Problemas de proporcionalidad compuesta

Resolución de los problemas de proporcionalidad

En todos estos problemas aparecen 2 o más magnitudes y se resuelven planteando una regla de tres COMPUESTA (sigue estos pasos):

• 1.- Escribimos todas las magnitudes que aparecen con la unidad en que las vamos a medir.
• 2.- Leemos el problema y colocamos las cantidades en la magnitud correspondiente. Recuerda que si no están en la misma unidad hay que pasarlas a la misma unidad. Llamamos «$x$» a la cantidad que tenemos que calcular.

• 3.- Comparamos cada magnitud con la magnitud en la que está la «$x$» para saber si es directa o inversa: utilizamos las letras «d» e «i». Recuerda que es muy importante hacerse un esquema. Tenemos que buscar siempre la relación de la magnitud que nos piden con el resto. 

• Será Directa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también aumenta/disminuye; 

• Será Inversa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también disminuye/aumenta.  

• 4.- Escribimos primero la fracción de la magnitud en la que está la «$x$» seguida del signo «=» , después escribimos el producto de las fracciones de las otras magnitudes teniendo en cuenta que:

• Si es Directa formamos la fracción números igual que aparecen en la regla de tres.

• Si es Inversa escribimos la fracción inversa.

• 5.- Resolvemos la proporción y tenemos la solución del problema.

Veamos algunos ejemplos: 

Ejemplo 1: Dos magnitudes directamente proporcionales

Un grupo de 8 amigos pagó 960€ por su estancia de 3 días en un hotel. ¿Cuánto costaba la estancia diaria de cada amigo?

Veamos el esquema

Con la regla de 3 compuesta: 

$${\displaystyle \frac{8}{1}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{1}}={\displaystyle \frac{960}{x}}\iff 8\cdot 3\cdot x=960\iff x={\displaystyle \frac{960}{8\cdot 3}}={\displaystyle \frac{120}{3}}=40\text{€ costará la estancia diariade cada amigo}$$

Por reducción a la unidad:

$$\begin{array}{ccc}Amigos& \text{Días}& \text{€}\\ 8& 3& 960\\ \\ \text{Dividimimos entre 8}& & \text{Dividimimos entre 8}\\ 1& 3& 120\\ \\ & \text{Dividimimos entre 3}& \text{Dividimimos entre 3}\\ 1& 1& 40\end{array}$$

Un amigo paga por un día 40€.

Ejemplo 2: Dos magnitudes una directa y otra inversamente proporcional

En 7 días, 8 máquinas han cavado una zanja de 1.400 m de largo. ¿Cuántas máquinas serán necesarias para cavar 300 m. de zanja en 6 días?

Veamos el esquema que hemos de hacer

Con la regla de 3 compuesta: 

$${\displaystyle \frac{6}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{1.400}{300}}={\displaystyle \frac{8}{x}}\text{Simplificando}$$ 

$${\displaystyle \frac{6}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{14}{3}}={\displaystyle \frac{8}{x}}\iff 6\cdot 14\cdot x=8\cdot 3\cdot 7\iff x={\displaystyle \frac{8\cdot 3\cdot 7}{6\cdot 14}}={\displaystyle \frac{8\cdot 3}{6\cdot 2}}=2\text{máquinas serán necesarias}$$

Por reducción a la unidad:

$$\begin{array}{ccc}\text{Días}& Metros& \text{Máquinas}\\ 7& 1400& 8\\ \\ & \text{Dividimos entre 2}& \text{Dividimos entre 2}\\ 7& 700& 4\\ \\ \text{Dividimos entre 7}& & \text{Multiplicamos por 7}\\ 1& 700& 28\\ \\ & \text{Dividimos entre 7}& \text{Dividimosentre 7}\\ 1& 100& 4\\ \\ & \text{Multiplicamos por 3}& \text{Multiplicamos por 3}\\ 1& 300& 12\\ \\ \text{Multiplicamos por 6}& & \text{Dividimos entre 6}\\ 6& 300& 2\end{array}$$

Serán necesarias 2 máquinas.

Ejemplo 3: Las dos magnitudes inversamente proporcionales

Para limpiar un monte en 5 días se necesitan 8 personas trabajando 6 horas al día. ¿Cuántos días tardarán 6 personas si trabajan 5 h al día? 

Veamos el esquema

Usando la regla de 3 compuesta: 

$${\displaystyle \frac{6}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{5}{x}}\iff 6\cdot 5\cdot x=8\cdot 6\cdot 5\iff x={\displaystyle \frac{8\cdot 6\cdot 5}{6\cdot 5}}=8\text{días tardarán}$$

Por reducción a la unidad:

$$\begin{array}{ccc}Personas& Horas& \text{Días}\\ 8& 6& 5\\ \\ \text{Dividimos entre 4}& & \text{Multiplicamos por 4}\\ 2& 6& 20\\ \\ & \text{Dividimos entre 6}& \text{Multiplicamos por6}\\ 2& 1& 120\\ \\ \text{Multiplicamos por 3}& & \text{Dividimos entre 3}\\ 6& 1& 40\\ \\ & \text{Multiplicamos por 5}& \text{Dividimos entre 5}\\ 6& 5& 8\end{array}$$

Tardarán 8 días.

Ejemplo 4: Intervienen cuatro magnitudes en el problema 

Veinte obreros han tendido 400 m de cable durante 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 m de cable?

Veamos el esquema

Usando la regla de 3 compuesta: 

$${\displaystyle \frac{24}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{400}{700}}\cdot {\displaystyle \frac{14}{6}}={\displaystyle \frac{8}{x}}\text{Simplificando}$$ 

$${\displaystyle \frac{6}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{3}}={\displaystyle \frac{8}{x}}\iff 6\cdot 4\cdot 7\cdot x=5\cdot 7\cdot 3\cdot 8\iff x={\displaystyle \frac{5\cdot 7\cdot 3\cdot 8}{6\cdot 4\cdot 7}}={\displaystyle \frac{5\cdot 3\cdot 8}{6\cdot 4}}=5\text{horas días serán necesarias}$$

Por reducción a la unidad:

$$\begin{array}{cccc}Obreros& Metros& \text{Días}& Horas\\ 20& 400& 6& 8\\ \\ \text{Dividimos entre 5}& & & \text{Multiplicamos por 5}\\ 4& 400& 6& 40\\ \\ & \text{Dividimosentre 4}& & \text{Dividimos entre 4}\\ 4& 100& 6& 10\\ \\ & & \text{Dividimos entre 3}& \text{Multipicamos por 3}\\ 4& 100& 2& 30\\ \\ \text{Multiplicamos por 6}& & & \text{Dividimos entre 6}\\ 24& 100& 2& 5\\ \\ & \text{Multipicamos por 7}& & \text{Multipicamospor 7}\\ 24& 700& 2& 35\\ \\ & & \text{Multipicamos por 7}& \text{Dividimos entre 7}\\ 24& 700& 14& 5\end{array}$$

5 horas serían necesarias.

Variable incógnita: horas.
Relación entre las magnitudes:

• Mangueras-Horas: Cuantas más mangueras, menos horas se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.
• Litros-Horas: Cuantos más litros de agua, más horas se necesitan. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$\begin{array}{ccc}\text{Mangueras}& \text{Litros}& \text{Horas}\\ 6& 18.000& 3\\ \\ \text{Dividimos entre 6}& & \text{Multiplicamos por 6}\\ 1& 18.000& 18\\ \\ & \text{Dividimos entre 18}& \text{Dividimos entre 18}\\ 1& 1.000& 1\\ \\ & \text{Multiplicamos por 128}& \text{Multiplicamos por 128}\\ 1& 128.000& 128\\ \\ \text{Multiplicamos por 4}& & \text{Dividimos entre 4}\\ 4& 128.000& 32\end{array}$$ 32 horas tardarán.
Usando la regla de tres compuesta: $${\displaystyle \frac{4}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{18.000}{128.000}}={\displaystyle \frac{3}{x}}\text{ Simplificando }$$ $${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{9}{64}}={\displaystyle \frac{3}{x}}\iff 2\cdot 9\cdot x=3\cdot 64\cdot 3\iff x={\displaystyle \frac{3\cdot 3\cdot 64}{9\cdot 2}}={\displaystyle \frac{64}{2}}=32\text{horas son necesarias}$$

Variable incógnita: €
Relación entre las magnitudes:

• kg - €: Cuantos más kg, más €. Es una proporcionalidad directa.
• km - €: Cuantas más km, más €. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$\begin{array}{ccc}\text{kg}& \text{km}& \text{ € }\\ 5& 60& 9\\ \\ \text{Dividimos entre 5}& & \text{Dividimos entre 5}\\ 1& 60& 9/5\\ \\ & \text{Dividimos entre 60}& \text{Dividimos entre 60}\\ 1& 1& 3/100\\ \\ & \text{Multiplicamos por 200}& \text{Multiplicamos por 200}\\ 1& 200& 6\\ \\ \text{Multiplicamos por 50}& & \text{Multiplicamos por 50}\\ 50& 200& 300\end{array}$$ 300 € costará.
Usando la regla de tres compuesta: $${\displaystyle \frac{5}{50}}\cdot {\displaystyle \frac{60}{200}}={\displaystyle \frac{9}{x}}\text{ Simplificando }$$ $${\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{9}{x}}\iff 3\cdot x=9\cdot 10\cdot 10\iff x={\displaystyle \frac{9\cdot 10\cdot 10}{3}}={\displaystyle \frac{900}{3}}=300\text{ € costará}$$

Variable incógnita: Años.
Relación entre las magnitudes:

• Programadores - años: Cuantos más programadores, menos años. Es una proporcionalidad inversa.
• Horas - años: Cuantas más horas, menos años se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.

Por reducción a la unidad:
$$\begin{array}{ccc}\text{Programadores}& \text{Horas}& \text{Años}\\ 8& 5& 3\\ \\ \text{Dividimos entre 8}& & \text{Multiplicamos por 8}\\ 1& 5& 24\\ \\ & \text{Dividimos entre 5}& \text{Multiplicamos por 5}\\ 1& 1& 120\\ \\ & \text{Multiplicamos por 6}& \text{Dividimos entre 6}\\ 1& 6& 20\\ \\ \text{Multiplicamos por 10}& & \text{Dividimos entre 10}\\ 10& 6& 2\end{array}$$ 2 años tardarán.
Usando la regla de tres compuesta: $${\displaystyle \frac{10}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{3}{x}}\text{ Simplificando }$$ $${\displaystyle \frac{5}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{5}}={\displaystyle \frac{3}{x}}\iff 5\cdot 6\cdot x=4\cdot 5\cdot 3\iff x={\displaystyle \frac{3\cdot 4\cdot 5}{5\cdot 6}}={\displaystyle \frac{12}{6}}=2\text{años tardarán}$$

Variable incógnita: Días.
Relación entre las magnitudes:

• Obreros - Días: Cuantos más obreros, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
• Horas - Días: Cuantas más horas, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
• Metros - Días: Cuantas más días, más metros. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$\begin{array}{cccc}\text{Obreros}& \text{Horas}& \text{Metros}& \text{Días}\\ 12& 8& 50& 25\\ \\ ÷12& & & \times 12\\ 1& 8& 50& 300\\ \\ & ÷8& & \times 8\\ 1& 1& 50& 2400\\ \\ & & ÷50& ÷50\\ 1& 1& 1& 48\\ \\ & & \times 100& \times 100\\ 1& 1& 100& 4800\\ \\ & \times 10& & ÷10\\ 1& 10& 100& 480\\ \\ \times 5& & & ÷5\\ 5& 10& 100& 96\end{array}$$ 96 días tardarán
Usando la regla de tres compuesta: $${\displaystyle \frac{5}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{10}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{50}{100}}={\displaystyle \frac{25}{x}}\text{ Simplificando }$$ $${\displaystyle \frac{5}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{25}{x}}\iff 25\cdot x=96\cdot 25\iff x={\displaystyle \frac{96\cdot 25}{25}}=96\text{ días tardarán }$$

Variable incógnita: Días.
Relación entre las magnitudes:

• Caballos - Días: A más caballos, menos días y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
• Kg - Días: A más caballos, más kg y viceversa. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$\begin{array}{ccc}\text{Caballos}& \text{Pienso}& \text{Días}\\ 5& 60& 4\\ \\ \text{Dividimos entre 5}& & \text{Multiplicamos por 5}\\ 1& 60& 20\\ \\ & \text{Dividimos entre 60}& \text{Dividimos entre 60}\\ 1& 1& 1/3\\ \\ & \text{Multiplicamos por 360}& \text{Multiplicamos por 360}\\ 1& 360& 120\\ \\ \text{Multiplicamos por 8}& & \text{Dividimos entre 8}\\ 8& 20& 15\end{array}$$ 15 días podrá alimentar.
Usando la regla de tres compuesta: $${\displaystyle \frac{8}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{60}{360}}={\displaystyle \frac{4}{x}}\text{ Simplificando }$$ $${\displaystyle \frac{8}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{4}{x}}\iff 8\cdot 1\cdot x=5\cdot 6\cdot 4\iff x={\displaystyle \frac{4\cdot 6\cdot 5}{8}}={\displaystyle \frac{3\cdot 5}{1}}=15\text{ 15 días podrá alimentar}$$

Variable incógnita: Fuentes.
Relación entre las magnitudes:

• Horas - fuentes: A más horas, menos fuentes y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
• Litros - fuentes: A más litros.menos horas y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.

Por reducción a la unidad:
$$\begin{array}{ccc}\text{Horas}& \text{Litros}& \text{Fuentes}\\ 8& 12& 5\\ \\ \text{Dividimos entre 8}& & \text{Multiplicamos por 8}\\ 1& 12& 40\\ \\ & \text{Dividimos entre 12}& \text{Multiplicamos por 12}\\ 1& 1& 480\\ \\ & \text{Multiplicamos por 20}& \text{Dividimos entre 20}\\ 1& 20& 24\\ \\ \text{Multiplicamos por 6}& & \text{Dividimos entre 6}\\ 6& 20& 4\end{array}$$ 4 fuentes abrirán.
Usando la regla de tres compuesta: $${\displaystyle \frac{6}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{20}{12}}={\displaystyle \frac{5}{x}}\text{ Simplificando }$$ $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{5}{x}}\iff 5\cdot 1\cdot x=2\cdot 2\cdot 5\iff x={\displaystyle \frac{2\cdot 2\cdot 5}{5}}={\displaystyle \frac{4}{1}}=4\text{ 4 fuentes abrirán}$$