Algunas derivadas - Ejercicios con soluciones

Deriva las siguientes funciones

Es la derivada del producto de dos funciones:

$a'(x) = 3 \cdot (2x - 3)^2 \cdot 2 \cdot (3x - 1)^{2} + (2x - 3)^{3} \cdot 2 \cdot (3x - 1) \cdot 3 = $

$ = 6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1)^{2} + 6 \cdot (2x - 3)^{3} \cdot (3x - 1) = $

Sacamos factor común $6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1) $

$ = 6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1) \cdot \left ( 3x - 1 + 2x - 3 \right ) = 6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1) \cdot ( 5x - 4 ) $

Es la derivada de un cociente de dos polinomios:

$ b'(x) = \dfrac{ 3x^2 \cdot ( x^3 + 1 ) - (x^3 - 1) \cdot 3x^2 }{ (x^3 + 1)^2 } = $

hacemos cuentas en el numerador

$ = \dfrac{ 3x^5 + 3x^2 - 3x^5 + 3x^2 }{ (x^3 + 1)^2 } = \dfrac{ 6x^2 }{ (x^3 + 1)^2 } $

Esta función también se puede poner de esta otra forma $c(x) = 2 \cdot \sqrt[8]{x^{4} - 1} = 2 \cdot (x^4 - 1 )^{\frac{1}{8} } $
$c'(x) = 2 \cdot \dfrac{1}{8} \cdot (x^4 - 1 )^{\dfrac{-7}{8} } \cdot 4x^3 = \dfrac{x^3}{ \sqrt[8]{ \left (x^{4} - 1 \right )^7 } }$

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas

$d'(x) = \dfrac{2x}{1 + x^2} + 2 \cdot \dfrac{1}{1 + x^2} = \dfrac{2x + 2}{1 + x^2} $

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas y además cada una de esas funciones es producto de dos funciones:

$ e'(x) = 3x^2 \cdot e^{x} + x^3 \cdot e^{x} + 2x \cdot e^{x} + x^2 \cdot e^{x} = $

sabemos factor común a $e^x$ y agrupamos términos semjantes:

$ = e^{x} \cdot (3x^2 + x^3 + 2x + x^2) = e^{x} \cdot ( x^3 + 4x^2 + 2x ) $

$ f'(x) = \dfrac{\cos x \cdot (1 + \cos x ) - \sen x \cdot (- \sen x) }{ (1 + \cos x )^2 } = $

quitamos paréntesis y operamos en el numerador

$ = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sen^2 x }{ (1 + \cos x )^2 } = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 x + \sen^2 x = 1$

$ = \dfrac{\cos x + 1 }{ (1 + \cos x )^2 } = \dfrac{ 1 }{ 1 + \cos x } $

La derivada del logaritmo de un función es la derivada de lafunción dividido por la función

$ g'(x) = \dfrac{ 1 + \dfrac{ 2x }{ 2 \sqrt{x^{2} - 1}} }{ x + \sqrt{x^{2} - 1} } = $

simplificamos 2 en el numerador y operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \dfrac{\sqrt{x^{2} - 1} + x }{ \sqrt{x^{2} - 1}} }{ x + \sqrt{x^{2} - 1} } = $

Simplificamos en el numerador y en el denominador $ x + \sqrt{x^{2} - 1} $

$ = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{x^{2} - 1} } = $

racionalizamos y nos queda

$ = \dfrac{ \sqrt{x^{2} - 1} }{ x^{2} - 1 } $

$h'(x) = 2 \cdot \left ( x - \sqrt{ 1 - x^{2} } \right) \cdot \left ( 1 - \dfrac{-2x}{2 \cdot \sqrt{ 1 - x^{2} }} \right ) $

Simplificamos en el tercer término el 2, que está multiplicando y dividiendo en la fracción, cambiamos el signo y operamos

$ = 2 \cdot \left ( x - \sqrt{ 1 - x^{2} } \right) \cdot \left ( 1 + \dfrac{x}{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) = $

$ = 2 \cdot \left ( x - \sqrt{ 1 - x^{2} } \right) \cdot \left ( \dfrac{ \sqrt{ 1 - x^{2} } + x}{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) = $

aplicamos suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados

$ = 2 \cdot \left ( \dfrac{ x^2 - 1 + x^2 }{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) = 2 \cdot \left ( \dfrac{ 2x^2 - 1 }{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) $

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas:

$ i'(x) = \dfrac{ \ \ \ \dfrac{1}{\sqrt{1 -x^2} \ \ \ } }{\arcsen x} + \dfrac{ \dfrac{1}{x} }{\sqrt{ 1 - \left ( \ln x \right )^2} } = \dfrac{1}{\sqrt{ 1 -x^2 } \cdot \arcsen x} + \dfrac{ 1 }{ x \cdot \sqrt{1 - \left ( \ln x \right )^2} } $

Este ejercicio es un ejemplo de derivación usando la regla de la cadena. En el primer paso derivamos el primer logaritmo

$ j'(x) = \dfrac{ \left ( \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \right )' }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) } = $

Ahora derivamos ek numerador y volvemos a aplicar la regla de la cadena por $2^{\underline{a}}$ vez

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) } \cdot \dfrac{ \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right )' }{ \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } = $

Aplicamos las propiedades del logaritmo y volvemos a aplicar la regla de la cadena por $3^{\underline{a}}$ vez

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) } \cdot \dfrac{ \left( \ln \left( 1 - x \right ) - \ln \left( 1 + x \right ) \right )' }{ \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } = $

Hacemos cuentas y dejamos la expresión de la derivada lo más sencilla posible

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ -1}{ 1 - x } - \dfrac{1}{ 1 + x } \right ) = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ - 1 - x - 1 + x }{ 1 - x^2 } \right ) = $

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ - 2 }{ 1 - x^2 } \right ) = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ 2 }{ x^2 - 1 } \right ) = $

$ = \dfrac{ 2 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \cdot \left( x^2 - 1 \right ) } $

Cuando vamos a derivar un logaritmo que NO es neperiano, tenemos que hacer un cambio de base al número $e$ y la función quedará así

$ k(x) = 5x \log_{5}\left ( x^4 \right ) = 5x \dfrac{ \ln \left ( x^4 \right ) }{ \ln 5 } = \dfrac{20}{ \ln 5 } \cdot x \cdot \ln x $

Ahora derivamos una constante $\dfrac{20}{ \ln 5 }$ por el producto de dos funciones

$ k'(x) = \dfrac{20}{ \ln 5 } \cdot \left ( \ln x + x \cdot \dfrac{ 1 }{ x } \right ) = \dfrac{20}{ \ln 5 } \cdot \left ( \ln x + 1 \right ) $

Ahora vamos a hacer unos ejercicios de derivación logarítmica o la derivación de la función potencial-exponencial. Para ello tenemos dos opciones:

$1^{\underline{a}}$ opción: Aprendernos esta fórmula ( lo que no es aconsejable para la salud )

Derivada de la función potencial-exponencial:

Si $\displaystyle f(x) = b(x)^{a(x)} \Rightarrow f'(x) = b(x)^{a(x)} \cdot a'(x)\cdot \ln b(x) + b(x)^{(a(x) - 1)} \cdot a(x) \cdot b'(x) $

$2^{\underline{a}}$ opción:

Hacer el siguiente procedimiento:

$1^{\underline{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$2^{\underline{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos

$3^{\underline{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

$4^{\underline{o}}$ Despejar la derivada de la función.

Veamos unos ejemplos:

$1^{\underline{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$ \ln l(x) = \ln (x^2 + 3x)^{x^3 + 5x^2} $

$2^{\underline{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base

$\ln l(x) = (x^3 + 5x^2) \cdot \ln (x^2 + 3x) $

$3^{\underline{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

$ \dfrac{l'(x)}{ l(x) } = (3x^2 + 10x) \cdot \ln (x^2 + 3x) + (x^3 + 5x^2) \cdot \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x} $

$4^{\underline{o}}$ Despejar la derivada de la función.

$ l'(x) = l(x) \cdot \left [ (3x^2 + 10x) \cdot \ln (x^2 + 3x) + (x^3 + 5x^2) \cdot \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x} \right ] $

sustituimos $l(x)$ por su valor y tenemos

$ l'(x) = (x^2 + 3x)^{x^3 + 5x^2} \cdot \left [ (3x^2 + 10x) \cdot \ln (x^2 + 3x) + (x^3 + 5x^2) \cdot \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x} \right ] $

$1^{\underline{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$ \ln m(x) = \ln ( \arctg x )^{ \ln x } $

$2^{\underline{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base

$\ln m(x) = \ln x \cdot \ln (\arctg x) $

$3^{\underline{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

$ \dfrac{m'(x)}{ m(x) } = \dfrac{1}{x} \cdot \ln (\arctg x) + \ln x \cdot \dfrac{ \dfrac{1}{1 + x^2} }{ \arctg x } $

$ \dfrac{m'(x)}{ m(x) } = \dfrac{\ln (\arctg x)}{x} + \dfrac{ \ln x }{ (1 + x^2) \cdot \arctg x } $

$4^{\underline{o}}$ Despejar la derivada de la función.

$ m'(x) = m(x) \cdot \left [ \dfrac{\ln (\arctg x)}{x} + \dfrac{ \ln x }{ (1 + x^2) \cdot \arctg x } \right ] $

sustituimos $m(x)$ por su valor y tenemos

$ m'(x) = ( \arctg x )^{ \ln x } \cdot \left [ \dfrac{\ln (\arctg x)}{x} + \dfrac{ \ln x }{ (1 + x^2) \cdot \arctg x } \right ] $

Vamos a seguir derivando

Aplicamos la regla de la cadena, es decir, derivamos el arco tangente y la multiplicamos por la derivada de la función sobre la que calculamos el arco tangente y tenemos que manipular algebraicamente la expresión que obtenemos

$ \require{cancel} n'(x) = \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{x + 3}{1 - 3 x} \right )^{2}} \cdot \left [ \dfrac{x + 3}{1 - 3 x } \right ]^{\prime} = $

$ = \dfrac{(1 - 3 x)^2 }{(1 - 3 x)^{2} + (x + 3)^{2}} \cdot \dfrac{[x + 3]^{\prime}(1 - 3 x) -(x + 3)[1 - 3 x]^{\prime}}{(1 - 3 x)^2 } = $

$ = \dfrac{ \cancel{(1 - 3 x)^2} }{(1 - 3 x)^{2} + (x + 3)^{2}} \cdot \dfrac{(1 - 3 x) - (x + 3) \cdot ( - 3 ) }{ \cancel{(1 - 3 x)^2} } = \dfrac{ 1 - 3x + 3x + 3^2 }{(1 - 3 x)^{2} + (x + 3)^{2}} = $

$ = \dfrac{1 + 3^2}{1 - 6 x + 3^2 x^2 + x^2 + 6x + 3^2 } = \dfrac{1 + 3^2 }{1 + 3^2 x^2 + x^2 +3^2 } = \dfrac{1 + 3^2 }{ 1 + 3^2 + (1 + 3^2) \cdot x^2 } = $

$ = \dfrac{1 + 3^2}{\left ( 1 + x^2 \right ) \left(1 + 3^2 \right ) } = \dfrac{1}{1 + x^2 } $

Aplicamos la regla de la cadena, es decir, derivamos el arco tangente y la multiplicamos por la derivada de la función sobre la que calculamos el arco tangente y tenemos que manipular algebraicamente la expresión que obtenemos

Hay que tratar $a$ como una constante $ \require{cancel} ñ'(x) = \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{x + a}{1 - a x} \right )^{2}} \cdot \left [ \dfrac{x + a}{1 - a x } \right ]^{\prime} = $

$ = \dfrac{(1 - a x)^2 }{(1 - a x)^{2} + (x + a)^{2}} \cdot \dfrac{[x + a]^{\prime}(1 - a x) -(x + a)[1 - a x]^{\prime}}{(1 - a x)^2 } = $

$ = \dfrac{ \cancel{(1 - a x)^2} }{(1 - a x)^{2} + (x + a)^{2}} \cdot \dfrac{(1 - a x) - (x + a) \cdot ( - a ) }{ \cancel{(1 - a x)^2} } = \dfrac{ 1 - ax + ax + a^2 }{(1 - a x)^{2} + (x + a)^{2}} = $

$ = \dfrac{1 + a^2}{1 - 2 a x + a^2 x^2 + x^2 + 2 a x + a^2 } = \dfrac{1 + a^2 }{1 + a^2 x^2 + x^2 + a^2 } = \dfrac{1 + a^2 }{ 1 + a^2 + (1 + a^2) \cdot x^2 } = $

$ = \dfrac{1 + a^2}{\left ( 1 + x^2 \right ) \left(1 + a^2 \right ) } = \dfrac{1}{1 + x^2 } $

$ o(x) = \sqrt{\ 2x + 1\ } \cdot \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \ln( \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } ) $

La derivada de la suma es la suma de las derivadas:

$ y' = \left (\sqrt{\ 2x + 1\ } \cdot \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } \right )' + (\ln( \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } ) )' = $

La primera es la derivada de un producto y la $\odn{2}{a}$ es la derivada de un logaritmo de un coseno, cuidado al aplicar la regla de la cadena:

$ = \left (\sqrt{\ 2x + 1\ } \right)' \cdot \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sqrt{\ 2x + 1\ } \cdot \left ( \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } \right )' + \left (\ln( \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } ) \right )' = $

$ = \dfrac{2}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sqrt{\ 2x + 1\ } \left (1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \right ) \dfrac{ 2 } {\ 2\cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } + \dfrac{\ - \sen \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } } \left ( \sqrt{\ 2x + 1\ } \right )' = $

$ = \dfrac{2}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sqrt{\ 2x + 1\ } \left (1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \right ) \dfrac{ 2 } {\ 2\cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } + \dfrac{\ - \sen \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } } \dfrac{2}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } = $

$ = \dfrac{ \cancelto{1}{2} }{\ \cancel{2} \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \left (1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \right ) \dfrac{ \cancel{2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } } {\ \cancel{2\cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } } - \dfrac{\ \cancelto{1}{2} \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \cancel{2} \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } = $

$ = \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } + 1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } - \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } = $

$ = \cancel{ \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } } + 1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \cancel{ - \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } } = $

$= 1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } = \dfrac{\ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } + \dfrac{\ \sen^2 \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } = \dfrac{\ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sen^2 \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } = $

$ = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } = \sec^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } $

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com