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El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


Cuando uno enseña, dos aprenden. «Robert Heinlein»


Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

martes, 16 de febrero de 2021

Números complejos. Conjugado de un número complejo. Formas de un número complejo.

 Los conjuntos de números los podemos poner en un esquema de este estilo: 


Recordemos que: 

IQ= 

Esto quiere decir que no existe ningún número real que sea racional e irracional a la vez; si es racional, se puede poner en forma de fracción luego no es irracional y viceversa. 

IQ=R 

Esto quiere decir, que todo número real o es racional o es irracional. 

NZQI}RC

Veamos ejemplos de números de distintos conjuntos: 

1,13,1.000.000,52,...N 

1,13,1.000.000,52,13,0,12,30,2.222.222,...Z 

1,13,1.000.000,52,13,0,12,30,2.222.222,12,114,235...Q 

2,3,p siendo p primo,log(2),π,e.ϕ,...I 

Todos los números anteriores son números reales y por tanto son números complejo. 

i es la unidad imaginaria i=1 y tal que i2=1 Veamos las potencias de i 

i1=ii2=1i3=ii4=1 

i5=ii6=1i7=ii8=1 

i9=ii10=1i11=ii12=1 y así sucesivamente. 

Para calcular cuanto vale cualquier potencia de i,i75, lo que hacemos es la división entera del exponente entre 4 y nos quedaremos con el resto: 

75=4×18+3i75=i4×18+3=(i4)18i3=1i3=i3=i

Veamos una definición formal del conjunto de los números complejos:

C={ a+bi | a,bR;  i2=1} 

Sea un número complejo cualquiera z=a+bi, se define el conjugado z¯=abi, es decir, la misma parte real y parte imaginaria la opuesta. 

En esta animación de GeoGebra vamos a ver la representación del un número complejo z (en la animación es el que forma el ángulo con la parte positiva del eje de abscisas OX), su conjugado z¯, el opuesto z y el opuesto del conjugado z¯. Si cogemos el punto que determina dicho número complejo, el afijo, podemos mover dicho número y como se actualizan los 4 números según se desplaza.

Si un número complejo es z=3+5i, su conjugado z¯=35i, su opuesto es z=35i; y el opuesto de su conjugado (es lo mismo el conjugado de su opuesto) es z¯=3+5i.

Otro ejemplo: w=67i, su conjugado w¯=6+7i, su opuesto es w=6+7i y el opuesto del conjugado w¯=+67i.

Distintas formas en las que podemos escribir un número complejo, siendo r=|z|=a2+b2 y α=Arg(z)=arctg(ba)

z=(a,b)=a+bi=r(cosα+isenα)=rα=reiα

  Par ordenado z=(a,b) 

 Forma binómica z=a+bi 

 Forma trigonométricaz=r(cosα+isenα)   Forma polarz=rα 

 Forma exponencialz=reiα 


Propiedades de los módulos de los números complejos:
  1. El módulo del producto de dos números complejos es el producto de sus módulos: |z1z2|=|z1||z2|

    Vamos a utilizar las propiedades zz¯=|z|2 y z1z2=z1¯z2¯ : |z1z2|2=(z1z2)(z1z2)=z1z2z1¯z2¯=z1z1¯z2z2¯=|z1|2|z2|2 Sacamos raíces cuadradas tenemos: |z1z2|=|z1||z2| Nota: Está propiedad se puede extender al producto de 3, 4, 5, .... módulos de números complejos.



  2. Sea un número complejo distinto de cero z0, el módulo del inverso es el inverso del módulo de z: |z1|=|z|1

    Usamos la propiedad anterior, |z1z2|=|z1||z2|

    Tenemos que 1=zz11=|1|=|zz1|=|z||z1| Si despejamos |z1| tenemos que

    |z1|=  1  |z|=|z|1



  3. El módulo del cociente de dos complejos es el cociente de sus módulos:  Si z20| z1 z2|= |z1| |z2|

    Usamos la dos propiedades anteriores: |z1z2|=|z1||z2|, |z1|=|z|1 y |z2|0. Veamos: | z1 z2|=|z1z21|=|z1||z21|=|z1||z2|1= |z1| |z2|



Fórmula de «DE Moivre»

 (cosα+isenα)n=cosnα+isennα 




Usando está fórmula podemos obtener las fórmulas trigonométricas del ángulo doble, n=2

Por un lado tenemos: (cosα+isenα)2=cos2α+2icosαsenαsen2α

Por otro lado:  cos2α+isen2α

Como es el mismo número complejo, las partes real e imaginaria han de coincidir, entonces:

cos2α=cos2αsen2α sen2α=2cosαsenα 

Veamos el caso n=3, las fórmulas del ángulo triple:

Por un lado tenemos: (cosα+isenα)3=cos3α+3icos2αsenα+3cosα(isenα)2+(isenα)3= =cos3α+3icos2αsenα3cosαsen2αisen3α

Por otro lado:  cos3α+isen3α

Como es el mismo número complejo, las partes real e imaginaria han de coincidir, entonces:

cos3α=cos3α3cosαsen2α=cos3α3cosα(1cos2α)=4cos3α3cosα sen3α=3cos2αsenαsen3α=3(1sen2α)senαsen3α=3senα3sen3αsen3α=3senα4sen3α


Operaciones con números complejos

    Las distintas expresiones utilizadas para representar un número complejo, nos deben hacer plantearnos cuál de ellas es la más adecuada para la realización de las distintas operaciones con números complejos.







Teorema: Sea a(x) un polinomio con coeficientes reales, aiR i=0,1,2,,n: a(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0 y sea zC es una raíz de a(x), es decir a(z)=0, entonces z¯ es también raíz de a(x), es decir, a(z¯)=0.

Demo: Al ser z raíz de a(x) sabemos que a(z)=anzn+an1zn1++a1z+a0=0
Ahora bien, utilizando propiedades del conjugado de un número complejo y el hecho de que los coeficientes del polinomio son números reales, tenemos que:
a(z¯)=anz¯n+an1z¯n1++a1z¯+a0==a¯nz¯n+a¯n1z¯n1++a¯1z¯+a0==anzn+an1zn1++a1z+a0==anzn+an1zn1++a1z+a0=0=0

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