Logaritmos: Definición y propiedades. Ejercicios.

El número $e$

Si se invierte una cantidad de dinero inicial $C_i$ a un interés del 100% en $n$ periodos al año; entonces:

Si el periodo es único, es decir, $n = 1$, significa que los intereses se pagan al transcurrir el año, y el capital inicial $C_i$ se habrá multiplicado por 2, esto es $$C_f = 2 \cdot C_i$$.
Si los pagos se hacen en dos plazos ($n = 2$), es decir, dos veces al año; en el primer semestre el capital inicial se habrá incrementado un 50%, es decir, se ha multiplicado por (1,5) y en el segundo semestre se incrementará otro 50%, es decir, $C_f = C_i \cdot (1,5) \cdot (1,5)$, lo cual puede ser expresado como $$C_f = C_i \cdot (1,5)^2 = C_i \cdot (1 + 0,5)^2 = C_i (1 + 1/2)^2 = C_i (1,5)^2 = C_i \cdot 2,25$$
Si se paga en tres plazos al año $(n = 3)$, entonces el capital inicial en el primer cuatrimestre se incrementa en un 33,33% $C_i \cdot (1,3)$; en el segundo cuatrimestre el campital es $C_i \cdot (1,3) \cdot (1,3)$, y para último cuatrimestre es $$C_f = C_i \cdot (1,3) \cdot (1,3) \cdot (1,3) = C_i \cdot (1,3)^3 = C_i \cdot (1 + 0,3)^3 = C_i \cdot (1 + 1/3)^3 = 2,37 \cdot C_i$$
Si el pago se hace trimestral se deduce entonces el capital se convierte en $$C_f = C_i \cdot (1,25)^4 = C_i \cdot (1 + 1/4)^4 = 2,44 \cdot C_i$$

Y así sucesivamente: De tal forma que si los pagos son mensuales $(n = 12)$, y el capital final es $$C_f = C_i \cdot (1 + 1/12)^12 = 2,6130 \cdot C_i $$

Y a medida que $n$ va creciendo el valor de la expresión $\left (1 + \dfrac{\ 1\ }{ n } \right )^n$ se va aproximando a un valor que se puede expresar como el siguiente límite: $$ \milmt{n}{\infty}{ \left (1 + \dfrac{\ 1\ }{ n } \right )^n } $$ Como se habrán dado cuenta, al final de cada operación aparece un factor constante elevado a una potencia que se identifica con el número de periodos en que se capitaliza el capital a interés compuesto, la constante que multiplica al capital tiende a un valor que se aproxima al número irracional $e$.

Ese valor lo expresó Jacob Bernoulli como la constante que Euler llamó $e$, de manera que: $$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad e = \milmt{n}{\infty}{ \left (1 + \dfrac{\ 1\ }{ n } \right )^n } \qquad } $$ De tal forma que a través de este análisis económico se llegó: primero a la definición del número $e$ como un límite; y segundo, al gran aporte matemático a las ciencias económicas como lo es el interés compuesto.

Logaritmo: Definición y propiedades

Definición: Se define el logaritmo en base $M$ de un número real positivo $A$, al número real $a$, exponente, que hay que elevar la base $M$ para obtener el número $A$:

$$ \log_M A = a \Leftrightarrow M^a = A $$

Importante:

• La base $M$ ha de ser positiva y distinta de 1, $ M > 0 $ y $ M \neq 1$, es decir, $M \in \mathbb{R}^+ \setminus \left \{ 1 \right \} $;
• Sólo podemos calcular el logaritmo de números reales positivos, es decir, $ A \in \mathbb{R}^+, A > 0$;
• El logaritmo (exponente) $a$, no tiene restricción alguna, puede ser un número real cualquiera $a \in \mathbb{R}$.
• Si la base es positiva, nunca podremos calcular el logaritmo de un número menor o igual que cero.

Nota:

• Si no se indica la base, eso quiere decir que trabajamos en base $ 10 \Rightarrow \log 75 = \log_{10} 75$
• El logaritmo neperiano es el que está en base $e \simeq 2,718281828459 \ldots \Rightarrow \log_{e} 45 = \ln 45 $

Veamos algunos ejemplos para entender mejor la definición de logaritmo: 

• $\log_2 8 = 3 \Leftrightarrow 2^3 = 8$;
• $\log_3 81 = 4 \Leftrightarrow 3^4 = 81$;
• $\log_{\frac{1}{5}} 125 = -3 \Leftrightarrow \left ( \dfrac{1}{5} \right )^{-3} = 5^3 = 125$
• $\log_7 1 = 0 \Leftrightarrow 7^0 = 1$; 
• $\log_{11} \sqrt{11} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 11^{\frac{1}{2}} = \sqrt{11}$; 

Propiedades:

Vamos a ver las propiedades y sus demostraciones, para ello usaremos las propiedades de las potencias y los siguientes logaritmos:

$$ \log_M A = a \Leftrightarrow M^a = A \text{  y  } \log_M B = b \Leftrightarrow M^b = B $$

1.   $\log_M A + \log_M B = \log_M \left ( A \cdot B \right ) $ $$ A \cdot B = M^a \cdot M^b = M^{a + b} \Leftrightarrow \log_M \left ( A \cdot B \right ) = a + b = \log_M A + \log_M B $$
2. $\log_M A - \log_M B = \log_M \left ( A / B \right ) $  $$ A / B = M^a / M^b = M^{a - b} \Leftrightarrow \log_M \left ( A / B \right ) = a - b = \log_M A - \log_M B $$
3. $\log_M A^p  =  p \cdot \log_M A \quad \forall p \in \mathbb{R}$ $$ A^p = (M^a)^p = M ^{a \cdot p } \Leftrightarrow \log_M \left ( A \right ) ^p = p \cdot a = p \cdot \log_M A $$
4. $\log_M 1 = 0 \Leftrightarrow M^0 = 1 $ 
5. $\log_M M = 1 \Leftrightarrow M^1 = M $ 
6. Si  $ P = Q \Leftrightarrow \log_M P = \log_M Q $ ¡¡¡Cuidado, los logaritmos no se simplifican!!! Esta propiedad es consecuencia de la biyectividad de la función logarítmica.
7. De la propia definición de logaritmo podemos ver que: $$ M^{\log_M C} = C $$ Si no lo ves con la definición, se pueden tomar logaritmos en base $M$ tendremos: $$ M^{\log_M C} = C \Leftrightarrow \log_M M^{\log_M C} = \log_M C \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \log_M C \cdot \log_M M = \log_M C \Leftrightarrow \log_M C \cdot 1 = \log_M C \Leftrightarrow \log_M C = \log_M C $$
8. $ \log_M M^r = r $ $$ \log_M M^r = r \Leftrightarrow r \cdot \log_M M = r \Leftrightarrow r \cdot 1 = r \Leftrightarrow r = r $$
9. Cambio de base:
   Podemos poner el número real positivo $Z$ como potencias de dos números diferentes. Tenemos que: $$Z = M^x \Leftrightarrow \log_{M} Z = x ; \text{ y por otro lado } Z = N^y \Leftrightarrow \log_{N} Z = y $$ $$ M^x = Z = N^y $$ Vamos a demostrar la fórmula del cambio de base de dos formas:
   $1^{\underline{a}}$ Tomando logaritmos en base $N$ en $Z = M^x$ luego $$ \log_{N} Z = \log_{N} M^x $$ $$ \log_{N} Z = x \cdot \log_{N} M  \text{ pero } x = \log_{M}Z $$ Así $ \log_{N} Z = \log_{M} Z \cdot \log_{N} M $ y depejando $\log_{M} Z $ obtenemos la fórmula del cambio de base: $$ \log_{M} Z = \dfrac{ \ \  \log_{N} Z  \ \ }{ \log_{N} M } $$

   ---

   $2^{\underline{a}}$ Tomando logaritmos en base $M$ en $Z = N^y$ luego $$ \log_{M} Z = \log_{M} N^y $$ $$ \log_{M} Z = y \cdot \log_{M} N \text{ pero } y = \log_{N} Z $$ Así $ \log_{M} Z = \log_{N} Z \cdot \log_{M} N $ y depejando $\log_{N} Z $ obtenemos la fórmula del cambio de base: $$ \log_{N} Z = \dfrac{ \ \ \log_{M} Z \ \ }{ \log_{M} N }  $$

Calcula aplicando la definición, «sólo la definición», el valor de los siguientes logaritmos, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:

Recordemos que $\log = \log_{10}$ y que $\ln = \log_{e}$

1. $ \log_{3} 27 $
   
   
2. $\log_{2} 128$
   
   
3. $\log _{\frac{1}{2}} 64$
   
   
4. $\log_{\sqrt{2}} 32$
   
   
5. $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{9}$
   
   
6. $ \log_{2 \sqrt{2}} 0,25$
   
   
7. $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{2 \sqrt{8}}$
   
   
8. $\log_{0,5} \sqrt[3]{16}$
   
   
9. $\ln \sqrt[5]{ e^2 } $
   
   
10. $\ln \dfrac{e^{2}}{ \sqrt{e} } $
    
    
11. $\log 0,0001 $
    
    
12. $ \log 0 $
    
    
13. $ \log (-10)^{6} $
    
    
14. $ \log \left(-10^{6}\right) $
    
    
15. $ \log_{5} 5 \sqrt{5}$
    
    
16. $ \log \sqrt{0,01} $
    
    
17. $ \log_{6} \sqrt[5]{216^{-1}} $
    
    
18. $ \log _{\sqrt{\frac{1}{5}}} 0,04 $
    
    
19. $ \log _{4} \dfrac{1}{\sqrt[3]{1024}} $
    
    
20. $ \log_{128} \sqrt[3]{2} $
    
    
21. $ \log_{\frac{1}{9}} \frac{\sqrt[4]{3}}{9} $
    
    
22. $ \log_{3} \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{27}} $
    
    
23. $ \log_{2}(-16) $
    
    
24. $ \ln \frac{1}{e^{3}} $
    
    
25. $ \log_{-3} 81 $
    
    
26. $ \log_{5} \frac{5^{-2}}{\sqrt[3]{25}} $
    
    
27. $ \log_{\frac{1}{3}} \dfrac{9}{\sqrt[4]{3}} $
    
    
28. $ \log_{\sqrt{2}} \dfrac{1-\sqrt{4^{-1}}}{\sqrt[3]{2}} $
    
    
29. $\log _{\frac{1}{\sqrt{2}}} \dfrac{(0,5)^{2}}{\sqrt[3]{128}} $
    
    
30. $ \log_{\sqrt{3}} \dfrac{\ \dfrac{1}{\ 3\ }\ }{\sqrt{27}} $
    
    

Calcula aplicando la definición y las propiedades el valor de las siguientes expresiones:

Veamos un ejemplo resuelto: $ \log_{25} \frac{1}{\sqrt[5]{5}} - \log_{3} \sqrt{243} + \log_{16} \dfrac{\ 1\ }{4} = $

$ = \log_{25} 5^{ \frac{-1}{\ 5 \ } } - \log_{3} 3^{ \frac{5}{2} } + \log_{16} \sqrt{ \frac{1}{\ 16 \ } } = $

$ = \log_{25} 25^{ \frac{-1}{\ 10 \ } } - \log_{3} 3^{ \frac{5}{2} } + \log_{16} 16^{\frac{-1}{\ 2 \ } } = $

$ = \dfrac{-1}{\ 10 \ } - \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{\ 2 \ } = \dfrac{-1}{\ 10 \ } - 3 = \dfrac{-1}{\ 10 \ } - \dfrac{30}{\ 10 \ } = \dfrac{-31}{\ 10 \ } $

$\require{cancel}$

$$ \log_{2} \sqrt[6]{0,5} - \log_{49} \dfrac{1}{7} - \log_{216} 6 - \log_{4} \sqrt{2 \sqrt{2}} = $$
Tenemos que tener en cuenta que $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ , luego $\sqrt{2\sqrt{2}} = \sqrt{\sqrt{8}} = \sqrt[4]{8}$ y como $8 = 4^{\frac{3}{2}}$ nos quedará que $\sqrt[4]{8} = 8^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{3}{8}}$ $$ = \log_{2} 2^{\frac{-1}{6}} - \log_{49} 49^{\frac{-1}{2}} - \log_{216} 216^{\frac{1}{3}} - \log_{4} 4^{\frac{3}{8}} = $$
$$ = \dfrac{\ -1\ }{6} + \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{\ -1\ }{6} + \dfrac{\ 3\ }{6} - \dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{8} = \cancel{ \dfrac{\ -1\ }{6} + \dfrac{\ 3\ }{6} - \dfrac{2}{6} } - \dfrac{3}{8} = - \dfrac{3}{8} $$

$$ 3 \cdot \log _{4} \sqrt{128} + 2 \cdot \log _{8} 0,25 - 8 \cdot \log_{9} \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = $$
$$ = 3 \cdot \log_{4} 2^{\frac{7}{2} } + 2 \cdot \log_{8} 4^{-1} - 8 \cdot \log_{9} 3^{ \frac{-1}{4} } = $$
$$ = 3 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \log_{4} 2 - 2 \cdot \log_{8} 4 + 8 \cdot \dfrac{\ 1\ }{4} \cdot \log_{9} 3 = $$
$$ = \dfrac{\ 21\ }{2} \cdot \log_{4} 2 - 2 \cdot \log_{8} 4 + 2 \cdot \log_{9} 3 = $$
$$ = \dfrac{\ 21\ }{2} \cdot \log_{4} 4^{ \frac{1}{2} } - 2 \cdot \log_{8} 8^{\frac{2}{3} } + 2 \cdot \log_{9} 9^{\frac{1}{2}} = $$
$$ = \dfrac{\ 21\ }{2} \cdot \dfrac{1}{2} - 2 \cdot \dfrac{2}{3} + 2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\ 21\ }{4} - \dfrac{4}{3} + 1 = \dfrac{\ 21\ }{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{\ 63\ }{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{59}{12} $$

$$ \dfrac{1}{4} \cdot \log_{3} \sqrt[3]{81} - \dfrac{1}{5} \cdot \log _{0,5} 32 + 12 \cdot \log _{25} \dfrac{1}{\sqrt[3]{5}} = $$
$$ = \dfrac{1}{4} \cdot \log_{3} 3^{\frac{4}{3}} - \dfrac{1}{5} \cdot \log_{0,5} (2^{-1})^{-5} + 12 \cdot \log_{25} 25^{\frac{-1}{6}} = $$
$$ = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{5} \cdot (-5) + 12 \cdot \dfrac{-1}{6} = \dfrac{1}{3} + 1 - 2 = \dfrac{1}{3} - 1 = \dfrac{-2}{3} $$

Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla aplicando las propiedades:

Veamos un ejemplo resuelto: $ t = \dfrac{x^{3} \cdot y}{z^{5}} $

Si dos expresiones son iguales sus logaritmos son iguales.
Tomamos logaritmos $ \log t = \log \left ( \dfrac{x^{3} \cdot y}{z^{5}} \right ) \Rightarrow $
$ \log t = \log \left ( x^{3} \cdot y \right ) - \log z^5 \Rightarrow $

$ \log t = \log x^{3} + \log y - \log z^5 \Rightarrow $

$ \log t = 3 \cdot \log x + \log y - 5 \cdot \log z $

Tomamos logaritmos en ambas partes de la igualdad:
$$ s = \sqrt{x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2}} \Rightarrow \log s = \log \sqrt{x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log s = \log \left (x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \right)^{\dfrac{1}{2} } \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \log x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot [ \log x^{3} + \log y^{5} \log z^{2} ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log s = \log \left (x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \right)^{\dfrac{1}{2} } \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \log x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \log x^{3} + \log y^{5} \log z^{2} \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ 3\log x + 5\log y + 2\log z \right ] \Rightarrow \log s = \dfrac{3}{2} \log x + \dfrac{5}{2}\log y + \log z $$

Tomamos logaritmos:
$$ \log D = \log \dfrac{A^{4}}{B^{5} \cdot \sqrt{C}} \Rightarrow \log D = \log A^{4} -\log B^{5} \cdot \sqrt{C} \Rightarrow \log D = 4\log A - \left ( \log B^{5} + \ln \sqrt{C} \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log D = 4\log A - \left ( 5\log B + \dfrac{\ 1\ }{2} \ln C \right ) \Rightarrow \log D = 4\log A - 5\log B - \dfrac{\ 1\ }{2} \ln C $$

Tomamos logaritmos:
$$ \ln E = \ln \sqrt{\dfrac{A}{B \cdot \sqrt[3]{C}}} \Rightarrow \ln E = \ln \left ( \dfrac{A}{B \cdot \sqrt[3]{C}} \right )^{\frac{1}{2}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \left [ \ln A - \ln B \cdot \sqrt[3]{C} \right ] \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \left [ \ln A - \left ( \ln B + \ln\sqrt[3]{C} \right ) \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \cdot \ln A - \dfrac{1}{2} \left ( \ln B + \dfrac{1}{3}\ln C \right ) \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \cdot \ln A - \dfrac{1}{2} \cdot \ln B - \dfrac{1}{6} \cdot \ln C $$

Tomamos logaritmos
$$ E^{3} = \dfrac{A^{2} \cdot B}{C \cdot \sqrt{D}} \Rightarrow \ln E^{3} = \ln \dfrac{A^{2} \cdot B}{C \cdot \sqrt{D}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 3 \ln E = \ln (A^{2} \cdot B) - \ln (C \cdot \sqrt{D} ) \Rightarrow 3\ln E = \ln A^{2} + \ln B - \left (\ln C + \ln \sqrt{D} \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 3 \ln E = 2\ln A + \ln B - \left (\ln C + \dfrac{1}{2} \ln D \right ) \Rightarrow 3 \ln E = 2\ln A + \ln B - \ln C - \dfrac{1}{2} \ln D \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ln E = \dfrac{\ 1\ }{3} \left ( 2\ln A + \ln B - \ln C - \dfrac{1}{2} \ln D \right ) $$

Tomando logaritmos:
$$ E = \sqrt[3]{\dfrac{A^{2}}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^{2}}} \Rightarrow \log E = \log \sqrt[3]{\dfrac{A^{2}}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^{2}}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \log \left ( \dfrac{A^2}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^2 } \right)^{\frac{1}{3}} \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \log \left ( \dfrac{A^2}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^2 } \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left ( \log A^2 - \ln B \cdot \sqrt{C} \cdot D^2 \right ) \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left [ 2\log A - \left ( \log B + \log \sqrt{C} + \log D^2 \right ) \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left ( 2\log A - \log B - \log C^{\frac{1}{2}} - 2\log D \right ) \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left ( 2\log A - \log B - \dfrac{1}{2} \log C - 2 \log D \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \dfrac{2}{3} \log A - \dfrac{1}{3} \log B - \dfrac{1}{6} \log C - \dfrac{2}{3} \log D $$

Usando las propiedades de los logaritmos, calcula el valor de $A$ en las siguientes expresiones:

Veamos un ejemplo resuelto: $ \dfrac{1}{2} \log C = 3 \cdot \log A - \log 2 + 2 \cdot \log B $

$ 3 \cdot \log A = \dfrac{1}{2} \log C + \log 2 - 2 \cdot \log B \Rightarrow $

$ \log A^3 = \log \sqrt{C} + \log 2 - \log B^2 \Rightarrow $

$ \log A^3 = \log \left ( \dfrac{2 \cdot \sqrt{C}}{ B^2 } \right ) \Leftrightarrow A^3 = \dfrac{2 \cdot \sqrt{C}}{ B^2 } \Leftrightarrow A = \sqrt[3]{ \dfrac{2 \cdot \sqrt{C}}{ B^2 } } $

Vamos a despejar $\log A$:
$$ \dfrac{1}{3} \log A = \dfrac{2}{3} \log B - \log C + 3 \cdot \log D \Rightarrow \log A = 2 \log B - 3\log C + 9 \cdot \log D \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log B^2 - \log C^3 + \log D^9 \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ B\ }{ C^3 } + \log D^9 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ B \cdot D^9\ }{ C^3 } \Rightarrow A = \dfrac{\ B \cdot D^9\ }{ C^3 } $$

Despejamos $\log A$:
$$ 2 - \log D = 2 \cdot \log A - 3 \cdot \log B - 4 \cdot \log C \Rightarrow 2 \cdot \log A = 2 - \log D + 3 \cdot \log B + 4 \cdot \log C \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = 1 - \dfrac{1}{2} \log D + \dfrac{3}{2} \cdot \log B + 2 \cdot \log C \Rightarrow \log A = \log 10 - \log \sqrt{\ D\ } + \log \sqrt{\ B^3\ } + \log C^2 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ 10\ }{\ \sqrt{\ D\ }\ } + \log \sqrt{\ B^3\ } \cdot C^2 \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt{\ B^3\ } \cdot C^2\ }{ \sqrt{\ D\ } } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow A = \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt{\ B^3\ } \cdot C^2\ }{ \sqrt{\ D\ } } $$

En construcción
$$ \log A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \log B + \log C - \dfrac{2}{3} \log D \Rightarrow \log A = \dfrac{1}{2} \log 10 - \dfrac{1}{3} \log B + \log C - \dfrac{2}{3} \log D \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \sqrt{\ 10\ } - \log \sqrt[3]{\ B\ } + \log C - \log \sqrt[3]{\ D^2\ } \Rightarrow \log A = \log \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } }{ \sqrt[3]{\ B\ } } + \log \dfrac{ C }{\ \sqrt[3]{\ D^2\ }\ } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } \cdot C }{ \sqrt[3]{\ B\ } \cdot \sqrt[3]{\ D^2\ } } \Rightarrow \log A = \log \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } \cdot C }{\ \sqrt[3]{\ B \cdot D^2\ }\ } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow A = \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } \cdot C }{\ \sqrt[3]{\ B \cdot D^2\ }\ } $$

Expresa los siguientes logaritmos en función de $\log 2$ y $\log 3$ («logaritmos en base 10») aplicando las propiedades de los logaritmos, para ver la solución pasa el cursor sobre el ejercicio:

Veamos un ejemplo resuelto: $ \log 0,0125 $

$ \log 0,0125 = \log \dfrac{\ 1\ }{80} = \log 1 - \log 80 = 0 - ( \log 10 + \log 8 ) = - 1 - 3 \cdot \log 2 $

Veamos un ejemplo resuelto: $ \log _{\sqrt{2}} 27 $

$ \log _{\sqrt{2}} 27 = \dfrac{ \log_2 27 }{ \log_2 \sqrt{2} } = \dfrac{ 3 \cdot \log_2 3 }{ \dfrac{\ 1 \ }{2} \cdot \log_2 2 } = $

$ = \dfrac{ 3 \cdot \log_2 3 }{ \dfrac{\ 1 \ }{2} \cdot 1 } = 2 \cdot 3 \cdot \log_2 3 = 6 \cdot \log_2 3 = 6 \cdot \dfrac{\log 3}{ \log 2} $

1. $ \log 12 $
   
   
2. $ \log 0,0002 $
   
   
3. $ \log \sqrt[5]{6} $
   
   
4. $ \log 27000 $
   
   
5. $ \log \dfrac{\sqrt{32}}{6} $
   
   
6. $ \log \sqrt[5]{0,48} $
   
   
7. $ \log \dfrac{1}{\sqrt[4]{0,6}} $
   
   
8. $ \log 3,6 $
   
   
9. $ \log 360 $
   
   
10. $ \log (5 \cdot \sqrt[3]{9}) $
    
    
11. $ \log (0,6 \cdot \sqrt[3]{4}) $
    
    
12. $ \log_{3} 32 $
    
    
13. $ \log_{2} 81 $
    
    
14. $ \log_{4} 0,3 $
    
    
15. $ \log_{8} 3 $
    
    
16. $ \log_{\sqrt{3}} 8 $
    
    
17. $ \log_{0,5} \sqrt[5]{3} $
    
    
18. $ \log_{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt[3]{0,03} $
    
    

Problemas de aplicación

1.- Se deja a temperatura ambiente una muestra de café, y se observa que su temperatura en ${ }^{\circ} C$ disminuye con el tiempo de acuerdo con la siguiente función: $$ T(t) = 24 + 51 \cdot e^{-0,106 \cdot t} \qquad \text{donde} \ \ t \ \ \text{viene dado en minutos.} $$ a) ¿Cuál es la temperatura inicial del café?
b) Si la temperatura óptima para tomar el café es de $56^{\circ} C$, entre qué minutos se deberá tomar el café. (Solución: entre 4' y 5')
c) Dibujar la gráfica de dicha función.
d) ¿En qué temperatura se estabilizará el café?

2.- a) Demostrar que la función que permite calcular en cuánto se convierte un capital $C_0$ acumulado al cabo de $t$ años con un interés $i$ es: $$ C(t) = C_0 \cdot \left ( 1 + \dfrac{\ \ i \ \ }{100} \right )^{t}, \text { en €} $$ donde: $C_0$ es el capital inicial, en € e $i$ es el interés anual, en %.
b) ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 6 años si colocamos a plazo fijo 20.000 € al 2%?
c) ¿Cuántos años debemos mantener 100.000 € en una entidad bancaria a una tasa del 2,5% si queremos duplicar el capital? ¿Es relevante el dato del capital inicial?
d) Una persona que tiene depositada en una caja de ahorros 30.000 € a una tasa del 3% quiere llegar a tener 40.000 € ¿Cuánto tiempo deberá mantener intacto el capital?

Aplicando las propiedades del logaritmo tenemos:

$$ \dfrac{ \log \dfrac{1}{a} + \log \sqrt{a} }{ \log a^3} = - \dfrac{1}{6} \Rightarrow \dfrac{ - \log a + \dfrac{1}{2} \log a }{ 3 \log a} = - \dfrac{1}{6} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \dfrac{ - \dfrac{1}{2} \log a }{ 3 \log a} = - \dfrac{1}{6} \Rightarrow \dfrac{ - \dfrac{1}{2} \cancel{ \log a } }{ 3 \cancel{ \log a } } = - \dfrac{1}{6} \Rightarrow \dfrac{ - \dfrac{1}{2} }{ 3 } = - \dfrac{1}{6} \checkmark $$ ¿Pero cuándo hemos usado que $a \neq 1$?

$a \neq 1$ para evitar que el denominador de la fracción sea cero.

Tomamos logaritmos en base 10:

$$ a^{\log b} = b^{\log a} \Rightarrow \log a^{\log b} = \log b^{\log a} \Rightarrow \log b \cdot \log a = \log a \cdot \log b $$ Luego $a, b \in (0, +\infty) $.

Veamos una ecuación «logarítmica» en la que aplicaremos la definición de logaritmo:

Aplicamos la definición de logaritmo:

$$ 9^{x - 1} = 3^x + 648 \Rightarrow \dfrac{9^x}{9} = 3^x + 648 \Rightarrow 9^x - 9 \cdot 3^x - 5832 = 0 \Rightarrow (3^x)^2 - 9\cdot 3^x - 5832 = 0 $$ Tenemos una ecuación de $\odn{2}{\circ}$ grado en $3^x$, haciendo el cambio $3^x = t$ tenemos: $$ t^2 - 9t - 5832 = 0 $$ Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación de $\odn{2}{\circ}$ grado en $t$: $$ t = \dfrac{\ 9 \pm \sqrt{\ (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5832)\ }\ }{ 2 \cdot 1} = \dfrac{\ 9 \pm \sqrt{\ 81 + 23328\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ 9 \pm \sqrt{\ 23409\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ 9 \pm 153\ }{ 2 } = $$ $$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 162 }{ 2 } = 31 \Rightarrow t_1 = 31 \Rightarrow 3^x = 81 \rightarrow x = 4 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -144 }{ 2 } = -72 \Rightarrow t_2 = -72 \Rightarrow 3^x = -72 \text{ que es imposible }\end{array} $$ Luego la solución es $x = 4$, vamos a comprobarlo:

$$ \log_{9} \left ( 3^x + 648 \right ) = x - 1 \Rightarrow \log_{9} \left ( 3^4 + 648 \right ) = 4 - 1 \Rightarrow \log_{9} \left ( 81 + 648 \right ) = 3 \Rightarrow \log_{9} \left ( 729 \right ) = 3 \Rightarrow 9^3 = 729 \checkmark $$

Sabiendo que $ N^b = 16$ y que $ N = 2^{0,15}$, juntado ambas expresiones tenemos que:

$\left ( 2^{0,15} \right )^b = 16 \Rightarrow 2^{0,15b} = 2^4 \Rightarrow 0,15b = 4 \Rightarrow \dfrac{\ 4\ }{\ \dfrac{\ 15\ }{\ 100\ } } = \dfrac{\ 400\ }{ 15 } = \dfrac{\ 80\ }{3} $

Vamos a comprobarlo:

$ N^b = \left ( 2^{0,15} \right )^{\dfrac{\ 80\ }{3} } = 2^{ \dfrac{\ 12\ }{3} } = 2^4 = 16 \checkmark $

Despejamos $a$ y $b$ tomando logaritmos en base 3:

$ \log_3 3^a = \log_3 8 \Rightarrow a = \log_3 8 $

$ \log_3 3^b = \log_3 32 \Rightarrow b = \log_3 32 $

Sustituimos en la expresión $\dfrac{\ a + b\ }{a - b} $ y tenemos:

$ \dfrac{\ a + b\ }{a - b} = \dfrac{\ \log_3 8 + \log_3 32\ }{ \log_3 8 - \log_3 32 } = \dfrac{\ \log_3 246\ }{ \log_3 \dfrac{1}{4} } = \dfrac{\ \log_3 4^4\ }{ - \log_3 4 } = \dfrac{\ 4 \cdot \log_3 4\ }{ - \log_3 4 } = - 4 $

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com