Vamos a ver la definición de vector y sus componentes; y como calcular las diferentes ecuaciones de la recta.
Vector. Componentes de un vector. Vectores equipolentes. Vector libre y fijo.
Un vector es un segmento orientado en el plano. Los componentes de un vector son:
- Origen: Punto donde empieza el vector.
- Extremo: punto donde acaba el vector.
- Módulo: es la longitud del segmento.
- Dirección: es la misma que la de la recta que lo contiene.
- Sentido: el que va del del origen al extremo.
Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido
El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Un vector fijo es un representante del vector libre.
Calcular las componentes de un vector.
Un vector $\vec{v}$ se define por sus coordenadas $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$.
Un vector viene definido por sus coordenadas $x$ e $y$. Si no sabemos las coordenadas del vector $\vec{v}$, pero sabemos las coordenadas de los puntos que lo definen, su origen $P$ y su extremo $Q$, podemos calcular las coordenadas del vector que serán las coordenadas del extremo menos las del origen:
$\overrightarrow{PQ}$ = coordenadas de $Q$ - coordenadas de $P$, o si elegimos el vector opuesto:
$\overrightarrow{QP}$ = coordenadas de $P$ - coordenadas de $Q$.
Ejemplo, sea el vector definido por los puntos $P(2, 3)$ y $Q(5, 1)$, entonces:
las coordenadas del vector $\vec{u} = \overrightarrow{PQ} = (5, 1) - (2, 3) = (3, -2)$, y
las coordenadas del vector $\vec{v} = \overrightarrow{QP} = (2, 3) - (5, 1) = (-3, 2)$.
Vector perpendicular a uno dado:
Para calcular un vector perpendicular a uno dado, es muy fácil, se permuta la coordenada $x$ por la $y$ y después se cambia de signo a una de ellas.
Veamos, sea $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$ un vector perpendicular a $ \vec{v}$ sería $ (v_{y}, - v_{x})$ o $ (- v_{y}, v_{x})$
Ejemplo: Calcula un vector perpendicular a $\vec{v} = (1, 3)$. Como hemos visto tenemos dos opciones:
- $\vec{w_1} = (3, -1)$
- $\vec{w_2} = (-3, 1)$
Vector unitario: es un vector de módulo 1. Sea $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$ se dice unitario si
$$ | \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2} = 1 $$
Ejemplo: $\vec{v} = \left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2} \right )$
$$ | \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2} = \sqrt{ \left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left ( \dfrac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} } = \sqrt{1} = 1 $$
Calculo de un vector unitario:
Siempre que tengamos un vector $\vec{a}$ es muy fácil calcular un vector proporcional a $\vec{a}$ y unitario. Para ello usaremos la siguiente propiedad:
$$ |k \cdot \vec{u}| = |k| \cdot |\vec{u}| \ \forall k \in \mathbb{R}, \forall \ \vec{u} $$
Así, si queremos que el $ |k \cdot \vec{u}| = 1 \Rightarrow |k| = \dfrac{1}{|\vec{u}|} \Rightarrow k = \dfrac{\pm 1}{|\vec{u}|}$
Veamos un ejemplo: $\vec{a} = \left (12, 5 \right )$. Calculamos su módulo:
$$ | \vec{a} | = \displaystyle \sqrt{ \strut {12}^2 + {5}^2} = \sqrt{ \strut 144 + 25 } = \sqrt{ 169 } = 13 $$
Ahora lo que hacemos es multiplicar el $\vec{a}$ por el inverso del módulo de $\vec{a}$:
$$ \dfrac{1}{13} \cdot (12, 5) = \left (\dfrac{12}{13}, \dfrac{5}{13} \right ) $$
y si calculamos su módulo tenemos:
$$ | \vec{a} | = \sqrt{ \left ( \dfrac{12}{13} \right)^2 + \left ( \dfrac{5}{13} \right)^2 } = \sqrt{ \dfrac{144}{169} + \dfrac{25}{169} } = \sqrt{ \dfrac{169}{169} } = \sqrt{1} = 1 \checkmark $$
Otra opción sería coger el vector
$$ \dfrac{-1}{13} \cdot (12, 5) = \left (\dfrac{-12}{13}, \dfrac{-5}{13} \right ) \text{que también tienen módulo 1} $$
Ecuación de la recta que pasa por el punto $\mathbf{P}$ con vector director $\vec{v}$. Enlace del recurso en GeoGebra.
A partir de un punto y un vector podemos calcular las ecuaciones de la recta:
- Ecuación vectorial
- Ecuaciones paramétricas
- Ecuación continua
- Ecuación general
- Ecuación punto pendiente
- Ecuación explícita
- Ecuación segmentaria
El punto P se puede modificar, cambiando las coordenadas en la casilla de entrada o arrastrándolo en el plano.
El vector $\vec{u}$ también se puede modificar, cambiando las coordenadas en la casilla de entrada o arrastran el extremo final que lo define el plano.
El punto verde, es cualquier punto de la recta. Se puede desplazar con el ratón o le puedes dar al
botón de play.
La recta $r$ viene definida por el punto $\mathbf{P} = (x_{0}, y_{0})$ y el vector $\vec{v} = (a, b)$.
Un punto cualquiera $X = (x , y)$ de la recta $r$, se representa por el vector posición $\overrightarrow{OX} =\ (x,\ y)$ con las mismas componentes que el punto. Con el punto $P$ y su vector posición $\overrightarrow{OP}$ pasa lo mismo. El vector $\overrightarrow{OX}\ = \ \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PX} $. Además, el vector $\overrightarrow{PX}\ =\ t \cdot \vec{v}, \ t \in \mathbb{R}$.
$$ \overrightarrow{OX}\ = \ \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PX} \qquad \text{sustituyendo} \ \ \ \overrightarrow{PX} = t \cdot \vec{v}, \ t \in \mathbb{R} $$
nos queda la ecuación vectorial de la recta:
$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\qquad \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \vec{v} , t \in \mathbb{R} \qquad $ } } $$
$$ \text{Por coordenadas tenemos las ecuaciones paramétricas de la recta} \qquad (x, y) = (x_{0}, y_{0}) + t \cdot (a, b), \ t \in \mathbb{R} $$
$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuaciones paramétricas} \qquad \cases{ x = x_{0} + a \cdot t \cr \cr y = y_{0} + b \cdot t } , t \in \mathbb{R} $ } } $$
En las ecuaciones paramétricas, vemos que el vector $\overrightarrow{PX} = (x - x_0, y - y_0)$ es paralelo al vector $\vec{v}$. Así obtenemos la ecuación continua de la recta:
$$ \overrightarrow{PX} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \dfrac{x - x_0}{ a } = \dfrac{y - y_0}{ b } \qquad \text{Entonces tenemos la} $$ $$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación continua} \qquad \large \dfrac{x - x_{0}}{a} = \dfrac{y - y_{0}}{b} $ } } $$
Si quitamos denominadores multiplicando en cruz tenemos:
$a \cdot (x - x_{0}) = b \cdot (y - y_{0})$, es decir, $ax - by + by_{0} - ax_{0} = 0$. Hacemos los siguientes cambios $A = a, B = -b$ y $C = by_{0} - ax_{0}$ para obtener la ecuación general de la recta:
$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación general} \qquad \large Ax + By + C = 0 $ } } $$
Si en la ecuación continua de la recta, despejamos el término $y - y_{0}$ y hacemos que $m = \dfrac{b}{a}$, tenemos la ecuación punto pendiente de la recta, donde $m$ es la pendiente:
$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación punto pendiente} \qquad \large y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})$ } } $$
De la ecuación punto pendiente, si despejamos $y$ tendremos:
$ y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})$, tenemos $ y = y_{0} + m(x - x_{0})$ y operando $y = mx + y_{0} - mx_{0}$, hacemos que $n = y_{0} - m \cdot x_{0} $, obtenemos la ecuación explícita de la recta, donde $n$ es la ordenada en el origen:
$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación explícita} \qquad \large y = m \cdot x + n$ } } $$
Ejemplo: Vamos a calcular las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto $P = (2, 3)$ y vector director $\vec{v} = (1, -2)$.
$$ \large \text{ Vamos con la ecuación vectorial: } \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \vec{v}, \ t \in \mathbb{R}$$
$$ \large \boxed{ \text{Ecuación vectorial } \qquad \large (x, y) = (2, 3) + t \cdot (1, -2) , t \in \mathbb{R} \qquad } $$
Vamos a por las ecuaciones paramétricas:
$$ \large \boxed{ \qquad \text{Ecuaciones paramétricas} \qquad \large \cases{ x = 2 + t \cr \cr y = 3 - 2 \cdot t } , t \in \mathbb{R} } $$
Calculamos la ecuación continua, recordamos que un punto cualquiera de la recta $X = (x, y)$, junto con el punto $P$ forma el vector $\overrightarrow{PX}$ que es paralelo a $\vec{v}$. Así:
$$ \large \boxed{ \qquad \text{Ecuación continua} \qquad \large x - 2 = \dfrac{y - 3}{-2} } $$
Vamos con la ecuación general:
$$ x - 2 = \dfrac{y - 3}{-2} \Leftrightarrow -2 \cdot (x - 2) = (y - 3) \Leftrightarrow -2x + 4 = y - 3 $$
$$ \large \boxed{ \qquad \text{Ecuación general} \qquad \large 2x + y - 7 = 0 } $$
Ahora con la ecuación punto pendiente:
$$ x - 2 = \dfrac{y - 3}{-2} \Leftrightarrow y - 3 = -2 \cdot (x - 2), \text{la pendiente es -2 } $$
$$ \large \fbox{ $\qquad \text{Ecuación punto pendiente} \qquad \large y - 3 = -2 \cdot (x - 2) $ } $$
Y por último la ecuación explícita:
$$ y - 3 = -2 \cdot (x - 2) \Leftrightarrow y = -2x + 4 + 3 \Leftrightarrow y = -2x + 7 $$
La pendiente es -2 y la ordenada en el origen es 7.
$$ \large \boxed{ \qquad \text{Ecuación explícita} \qquad \large y = -2x + 7 } $$
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos $P$ y $Q$
Sean los puntos $P = (x_{0}, y_{0})$ y $Q = (x_{1}, y_{1})$, definimos el vector $\vec{v}$ que puede ser el vector $\overrightarrow{PQ} = (x_{1} - x_{0}, y_{1} - y_{0})$ o el vector $\overrightarrow{QP} = (x_{0} - x_{1}, y_{0} - y_{1})$. Y ahora ya tenemos el vector $\vec{v}$ y podemos coger uno de los dos puntos $P$ ó $Q$.
Ecuación continua de la recta que pasa por $P$ y vector director $\overrightarrow{PQ}$ o
$$ \large \boxed{ \qquad \text{Ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos } \qquad \large \dfrac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}} = \dfrac{y - y_{0}}{y_{1} - y_{0}} } $$
Ejemplo: Ecuaciones de la recta que pasa por los puntos $P = (3, -1)$ y $Q = (2, -4)$.
El vector $\overrightarrow{PQ} = (2 - 3, -4 + 1) = (-1, -3)$ o el vector $\overrightarrow{QP} = (3 - 2, -1 + 4) = (1, 3)$
Ahora cogemos uno de los dos vectores y uno de los dos puntos $P$ o $Q$ y aplicamos el ejemplo anterior.
Pendiente de una recta. Ángulo que forma con el eje $X$.
Además la pendiente coincide con la tangente de dicho ángulo: $$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\qquad m = \tg( \alpha ) = \dfrac{ u_y }{ u_x } \qquad $ } } $$ Si nos dan dos puntos $P_0 = ( x_0, y_0)$ y $P_1 = ( x_1, y_1)$, definimos el vector $\overrightarrow{P_0P_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 )$ y la pendiente del vector sería: $$ m_{ \overrightarrow{P_0P_1} } = \dfrac{ y_1 - y_0 }{x_1 - x_ 0 } = \tg (\beta ) $$
¿Cómo sabemos si dos rectas son perpendiculares?
Hemos visto dos formas:
- $\odn{1}{a}$ Si el producto escalar de los vectores directores (o normales) es cero.
- $\odn{2}{a}$ Si el producto de sus pendientes es -1.
$m_1 = \tg(\hat{A})$ y $m_2 = \tg(\hat{B})$. Cómo son perpendiculares $\hat{B} = \hat{A} + \mfrac{\pi}{2}$.
$$ m_2 = \tg ( \hat{B}) = \tg \left ( \hat{A} + \mfrac{\pi}{2} \right ) = \mfrac{ \sen \left ( \hat{A} + \mfrac{\pi}{2} \right ) }{ \cos \left (\hat{A} + \mfrac{\pi}{2} \right ) } = \mfrac{ \cos (\hat{A}) }{ -\sen (\hat{A}) } = - \cotg(\hat{A}) = \mfrac{-1}{ \tg (\hat{A} )} = \mfrac{-1}{m_1}$$ $$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\qquad m_1 \cdot m_2 = -1 \qquad $ } } $$ Ejemplo:
Tenemos la recta $r: y = 3x - 5$, queremos calcular la recta perpendicular $s$ a $r$ que pas por el punto $P = (0, 0)$.
La pendiente de $r$ es 3, luego la de una recta perpendicular a $r$ es: $$ 3 \cdot m = -1 \Leftrightarrow m = \mfrac{ -1 }{ 3 } $$ Ya tenemos la pendiente $m = \mfrac{ -1 }{ 3 } $ y el punto $P = (0, 0)$, usando la ecuación punto pendiente: $$ s: y = \mfrac{ -x }{ 3 } $$
Recta paralela a otra recta que pasa por un punto $P$
Tenemos la recta $r:Ax + By + C = 0$ (ecuación general) y el punto $P = (x_0, y_0)$, queremos calcular una recta paralela $s$ que sea paralela a $r$ que pase por $P$. De la recta $r$ conocemos su vector director $\vec{d_r} =(-B, A)$ (y su vector normal $\vec{n_r} = (A, B)$ ) y con las coordenadas del punto $P$ ya podemos calcular dicha recta. Como tenemos la ecuación general, está es de la forma: $$ Ax_0 + By_0 + C = 0 \Rightarrow C = -Ax_0 - By_0 $$ Ejemplo:La recta $r: 3x + 2y + 7 = 0$ y $P =(1, 1)$. Es claro que $P$ no pertenece a $r$. La ecuación de la recta paralela $s$ a $r$ es de la forma: $$ 3x + 2y + C = 0 $$ Y para calcular $C$ imponemos que $P$ esté en la recta: $$ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + C = 0 \Rightarrow 5 + C = 0 \Rightarrow C = -5 $$ Luego $s: 2x + 3y - 5 = 0$
Lo hemos hecho con la ecuación general, pero ya hemos visto que tenemos los datos para hacerlo con cualquier ecuación de la recta.
El punto no debe pertenecer a la recta, ya que sería la misma recta.
Recta perpendicular a otra recta que pasa por un punto $P$
Tenemos la recta $r:Ax + By + C = 0$ y el punto $P = (x_0, y_0)$. De la recta $r$ sacamos el vector normal $\vec{n_r} = (A, B) = (-A, -B)$ que es el vector director de la recta perpendicular $s$ que queremos calcular, junto con el punto ya podemos. Aprovechando que tenemos la ecuación general de la recta, vamo a calcular $s$: $$ s: Bx - Ay + C = 0 \Rightarrow C = -Bx_0 + Ay_0 $$ Ejemplo: La recta $r: 3x + 2y + 7 = 0$ y $P = (1, 1)$. La recta $s$ perpendicular a $r$ que pasa por $P$ es de la forma: $$ s:2x - 3y + C = 0 $$ Si obligamos a que $P \in s$ entonces: $$ 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + C = 0 \Rightarrow - 1 + C = 0 \Rightarrow C = + 1 $$ Luego $s: 2x - 3y + 1 = 0$Lo hemos hecho con la ecuación general, pero ya hemos visto que tenemos los datos para hacerlo con cualquier ecuación de la recta.
El punto por el que tiene que pasar la recta puede pertenecer o no a la recta.
Distancia de punto a recta
Si el punto $P$ pertence a la recta $r$ la distancia es cero. Luego está claro que el puntp $P \notin r$ para calcular dicha distancia.
Vamos a deducir la fórmula para calcular la distancia de una recta $r$ a un punto $P$, exterior a ella. Pero antes, necesitamos dicha fórmula o tenemos herramientas para dicho cálculo. Veámoslo:
- Podemos calcular la recta $s$ perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P$.
- Podemos calcular el punto de corte de ambas rectas $ r \cap s = Q$.
- Ahora calculamos la distancia de $P$ a $Q$.
Tenemos una recta $r:Ax + By + C = 0$ y el punto $P(x_0, y_0)$. Cogemos un punto $Q$ que esté en la recta $r$, así $Q = (x_1, y_1)$, como está en la recta se cumple que $Ax_1 + By_1 + C = 0$ Tenemos el vector $\overrightarrow{PQ}$ y el vector normal de la recta $\vec{n} =(A, B)$. Si estos dos puntos los posicionamos en $Q$ forman un triángulo y la distancia del punto $P$ a la recta $r$ se puede calcular así: $$ d(P, r) = |\overrightarrow{PQ}| \cdot \cos \alpha \qquad (1) $$ Siendo $\alpha$ el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{PQ}$ y el normal $\vec{n}$. Si calculamos el producto escalar de estos vectores tenemos: $$ \vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = |\vec{n}| \cdot |\overrightarrow{PQ}| \cdot \cos \alpha \qquad (2) $$ Juntando las. anteriores fórmulas tenemos: $$ d(P, r) = \mfrac{ \vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} }{ \vec{n} } $$ Pero la distancia ha de ser positiva y el producto escalar depende del $\cos \alpha$, para solucionar esto, tomamos el valor absoluto: $$ d(P, r) = \mfrac{ | \vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} | }{ \vec{n} } \qquad (3) $$ El módulo del vector $\vec{n}$ es fácil de calcular $|\vec{n}| = \msqrt{ A^2 + B^2 }$.
Ahora calculemos el producto escalar de $\vec{n}$ y $\overrightarrow{PQ}$: $\vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = (A, B) \cdot (x_0 - x_1, y_0 - y_1) = A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1) = Ax_0 + By_0 - Ax_1 - By_1 = Ax_0 + By_0 + C $ Si sustituimos en (3) todas las expresiones calculadas nos queda: $$ d(P, r) = \mfrac{ | \vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} | }{ \vec{n} } = \mfrac{ |Ax_0 + By_0 + C| }{ \msqrt{A^2 + B^2} } $$ $$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\qquad d(P, r) = \mfrac{ |Ax_0 + By_0 + C| }{ \msqrt{A^2 + B^2} } \qquad $ } } $$ Ejemplo:
La distancia de la recta $r:2x + 3y + 7 = 0$ al punto $P =(-3, 4)$:
- Con la fórmula: $$ d(P, r) = \mfrac{ |-6 + 12 + 7| }{ \msqrt{2^2 + 3^2} } = \mfrac{13}{\msqrt{13}} = \msqrt{13} u $$ - Con los pasos comentados anteriormente:
Paso 1: La recta $s$ perpendicular a $r$ pasando por $P$: $s:3x - 2y + 17 = 0 $
Paso 2: Punto de corte: $Q = (-5, 1)$ Resolviendo el sistema que forman $r$ y $s$.
Paso 3: Distancia entre los puntos $P$ y $Q$: $$d(P, Q) = \msqrt{ (-5 + 3)^2 + (1 - 4)^2} = \msqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \msqrt{4 + 9 } = \msqrt{13} u $$
No hay comentarios:
Publicar un comentario