Identidades trigonométricas II - Ejercicios con soluciones

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Sustituimos $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha$

$ = \dfrac{1 - \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha}{\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

Sustituimos $1 - \cos^2 \alpha = \sen^2 \alpha$ y en el denominador los $\sen^2 \alpha$ se cancelan; $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha}$

$ = \dfrac{2 \sen^2 \alpha}{ \cos^2 \alpha } = 2 \tg^2 \alpha $ ✓

Sustituimos $\sen 2\alpha = 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha $ y $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha$

$ = 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sen^3 \alpha = $

agrupamos los términos semejantes y nos queda

$ = \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sen^3 \alpha = $

sacamos factor común a $\sen \alpha $ y nos queda

$ = \sen \alpha \cdot \left ( \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \right ) = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \sen \alpha $ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha - \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta$

$ = \cos \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta) + \sen \alpha \cdot ( \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta ) = $

desarrollamos y nos queda

$ = \cos^2 \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \alpha \cdot \sen \beta + \sen^2 \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sen \beta = $

se cancelan los términos $\cos \alpha \cdot \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y sacamos factor común a $\cos \beta$ y tenemos

$ = \cos \beta \cdot \left ( \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \right ) = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \cos \beta $ ✓

Desarrollamos $\cos \left ( \dfrac{\pi}{4} - \alpha \right ) = \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \cos \alpha + \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \sen \alpha$

$ = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \cos \alpha + \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \sen \alpha \right ] = $

sabemos que $ \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$

$ = \sqrt{2} \cdot \left [ \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \cos \alpha + \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \sen \alpha \right ] = $

hacemos cuentas y

$ = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \cos \alpha + \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \sen \alpha = $

simplificamos y nos queda

$ = \sen \alpha + \cos \alpha $ ✓

sustituimos la $\sec A = \dfrac{1}{ \cos A}$ y la $\tg A = \dfrac{\sen A}{\cos A} $

$ = \dfrac{1}{ \cos^2 A} - \dfrac{\sen^2 A}{\cos^2 A} = \dfrac{1 - \sen^2 A}{\cos^2 A} $

sabemos que $ 1 - \sen^2 A = \cos^2 A$ luego

$ = \dfrac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = 1 $ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha - \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta$

y $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha + \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta - (\sen \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \beta) }{ \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta - (\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta) } = $

quitamos paréntesis y operamos

$ = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta - \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta }{ \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta - \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta } = $

Se cancelan en el numerador los términos $\sen \alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos \alpha \cdot \cos \beta$

$ = \dfrac{ -2 \cos \alpha \cdot \sen \beta }{ -2 \sen \alpha \cdot \sen \beta } = $

se simplifica en el numerador y denominador $ \sen \beta$ y el $-2$

$ = \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \cotg \alpha = \dfrac{1}{ \tg \alpha } $ ✓

Simplifica todo lo que puedas la siguiente expresión:

Sustituimos $\cos (2\alpha - \beta) = \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(2\alpha - \beta) = \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

y $\cos (2\alpha + \beta) = \cos 2\alpha \cdot \cos \beta - \sen 2\alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(2\alpha + \beta) = \sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta - (\cos 2\alpha \cdot \cos \beta - \sen 2\alpha \cdot \sen \beta) }{ \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta + (\sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta) } = $

quitamos paréntesis y operamos

$ = \dfrac{ \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta - \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta }{ \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta + \sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta } = $

Se cancelan en el numerador los términos $\cos 2\alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ 2 \sen 2\alpha \cdot \sen \beta }{ 2 \sen 2\alpha \cdot \cos \beta } = $

se simplifica en el numerador y denominador $ \sen 2\alpha$ y el $2$

$ = \dfrac{ \sen \beta }{ \cos \beta } = \tg \beta $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 1 + \tg \alpha \ \ }{\sec \alpha} $

Sustituimos $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} $ y $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ 1 + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \cos \alpha + \sen \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ \cos \alpha + \tg \alpha \ \ }{\cos \alpha \cdot \tg \alpha} $

Sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ \cos \alpha + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \cos \alpha \cdot \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador y en el denominador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \cos \alpha \cdot \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el término $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha + \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } = $

separamos en dos fracciones y nos queda

$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } + \dfrac{ \ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } = $

simplificamos en la $1^{\underline{a}}$ fraccción $\cos \alpha$ y en la $2^{\underline{a}}$ el $\sen \alpha$

$ = \dfrac{ \ \ \cos \alpha \ \ }{ \sen \alpha } + \dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } = \cotg \alpha + \sec \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{1 - \sen^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $

factorizamos $1 - \sen^4 \alpha = (1 - \sen^2 \alpha) \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha ) = $ sustituimos $ 1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha $ y qnos queda $1 - \sen^4 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha )$ sustituimos

$ = \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha )}{\cos^2 \alpha} = $

simplificamos $\cos^2 \alpha $ en el numerador y en el denominador y nos queda

$ = 1 + \sen^2 \alpha = $

sustituimos $ \sen^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $ y tenemos

$ = 1 + 1 - \cos^2 \alpha = 2 - \cos^2 \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{\tg 2\alpha} $

$$ \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{\tg 2\alpha} = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \dfrac{ \sen 2 \alpha }{ \cos 2 \alpha} } = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \dfrac{ 2 \sen \alpha \cos \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} } = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \ \ \dfrac{ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} } = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \left ( \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \right ) \ \ }{ 2 \sen \alpha \cos \alpha } = $$

$$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \ \ }{ \cos \alpha } = \cos \alpha - \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\cos \alpha} ✓ $$

Empezamos por $ \dfrac{ \tg (2 \alpha) }{1 + \sec (2 \alpha) } $

$$ \dfrac{ \tg (2 \alpha) }{1 + \sec (2 \alpha) } = \dfrac{ \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \cos 2\alpha } }{1 + \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{ \cos 2\alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \cos 2\alpha } }{\dfrac{ \ \ \cos 2\alpha + 1 \ \ }{ \cos 2\alpha } } = \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \ \ \cos 2\alpha + 1 \ \ } = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{1 + \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{ 2 \cos^2 \alpha } = $$

$$ = \dfrac{ \ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha } = \tg \alpha ✓ $$

Empezamos por transformar sumas y restas en productos, $\cos 5 \theta + \cos \theta = 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta $ y

en el denominador $ \sen 5 \theta - \sen \theta = 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \sen 2\theta $ sustituimos

$ \dfrac{ \cos 2 \theta + \cos 5 \theta + \cos \theta }{\sen 2 \theta + \sen 5 \theta - \sen \theta } = \dfrac{ \cos 2 \theta + 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta }{\sen 2 \theta + 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \sen 2\theta } $

sacamos factor común en el numerador a $\cos 2 \theta$ y en el denominador a $\cos 2 \theta$ nos queda

$ = \dfrac{ \cos 2 \theta \cdot ( 1 + 2 \cdot \cos 3\theta ) }{\sen 2 \theta \cdot (1 + 2 \cdot \cos 3\theta ) } $

simplificamos el factor $ 1 + 2 \cdot \cos 3\theta $ y tenemos

$ = \dfrac{ \ \ \cos 2 \theta \ \ }{ \sen 2 \theta } = \cotg 2\theta $ ✓

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Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com