Repartos directamente proporcionales e inversamente proporcionales.

Repartos directamente proporcionales
Consiste en repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a otras cantidades.

Queremos repartir una cantidad $N$ de forma directamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $. A cada cantidad le tocará la parte proporcional de forma que se cumplirá:

1. La razón de proporcionalidad $r = \dfrac{N}{\ a + b + c + \cdots \ }$
   
2. $p_a$ es lo que se lleva $a$, $p_b$ lo que se lleva $b \cdots $
   $p_a = a \cdot r$, $p_b = b \cdot r$, $p_c = c \cdot r \cdots $
3. La suma de todas las partes es la cantidad a repartir $p_a + p_b + p_c + \cdots = N $; y
4. $$ \dfrac{\ p_a \ }{a} = \dfrac{\ p_b \ }{b} = \ldots = \dfrac{\ p_a + p_b + p_c + \cdots \ }{ a + b + \cdots } = \dfrac{ \ N \ }{\ a + b + c + \cdots } = r \text{ donde } r \textrm{ es la constante de proporcionalidad } $$

Para saber la cantidad $p_a$ que se llevará el que le toca $c_a$, para cada uno tenemos que calcular:

$$ r = \dfrac{\ p_a \ }{a} \Rightarrow p_a = r \cdot a $$

$$ r = \dfrac{\ p_b \ }{b} \Rightarrow p_b = r \cdot b $$

$$ r = \dfrac{\ p_c \ }{c} \Rightarrow p_c = r \cdot c $$

$$ \ldots $$

Veamos un ejemplo: 

Entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad respectivamente, un abuelo reparte 450€ de forma directamente proporcional a sus edades. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

En este caso se reparte en 3 partes, es decir tenemos que repartir entre 3 la cantidad de 450€. Así $a = 8, b = 12$ y $c = 16$ y le tocarán las cantidades respectivamente $p_a, p_b$ y $p_c$ de forma que $p_a + p_b + p_c = 450$€

Vamos a calcular la constante de proporcionalidad $r$:

$$r = \dfrac{\ p_a \ }{8} = \dfrac{\ p_b \ }{12} = \dfrac{\ p_c \ }{ 16 } = \dfrac{ p_a + p_b + p_c }{ a + b + c } = \dfrac{ 450 }{ 36 } = \dfrac{\ 25\ }{2}$$

Así $ \dfrac{\ p_a \ }{ a } = r \Rightarrow p_a = r \cdot a $, $ \dfrac{\ p_b \ }{ b } = r \Rightarrow p_b = r \cdot b $ y $ \dfrac{\ p_c \ }{ c } = r \Rightarrow p_c = r \cdot c $

$$ \dfrac{\ p_a \ }{8} = \dfrac{25}{2} \Rightarrow p_a = \dfrac{25}{2} \cdot 8 = 25 \cdot 4 = 100 $$

$$ \dfrac{\ p_b \ }{12} = \dfrac{25}{2} \Rightarrow p_b = \dfrac{25}{2} \cdot 12 = 25 \cdot 6 = 150 $$

$$ \dfrac{\ p_c \ }{16} = \dfrac{25}{2} \Rightarrow p_c = \dfrac{25}{2} \cdot 16 = 25 \cdot 8 = 200 $$

Para terminar el ejercicio, sumamos todas las partes, es decir, $p_a + p_b + p_c = 100 + 150 + 200 = 450$ € $\checkmark$ y comprobamos que hemos repartido la cantidad que teníamos, ni más ni menos.

Repartos inversamente proporcionales

Queremos repartir una cantidad $N$ de forma inversamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $. Y un reparto inversamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $ es un reparto directamente proporcional a las cantidades de sus inversos $\dfrac{1}{\ a\ }, \dfrac{1}{\ b\ }, \dfrac{1}{\ c\ } \cdots $. Reducimos esos inversos a común denominador y hacemos un reparto directamente proporcional a los numeradores $n_a, n_b, n_c \ldots $

Veamos un ejemplo:

Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

Otra vez tenemos que repartir entre 3; Luego tenemos que hacer un reparto directamente proporcional a $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{5}$ y $\dfrac{1}{6}$; Si ponemos común denominador tenemos que: $$ \dfrac{10}{30}, \dfrac{6}{30} \text{ y } \dfrac{5}{30}$$ Con lo que tenemos que hacer un reparto proporcional a 10 (3 años), 6 (5 años) y 5 (6 años):

Vamos a calcular la constante de proporcionalidad $r$:

$$ r = \dfrac{\ p_a \ }{ 10 } = \dfrac{\ p_b \ }{ 6 } = \dfrac{\ p_c \ }{ 5} = \dfrac{ \ p_1 + p_2 + p_3\ }{ 10 + 6 + 5 } = \dfrac{\ 420 \ }{ 21 } = 20 $$

Así $ \dfrac{\ p_a \ }{n_a} = r \Rightarrow p_a = r \cdot n_a $

$ \dfrac{\ p_b \ }{n_b} = r \Rightarrow p_b = r \cdot n_b $

$ \dfrac{\ p_c \ }{n_c} = r \Rightarrow p_c = r \cdot n_c $

$ \ldots $

$$ \dfrac{\ p_a \ }{ 10 } = 20 \Rightarrow p_a = 20 \cdot 10 = 200 $$

$$ \dfrac{\ p_b \ }{ 6 } = 20 \Rightarrow p_b = 20 \cdot 6 = 120 $$

$$ \dfrac{\ p_c \ }{ 5 } = 20 \Rightarrow p_c = 20 \cdot 5 = 100 $$

Sumamos las cantidades $p_a + p_b + p_c = 200 + 120 + 100 = 420 $ € $\checkmark $ y comprobamos que hemos repartido todo lo que teníamos que repartir.

Los repartos pueden ser entre 2, 3, 4, 5 ... etc. A más partes más cuentas habrá que hacer pero la idea del problema de repartos es siempre la misma.

1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 9 + 6 + 3 = 22$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 792\ }{\ 9 + 6 + 3\ } = \dfrac{\ 792\ }{\ 18\ } = 44 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así la hija de 9 años se lleva 9 partes de 44 € } & \Rightarrow 9 \times 44 = & 396 \text{€} \cr \text{Así la hija de 6 años se lleva 6 partes de 44 € } & \Rightarrow 6 \times 44 = & 264 \text{€} \cr \text{Así la hija de 3 años se lleva 3 partes de 44 € } & \Rightarrow 3 \times 44 = & 132 \text{€} \cr & total & 792 \text{€} \end{array}$$

2.- Reparto inversamente proporcional a 9, 6 y 3.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos $\dfrac{\ 1\ }{9}$, $\dfrac{\ 1\ }{6}$ y $\dfrac{\ 1\ }{3}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos $\dfrac{\ 2\ }{18}$, $\dfrac{\ 3\ }{18}$ y $\dfrac{\ 6\ }{18}$, es decir, es un reparto directamente proporcional a 2, 3 y 6.

Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 2 + 3 + 6 = 11$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 792\ }{\ 2 + 3 + 6\ } = \dfrac{\ 792\ }{\ 11\ } = 72 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así la hija de 9 años se lleva 2 partes de 72 € } & \Rightarrow 2 \times 72 = & 144 \text{€} \cr \text{Así la hija de 6 años se lleva 3 partes de 72 € } & \Rightarrow 3 \times 72 = & 216 \text{€} \cr \text{Así la hija de 3 años se lleva 6 partes de 72 € } & \Rightarrow 6 \times 72 = & 432 \text{€} \cr & total & 792 \text{€} \end{array}$$

1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 6 + 8 + 12 + 18 = 44$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 6 + 8 + 12 + 18\ } = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 44\ } = 2.325 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así el hijo de 6 años se lleva 6 partes de 2.325 € } & \Rightarrow \ 6 \times 2.325 = & \ 13.950 \text{€} \cr \text{Así el hijo de 8 años se lleva 8 partes de 2.325 € } & \Rightarrow \ 8 \times 2.325 = & \ 18.600 \text{€} \cr \text{Así la hija de 12 años se lleva 12 partes de 2.325 € } & \Rightarrow 12 \times 2.325 = & \ 27.900 \text{€} \cr \text{Así la hija de 18 años se lleva 18 partes de 2.325 € } & \Rightarrow 18 \times 2.325 = & \ 41.850 \text{€} \cr & total & 102.300 \text{€} \end{array}$$

2.- Reparto inversamente proporcional a 6, 8, 12 y 18.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos $\dfrac{\ 1\ }{6}$, $\dfrac{\ 1\ }{8}$, $\dfrac{\ 1\ }{12}$ y $\dfrac{\ 1\ }{18}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos $\dfrac{\ 12\ }{72}$, $\dfrac{\ 9\ }{72}$, $\dfrac{\ 6\ }{72}$ y $\dfrac{\ 4\ }{72}$, es decir, es un reparto directamente proporcional a 12, 9, 6 y 4.

Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 12 + 9 + 6 + 4 = 31$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 12 + 9 + 6 + 4\ } = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 31\ } = 3.300 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así el hijo de 6 años se lleva 12 partes de 3.300 € } & \Rightarrow 12 \times 3.300 = & \ 39.600 \text{€} \\ \text{Así el hijo de 8 años se lleva 9 partes de 3.300 € } & \Rightarrow \ 9 \times 3.300 = & \ 29.700 \text{€} \\ \text{Así la hija de 12 años se lleva 6 partes de 3.300 € } & \Rightarrow \ 6 \times 3.300 = & \ 19.800 \text{€} \\ \text{Así la hija de 18 años se lleva 4 partes de 3.300 € } & \Rightarrow 18 \times 3.300 = & \ 13.200 \text{€} \\ & total & 102.300 \text{€} \end{array}$$

Este es un reparto inversamente proporcional a los días que han faltado 3 y 5.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos de los días faltados $\dfrac{\ 1\ }{3}$ y $\dfrac{\ 1\ }{5}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores de los inversos de los días faltados una vez puesto el mismo denominador $\dfrac{\ 5\ }{15}$ y $\dfrac{\ 3\ }{15}$.
Es un reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 5 + 3 = 8$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 186\ }{\ 5 + 3\ } = \dfrac{\ 136\ }{\ 8\ } = 17 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así el camarero} \ C_1\ \text{ se lleva 5 partes de 17 € } & \Rightarrow \ 5 \times 17 = & \ 85 \text{€} \cr \text{Así el camarero} \ C_2\ \text{ se lleva 3 partes de 17 € } & \Rightarrow \ 3 \times 17 = & \ 51 \text{€} \cr & total & 136 \text{€} \end{array}$$