Logaritmos: Definición y propiedades. Ejercicios.

El número $e$

Si se invierte una cantidad de dinero inicial $C_i$ a un interés del 100% en $n$ periodos al año; entonces:

Si el periodo es único, es decir, $n=1$, significa que los intereses se pagan al transcurrir el año, y el capital inicial $C_i$ se habrá multiplicado por 2, esto es $$C_f=2\cdot C_i$$.
Si los pagos se hacen en dos plazos ($n=2$), es decir, dos veces al año; en el primer semestre el capital inicial se habrá incrementado un 50%, es decir, se ha multiplicado por (1,5) y en el segundo semestre se incrementará otro 50%, es decir, $C_f=C_i\cdot (1,5)\cdot (1,5)$, lo cual puede ser expresado como $$C_f=C_i\cdot (1,5{)}^2=C_i\cdot (1+0,5{)}^2=C_i(1+1/2{)}^2=C_i(1,5{)}^2=C_i\cdot 2,25$$
Si se paga en tres plazos al año $(n=3)$, entonces el capital inicial en el primer cuatrimestre se incrementa en un 33,33% $C_i\cdot (1,3)$; en el segundo cuatrimestre el campital es $C_i\cdot (1,3)\cdot (1,3)$, y para último cuatrimestre es $$C_f=C_i\cdot (1,3)\cdot (1,3)\cdot (1,3)=C_i\cdot (1,3{)}^3=C_i\cdot (1+0,3{)}^3=C_i\cdot (1+1/3{)}^3=2,37\cdot C_i$$
Si el pago se hace trimestral se deduce entonces el capital se convierte en $$C_f=C_i\cdot (1,25{)}^4=C_i\cdot (1+1/4{)}^4=2,44\cdot C_i$$

Y así sucesivamente: De tal forma que si los pagos son mensuales $(n=12)$, y el capital final es $$C_f=C_i\cdot (1+1/12{)}^{1}2=2,6130\cdot C_i$$

Y a medida que $n$ va creciendo el valor de la expresión ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$ se va aproximando a un valor que se puede expresar como el siguiente límite: $${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{{\displaystyle \mathit{\text{l}}\acute{ı}\mathit{\text{m}}}}{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n}$$ Como se habrán dado cuenta, al final de cada operación aparece un factor constante elevado a una potencia que se identifica con el número de periodos en que se capitaliza el capital a interés compuesto, la constante que multiplica al capital tiende a un valor que se aproxima al número irracional $e$.

Ese valor lo expresó Jacob Bernoulli como la constante que Euler llamó $e$, de manera que: $$e={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{{\displaystyle \mathit{\text{l}}\acute{ı}\mathit{\text{m}}}}{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n}$$ De tal forma que a través de este análisis económico se llegó: primero a la definición del número $e$ como un límite; y segundo, al gran aporte matemático a las ciencias económicas como lo es el interés compuesto.

Logaritmo: Definición y propiedades

Definición: Se define el logaritmo en base $M$ de un número real positivo $A$, al número real $a$, exponente, que hay que elevar la base $M$ para obtener el número $A$:

$${\log }_{M}A=a\iff M^a=A$$

Importante:

• La base $M$ ha de ser positiva y distinta de 1, $M>0$ y $M\ne 1$, es decir, $M\in {\mathbb{R}}^{+}\setminus \left\{1\right\}$;
• Sólo podemos calcular el logaritmo de números reales positivos, es decir, $A\in {\mathbb{R}}^{+},A>0$;
• El logaritmo (exponente) $a$, no tiene restricción alguna, puede ser un número real cualquiera $a\in \mathbb{R}$.
• Si la base es positiva, nunca podremos calcular el logaritmo de un número menor o igual que cero.

Nota:

• Si no se indica la base, eso quiere decir que trabajamos en base $10\Rightarrow \log 75={\log }_{10}75$
• El logaritmo neperiano es el que está en base $e\simeq 2,718281828459\dots \Rightarrow {\log }_{e}45=\ln 45$

Veamos algunos ejemplos para entender mejor la definición de logaritmo: 

• ${\log }_{2}8=3\iff 2^3=8$;
• ${\log }_{3}81=4\iff 3^4=81$;
• ${\log }_{\frac{1}{5}}125=-3\iff {\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{-3}=5^3=125$
• ${\log }_{7}1=0\iff 7^0=1$; 
• ${\log }_{11}\sqrt{11}={\displaystyle \frac{1}{2}}\iff {11}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{11}$; 

Propiedades:

Vamos a ver las propiedades y sus demostraciones, para ello usaremos las propiedades de las potencias y los siguientes logaritmos:

$${\log }_{M}A=a\iff M^a=A\text{ y }{\log }_{M}B=b\iff M^b=B$$

1.   ${\log }_{M}A+{\log }_{M}B={\log }_M(A\cdot B)$ $$A\cdot B=M^a\cdot M^b=M^{a+b}\iff {\log }_M(A\cdot B)=a+b={\log }_{M}A+{\log }_{M}B$$
2. ${\log }_{M}A-{\log }_{M}B={\log }_M\left(A/B\right)$  $$A/B=M^a/M^b=M^{a-b}\iff {\log }_M\left(A/B\right)=a-b={\log }_{M}A-{\log }_{M}B$$
3. ${\log }_M{A}^p=p\cdot {\log }_{M}A\mathrm{\forall }p\in \mathbb{R}$ $$A^p=(M^a{)}^p=M^{a\cdot p}\iff {\log }_M{\left(A\right)}^p=p\cdot a=p\cdot {\log }_{M}A$$
4. ${\log }_{M}1=0\iff M^0=1$ 
5. ${\log }_{M}M=1\iff M^1=M$ 
6. Si  $P=Q\iff {\log }_{M}P={\log }_{M}Q$ ¡¡¡Cuidado, los logaritmos no se simplifican!!! Esta propiedad es consecuencia de la biyectividad de la función logarítmica.
7. De la propia definición de logaritmo podemos ver que: $$M^{{\log }_{M}C}=C$$ Si no lo ves con la definición, se pueden tomar logaritmos en base $M$ tendremos: $$M^{{\log }_{M}C}=C\iff {\log }_M{M}^{{\log }_{M}C}={\log }_{M}C\iff$$ $$\iff {\log }_{M}C\cdot {\log }_{M}M={\log }_{M}C\iff {\log }_{M}C\cdot 1={\log }_{M}C\iff {\log }_{M}C={\log }_{M}C$$
8. ${\log }_M{M}^r=r$ $${\log }_M{M}^r=r\iff r\cdot {\log }_{M}M=r\iff r\cdot 1=r\iff r=r$$
9. Cambio de base:
   Podemos poner el número real positivo $Z$ como potencias de dos números diferentes. Tenemos que: $$Z=M^x\iff {\log }_{M}Z=x;\text{ y por otro lado }Z=N^y\iff {\log }_{N}Z=y$$ $$M^x=Z=N^y$$ Vamos a demostrar la fórmula del cambio de base de dos formas:
   $1^{\underset{―}{a}}$ Tomando logaritmos en base $N$ en $Z=M^x$ luego $${\log }_{N}Z={\log }_N{M}^x$$ $${\log }_{N}Z=x\cdot {\log }_{N}M\text{ pero }x={\log }_{M}Z$$ Así ${\log }_{N}Z={\log }_{M}Z\cdot {\log }_{N}M$ y depejando ${\log }_{M}Z$ obtenemos la fórmula del cambio de base: $${\log }_{M}Z={\displaystyle \frac{{\log }_{N}Z}{{\log }_{N}M}}$$

   ---

   $2^{\underset{―}{a}}$ Tomando logaritmos en base $M$ en $Z=N^y$ luego $${\log }_{M}Z={\log }_M{N}^y$$ $${\log }_{M}Z=y\cdot {\log }_{M}N\text{ pero }y={\log }_{N}Z$$ Así ${\log }_{M}Z={\log }_{N}Z\cdot {\log }_{M}N$ y depejando ${\log }_{N}Z$ obtenemos la fórmula del cambio de base: $${\log }_{N}Z={\displaystyle \frac{{\log }_{M}Z}{{\log }_{M}N}}$$

Calcula aplicando la definición, «sólo la definición», el valor de los siguientes logaritmos, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:

Recordemos que $\log ={\log }_{10}$ y que $\ln ={\log }_e$

1. ${\log }_{3}27$
   
   
2. ${\log }_{2}128$
   
   
3. ${\log }_{\frac{1}{2}}64$
   
   
4. ${\log }_{\sqrt{2}}32$
   
   
5. ${\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt[3]{9}$
   
   
6. ${\log }_{2\sqrt{2}}0,25$
   
   
7. ${\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{8}}}$
   
   
8. ${\log }_{0,5}\sqrt[3]{16}$
   
   
9. $\ln \sqrt[5]{e^2}$
   
   
10. $\ln {\displaystyle \frac{e^2}{\sqrt{e}}}$
    
    
11. $\log 0,0001$
    
    
12. $\log 0$
    
    
13. $\log (-10{)}^6$
    
    
14. $\log (-{10}^6)$
    
    
15. ${\log }_{5}5\sqrt{5}$
    
    
16. $\log \sqrt{0,01}$
    
    
17. ${\log }_6\sqrt[5]{{216}^{-1}}$
    
    
18. ${\log }_{\sqrt{\frac{1}{5}}}0,04$
    
    
19. ${\log }_4{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{1024}}}$
    
    
20. ${\log }_{128}\sqrt[3]{2}$
    
    
21. ${\log }_{\frac{1}{9}}\frac{\sqrt[4]{3}}{9}$
    
    
22. ${\log }_3\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{27}}$
    
    
23. ${\log }_2(-16)$
    
    
24. $\ln \frac{1}{e^3}$
    
    
25. ${\log }_{-3}81$
    
    
26. ${\log }_5\frac{5^{-2}}{\sqrt[3]{25}}$
    
    
27. ${\log }_{\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{9}{\sqrt[4]{3}}}$
    
    
28. ${\log }_{\sqrt{2}}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{4^{-1}}}{\sqrt[3]{2}}}$
    
    
29. ${\log }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\displaystyle \frac{(0,5{)}^2}{\sqrt[3]{128}}}$
    
    
30. ${\log }_{\sqrt{3}}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{\sqrt{27}}}$
    
    

Calcula aplicando la definición y las propiedades el valor de las siguientes expresiones:

Veamos un ejemplo resuelto: ${\log }_{25}\frac{1}{\sqrt[5]{5}}-{\log }_3\sqrt{243}+{\log }_{16}{\displaystyle \frac{1}{4}}=$

$={\log }_{25}{5}^{\frac{-1}{5}}-{\log }_3{3}^{\frac{5}{2}}+{\log }_{16}\sqrt{\frac{1}{16}}=$

$={\log }_{25}{25}^{\frac{-1}{10}}-{\log }_3{3}^{\frac{5}{2}}+{\log }_{16}{16}^{\frac{-1}{2}}=$

$={\displaystyle \frac{-1}{10}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{-1}{10}}-3={\displaystyle \frac{-1}{10}}-{\displaystyle \frac{30}{10}}={\displaystyle \frac{-31}{10}}$

$$

$${\log }_2\sqrt[6]{0,5}-{\log }_{49}{\displaystyle \frac{1}{7}}-{\log }_{216}6-{\log }_4\sqrt{2\sqrt{2}}=$$
Tenemos que tener en cuenta que $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$ , luego $\sqrt{2\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{8}}=\sqrt[4]{8}$ y como $8=4^{\frac{3}{2}}$ nos quedará que $\sqrt[4]{8}=8^{\frac{1}{4}}=4^{\frac{3}{8}}$ $$={\log }_2{2}^{\frac{-1}{6}}-{\log }_{49}{49}^{\frac{-1}{2}}-{\log }_{216}{216}^{\frac{1}{3}}-{\log }_4{4}^{\frac{3}{8}}=$$
$$={\displaystyle \frac{-1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{-1}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{6}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}=\cancel{{\displaystyle \frac{-1}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{6}}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}=-{\displaystyle \frac{3}{8}}$$

$$3\cdot {\log }_4\sqrt{128}+2\cdot {\log }_{8}0,25-8\cdot {\log }_9\frac{1}{\sqrt[4]{3}}=$$
$$=3\cdot {\log }_4{2}^{\frac{7}{2}}+2\cdot {\log }_8{4}^{-1}-8\cdot {\log }_9{3}^{\frac{-1}{4}}=$$
$$=3\cdot {\displaystyle \frac{7}{2}}\cdot {\log }_{4}2-2\cdot {\log }_{8}4+8\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\log }_{9}3=$$
$$={\displaystyle \frac{21}{2}}\cdot {\log }_{4}2-2\cdot {\log }_{8}4+2\cdot {\log }_{9}3=$$
$$={\displaystyle \frac{21}{2}}\cdot {\log }_4{4}^{\frac{1}{2}}-2\cdot {\log }_8{8}^{\frac{2}{3}}+2\cdot {\log }_9{9}^{\frac{1}{2}}=$$
$$={\displaystyle \frac{21}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}-2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{21}{4}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}+1={\displaystyle \frac{21}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{63}{12}}-{\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{59}{12}}$$

$${\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\log }_3\sqrt[3]{81}-{\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\log }_{0,5}32+12\cdot {\log }_{25}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{5}}}=$$
$$={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\log }_3{3}^{\frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\log }_{0,5}(2^{-1}{)}^{-5}+12\cdot {\log }_{25}{25}^{\frac{-1}{6}}=$$
$$={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot (-5)+12\cdot {\displaystyle \frac{-1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}+1-2={\displaystyle \frac{1}{3}}-1={\displaystyle \frac{-2}{3}}$$

Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla aplicando las propiedades:

Veamos un ejemplo resuelto: $t={\displaystyle \frac{x^3\cdot y}{z^5}}$

Si dos expresiones son iguales sus logaritmos son iguales.
Tomamos logaritmos $\log t=\log \left({\displaystyle \frac{x^3\cdot y}{z^5}}\right)\Rightarrow$
$\log t=\log (x^3\cdot y)-\log z^5\Rightarrow$

$\log t=\log x^3+\log y-\log z^5\Rightarrow$

$\log t=3\cdot \log x+\log y-5\cdot \log z$

Tomamos logaritmos en ambas partes de la igualdad:
$$s=\sqrt{x^3\cdot y^5\cdot z^2}\Rightarrow \log s=\log \sqrt{x^3\cdot y^5\cdot z^2}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log s=\log {(x^3\cdot y^5\cdot z^2)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\Rightarrow \log s={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \log x^3\cdot y^5\cdot z^2\Rightarrow \log s={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot [\log x^3+\log y^5\log z^2]\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log s=\log {(x^3\cdot y^5\cdot z^2)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\Rightarrow \log s={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \log x^3\cdot y^5\cdot z^2\Rightarrow \log s={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot [\log x^3+\log y^5\log z^2]\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log s={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot [3\log x+5\log y+2\log z]\Rightarrow \log s={\displaystyle \frac{3}{2}}\log x+{\displaystyle \frac{5}{2}}\log y+\log z$$

Tomamos logaritmos:
$$\log D=\log {\displaystyle \frac{A^4}{B^5\cdot \sqrt{C}}}\Rightarrow \log D=\log A^4-\log B^5\cdot \sqrt{C}\Rightarrow \log D=4\log A-(\log B^5+\ln \sqrt{C})\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log D=4\log A-(5\log B+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln C)\Rightarrow \log D=4\log A-5\log B-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln C$$

Tomamos logaritmos:
$$\ln E=\ln \sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B\cdot \sqrt[3]{C}}}}\Rightarrow \ln E=\ln {\left({\displaystyle \frac{A}{B\cdot \sqrt[3]{C}}}\right)}^{\frac{1}{2}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \ln E={\displaystyle \frac{1}{2}}[\ln A-\ln B\cdot \sqrt[3]{C}]\Rightarrow \ln E={\displaystyle \frac{1}{2}}[\ln A-(\ln B+\ln \sqrt[3]{C})]\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \ln E={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \ln A-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\ln B+{\displaystyle \frac{1}{3}}\ln C)\Rightarrow \ln E={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \ln A-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \ln B-{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot \ln C$$

Tomamos logaritmos
$$E^3={\displaystyle \frac{A^2\cdot B}{C\cdot \sqrt{D}}}\Rightarrow \ln E^3=\ln {\displaystyle \frac{A^2\cdot B}{C\cdot \sqrt{D}}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 3\ln E=\ln (A^2\cdot B)-\ln (C\cdot \sqrt{D})\Rightarrow 3\ln E=\ln A^2+\ln B-(\ln C+\ln \sqrt{D})\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 3\ln E=2\ln A+\ln B-(\ln C+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln D)\Rightarrow 3\ln E=2\ln A+\ln B-\ln C-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln D\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \ln E={\displaystyle \frac{1}{3}}(2\ln A+\ln B-\ln C-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln D)$$

Tomando logaritmos:
$$E=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{A^2}{B\cdot \sqrt{C}\cdot D^2}}}\Rightarrow \log E=\log \sqrt[3]{{\displaystyle \frac{A^2}{B\cdot \sqrt{C}\cdot D^2}}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log E=\log {\left({\displaystyle \frac{A^2}{B\cdot \sqrt{C}\cdot D^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}\Rightarrow \log E={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \log \left({\displaystyle \frac{A^2}{B\cdot \sqrt{C}\cdot D^2}}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log E={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (\log A^2-\ln B\cdot \sqrt{C}\cdot D^2)\Rightarrow \log E={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot [2\log A-(\log B+\log \sqrt{C}+\log D^2)]\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log E={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (2\log A-\log B-\log C^{\frac{1}{2}}-2\log D)\Rightarrow \log E={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (2\log A-\log B-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log C-2\log D)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log E={\displaystyle \frac{2}{3}}\log A-{\displaystyle \frac{1}{3}}\log B-{\displaystyle \frac{1}{6}}\log C-{\displaystyle \frac{2}{3}}\log D$$

Usando las propiedades de los logaritmos, calcula el valor de $A$ en las siguientes expresiones:

Veamos un ejemplo resuelto: ${\displaystyle \frac{1}{2}}\log C=3\cdot \log A-\log 2+2\cdot \log B$

$3\cdot \log A={\displaystyle \frac{1}{2}}\log C+\log 2-2\cdot \log B\Rightarrow$

$\log A^3=\log \sqrt{C}+\log 2-\log B^2\Rightarrow$

$\log A^3=\log \left({\displaystyle \frac{2\cdot \sqrt{C}}{B^2}}\right)\iff A^3={\displaystyle \frac{2\cdot \sqrt{C}}{B^2}}\iff A=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{2\cdot \sqrt{C}}{B^2}}}$

Vamos a despejar $\log A$:
$${\displaystyle \frac{1}{3}}\log A={\displaystyle \frac{2}{3}}\log B-\log C+3\cdot \log D\Rightarrow \log A=2\log B-3\log C+9\cdot \log D\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log A=\log B^2-\log C^3+\log D^9\Rightarrow \log A=\log {\displaystyle \frac{B}{C^3}}+\log D^9\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log A=\log {\displaystyle \frac{B\cdot D^9}{C^3}}\Rightarrow A={\displaystyle \frac{B\cdot D^9}{C^3}}$$

Despejamos $\log A$:
$$2-\log D=2\cdot \log A-3\cdot \log B-4\cdot \log C\Rightarrow 2\cdot \log A=2-\log D+3\cdot \log B+4\cdot \log C\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log A=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log D+{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot \log B+2\cdot \log C\Rightarrow \log A=\log 10-\log \sqrt{D}+\log \sqrt{B^3}+\log C^2\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log A=\log {\displaystyle \frac{10}{\sqrt{D}}}+\log \sqrt{B^3}\cdot C^2\Rightarrow \log A=\log {\displaystyle \frac{10\cdot \sqrt{B^3}\cdot C^2}{\sqrt{D}}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow A={\displaystyle \frac{10\cdot \sqrt{B^3}\cdot C^2}{\sqrt{D}}}$$

En construcción
$$\log A={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\log B+\log C-{\displaystyle \frac{2}{3}}\log D\Rightarrow \log A={\displaystyle \frac{1}{2}}\log 10-{\displaystyle \frac{1}{3}}\log B+\log C-{\displaystyle \frac{2}{3}}\log D\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log A=\log \sqrt{10}-\log \sqrt[3]{B}+\log C-\log \sqrt[3]{D^2}\Rightarrow \log A=\log {\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{\sqrt[3]{B}}}+\log {\displaystyle \frac{C}{\sqrt[3]{D^2}}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \log A=\log {\displaystyle \frac{\sqrt{10}\cdot C}{\sqrt[3]{B}\cdot \sqrt[3]{D^2}}}\Rightarrow \log A=\log {\displaystyle \frac{\sqrt{10}\cdot C}{\sqrt[3]{B\cdot D^2}}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow A={\displaystyle \frac{\sqrt{10}\cdot C}{\sqrt[3]{B\cdot D^2}}}$$

Expresa los siguientes logaritmos en función de $\log 2$ y $\log 3$ («logaritmos en base 10») aplicando las propiedades de los logaritmos, para ver la solución pasa el cursor sobre el ejercicio:

Veamos un ejemplo resuelto: $\log 0,0125$

$\log 0,0125=\log {\displaystyle \frac{1}{80}}=\log 1-\log 80=0-(\log 10+\log 8)=-1-3\cdot \log 2$

Veamos un ejemplo resuelto: ${\log }_{\sqrt{2}}27$

${\log }_{\sqrt{2}}27={\displaystyle \frac{{\log }_{2}27}{{\log }_2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{3\cdot {\log }_{2}3}{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\log }_{2}2}}=$

$={\displaystyle \frac{3\cdot {\log }_{2}3}{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1}}=2\cdot 3\cdot {\log }_{2}3=6\cdot {\log }_{2}3=6\cdot {\displaystyle \frac{\log 3}{\log 2}}$

1. $\log 12$
   
   
2. $\log 0,0002$
   
   
3. $\log \sqrt[5]{6}$
   
   
4. $\log 27000$
   
   
5. $\log {\displaystyle \frac{\sqrt{32}}{6}}$
   
   
6. $\log \sqrt[5]{0,48}$
   
   
7. $\log {\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{0,6}}}$
   
   
8. $\log 3,6$
   
   
9. $\log 360$
   
   
10. $\log (5\cdot \sqrt[3]{9})$
    
    
11. $\log (0,6\cdot \sqrt[3]{4})$
    
    
12. ${\log }_{3}32$
    
    
13. ${\log }_{2}81$
    
    
14. ${\log }_{4}0,3$
    
    
15. ${\log }_{8}3$
    
    
16. ${\log }_{\sqrt{3}}8$
    
    
17. ${\log }_{0,5}\sqrt[5]{3}$
    
    
18. ${\log }_{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}\sqrt[3]{0,03}$
    
    

Problemas de aplicación

1.- Se deja a temperatura ambiente una muestra de café, y se observa que su temperatura en ${}^{\circ }C$ disminuye con el tiempo de acuerdo con la siguiente función: $$T(t)=24+51\cdot e^{-0,106\cdot t}\text{donde}t\text{viene dado en minutos.}$$ a) ¿Cuál es la temperatura inicial del café?
b) Si la temperatura óptima para tomar el café es de ${56}^{\circ }C$, entre qué minutos se deberá tomar el café. (Solución: entre 4' y 5')
c) Dibujar la gráfica de dicha función.
d) ¿En qué temperatura se estabilizará el café?

2.- a) Demostrar que la función que permite calcular en cuánto se convierte un capital $C_0$ acumulado al cabo de $t$ años con un interés $i$ es: $$C(t)=C_0\cdot {(1+{\displaystyle \frac{i}{100}})}^t,\text{ en €}$$ donde: $C_0$ es el capital inicial, en € e $i$ es el interés anual, en %.
b) ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 6 años si colocamos a plazo fijo 20.000 € al 2%?
c) ¿Cuántos años debemos mantener 100.000 € en una entidad bancaria a una tasa del 2,5% si queremos duplicar el capital? ¿Es relevante el dato del capital inicial?
d) Una persona que tiene depositada en una caja de ahorros 30.000 € a una tasa del 3% quiere llegar a tener 40.000 € ¿Cuánto tiempo deberá mantener intacto el capital?

Aplicando las propiedades del logaritmo tenemos:

$${\displaystyle \frac{\log {\displaystyle \frac{1}{a}}+\log \sqrt{a}}{\log a^3}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{-\log a+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log a}{3\log a}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log a}{3\log a}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cancel{\log a}}{3\cancel{\log a}}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}✓$$ ¿Pero cuándo hemos usado que $a\ne 1$?

$a\ne 1$ para evitar que el denominador de la fracción sea cero.

Tomamos logaritmos en base 10:

$$a^{\log b}=b^{\log a}\Rightarrow \log a^{\log b}=\log b^{\log a}\Rightarrow \log b\cdot \log a=\log a\cdot \log b$$ Luego $a,b\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Veamos una ecuación «logarítmica» en la que aplicaremos la definición de logaritmo:

Aplicamos la definición de logaritmo:

$$9^{x-1}=3^x+648\Rightarrow {\displaystyle \frac{9^x}{9}}=3^x+648\Rightarrow 9^x-9\cdot 3^x-5832=0\Rightarrow (3^x{)}^2-9\cdot 3^x-5832=0$$ Tenemos una ecuación de $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado en $3^x$, haciendo el cambio $3^x=t$ tenemos: $$t^2-9t-5832=0$$ Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación de $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado en $t$: $$t={\displaystyle \frac{9\pm \sqrt{(-9{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5832)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{9\pm \sqrt{81+23328}}{2}}={\displaystyle \frac{9\pm \sqrt{23409}}{2}}={\displaystyle \frac{9\pm 153}{2}}=$$ $$=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{162}{2}}=31\Rightarrow t_1=31\Rightarrow 3^x=81\to x=4\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-144}{2}}=-72\Rightarrow t_2=-72\Rightarrow 3^x=-72\text{ que es imposible }\end{array}$$ Luego la solución es $x=4$, vamos a comprobarlo:

$${\log }_9(3^x+648)=x-1\Rightarrow {\log }_9(3^4+648)=4-1\Rightarrow {\log }_9(81+648)=3\Rightarrow {\log }_9\left(729\right)=3\Rightarrow 9^3=729✓$$

Sabiendo que $N^b=16$ y que $N=2^{0,15}$, juntado ambas expresiones tenemos que:

${\left(2^{0,15}\right)}^b=16\Rightarrow 2^{0,15b}=2^4\Rightarrow 0,15b=4\Rightarrow {\displaystyle \frac{4}{{\displaystyle \frac{15}{100}}}}={\displaystyle \frac{400}{15}}={\displaystyle \frac{80}{3}}$

Vamos a comprobarlo:

$N^b={\left(2^{0,15}\right)}^{{\displaystyle \frac{80}{3}}}=2^{{\displaystyle \frac{12}{3}}}=2^4=16✓$

Despejamos $a$ y $b$ tomando logaritmos en base 3:

${\log }_3{3}^a={\log }_{3}8\Rightarrow a={\log }_{3}8$

${\log }_3{3}^b={\log }_{3}32\Rightarrow b={\log }_{3}32$

Sustituimos en la expresión ${\displaystyle \frac{a+b}{a-b}}$ y tenemos:

${\displaystyle \frac{a+b}{a-b}}={\displaystyle \frac{{\log }_{3}8+{\log }_{3}32}{{\log }_{3}8-{\log }_{3}32}}={\displaystyle \frac{{\log }_{3}246}{{\log }_3{\displaystyle \frac{1}{4}}}}={\displaystyle \frac{{\log }_3{4}^4}{-{\log }_{3}4}}={\displaystyle \frac{4\cdot {\log }_{3}4}{-{\log }_{3}4}}=-4$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com