Vamos a resolver el siguiente ejercicio de tres formas diferentes a como lo hace el solucionario.
El ejercicio dice lo siguiente:
141. Del cuadrado ABCD, se conocen las coordenadas del punto $A(8, 7)$ y que los puntos $B$ y $C$ pertenecen a la recta de ecuación $3x - 4y =19$.
a) ¿Cuáles son las coordenadas de los otros tres vértices?
b) Halla el perímetro y el área del cuadrado.
Ver esquema del problema:
1.- Con rectas y resolver sistemas asociados:
Podemos calcular la perpendicular a la recta $r$ que pasa por el punto $A$ que la llamaremos $s$ y la paralela a $r$ pasado por $A$ que la llamaremos $t$:
- $s \perp r$ y $A \in s$ luego $s$ será de la forma $4x + 3y + K = 0$ y $K$ se calcula obligando a que $A \in s$:
$$ 4 \cdot 8 + 3 \cdot 7 + K = 0 \Rightarrow K = -53 \Rightarrow s: 4x + 3y - 53 = 0 $$
- $t \parallel r$ y $A \in t$ luego $t$ será de la forma $3x - 4y + L = 0$ y $L$ se calcula obligando a que $A \in t$:
$$ 3 \cdot 8 - 4 \cdot 7 + L = 0 \Rightarrow L = 4 \Rightarrow s: 3x - 4y + 4 = 0 $$
Y ahora tenemos que calcular una recta $p$ que esté a la misma distancia de $s$ que lo están el punto $A$ y la recta $r$. Dicha distancia es la longitud del lado y entonces podremos responder al apartado b) del ejercicio:
$$d(A, r ) = \dfrac{ | 3 \cdot 8 - 4 \cdot 7 - 19}{ \sqrt{3^2 + (-4)^2} } = \dfrac{| -23 |}{ \sqrt{25} } = \dfrac{23}{5} $$
Luego el perímetro $p = 4 \cdot \dfrac{23}{5} = \dfrac{92}{5} $ y el área $ Área = \Bigg ( \dfrac{23}{5} \Bigg )^2 = \dfrac{529}{25} $
Volvemos al problema y tenemos que calcular una recta $p$ que esté a distancia $\dfrac{23}{5}$ de $s$. Lo que ya sabemos es que $p$ es paralela a $s$ y por tanto es de la forma $p: 4x + 3y + J = 0$ y para calcular $J$ tenemos que calcular la distancia entre dos restas:
$$ d(p, s) = \dfrac{23}{5} \Rightarrow \dfrac{23}{5} = \dfrac{| J + 53 | }{\sqrt{4^2 + 3^2}} $$
Haciendo cuentas tenemos:
$$ \dfrac{23}{5} = \dfrac{| J + 53 | }{5} \Rightarrow 23 = | J + 53| $$
Lo que nos da dos ecuaciones para la recta $p$:
- $23 = J + 53 \Rightarrow J = -30 \Rightarrow p_1: 4x + 3y = 30$
- $-23 = J + 53 \Rightarrow J = -76 \Rightarrow p_2: 4x + 3y = 76$
Eso quiere decir que tenemos dos soluciones:
La 1ª con la recta $p_1$:
Vamos a calcular los otros 3 vértices:
- El punto $B$ es la intersección de las rectas $r$ y $s, B = r \cap s $ tenemos que resolver el siguiente sistema:
$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow 3 \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 4 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{9x - 12y \ = \ 57 \cr \cr \underline{\ 16x + 12y \ = 212} } \\ \ \ \ \ 25x \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 269 \Rightarrow x = \dfrac{269}{25} \end{array} $$
$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow {(-4)} \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 3 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{-12x +16y \ = \ -76 \cr \cr \underline{\ 12x + 9y \ = 159} } \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 25y \ = \ 83 \Rightarrow y = \dfrac{83}{25} \end{array} $$
$$ B = \left ( \dfrac{269}{25}, \dfrac{83}{25} \right ) $$
- $C = r \cap p_1$ tenemos que resolver el siguiente sistema:
$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow 3 \cr \cr 4x + 3y = 30 \xrightarrow 4 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{9x - 12y \ = \ 57 \cr \cr \underline{\ 16x + 12y \ = 120} } \\ \ \ \ \ 25x \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 177 \Rightarrow x = \dfrac{177}{25} \end{array} $$
$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow {(-4)} \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 3 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{-12x +16y \ = \ -76 \cr \cr \underline{\ 12x + 9y \ = 90} } \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 25y \ = \ 14 \Rightarrow y = \dfrac{14}{25} \end{array} $$
$$ C = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) $$
- $D = p_1 \cap t$ tenemos que resolver el siguiente sistema:
$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = -4 \xrightarrow 3 \cr \cr 4x + 3y = 30 \xrightarrow 4 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{9x - 12y \ = -12 \cr \cr \underline{\ 16x + 12y \ = 120} } \\ \ \ \ \ 25x \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 108 \Rightarrow x = \dfrac{108}{25} \end{array} $$
$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = -4 \xrightarrow {(-4)} \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 3 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{-12x +16y \ = \ 16 \cr \cr \underline{\ 12x + 9y \ = 90} } \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 25y \ = \ 106 \Rightarrow y = \dfrac{106}{25} \end{array} $$
$$ D = \left ( \dfrac{108}{25}, \dfrac{106}{25} \right ) $$
Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra:
Resolver el ejercicio con la recta $p_2$ se hace de la misma forma.
2.- Forma, con vectores:
Lo primero calculamos el punto $B$, para ello trazamos la perpendicular $s$ a $r$ que pasa por el punto $A$ y el punto $B$ será la intersección de dichas rectas. Lo hacemos exactamente igual que en la primera forma eso no cambia.
Ahora calculamos el vector $\overrightarrow{AB} = \left ( \dfrac{269}{25} - 8, \dfrac{83}{25} - 7 \right ) = \left ( \dfrac{69}{25}, \dfrac{-92}{25} \right ) $
Ahora calculamos el vector $\vec{v} \perp \vec{u}$, en este caso tenemos dos posibilidades:
- 1ª opción: $\vec{v} = \left ( \dfrac{-92}{25}, \dfrac{-69}{25} \right ) $
- 2ª opción: $\vec{v} = \left ( \dfrac{92}{25}, \dfrac{69}{25} \right ) $
Nosotros vamos a usar el vector $\vec{v} = \left ( \dfrac{-92}{25}, \dfrac{-69}{25} \right ) $. Así ahora calculamos el punto $C$
$$C = B + \vec{v} = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) + \left ( \dfrac{-92}{25}, \dfrac{-69}{25} \right ) = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) $$
Ahora calculamos el punto $D$
$$D = C - \vec{u} = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) - \left ( \dfrac{69}{25}, \dfrac{-92}{25} \right ) = \left ( \dfrac{108}{25}, \dfrac{106}{25} \right ) $$
Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra:
3ª Forma, trazando la recta que pasa por el punto $A$ y forma un ángulo de ${45}^{\circ}$ con la recta $r$.
Recordemos que la pendiente de una recta $m = \tg (\alpha)$ siendo $\alpha$ el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje $OX$.
Así, la pendiente de la recta $r$ es $ m_r = \dfrac{3}{4}$ y tenemos que calcular la pendiente de la recta $s, \ m_s$ que formará un ángulo de ${45}^{\circ}$ con la recta $r$.
Así
$$ \tg \left ({45}^{\circ} \right ) = \Bigg | \dfrac{m_s - m_r}{1 + m_s \cdot m_r} \Bigg | $$
Es decir
$$ 1 = \Bigg | \dfrac{m_s - \dfrac{3}{4} }{1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} } \Bigg | $$
Al ser un valor absoluto o módulo esto nos dará dos ecuaciones:
1ª.- Cogiendo el valor positivo de la igualdad
$$ 1 = \dfrac{m_s - \dfrac{3}{4} }{1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} } \Rightarrow 1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} = m_s - \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{7}{4} = \dfrac{m_s}{4} \Rightarrow m_s = 7 $$
La ecuación de la recta que forma un ángulo de ${45}^{\circ}$ con la recta $r$ es la recta:
$$y - 7 = 7 \cdot (x -8) \Rightarrow y - 7 = 7x - 56 \Rightarrow s: 7x -y - 49 = 0 $
Ahora calculamos el punto $C$, que es el punto de intersección de la recta $r$ y $s$:
$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow 1 \cr \cr 7x - \ y = 49 \xrightarrow {-4} } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{3x - 4y \ = \ 19 \cr \cr \underline{- 28x + \ 4y \ = -196} } \\ \ \ \ \ -25x \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ -177 \Rightarrow x = \dfrac{177}{25} \end{array} $$
$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow {(7)} \cr \cr 7x - \ y = 49 \xrightarrow {-3} } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{ 21x - 28y \ = \ 133 \cr \cr \underline{ -21x + 3y \ = -147} } \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -25y \ = \ -14 \Rightarrow y = \dfrac{14}{25} \end{array} $$
$$ C = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) $$
Tenemos el segmento $\overline{AC}$, calculamos el punto medio de dicho segmento $M$:
$$M = \left ( \dfrac{8 + \dfrac{177}{25} }{2}, \dfrac{7 + \dfrac{14}{25} }{2} \right ) = \left ( \dfrac{ 377}{50}, \dfrac{189 }{50} \right ) $$
Ahora calcularemos el punto $D$ como el punto simétrico de $B$ respecto de $M$, así si $D = (d_1, d_2)$:
$$M = \left ( \dfrac{ 377}{50}, \dfrac{189 }{50} \right ) = \left ( \dfrac{d_1 + \dfrac{269}{25} }{2}, \dfrac{d_2 + \dfrac{83}{25} }{2} \right ) $$
Si despejamos $d_1$ y $d_2$ tenemos:
$$d_1 = \dfrac{ 377}{25} - \dfrac{269}{25} = \dfrac{108}{25}$$
$$d_2 = \dfrac{ 189}{25} - \dfrac{83}{25} = \dfrac{106}{25}$$
El punto $D = \left ( \dfrac{108}{25}, \dfrac{106}{25} \right ) $
Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra:
2ª.- Cogiendo el valor negativo de la igualdad
$$ -1 = \dfrac{m_s - \dfrac{3}{4} }{1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} } \Rightarrow -1 - m_s \cdot \dfrac{3}{4} = m_s - \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{-1}{4} = \dfrac{7m_s}{4} \Rightarrow m_s = \dfrac{-1}{7} $$
El resto del proceso sería el mismo pero la recta $s$ sería el mismo, es decir:
La ecuación de la recta que forma un ángulo de ${135}^{\circ}$ con la recta $r$ es la recta:
$$y - 7 = \dfrac{-1}{7} \cdot (x -8) \Rightarrow 7y - 49 = -x + 8 \Rightarrow s: x + 7y = 57 $
Y se termina el ejercicio.
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