Ecuaciones irracionales (con la incógnita en el radicando) y ejemplos.

  Una ecuación irracional es una ecuación donde la incógnita se encuentra en el radicando. Veamos algunos ejemplos: 

1. $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $
2. $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $ 
3. $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Vamos a verlo, pero antes tenemos que tener en cuenta una serie de cosas. 

En Matemáticas las raíces cuadradas las intentamos eliminar de dos formas:

• Racionalizando; 
• Elevando al cuadrado.

Para resolver este tipo de ecuaciones elegiremos la $2^{\underline{a}}$ opción, es decir, elevaremos al cuadrado. Pero al usar esta opción, tenemos un pequeño inconveniente, estamos añadiendo soluciones. Veamos esto con un ejemplo muy sencillo: 

Tenemos la ecuación $x = 3$, si elevamos al cuadrado, es decir, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad tenemos que  $x = 9$ y las soluciones de esta ecuación son $x = 3$ que ya la sabíamos y $x = -3$ que no es solución, que ha aparecido por elevar al cuadrado. ¿Cuándo nos daremos cuenta de esto? Cuando comprobemos las soluciones de la ecuación original que estamos resolviendo. Así que siempre tenemos que comprobar las ecuaciones y siempre en la ecuación original, la que tenemos que resolver. 

Otra cosa a tener en cuenta, es que al elevar al cuadrado puede que tengamos una suma o una resta, es decir, tenemos que desarrollar el cuadrado de una suma o de una resta, cuidado, no dejarnos el doble producto, suele ser uno de los errores más comunes en este tipo de ejercicios: 

• $(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 
• $(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 

También tenemos que tener en cuenta las propiedades de las potencias en general y sobre todo una en particular: 

$$ (c \cdot d)^n = c^n \cdot d^n $$ 

Es decir, la potencia de un producto de varios factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores.

Repasadas algunas cosas vamos a resolver este tipo de ecuaciones. 

$\bullet$ Veamos el $1^{\underline{er}}$ ejemplo: $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $ 

Podemos reordenarla de forma que dejamos la raíz  «aislada»  (solamente la raíz) en lado de la igualdad: 

$$2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x \Rightarrow 2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} $$

Y ahora con la raíz aislada en una lado de la ecuación elevamos al cuadrado: 

$$2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} \Rightarrow (2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 $$

Desarrollamos los cuadrados en ambos lados de la igualdad: 

$$(2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 \Rightarrow 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 9x$$ 

Agrupando y pasándolo todo a un lado de la igualdad tenemos:

$$4 + 4x + x^2 - 9x = 0 \Rightarrow x^2 -5x + 4 = 0 $$

Como la suma de los coeficientes es cero 1 es raíz; la otra raíz la sacamos ya que el producto de las dos raíces es 4 y una de ellas es 1, la otra es 4. Vamos a comprobar las raíces en la ecuación inicial: 

• $x = 1 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 2 - 3 = -1 \checkmark $ 
• $x = 4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{4} = -4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot 2 = -4 \Rightarrow 2 -6 = -4 \checkmark $ 

En este caso las dos soluciones son raíces de la ecuación inicial. 

$\bullet$ Veamos con el $2^{\underline{o}}$ ejemplo, la ecuación $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $. En este caso no se puede aislar una raíz en cada uno de los lados de la ecuación. El consejo en este caso es tener una raíz en cada uno de los lados de la ecuación: 

$$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 1 + \sqrt{x - 1} $$

y con una raíz en cada lado elevamos al cuadrado: 

$$ \left ( \sqrt{x + 1} \right )^2 = \left (1 + \sqrt{x - 1} \right)^2 $$

Desarrollamos cada uno de los cuadrados y tenemos: 

$$ x + 1 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1  $$ 

Agrupamos, simplificamos y dejamos la raíz asilada en lado de la ecuación como en el primer ejemplo: 

$$ x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow  1 =  2 \cdot \sqrt{x - 1} $$ 

Ahora estamos igual que en el primer ejercicio, volvemos a elevar al cuadrado y: 

$$ 1 = 2 \cdot \sqrt{x - 1} \Rightarrow 1 = 4 \cdot (x - 1) \Rightarrow 1 + 4 = 4x \Rightarrow x = \dfrac{5}{4} $$

Comprobemos la solución: 

$$ x = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{5}{4} + 1} - \sqrt{\dfrac{5}{4} - 1} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} - \sqrt{\dfrac{1}{4} } = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \checkmark $$ 

$\bullet$ Vamos con el $3^{\underline{er}}$ ejemplo: $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

Estamos en el mismo caso que en el anterior ejemplo, no podemos aislar una raíz en cada uno de los dos lados de la ecuación. Así que elevaremos al cuadrado y reordenaremos: 

$$\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)} \Rightarrow x + 3 + x - 1 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2 \cdot (x + 1) $$

Agrupando tenemos: 

$$ 2x + 2 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2x + 2  \Rightarrow - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 \Rightarrow \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 $$ 

$$ \sqrt{ (x - 1) \cdot (x + 3)} = 0  \Rightarrow (x - 1) \cdot (x + 3) = 0 $$

Claramente los candidatos a soluciones son $x = 1$ y $x = -3$. Vamos a comprobarlos: 

$x = -3 \Rightarrow \sqrt{- 3 + 3} - \sqrt{-3 - 1} = \sqrt{2 \cdot (-3 + 1)} \Rightarrow \sqrt{0} - \sqrt{-4} = \sqrt{-4} $ ✗ no tiene sentido hablar de raíces negativas $x= -3$ no es solución.

$x = 1 \Rightarrow \sqrt{1 + 3} - \sqrt{1 - 1} = \sqrt{2 \cdot (1 + 1)} \Rightarrow \sqrt{4} - \sqrt{0} = \sqrt{4} \Rightarrow 2 = 2 \checkmark  x = 1$ es solución.

Veamos unos ejercicios resueltos:

Este ejercicio tiene solamente una raíz cuadrada, así que la podemos aislar fácilmente:

$ \sqrt{3x - 3} = 4x - 13 $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ 3x - 3 = (4x - 13)^2 \Rightarrow 3x - 3 = 16x^2 - 104x + 169 \Rightarrow 16x^2 - 107x + 172 = 0 $


Resolvemos la ecuación de $2^{\underline{o}}$ grado y tenemos que:

$$ x = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{107^{2} - 4 \cdot 172 \cdot 16} }{2 \cdot 16} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{11.449 - 11.008} }{32} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{441} }{32} = \dfrac{ 107 \pm 21 }{32} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 128 }{ 32 } = 4 \Rightarrow x_1 = 4 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 86 }{ 32 } = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 4 \Rightarrow \sqrt{3 \cdot 4 - 3} = 4 \cdot 4 - 13 \Rightarrow \sqrt{9} = 16 - 13 \Rightarrow 3 = 16 - 14 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow \sqrt{3 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 3} = 4 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 13 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 129 - 48 }{ 16 } } = \dfrac{ 43 - 52 }{ 4 } \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 81 }{ 16 } } = \dfrac{ -9 }{ 4 } \Rightarrow \dfrac{ 9 }{ 4} = \dfrac{ -9 }{ 4 } $ ✗ que no es solución.

Este ejercicio tiene dos raíces, aislar una de ellas es fácil, la otra la pasamos al otro lado de la ecuación

$ \sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{2x + 3} = 2 + \sqrt{x - 2} $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ \left ( \sqrt{2x + 3} \right ) = \left ( 2 + \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow 2x + 3 = 4 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} + x - 2 \Rightarrow 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} $


Agrupamos y dejamos la raíz aislada en un lado de la ecuación

$ 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} \Rightarrow x + 1 = 4 \cdot \sqrt{x - 2} $

Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$ (x + 1)^2 = \left (4 \cdot \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16 \cdot (x - 2) \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16x - 32 \Rightarrow x^2 - 14x + 33 = 0 $

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 33} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{196 - 132} }{2} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{64} }{2} = \dfrac{ 14 \pm 8 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 22 }{ 2 } = 11 \Rightarrow x_1 = 11 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 6 }{ 2 } = 3 \Rightarrow x_2 = 3 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 11 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 11 + 3} - \sqrt{11 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{25} -\sqrt{9} = 2 \Rightarrow 5 - 3 = 2 \checkmark $

$x_2 = 3 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 3 + 3} - \sqrt{3 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{ 9 } - \sqrt{1} = 2 \Rightarrow 3 - 1 = 2 \checkmark $

En este caso las dos soluciones cumplen la ecuación.

Pasamos una raíz al otro lado de la igualdad, da igual la que pasemos pero es mejor pasar la que está restando:

$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7} = 2\sqrt{x - 3} $$ Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad y desarrollamos:

$$(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7})^2 = (2\sqrt{x - 3})^2 \Rightarrow x - 1 + x - 7 + 2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 4(x - 3) $$

Reordenando y simplificando tenemos:

$$2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 2(x - 2) \Rightarrow \sqrt{(x - 1)(x - 7)} = (x - 2) $$

Volvemos a elevar al cuadrado por segunda vez, desarrollamos y agrupamos

$$\left ( \sqrt{(x - 1)(x - 7)} \right )^2 = (x - 2)^2 \Rightarrow x^2 - 8x + 7 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow - 4x = - 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{4}$$

Comprobamos la solución en la ecuación inicial:

$x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{4} - 1} + \sqrt{\dfrac{3}{4} - 7} - 2\sqrt{\dfrac{3}{4} - 3} = 0 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{-1}{4} } + \sqrt{ \dfrac{-25}{4} } - 2\sqrt{ \dfrac{-9}{4} } = 0 $ ✗

Todas las raíces son negativas por lo tanto, no tiene soluciones reales.

Aislamos la raíz en un lado de la ecuación, elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \sqrt{x} = 30 - x \Rightarrow x = (30 - x)^2 \rightarrow x = 900 - 60x + x^2 \Rightarrow x^2 - 61x + 900 = 0 $$ Ahora resolvemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado

$$ x = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 900} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{3721 - 3600} }{2} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{121} }{2} = \dfrac{ 61 \pm 11 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 72 }{ 2 } = 36 \Rightarrow x_1 = 36 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 50 }{ 2 } = 25 \Rightarrow x_2 = 25 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x = 36 \Rightarrow \sqrt{36} = 30 - 36 \Rightarrow 6 = 30 - 36 \Rightarrow 6 = -6 $ ✗ luego no es solución

$x = 25 \Rightarrow \sqrt{25} = 30 - 25 \Rightarrow 5 = 30 - 25 \checkmark $ luego sí es solución

Tenemos dos raíces, dejamos una en cada lado, vamos como están, elevamos al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ \sqrt{x} + 1 = \sqrt{x + 9} \Rightarrow \left ( \sqrt{x} + 1 \right )^2 = \left (\sqrt{x + 9} \right)^2 \Rightarrow x + 2 \cdot \sqrt{x} + 1 = x + 9 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{x} = 8 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 $$ Volvemos a elevar al cuadrado y ya lo tenemos

$ x = 16 $, vamos a comprobarlo $ \sqrt{16} + 1 = \sqrt{16 + 9} \Rightarrow 4 + 1 = \sqrt{25} \Rightarrow 4 + 1 = 5 \checkmark $ es solución.

Tal y como está elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \left( 2 \cdot \sqrt{2x - 1} \right )^2 = \left ( \sqrt{6x - 5} + \sqrt{2x - 9} \right )^2 \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 6x - 5 + 2x - 9 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 8x - 14 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 2 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4x - 2 = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 5 = \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} $$ Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ 25 = (6x - 5) \cdot (2x - 9) \Rightarrow 25 = 12x^2 - 54x - 10x + 45 \Rightarrow 12x^2 - 64x + 20 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 16x + 5 = 0 $$ Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5} }{2 \cdot 3} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{256 - 60} }{6} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{196} }{6} = \dfrac{ 16 \pm 14 }{6} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 30 }{ 6 } = 5 \Rightarrow x_1 = 5 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 6 } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 5 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{6 \cdot 5 - 5} + \sqrt{2 \cdot 5 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{10 - 1} = \sqrt{30 - 5} + \sqrt{10 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{9} = \sqrt{25} + \sqrt{1} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 2 \cdot 3 = 5 + 1 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot \dfrac{ 1 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ 2 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ -1 }{ 3 } } $ ✗ que no tiene sentido. Luego no es solución.

Veamos otro tipo de ejercicios pero también con radicales:

Elevemos al cuadrado los dos lados de la ecuación, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (1 - x \right )^2 = \left ( \sqrt{1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} } \right )^2 \Rightarrow 1 - 2x + x^2 = 1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \Rightarrow - 2x + x^2 = - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} $$

Nos queda una raíz y por tanto volvemos a elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (- 2x + x^2 \right )^2 = \left (- x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \right )^2 \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = x^2 \cdot (4 - 7x^2) \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = 4x^2 - 7x^4 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 8x^4 - 4x^3 = 0 \Rightarrow 4x^4 \cdot (2x - 1) = 0 $$

Las soluciones de la ecuación son $x = 0$ y $x = \dfrac{1}{2}$. Vamos a comprobarlo

$x = 0 \Rightarrow 1 - 0 = \sqrt{1 - 0 \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot 0^2} } \Rightarrow 1 = 1 \checkmark $

$x = \dfrac{1}{2} $

Por un lado tenemos que $ 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} $;

Por otro lado $ \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right ) ^2} } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - \dfrac{7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{16 - 7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{9}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} } = $

$ = \sqrt{1 - \dfrac{3}{4} } = \sqrt{ \dfrac{1}{4} } = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \checkmark $

Las dos soluciones de la ecuación transformada son solución de la ecuación original.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com