Algunas derivadas - Ejercicios con soluciones

Deriva las siguientes funciones

Es la derivada del producto de dos funciones:

$a^{\prime }(x)=3\cdot (2x-3{)}^2\cdot 2\cdot (3x-1{)}^2+(2x-3{)}^3\cdot 2\cdot (3x-1)\cdot 3=$

$=6\cdot (2x-3{)}^2\cdot (3x-1{)}^2+6\cdot (2x-3{)}^3\cdot (3x-1)=$

Sacamos factor común $6\cdot (2x-3{)}^2\cdot (3x-1)$

$=6\cdot (2x-3{)}^2\cdot (3x-1)\cdot (3x-1+2x-3)=6\cdot (2x-3{)}^2\cdot (3x-1)\cdot (5x-4)$

Es la derivada de un cociente de dos polinomios:

$b^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3x^2\cdot (x^3+1)-(x^3-1)\cdot 3x^2}{(x^3+1{)}^2}}=$

hacemos cuentas en el numerador

$={\displaystyle \frac{3x^5+3x^2-3x^5+3x^2}{(x^3+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{6x^2}{(x^3+1{)}^2}}$

Esta función también se puede poner de esta otra forma $c(x)=2\cdot \sqrt[8]{x^4-1}=2\cdot (x^4-1{)}^{\frac{1}{8}}$
$c^{\prime }(x)=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot (x^4-1{)}^{{\displaystyle \frac{-7}{8}}}\cdot 4x^3={\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt[8]{{(x^4-1)}^7}}}$

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas

$d^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}={\displaystyle \frac{2x+2}{1+x^2}}$

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas y además cada una de esas funciones es producto de dos funciones:

$e^{\prime }(x)=3x^2\cdot e^x+x^3\cdot e^x+2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=$

sabemos factor común a $e^x$ y agrupamos términos semjantes:

$=e^x\cdot (3x^2+x^3+2x+x^2)=e^x\cdot (x^3+4x^2+2x)$

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\cos x\cdot (1+\cos x)-\mathrm{sen}x\cdot (-\mathrm{sen}x)}{(1+\cos x{)}^2}}=$

quitamos paréntesis y operamos en el numerador

$={\displaystyle \frac{\cos x+{\cos }^{2}x+{\mathrm{sen}}^{2}x}{(1+\cos x{)}^2}}=$

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría ${\cos }^{2}x+{\mathrm{sen}}^{2}x=1$

$={\displaystyle \frac{\cos x+1}{(1+\cos x{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{1+\cos x}}$

La derivada del logaritmo de un función es la derivada de lafunción dividido por la función

$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}}{x+\sqrt{x^2-1}}}=$

simplificamos 2 en el numerador y operamos en el numerador

$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}}}{x+\sqrt{x^2-1}}}=$

Simplificamos en el numerador y en el denominador $x+\sqrt{x^2-1}$

$={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}=$

racionalizamos y nos queda

$={\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2-1}}$

$h^{\prime }(x)=2\cdot (x-\sqrt{1-x^2})\cdot (1-{\displaystyle \frac{-2x}{2\cdot \sqrt{1-x^2}}})$

Simplificamos en el tercer término el 2, que está multiplicando y dividiendo en la fracción, cambiamos el signo y operamos

$=2\cdot (x-\sqrt{1-x^2})\cdot (1+{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}})=$

$=2\cdot (x-\sqrt{1-x^2})\cdot \left({\displaystyle \frac{\sqrt{1-x^2}+x}{\sqrt{1-x^2}}}\right)=$

aplicamos suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados

$=2\cdot \left({\displaystyle \frac{x^2-1+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}\right)=2\cdot \left({\displaystyle \frac{2x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}}\right)$

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas:

$i^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}}{\mathrm{arcsen}x}}+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}}{\sqrt{1-{(\ln x)}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}\cdot \mathrm{arcsen}x}}+{\displaystyle \frac{1}{x\cdot \sqrt{1-{(\ln x)}^2}}}$

Este ejercicio es un ejemplo de derivación usando la regla de la cadena. En el primer paso derivamos el primer logaritmo

$j^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{{(\ln (\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right)))}^{\prime }}{\ln (\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right))}}=$

Ahora derivamos ek numerador y volvemos a aplicar la regla de la cadena por $2^{\underset{―}{a}}$ vez

$={\displaystyle \frac{1}{\ln (\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right))}}\cdot {\displaystyle \frac{{(\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right))}^{\prime }}{\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right)}}=$

Aplicamos las propiedades del logaritmo y volvemos a aplicar la regla de la cadena por $3^{\underset{―}{a}}$ vez

$={\displaystyle \frac{1}{\ln (\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right))}}\cdot {\displaystyle \frac{{(\ln (1-x)-\ln (1+x))}^{\prime }}{\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right)}}=$

Hacemos cuentas y dejamos la expresión de la derivada lo más sencilla posible

$={\displaystyle \frac{1}{\ln (\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right))\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right)}}\cdot ({\displaystyle \frac{-1}{1-x}}-{\displaystyle \frac{1}{1+x}})={\displaystyle \frac{1}{\ln (\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right))\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right)}}\cdot \left({\displaystyle \frac{-1-x-1+x}{1-x^2}}\right)=$

$={\displaystyle \frac{1}{\ln (\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right))\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right)}}\cdot \left({\displaystyle \frac{-2}{1-x^2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\ln (\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right))\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right)}}\cdot \left({\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}\right)=$

$={\displaystyle \frac{2}{\ln (\ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right))\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\right)\cdot (x^2-1)}}$

Cuando vamos a derivar un logaritmo que NO es neperiano, tenemos que hacer un cambio de base al número $e$ y la función quedará así

$k(x)=5x{\log }_5\left(x^4\right)=5x{\displaystyle \frac{\ln \left(x^4\right)}{\ln 5}}={\displaystyle \frac{20}{\ln 5}}\cdot x\cdot \ln x$

Ahora derivamos una constante ${\displaystyle \frac{20}{\ln 5}}$ por el producto de dos funciones

$k^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{20}{\ln 5}}\cdot (\ln x+x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}})={\displaystyle \frac{20}{\ln 5}}\cdot (\ln x+1)$

Ahora vamos a hacer unos ejercicios de derivación logarítmica o la derivación de la función potencial-exponencial. Para ello tenemos dos opciones:

$1^{\underset{―}{a}}$ opción: Aprendernos esta fórmula ( lo que no es aconsejable para la salud )

Derivada de la función potencial-exponencial:

Si ${\displaystyle f(x)=b(x{)}^{a(x)}\Rightarrow f^{\prime }(x)=b(x{)}^{a(x)}\cdot a^{\prime }(x)\cdot \ln b(x)+b(x{)}^{(a(x)-1)}\cdot a(x)\cdot b^{\prime }(x)}$

$2^{\underset{―}{a}}$ opción:

Hacer el siguiente procedimiento:

$1^{\underset{―}{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$2^{\underset{―}{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos

$3^{\underset{―}{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

$4^{\underset{―}{o}}$ Despejar la derivada de la función.

Veamos unos ejemplos:

$1^{\underset{―}{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$\ln l(x)=\ln (x^2+3x{)}^{x^3+5x^2}$

$2^{\underset{―}{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base

$\ln l(x)=(x^3+5x^2)\cdot \ln (x^2+3x)$

$3^{\underset{―}{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

${\displaystyle \frac{l^{\prime }(x)}{l(x)}}=(3x^2+10x)\cdot \ln (x^2+3x)+(x^3+5x^2)\cdot {\displaystyle \frac{2x+3}{x^2+3x}}$

$4^{\underset{―}{o}}$ Despejar la derivada de la función.

$l^{\prime }(x)=l(x)\cdot [(3x^2+10x)\cdot \ln (x^2+3x)+(x^3+5x^2)\cdot {\displaystyle \frac{2x+3}{x^2+3x}}]$

sustituimos $l(x)$ por su valor y tenemos

$l^{\prime }(x)=(x^2+3x{)}^{x^3+5x^2}\cdot [(3x^2+10x)\cdot \ln (x^2+3x)+(x^3+5x^2)\cdot {\displaystyle \frac{2x+3}{x^2+3x}}]$

$1^{\underset{―}{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$\ln m(x)=\ln (\mathrm{arctg}x{)}^{\ln x}$

$2^{\underset{―}{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base

$\ln m(x)=\ln x\cdot \ln (\mathrm{arctg}x)$

$3^{\underset{―}{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

${\displaystyle \frac{m^{\prime }(x)}{m(x)}}={\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot \ln (\mathrm{arctg}x)+\ln x\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}}{\mathrm{arctg}x}}$

${\displaystyle \frac{m^{\prime }(x)}{m(x)}}={\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{arctg}x)}{x}}+{\displaystyle \frac{\ln x}{(1+x^2)\cdot \mathrm{arctg}x}}$

$4^{\underset{―}{o}}$ Despejar la derivada de la función.

$m^{\prime }(x)=m(x)\cdot [{\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{arctg}x)}{x}}+{\displaystyle \frac{\ln x}{(1+x^2)\cdot \mathrm{arctg}x}}]$

sustituimos $m(x)$ por su valor y tenemos

$m^{\prime }(x)=(\mathrm{arctg}x{)}^{\ln x}\cdot [{\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{arctg}x)}{x}}+{\displaystyle \frac{\ln x}{(1+x^2)\cdot \mathrm{arctg}x}}]$

Vamos a seguir derivando

Aplicamos la regla de la cadena, es decir, derivamos el arco tangente y la multiplicamos por la derivada de la función sobre la que calculamos el arco tangente y tenemos que manipular algebraicamente la expresión que obtenemos

$n^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{1+{\left({\displaystyle \frac{x+3}{1-3x}}\right)}^2}}\cdot {\left[{\displaystyle \frac{x+3}{1-3x}}\right]}^{\prime }=$

$={\displaystyle \frac{(1-3x{)}^2}{(1-3x{)}^2+(x+3{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{[x+3{]}^{\prime }(1-3x)-(x+3)[1-3x{]}^{\prime }}{(1-3x{)}^2}}=$

$={\displaystyle \frac{\cancel{(1-3x{)}^2}}{(1-3x{)}^2+(x+3{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{(1-3x)-(x+3)\cdot (-3)}{\cancel{(1-3x{)}^2}}}={\displaystyle \frac{1-3x+3x+3^2}{(1-3x{)}^2+(x+3{)}^2}}=$

$={\displaystyle \frac{1+3^2}{1-6x+3^2{x}^2+x^2+6x+3^2}}={\displaystyle \frac{1+3^2}{1+3^2{x}^2+x^2+3^2}}={\displaystyle \frac{1+3^2}{1+3^2+(1+3^2)\cdot x^2}}=$

$={\displaystyle \frac{1+3^2}{(1+x^2)(1+3^2)}}={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

Aplicamos la regla de la cadena, es decir, derivamos el arco tangente y la multiplicamos por la derivada de la función sobre la que calculamos el arco tangente y tenemos que manipular algebraicamente la expresión que obtenemos

Hay que tratar $a$ como una constante ${ñ}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{1+{\left({\displaystyle \frac{x+a}{1-ax}}\right)}^2}}\cdot {\left[{\displaystyle \frac{x+a}{1-ax}}\right]}^{\prime }=$

$={\displaystyle \frac{(1-ax{)}^2}{(1-ax{)}^2+(x+a{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{[x+a{]}^{\prime }(1-ax)-(x+a)[1-ax{]}^{\prime }}{(1-ax{)}^2}}=$

$={\displaystyle \frac{\cancel{(1-ax{)}^2}}{(1-ax{)}^2+(x+a{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{(1-ax)-(x+a)\cdot (-a)}{\cancel{(1-ax{)}^2}}}={\displaystyle \frac{1-ax+ax+a^2}{(1-ax{)}^2+(x+a{)}^2}}=$

$={\displaystyle \frac{1+a^2}{1-2ax+a^2{x}^2+x^2+2ax+a^2}}={\displaystyle \frac{1+a^2}{1+a^2{x}^2+x^2+a^2}}={\displaystyle \frac{1+a^2}{1+a^2+(1+a^2)\cdot x^2}}=$

$={\displaystyle \frac{1+a^2}{(1+x^2)(1+a^2)}}={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

$o(x)=\sqrt{2x+1}\cdot \mathrm{tg}\sqrt{2x+1}+\ln (\cos \sqrt{2x+1})$

La derivada de la suma es la suma de las derivadas:

$y^{\prime }={(\sqrt{2x+1}\cdot \mathrm{tg}\sqrt{2x+1})}^{\prime }+(\ln (\cos \sqrt{2x+1}){)}^{\prime }=$

La primera es la derivada de un producto y la $2^{\underset{―}{a}}$ es la derivada de un logaritmo de un coseno, cuidado al aplicar la regla de la cadena:

$={\left(\sqrt{2x+1}\right)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+1}\cdot {\left(\mathrm{tg}\sqrt{2x+1}\right)}^{\prime }+{(\ln (\cos \sqrt{2x+1}))}^{\prime }=$

$={\displaystyle \frac{2}{2\cdot \sqrt{2x+1}}}\mathrm{tg}\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+1}(1+{\mathrm{tg}}^2\sqrt{2x+1}){\displaystyle \frac{2}{2\cdot \sqrt{2x+1}}}+{\displaystyle \frac{-\mathrm{sen}\sqrt{2x+1}}{\cos \sqrt{2x+1}}}{\left(\sqrt{2x+1}\right)}^{\prime }=$

$={\displaystyle \frac{2}{2\cdot \sqrt{2x+1}}}\mathrm{tg}\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+1}(1+{\mathrm{tg}}^2\sqrt{2x+1}){\displaystyle \frac{2}{2\cdot \sqrt{2x+1}}}+{\displaystyle \frac{-\mathrm{sen}\sqrt{2x+1}}{\cos \sqrt{2x+1}}}{\displaystyle \frac{2}{2\cdot \sqrt{2x+1}}}=$

$={\displaystyle \frac{{\cancel{2}}^1}{\cancel{2}\cdot \sqrt{2x+1}}}\mathrm{tg}\sqrt{2x+1}+(1+{\mathrm{tg}}^2\sqrt{2x+1}){\displaystyle \frac{\cancel{2\cdot \sqrt{2x+1}}}{\cancel{2\cdot \sqrt{2x+1}}}}-{\displaystyle \frac{{\cancel{2}}^1\mathrm{tg}\sqrt{2x+1}}{\cancel{2}\sqrt{2x+1}}}=$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{tg}\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}}+1+{\mathrm{tg}}^2\sqrt{2x+1}-{\displaystyle \frac{\mathrm{tg}\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}}=$

$=\cancel{{\displaystyle \frac{\mathrm{tg}\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}}}+1+{\mathrm{tg}}^2\sqrt{2x+1}\cancel{-{\displaystyle \frac{\mathrm{tg}\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}}}=$

$=1+{\mathrm{tg}}^2\sqrt{2x+1}={\displaystyle \frac{{\cos }^2\sqrt{2x+1}}{{\cos }^2\sqrt{2x+1}}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^2\sqrt{2x+1}}{{\cos }^2\sqrt{2x+1}}}={\displaystyle \frac{{\cos }^2\sqrt{2x+1}+{\mathrm{sen}}^2\sqrt{2x+1}}{{\cos }^2\sqrt{2x+1}}}=$

$={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\sqrt{2x+1}}}={\sec }^2\sqrt{2x+1}$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com