Si la parábola va hacia arriba el vértice es un mínimo.
Si la parábola va hacia abajo el vértice es un máximo.
$3^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OY$, «siempre» va a cortar a este eje $Y$, el eje de ordenadas, lo hará cuando $x =
0$ y así el punto de corte será el punto de coordenadas $(0, c)$.
$4^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OX$, cortará a este eje $X$ ,
el eje de abscisas, cuando la $y = 0$, para saber en que puntos corta la
parábola a dicho tenemos que resolver la siguiente ecuación:
$$ 0 = ax^2 + bx + c$$
Al eje $X$ «NO siempre» le corta. Ya sabemos que resolviendo este ecuación tenemos tres
casos:
No hay solución $\rightarrow$ la parábola no corta al eje $X$;
Hay una solución (doble) $x_1 \rightarrow$ la parábola corta al eje $X$ en
un único punto de coordenadas $(x_1, 0)$, es decir, el eje $X$ es tangente
a la parábola;
Hay dos soluciones distintas $x_1$ y $x_2$, la parábola corta al eje $X$
en dos puntos distintos de coordenadas respectivamente $(x_1, 0)$ y $(x_2,
0)$.
NOTA:
Si la parábola va hacia arriba y el vértice está por encima del eje $X$, es
claro que la parábola no cortará al eje $X$ (Caso 1).
Lo mismo si la parábola va hacia abajo y el vértice está por debajo del eje
X.
Parábolas hacia abajo:
$5^{\underline{\circ}}$ Eje de simetría: La recta $x = \mfrac{-b}{2a}$ es el eje de simetría, es una recta paralela al eje $Y$ que pasa por el vértice de la parábola. Si doblaramos el plano por dicha recta las dos ramas de la prábola coincidirían.
$6^{\underline{\circ}}$ Dibujar la gráfica con los puntos calculados. Si
hicieran falta más puntos se pueden calcular haciendo una tabla numérica.
Vamos a ver dos ejemplos:
El $1^{\underline{er}}$ ejemplo, la parábola $y = x^2 - 12x + 11 $. Vamos a
calcular los pasos anteriores:
$a = 1 > 0$ luego las ramas de la parábola van hacia arriba.
Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $
\dfrac{-b}{2a} = \dfrac{12}{2} = 6$ y la componente $y$ es $f(6) = 36 -
72 + 11 = -25$ luego el vértice tiene de coordenadas $V = (6, -25)$.
Como el vértice está por debajo del eje $X$ está claro que cortará a
dicho eje en dos puntos diferentes.
Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$
así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, 11)$
Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la
ecuación $x^2 - 12x + 11 = 0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación
de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1
es raíz y como el producto de las raíces es 11 entonces la otra raíz es
11. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $(11, 0)$.
Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados:
El $2^{\underline{\circ}}$ ejemplo, la parábola $y = -3x^2 + 5x -2 $.
Vamos a calcular los pasos anteriores:
$a = -3 < 0$ luego las ramas de la parábola van hacia abajo.
Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $
\dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-5}{-6} = \dfrac{5}{6}$ y la componente $y$ es
$f \left (\dfrac{5}{6} \right) = \dfrac{24 - 25}{-12} = \dfrac{1}{12}$
luego el vértice tiene de coordenadas $V = \left (\dfrac{5}{6},
\dfrac{1}{12} \right )$. Como el vértice está por encima del eje
$X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes.
Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$
así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, -2)$
Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la
ecuación $-3x^2 + 5x - 2 = 0$ que es lo mismo que resolver $3x^2 - 5x +
2 = 0$, sacamos 3 factor común $x^2 - \dfrac{5x}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$.
Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que
la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto
de las raíces es $\dfrac{2}{3}$ entonces la otra raíz es
$\dfrac{2}{3}$. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $\left
(\dfrac{2}{3}, 0 \right )$.
Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados:
«Consiste en conseguir un sistema equivalente donde alguna de las incógnitas tengan el mismo coeficiente (o su opuesto), que será el mínimo común múltiplo de los coeficientes de la incógnita elegida. Para ello vamos a multiplicar una de las ecuaciones o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) para que los coeficientes de la $x$ o los de la $y$ sean iguales (u opuestos). A continuación se suman (o restan) las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita.»
Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta
Para este paso hay dos opciones:
Se repite el proceso con la otra incógnita.
Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.
Vamos a despejar la $y$, para ellos queremos conseguir el mismo coeficiente (o el opuesto) en las $x$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por -5:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow {\ \ \ -5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10x + \ 4y \ = \ 22 \cr \cr -10x + 15y = -60 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 19y = -38 \Rightarrow y = -2 \end{array} $$
Ahora tenemos dos opciones:
1.- Aplicando el método de reducción para despejar la $x$, para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2: $$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ 3\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow{\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{15x + \ 6y \ = \ 33 \cr \cr \ \ 4x \ - 6y \ = \ 24 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 19x \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 57 \Rightarrow x = 3 \end{array} $$
2.- Sustituir en alguna de las ecuaciones la $y$ por -2 y calcular el valor de $x$.
Ya hemos solucionado el sistema. La comprobación la tenemos hecha en el método de sustitución.
$$\huge \fbox{ Método Gráfico } $$
Consiste en representar las gráficas de las rectas asociadas a cada una de las ecuaciones del sistema para deducir su solución.
Recordemos que dos rectas en el plano tienen tres posibilidades:
Rectas secantes, se cortan en un único punto, la solución es única. Sistema compatible determinado.
Rectas coincidentes, infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado.
Rectas paralelas, no se cortan, no existe solución. Sistema incompatible.
Para dibujar cada una de las rectas del sistema, seguimos los siguientes pasos:
Despejamos una incógnita, normalmente la $y$;
Damos valores y calculamos dos puntos de la recta (de los infinitos que tiene);
Dibujamos en un sistema de referencia cartesiana los dos puntos obtenidos y trazamos la recta que pasa por ambos puntos.
A la hora de buscar puntos para dibujarlos, siempre que podamos escogeremos puntos con las coordenadas $x$ e $y$ enteras. Para ello lo primero que haremos será despejar una variable (dependiente) en función de la otra (independiente). Si no hay denominador ya trabajamos con coordeadas enteras; si lo hubiera, a la variable independiente le sumamos un múltiplo cualquiera del denominador y ya tendríamos un punto cualquiera de la recta con coordenadas enteras.
Veamos un ejemplo:
En la primera ecuación, despejamos la coordenada $y$, tenemos $y = \dfrac{\ \ 11 - 5x \ \ }{2}$; hemos obtenido el punto $(x, y) = (1, 3)$. Si ahora a la coordenada $x = 1$ de este punto, le sumamos un múltiplo del denominador de la $y$ en este caso 2, obtendremos otro punto con coordenadas enteras. Así un múltiplo del denominador puede ser $..., -8, -6 , -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ... $, tomamos por ejemplo 4, si $x = 1 + 4 = 5$, tenemos que $y = -7$, es decir, hemos obtnido otro punto con coordenadas enteras $(x, y) = (5, -7)$. Lo mismo ocurrirá, si $ x = 1 - 4 = -3$, tenemos que $ y = 13$, etc.
En la 1ª ecuación, si en lugar de despejar $y$, despejamos $x = \dfrac{\ \ 11 - 2y\ \ }{5}$, tenemos que buscar un punto con coordenadas enteras, es lo que más cuesta. En este caso, si $y = -2$ tenemos que $x = 3$, el punto sería el $(x, y) = (3, -2)$. Si ahora sumamos a la coordenada $y$ un múltiplo del denominador 5, tenemos que $y = -2 + 10 = 8$ y así $x = -1$.
Si cogemos la segunda ecuación tenemos $ y = \dfrac{\ \ 2x - 12\ \ }{3} $ y hemos obtenido el punto $(, y) = (0, -4)$. Si ahora a la coordenada $x$ le sumamos un múltiplo del denominador, que en este caso 3, tenemos $x = 0 + 9 = 9$ así $y = 2$. Otros puntos los obtendríamos para valores de $x = -3, y = -6$.
Si cogemos la 2ª ecuación y despejamos $ x = \dfrac{\ \ 12 + 3y\ \ }{2} $ y obtenemos el punto $(x, y) = (6, 0)$, ahora a la coordenada $y$ le sumamos cualquier múltiplo de 2 y obtenemos puntos de la recta con coordenadas enteras, por ejemplo, $y = 4$, nos da el valor de $x = 12$.
Comprueba el sistema
Aquí os dejo un enlace donde podéis comprobar por el método gráfico la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
Aquí tienes unos sistemas de ecuaciones resueltos por los métodos sustitución, igualación y reducción. Vamos a ello:
Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{1}{a}$ ecuación la variable $x$ y tenemos que:
$$ 9x = 2y - 3 \Rightarrow x = \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} (1) $$
sustituimos este valor de $x$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación y nos queda:
Veamos el método de igualación. Vamos a despejar $y$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $9x + 3 = 2y \Rightarrow y = \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} $
Ahora vamos a despejar $y$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7y = 12x + 17 \Rightarrow y = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $
Igualamos las variables:
$$ \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $$
Multiplicamos por 14 y nos quedará:
$$ 14 \cdot \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (9x + 3) = 2 \cdot (12x + 17) \Rightarrow 63x + 21 = 24x + 34 \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow 39x = 13 \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{ 39 } = \dfrac{\ 1\ }{3} $$
Sustituyendo la $x$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $y$ obtenemos su valor:
$$ y = \dfrac{\ 12 \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} + 17\ }{7} = \dfrac{\ 4 + 17\ }{7} = \dfrac{\ 21\ }{7} = 3 $$
Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $x$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por 2:
Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $n$ y tenemos que:
$$ 2n = -23 - 5m \Rightarrow n = \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} (1) $$
sustituimos este valor de $n$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:
Vamos a despejar $m$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2m - 5n = 14 \Rightarrow 2m = 14 + 5n \Rightarrow m = \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} $
Ahora vamos a despejar $m$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $5m = -23 - 2n \Rightarrow m = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $
Igualamos las variables:
$$ \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $$
Multiplicamos por 10 y nos quedará:
$$ 10 \cdot \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = 10 \cdot \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} \Rightarrow 5 \cdot (14 + 5n) = 2 \cdot (-23 - 2n) \Rightarrow 70 + 25n = -46 - 4n \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow 29n = -116 \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{ 29 } = -4 $$
Sustituyendo la $n$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $m$ obtenemos su valor:
$$ m = \dfrac{\ 14 + 5 \cdot (-4)\ }{2} = \dfrac{\ 14 - 20\ }{2} = \dfrac{\ -6\ }{2} = -3 $$
Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $n$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por 2:
Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $q$ y tenemos que:
$$ 5q = 27 - 7p \Rightarrow q = \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} (1) $$
sustituimos este valor de $q$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:
Vamos a despejar $p$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2p - 3q = 21 \Rightarrow 2p = 21 + 3q \Rightarrow p = \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} $
Ahora vamos a despejar $p$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7p = 27 - 5q \Rightarrow p = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $
Igualamos las variables:
$$ \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $$
Multiplicamos por 14 y nos quedará:
$$ 14 \cdot \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (21 + 3q) = 2 \cdot (27 - 5q) \Rightarrow 147 + 21q = 54 - 10q \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow 93 = -31q \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = -3 $$
Sustituyendo la $q$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $p$ obtenemos su valor:
$$ p = \dfrac{\ 21 + 3 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ 21 - 9\ }{2} = \dfrac{\ 12\ }{2} = 6 $$
Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $p$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por -3:
Definición: Se llama intervalo al conjunto de números reales
comprendidos entre otros dos dados: $a$ y $b$ que se llaman
extremos del intervalo, $a$ es el extremo inferior y $b$ es el
extremo superior ($a \leq b$). La representación de un intervalo finito en
la recta numérica es un segmento (trozo de recta limitado por dos puntos).
La idea principal que debemos asociar al concepto de intervalo es la de un conjunto de números.
Definición: Se llama amplitud o longitud del intervalo a la diferencia del extremo superior y el extremo inferior:
$$ \text{ amplitud del intervalo, longitud del intervalo} = d(a, b) = b - a $$.
Si los extremos del intervalo abierto coinciden, el intervalo representa al conjunto vacío: $(a, a) = \emptyset $
Si los extremos del intervalo cerrado coinciden, el intervalo representa al punto $a$: $[a, a] = \{ a \} $
Siempre $ a \leq b$. No tiene sentido hablar del intervalo $[5, -3]$ ya que no existen números que sean mayores que 5 y a la vez menores que -3.
Intervalos finitos: son los intervalos de amplitud finita.
Intervalo abierto ($a$, $b$), es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$ y menores que $b$.
$$(a, b) = ]a, b[ = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x < b \}$$
Intervalo cerrado [$a$, $b$], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$ y menores o iguales que $b$.
$$[a, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \le x \le b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{ a, b \} $$
Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha, ($a$, $b$], es el conjunto de todos los números reales mayores que
$a$ y menores o iguales que $b$.
$$(a, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x \leq b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{ b \} $$
Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda, [$a$, $b$), es el conjunto de todos los números reales mayores o
iguales que $a$ y menores que $b$.
$$[a, b) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \leq x < b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{a\} $$
Los dos extremos del intervalo también pueden ser infinito, en
este caso serían todos los reales, es decir, el intervalo, ($-
\infty$, $+ \infty$), es el conjunto de todos los números
reales, la recta numérica.
Se define el entorno abierto de centro $c$ y radio $r \geq 0$, se denota $E(c, r) = E_{r}(c)$ al intervalo abierto
$$ E_{r}(c) = (c - r, c + r) = \{x \in
\mathbb{R} \ \big | c - r < x < c + r \} = \{x \in
\mathbb{R} \ \big | -r < x - c < r \} = \{x \in
\mathbb{R} \ \big | \mid x - c \mid < r \}$$
Se define el entorno cerrado centro de centro $c$ y radio $r$, se denota $E[c, r] = E_{r}[c]$ al intervalo cerrado
$$ E_{r}[c] = [c - r, c + r] = \{x \in
\mathbb{R} \ \big | c - r \leq x \leq c + r \} = \{x \in
\mathbb{R} \ \big | - r \leq x - c \leq r \} = \{x \in
\mathbb{R} \ \big | \mid x - c \mid \leq r \}$$
¿Cómo pasamos de intervalo $(a, b)$ a entorno $E(c, r) = E_{r}(c)$? Si
igualamos los extremos del intervalo con los extremos del entorno formamos
el siguiente sistema:
$$ \Large \cases{ a = c - r \cr \cr b = c + r } $$
Cuya solución es la siguiente:
$$ a + b = 2c \Leftrightarrow c = \dfrac{a + b}{2} \ \text{el centro es el punto medio del intervalo;}$$
$$ b - a = 2r \Leftrightarrow r = \dfrac{b - a}{2} \ \text{el radio es la mitad de la amplitud del intervalo.} $$
Veamos un ejemplo, el intervalo abierto $(3,7)$ lo vamos a pasar a
entorno:
$$ c = \dfrac{a + b}{2} \Leftrightarrow c = \dfrac{3 + 7}{2} = 5$$
$$ r = \dfrac{b - a}{2} \Leftrightarrow c = \dfrac{7 - 3}{2} = 2$$
Es decir el intervalo abierto $(3,7)$ es el entorno de centro 5 y radio 2 $E(5, 2) = E_{2}(5)$
$$(3,7) = E(5, 2)$$
Exactamente igual si fuera un intervalo cerrado $[3,7] = E[5, 2] = E_{2}[5]$
¿Cómo pasamos de entorno $E(c, r) = E_{r}(c)$ a intervalo $(a, b)$? Vamos a pasar de entorno abierto de centro -3 y radio 4 $E(-3, 4) = E_{4}(-3)$ a intervalo:
El extremo inferior del intervalo es centro $-$ radio: $ a = c - r \Leftrightarrow a = -3 - 4 = -7 $
El extremo superior del intervalo es centro $+$ radio: $ b = c + r \Leftrightarrow a = -3 + 4 = 1 $
Luego entorno abierto de centro -3 y radio 4, $E(-3, 4) = E_{4}(-3)$, es el intervalo abierto $(-7, 1)$.
$$E(-3, 4) = (-7, 1)$$
Exactamente igual si fuera el entorno cerrado $E[-3, 4] = [-7, 1]$
Para ponerlo como entorno necesitamos el punto medio y el radio. El punto medio:
Se calcula aplicando la fórmula $ c = \dfrac{\ a + b\ }{2}$, donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo:
$$ c = \dfrac{\ -11 + 15\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{2} = 2 $$
Y el radio es la mitad de la amplitud del intervalo, es decir, $ r = \dfrac{\ b - c \ }{2} $
$$ r = \dfrac{\ 15 - (-11)\ }{2} = \dfrac{\ 15 + 11\ }{2} = \dfrac{\ 26\ }{2} = 13 $$
Luego el intervalo $(-11, 15) = E_{13}(2) $
Para ponerlo como entorno necesitamos el punto medio y el radio. El punto medio:
Se calcula aplicando la fórmula $ c = \dfrac{\ a + b\ }{2}$, donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo:
$$ c = \dfrac{\ -14 + 4\ }{2} = \dfrac{\ -10\ }{2} = -5 $$
Y el radio es la mitad de la amplitud del intervalo, es decir, $ r = \dfrac{\ b - c \ }{2} $
$$ r = \dfrac{\ 4 - (-14)\ }{2} = \dfrac{\ 4 + 14\ }{2} = \dfrac{\ 18\ }{2} = 9 $$
Luego el intervalo $[-14, -4] = E_{9}(-5) $
Para ponerlo como intervlo necesitamos calcular el extremo inferior y superior del intervalo.
El extremo inferior: $ a = c - r$, el extremo superior $b = c + r$. Aplicando las fórmulas tenemos:
$ a = c - r = - 5 - 7 = -12 $ y $ b = c + r = - 5 + 7 = -2 $
Luego el entorno abierto de centro -5 y radio 7 es el intervalo abierto $(-12, -2) = E_{7}(-5)$
Para ponerlo como intervlo necesitamos calcular el extremo inferior y superior del intervalo.
El extremo inferior: $ a = c - r$, el extremo superior $b = c + r$. Aplicando las fórmulas tenemos:
$ a = c - r = 10 - 5 = 5 $ y $ b = c + r = 5 + 10 = 15 $
Luego el entorno cerrado de centro 10 y radio 5 es el intervalo cerrado $[5, 15] = E_{7}(-5)$
De distancias a intervalos.
El módulo o valor absoluto de un número es la distancia en la recta numérica de dicho valor al origen $O$. Es siempre mayor o igual que cero.
$$ \Big | x \Big | = d(x, O) = \cases{ \cr \ x \text{ si } x \geq 0 \cr \cr -x \text{ si } x \lt 0 \cr \cr } = máx \left \{ x, -x \right \} $$
Ejemplos:
$$ \Big | 0 \Big | = 0, \Big | -11 \Big | = 11 \text{ y } \Big | 34 \Big | = 34 $$
El valor absoluto de un número y su opuesto es el mismo, ya que los dos están a la misma distancia del origen:
$$ \Big | -13 \Big | = \Big | 13 \Big | = 13 $$
$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \lt 3 $, ¿qué sera? Podemos probar con algunos números, por ejemplo:
- ¿el 2 cumple esa condición? Sí; ¿y el -2? Sí; ¿y el 225? También; ¿y el 3? El 3 No, ya que la distancia debe ser menor que 3.
Así pues, $ \Big | x \Big | \lt 3 $ lo podemos poner como $(-3, 3)$ es decir, el conjunto de puntos que están a una distancia menor que 3 de 0.
$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \leq 3 $, ¿qué sera? Podemos probar con algunos números, igual que antes, pero vemos que el 3 sí que está en dicho conjunto. Luego $ \Big | x \Big | \leq 3 \Longleftrightarrow x \in [-3, 3] $
$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \gt 3 $, ¿Qué será? Los números que son mayores que 3 eso está claro, pero también los que son menores que -3. Probemos con el número -3,1; $ \Big | -3,1 \Big | = 3,1 \gt 3 $. Luego $ \Big | x \Big | \gt 3 = (-\infty, -3) \ \bigcup \ (3, +\infty)$
$\bullet$ Si cogemos el igual $ \Big | x \Big | \geq 3 $, ¿Qué será? Los números que son mayores o iguales que 3, eso vuelve a estar claro, pero también los que son menores o iguales que -3. Probemos con el número -3,1; $ \Big | -3,1 \Big | = 3,1 \geq 3 $. Luego $ \Big | x \Big | \geq 3 = (-\infty, -3] \ \bigcup \ [3, +\infty)$
Así, si cambiamos 0 por un número real cualquiera $a$ y $b$ es una, tenemos lo siguiente:
$$ d(x, a) = \Big | x - a \Big | = b $$
«Los puntos $x$ de la recta numérica que están a una distancia $b$ del punto $a$»
Los puntos que están a una distancia 5 de 3 $ \Rightarrow d(x, 3) = \Big | x - 3 \Big | = 5 \Rightarrow \cases{ \cr \ x - 3 = 5 \cr \cr x - 3 = -5 \cr \cr } \Rightarrow \cases{ \cr \ x = 5 + 3 = 8 \cr \cr x = -5 + 3 = - 2 \cr \cr } $
Los puntos que están a una distancia 10 de -4 $ \Rightarrow d(x, -4) = \Big | x - (-4) \Big | = \Big | x + 4 \Big | 10 \Rightarrow \cases{ \cr \ x + 4 = 10 \cr \cr x + 4 = -10 \cr \cr } \Rightarrow \cases{ \cr \ x = 10 - 4 = 6 \cr \cr x = - 10 - 4 = - 14 \cr \cr } $
$ | x - a | = b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ igual a $b$. Son los puntos $ b + a$ y $-b +a$
$ | x - a | \lt b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ menor que $b$. Son los puntos cuya distancia a $a$ es igual a $b$ y sería el intervalo abierto $(-b + a, a + b)$.
$ | x - a | \leq b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ menor o igual que $b$. Son los puntos cuya distancia a $a$ es igual a $b$ y sería el intervalo cerrado $[-b + a, a + b ]$.
$ | x - a | \gt b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ mayor que $b$. Sería la unión de los intervalos $(-\infty, -b + a)\ \bigcup \ ( a + b, \infty) $
$ | x - a | \geq b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ mayor o igual que $b$. Sería la unión de los intervalos $(-\infty, -b + a ] \ \bigcup \ [ a + b , \infty) $
Curiosidad: En inglés notación científica se dice «Standard Form».
Si pinchas en la imagen podrás ver la escala que se usa en el universo:
En el mundo científico, con frecuencia se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una forma de evitar manejar demasiados dígitos es utilizar la notación científica.
Todo número en notación científica siempre viene expresado de la misma forma:
$$ a \cdot 10^b \text{ donde } |a| \ \in [1, 10) \text{ y } b \in \mathbb{Z} $$
$a$ es un número real cuyo módulo está en el intervalo $[1, 10)$, es decir, $a$ es mayor o igual que 1 y menor que 10;
$a$ se llama «mantisa» y a $b$ (el exponente de la potencia de 10) es un número entero cualquiera y se denomina orden de magnitud.
¿Cómo pasar un número decimal muy grande a notación científica?
Movemos el punto decimal a la izquierda tantas posiciones numéricas hasta obtener un número mayor o igual que 1 y menor que 10; lo multiplicamos por una potencia de 10 que tenga por exponente el número de veces que hemos movido la coma decimal. Veamos un ejemplo:
Poner en notación científica el número 7 983 000 000 000 000
El número $a$ será 7,983 y el exponente de 10 será 15, las 15 posiciones que hemos movido la coma decimal a la izquierda.
7 983 000 000 000 000 = 7,983 $\cdot 10^{15}$
¿Cómo pasar un número decimal muy pequeño a notación científica?
Movemos el punto decimal a la derecha tantas posiciones numéricas hasta obtener un número mayor o igual que 1 y menor que 10; lo multiplicamos por una potencia de 10 que tenga por exponente el número de veces que hemos movido la coma decimal. Veamos un ejemplo:
Poner en notación científica el número 0,000 000 000 001 543
El número $a$ será 1,543 y el exponente de 10 será -12, las 12 posiciones que hemos movido la coma decimal a la derecha.
0,000 000 000 001 543 = 1,543 $\cdot 10^{-12}$
¿Como pasar un número en notación científica con exponente positivo a número decimal?
Se coge el número $a$ y se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente positivo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros.
Ejemplo: La masa de Urano $8,68 \cdot 10^{25} kg = 86.800.000.000.000.000.000.000.000 kg$
¿Como pasar un número en notación científica con exponente negativo a número decimal?
Se pone el número $a$ y se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como indica el exponente negativo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros. Al final se pone delante de la coma un cero.
Ejemplos:
Peso de un átomo de plutonio $3,9 \cdot 10^{-21}g =$ 0,000 000 000 000 000 000 003 9 $g$
La masa de un electrón $ 9,109 \cdot 10^{-31} kg =$ 0,0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 009 109 $kg$
Veamos un ejemplos muy básicos de notación científica:
Para sumar o restar números en notación científica tienen que tener el mismo exponente en el 10, es decir, el mismo orden de magnitud. Si no tienen el mismo orden, hemos de hacer los cambios necesarios en los órdenes de uno de los dos números o en ambos, para poder hacer la suma o la resta y si el resultado no está en notación científica, convertirlo a la misma.
En la suma, los exponentes deben ser iguales para realizar la operación:
$\left (25 \times 10^{3} \right ) + \left (30 \times 10^{2} \right ) = $ No se pueden sumar, no tienen el mismo orden, cambiamos a orden 3 el segundo sumando: $$ \left (25 \times 10^{3} \right ) + \left (3,0 \times 10^{3} \right) = 28 \times 10^{3} = 2,8 \times 10^{4}$$ o bien a orden 2 el primer sumando: $$ \left ( 250 \times 10^{2} \right ) + \left ( 30 \times 10^{2} \right ) = 280 \times 10^{2} = 28 \times 10^{3} = 2,8 \times 10^{4} $$
$\left (5 \times 10^{-3} \right ) + \left (4 \times 10^{-2} \right ) =$ No se pueden sumar, no tienen el mismo orden, cambiamos a orden -3 el segundo sumando: $$\left (5 \times 10^{-3} \right ) + \left ( 40 \times 10^{-3} \right ) = 45 \times 10^{-3}$$ o bien a orden 2 el primer sumando: $$\left (0.5 \times 10^{-2} \right ) + \left( 4 \times 10^{-2} \right ) = 4.5 \times 10^{-2}$$
En la resta ocurre exactamente lo mismo, los exponentes deben ser iguales para poder efectuarse la operación:
$$ \left (6 \times 10^{3} \right ) - \left ( 4 \times 10^{3} \right ) = \left (6 - 4 \right ) \times 10^{3} = 2 \times 10^{3}$$
$$ \left (5 \times 10^{-2} \right ) - \left (2 \times 10^{-2} \right ) = 3 \times 10^{-2} $$
Si los exponentes no son iguales, deben igualarse:
$$ \left (4 \times 10^{3} \right ) - \left (3 \times 10^{2} \right ) = $$
no se pueden restar, se deben igualar los exponentes haciendo los ajustes correspondientes en los exponentes de la base 10, en los órdenes de magnitud, cambiando el segundo término a orden 3:
$$ \left ( 4 \times 10^{3} \right ) - \left (0,3 \times 10^{3} \right ) = 3,7 \times 10^{3} $$
o bien cambiamos el primer término a orden 2:
$$ \left ( 40 \times 10^{2} \right ) - \left ( 3 \times 10^{2} \right ) = 37 \times 10^{2} = 3,7 \times 10^{3} $$
Para multiplicar, dividir y calcular potencias números en notación científica se opera con los números y las potencias de 10 por separado, utilizando las propiedades de las potencias.
