Tabla de derivadas, ejemplos y ejercicios con solución.

$ \require{cancel} $

	Función	Derivada
(1) Derivada de una contante por una función.	$ \require{cancel} F(x) = c \cdot f(x) $	$ F'(x) = c \cdot f('x)$
(2) Derivada de una suma o resta de funciones.	$ F(x) = f(x) \pm g(x)$	$ F'(x) = f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x)$
(3) Derivada de un producto de funciones.	$ F(x) = f(x) \cdot g(x)$	$ F(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
(4) Derivada de un cociente de funciones.	$ F(x) = \dfrac{\ \ f(x) \ \ }{ g(x) } $	$ F'(x) = \dfrac{\ \ f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) }{ \left [ g(x) \right ]^2 } $
(5) Regla de la cadena	$F(x) = f( g(x) )$	$F'(x)=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) $

Linealidad de la derivada:

De las propiedades (1) y (2) podemos deducir que:

$$ \Large{ \text{Sean } c_1, c_2 \in \R \Rightarrow \left [ c_1 \cdot f(x) + c_2 \cdot g(x) \right ]^{\prime} = c_1 \cdot f^{\prime}(x) + c_2 \cdot g^{\prime}(x) } $$

Función	Derivada	Función compuesta	Derivada	Ejemplo
$y = c, c \in \R $	$y' = 0 $
$y = x$	$y' = 1 $
$y = x^2$	$y' = 2x$
$y = x^p, p \in \R$	$y' = p \cdot x^{p - 1}$	$F(x) = [f(x)]^{p} $	$F^{\prime}(x) = p \cdot [f(x)]^{p - 1} \cdot f'(x) $	Ej. 1
$ y = \sqrt{x} $	$ y' = \dfrac{1}{\ 2 \sqrt{\ x\ }\ } $	$ F(x) = \sqrt{\ f(x)\ } $	$ F'(x) = \dfrac{1}{\ 2 \sqrt{\ f(x)\ }\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{f'(x)}{\ 2 \sqrt{\ f(x)\ }\ } $	Ej. 2
$ y = e^{x} $	$ y' = e^{x} $	$ F(x) = e^{f(x)} $	$ F'(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x) $	Ej. 3
$ y = a^{x} $	$ y' = a^{x} \cdot \ln a $	$ F(x) = a^{f(x)} = $ $= e^{\ \ln a^{f(x)}\ } = $ $= e^{\ f(x) \cdot \ln a\ } $	$ F'(x) = a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f^{\prime}(x) $	Ej. 4
$ y = \ln x $	$ y' = \dfrac{1}{\ x\ }$	$ F(x) = \ln f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{1}{\ f(x)\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{\ f'(x)\ }{f(x)}$	Ej. 5
$ y = \log_{a} x $	$ y' = \dfrac{1}{\ x\ } \cdot \dfrac{1}{\ \ln a\ } $	$ F(x) = \log_{a} f(x) $ $= \dfrac{\ \ln f(x)\ }{ \ln a } $	$ F'(x) = \dfrac{1}{\ f(x)\ } \cdot \dfrac{1}{\ \ln a\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{f'(x)}{\ f(x) \ln a\ }$	Ej. 6
$ y = \sen x$	$ y' = \cos x $	$ F(x) = \sen f(x)$	$ F'(x) = f'(x) \cos f(x) $	Ej. 7
$ y = \cos x$	$ y' = - \sen x $	$ F(x) = \cos f(x)$	$ F'(x) = - f'(x) \sen f(x) $	Ej. 8
$ y = \tg x = $ $ = \dfrac{\sen x}{\ \cos x\ }$	$ y' = 1 + \tg^{2} x = $ $ = \sec^2 x\ $	$ F(x) = \tg f(x) $	$ F'(x) = f'(x) \left [ 1 + \tg^{2}( f(x) ) \right ] = $ $ = f'(x) \cdot \sec^{2} f(x) $	Ej. 9
$ y = \sec x = $ $ = \dfrac{1}{\ \cos x \ }$	$ y' = \tg x \cdot \sec x $	$ F(x) = \sec f(x)$	$ F'(x) = f'(x) \cdot \tg f(x) \cdot \sec f(x) $	Ej. 10
$ y = \cosec x$ $ = \dfrac{1}{\ \sen x\ } $	$ y' = - \cotg x \cosec x $	$ F(x) = \cosec f(x)$	$ F'(x) = - f'(x) \cdot \cotg f(x) \cdot \sen f(x) $	Ej. 11
$ y = \cotg x $ $ = \dfrac{\ \cos x\ }{\sen x}$	$ y' = - (1 + \cotg^{2} x ) = $ $ = \cosec^2 x $	$ F(x) = \cotg f(x) $	$ F'(x) = -f'(x) \left [ 1 + \cotg^{2}( f(x) ) \right ] = $ $ = - f'(x) \cdot \cosec^{2} f(x) $	Ej. 12
$ y = \arcsen x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ } $	$ F(x) = \arcsen f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ \sqrt{\ 1 - [f(x)]^{2}\ }\ } $	Ej. 13
$ y = \arccos x $	$ y' = \dfrac{-1}{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ } $	$ F(x) = \arccos f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{- f'(x)}{\ \sqrt{\ 1 - [f(x)]^{2}\ }\ } $	Ej. 14
$ y = \arctg x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \ 1 + x^2\ \ } $	$ F(x) = \arctg f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \ 1 + [f(x)]^{2}\ \ } $	Ej. 15
$ y = \arcsec x $	$ y' = \dfrac{1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $	$ F(x) = \arcsec f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ f(x) \cdot \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1\ }\ } $	Ej. 16
$ y = \arccosec x $	$ y' = \dfrac{- 1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $	$ F(x) = \arccosec f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{- f'(x)}{\ f(x) \cdot \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1\ }\ } $	Ej. 17
$ y = \arccotg x $	$ y' = \dfrac{- 1}{\ \ 1 + x^2\ \ } $	$ F(x) = \arccotg f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ - f'(x) }{\ \ 1 + [f(x)]^{2}\ \ } $	Ej. 18
$ F(x) = g(x)^{h(x)} $	$ F'(x) = h(x) \cdot g(x)^{h(x) - 1} g'(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) $			Ej. 19
$ y = \sh x $	$ y' = \ch x $	$ F(x)= \sh f(x) $	$ F(x)= f'(x) \cdot \sh f(x) $
$ y = \ch x $	$ y' = \sh x $	$ F(x)= \ch f(x) $	$ F(x)= f'(x) \cdot \sh (f(x)) $
$ y = \th x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \ch^{2} x\ \ } = $ $ = 1 - \th^{2} x $	$ F(x)= \th f(x) $	$ F(x)= f'(x) \cdot \dfrac{1}{\ \ch^{2} f(x)\ \ } = $ $ = f'(x) \cdot ( 1 - \th^{2} f(x) ) $
$ y = \argsh x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ x^2 + 1 \ }\ } $	$ F(x) = \argsh f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ \sqrt{\ [f(x)]^{2} + 1 \ }\ } $
$ y = \argch x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $	$ F(x) = \argch f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1 \ }\ } $
$ y = \argth x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \ 1 - x^2\ \ } $	$ F(x) = \argth f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \ 1 - [f(x)]^{2}\ \ } $

Derivada de la potencia de una función

$$ f(x) = \ln^{5}(3 x) = \left ( \ln (3x) \right )^5 \Rightarrow f'(x) = 5 \cdot \ln^4(3x) \cdot 3 = 15 \cdot \ln^4(3x) $$

$$ g(x) = \tg^{3} \left(e^{3x} \right) \Rightarrow g'(x) = 3 \cdot \tg^{2} \left(e^{3x} \right) \cdot ( 1 + \tg^{2} \left(e^{3x} \right) ) \cdot 3 = 9 \tg^2(3x) ( 1 + \tg^2(3x) ) $$

Derivada de la función raíz cuadrada

$$ f(x) = \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ } \Rightarrow f'(x) = \dfrac{\ \left( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ } \right )' \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ -(1 + x) - (1 - x)}{(1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ -1 - x - 1 + x }{(1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ -2 }{\ (1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = $$

$$ = \dfrac{\ \dfrac{ -1 }{\ (1 + x)^2} \ }{\ \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 1 + x\ } }{\ (1 + x)^2 \sqrt{\ \ 1 - x\ }\ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 1 - x^2\ } }{\ (1 - x)(1 + x)^2 \ }$$

$$ g(x) = \sqrt{\ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ \left ( \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \right )' \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x (1 + \sen x) - \cos x (1 - \sen x) \ }{ (1 + \sen x)^2 } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x - \cos x \sen x - \cos x + \cos x \sen x \ }{ (1 + \sen x)^2 } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - 2\cos x }{\ (1 + \sen x)^2 \ } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x }{\ (1 + \sen x)^2 \ } \ }{ \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ - \cos x \sqrt{ \ 1 + \sen x \ } }{\ (1 + \sen x)^2 \cdot \sqrt{ \ 1 - \sen x\ \ } } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x \sqrt{ \ 1 - \sen^2 x \ } }{\ (1 + \sen x)^2 \cdot (1 - \sen x) \ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ (1 + \sen x) \cdot (1 - \sen^2 x) \ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ (1 + \sen x) \cdot \cos^2 x \ } = \dfrac{\ - 1 }{\ 1 + \sen x\ } $$

Derivada de la función exponencial, base $e$

$$ f(x) = e^{\sen x} = \Rightarrow f'(x) = \cos x \cdot e^{\sen x} $$

$$ g(x) = e^{x \cdot \cos x} \Rightarrow g'(x) = (x \cdot \cos x)' \cdot e^{x \cdot \cos x} = (\cos x - x \sen x) \cdot e^{x \cdot \cos x} $$

Derivada de la función exponencial, base $a \neq e$

$$ f(x) = 2^x = e^{\ln2^x} = e^{x \cdot \ln2} \Rightarrow f'(x) = \ln2 \cdot e^{x \cdot \ln2} = \ln2 \cdot 2^x $$

Derivada de la función logaritmo neperiano

Para este tipo de derivadas hay que tener en cuenta las propiedades de los logartimos:

$$ f(x) = \ln \left ( x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \right ) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ ( x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } )'}{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ 1 + \dfrac{2x}{2 \cdot ( \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ ) }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ 1 + \dfrac{x}{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ \dfrac{\ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ }{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{\ \cancel{x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ }{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ }{ \ \cancel{x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ } = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }{\ 1 + x^2\ } $$

$$ g(x) = \ln \left ( \dfrac{\ \sqrt{\ a^2 + x^2\ }\ }{ x^2 }\right ) = \ln \left ( \sqrt{\ a^2 + x^2\ } \right ) - \ln x^2 = \dfrac{\ 1\ }{2} \ln (a^2 + x^2) - 2\ln x \Rightarrow f'(x) = \dfrac{\ 1\ }{2} \dfrac{\ 2x\ }{\ a^2 + x^2\ } - \dfrac{\ 2\ }{x} = $$
$$ = \dfrac{\ x\ }{\ a^2 + x^2\ } - \dfrac{\ 2\ }{x} = \dfrac{\ x^2 - 2a^2 - 2x^2\ }{\ x(a^2 + x^2)\ } = \dfrac{\ - (x^2 + 2a^2)\ }{\ x(a^2 + x^2)\ } $$

$$ h(x) = \ln \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x} \ } = \ln \left ( \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x} \right )^{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \ln (1 - x ) - \ln (1 + x) \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow h'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1}{1 - x} - \dfrac{ 1}{1 + x} \right ] = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1 - x}{\ (1 - x)(1 + x)\ } - \dfrac{ 1 - x }{\ (1 - x)(1 + x)\ } \right ] = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1 - x - 1 + x }{\ (1 - x)(1 + x)\ } \right ] = $$ $$ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{- 2 }{\ (1 - x)(1 + x)\ } = \dfrac{1}{ \cancel{2} } \cdot \dfrac{- \cancel{2} }{\ (1 - x)(1 + x)\ } = \dfrac{-1}{\ 1 - x^2\ } = \dfrac{1}{\ x^2 - 1\ } $$

$$i(x) = \ln \left (x \cdot \tg x \right )^2 = 2 \cdot \ln \left (x \cdot \tg x \right ) = 2 \cdot \left ( \ln x + \ln \tg x \right ) $$ $$i'(x) = 2 \cdot \left ( \dfrac{ 1}{\ x\ } + \dfrac{ 1 + \tg^2 x \ }{\tg x} \right ) = \dfrac{ 2 }{\ x\ } + 2 \cotg x + 2 \tg x $$

$$j(x) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ x^2\ } \cdot \sqrt[3]{\ x^2 - 1 \ } \right ) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ x^2\ } \right ) + \ln \left ( \sqrt[3]{\ x^2 - 1 \ } \right ) = \ln x^{-2} + \ln \left ( x^2 - 1 \right )^{1/3} = -2 \ln x + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \ln (x^2 - 1) $$ $$j'(x) = \dfrac{ -2 }{\ x\ } + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{ 2x }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ - 6x^2 + 6 + 2x^2 }{\ 3x (x^2 - 1)\ } = \dfrac{ 6 - 4x^2 }{\ 3x (x^2 - 1)\ } $$

$$k(x) = \ln \left ( \sqrt[3]{ \dfrac{1}{\ (1 + x)^2\ } }\right ) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ (1 + x)^2\ } \right )^{1/3} = \ln (1 + x)^{-2/3} = \dfrac{ -2 }{\ 3\ } \cdot \ln (1 + x) $$ $$k'(x) = \dfrac{ -2 }{\ 3\ } \cdot \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ } = \dfrac{ - 2 }{\ 3 + 3x\ } $$

Derivada de la función logaritmo en base $a \neq e$

Hacemos un cambio de base y tenemos que derivar un logaritmo neperiano cuya derivada ya hemos visto: $$ F(x) = \log_{a} f(x) = \dfrac{\ln f(x)}{\ln a} \Rightarrow F'(x) = \dfrac{ 1 }{\ \ln a\ } \cdot \dfrac{\ f'(x)\ }{f(x)} $$

$$ g(x) = \log_{3} (x + 2 ) = \dfrac{\ \ln(x + 2) \ }{ \ln 3 } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ 1 \ }{ \ln 3 \cdot (x + 2) } $$

Derivada de la función seno

$$ f(x) = \sen \left( e^{3x} \right) \Rightarrow f'(x) = (e^{3x})' \cdot \cos \left( e^{3x} \right) = 3 \cdot e^{3x} \cdot \cos \left( e^{3x} \right) $$

$$ g(x) = \sen( \ln x ) \Rightarrow g'(x) = (\ln x)' \cdot \cos( \ln x ) = \dfrac{1}{\ x \ } \cdot \cos( \ln x ) = \dfrac{\ \cos( \ln x ) \ }{\ x \ } $$

$$ h(x) = \sen(x \cdot \sen x) \Rightarrow h'(x) = (x \cdot \sen x)' \cos(x \cdot \sen x) = (\sen x + x \cdot \cos x) \cos(x \cdot \sen x) $$

Derivada de la función coseno

$$ f(x) = \cos \left( e^{5x} \right) \Rightarrow f'(x) = - 5 \cdot e^{5x} \cdot \sen \left( e^{5x} \right) $$

$$ g(x) = \cos \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) \Rightarrow g'(x) = - \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right)' \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = - \dfrac{\ e^x \cdot 5x - 5 \cdot e^x \ }{ 25x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = $$
$$ = \dfrac{\ 5 e^x ( 1 - x )\ }{ 25x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = \dfrac{\ e^x ( 1 - x )\ }{ 5x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) $$

Derivada de la función exponencial, base distinta del número $e$

Tenemos que derivar $2^x$, si aplicamos las propiedades de los logaritmos vemos que $2^x = e^{\ln 2^x} = e^{x \ln 2} $ que ya sabemos derivar. $$ f(x) = \tg 2^x = \tg e^{\ln 2^x} = \tg e^{x \ln 2} \Rightarrow f'(x) = (2^x)' \cdot (1 + \tg^2 2^x) = \ln2 \cdot 2^x \cdot (1 + \tg^2 2^x) $$

$$ g(x) = \tg \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \Rightarrow g'(x) = \left (\dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right )' \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = $$
$$ = \left (\dfrac{\ - e^x(1 + e^x ) - e^x(1 - e^x) \ }{ 1 + e^x } \right ) \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = \left (\dfrac{\ - e^x - e^{2x} - e^x + e^{2x} \ }{\ \left( 1 + e^x \right )^2 \ } \right ) \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = $$
$$ = \dfrac{\ - 2e^x\ }{\ \left( 1 + e^x \right )^2 \ } \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) $$

Derivada de la función arco secante

$$ $$

$$ $$

Derivada de la función arco cosecante

$$ $$

$$ $$

Derivada de la función arco cotangente

$$ $$

$$ $$

Derivada de la función arco seno

$$ f(x) = \arcsen \left( x^2 - 4x \right ) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{2x - 4}{\ \sqrt{\ 1 - (x^2 - 4x)^2\ } \ } $$ $$ g(x) = \arcsen \left( \log_{5}(3x) \right) = \arcsen \left( \dfrac{\ \ln 3x \ }{ \ln 5 } \right) \Rightarrow g'(x) = \dfrac{ \dfrac{1}{\ \ln 5\ } \cdot \dfrac{3}{3x} }{\ \sqrt{\ 1 - (\log_{5}(3x))^2\ } \ } = \dfrac{ 1 }{\ x \cdot \ln 5 \cdot \sqrt{\ 1 - (\log_{5}(3x))^2\ } \ } $$

Derivada de la función arco coseno

$$h(x) = \arccos (\ln x) \Rightarrow h'(x) = - \dfrac{ \dfrac{\ 1\ }{x} }{\ \sqrt{\ 1 - (\ln x)^2\ }\ } = \dfrac{- 1}{\ x \cdot \sqrt{\ 1 - \ln ^2 x\ }\ } $$ $$ $$

$$ f(x) = \arccos \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right ) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right )' }{\ \sqrt{\ 1 - \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right )^2\ }\ } = \dfrac{ \ \dfrac{ \sqrt{\ 1 + x^2\ } - x \dfrac{2x}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \sqrt{\ 1 - \dfrac{x^2}{\ 1 + x^2\ }\ } } = $$ $$ = \dfrac{ \ \dfrac{ \sqrt{\ 1 + x^2\ } - x \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \sqrt{\ \dfrac{1 + x^2 - x^2}{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{ \dfrac{1 + x^2 - x^2}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }( 1 + x^2)\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }( 1 + x^2)\ } = $$
$$ = \dfrac{1}{\ 1 + x^2\ } $$

Derivada de la función arco tangente

$$ F(x) = \arccotg \left(x^2\right) \longrightarrow F'(x) = \dfrac{\ - 2x\ }{1 + \left( x^2 \right)^{2} } = \dfrac{ - 2x}{\ 1 + x^4\ } $$

$$ g(x) = \arctg \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ \left ( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \right )'}{ 1 + \left ( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \right)^2 } = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ 1 + \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 1 + \sen x + 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - \cos x\ (1 + \sen x) - \cos x(1 - \sen x) }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - \cos x + \cos x \sen x - \cos x + \cos x \sen x }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - 2\cos x }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ - 2\cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } )(1 + \sen x) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } )\cancel{(1 + \sen x)} }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^{\cancel{2}}\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)\ } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 - \sen^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen x) (1 + \sen x)\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 - \sen^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen x) (1 + \sen x)\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\cos^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen^2 x)\ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ 2 \cdot \cos^2 x\ } = \dfrac{\ -1\ }{2} $$

Derivada de la función arco secante

$$ f(x) = \arcsec (x^7) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ 7x^6 }{\ x^7 \cdot \sqrt{\ \left( x^7 \right)^2 - 1\ }\ } = \dfrac{ 7 }{\ x \cdot \sqrt{\ x^{14} - 1\ }\ } $$

$$ g(x) = (\arcsec x)^{9} \Rightarrow f'(x) = 9 \cdot (\arcsec x)^{8} \cdot (\arcsec x)' = 9 \cdot (\arcsec x)^{8} \cdot \dfrac{1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $$

Derivada de la función arco cosecante

$$ f(x) = \arccosec \left( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ - \dfrac{1 - x + 1 + x}{\ (1-x)^2\ } }{ \left( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right ) \cdot \sqrt{\ \left ( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right)^2 - 1\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{-(1-x)+(1+x)}{(1-x) \cdot (1+x) \cdot \sqrt{\left( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right)^2 - 1\ }\ } = \dfrac{\ -2x\ }{\ (1 - x) \cdot (1+x) \cdot \sqrt{\left ( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right )^2 - 1\ }\ } = \dfrac{\ 2x\ }{(1-x) \cdot(1+x) \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ (1+x)^2 - (1-x)^2\ }{ (1-x)^2 } } } = $$
$$ = \dfrac{2x}{(1+x) \cdot \sqrt{(1+x)^{2}-(1-x)^{2}}} = \dfrac{2x}{\ (1 + x) \cdot \sqrt{\ \left (1 + 2x + x^2 \right ) - \left( 1 - 2 x + x^2 \right )\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{2 x}{\ (1+x) \cdot \sqrt{\ 4x\ }\ } = \dfrac{x}{\ (1 + x) \cdot \sqrt{\ x\ }\ } $$

$$ g(x) = \arccosec \left( \log _{5} 9 x \right) = \arccosec \left( \dfrac{ \ln 9x}{ \ln 5} \right) \Rightarrow g'(x) = \dfrac{- \dfrac{1}{ \ln5 } \cdot \dfrac{9}{\ 9x\ } }{\ \left( \log _{5} 9 x \right) \cdot \sqrt{\ \left( \log_{5} 9x \right)^2 - 1\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{ - 1}{ \ln 5 \cdot x \cdot \left( \log_{5} 9x \right ) \cdot \sqrt{\ \left ( \log_{5} 9x \right )^2 - 1\ }\ } $$

Derivada de la función arco cotangente

$$ f(x) = \arccotg \left( 6x^8 + 8x^7 + 3x \right) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{\ - \left( 48x^7 + 56x^6 + 3 \right) \ }{\ 1 + \left( 8x^7 + 6 x^8 + 3x \right )^2 } $$

Derivada de la función potencial-exponencial

Derivación logarítmica: Cuando tenemos una función potencial-exponencial, es decir, que tanto la base como el exponente son dos funciones no constantes, $ F(x) = g(x)^{h(x)} $ y la queremos derivar. Tenemos dos opciones:

1. Aprendernos esta fórmula de memoria $ F'(x) = h(x) \cdot g(x)^{h(x) - 1} g'(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) $
2. o saber deducirla (muy recomendable). Veamos como:
   
   Lo $\odn{1}{o}$ tomamos logaritmos neperianos: $$ \ln F(x) = \ln g(x)^{h(x)} $$ $$ \text{ usamos las propiedades de los logaritmos y nos queda } \ln F(x) = h(x) \cdot \ln g(x) $$ Tenemos dos expresiones iguales, luego sus funciones derivadas serán iguales: $$ \left (\ln F(x) \right )' = \left (h(x) \cdot \ln g(x) \right )' \Rightarrow \dfrac{\ F'(x)\ }{F(x)} = h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} $$ $$ \text{ pasamos } F(x) \text{ multiplicando y tenemos que } F'(x) = F(x) \cdot \left ( h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} \right ) $$ y sustituyendo $F(x)$ por su valor tenemos: $$ F'(x) = g(x)^{h(x)} \cdot \left ( h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} \right ) = g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} $$ y así tenemos: $$ F'(x) = g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) + g(x)^{h(x) - 1} \cdot h(x) \cdot g'(x) $$
Vamos con un par de ejemplos: $$ F(x) = (\tg x)^{\cotg x} $$ Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos: $$ \ln F(x) = \cotg x \cdot \ln \tg x \Rightarrow \dfrac{\ F'(x)\ }{F(x)} = -(1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} $$ Pasamos $F(x)$ multiplicando y la sustituimos por su valor: $$ F'(x) = (\tg x)^{\cotg x} \cdot \left ( -(1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} \right ) = $$

$$ = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + (\tg x)^{\cotg x} \cdot \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} = (*) $$ Vemos que $$ \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} = \cotg^2 x \cdot ( 1 + \tg^2 x ) = \cotg^2x + 1 $$ Sustituyendo en (*) tenemos y sacando factor común: $$ = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + (\tg x)^{\cotg x} \cdot ( 1 + \cotg^2 x ) = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot ( \ln \tg x - 1 ) $$

Vamos con otro ejemplo: $$ G(x) = \sqrt[\tg x]{x} = x^{ \dfrac{1}{\tg x} } = x^{ \cotg x} $$ Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos: $$ \ln G(x) = \cotg x \cdot \ln x \Rightarrow \dfrac{\ G'(x)\ }{G(x)} = -(1 + \cotg^2 x) \ln x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} $$ Pasamos $G(x)$ multiplicando y la sustituimos por su valor: $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot \left ( -(1 + \cotg^2 x) \ln x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} \right ) = - \sqrt[\tg x]{x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot \ln x + \sqrt[\tg x]{x} \cdot \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} $$ Agrupando nos queda: $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot \ln x + \sqrt[\cotg x - 1]{x} \cdot \cotg x $$ Otra variante $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot \left ( \dfrac{1}{ \ x \cdot \tg x} - \dfrac{\ln x }{\ \sen^2 x\ } \right ) $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Propiedad distributiva - Ejemplo gráfico

Hola, Vamos a usar la página web graspablemath.com/ para revisar la propiedad distributiva en el siguiente enlace Propiedad Distributiva .

La propiedad distributiva nos dice
$$ a \cdot \left ( b + c \right ) = a \cdot b + a \cdot c $$ Multiplicar un número por la suma de dos número, es lo mismo que multiplicar ese número por cada uno de los sumandos y efectuar después la suma de esos dos productos.

Veamos algunos ejemplos:


1.- $ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 $
Aquí $a = 12 $, $b = 8$ y $c = 42$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 = 12 \cdot ( 8 + 42 ) = 12 \cdot 50 = 600 $$ 2.- $ 23 \cdot 18 + 12 \cdot 23 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 23 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 = 23 \cdot ( 18 + 12 ) = 23 \cdot 30 = 690 $$ 3.- $55 \cdot (20 + 6)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 55 \cdot 26$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 55$, $b=20$ y $c = 6$ tenemos dos productos más sencillos y una suma:
$$ 55 \cdot (20 + 6) = 55 \cdot 20 + 55 \cdot 6 = 1100 + 330 = 1430 $$ 4.- $77 \cdot 31$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 + 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 + 1) = 77 \cdot 30 + 77 \cdot 1 = 2410 + 77 = 2487 $$ Gráficamente lo podemos ver así:

La suma de las áreas de dos rectángulos de distinta base pero con la misma altura es la misma área que la de un rectángulo que tiene por base la suma de las bases de dichos rectángulos y la misma altura.

Veamos una imagen que vale más que mil palabras:

La propiedad distributiva se puede generalizar, usando la asociativa:

$$ a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = $$ Aplico la distributiva y tenemos
$$ = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = a \cdot \left [b + c \right ] + a \cdot d = $$ Vuelve a aplicar la distributiva en el primer termino y tenemos
$$ = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d $$ $$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d} $$ Esta fórmula se puede usar con 2, 3, 4 o todos los sumandos que quieras dentro del paréntesis.


La propiedad distributiva también se puede usar con la resta:

$$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot b - a \cdot c } $$ Una explicación muy sencilla es la siguiente:

$$ a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot \left [ b + ( - c ) \right ] = a \cdot b + a \cdot (-c) = a \cdot b - a \cdot c $$ Veamos algunos ejemplos:


1.- $ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 $
Aquí $a = 12 $, $b = 28$ y $c = 18$ aplicamos la propiedad distributiva con la resta y tenemos:
$$ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 = 12 \cdot ( 28 - 18 ) = 12 \cdot 10 = 120 $$ 2.- $ 25 \cdot 18 - 12 \cdot 25 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 25 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 = 25 \cdot ( 18 - 12 ) = 25 \cdot 6 = 150 $$ 3.- $35 \cdot (20 - 2)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 35 \cdot 18$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 35$, $b = 20$ y $c = 2$ tenemos dos productos más sencillos y una resta:
$$ 35 \cdot (20 - 2) = 35 \cdot 20 - 35 \cdot 2 = 700 - 70 = 630 $$ 4.- $77 \cdot 29$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 - 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 - 1) = 77 \cdot 30 - 77 \cdot 1 = 2410 - 77 = 2333 $$ Gráficamente sería la resta de áreas:

Gifs modificados por la web iloveimg.com
Para terminar con la propiedad distributiva, dentro del paréntesis se pueden alternar sumas y restas:

$$ \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c + d \right ) = a \cdot b - a \cdot c + a \cdot d} $$ Veamos un ejemplo:
$$ 12 \cdot \left ( 12 - 5 + 4 \right ) = 12 \cdot 12 - 12 \cdot 5 + 12 \cdot 4 = 144 - 60 + 48 = 132 $$

Ecuaciones irracionales (con la incógnita en el radicando) y ejemplos.

  Una ecuación irracional es una ecuación donde la incógnita se encuentra en el radicando. Veamos algunos ejemplos: 

1. $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $
2. $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $ 
3. $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Vamos a verlo, pero antes tenemos que tener en cuenta una serie de cosas. 

En Matemáticas las raíces cuadradas las intentamos eliminar de dos formas:

• Racionalizando; 
• Elevando al cuadrado.

Para resolver este tipo de ecuaciones elegiremos la $2^{\underline{a}}$ opción, es decir, elevaremos al cuadrado. Pero al usar esta opción, tenemos un pequeño inconveniente, estamos añadiendo soluciones. Veamos esto con un ejemplo muy sencillo: 

Tenemos la ecuación $x = 3$, si elevamos al cuadrado, es decir, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad tenemos que  $x^2 = 9$ y las soluciones de esta ecuación son $x = 3$ que ya la sabíamos y $x = -3$ que no es solución, que ha aparecido por elevar al cuadrado. ¿Cuándo nos daremos cuenta de esto? Cuando comprobemos las soluciones de la ecuación original que estamos resolviendo. Así que siempre tenemos que comprobar las ecuaciones y siempre en la ecuación original, la que tenemos que resolver. 

Otra cosa a tener en cuenta, es que al elevar al cuadrado puede que tengamos una suma o una resta, es decir, tenemos que desarrollar el cuadrado de una suma o de una resta, cuidado, no dejarnos el doble producto, suele ser uno de los errores más comunes en este tipo de ejercicios: 

• $(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 
• $(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 

También tenemos que tener en cuenta las propiedades de las potencias en general y sobre todo una en particular: 

$$ (c \cdot d)^n = c^n \cdot d^n $$ 

Es decir, la potencia de un producto de varios factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores.

También conviene recordar como poner una raíz en forma de exponente fraccionario y recordar la siguiente propiedad: $$(a \cdot b)^{ \frac{\ 1\ }{2} } = \sqrt{\ a \cdot b \ } = \sqrt{\ a \ } \cdot \sqrt{\ b \ } = a^{ \frac{\ 1\ }{2} } \cdot b^{ \frac{\ 1\ }{2} } $$
$$(a \cdot b)^{ \frac{\ 1\ }{3} } = \sqrt[3]{\ a \cdot b \ } = \sqrt[3]{\ a \ } \cdot \sqrt[3]{\ b \ } = a^{ \frac{\ 1\ }{3} } \cdot b^{ \frac{\ 1\ }{3} } $$

Repasadas algunas cosas vamos a resolver este tipo de ecuaciones. 

$\bullet$ Veamos el $1^{\underline{er}}$ ejemplo: $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $ 

Podemos reordenarla de forma que dejamos la raíz  «aislada»  (solamente la raíz) en lado de la igualdad: 

$$2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x \Rightarrow 2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} $$

Y ahora con la raíz aislada en una lado de la ecuación elevamos al cuadrado: 

$$2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} \Rightarrow (2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 $$

Desarrollamos los cuadrados en ambos lados de la igualdad: 

$$(2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 \Rightarrow 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 9x$$ 

Agrupando y pasándolo todo a un lado de la igualdad tenemos:

$$4 + 4x + x^2 - 9x = 0 \Rightarrow x^2 -5x + 4 = 0 $$

Como la suma de los coeficientes es cero 1 es raíz; la otra raíz la sacamos ya que el producto de las dos raíces es 4 y una de ellas es 1, la otra es 4. Vamos a comprobar las raíces en la ecuación inicial: 

• $x = 1 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 2 - 3 = -1 \checkmark $ 
• $x = 4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{4} = -4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot 2 = -4 \Rightarrow 2 -6 = -4 \checkmark $ 

En este caso las dos soluciones son raíces de la ecuación inicial. 

$\bullet$ Veamos con el $2^{\underline{o}}$ ejemplo, la ecuación $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $. En este caso no se puede aislar una raíz en cada uno de los lados de la ecuación. El consejo en este caso es tener una raíz en cada uno de los lados de la ecuación: 

$$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 1 + \sqrt{x - 1} $$

y con una raíz en cada lado elevamos al cuadrado: 

$$ \left ( \sqrt{x + 1} \right )^2 = \left (1 + \sqrt{x - 1} \right)^2 $$

Desarrollamos cada uno de los cuadrados y tenemos: 

$$ x + 1 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1  $$ 

Agrupamos, simplificamos y dejamos la raíz asilada en lado de la ecuación como en el primer ejemplo: 

$$ x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow  1 =  2 \cdot \sqrt{x - 1} $$ 

Ahora estamos igual que en el primer ejercicio, volvemos a elevar al cuadrado y: 

$$ 1 = 2 \cdot \sqrt{x - 1} \Rightarrow 1 = 4 \cdot (x - 1) \Rightarrow 1 + 4 = 4x \Rightarrow x = \dfrac{5}{4} $$

Comprobemos la solución: 

$$ x = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{5}{4} + 1} - \sqrt{\dfrac{5}{4} - 1} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} - \sqrt{\dfrac{1}{4} } = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \checkmark $$ 

$\bullet$ Vamos con el $3^{\underline{er}}$ ejemplo: $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

Estamos en el mismo caso que en el anterior ejemplo, no podemos aislar una raíz en cada uno de los dos lados de la ecuación. Así que elevaremos al cuadrado y reordenaremos: 

$$\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)} \Rightarrow x + 3 + x - 1 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2 \cdot (x + 1) $$

Agrupando tenemos: 

$$ 2x + 2 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2x + 2  \Rightarrow - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 \Rightarrow \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 $$ 

$$ \sqrt{ (x - 1) \cdot (x + 3)} = 0  \Rightarrow (x - 1) \cdot (x + 3) = 0 $$

Claramente los candidatos a soluciones son $x = 1$ y $x = -3$. Vamos a comprobarlos: 

$x = -3 \Rightarrow \sqrt{- 3 + 3} - \sqrt{-3 - 1} = \sqrt{2 \cdot (-3 + 1)} \Rightarrow \sqrt{0} - \sqrt{-4} = \sqrt{-4} $ ✗ no tiene sentido hablar de raíces negativas $x= -3$ no es solución.

$x = 1 \Rightarrow \sqrt{1 + 3} - \sqrt{1 - 1} = \sqrt{2 \cdot (1 + 1)} \Rightarrow \sqrt{4} - \sqrt{0} = \sqrt{4} \Rightarrow 2 = 2 \checkmark  x = 1$ es solución.

Veamos unos ejercicios resueltos:

Este ejercicio tiene solamente una raíz cuadrada, así que la podemos aislar fácilmente:

$ \sqrt{3x - 3} = 4x - 13 $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ 3x - 3 = (4x - 13)^2 \Rightarrow 3x - 3 = 16x^2 - 104x + 169 \Rightarrow 16x^2 - 107x + 172 = 0 $


Resolvemos la ecuación de $2^{\underline{o}}$ grado y tenemos que:

$$ x = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{107^{2} - 4 \cdot 172 \cdot 16} }{2 \cdot 16} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{11.449 - 11.008} }{32} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{441} }{32} = \dfrac{ 107 \pm 21 }{32} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 128 }{ 32 } = 4 \Rightarrow x_1 = 4 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 86 }{ 32 } = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 4 \Rightarrow \sqrt{3 \cdot 4 - 3} = 4 \cdot 4 - 13 \Rightarrow \sqrt{9} = 16 - 13 \Rightarrow 3 = 16 - 14 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow \sqrt{3 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 3} = 4 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 13 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 129 - 48 }{ 16 } } = \dfrac{ 43 - 52 }{ 4 } \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 81 }{ 16 } } = \dfrac{ -9 }{ 4 } \Rightarrow \dfrac{ 9 }{ 4} = \dfrac{ -9 }{ 4 } $ ✗ que no es solución.

Este ejercicio tiene dos raíces, aislar una de ellas es fácil, la otra la pasamos al otro lado de la ecuación

$ \sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{2x + 3} = 2 + \sqrt{x - 2} $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ \left ( \sqrt{2x + 3} \right ) = \left ( 2 + \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow 2x + 3 = 4 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} + x - 2 \Rightarrow 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} $


Agrupamos y dejamos la raíz aislada en un lado de la ecuación

$ 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} \Rightarrow x + 1 = 4 \cdot \sqrt{x - 2} $

Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$ (x + 1)^2 = \left (4 \cdot \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16 \cdot (x - 2) \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16x - 32 \Rightarrow x^2 - 14x + 33 = 0 $

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 33} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{196 - 132} }{2} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{64} }{2} = \dfrac{ 14 \pm 8 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 22 }{ 2 } = 11 \Rightarrow x_1 = 11 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 6 }{ 2 } = 3 \Rightarrow x_2 = 3 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 11 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 11 + 3} - \sqrt{11 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{25} -\sqrt{9} = 2 \Rightarrow 5 - 3 = 2 \checkmark $

$x_2 = 3 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 3 + 3} - \sqrt{3 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{ 9 } - \sqrt{1} = 2 \Rightarrow 3 - 1 = 2 \checkmark $

En este caso las dos soluciones cumplen la ecuación.

Pasamos una raíz al otro lado de la igualdad, da igual la que pasemos pero es mejor pasar la que está restando:

$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7} = 2\sqrt{x - 3} $$ Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad y desarrollamos:

$$(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7})^2 = (2\sqrt{x - 3})^2 \Rightarrow x - 1 + x - 7 + 2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 4(x - 3) $$

Reordenando y simplificando tenemos:

$$2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 2(x - 2) \Rightarrow \sqrt{(x - 1)(x - 7)} = (x - 2) $$

Volvemos a elevar al cuadrado por segunda vez, desarrollamos y agrupamos

$$\left ( \sqrt{(x - 1)(x - 7)} \right )^2 = (x - 2)^2 \Rightarrow x^2 - 8x + 7 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow - 4x = - 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{4}$$

Comprobamos la solución en la ecuación inicial:

$x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{4} - 1} + \sqrt{\dfrac{3}{4} - 7} - 2\sqrt{\dfrac{3}{4} - 3} = 0 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{-1}{4} } + \sqrt{ \dfrac{-25}{4} } - 2\sqrt{ \dfrac{-9}{4} } = 0 $ ✗

Todas las raíces son negativas por lo tanto, no tiene soluciones reales.

Aislamos la raíz en un lado de la ecuación, elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \sqrt{x} = 30 - x \Rightarrow x = (30 - x)^2 \rightarrow x = 900 - 60x + x^2 \Rightarrow x^2 - 61x + 900 = 0 $$ Ahora resolvemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado

$$ x = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 900} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{3721 - 3600} }{2} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{121} }{2} = \dfrac{ 61 \pm 11 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 72 }{ 2 } = 36 \Rightarrow x_1 = 36 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 50 }{ 2 } = 25 \Rightarrow x_2 = 25 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x = 36 \Rightarrow \sqrt{36} = 30 - 36 \Rightarrow 6 = 30 - 36 \Rightarrow 6 = -6 $ ✗ luego no es solución

$x = 25 \Rightarrow \sqrt{25} = 30 - 25 \Rightarrow 5 = 30 - 25 \checkmark $ luego sí es solución

Tenemos dos raíces, dejamos una en cada lado, vamos como están, elevamos al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ \sqrt{x} + 1 = \sqrt{x + 9} \Rightarrow \left ( \sqrt{x} + 1 \right )^2 = \left (\sqrt{x + 9} \right)^2 \Rightarrow x + 2 \cdot \sqrt{x} + 1 = x + 9 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{x} = 8 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 $$ Volvemos a elevar al cuadrado y ya lo tenemos

$ x = 16 $, vamos a comprobarlo $ \sqrt{16} + 1 = \sqrt{16 + 9} \Rightarrow 4 + 1 = \sqrt{25} \Rightarrow 4 + 1 = 5 \checkmark $ es solución.

Tal y como está elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \left( 2 \cdot \sqrt{2x - 1} \right )^2 = \left ( \sqrt{6x - 5} + \sqrt{2x - 9} \right )^2 \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 6x - 5 + 2x - 9 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 8x - 14 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 2 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4x - 2 = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 5 = \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} $$ Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ 25 = (6x - 5) \cdot (2x - 9) \Rightarrow 25 = 12x^2 - 54x - 10x + 45 \Rightarrow 12x^2 - 64x + 20 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 16x + 5 = 0 $$ Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5} }{2 \cdot 3} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{256 - 60} }{6} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{196} }{6} = \dfrac{ 16 \pm 14 }{6} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 30 }{ 6 } = 5 \Rightarrow x_1 = 5 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 6 } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 5 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{6 \cdot 5 - 5} + \sqrt{2 \cdot 5 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{10 - 1} = \sqrt{30 - 5} + \sqrt{10 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{9} = \sqrt{25} + \sqrt{1} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 2 \cdot 3 = 5 + 1 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot \dfrac{ 1 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ 2 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ -1 }{ 3 } } $ ✗ que no tiene sentido. Luego no es solución.

Tal y como está hacemos el producto en cruz:

$$ 2 \cdot \sqrt{\ x\ } \cdot 2 \cdot \sqrt{\ x\ } = \left ( 5 + \sqrt{\ x\ }\right ) \cdot \left ( 5 - \sqrt{\ x\ } \right ) \Leftrightarrow 4 x = 25 - x \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5 $$
Vamos a comprobar la solución $x = 5$, siempre en la ecuación inicial:

$$ \dfrac{\ 2 \cdot \sqrt{\ 5\ } }{\ 5 - \sqrt{\ 5\ }\ } = \dfrac{\ 5 + \sqrt{\ 5\ }\ }{ 2\sqrt{\ 5\ } } \Leftrightarrow 4 \cdot 5 = 25 - 5 \Leftrightarrow 20 = 20 \checkmark $$

Veamos otro tipo de ejercicios pero también con radicales:

Elevemos al cuadrado los dos lados de la ecuación, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (1 - x \right )^2 = \left ( \sqrt{1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} } \right )^2 \Rightarrow 1 - 2x + x^2 = 1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \Rightarrow - 2x + x^2 = - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} $$

Nos queda una raíz y por tanto volvemos a elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (- 2x + x^2 \right )^2 = \left (- x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \right )^2 \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = x^2 \cdot (4 - 7x^2) \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = 4x^2 - 7x^4 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 8x^4 - 4x^3 = 0 \Rightarrow 4x^4 \cdot (2x - 1) = 0 $$

Las soluciones de la ecuación son $x = 0$ y $x = \dfrac{1}{2}$. Vamos a comprobarlo

$x = 0 \Rightarrow 1 - 0 = \sqrt{1 - 0 \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot 0^2} } \Rightarrow 1 = 1 \checkmark $

$x = \dfrac{1}{2} $

Por un lado tenemos que $ 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} $;

Por otro lado $ \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right ) ^2} } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - \dfrac{7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{16 - 7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{9}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} } = $

$ = \sqrt{1 - \dfrac{3}{4} } = \sqrt{ \dfrac{1}{4} } = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \checkmark $

Las dos soluciones de la ecuación transformada son solución de la ecuación original.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Problemas de proporcionalidad compuesta

Resolución de los problemas de proporcionalidad

En todos estos problemas aparecen 2 o más magnitudes y se resuelven planteando una regla de tres COMPUESTA (sigue estos pasos):

• 1.- Escribimos todas las magnitudes que aparecen con la unidad en que las vamos a medir.
• 2.- Leemos el problema y colocamos las cantidades en la magnitud correspondiente. Recuerda que si no están en la misma unidad hay que pasarlas a la misma unidad. Llamamos «$x$» a la cantidad que tenemos que calcular.

• 3.- Comparamos cada magnitud con la magnitud en la que está la «$x$» para saber si es directa o inversa: utilizamos las letras «d» e «i». Recuerda que es muy importante hacerse un esquema. Tenemos que buscar siempre la relación de la magnitud que nos piden con el resto. 

• Será Directa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también aumenta/disminuye; 

• Será Inversa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también disminuye/aumenta.  

• 4.- Escribimos primero la fracción de la magnitud en la que está la «$x$» seguida del signo «=» , después escribimos el producto de las fracciones de las otras magnitudes teniendo en cuenta que:

• Si es Directa formamos la fracción números igual que aparecen en la regla de tres.

• Si es Inversa escribimos la fracción inversa.

• 5.- Resolvemos la proporción y tenemos la solución del problema.

Veamos algunos ejemplos: 

Ejemplo 1: Dos magnitudes directamente proporcionales

Un grupo de 8 amigos pagó 960€ por su estancia de 3 días en un hotel. ¿Cuánto costaba la estancia diaria de cada amigo?

Veamos el esquema

Con la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{8}{1} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{960}{x} \Leftrightarrow 8 \cdot 3 \cdot x = 960 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 960 }{ 8 \cdot 3 } =  \dfrac{ 120 }{ 3 } = 40 \ \text{€ costará la estancia diaria de cada amigo} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{ccc} Amigos & \text{Días} & \text{€} \cr 8 & 3 & 960 \cr \hline \cr \text{Dividimimos entre 8} & \qquad \qquad & \text{Dividimimos entre 8} \cr 1 & 3 & 120 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimimos entre 3} & \text{Dividimimos entre 3} \cr   1 & 1 & \ 40 \cr \end{array} $$

Un amigo paga por un día 40€.

Ejemplo 2: Dos magnitudes una directa y otra inversamente proporcional

En 7 días, 8 máquinas han cavado una zanja de 1.400 m de largo. ¿Cuántas máquinas serán necesarias para cavar 300 m. de zanja en 6 días?

Veamos el esquema que hemos de hacer

Con la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{1.400}{300} = \dfrac{8}{x} \ \ \ \text{Simplificando}$$ 

$$ \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{3} = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow 6 \cdot 14 \cdot x = 8 \cdot 3 \cdot 7 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 8 \cdot 3 \cdot 7 }{ 6 \cdot 14 } =  \dfrac{ 8 \cdot 3 }{ 6 \cdot 2 } = 2 \ \ \text{máquinas serán necesarias} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{ccc} \text{Días} & Metros & \text{Máquinas} \cr 7 & 1400 & \ 8 \cr \hline \cr  \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 2} &\text{Dividimos entre 2} \cr 7 & 700 & \ 4 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 7} &\qquad \qquad &  \text{Multiplicamos por 7} \cr 1 & 700 & 28 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 7} &\text{Dividimos entre 7} \cr 1 & 100 & \ 4 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 3} &\text{Multiplicamos por 3} \cr 1 & 300 & \ 12 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 6} &\qquad \qquad &  \text{Dividimos entre 6} \cr 6 & 300 & 2 \cr \end{array} $$

Serán necesarias 2 máquinas.

Ejemplo 3: Las dos magnitudes inversamente proporcionales

Para limpiar un monte en 5 días se necesitan 8 personas trabajando 6 horas al día. ¿Cuántos días tardarán 6 personas si trabajan 5 h al día? 

Veamos el esquema

Usando la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{x} \Leftrightarrow 6 \cdot 5 \cdot x = 8 \cdot 6 \cdot 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 8 \cdot 6 \cdot 5 }{ 6 \cdot 5 } =  8 \ \ \text{días tardarán} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{ccc} Personas & Horas & \text{Días} \cr 8 & 6 & \ 5 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 4} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 4} \cr 2 & 6 & 20 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 6} & \text{Multiplicamos por 6} \cr 2 & 1 & 120 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 3} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 3} \cr 6 & 1 & 40 \cr \hline \cr  \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5} &\text{Dividimos entre 5} \cr 6 & 5 & \ 8 \cr \end{array} $$

Tardarán 8 días.

Ejemplo 4: Intervienen cuatro magnitudes en el problema 

Veinte obreros han tendido 400 m de cable durante 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 m de cable?

Veamos el esquema

Usando la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{24}{20} \cdot \dfrac{400}{700} \cdot \dfrac{14}{6} = \dfrac{8}{x} \ \ \ \text{Simplificando}$$ 

$$ \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow 6 \cdot 4 \cdot 7  \cdot x = 5 \cdot 7 \cdot 3  \cdot 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 5 \cdot 7 \cdot 3  \cdot 8 }{ 6 \cdot 4 \cdot 7 } =  \dfrac{ 5 \cdot 3 \cdot 8 }{ 6 \cdot 4 } = 5 \ \ \text{horas días serán necesarias} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{cccc} Obreros & Metros & \text{Días} & Horas \cr 20 & 400 & 6 & 8 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5} \cr 4 & 400 & 6 & 40 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 4} & & \text{Dividimos entre 4} \cr 4 & 100 & 6 & 10 \cr \hline \cr \qquad \qquad &  & \text{Dividimos entre 3} & \text{Multipicamos por 3} \cr  4 & 100 & 2 & 30 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 6} & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 6} \cr 24 & 100 & 2 & 5 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multipicamos por 7} & & \text{Multipicamos por 7} \cr 24 & 700 & 2 & 35 \cr \hline \cr \qquad \qquad &  & \text{Multipicamos por 7} & \text{Dividimos entre 7} \cr 24 & 700 & 14 & 5 \cr \end{array} $$

5 horas serían necesarias.

Variable incógnita: horas.
Relación entre las magnitudes:

• Mangueras-Horas: Cuantas más mangueras, menos horas se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.
• Litros-Horas: Cuantos más litros de agua, más horas se necesitan. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Mangueras} & \text{Litros} & \text{Horas} \cr 6 & 18.000 & \ 3 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 6} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 6} \cr 1 & 18.000 & 18 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 18} & \text{Dividimos entre 18} \cr 1 & 1.000 & \ 1 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 128} &\text{Multiplicamos por 128} \cr 1 & 128.000 & 128 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 4} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 4} \cr 4 & 128.000 & 32\cr \end{array} $$ 32 horas tardarán.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{18.000}{128.000} = \dfrac{3}{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{64} = \dfrac{3}{x} \Leftrightarrow 2 \cdot 9 \cdot x = 3 \cdot 64 \cdot 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 3 \cdot 3 \cdot 64 }{ 9 \cdot 2 } = \dfrac{ 64 }{ 2 } = 32 \ \ \text{horas son necesarias} $$

Variable incógnita: €
Relación entre las magnitudes:

• kg - €: Cuantos más kg, más €. Es una proporcionalidad directa.
• km - €: Cuantas más km, más €. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{kg} & \text{km} & \text{ € } \cr 5 & 60 & \ 9 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 5} \cr 1 & 60 & \ 9/5 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 60} & \text{Dividimos entre 60} \cr 1 & 1 & 3/100 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 200} &\text{Multiplicamos por 200} \cr 1 & 200 & 6 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 50} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 50} \cr 50 & 200 & 300 \cr \end{array} $$ 300 € costará.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 5\ }{50} \cdot \dfrac{\ 60\ }{200} = \dfrac{\ 9\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 1\ }{10} \cdot \dfrac{\ 3\ }{10} = \dfrac{\ 9\ }{x} \Leftrightarrow 3 \cdot x = 9 \cdot 10 \cdot 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 9 \cdot 10 \cdot 10\ }{ 3 } = \dfrac{\ 900\ }{ 3 } = 300 \ \ \text{ € costará} $$

Variable incógnita: Años.
Relación entre las magnitudes:

• Programadores - años: Cuantos más programadores, menos años. Es una proporcionalidad inversa.
• Horas - años: Cuantas más horas, menos años se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Programadores} & \text{Horas} & \text{Años} \cr 8 & 5 & \ 3 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 8} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 8} \cr 1 & 5 & \ 24 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 5} & \text{Multiplicamos por 5} \cr 1 & 1 & 120 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 6} &\text{Dividimos entre 6} \cr 1 & 6 & 20 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 10} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 10} \cr 10 & 6 & 2\cr \end{array} $$ 2 años tardarán.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 10\ }{8} \cdot \dfrac{\ 5\ }{6} = \dfrac{\ 3\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 5\ }{4} \cdot \dfrac{\ 6\ }{5} = \dfrac{3}{x} \Leftrightarrow 5 \cdot 6 \cdot x = 4 \cdot 5 \cdot 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 3 \cdot 4 \cdot 5\ }{ 5 \cdot 6 } = \dfrac{\ 12\ }{ 6 } = 2 \ \ \text{años tardarán} $$

Variable incógnita: Días.
Relación entre las magnitudes:

• Obreros - Días: Cuantos más obreros, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
• Horas - Días: Cuantas más horas, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
• Metros - Días: Cuantas más días, más metros. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{cccc} \text{Obreros} & \text{Horas} & \qquad \text{Metros} & \qquad \text{Días} \cr 12 & \ 8 & \ 50 & \ 25 \cr \hline \cr \div 12 & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \times 12 \cr \ 1 & \ 8 & \ 50 & 300 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \div 8 \qquad \qquad & & \times 8 \cr \ 1 & \ 1 & \ 50 & 2400 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \qquad \qquad & \div 50 & \div 50 \cr \ 1 & \ 1 & \ 1 & 48 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \qquad \qquad & \times 100 & \times 100 \cr \ 1 & \ 1 & \ 100 & 4800 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \times 10 \qquad \qquad & & \div 10 \cr \ 1 & \ 10 & \ 100 & 480 \cr \hline \cr \times 5 & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \div 5 \cr \ 5 & \ 10 & \ 100 & 96 \cr \end{array} $$ 96 días tardarán
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 5\ }{12} \cdot \dfrac{\ 10\ }{8} \cdot \dfrac{\ 50\ }{100} = \dfrac{\ 25\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 5\ }{12} \cdot \dfrac{\ 5\ }{4} \cdot \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 25\ }{x} \Leftrightarrow 25 \cdot x = 96 \cdot 25 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 96 \cdot 25\ }{ 25 } = 96 \ \ \text{ días \ tardarán } $$

Variable incógnita: Días.
Relación entre las magnitudes:

• Caballos - Días: A más caballos, menos días y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
• Kg - Días: A más caballos, más kg y viceversa. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Caballos} & \text{Pienso} & \text{Días} \cr 5 & 60 & \ 4 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5} \cr 1 & 60 & \ 20 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 60} & \text{Dividimos entre 60} \cr 1 & 1 & 1/3 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 360} &\text{Multiplicamos por 360} \cr 1 & 360 & 120 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 8} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 8} \cr 8 & 20 & 15 \cr \end{array} $$ 15 días podrá alimentar.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 8\ }{5} \cdot \dfrac{\ 60\ }{360} = \dfrac{\ 4\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 8\ }{5} \cdot \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 4\ }{x} \Leftrightarrow 8 \cdot 1 \cdot x = 5 \cdot 6 \cdot 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 4 \cdot 6 \cdot 5\ }{ 8 } = \dfrac{\ 3 \cdot 5\ }{ 1 } = 15 \ \ \text{ 15 días podrá alimentar} $$

Variable incógnita: Fuentes.
Relación entre las magnitudes:

• Horas - fuentes: A más horas, menos fuentes y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
• Litros - fuentes: A más litros.menos horas y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Horas} & \text{Litros} & \text{Fuentes} \cr 8 & 12 & \ 5 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 8} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 8} \cr 1 & 12 & \ 40 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 12} & \text{Multiplicamos por 12} \cr 1 & 1 & 480 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 20} &\text{Dividimos entre 20} \cr 1 & 20 & 24 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 6} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 6} \cr 6 & 20 & 4 \cr \end{array} $$ 4 fuentes abrirán.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 6\ }{8} \cdot \dfrac{\ 20\ }{12} = \dfrac{\ 5\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 1\ }{2} \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} = \dfrac{\ 5\ }{x} \Leftrightarrow 5 \cdot 1 \cdot x = 2 \cdot 2 \cdot 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 2 \cdot 2 \cdot 5\ }{ 5 } = \dfrac{\ 4\ }{ 1 } = 4 \ \ \text{ 4 fuentes abrirán} $$