \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{3} + 2 \ \right) \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2}\ }{\ \dfrac{\ 1\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ) + \dfrac{\ 1\ }{3}\ } = (*) $$
Vamos a por el numerador del fracción:

$$ \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} : \dfrac{\ 1\ }{3} + 2 \ \right) \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ Hacemos primero el paréntesis, la división y después la resta, una vez hecho el paréntesis hacemos el producto y la resta:

$$ = \left ( \dfrac{\ 3\ }{2} + 2 \ \right) \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \left ( \dfrac{\ 3\ }{2} + \dfrac{\ 4\ }{2} \ \right) \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 7\ }{2} \cdot \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 7 \cdot 2 \ }{ 2 \cdot 5 } - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 7 \cdot \cancel{2} \ }{ \cancel{2} \cdot 5 } - \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ $$ = \dfrac{\ 7\ }{5} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 14\ }{10} - \dfrac{\ 5\ }{10} = \dfrac{\ 9\ }{10} $$ Ahora el denominador de la fracción:

$$ \dfrac{\ 1\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} \ \right ) + \dfrac{\ 1\ }{3} = $$ Hacemos primero el paréntesis, producto y después suma, una vez hecho el paréntesis hacemos la sivisión y la suma:

$$ = \dfrac{\ 1\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ 5\ }{6} \ \right ) + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 1\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 4\ }{6} + \dfrac{\ 5\ }{6} \right ) + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 1\ }{3} : \dfrac{\ 9 \ }{6} + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 1\ }{3} : \dfrac{\ 3 \ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} = $$ $$ = \dfrac{\ 2\ }{9} + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 2\ }{9} + \dfrac{\ 3\ }{9} = \dfrac{\ 5\ }{9} $$ Sustituimos en $(*)$ y tenemos:

$$ (*) = \dfrac{\ \ \dfrac{\ 9\ }{10} \ \ }{ \dfrac{\ 5\ }{9} } = \dfrac{\ 9 \cdot 9 \ }{ 5 \cdot 10 } = \dfrac{\ 81\ }{ 50 } $$

$$ \dfrac{\ \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 6\ }{3} + \dfrac{\ 2\ }{3} \ }{\ 1 - \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 6\ }{4}\ } - \dfrac{\ \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3}\ }{\ \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ 6\ }{5} } = (*) $$
Vamos a empezar por el numerador de la primera fracción:

$$ \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 6\ }{3} + \dfrac{\ 2\ }{3} = \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 4\ }{3} = \dfrac{\ 6\ }{15} - \dfrac{\ 20\ }{15} = \dfrac{\ -14\ }{15} $$ Ahora el denominador de la primera fracción:

$$ 1 - \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 6\ }{4} = 1 - \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 3\ }{2} = \dfrac{\ 10\ }{10} - \dfrac{\ 4\ }{10} - \dfrac{\ 15\ }{10} = \dfrac{\ -9\ }{10} $$ Ahora a por el numerador de la segunda fracción:

$$ \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 3\ }{6} + \dfrac{\ 2\ }{6} = \dfrac{\ 5\ }{6} $$ Y ahora el denominador de la segunda fracción:

$$ \dfrac{\ 2\ }{3} + \dfrac{\ 6\ }{5} = \dfrac{\ 10\ }{15} + \dfrac{\ 18\ }{15} = \dfrac{\ 28\ }{15} $$ Sustituimos en $(*)$ y tenemos:

$$ (*) = \dfrac{\ \ \dfrac{\ -14\ }{15} \ \ }{ \dfrac{\ -9\ }{10} } - \dfrac{\ \ \dfrac{\ 5\ }{6} \ \ }{ \dfrac{\ 28\ }{15} } = \dfrac{\ 14 \cdot 10 \ }{15 \cdot 9} - \dfrac{\ 5 \cdot 15\ }{6 \cdot 28 } = \dfrac{\ 14 \cdot \cancelto{2}{10} \ }{ \cancelto{3}{15} \cdot 9} - \dfrac{\ 5 \cdot \cancelto{5}{15}\ }{ \cancelto{2}{6} \cdot 28 } = \dfrac{\ 14 \cdot 2 \ }{3 \cdot 9} - \dfrac{\ 5 \cdot 5\ }{2 \cdot 28 } = $$ $$ = \dfrac{\ 28 \ }{ 27 } - \dfrac{\ 25\ }{ 56 } = \dfrac{\ 1568 \ }{ 1512 } - \dfrac{\ 675\ }{ 1512 } = \dfrac{\ 893\ }{ 1512 } $$

$$ \dfrac{\ \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} - \dfrac{\ 1\ }{4} \ }{\ 2 + \dfrac{\ 5\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{6}\ } \cdot \dfrac{2}{\ 1 - \dfrac{\ 3\ }{\ 2 - \dfrac{\ 1\ }{4} } } = (*) $$
Vamos a empezar por el numerador de la primera fracción:

$$ \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{3} - \dfrac{\ 1\ }{4} = \dfrac{\ 1\ }{4} + \dfrac{\ 1\ }{3} = \dfrac{\ 3\ }{12} + \dfrac{\ 4\ }{12} = \dfrac{\ 7\ }{12} $$ Ahora vamos a calcular el denominador de la primera fracción:

$$ 2 + \dfrac{\ 5\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 12\ }{6} + \dfrac{\ 15\ }{6} - \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 26\ }{6} = \dfrac{\ 13\ }{3} $$ Ahora vamos a calcular el denominador de la segunda fracción:

$$ 1 - \dfrac{\ 3\ }{\ 2 - \dfrac{\ 1\ }{4} } = 1 - \dfrac{\ 3\ }{\ \dfrac{\ 8\ }{4} - \dfrac{\ 1\ }{4} } = 1 - \dfrac{\ 3\ }{\ \dfrac{\ 7\ }{4} \ } = 1 - \dfrac{\ 12\ }{\ 7\ } = \dfrac{\ 7\ }{ 7 } - \ \dfrac{\ 12\ }{7} = \dfrac{-5}{7} $$ Sustituimos en (*) y tenemos:

$$ (*) = \dfrac{\ \ \dfrac{\ 7\ }{12} \ \ }{ \dfrac{\ 13\ }{3} } \cdot \dfrac{ 2 }{\ \ \dfrac{-5}{7} \ \ } = \dfrac{\ 7 \cdot 3\ }{ 12 \cdot 13 } \cdot \dfrac{\ -14\ }{ 5 } = \dfrac{\ -14 \cdot 7 \cdot 3 \ }{ 12 \cdot 13 \cdot 5 } = \dfrac{\ -14 \cdot 7 \cdot \cancel{3} \ }{ \cancelto{4}{12} \cdot 13 \cdot 5 } = \dfrac{\ -14 \cdot 7 \ }{ 4 \cdot 13 \cdot 5 } = $$ $$ = \dfrac{\ - \cancelto{7}{14} \cdot 7 \ }{ \cancelto{2}{4} \cdot 13 \cdot 5 } = \dfrac{\ -7 \cdot 7 \ }{ 2 \cdot 13 \cdot 5 } = \dfrac{\ -49 \ }{ 130 } $$

$$ \dfrac{ \ \dfrac{\ 5\ }{3} + \dfrac{\ 3\ }{4} : 1 - \dfrac{\ 5\ }{4} + \dfrac{\ 17\ }{3}\ }{\ \dfrac{\ 15\ }{3} + \dfrac{\ 2\ }{5}\ } = (*) $$
Vamos a empezar por el numerador: $$ \dfrac{\ 5\ }{3} + \dfrac{\ 3\ }{4} : 1 - \dfrac{\ 5\ }{4} + \dfrac{\ 17\ }{3} = $$ Empezamos por la división y agrupamos las fracciones por los denominadores de las fracciones: $$ \dfrac{\ 5\ }{3} + \dfrac{\ 3\ }{4} - \dfrac{\ 5\ }{4} + \dfrac{\ 17\ }{3} = \dfrac{\ 5\ }{3} - \dfrac{\ 2\ }{4} + \dfrac{\ 17\ }{3} = \dfrac{\ 22\ }{3} - \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 44\ }{6} - \dfrac{\ 3\ }{6} = \dfrac{\ 41\ }{6} $$ Ahora vamos a calcular el denominador:

$$ \dfrac{\ 15\ }{3} + \dfrac{\ 2\ }{5} = $$ Hacemos la suma:

$$ = 5 + \dfrac{\ 2\ }{5} = \dfrac{\ 25\ }{5} + \dfrac{\ 2\ }{5} = \dfrac{\ 27\ }{5} $$ Sustituimos en (*) y tenemos: $$ (*) = \dfrac{\ \dfrac{\ 41\ }{ 6 } \ }{\ \dfrac{ 27 }{\ 5\ } \ } = \dfrac{\ 41 \cdot 5 \ }{\ 27 \cdot 6\ } = \dfrac{\ 205 \ }{\ 162\ } $$

$$ \dfrac{ \ \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 3\ }{2} \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \right ) \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2}\ }{ \ \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 : \dfrac{\ 3\ }{2} \right ) \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 3\ }{2} \right ) } = (*) $$
Vamos a empezar por el numerador: $$ \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 3\ }{2} \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \right ) \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2}\ = $$ Empezamos por el paréntesis del corchete: $$ \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ \cancel{3}\ }{2} \cdot \dfrac{8}{\ \cancelto{9}{27}\ } \right ) \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2}\ = \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 8\ }{ 18 } \right ) \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2}\ = \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \left ( \dfrac{\ 9\ }{18} + \dfrac{\ 8\ }{\ 18\ } \right ) \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = $$ $$ = \left [ - 3 + \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot \dfrac{\ 17\ }{18} \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = \left [ - 3 + \dfrac{\ 2 \cdot 17 \ }{5 \cdot 18} \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = \left [ - 3 + \dfrac{\ \cancel{2} \cdot 17 \ }{5 \cdot \cancelto{9}{18} } \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = \left [ \dfrac{- 135}{45} + \dfrac{\ 17 \ }{45} \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = $$ $$ = \left [ \dfrac{- 118}{45} \right ] : \dfrac{\ 3\ }{2} = \dfrac{- 118 \cdot 2 }{45 \cdot 3 } = \dfrac{- 236 }{ 135 } $$ Ahora vamos a calcular el denominador:

$$ \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 : \dfrac{\ 3\ }{2} \right ) \dfrac{8}{\ 27\ } \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 3\ }{2} \right ) = $$ Hacemos los paréntesis y después los productos:

$$ = \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{2 \cdot 3 }{\ 3\ } \right ) \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot \dfrac{\ 4\ }{2} = \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{2 \cdot \cancel{3} }{\ \cancel{3}\ } \right ) \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot 2 = \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 2 \right ) \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot 2 = \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{ 10 }{\ 5\ } \right ) \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot 2 = $$ $$ = \dfrac{\ -8\ }{ 5 } \cdot \dfrac{8}{\ 27\ } \cdot 2 = \dfrac{- 8 \cdot 8 \cdot 2}{ 5 \cdot 27} = \dfrac{- 128}{ 135 } $$ Sustituimos en (*) y tenemos: $$ (*) = \dfrac{\ \ \ \dfrac{- 236 }{ 135 } \ \ \ }{\ \dfrac{ -128 }{\ 135\ } \ } = \dfrac{\ - 236 \cdot 135\ }{ - 128 \cdot 135 } = \dfrac{\ - 236 \cdot \cancel{135}\ }{ - 128 \cdot \cancel{135} } = \dfrac{\ 236 \ }{ 128 } = \dfrac{\ \cancelto{59}{236}\ }{ \cancelto{32}{128} } = \dfrac{\ 59\ }{ 32 } $$

$$ \dfrac {\ \dfrac{\ 1\ }{4} + \dfrac{\ 2\ }{4} + \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot \dfrac{\ 2\ }{9} \ }{\ 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 6\ }{5} \right )\ } = (*) $$
Primero hacemos la operación combinada del numerador:

$$ \dfrac{\ 1\ }{4} + \dfrac{\ 2\ }{4} + \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot \dfrac{\ 2\ }{9} = $$ Podemos hacer la primera suma, antes de hacer el producto simplificamos y terminamos el numerador:

$$ = \dfrac{\ 3\ }{4} + \dfrac{\ \cancel{3}\ }{ \cancelto{2}{4} } \cdot \dfrac{\ \cancel{2}\ }{ \cancelto{3}{9} } = \dfrac{\ 3\ }{4} + \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 9\ }{12} + \dfrac{\ 2\ }{12} = \dfrac{\ 11\ }{12} $$ Ahora vamos con el denominador:

$$ 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 6\ }{5} \right ) = $$ Hacemos el paréntesis simplificando lo primero y luego el resto de operaciones:

$$ = 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 1\ }{\cancel{3}} \cdot \dfrac{\ \cancelto{2}{6}\ }{5} \right ) = 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 2\ }{5} \right ) = 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 10\ }{5} - \dfrac{\ 2\ }{5} \right ) = 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 8\ }{5} = 2 + \dfrac{\ 8\ }{15} = $$ $$ = \dfrac{\ 30\ }{15} + \dfrac{\ 8\ }{15} = \dfrac{\ 38\ }{15} $$ Sustituimos en (*) y tenemos

$$ \dfrac {\ \dfrac{\ 1\ }{4} + \dfrac{\ 2\ }{4} + \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot \dfrac{\ 2\ }{9} \ }{\ 2 + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{\ 6\ }{5} \right )\ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{\ 11\ }{12}\ \ \ \ }{ \dfrac{\ 38\ }{15} } = \dfrac{\ 11 \cdot 15\ }{ 12 \cdot 38 } = \dfrac{\ 11 \cdot \cancelto{5}{15}\ }{ \cancelto{4}{12} \cdot 38 } = \dfrac{\ 11 \cdot 5\ }{ 4 \cdot 38 } = \dfrac{\ 55\ }{ 152 } $$

$$ \dfrac{\ \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 2\ }{3} : \dfrac{\ 2\ }{5} - \left ( \ 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} \ }{\ \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} \ } = (*) $$
Primero hacemos la operación combinada del numerador:

$$ \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 2\ }{3} : \dfrac{\ 2\ }{5} - \left ( \ 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} = $$ Empezamos por el corchete, hacemos la división y después el paréntesis:

$$ = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 2 \cdot 5\ }{3 \cdot 2} - \left ( \ \dfrac{\ 6\ }{2} + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 10\ }{ 6 } - \left ( \ \dfrac{\ 7\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 10\ }{ 6 } - \left ( \ \dfrac{\ 21\ }{6} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} = $$ $$ = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ -11\ }{ 6 } \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ - \cancel{11}\ }{ 6 } \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{ \cancel{11} } = \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ - 3\ }{ 6 } \right ] = \dfrac{\ 10\ }{6} + \dfrac{\ 3\ }{ 6 } = \dfrac{\ 13\ }{ 6 } $$ Ahora vamos con el denominador:

$$ \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ Hacemos el paréntesis, luego la división y después el resto de operaciones de izquierda a derecha:

$$ \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - \dfrac{\ 15\ }{5} \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( - \dfrac{\ 13\ }{5} \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 14\ }{3} + \dfrac{\ 13 \cdot 5 \ }{3 \cdot 13} + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 14\ }{3} + \dfrac{\ \cancel{13} \cdot 5 \ }{3 \cdot \cancel{13} } + \dfrac{\ 1\ }{2} = $$ $$ = \dfrac{\ 14\ }{3} + \dfrac{\ 5 \ }{3 } + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 19\ }{3} + \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 38\ }{6} + \dfrac{\ 3\ }{6} = \dfrac{\ 41\ }{6} $$ Sustituimos en (*) y tenemos:

$$\dfrac{\ \dfrac{\ 5\ }{3} - \left [ \ \dfrac{\ 2\ }{3} : \dfrac{\ 2\ }{5} - \left ( \ 3 + \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \right ] \cdot \dfrac{\ 3\ }{11} \ }{\ \dfrac{\ 14\ }{3} - \dfrac{\ 13\ }{3} : \left ( \dfrac{\ 2\ }{5} - 3 \right ) + \dfrac{\ 1\ }{2} \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{\ 13\ }{ 6 }\ \ \ \ }{ \dfrac{\ 41\ }{6} } = \dfrac{\ 13 \cdot 6\ }{ 41 \cdot 6 } = \dfrac{\ 13 \cdot \cancel{6}\ }{ 41 \cdot \cancel{6} } = \dfrac{\ 13\ }{ 41 } $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Fracciones parciales. Descomposición de fracciones algebraicas en fracciones más sencillas.

 Fracciones Parciales

Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes son iguales.

Si dos polinomios son iguales, coincide su valor para cualquier valor de $x$.

Fracciones Propias e Impropias

Definición: Se dice que una fracción racional $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ es una fracción propia, si el grado del polinomio $P(x)$ es menor que el grado del polinomio $Q(x)$. En caso contrario, es decir, si el grado de $P(x)$ es mayor o igual al de $Q(x)$, la fracción se llama impropia. 

Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio mas una fracción propia. Es decir, 

$$ \dfrac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \dfrac{d(x)}{Q(x)} $$

Vamos a descomponer un fracción propia en suma de fracciones más sencillas. Tenemos 4 casos:

Caso I: El denominador $Q(x)$ es un producto de factores lineales distintos. Esto significa que podemos escribir

$$ Q(x) = \left(a_{1} x + b_{1} \right) \left( a_{2} x + b_{2} \right ) \cdots \left( a_{k} x + b_{k} \right ) $$

en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k}$ tales que

$$ \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{A_{1}}{a_{1}x + b_{1}} + \dfrac{A_{2}}{a_{2} x + b_{2}} + \cdots + \dfrac{A_{k}}{a_{k} x + b_{k}} $$

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales la fracción: $$ \dfrac{7x + 3}{ x^2 + 3x - 4} $$

Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como sigue:

$$ x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1) $$

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{7x + 3}{x^2 + 3x - 4} = \dfrac{7x + 3}{(x + 4)(x - 1)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{B}{x - 1 } $$

Para encontrar los valores de $A$ y $B$, ponemos común denominador, obteniendo

$$ 7x + 3 = A(x - 1) + B(x + 4) $$

En este punto tenemos dos opciones:

     a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

        $$7x + 3 = Ax - A + Bx + 4B $$ 

    De $x$ tenemos que $7x  = Ax + Bx$;

    del término independiente $ 3 = - A + 4B $

    b) Calculando valores de los polinomios. ¿Qué valores de $x$ vamos a coger? Está claro, ¿no? Cogeremos las raíces, $x = 1$ y $x = -4$

Por lo que la fracción original queda:

$$ \dfrac{7x + 3}{x^2 + 3x - 4} = \dfrac{5}{x + 4} + \dfrac{2}{x - 1} $$

Ejemplo 2 $$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{2x^3 + 3x^2 - 2x } $$

Solución Se tiene que el denominador se puede factorizar como sigue:

$$ 2 x^3 + 3x^2 - 2x = x \left( 2x^2 + 3x - 2 \right ) = x(2x - 1)(x + 2) $$

Luego, la descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x(2x - 1)(x + 2)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{2x - 1} + \dfrac{C}{x + 2} $$

Ponemos denominador común y tenemos: 

$$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x(2x - 1)(x + 2)} = \dfrac{A(2x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1) }{x(2x - 1)(x + 2)} $$

igualando numeradores se obtiene

$$ x^2 + 2x - 1 = A(2x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1) \qquad (1) $$

En este punto tenemos dos opciones:

a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: \\

$$ x^2 + 2x - 1 = A(2x^2 + 4x - x - 2) + B(x^2 + 2x) + C(2x^2 - x) $$

$$ x^2 + 2x - 1 = 2Ax^2 + 3Ax - 2A + Bx^2 + 2Bx + 2Cx^2 - Cx $$

$$ x^2 + 2x - 1 = x^2(2A + B + 2C) + x(3A + 2B - C) - 2A $$

es decir

$$A = \dfrac{1}{2}, \quad B = \dfrac{1}{5}, \quad \text{y} \quad C = -\dfrac{1}{10}$$

así

$$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{2x^3 + 3x^2 - 2x} = \dfrac{ \dfrac{1}{2} }{x} + \dfrac{ \dfrac{1}{5} }{2x - 1} + \dfrac{ - \dfrac{1}{10}}{x + 2}  =  \dfrac{ 1 }{2x} + \dfrac{ 1 }{5(2x - 1)} - \dfrac{ 1 }{10(x + 2)}  $$

    b) Calculando valores de los polinomios. Si en (1) damos valores tenemos:

$$ x^2 + 2x - 1 = A(2x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1) $$

$$x = 0  \Longrightarrow -1 = -2A \Rightarrow A = \dfrac{1}{2} $$

$$x = -2 \Longrightarrow -1 = C(-2)(2\cdot(-2) - 1) \Rightarrow -1 = 10C \Rightarrow C = -\dfrac{1}{10} $$

$$x = \dfrac{1}{2} \Longrightarrow \dfrac{1}{4} = B\dfrac{1}{2} \cdot \left ( \dfrac{1}{2} + 2 \right ) \Rightarrow \dfrac{1}{4} = B\dfrac{5}{4} \Rightarrow B = \dfrac{1}{5} $$

  Caso II: El denominador $Q(x)$ es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Si $Q(x)$ tiene un factor lineal repetido $k$ veces de la forma $\left(a_{1} x + b_{1}\right)^{k},$ entonces la descomposición en fracciones parciales contiene $k$ términos de la forma:

$$ \dfrac{A_{1}}{a_{1}x + b_{1}} + \dfrac{A_{2}}{\left(a_{1}x + b_{1} \right)^{2}} + \cdots + \dfrac{A_{k}}{\left(a_{1} x+b_{1}\right)^{k}} \text{ donde } A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} \text{ son constantes. } $$ \\

Ejemplo 3 Descomponer en fracciones parciales:

$$ \dfrac{5x^2 - 36x + 48}{x(x - 4)^2} $$

La descomposicion en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{5x^{2} -36x + 48}{x(x - 4)^{2}} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{(x - 4)} + \dfrac{C}{(x - 4)^{2}} $$

Poniendo denominador común

$$ \dfrac{5x^{2} -36x + 48}{x(x - 4)^{2}} = \dfrac{A(x - 4)^2 + Bx(x - 4) + Cx}{x(x - 4)^{2}} $$

Igualando numeradores tenemos 

$$ 5x^2 - 36x + 48 = A(x - 4)^2 + Bx(x - 4) + Cx \qquad (2) $$

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ 5x^2 - 36x + 48 = A(x^2 - 8x + 16) + B(x^2 - 4x) + Cx $$

$$ 5x^2 - 36x + 48 = x^2(A + B) + x(- 8A - 4B + C) + 16A $$

obteniendo el sistema:

Luego:

$$ \dfrac{5x^2 - 36x + 48}{x(x - 4)^2} = \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x - 4} - \dfrac{4}{(x - 4)^2} $$

   b) Calculando valores de los polinomios. Si damos valores en (2) tenemos: \\ \\ 

$x = 0 \Longrightarrow 48 = 16 A \Rightarrow A = \dfrac{48}{16} = 3 $ \\ \\

$x = 4 \Longrightarrow -16 = 4 C \Rightarrow C = \dfrac{-16}{4} = -4 $ \\ \\

$x = 1 \Longrightarrow 17 = 9A - 3B + C \Rightarrow 17 = 27 -3B -4 \Rightarrow -6 = -3B \Rightarrow B = 2 $

Ejemplo 4 Descomponer en fracciones parciales:

$$  \dfrac{4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} $$

Factorizamos el denominador

$$ x^3 - 4x^2 + 4x = x ( x - 2 )^2 $$ 

Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{4x - 4}{x ( x - 2 )^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 2} + \dfrac{C}{(x - 2)^2} $$

poniendo común denominador:

$$ \dfrac{4x - 4}{x ( x - 2 )^2} = \dfrac{A( x - 2 )^2 + B x ( x - 2 ) + Cx}{x(x - 2)^2} $$

igualando numeradores tenemos: 

$$ 4x - 4 = A( x - 2 )^2 + B x ( x - 2 ) + Cx \qquad \text{(4)}$$ 

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ 4x - 4 = A( x - 2 )^2 + B x ( x - 2 ) + Cx $$

$$ 4x - 4 = Ax^2 -4Ax + 4A + Bx^2 - 2Bx + Cx $$

obteniendo el sistema:

Luego:

$$ \dfrac{4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} = \dfrac{-1}{x} + \dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{2}{(x - 2)^2} $$ 

   b) Calculando valores de los polinomios. Si damos valores en (4) tenemos:

$x = 2 \Longrightarrow 4 = 2C \Rightarrow C = \dfrac{4}{2} = 2 $

$x = 0 \Longrightarrow -4 = 4 A \Rightarrow A = \dfrac{-4}{4} = -1 $

$x = 1 \Longrightarrow 0 = A - B + C \Rightarrow B = A + C = 2 - 1 = 1 $

Ejemplo 5 Descomponer en fracciones parciales una fracción impropia:

$$ \dfrac{x^4 - 2x^2 + 4x + 1}{x^3 - x^2 - x + 1 } $$

Comenzaremos por dividir los polinomios

$$ \dfrac{x^4 - 2x^2 + 4x + 1}{x^3 - x^2 - x + 1} = x + 1 + \dfrac{4x}{x^3 - x^2 - x + 1} $$

luego, factorizando el denominador $ x^3 - x^2 - x + 1 $ resulta

$$ x^3 - x^2 - x + 1 = (x + 1)(x - 1)^{2} $$

Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{4x}{(x+1)(x - 1)^2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{(x - 1)^2} + \dfrac{C}{x + 1} $$

poniendo denominador común:

$$ 4x = A(x + 1)(x - 1) + B(x + 1) + C(x - 1)^2 \qquad (5) $$

$$ 4x = A(x^2 - 1) + B(x + 1) + C(x^2 - 2x + 1) $$

$$ 4x = x^2(A + C) + x(B - 2C) - A + B + C $$

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

del cual de obtiene: $A = 1, \quad B = 2$ y $C = -1$ de modo que

$$ \dfrac{x^4 - 2x^2 + 4x + 1}{x^3 - x^2 - x + 1} = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{ (x - 1)^2 } - \dfrac{1}{x + 1} $$

   b) Si damos valores en (5) tenemos:

$$x = 1 \Longrightarrow 4 = 2 B \Rightarrow B = 2 $$

$$x = -1 \Longrightarrow -4 = 4 C \Rightarrow C = -1 $$

$$x = 0 \Longrightarrow 0 = -A + B + C \Rightarrow 0 = -A + 2 - 1 \Rightarrow A = 1 $$

Al principio habéis visto que habría 4 casos, los dos que quedan los añadiré más adelante. 

A continuación proponemos unos cuantos ejercicios:

Lo primero que tenmos que haces es factorizar el denominador: $ x^2 - 5x + 6 $. Podemos usar la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado o Ruffini. Sea el método que sea, vemos que podemos factorizar el denominador $ x^2 - 5x + 6 = (x- 2) \cdot (x - 3)$

Así sabemos que $ \dfrac{5x + 13}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 3} $ con $A$ y $B$ constantes.

$$ \dfrac{5x + 13}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 3} = \dfrac{A \cdot (x -3) + B \cdot (x - 2) }{ (x - 2) \cdot (x - 3) } $$ Ahora tenemos que ver que $5x + 13 = A \cdot (x - 3) + B \cdot (x - 2) $ y para resolver esto, es decir, que dos polinomios son iguales lo podemos hacer de dos formas:

1. Igualando coeficientes
2. Evaluando valores

Vamos hacerlo evaluando valores:

Si $x = 2 \Rightarrow 5 \cdot 2 + 13 = - B \Rightarrow 23 = - B \Rightarrow B = -23 $

Si $x = 3 \Rightarrow 5 \cdot 3 + 13 = A \Rightarrow A = 28 $

Luego $$ \dfrac{5x + 13}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{28}{x - 3 } - \dfrac{23}{x - 2} $$

Lo primero que tenmos que haces es factorizar el denominador: $ x^3 + 6x^2 + 11x + 6 $. Usaremos Ruffini para calcuar las posibles raíces, vemos que las raíces no pueden ser positivas ya que nunca sería cero. Probamos con -1 y vemos que es raíz. Así tenemos que $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1) \cdot (x^2 + 5x + 6)$ Si seguimos aplicando Ruffini tenemos que $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) $.

Así sabemos que $ \dfrac{6x^2 + 22x + 18}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x + 2} + \dfrac{C}{x +3} $ con $A$, $B$ y $C$ constantes.

$$ \dfrac{6x^2 + 22x + 18}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x + 2} + \dfrac{C}{x +3} = \dfrac{A \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) + B \cdot (x + 1) \cdot (x + 3) + C \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) } { (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) } $$ Ahora tenemos que ver que $6x^2 + 22x + 18 = A \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) + B \cdot (x + 1) \cdot (x + 3) + C \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) $ y para resolver esto, es decir, que dos polinomios son iguales lo podemos hacer de dos formas:

1. Igualando coeficientes
2. Evaluando valores

Vamos hacerlo evaluando valores:

Si $x = -1 \Rightarrow 6 \cdot (-1)^2 + 22 \cdot (-1) + 18 = A \cdot (-1 + 2) \cdot (-1 + 3) \Rightarrow 2 = 2 \cdot A \Rightarrow A = 1 $

Si $x = -2 \Rightarrow 6 \cdot (-2)^2 + 22 \cdot (-2) + 18 = B \cdot (-2 + 1) \cdot (-2 + 3) \Rightarrow -2 = - B \Rightarrow B = 2 $

Si $x = -3 \Rightarrow 6 \cdot (-3)^2 + 22 \cdot (-3) + 18 = C \cdot (-3 + 1) \cdot (-3 + 2) \Rightarrow 6 = 2C \Rightarrow C = 3 $

Luego $$ \dfrac{6x^2 + 22x + 18}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6} = \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{2}{x + 2} + \dfrac{3}{x + 3} $$

En este caso el grado de los polinomios del numerador y denominador son iguales, tenemos que hacer la división «en caja» y nos quedará:

$$ - (x^2 + 4x + 6) = (x^2 - 3x + 2) \cdot (-1) - ( 7x + 4 ) \Rightarrow - \dfrac{x^2 + 4x + 6 }{x^2 - 3x + 2} = - 1 - \dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2} $$ Luego tenemos que descomponer $\dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2}$ es fracciones simples:

El denominador $ x^2 - 3x + 2 $, como 1 es raíz se factoriza rápidamente $ x^2 - 3x + 2 = (x - 1) \cdot (x - 2) $ luego

$\dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x - 2} = \dfrac{ A \cdot (x - 2) + B \cdot (x - 1) }{ x^2 -3x + 2 }$

Evaluando tenemos:

Si $x = 1 \Rightarrow 7\cdot 1 + 4 = -A \Rightarrow A = -11 $

Si $x = 2 \Rightarrow 7\cdot 2 + 4 = B \Rightarrow B = 18 $

Luego $$ \dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2} = \dfrac{-11}{x - 1} + \dfrac{18}{x - 2} $$ y por tanto $$ - \dfrac{x^2 + 4x + 6 }{x^2 - 3x + 2} = -1 - \dfrac{7x + 4}{x^2 - 3x + 2} = - 1 - \dfrac{18}{x - 2} + \dfrac{11}{x - 1} $$

$$ \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{(x - 1)^2} $$

$$ \dfrac{2}{(x - 2)^2} - \dfrac{2}{x + 3} - \dfrac{2}{x - 1} $$

$$ 1 + \dfrac{-3x^{2} + 14x + 32}{x^{3} + 2x^{2} - 4x - 8} = 1 + \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{6}{x + 2} + \dfrac{2}{(x + 2)^2} $$

Caso III: El denominador $Q(x)$ contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite.
Si $Q(x)$ tiene un factor cuadrático no repetido de la forma $ax^2 + bx + c$, en donde, $b^2 - 4ac < 0$, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma:
$$ \dfrac{ Ax + B }{ ax^2 + bx + c } \qquad \text{ donde } A \text{ y } B \text{ son constantes } $$
Ejemplo 6 Descomponer en fracciones parciales: $$ \dfrac{4x^2 - 8x + 1}{x^3 - x + 6} $$ Tenemos que $$ \dfrac{ 4x^2 - 8x + 1 }{ x^3 - x + 6 } = \dfrac{4x^2 - 8x + 1}{(x + 2) \left( x^2 - 2x + 3 \right ) } = \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B x + C}{x^2 - 2x + 3} $$ multiplicando por el común denominador: $$ 4x^2 - 8x + 1 = A \left( x^2 - 2x + 3 \right) + (Bx + C)(x + 2) \qquad (4) $$ $$ 4x^2 - 8x + 1 = Ax^2 - 2Ax + 3A + Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C $$ $$ 4x^2 - 8x + 1 = x^2(A + B) + x(-2A + 2B + 2C) + 3A + 2C $$ obteniendo el sistema $$\left \{ \begin{array}{ll} A + B & = 4 \Rightarrow B = 4 - A \cr -2A + 2B + C & = -8 \\ %\quad \text { de donde } \quad A=3, B=1, C=-4 \cr 3A + 2C & = 1 \Rightarrow C = \dfrac{1 - 3A}{2} \end{array} \right. $$ Por lo tanto, $$ -2A + 2(4 - A) + \dfrac{1 - 3A}{2} = -8 \Rightarrow -4A + 16 - 4A + 1 - 3A = -16 \Rightarrow -11A = -33 \Rightarrow A = 3 $$ Luego $B = 4 - 3 = 1$ y $C = \dfrac{1 - 9}{2} = \dfrac{-8}{2} = -4 $ Así:
$$ \dfrac{4x^2 - 8x + 1}{x^3 - x + 6} = \dfrac{3}{x + 2} + \dfrac{x - 4}{x^2 - 2x + 3} $$ Si tomamos valores en (4) tenemos:

$ x = - 2 \Longrightarrow 33 = A 11 \Rightarrow A = 3 $

$ x = 0 \Longrightarrow 1 = 3A + 2C \Rightarrow 1 - 9 = 2C \Rightarrow -8 = 2C \Rightarrow C = -4 $

$ x = 1 \Longrightarrow -3 = 2A + (B + C)3 \Rightarrow -3 = 6 + 3B - 12 \Rightarrow 9 = 6 + 3B \Rightarrow 3 = 3B \Rightarrow B = 1 $


Ejemplo 7: $$ \dfrac{ 2x^2 - x + 4 }{ x^3 + 4x } $$
Solución Se tiene que la fracción se puede descomponer de la siguiente forma:
$$ \dfrac{2x^2 - x + 4}{ x^3 + 4x } = \dfrac{2x^2 - x + 4}{x \left( x^2 + 4 \right) } = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 4} $$ De donde se obtiene multiplicando por el común denominador:
$$ 2x^2 - x + 4 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x \qquad (5) $$ $$ 2x^2 - x + 4 = Ax^2 + 4A + Bx^2 + Cx $$ $$ 2x^2 - x + 4 = x^2(A + B) + Cx + 4A$$ $$\left \{ \begin{array}{ll} A + B & = 2 \cr C & = -1 \cr 4A & = 4 \Rightarrow A = 1 \end{array} \right. $$ $$ A + B = 2 \Rightarrow \quad A = 1. $$ Por lo cual $$ \dfrac{2x^2 - x + 4}{x^3 + 4x} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{x - 1}{x^2 + 4} $$
Si tomamos valores en (5)

$ x = 0 \Longrightarrow 4 = A 4 \Rightarrow A = 1 $

$ x = 1 \Longrightarrow 5 = A5 + (B + C) \Rightarrow B = -C $

$ x = -1 \Longrightarrow 7 = 5 - (-B + C) \Rightarrow 2 = -2C \Rightarrow C = -1 \Rightarrow B = 1$

Caso IV: El denominador $Q(x)$ contiene un factor irreductible repetido.

Si $Q(x)$ tiene un factor cuadrático repetido $k$ veces de la forma $\left ( ax^2 + bx + c \right )^{k}$, donde $b^2 - 4ac < 0$, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene $k$ términos de la forma: $$ \dfrac{ A_{1} x + B_{1}}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{A_{2}x + B_2}{\left( ax^2 + bx + c \right)^2} + \cdots + \dfrac{A_{k} x + B_k}{ \left ( ax^2 + bx + c \right)^k} $$ donde $A_1, A_2, \cdots, A_k,$ y $B_1, B_2, \cdots B_k$ son constantes.

Ejemplo 8: Descomponer en fracciones parciales $$ \dfrac{1 - x + 2x^2 - x^3}{x \left( x^2 + 1 \right)^2 } $$ Solución: La forma de descomponer esta division de polinimios en fracciones parciales es: $$ \dfrac{1 - x + 2x^2 - x^3}{ x \left( x^2 + 1 \right )^2 } = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 1} + \dfrac{D x + E}{ \left( x^2 + 1 \right )^2 } $$ Multiplicando por $x \left( x^2 + 1 \right)^2$ y luego igualando coeficientes
$$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = A( x^2 + 1)^2 + (Bx + C)x(x^2 + 1) + x(Dx + E) \qquad (6) $$ $$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = A(x^4 + 2x^2 + 1) + (Bx + C)(x^3 + x) + Dx^2 + Ex $$ $$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = A(x^4 + 2x^2 + 1) + Bx^4 + Bx^2 + Cx^3 + Cx + Dx^2 + Ex $$ $$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = x^4(A + B) + x^3C + x^2(2A + B + D) + x(C + E) + A $$ se obtiene el siguiente sistema: $$\left \{ \begin{array}{ll} A + B & = 0 \cr C & = -1 \cr 2A + B + D & = 2 \cr C + E & = -1 \cr A & = 1 \cr \end{array} \right. $$ Cuya solución es: $ A = 1$, como $ B = -A \Rightarrow B = -1$, como $ C = -1 \Rightarrow E = 0$ y así $ D = 1 $.
Entonces $$ \dfrac{1 - x + 2x^2 - x^3 }{x \left ( x^2 + 1 \right )^2 } = \dfrac{1}{x} - \dfrac{x + 1}{x^2 + 1} + \dfrac{x}{\left( x^2 + 1 \right )^2 } $$
Tomando valores en (6) tenemos:
$ x = 0 \Longrightarrow 1 = A $

$ x = 1 \Longrightarrow 1 = 4A + 2(B + C) + (D + E) \Rightarrow - 3 = 2B + 2C + D + E $

$ x = -1 \Longrightarrow 5 = 4A - 2(B + C) - (-D + E) \Rightarrow 1 = 2B - 2C + D - E $

$ x = 2 \Longrightarrow -1 = 25A + 10(2B + C) + 2(2D + E) \Rightarrow -26 = 20B + 10C + 4D + 2E $

$ x = -2 \Longrightarrow 19 = 25A - 10(2B + C) - 2(-2D + E) \Rightarrow -6 = 20B - 10C + 4D - 2E $

se obtiene el siguiente sistema: $$\left \{ \begin{array}{ll} 2B + 2C + D + E & = -3 \cr 2B - 2C + D - E & = 1 \cr 20B + 10C + 4D + 2E & = -26 \cr 20B - 10C + 4D - 2E & = -6 \cr \end{array} \right. $$ Sumamos la $1^{\underline{a}}$ y $2^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (a) $-1 = 2B + D$

Sumamos la $3^{\underline{a}}$ y $4^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (b) $-4 = 5B + D$

Restamos $(a)$ y $(b): 3 = -3B \Rightarrow B = -1 \Rightarrow D = 1$

Restamos la $1^{\underline{o}}$ y $2^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (c) $-2 = 2C + E$

Restamos la $3^{\underline{a}}$ y $4^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (d) $-5 = 5C + E$

Restamos $(c)$ y $(d): 3 = -3C \Rightarrow C = -1 \Rightarrow E = 0$

Ejemplo 9: $$ \dfrac{x^3}{x^4 + 4x^2 + 4}$$ Solución La forma de descomponer esta division de polinimios en fracciones parciales es: $$ \dfrac{x^3}{x^4 + 4x^2 + 4} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2} + \dfrac{Cx + D}{ (x^2 + 2)^2 } $$
Multiplicando por el mínimo común múltiplo y luego igualando coeficientes
$$ x^3 = (Ax + B)(x^2 + 2) + (Cx + D) \qquad (7) $$
$$ x^3 = Ax^3 + 2Ax + Bx^2 + 2B + Cx + D $$
$$ x^3 = Ax^3 + Bx^2 + x(2A + C) + 2B + D $$
se obtiene el siguiente sistema: $$\left \{ \begin{array}{ll} A & = 1 \cr B & = 0 \cr 2A + C & = 0 \Rightarrow C = -2\cr 2B + D & = 0 \Rightarrow D = 0 \cr \end{array} \right. $$ En este caso no merece la pena tomar valores en $x$, pero ser puede hacer sin problemas.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com