Repartos directamente proporcionales e inversamente proporcionales.

Repartos directamente proporcionales
Consiste en repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a otras cantidades.

Queremos repartir una cantidad $N$ de forma directamente proporcional a las cantidades $a,b,c,\cdots$. A cada cantidad le tocará la parte proporcional de forma que se cumplirá:

1. La razón de proporcionalidad $r={\displaystyle \frac{N}{a+b+c+\cdots }}$
   
2. $p_a$ es lo que se lleva $a$, $p_b$ lo que se lleva $b\cdots$
   $p_a=a\cdot r$, $p_b=b\cdot r$, $p_c=c\cdot r\cdots$
3. La suma de todas las partes es la cantidad a repartir $p_a+p_b+p_c+\cdots =N$; y
4. $${\displaystyle \frac{p_a}{a}}={\displaystyle \frac{p_b}{b}}=\dots ={\displaystyle \frac{p_a+p_b+p_c+\cdots }{a+b+\cdots }}={\displaystyle \frac{N}{a+b+c+\cdots }}=r\text{ donde }r\text{ es la constante de proporcionalidad }$$

Para saber la cantidad $p_a$ que se llevará el que le toca $c_a$, para cada uno tenemos que calcular:

$$r={\displaystyle \frac{p_a}{a}}\Rightarrow p_a=r\cdot a$$

$$r={\displaystyle \frac{p_b}{b}}\Rightarrow p_b=r\cdot b$$

$$r={\displaystyle \frac{p_c}{c}}\Rightarrow p_c=r\cdot c$$

$$\dots$$

Veamos un ejemplo: 

Entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad respectivamente, un abuelo reparte 450€ de forma directamente proporcional a sus edades. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

En este caso se reparte en 3 partes, es decir tenemos que repartir entre 3 la cantidad de 450€. Así $a=8,b=12$ y $c=16$ y le tocarán las cantidades respectivamente $p_a,p_b$ y $p_c$ de forma que $p_a+p_b+p_c=450$€

Vamos a calcular la constante de proporcionalidad $r$:

$$r={\displaystyle \frac{p_a}{8}}={\displaystyle \frac{p_b}{12}}={\displaystyle \frac{p_c}{16}}={\displaystyle \frac{p_a+p_b+p_c}{a+b+c}}={\displaystyle \frac{450}{36}}={\displaystyle \frac{25}{2}}$$

Así ${\displaystyle \frac{p_a}{a}}=r\Rightarrow p_a=r\cdot a$, ${\displaystyle \frac{p_b}{b}}=r\Rightarrow p_b=r\cdot b$ y ${\displaystyle \frac{p_c}{c}}=r\Rightarrow p_c=r\cdot c$

$${\displaystyle \frac{p_a}{8}}={\displaystyle \frac{25}{2}}\Rightarrow p_a={\displaystyle \frac{25}{2}}\cdot 8=25\cdot 4=100$$

$${\displaystyle \frac{p_b}{12}}={\displaystyle \frac{25}{2}}\Rightarrow p_b={\displaystyle \frac{25}{2}}\cdot 12=25\cdot 6=150$$

$${\displaystyle \frac{p_c}{16}}={\displaystyle \frac{25}{2}}\Rightarrow p_c={\displaystyle \frac{25}{2}}\cdot 16=25\cdot 8=200$$

Para terminar el ejercicio, sumamos todas las partes, es decir, $p_a+p_b+p_c=100+150+200=450$ € $✓$ y comprobamos que hemos repartido la cantidad que teníamos, ni más ni menos.

Repartos inversamente proporcionales

Queremos repartir una cantidad $N$ de forma inversamente proporcional a las cantidades $a,b,c,\cdots$. Y un reparto inversamente proporcional a las cantidades $a,b,c,\cdots$ es un reparto directamente proporcional a las cantidades de sus inversos ${\displaystyle \frac{1}{a}},{\displaystyle \frac{1}{b}},{\displaystyle \frac{1}{c}}\cdots$. Reducimos esos inversos a común denominador y hacemos un reparto directamente proporcional a los numeradores $n_a,n_b,n_c\dots$

Veamos un ejemplo:

Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

Otra vez tenemos que repartir entre 3; Luego tenemos que hacer un reparto directamente proporcional a ${\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{5}}$ y ${\displaystyle \frac{1}{6}}$; Si ponemos común denominador tenemos que: $${\displaystyle \frac{10}{30}},{\displaystyle \frac{6}{30}}\text{ y }{\displaystyle \frac{5}{30}}$$ Con lo que tenemos que hacer un reparto proporcional a 10 (3 años), 6 (5 años) y 5 (6 años):

Vamos a calcular la constante de proporcionalidad $r$:

$$r={\displaystyle \frac{p_a}{10}}={\displaystyle \frac{p_b}{6}}={\displaystyle \frac{p_c}{5}}={\displaystyle \frac{p_1+p_2+p_3}{10+6+5}}={\displaystyle \frac{420}{21}}=20$$

Así ${\displaystyle \frac{p_a}{n_a}}=r\Rightarrow p_a=r\cdot n_a$

${\displaystyle \frac{p_b}{n_b}}=r\Rightarrow p_b=r\cdot n_b$

${\displaystyle \frac{p_c}{n_c}}=r\Rightarrow p_c=r\cdot n_c$

$\dots$

$${\displaystyle \frac{p_a}{10}}=20\Rightarrow p_a=20\cdot 10=200$$

$${\displaystyle \frac{p_b}{6}}=20\Rightarrow p_b=20\cdot 6=120$$

$${\displaystyle \frac{p_c}{5}}=20\Rightarrow p_c=20\cdot 5=100$$

Sumamos las cantidades $p_a+p_b+p_c=200+120+100=420$ € $✓$ y comprobamos que hemos repartido todo lo que teníamos que repartir.

Los repartos pueden ser entre 2, 3, 4, 5 ... etc. A más partes más cuentas habrá que hacer pero la idea del problema de repartos es siempre la misma.

1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $9+6+3=22$, y cada parte debe de ser de $$k={\displaystyle \frac{792}{9+6+3}}={\displaystyle \frac{792}{18}}=44\text{€}$$ $$\begin{array}{lrc}\text{Así la hija de 9 años se lleva 9 partes de 44 € }& \Rightarrow 9\times 44=& 396\text{€}\\ \text{Así la hija de 6 años se lleva 6 partes de 44 € }& \Rightarrow 6\times 44=& 264\text{€}\\ \text{Así la hija de 3 años se lleva 3 partes de 44 € }& \Rightarrow 3\times 44=& 132\text{€}\\ & total& 792\text{€}\end{array}$$

2.- Reparto inversamente proporcional a 9, 6 y 3.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos ${\displaystyle \frac{1}{9}}$, ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ y ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos ${\displaystyle \frac{2}{18}}$, ${\displaystyle \frac{3}{18}}$ y ${\displaystyle \frac{6}{18}}$, es decir, es un reparto directamente proporcional a 2, 3 y 6.

Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $2+3+6=11$, y cada parte debe de ser de $$k={\displaystyle \frac{792}{2+3+6}}={\displaystyle \frac{792}{11}}=72\text{€}$$ $$\begin{array}{lrc}\text{Así la hija de 9 años se lleva 2 partes de 72 € }& \Rightarrow 2\times 72=& 144\text{€}\\ \text{Así la hija de 6 años se lleva 3 partes de 72 € }& \Rightarrow 3\times 72=& 216\text{€}\\ \text{Así la hija de 3 años se lleva 6 partes de 72 € }& \Rightarrow 6\times 72=& 432\text{€}\\ & total& 792\text{€}\end{array}$$

1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $6+8+12+18=44$, y cada parte debe de ser de $$k={\displaystyle \frac{102.300}{6+8+12+18}}={\displaystyle \frac{102.300}{44}}=2.325\text{€}$$ $$\begin{array}{lrc}\text{Así el hijo de 6 años se lleva 6 partes de 2.325 € }& \Rightarrow 6\times 2.325=& 13.950\text{€}\\ \text{Así el hijo de 8 años se lleva 8 partes de 2.325 € }& \Rightarrow 8\times 2.325=& 18.600\text{€}\\ \text{Así la hija de 12 años se lleva 12 partes de 2.325 € }& \Rightarrow 12\times 2.325=& 27.900\text{€}\\ \text{Así la hija de 18 años se lleva 18 partes de 2.325 € }& \Rightarrow 18\times 2.325=& 41.850\text{€}\\ & total& 102.300\text{€}\end{array}$$

2.- Reparto inversamente proporcional a 6, 8, 12 y 18.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos ${\displaystyle \frac{1}{6}}$, ${\displaystyle \frac{1}{8}}$, ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ y ${\displaystyle \frac{1}{18}}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos ${\displaystyle \frac{12}{72}}$, ${\displaystyle \frac{9}{72}}$, ${\displaystyle \frac{6}{72}}$ y ${\displaystyle \frac{4}{72}}$, es decir, es un reparto directamente proporcional a 12, 9, 6 y 4.

Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $12+9+6+4=31$, y cada parte debe de ser de $$k={\displaystyle \frac{102.300}{12+9+6+4}}={\displaystyle \frac{102.300}{31}}=3.300\text{€}$$ $$\begin{array}{lrc}\text{Así el hijo de 6 años se lleva 12 partes de 3.300 € }& \Rightarrow 12\times 3.300=& 39.600\text{€}\\ \text{Así el hijo de 8 años se lleva 9 partes de 3.300 € }& \Rightarrow 9\times 3.300=& 29.700\text{€}\\ \text{Así la hija de 12 años se lleva 6 partes de 3.300 € }& \Rightarrow 6\times 3.300=& 19.800\text{€}\\ \text{Así la hija de 18 años se lleva 4 partes de 3.300 € }& \Rightarrow 18\times 3.300=& 13.200\text{€}\\ & total& 102.300\text{€}\end{array}$$

Este es un reparto inversamente proporcional a los días que han faltado 3 y 5.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos de los días faltados ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ y ${\displaystyle \frac{1}{5}}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores de los inversos de los días faltados una vez puesto el mismo denominador ${\displaystyle \frac{5}{15}}$ y ${\displaystyle \frac{3}{15}}$.
Es un reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $5+3=8$, y cada parte debe de ser de $$k={\displaystyle \frac{186}{5+3}}={\displaystyle \frac{136}{8}}=17\text{€}$$ $$\begin{array}{lrc}\text{Así el camarero}{C}_1\text{ se lleva 5 partes de 17 € }& \Rightarrow 5\times 17=& 85\text{€}\\ \text{Así el camarero}{C}_2\text{ se lleva 3 partes de 17 € }& \Rightarrow 3\times 17=& 51\text{€}\\ & total& 136\text{€}\end{array}$$