Combinación lineal: Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar dichos vectores multiplicados por escalares (números).
El vector $\vec{w}$ es combinación lineal de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$:
$$ \Large \fbox{ $ \vec{w} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{v} \quad \alpha, \beta \in \R $ } $$
Dado un vector cualquiera $\vec{p}$, de componentes $\vec{p} = (p_x, p_y)$, se define el módulo del vector $\vec{p}$ y se denota $|\vec{p}|$ como:
$$ \Large \fbox{ $ |\vec{p}| = |(p_x, p_y) | = \sqrt{ p_x^2 + p_y^2 } $ } $$
Producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ viene dado por la siguiente fórmula: $$ \Large \fbox{ $ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha = \sqrt{ u_x^2 + u_y^2 } \cdot \sqrt{ v_x^2 + v_y^2 } \cdot \cos \alpha $ } \quad (1) $$
donde $|\vec{u}|$ el módulo o la longitud del vector $\vec{u}$, $|\vec{v}|$ la del vector $\vec{u}$ y $\alpha$ es el ángulo, el menor ángulo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Vector unitario: Aquel vector cuyo módulo o longitud vale 1. Por ejemplo, el vector $ \vec{i} = (1, 0)$ tiene módulo 1: $$ |\vec{i}| = |(1, 0) | = \sqrt{ 1^2 + 0^2 } = \sqrt{ 1 } = 1 $$ Lo mismo ocurre con el vector $\vec{j}$.
El vector $\left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2}, \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right )$ tiene módulo 1. Veámoslo: $$ \left | \left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2}, \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right ) \right | = \sqrt{ \left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right )^2 + \left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right )^2 } = \sqrt{ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} } = \sqrt{ 1 } = 1 $$
Dado un vector cualquiera, siempre podemos calcular un vector unitario proporcional a él. Veámoslo: Utilizamos la siguiente propiedad: $$ | \lambda \cdot \vec{u} | = |\lambda | \cdot |\vec{u}| $$ Por un lado tenemos que $\lambda \cdot \vec{u} = \lambda \cdot (u_x, u_y) = (\lambda \cdot u_x, \lambda \cdot u_y) $, si calculamos el módulo de este vector: $$ | \lambda \cdot \vec{u} | = |(\lambda \cdot u_x, \lambda \cdot u_y)| = \msqrt{(\lambda \cdot u_x)^2 + (\lambda \cdot u_y)^2 } = \msqrt{ \lambda^2 \cdot u_x^2 + \lambda^2 \cdot u_y^2 } = \msqrt{ \lambda^2 \cdot ( u_x^2 + u_y^2) } = \msqrt{ \lambda^2 } \cdot \msqrt{ u_x^2 + u_y^2 } = |\lambda| \cdot |\vec{u}| $$ Ahora es tan fácil como que el nuevo vector $\lambda \cdot \vec{u}$ tenga de módulo 1: $$ | \lambda \cdot \vec{u} | = | \lambda | \cdot | \vec{u} | = 1 \Rightarrow | \lambda | \cdot | \vec{u} | = 1 \Rightarrow |\lambda| = \mfrac{ 1 }{ | \vec{u} | } \Rightarrow \lambda = \mfrac{ \pm 1 }{ | \vec{u} | } $$ Ejemplo: Sea $\vec{u} = (4, -7)$, el módulo de $|\vec{u}| = \msqrt{ 4^2 + (-7)^2} = \msqrt{16 + 49} = \msqrt{65} $ luego el escalar buscado puede ser $\lambda = \mfrac{ \pm 1 }{ \msqrt{65} } = \pm \mfrac{ \msqrt{65} }{ 65 }$
Así tenemos los vectores $\mfrac{ \msqrt{65} }{ 65 } (4, -7)$ y $\mfrac{ -\msqrt{65} }{ 65 } (4, -7)$. Vamos a comprobar que son unitarios: $$ \left | \mfrac{ \msqrt{65} }{ 65 } (4, -7) \right | = \left | \left ( \mfrac{ 4\msqrt{65} }{ 65 } , \mfrac{ -7\msqrt{65} }{ 65 } \right ) \right | = \msqrt{ \left ( \mfrac{ 4\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 + \left ( \mfrac{ -7\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 } = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot 65 }{ 65^2 } + \mfrac{ 49 \cdot 65 }{ 65^2 } } = $$ $$ = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } + \mfrac{ 49 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } } = \msqrt{ \mfrac{ 16 }{ 65 } + \mfrac{ 49 }{ 65 } } = \msqrt{ \mfrac{ 65 }{ 65 } } = \msqrt{1} = 1 \checkmark $$ Lo mismo con el vector $\mfrac{ -\msqrt{65} }{ 65 } (4, -7)$: $$ \left | \mfrac{ -\msqrt{65} }{ 65 } (4, -7) \right | = \left | \left ( \mfrac{ -4\msqrt{65} }{ 65 } , \mfrac{ 7\msqrt{65} }{ 65 } \right ) \right | = \msqrt{ \left ( \mfrac{ -4\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 + \left ( \mfrac{ 7\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 } = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot 65 }{ 65^2 } + \mfrac{ 49 \cdot 65 }{ 65^2 } } = $$ $$ = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } + \mfrac{ 49 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } } = \msqrt{ \mfrac{ 16 }{ 65 } + \mfrac{ 49 }{ 65 } } = \msqrt{ \mfrac{ 65 }{ 65 } } = \msqrt{1} = 1 \checkmark $$
Los vectores $\vec{i} = (1, 0)$ y $\vec{j} = (0, 1)$ son unitarios. Vamos a calcular su producto escalar: $$ \vec{i} \cdot \vec{j} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \left ( \dfrac{\pi}{2} \right ) = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\gss{90}) = 0 $$ Es decir, si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero, y respectivamente, si el producto escalar de dos vectores (no nulos) es cero, entonces son perpendiculares.
El producto escalar de un vector por si mismo es igual al módulo del vector al cuadrado: $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2 $ $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|\cdot |\vec{u}|\cdot \cos 0 = |\vec{u}|^2 $$
Expresión analítica del producto escalar:
$ \vec{i} = (1,0) $ y $\vec{j} = (0, 1) $ Estos vectores forman un sistema generador, es decir, cualquier vector $\vec{u}$ se puede escribir como combinación lineal de los vectores $\vec{i}$ y $\vec{j}$: $$ \vec{u} = (u_x, u_y) = u_x \cdot \vec{i} + u_y \cdot \vec{j} $$ $$ \vec{v} = (v_x, v_y) = v_x \cdot \vec{i} + v_y \cdot \vec{j} $$ Entonces el producto escalar de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es: $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (u_x \cdot \vec{i} + u_y \cdot \vec{j} ) \cdot (v_x \cdot \vec{i} + v_y \cdot \vec{j} ) = u_x \cdot v_x \cdot \vec{i} \cdot \vec{i} + u_x \cdot v_y \cdot \vec{i} \cdot \vec{j} + u_y \cdot v_x \cdot \vec{j} \cdot \vec{i} + u_y \cdot v_y \cdot \vec{j} \cdot \vec{j} = (1) $$ Sabemos que $\vec{j} \cdot \vec{i} = \vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ por ser perpendiculares; y $|\vec{i}|^2 = \vec{i} \cdot \vec{i} = 1 = \vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}|^2 = 1$ $$ (1) = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y $$
$$ \Large \fbox{ $ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y $ } \quad (2) $$
Ángulo que forman dos vectores: Para calcular el ángulo $\alpha$ que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, podemos calcular el coseno del ángulo que forman si juntamos las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ tenemos: $$ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \mfrac{ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y }{ | \vec{u}| \cdot |\vec{v}| } \Rightarrow \cos \alpha = \mfrac{ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y }{ \sqrt{ u_x^2 + u_y^2 } \cdot \sqrt{ v_x^2 + v_y^2 } } $$
$$ \Large \fbox{ $ \alpha = \arccos \left ( \mfrac{ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y }{ \sqrt{ u_x^2 + u_y^2 } \cdot \sqrt{ v_x^2 + v_y^2 } }\right )$ } \quad \alpha \in \left (0, \pi \right )$$
Interpretación geométrica del producto escalar: El producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
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