Funciones cuadráticas - Parábolas - En la ESO

Parábolas - Funciones cuadráticas

Vamos a estudiar las parábolas como la representación geométrica de una función polinómica de grado 2, es decir, $f(x)=a{x}^2+bx+c$. 

Siguiendo esta serie de pasos podemos dibujar cualquier parábola: 

$1^{\underset{―}{\circ }}$ Saber la dirección de las ramas de la parábola viendo el signo del coeficiente del monomio $a\cdot x^2$, es decir, por $a$: 

Si $a>0$ las ramas de la parábola van hacia arriba; si $a<0$ las ramas de la parábola van hacia abajo.

Cuánto mayor sea el valor absoluto de $|a|$ menos amplitud tendrá la parábola y 

cuánto menor sea el valor absoluto de $|a|$ más amplitud tendrá la parábola.

$2^{\underset{―}{\circ }}$ Calcular el vértice de la parábola $V=({\displaystyle \frac{-b}{2a}},f\left({\displaystyle \frac{-b}{2a}}\right))$.  Tenemos que calcular $f\left({\displaystyle \frac{-b}{2a}}\right)$ 

$$f\left({\displaystyle \frac{-b}{2a}}\right)=a\cdot {\left({\displaystyle \frac{-b}{2a}}\right)}^2+b\cdot \left({\displaystyle \frac{-b}{2a}}\right)+c={\displaystyle \frac{a{b}^2}{4a^2}}-{\displaystyle \frac{b^2}{2a}}+c={\displaystyle \frac{b^2}{4a}}-{\displaystyle \frac{2b^2}{4a}}+{\displaystyle \frac{4ac}{4a}}={\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}}$$

NOTAS: 

• Si la parábola va hacia arriba el vértice es un mínimo.
• Si la parábola va hacia abajo el vértice es un máximo. 

$3^{\underset{―}{\circ }}$ Corte con el eje $OY$, «siempre» va a cortar a este eje $Y$, el eje de ordenadas, lo hará cuando $x=0$ y así el punto de corte será el punto de coordenadas $(0,c)$.

$4^{\underset{―}{\circ }}$ Corte con el eje $OX$, cortará a este eje $X$ , el eje de abscisas, cuando la $y=0$, para saber en que puntos corta la parábola a dicho tenemos que resolver la siguiente ecuación: 

$$0=a{x}^2+bx+c$$ 

Al eje $X$ «NO siempre» le corta. Ya sabemos que resolviendo este ecuación tenemos tres casos: 

1. No hay solución $\to$ la parábola no corta al eje $X$; 
2. Hay una solución (doble) $x_1\to$ la parábola corta al eje $X$ en un único punto de coordenadas $(x_1,0)$, es decir, el eje $X$ es tangente a la parábola;
3. Hay dos soluciones distintas $x_1$ y $x_2$, la parábola corta al eje $X$ en dos puntos distintos de coordenadas respectivamente $(x_1,0)$ y $(x_2,0)$.  

NOTA: 

Si la parábola va hacia arriba y el vértice está por encima del eje $X$, es claro que la parábola no cortará al eje $X$ (Caso 1).

Lo mismo si la parábola va hacia abajo y el vértice está por debajo del eje X. 

Parábolas hacia abajo: 

$5^{\underset{―}{\circ }}$ Eje de simetría: La recta $x={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$ es el eje de simetría, es una recta paralela al eje $Y$ que pasa por el vértice de la parábola. Si doblaramos el plano por dicha recta las dos ramas de la prábola coincidirían.

$6^{\underset{―}{\circ }}$ Dibujar la gráfica con los puntos calculados. Si hicieran falta más puntos se pueden calcular haciendo una tabla numérica.

Vamos a ver dos ejemplos: 

El $1^{\underset{―}{er}}$ ejemplo, la parábola $y=x^2-12x+11$. Vamos a calcular los pasos anteriores:

1. $a=1>0$ luego las ramas de la parábola van hacia arriba.
2. Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es ${\displaystyle \frac{-b}{2a}}={\displaystyle \frac{12}{2}}=6$ y la componente $y$ es $f(6)=36-72+11=-25$ luego el vértice tiene de coordenadas $V=(6,-25)$. Como el vértice está por debajo del eje $X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes. 
3. Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x=0$ así el punto de corte será el punto $(0,c)=(0,11)$ 
4. Corte con eje $Y$ que será cuando $y=0$, tenemos que resolver la ecuación $x^2-12x+11=0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto de las raíces es 11 entonces la otra raíz es 11. Luego los punto de corte son $(1,0)$ y $(11,0)$. 
5. Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados: 

El $2^{\underset{―}{\circ }}$ ejemplo, la parábola $y=-3x^2+5x-2$. Vamos a calcular los pasos anteriores:

1. $a=-3<0$ luego las ramas de la parábola van hacia abajo.
2. Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es ${\displaystyle \frac{-b}{2a}}={\displaystyle \frac{-5}{-6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$ y la componente $y$ es $f\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)={\displaystyle \frac{24-25}{-12}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$ luego el vértice tiene de coordenadas $V=({\displaystyle \frac{5}{6}},{\displaystyle \frac{1}{12}})$. Como el vértice está por encima del eje $X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes. 
3. Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x=0$ así el punto de corte será el punto $(0,c)=(0,-2)$ 
4. Corte con eje $Y$ que será cuando $y=0$, tenemos que resolver la ecuación $-3x^2+5x-2=0$ que es lo mismo que resolver $3x^2-5x+2=0$, sacamos 3 factor común $x^2-{\displaystyle \frac{5x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}=0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto de las raíces es ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ entonces la otra raíz es ${\displaystyle \frac{2}{3}}$. Luego los punto de corte son $(1,0)$ y $({\displaystyle \frac{2}{3}},0)$. 
5. Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados:

Y eso es todo ... por ahora.