Identidades trigonométricas II - Ejercicios con soluciones

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Sustituimos $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\mathrm{sen}}^2\alpha$

$={\displaystyle \frac{1-{\cos }^2\alpha +{\mathrm{sen}}^2\alpha }{{\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha -{\mathrm{sen}}^2\alpha }}=$

Sustituimos $1-{\cos }^2\alpha ={\mathrm{sen}}^2\alpha$ y en el denominador los ${\mathrm{sen}}^2\alpha$ se cancelan; $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}$

$={\displaystyle \frac{2{\mathrm{sen}}^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=2{\mathrm{tg}}^2\alpha$ ✓

Sustituimos $\mathrm{sen}2\alpha =2\cdot \mathrm{sen}\alpha \cdot \cos \alpha$ y $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\mathrm{sen}}^2\alpha$

$=2\cdot \mathrm{sen}\alpha \cdot {\cos }^2\alpha -\mathrm{sen}\alpha \cdot {\cos }^2\alpha +{\mathrm{sen}}^3\alpha =$

agrupamos los términos semejantes y nos queda

$=\mathrm{sen}\alpha \cdot {\cos }^2\alpha +{\mathrm{sen}}^3\alpha =$

sacamos factor común a $\mathrm{sen}\alpha$ y nos queda

$=\mathrm{sen}\alpha \cdot ({\cos }^2\alpha +{\mathrm{sen}}^2\alpha )=$

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría ${\cos }^2\alpha +{\mathrm{sen}}^2\alpha =1$

$=\mathrm{sen}\alpha$ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\mathrm{sen}\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$ y $\mathrm{sen}(\alpha -\beta )=\mathrm{sen}\alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$

$=\cos \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta +\mathrm{sen}\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta )+\mathrm{sen}\alpha \cdot (\mathrm{sen}\alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\beta )=$

desarrollamos y nos queda

$={\cos }^2\alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta +{\mathrm{sen}}^2\alpha \cdot \cos \beta -\mathrm{sen}\alpha \cdot \cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\beta =$

se cancelan los términos $\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$ y sacamos factor común a $\cos \beta$ y tenemos

$=\cos \beta \cdot ({\cos }^2\alpha +{\mathrm{sen}}^2\alpha )=$

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría ${\cos }^2\alpha +{\mathrm{sen}}^2\alpha =1$

$=\cos \beta$ ✓

Desarrollamos $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\alpha )=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\cdot \cos \alpha +\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\cdot \mathrm{sen}\alpha$

$=\sqrt{2}\cdot [\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\cdot \cos \alpha +\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\cdot \mathrm{sen}\alpha ]=$

sabemos que $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$=\sqrt{2}\cdot [{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \cos \alpha +{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \mathrm{sen}\alpha ]=$

hacemos cuentas y

$=\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \cos \alpha +\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \mathrm{sen}\alpha =$

simplificamos y nos queda

$=\mathrm{sen}\alpha +\cos \alpha$ ✓

sustituimos la $\sec A={\displaystyle \frac{1}{\cos A}}$ y la $\mathrm{tg}A={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}A}{\cos A}}$

$={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}A}}-{\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}A}{{\cos }^{2}A}}={\displaystyle \frac{1-{\mathrm{sen}}^{2}A}{{\cos }^{2}A}}$

sabemos que $1-{\mathrm{sen}}^{2}A={\cos }^{2}A$ luego

$={\displaystyle \frac{{\cos }^{2}A}{{\cos }^{2}A}}=1$ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\mathrm{sen}\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$ y $\mathrm{sen}(\alpha -\beta )=\mathrm{sen}\alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$

y $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\mathrm{sen}\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$ y $\mathrm{sen}(\alpha +\beta )=\mathrm{sen}\alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\beta -(\mathrm{sen}\alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\beta )}{\cos \alpha \cdot \cos \beta -\mathrm{sen}\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta -(\cos \alpha \cdot \cos \beta +\mathrm{sen}\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta )}}=$

quitamos paréntesis y operamos

$={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\beta -\mathrm{sen}\alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\beta }{\cos \alpha \cdot \cos \beta -\mathrm{sen}\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta -\cos \alpha \cdot \cos \beta -\mathrm{sen}\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta }}=$

Se cancelan en el numerador los términos $\mathrm{sen}\alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos \alpha \cdot \cos \beta$

$={\displaystyle \frac{-2\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\beta }{-2\mathrm{sen}\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta }}=$

se simplifica en el numerador y denominador $\mathrm{sen}\beta$ y el $-2$

$={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\mathrm{sen}\alpha }}=\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}$ ✓

Simplifica todo lo que puedas la siguiente expresión:

Sustituimos $\cos (2\alpha -\beta )=\cos 2\alpha \cdot \cos \beta +\mathrm{sen}2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$ y $\mathrm{sen}(2\alpha -\beta )=\mathrm{sen}2\alpha \cdot \cos \beta -\cos 2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$

y $\cos (2\alpha +\beta )=\cos 2\alpha \cdot \cos \beta -\mathrm{sen}2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$ y $\mathrm{sen}(2\alpha +\beta )=\mathrm{sen}2\alpha \cdot \cos \beta +\cos 2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$

$={\displaystyle \frac{\cos 2\alpha \cdot \cos \beta +\mathrm{sen}2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta -(\cos 2\alpha \cdot \cos \beta -\mathrm{sen}2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta )}{\mathrm{sen}2\alpha \cdot \cos \beta -\cos 2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta +(\mathrm{sen}2\alpha \cdot \cos \beta +\cos 2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta )}}=$

quitamos paréntesis y operamos

$={\displaystyle \frac{\cos 2\alpha \cdot \cos \beta +\mathrm{sen}2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta -\cos 2\alpha \cdot \cos \beta +\mathrm{sen}2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta }{\mathrm{sen}2\alpha \cdot \cos \beta -\cos 2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta +\mathrm{sen}2\alpha \cdot \cos \beta +\cos 2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta }}=$

Se cancelan en el numerador los términos $\cos 2\alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos 2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta$

$={\displaystyle \frac{2\mathrm{sen}2\alpha \cdot \mathrm{sen}\beta }{2\mathrm{sen}2\alpha \cdot \cos \beta }}=$

se simplifica en el numerador y denominador $\mathrm{sen}2\alpha$ y el $2$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\beta }{\cos \beta }}=\mathrm{tg}\beta$ ✓

Empezamos por ${\displaystyle \frac{1+\mathrm{tg}\alpha }{\sec \alpha }}$

Sustituimos $\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}$ y $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}$

$={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}{{\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}}}=$

operamos en el numerador

$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\cos \alpha +\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}{{\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}}}=$

Se cancelan en el numerador y en el denominador el ${\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}$ y nos queda

$=\cos \alpha +\mathrm{sen}\alpha$ ✓

Empezamos por ${\displaystyle \frac{\cos \alpha +\mathrm{tg}\alpha }{\cos \alpha \cdot \mathrm{tg}\alpha }}$

Sustituimos $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}$

$={\displaystyle \frac{\cos \alpha +{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}{\cos \alpha \cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}=$

operamos en el numerador y en el denominador

$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\cos }^2\alpha +\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}{\cos \alpha \cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}=$

Se cancelan en el numerador y en el denominador el término ${\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}$ y nos queda

$={\displaystyle \frac{{\cos }^2\alpha +\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\alpha }}=$

separamos en dos fracciones y nos queda

$={\displaystyle \frac{{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\alpha }}+{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha \cdot \mathrm{sen}\alpha }}=$

simplificamos en la $1^{\underset{―}{a}}$ fraccción $\cos \alpha$ y en la $2^{\underset{―}{a}}$ el $\mathrm{sen}\alpha$

$={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\mathrm{sen}\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}=\mathrm{cotg}\alpha +\sec \alpha$ ✓

Empezamos por ${\displaystyle \frac{1-{\mathrm{sen}}^4\alpha }{{\cos }^2\alpha }}$

factorizamos $1-{\mathrm{sen}}^4\alpha =(1-{\mathrm{sen}}^2\alpha )\cdot (1+{\mathrm{sen}}^2\alpha )=$ sustituimos $1-{\mathrm{sen}}^2\alpha ={\cos }^2\alpha$ y qnos queda $1-{\mathrm{sen}}^4\alpha ={\cos }^2\alpha \cdot (1+{\mathrm{sen}}^2\alpha )$ sustituimos

$={\displaystyle \frac{{\cos }^2\alpha \cdot (1+{\mathrm{sen}}^2\alpha )}{{\cos }^2\alpha }}=$

simplificamos ${\cos }^2\alpha$ en el numerador y en el denominador y nos queda

$=1+{\mathrm{sen}}^2\alpha =$

sustituimos ${\mathrm{sen}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$ y tenemos

$=1+1-{\cos }^2\alpha =2-{\cos }^2\alpha$ ✓

Empezamos por ${\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{sen}\alpha }{\mathrm{tg}2\alpha }}$

$${\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{sen}\alpha }{\mathrm{tg}2\alpha }}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{sen}\alpha }{{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2\alpha }{\cos 2\alpha }}}}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{sen}\alpha }{{\displaystyle \frac{2\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha -{\mathrm{sen}}^2\alpha }}}}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{sen}\alpha }{{\displaystyle \frac{2\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha -{\mathrm{sen}}^2\alpha }}}}={\displaystyle \frac{2\mathrm{sen}\alpha ({\cos }^2\alpha -{\mathrm{sen}}^2\alpha )}{2\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha }}=$$

$$={\displaystyle \frac{{\cos }^2\alpha -{\mathrm{sen}}^2\alpha }{\cos \alpha }}=\cos \alpha -{\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^2\alpha }{\cos \alpha }}✓$$

Empezamos por ${\displaystyle \frac{\mathrm{tg}(2\alpha )}{1+\sec (2\alpha )}}$

$${\displaystyle \frac{\mathrm{tg}(2\alpha )}{1+\sec (2\alpha )}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2\alpha }{\cos 2\alpha }}}{1+{\displaystyle \frac{1}{\cos 2\alpha }}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2\alpha }{\cos 2\alpha }}}{{\displaystyle \frac{\cos 2\alpha +1}{\cos 2\alpha }}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2\alpha }{\cos 2\alpha +1}}={\displaystyle \frac{2\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha }{1+{\cos }^2\alpha -{\mathrm{sen}}^2\alpha }}={\displaystyle \frac{2\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha }{2{\cos }^2\alpha }}=$$

$$={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}=\mathrm{tg}\alpha ✓$$

Empezamos por transformar sumas y restas en productos, $\cos 5\theta +\cos \theta =2\cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta$ y

en el denominador $\mathrm{sen}5\theta -\mathrm{sen}\theta =2\cdot \cos 3\theta \cdot \mathrm{sen}2\theta$ sustituimos

${\displaystyle \frac{\cos 2\theta +\cos 5\theta +\cos \theta }{\mathrm{sen}2\theta +\mathrm{sen}5\theta -\mathrm{sen}\theta }}={\displaystyle \frac{\cos 2\theta +2\cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta }{\mathrm{sen}2\theta +2\cdot \cos 3\theta \cdot \mathrm{sen}2\theta }}$

sacamos factor común en el numerador a $\cos 2\theta$ y en el denominador a $\cos 2\theta$ nos queda

$={\displaystyle \frac{\cos 2\theta \cdot (1+2\cdot \cos 3\theta )}{\mathrm{sen}2\theta \cdot (1+2\cdot \cos 3\theta )}}$

simplificamos el factor $1+2\cdot \cos 3\theta$ y tenemos

$={\displaystyle \frac{\cos 2\theta }{\mathrm{sen}2\theta }}=\mathrm{cotg}2\theta$ ✓

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Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com