Los conjuntos de números los podemos poner en un esquema de este estilo:
Esto quiere decir que no existe ningún número real que sea racional e irracional a la vez; si es racional, se puede poner en forma de fracción luego no es irracional y viceversa.
Esto quiere decir, que todo número real o es racional o es irracional.
Veamos ejemplos de números de distintos conjuntos:
Todos los números anteriores son números reales y por tanto son números complejo.
Para calcular cuanto vale cualquier potencia de
Veamos una definición formal del conjunto de los números complejos:
Sea un número complejo cualquiera
En esta animación de GeoGebra vamos a ver la representación del un número complejo
Si un número complejo es
Otro ejemplo:
Distintas formas en las que podemos escribir un número complejo, siendo
- El módulo del producto de dos números complejos es el producto de sus módulos:
Vamos a utilizar las propiedades y : Sacamos raíces cuadradas tenemos: Nota: Está propiedad se puede extender al producto de 3, 4, 5, .... módulos de números complejos.
- Sea un número complejo distinto de cero
, el módulo del inverso es el inverso del módulo de :
Usamos la propiedad anterior,
Tenemos que Si despejamos tenemos que
- El módulo del cociente de dos complejos es el cociente de sus módulos:
Usamos la dos propiedades anteriores: , y . Veamos:
Fórmula de «DE Moivre»
Por un lado tenemos:
Por otro lado:
Como es el mismo número complejo, las partes real e imaginaria han de coincidir, entonces:
Por un lado tenemos:
Por otro lado:
Como es el mismo número complejo, las partes real e imaginaria han de coincidir, entonces:
Operaciones con números complejos
Las distintas expresiones utilizadas para representar un número complejo, nos deben hacer plantearnos cuál de ellas es la más adecuada para la realización de las distintas operaciones con números complejos.
Teorema: Sea
Demo: Al ser
Ahora bien, utilizando propiedades del conjugado de un número complejo y el hecho de que los coeficientes del polinomio son números reales, tenemos que:
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