Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Según la existencia y la unicidad de las soluciones, los sistemas de ecuaciones se clasifican:

$$ \large \matrix{ \text{ Sistemas } \cr \text{de} \cr \text{ecuaciones} } = \cases{ \textbf{Compatible} \text{, el sistema tiene solución } \large \cases{ \textbf{Determinado} \text{: solución única. } \cr \cr \textbf{Indeterminado} \text{, infinitas soluciones } } \cr \cr \textbf{Incompatible} \text{, el sistema no tiene solución. } \cr } $$

Vamos a resolver varios sistemas de ecuaciones usando los cuatro métodos.

$$\huge \fbox{ Método de Sustitución} $$

«Consiste en despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en la otra.»

Lo que nos da cuatro opciones: 

• Despejar la $x$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $x$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera;
• Despejar la $y$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $y$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 5x + 2y = 11 \cr \cr 2x - 3y = 12 } $$

Vamos a despejar la $x$ en la primera ecuación, así $x = \dfrac{11 - 2y}{5}$; Y ahora sustituimos en la segunda ecuación:

$$2\left ( \dfrac{11 - 2y}{5} \right ) - 3y = 12 \text{ Multiplicando por 5 ambos lados de la ecuación tenemos } $$

$$2\left ( 11 - 2y \right ) - 15y = 60 \Leftrightarrow 22 - 4y - 15y = 60 \Leftrightarrow -19y = 38 \Leftrightarrow y = - 2$$

Sabiendo el valor de $y$, calculemos el de $x, x  = \dfrac{11 - 2(-2)}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$. 

Vamos a comprobar el sistema: 

$$ \large \cases{ 5 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 15 - 4 = 11 \checkmark \cr \cr 2\cdot 3 - 3 \cdot (-2) = 6 + 6 = 12 \checkmark \cr } $$

Siempre hay que comprobar las soluciones.

En todas y cada una de las ecuaciones que forman el sistema.

$$\huge \fbox{ Método de Igualación} $$

«Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualarlas.»

Lo que nos da dos opciones: 

• Despejar la $x$ en las dos ecuaciones e igualarlas;
• Despejar la $y$ en las dos ecuaciones e igualarlas.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 3x + 2y = 7 \cr 2x - 3y = 9 } $$

De la $\odn{1}{a}$ ecuación despejamos $y$, $ 3x + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 7 - 3x \Rightarrow y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2}$ (1)

De la $\odn{2}{a}$ ecuación despejamos también $y$, $2x - 3y = 9 \Rightarrow - 3y = 9 - 2x \Rightarrow 3y = -9 + 2x \Rightarrow y = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} $ (2)

Igualamos ambas expresiones de $y$ en (1) y (2):

$$ \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} \Leftrightarrow 3 \cdot \left ( 7 - 3x \right ) = 2 \cdot \left ( -9 + 2x \right )$$

$$ 21 - 9x = - 18 + 4x \Leftrightarrow 39 = 13 x \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 39\ }{13} = 3 $$

Sustituyendo en cualquiera de las dos expresiones (1) o (2) donde tenemos despejada la $y$ tenemos:

$$ y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ 7 - 3 \cdot 3 \ }{2} = \dfrac{\ 7 - 9\ }{2} = \dfrac{\ - 2\ }{2} = -1 $$

Ya hemos solucionado el sistema. Vamos con la comprobación:

$$ \left \{ \begin{array}{l} 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 9 - 2 = 7 \checkmark \cr \cr 2 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) = 6 + 3 = 9 \checkmark \cr \end{array} \right . $$

$$\huge \fbox{ Método de Reducción} $$

«Consiste en conseguir un sistema equivalente donde alguna de las incógnitas tengan el mismo coeficiente (o su opuesto), que será el mínimo común múltiplo de los coeficientes de la incógnita elegida. Para ello vamos a multiplicar una de las ecuaciones o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) para que los coeficientes de la $x$ o los de la $y$ sean iguales (u opuestos). A continuación se suman (o restan) las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita.»

1. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
2. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
3. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta

Para este paso hay dos opciones:

• Se repite el proceso con la otra incógnita.
• Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

Vamos a despejar la $y$, para ellos queremos conseguir el mismo coeficiente (o el opuesto) en las $x$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por -5:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow {\ \ \ -5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10x + \ 4y \ = \ 22 \cr \cr -10x + 15y = -60 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 19y = -38 \Rightarrow y = -2 \end{array} $$

Ahora tenemos dos opciones:

1.- Aplicando el método de reducción para despejar la $x$, para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ 3\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow{\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{15x + \ 6y \ = \ 33 \cr \cr \ \ 4x \ - 6y \ = \ 24 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 19x \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 57 \Rightarrow x = 3 \end{array} $$

2.- Sustituir en alguna de las ecuaciones la $y$ por -2 y calcular el valor de $x$. 

$$ 5x + 2 \cdot (-2) = 11 \Leftrightarrow 5x = 15 \Leftrightarrow x = 3 $$

Ya hemos solucionado el sistema. La comprobación la tenemos hecha en el método de sustitución. 

$$\huge \fbox{ Método Gráfico } $$

Consiste en representar las gráficas de las rectas asociadas a cada una de las ecuaciones del sistema para deducir su solución.
Recordemos que dos rectas en el plano tienen tres posibilidades:

1. Rectas secantes, se cortan en un único punto, la solución es única. Sistema compatible determinado.
2. Rectas coincidentes, infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado.
3. Rectas paralelas, no se cortan,  no existe solución. Sistema incompatible.

Para dibujar cada una de las rectas del sistema, seguimos los siguientes pasos:

• Despejamos una incógnita, normalmente la $y$;
• Damos valores y calculamos dos puntos de la recta (de los infinitos que tiene);
• Dibujamos en un sistema de referencia cartesiana los dos puntos obtenidos y trazamos la recta que pasa por ambos puntos.

De la $\odn{1}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{11 - 5x}{2} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 1 & 3 \cr 3 & -2 \end{array} \qquad \qquad$ De la $\odn{2}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{2x - 12}{3} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 6 & 0 \cr 3 & -2 \end{array} $

Veamos la gráfica:

     Truco - Coordenadas enteras     

     A la hora de buscar puntos para dibujarlos, siempre que podamos escogeremos puntos con las coordenadas $x$ e $y$ enteras. Para ello lo primero que haremos será despejar una variable (dependiente) en función de la otra (independiente). Si no hay denominador ya trabajamos con coordeadas enteras; si lo hubiera, a la variable independiente le sumamos un múltiplo cualquiera del denominador y ya tendríamos un punto cualquiera de la recta con coordenadas enteras.

Veamos un ejemplo:

    En la primera ecuación, despejamos la coordenada $y$, tenemos $y = \dfrac{\ \ 11 - 5x \ \ }{2}$; hemos obtenido el punto $(x, y) = (1, 3)$. Si ahora a la coordenada $x = 1$ de este punto, le sumamos un múltiplo del denominador de la $y$ en este caso 2, obtendremos otro punto con coordenadas enteras. Así un múltiplo del denominador puede ser $..., -8, -6 , -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ... $, tomamos por ejemplo 4, si $x = 1 + 4 = 5$, tenemos que $y = -7$, es decir, hemos obtnido otro punto con coordenadas enteras $(x, y) = (5, -7)$. Lo mismo ocurrirá, si $ x = 1 - 4 = -3$, tenemos que $ y = 13$, etc.


    En la 1ª ecuación, si en lugar de despejar $y$, despejamos $x = \dfrac{\ \ 11 - 2y\ \ }{5}$, tenemos que buscar un punto con coordenadas enteras, es lo que más cuesta. En este caso, si $y = -2$ tenemos que $x = 3$, el punto sería el $(x, y) = (3, -2)$. Si ahora sumamos a la coordenada $y$ un múltiplo del denominador 5, tenemos que $y = -2 + 10 = 8$ y así $x = -1$.

    Si cogemos la segunda ecuación tenemos $ y = \dfrac{\ \ 2x - 12\ \ }{3} $ y hemos obtenido el punto $(, y) = (0, -4)$. Si ahora a la coordenada $x$ le sumamos un múltiplo del denominador, que en este caso 3, tenemos $x = 0 + 9 = 9$ así $y = 2$. Otros puntos los obtendríamos para valores de $x = -3, y = -6$.

    Si cogemos la 2ª ecuación y despejamos $ x = \dfrac{\ \ 12 + 3y\ \ }{2} $ y obtenemos el punto $(x, y) = (6, 0)$, ahora a la coordenada $y$ le sumamos cualquier múltiplo de 2 y obtenemos puntos de la recta con coordenadas enteras, por ejemplo, $y = 4$, nos da el valor de $x = 12$.

     Comprueba el sistema     

Aquí os dejo un enlace donde podéis comprobar por el método gráfico la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:





Aquí tienes unos sistemas de ecuaciones resueltos por los métodos sustitución, igualación y reducción. Vamos a ello:

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{1}{a}$ ecuación la variable $x$ y tenemos que: $$ 9x = 2y - 3 \Rightarrow x = \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} (1) $$ sustituimos este valor de $x$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 7y - 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 12\ }{9} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow $$ Multiplicando por 3: $$ 3 \cdot 7y - 3 \cdot \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 3 \cdot 17 \Rightarrow 21y - 4 \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 51 \Rightarrow $$ $$ 21y - 8y + 12 = 51 \Rightarrow 13y = 39 \Rightarrow y = \dfrac{\ 39\ }{ 13 } = 3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ x = \dfrac{\ 2 \cdot 3 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 6 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 3\ }{9} = \dfrac{\ 1\ }{3} $$

Veamos el método de igualación. Vamos a despejar $y$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $9x + 3 = 2y \Rightarrow y = \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $y$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7y = 12x + 17 \Rightarrow y = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (9x + 3) = 2 \cdot (12x + 17) \Rightarrow 63x + 21 = 24x + 34 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 39x = 13 \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{ 39 } = \dfrac{\ 1\ }{3} $$ Sustituyendo la $x$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $y$ obtenemos su valor: $$ y = \dfrac{\ 12 \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} + 17\ }{7} = \dfrac{\ 4 + 17\ }{7} = \dfrac{\ 21\ }{7} = 3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $x$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 63x - 14y \ = \ -21 \cr \cr -24x + 14y = 34 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 39x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 13 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{39} = \dfrac{\ 1\ }{3} \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $y$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 4 y la $\odn{2}{a}$ por 3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 4\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 3\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 36x - 8y \ = \ -12 \cr \cr -36x + 21y = 51 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 13y\ \ \ = 39 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow y = \dfrac{39}{\ 13\ } = 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $n$ y tenemos que: $$ 2n = -23 - 5m \Rightarrow n = \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} (1) $$ sustituimos este valor de $n$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2m - 5 \cdot \left ( \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} \right ) = 14 \Rightarrow 2m - \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 14 \Rightarrow $$ Multiplicando por 2: $$ 2 \cdot 2m - 2 \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 2 \cdot 14 \Rightarrow 4m - 5 \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 28 \Rightarrow 4m + 5 \cdot (23 + 5m) = 28 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4m + 115 + 25m = 28 \Rightarrow 29m = -87 \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{29} = -3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ n = \dfrac{\ -23 - 5 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ -23 + 15\ }{2} = \dfrac{\ -8\ }{2} = -4 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $m$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2m - 5n = 14 \Rightarrow 2m = 14 + 5n \Rightarrow m = \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $m$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $5m = -23 - 2n \Rightarrow m = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $$ Multiplicamos por 10 y nos quedará: $$ 10 \cdot \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = 10 \cdot \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} \Rightarrow 5 \cdot (14 + 5n) = 2 \cdot (-23 - 2n) \Rightarrow 70 + 25n = -46 - 4n \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 29n = -116 \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{ 29 } = -4 $$ Sustituyendo la $n$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $m$ obtenemos su valor: $$ m = \dfrac{\ 14 + 5 \cdot (-4)\ }{2} = \dfrac{\ 14 - 20\ }{2} = \dfrac{\ -6\ }{2} = -3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $n$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ -2\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10m - 25n \ = \ 70 \cr \cr -10m - 4n = 46 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -29n \ \ \ \ \ \ \ = 116 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{29} = -4 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $m$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 2 y la $\odn{2}{a}$ por 5:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ 5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 4m - 10n \ = \ 28 \cr \cr 25m + 10n = -115 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 29m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -87 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{ 29 } = - 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $q$ y tenemos que: $$ 5q = 27 - 7p \Rightarrow q = \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} (1) $$ sustituimos este valor de $q$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2p - 3 \cdot \left ( \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} \right ) = 21 \Rightarrow 2p - \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 21 \Rightarrow $$ Multiplicando por 5: $$ 5 \cdot 2p - 5 \cdot \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 5 \cdot 21 \Rightarrow 10p - 3 \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 105 \Rightarrow 10p - 81 + 21p = 105 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 31p = 186 \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ q = \dfrac{\ 27 - 7 \cdot 6\ }{5} = \dfrac{\ 27 - 42\ }{5} = \dfrac{\ -15\ }{ 5 } = -3 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $p$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2p - 3q = 21 \Rightarrow 2p = 21 + 3q \Rightarrow p = \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $p$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7p = 27 - 5q \Rightarrow p = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (21 + 3q) = 2 \cdot (27 - 5q) \Rightarrow 147 + 21q = 54 - 10q \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 93 = -31q \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = -3 $$ Sustituyendo la $q$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $p$ obtenemos su valor: $$ p = \dfrac{\ 21 + 3 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ 21 - 9\ }{2} = \dfrac{\ 12\ }{2} = 6 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $p$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por -3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -3\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10p - 15q \ = 100 \cr \cr 21p + 15q = 81 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 31p\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 186 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $q$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por -2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -7\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 14p - 21q \ = 147 \cr \cr -14p - 10q = -54 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -31q\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 93 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = - 3 \end{array} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com